【文档说明】广东省中山市中山纪念中学2020届高三上学期第一次质量检测数学（文）试题【精准解析】.doc，共(22)页，1.709 MB，由管理员店铺上传

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中山纪念中学2019-2020学年高三校内第一次质量检测试题文科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.设复数11zi，234zi，则12zz在复平面内对应的点位于（）A.第一

象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】C【解析】分析：由题意利用复数的乘法运算首先求得12zz的值，然后确定其所在的象限即可.详解：由复数乘法的运算法则可得：212134334417zziiiiii，则1

2zz在复平面内对应的点为1,7，该点位于第三象限.本题选择C选项.点睛：本题主要考查复数的运算法则，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2.设集合03xAxx，1Bxyx，则AB（）A.31xxB.31xxC.1xxD.

3xx【答案】A【解析】【分析】解分式不等式,即可求得集合A,由二次根式有意义条件可得集合B.再由交集的运算,即可求得AB.【详解】解分式不等式,可得0303xAxxxx根据二次根式有

意义条件可得11Bxyxxx由交集的运算可得30131ABxxxxxx故选:A【点睛】本题考查了分式不等式的解法,二次根式有意义条件,交集的简单运算,属于基础题.3.

已知函数(2+1)32fxx，则(5)f（）A.8B.5C.17D.11【答案】A【解析】【分析】根据所给函数解析式,先利用换元法求得fx解析式,即可求解.【详解】函数(2+1)32fxx令2+1xt,则12tx则13132222tftt所以3155822

f故选:A【点睛】本题考查了函数解析式的求法,根据解析式代入求函数值,属于基础题.4.已知函数fx是定义在R上的奇函数，当,0x时，32()2fxxx，则(3)f()A.9B.-9C.45D.

-45【答案】C【解析】【分析】函数fx为奇函数，有(3)(3)ff，再把3x代入已知条件得到(3)f的值.【详解】因为函数fx是定义在R上的奇函数，所以32(3)(3)[(3)2(3)](2718)45ff.【点睛】本

题考查利用奇函数的定义求函数值，即(3)(3)ff，考查基本运算能力.5.下列叙述正确的是（）A.若0x，则12xxB.方程2210,0mxnymn表示的曲线是椭圆C.2“”bac是

“数列,,abc为等比数列”的充要条件D.若命题2000:10pxRxx，，则2:10pxRxx，【答案】D【解析】对于A选项，若x0,不等式不成立；对于B选项，若nm，则方程2210,0mxnymn

表示的曲线是圆；对于C选项，若b0a，则由2bac不能得出数列,,abc为等比数列；对于D选项，特称命题的否定，需要该存在量词为全称量词，并否定结论，正确.故选D6.已知双曲线222:116xy

Em的离心率为54，则双曲线E的焦距为（）A.4B.5C.8D.10【答案】D【解析】【分析】通过离心率和a的值可以求出c，进而可以求出焦距．【详解】有已知可得54ca，又4a，5c，焦距210c，故选

D．【点睛】本题考查双曲线特征量的计算，是一道基础题．7.如果奇函数fx在区间,0abba上是增函数，且最小值为m，那么fx在区间,ba上是A.增函数且最小值为mB.增函数且最大值为mC.减函数且最小值为mD.减函数

且最大值为m【答案】B【解析】本题考查函数的奇偶性和单调性.设12bxxa时，21,axxb因为奇函数fx在区间,0abba上是增函数，所以2121()(),()()fxfxfxfx即，所以12()()

fxfx，则函数fx在区间上[,]ba上是增函数；又fx在区间,0abba上最小值为m，即();fam所以[,]xba时，()()().fxfafam即函数fx在区间上[,]ba上最大值为m

.故选B8.当0<a<b<1时，下列不等式正确的是A.11ba>（1－a）bB.（1＋a）a>（1＋b）bC.（1－a）b>21baD.（1－a）a>（1－b）b【答案】D【解析】试题分析：取010111abbaab，结合指数函数单调性可知

11abab考点：利用单调性比较大小9.已知,,是三个不重合的平面，l是直线，给出下列命题：①若，，则；②若l上两点到的距离相等，则//l；③若,//ll，则；④若//,l，且

//l，则l//.其中正确的命题是（）A.①②B.②③C.②④D.③④【答案】D【解析】分析：由空间平面与平面之间位置关系的定义及判定方法，可以判断①的正误；根据空间直线与平面位置关系的定义及判定方法，可以判断②与④的正误；根据线面垂直的判定方法可

以得到③为真命题，综合判断结论，即可得到答案．解答：解：若α⊥β，β⊥γ，则α与γ可能相交，也可能平行，故①错误；若l上两点到α的距离相等，则l与α可能相交，也可能平行，故②错误；若l∥β，则存在直线

a?β，使l∥a，又l⊥α，∴a⊥α，则α⊥β，故③正确；若α∥β，且l∥α，则l?β或l∥β，又由l?β，∴l∥β，故④正确；故选D10.已知奇函数fx的定义域为R，若2fx为偶函数，且11f，则20

172016ff（）A.2B.1C.0D.1【答案】D【解析】【分析】根据函数奇偶性的性质，推断出函数的周期是8，利用函数奇偶性和周期性进行转化求解即可．【详解】奇函数()fx的定义域为R，若(2)fx为偶函数，(0)0f，

且(2)(2)(2)fxfxfx，则(4)()fxfx，则(8)(4)()fxfxfx，则函数()fx的周期是8，且函数关于2x对称，则(2017)(25281)fff（1）(1)(1)1f，(2016)(2528)

(0)0fff，则(2017)(2016)011ff，故选D．【点睛】本题主要考查函数值的计算，根据函数奇偶性和对称性的性质求出函数的周期是解决本题的关键．11.已知三棱锥ABCD的所有顶点都在球O的球面上

，AD平面ABC，90BAC，2AD，若球O的表面积为29，则三棱锥ABCD的体积的最大值为（）A.253B.252C.256D.254【答案】C【解析】【分析】根据题意,画出三棱锥,将三棱锥补全为四棱柱,则四棱柱的外接球即为三棱锥的外接球.由球的表面积,可得四棱柱

底面两边的等量关系.表示出三棱锥ABCD的体积,即可根据不等式性质求得体积的最大值.【详解】根据题意,画出三棱锥,将三棱锥补全为四棱柱,如下图所示:则四棱柱的外接球即为三棱锥的外接球.设,ABxACy则球的半径为22142xy所以由球的表面

积为29可得222144292xy化简可得2225xy所以三棱锥ABCD的体积为13VSh11232xy13xy由不等式性质可知222xyxy,所以222522xyxy

所以1125253326Vxy即三棱锥ABCD的体积的最大值为256故选:C【点睛】本题考查了三棱锥外接球表面积,三棱锥与四棱柱外接球的关系,不等式的性质应用,三棱锥体积的求法,属于中档题.12.若函数,1()42,12xaxfxaxx是R上

的单调递增函数，则实数a的取值范围是（）A.1,B.（1,8）C.（4,8）D.4,8)【答案】D【解析】【分析】根据分段函数单调性列不等式，解得结果.【详解】因为函数,1()42,12xaxfxaxx是R上的

单调递增函数，所以140482422aaaaa故选：D【点睛】本题考查根据分段函数单调性求参数，考查基本分析判断能力，属中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，

共20分.13.函数21,13()(4),3xxfxfxx，则(9)f______．【答案】1【解析】【分析】根据自变量范围代入对应解析式，即得结果.【详解】根据题意，21,13()(4),3xxfxfxx，则(9)(5)(1)2111fff

；故答案为1．【点睛】本题考查分段函数求值，考查基本分析求解能力，属基础题.14.如图，直三棱柱的主视图是边长为2的正方形，且俯视图为一个等边三角形，则该三棱柱的左视图面积为___________.【答案】23【解析

】【分析】由主视图、俯视图得到三棱柱的侧视图为以底面高为一边，以棱柱高为另一边的矩形，从而可得结果.【详解】由三视图得到三棱柱的侧视图为以底面正三角形的高为一边，以棱柱高为另一边的矩形，所以侧视图的面积为322232，故答案为23.【点睛】本题利用空

间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还

要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.15.抛物线y2=8x上一点M（x0，y0）到其焦点的距离为6，则点M到坐标原点O的距离为______．【答案】43【解析】【分析】根据抛物线定义求点M坐标，再根据两点间距离公式得结果.

【详解】根据题意，抛物线28yx的准线方程为2x，若抛物线28yx上一点00()Mxy，到其焦点的距离为6，则其到准线的距离也为6，则0(2)6x，解可得：04x，又由M在抛物线上，则20832y

x，则M到坐标原点O的距离22004843ydx，故答案为43【点睛】本题考查抛物线定义，考查基本分析求解能力，属基础题.16.已知函数2xfxeax，对任意1>0x，20x且12xx，都有21210xxfxfx，则实数a

的取值范围是______.【答案】,2e【解析】【分析】根据函数解析式可知函数fx为偶函数.由不等式21210xxfxfx可知函数fx在0,为单调递增函数.即可根据函数单调性求得导函数,令导函数大于0.即可分

离参数,构造函数,并利用导函数求得最值,进而求得a的取值范围.【详解】函数2xfxeax,由解析式可知函数fx为偶函数由不等式21210xxfxfx可知函数fx在0,为单调递增函数所以当0x时,2xexfxa

所以'20xfxeax即2xeax令2xegxx则222122'42xxxexxeegxxx令'0gx,解得1x当01x时,'0gx,则2xegxx在01x时单调递减当1x时,'0gx,则2xegxx在1x时

单调递增所以当1x时,gx取得最小值,即min12egxg所以2ea同理可求得当0x时,2ea综上可知,a的取值范围为,2ea故答案为:,2e【点睛】本题考查了函数单调性与偶函数的综合

应用,导数与单调性的关系,分离参数法与构造函数法求参数的取值范围,属于中档题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选做题，请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分

.17.如图，直三棱柱111ABCABC的底面是边长为2的正三角形，,EF分别是1,BCCC的中点．（１）证明：平面AEF平面11BBCC；（２）若直线1AC与平面11AABB所成的角为45，求三棱锥FAEC的体积．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）612.【解析】试题分析：

（１）由面面垂直的判定定理很容易得结论；（２）所求三棱锥底面积容易求得，是本题转化为求三棱锥的高FC，利用直线1AC与平面11AABB所成的角为，作出线面角，进而可求得的值，则可得的FC长．试题解析：（1）如图

，因为三棱柱111ABCABC是直三棱柱，所以1，又是正三角形C的边C的中点，所以C又1C，因此平面11CC而平面F，所以平面F平面11CC（2）设的中点为D，连结

1D,CD因为C是正三角形，所以CD又三棱柱111ABCABC是直三棱柱，所以1CD因此CD平面11，于是1CD为直线1C与平面11所成的角，由题设，1CD45，所以13DCD32在

1RtD中，2211DD312，所以112FC22故三棱锥FC的体积C11326VFC332212S考点：直线与平面垂直的判定定理；直线与平面所成的角；几何体的体积．18.经过多年的运作，“双

十一”抢购活动已经演变成为整个电商行业的大型集体促销盛宴.为迎接2014年“双十一”网购狂欢节，某厂家拟投入适当的广告费，对网上所售产品进行促销.经调查测算，该促销产品在“双十一”的销售量p万件与促销费用x万元满足231px(其中，a

为正常数)．已知生产该产品还需投入成本102p万元(不含促销费用)，产品的销售价格定为20(4)p元／件，假定厂家的生产能力完全能满足市场的销售需求．(1)将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；(2)促销费用投入多少万

元时，厂家的利润最大？【答案】(1)（0xa）;(2)当1a时，促销费用投入1万元，厂家的利润最大；当1a时，促销费用投入a万元，厂家的利润最大.【解析】【详解】(1)由题意知，，将231px代入化简得：（0xa）.(2)，当且仅当时，上式取等号

.当1a时，促销费用投入1万元时，厂家的利润最大；当1a时，在0,a上单调递增，所以xa时，函数有最大值，即促销费用投入a万元时，厂家的利润最大.综上，当1a时，促销费用投入1万元，厂家的利润最大；当1a时，促销

费用投入a万元，厂家的利润最大.19.如图，在三棱锥VABC中，平面VAB平面ABC，VAB为等边三角形，ACBC且2ACBC，O，M分别为AB，VA的中点．（1）求证：OC平面VAB；（2）求直线VC和平面VAB所成角的正切值；（3）求三棱锥AV

BC的体积．【答案】（1）见解析（2）33（3）33【解析】【分析】（1）根据等腰三角形三线合一,可知OCAB.根据平面与平面垂直的性质即可证明OC平面VAB;（2）连结VO,由（1）可知CVO是直线VC和平面VAB所成角.根据三角形中线段关系,即可求

得OC和VO,进而求得tanCVO即可.（3）根据三棱锥体积AVBCCVABVV,即可由三棱锥的体积公式求解.【详解】（1）证明：∵ACBC,O为AB的中点,∴OCAB,∵平面VAB平面ABC,OC平面A

BC,∴OC平面VAB；（2）连结VO,由（1）得OC平面VAB,∴CVO是直线VC和平面VAB所成角,在等腰直角三角形ACB中,2AVBC,所以2AB,1OC,在等边VAB中,O为AB的中点,∴VOAO,tan303VOAO,∵OC平面VAB,OV平面VAB

,∴OCOV,∴13tan33COCVOVO,即直线VC和平面VAB所成角的正切值为33；（3）因为2AB,1OC．所以等边三角形VAB的面积3VABS．又因为OC平面VAB,所以1233AVBCCVABVABVVOCS,所以三棱锥AVBC的体

积为33．【点睛】本题考查了直线与平面垂直的判定,平面与平面垂直的性质,直线与平面夹角的求法,三棱锥体积的求法,属于基础题.20.已知抛物线2:4Cxy和动直线:1lykx.直线l交抛物线C于,AB两点，抛物线C在,AB处的切线的交点为N.（1）当3k时，求以AB为直径的

圆的方程；（2）求ABN面积的最小值.【答案】（1）22(23)(7)64xy（2）4【解析】【分析】（1）联立直线方程和抛物线方程，求出点A、B的坐标，进而可求出AB，以及线段AB的中点坐标，因此可写出以AB为直径的圆的方程；（2

）先利用导数的几何意义求出抛物线C在,AB处的切线方程，联立可得点N，再利用三角形面积公式，分别求出AB以及点N到直线AB的距离，即可表示出面积，最后由函数的单调性得出最小值．【详解】设1122,,,AxyBxy.联立2314yxxy，消去y得24340xx

，设12xx.解得1212234234,743743xxyy则22221212||8(83)16ABxxyy设线段AB的中点坐标为00,xy，则，120232xxx，12072yyy则以AB为直径的圆的

方程为22(23)(7)64xy.（2）由24xy得2xy.易得直线111:2xANyyxx，直线222:2xBNyyxx联立111222(1)2(2)2xyyxxxyyxx由（1）得211111111422222xxxyxyy

xyxxy由（2）同理可得222xyxy.由121222xxxyxy，得1212121224xxxxxxxyy，得122xxx联立214ykxxy得2440xkx，则12124,4xxkxx

.所以1222xxxk，111121122xxyxykkx.即2,1Nk所以2221212||1441ABkxxxxk点2,1Nk到直线:10lkxy

的距离22|211|211kkdkk.所以1||2ABNSABd22141212kk3241k显然，当0k时，△ABN的面积最小，最小值为4.【点睛】本题主要考查圆的方程求法、利用导数的几何意义求切线方程、直线与抛物线的位置

关系应用、以及点到直线的距离公式应用，意在考查学生的转化思想和函数思想应用，以及数学运算能力，解题关键是能够用参数k表示出点N，进而得到三角形面积的函数关系式．21.已知函数()sin1fxaxx，[0,]x.（1）若12a，求()fx的最大值；（2）当2a时，求证：()c

os0fxx.【答案】(1)12(2)见解析【解析】分析：（1）给定区间求最值需先求导1'cos2fxx判出在相应区间上的单调性；（2）构造新函数，运用放缩进行处理．先证2sincos10x

xx，又由2a，0x，所以2sin1cossin1cos0axxxxxx．详解：（1）解：当12a时，1'cos2fxx，由'0fx，得3x，所以0,3x时，'0fx；,3x时

，'0fx，因此fx的单调递减区间为0,3，单调递增区间为,3，fx的最大值为max0,max1,12ff12.（2）证明：先证2sinco

s10xxx，令2sincos1gxxxx，则2'cossingxxx22sin4x，由2sin4yx，0,x与2y的图象易知，存在

00,x，使得0'0gx，故00,xx时，'0gx；0,xx时，'0gx，所以gx的单调递减区间为00,x，单调递增区间为0,x，所以gx的最大值为max0,gg，而00g，0g.又由2a

，0x，所以2sin1cossin1cos0axxxxxx，当且仅当20ax或，取“=”成立，即cos0fxx.点晴：导数是做题的工具，在解决问题时，一般首先要对题干的转化，

带着目标做下手，一般都是转化成最值的问题，然后最值的问题都是利用单调性去解决第22、23题为选做题，请考生在第22、23题中任选一题作答.本小题满分10分，如果多做，则按所做的第一题计分.22.在平面直角坐标系xOy中，圆C的圆心为10,2

，半径为12，现以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求圆C的极坐标方程；（2）设M，N是圆C上两个动点，满足2π3MON，求OMON的最小值.【答案】(1)sin.(2)32.【解析】分析：（I）首先写出圆的直角坐标

方程，然后化为极坐标方程可得其方程为sin；（II）设122,,,3MN，则123OMONsin，由题意可得03，结合三角函数的性质可知OMON的最小值为32．详解：（I）圆C的直角

坐标方程为221124xy，即220xyy，化为极坐标方程为2sin0，整理可得：sin；（II）设122,,,3MN，1223OMO

Nsinsin13223sincossin，由0203，得03，2333，故3123sin，即OMON的最小值为32．点睛：本

题主要考查直角坐标方程与极坐标方程的互化，参数方程中的最值问题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.23.已知函数11fxxxm，mR，（Ⅰ）若不等式2fxm恒成立，求实数

m的取值范围；（Ⅱ）求不等式2fxm的解集.【答案】(Ⅰ)1m；(Ⅱ)0m时，不等式无解；当0m时，不等式的解集为3{|11}22mmxx．【解析】分析：（I）由绝对值三角不等式的性质可得fxm，据此求解不等式可得实数m的取值范围是1

m；（II）不等式即112xxmm，分类讨论可得0m时，不等式无解；当0m时，不等式的解集为3{|11}22mmxx．详解：（I）1111fxxxmxxmm，由题意知2mm，得222mm，解得1m

；（II）不等式为112xmxm，即112xxmm，若0m，显然不等式无解；若0m，则11m．①当1x时，不等式为112xmxm，解得12mx，所以112mx；②当11

xm时，不等式为112xmxm，恒成立，所以11xm；③当1xm时，不等式为112xxmm，解得312mx，所以3112mmx；综上所述，当0m时，不等式的解集为空集，当0m时，解集为3{|11}22mmxx

．点睛：绝对值不等式的解法：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．附加题24.对于函数2()(1)2(0)fxaxbxba

，若存在实数0x，使00fxx成立，则称0x为()fx的不动点.（1）当2a，2b时，求()fx的不动点；（2）若对于任何实数b，函数()fx恒有两相异的不动点，求实数a的取值范围；（3）在（2）的条件下，若()yfx的图象上A、B两点的横坐标

是函数()fx的不动点，且直线2121ykxa是线段AB的垂直平分线，求实数b的最小值.【答案】（1）不动点是－1，2.（2）02a（3）min24b【解析】【分析】（1）根据不动点定义,代入2a,2

b,即可得一元二次方程,解方程即可求解.（2）令()fxx,可得一元二次方程.根据有两个相异的实数根,可知对应判别式.即可得关于,ab的不等式.再由对于任意实数b恒成立,可知对应判别式即可求得a的取值范围

;（3）根据题意可设11,Axx,22,Bxx,即可求得直线AB的斜率.根据直线2121ykxa是线段AB的垂直平分线,可求得k的值.设AB、的中点为00,Mxx,由韦达定理可得02bxa,代入直线2121ykxa即可用a表示出b

.结合基本不等式即可求得b的取值范围,即可得b的最小值.【详解】∵2()(1)2(0)fxaxbxba（1）当2a,2b时,2()24fxxx设x为其不动点,即224xxx.则

22240xx.∴11x,22x.即()fx的不动点是－1,2.（2）由()fxx得220axbxb.由已知,此方程有相异二实根,0x恒成立,即24(2)0bab.即2480baba对任意bR

恒成立.∴0b,∴216320aa,∴02a.（3）因为()yfx的图象上A、B两点的横坐标是函数()fx的不动点,设11,Axx,22,Bxx,则21211ABxxkxx直线2121kxa是线段AB的垂直平分线,∴1k记AB的中点00,Mxx.由（

2）知02bxa,∵M在2121ykxa上,∴212221bbaaa.化简得211212141222abaaaaa（当且仅当22a时,等号成立）.即24b.因为02a,所以0b综上可知204b

所以min24b【点睛】本题考查了新定义在函数中的应用,方程的根与不等式关系,垂直直线的斜率关系,基本不等式求最值的应用,综合性较强,属于中档题.