【文档说明】高中数学培优讲义练习（人教A版2019必修二）专题8.16 空间角大题专项训练（30道）（学生版）.docx，共(16)页，954.338 KB，由小赞的店铺上传

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专题8.16空间角大题专项训练（30道）【人教A版2019必修第二册】姓名：___________班级：___________考号：___________1．（2023·高一课时练习）空间四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵=𝐶𝐷且𝐴𝐵与𝐶𝐷所成的角为30

°，𝐸、𝐹分别是𝐵𝐶、𝐴𝐷的中点，求𝐸𝐹与𝐴𝐵所成的角的大小．2．（2022秋·山西吕梁·高三期末）如图，在棱长为2√2的正方形ABCD中，E，F分别为CD，BC边上的中点，现以EF为折痕将点C旋转至

点P的位置，使得𝑃−𝐸𝐹−𝐴为直二面角.(1)证明：𝐸𝐹⊥𝑃𝐴；(2)求𝑃𝐷与面𝐴𝐵𝐹所成角的正弦值.3．（2022秋·贵州遵义·高二期末）如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，PA⊥平面ABCD，点H为线

段PB上一点（不含端点），平面AHC⊥平面PAB．(1)证明：𝑃𝐵⊥𝐴𝐶；(2)若𝐴𝐵=𝐴𝐶=1，四棱椎P－ABCD的体积为13，求二面角P－BC－A的余弦值．4．（2023·广西柳州·高三阶段练习）在四棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷中，

底面ABCD是等腰梯形，𝐴𝐵∥𝐶𝐷，𝐴𝐷=𝐴𝐵=12𝐶𝐷=1，平面𝐴𝐷𝑃⊥平面PCD，𝑃𝐷⊥𝑃𝐶．(1)求证：△𝐴𝐷𝑃为直角三角形；(2)若𝑃𝐶=𝐴𝐷，求PA与平面ABCD所成角的余弦值．5．（2023春·四川成都·高三

开学考试）如图，在四棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷中，底面ABCD为直角梯形，其中𝐴𝐷∥𝐵𝐶，𝐴𝐷⊥𝐵𝐴，𝐴𝐷=3，𝐴𝐵=𝐵𝐶=2，𝑃𝐴⊥平面ABCD，且𝑃𝐴=3，点M在棱PD上（不包括端点），点N为BC中点．(1)若𝐷𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2𝑀𝑃

⃗⃗⃗⃗⃗⃗，求证：直线𝑀𝑁//平面PAB；(2)已知点M满足𝑃𝑀𝑃𝐷=13，求异面直线MN与AD所成角．6．（2023·高一课时练习）已知𝑃𝐴⊥平面ABCD，ABCD是正方形，异面直线PB与CD所成的角为45∘．(1)二面角�

�−𝑃𝐶−𝐷的大小；(2)直线𝑃𝐵与平面𝑃𝐶𝐷所成的角的大小．7．（2023春·江苏常州·高三校联考开学考试）如图，在边长为4的等边三角形𝐴𝐵𝐶中，平行于𝐵𝐶的直线分别交线段𝐴𝐵,

𝐴𝐶于点𝑀,𝑁.将△𝐴𝑀𝑁沿着𝑀𝑁折起至△𝐴1𝑀𝑁，使得二面角𝐴1−𝑀𝑁−𝐵是直二面角.(1)若平面𝐴1𝑀𝑁∩平面𝐴1𝐵𝐶=𝑙，求证：𝑙//𝐵𝐶；(2)

若三棱锥𝐴1−𝐴𝑀𝑁的体积为1，求二面角𝑁−𝐴1𝑀−𝐵的正弦值.8．（2023·广东佛山·统考一模）如图，△𝐴𝐶𝐷和△𝐵𝐶𝐷都是边长为2的等边三角形，平面𝐴𝐶𝐷⊥平面𝐵𝐶𝐷，𝐸

𝐵⊥平面𝐵𝐶𝐷．(1)证明：𝐸𝐵//平面𝐴𝐶𝐷；(2)若点E到平面𝐴𝐵𝐶的距离为√5，求平面𝐸𝐶𝐷与平面𝐵𝐶𝐷夹角的正切值．9．（2022秋·甘肃兰州·高二期末）如图，已知在四棱锥𝑃−

𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝑃𝐴=𝐴𝐷=𝑃𝐷=2，∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐶𝐷𝐴=90°，𝐴𝐵=2𝐶𝐷，𝐶𝐷⊥𝑃𝐴，E，F分别为棱PB，PA的中点．(1)求证：平面𝑃𝐴𝐵⊥平面EFDC；(2)若直线PC与平面PAD所成的角为45°，求四棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷的体积．

10．（2023·高三课时练习）如图1，AD是直角△𝐴𝐵𝐶斜边上的高，沿AD把△𝐴𝐵𝐶的两部分折成如图2所示的直二面角，且DF⊥AC于点F．(1)证明：BF⊥AC；(2)设∠𝐷𝐶𝐹=𝜃，AB与平面BDF所成的角为𝛼，二面角B-FA-D的大小为𝛽，试用tan𝜃，cos𝛽

表示tan𝛼．11．（2023·高三课时练习）已知正方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1的棱长为1．(1)求异面直线𝐵1𝐷1与AC所成角的大小；(2)求二面角𝐵1−𝐴𝐶−𝐷的余弦值．12．（2023秋·江苏南通·高三期末）如

图，菱形ABCD的边长为2，∠𝐴𝐵𝐶=60°，E为AC的中点，将△𝐴𝐶𝐷沿AC翻折使点D至点𝐷′.(1)求证：平面𝐵𝐷′𝐸⊥平面ABC；(2)若三棱锥𝐷′−𝐴𝐵𝐶的体积为2√2

3，求二面角𝐷′−𝐴𝐵−𝐶的余弦值.13．（2022秋·四川达州·高二期末）如图，在四棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝑃𝐴⊥面𝐴𝐵𝐶𝐷，𝐴𝐵⊥𝐴𝐷，𝐴𝐷//𝐵𝐶，点𝐸,𝐹分别为𝑃𝐴,𝑃𝐷的中点，𝐴𝐵=𝐵𝐶=2，𝐴𝐷=𝑃𝐴=4.(1

)证明：直线𝐸𝐹//平面𝑃𝐵𝐶；(2)求二面角𝐹−𝐶𝐷−𝐵的余弦值.14．（2023秋·辽宁葫芦岛·高三期末）如图，边长是6的等边三角形△𝐴𝐵𝐶和矩形𝐵𝐶𝐷𝐸.现以𝐵𝐶为轴将

面𝐴𝐵𝐶进行旋转，使之形成四棱锥𝐴1−𝐵𝐶𝐷𝐸，𝑂是等边三角形△𝐴𝐵𝐶的中心，𝑀，𝑁分别是𝐵𝐶，𝐷𝐸的中点，且𝐴1𝐵=2𝑂𝑁，𝑂𝐹//面𝐵𝐶𝐷𝐸，交𝐴1𝐶于𝐹.(1)求证𝑂𝐹⊥面𝐴1𝑀𝑁(2)求𝐷𝐹和面𝐴1𝑀�

�所成角的正弦值.15．（2022秋·上海黄浦·高二阶段练习）已知𝐴𝐵𝐶𝐷是空间四边形，如图所示（𝑀，𝑁，𝐸，𝐹分别是𝐴𝐵、𝐴𝐷、𝐵𝐶、𝐶𝐷上的点）．(1)若直线𝑀𝑁与直线𝐸𝐹相交于点𝑂，证明

𝐵，𝐷，𝑂三点共线；(2)若𝐸，𝑁为𝐵𝐶，𝐴𝐷的中点，𝐴𝐵=6，𝐷𝐶=4，𝑁𝐸=2，求异面直线𝐴𝐵与𝐷𝐶所成的角．16．（2023·全国·高二专题练习）在四棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝑃𝐴⊥底面𝐴𝐵𝐶𝐷，四边形𝐴𝐵𝐶

𝐷为边长为1的菱形，∠𝐴𝐵𝐶=π4，𝑃𝐴=2，𝑀为𝑃𝐴中点，𝑁为𝐵𝐶的中点．(1)求证：直线𝑀𝑁//平面𝑃𝐶𝐷；(2)求直线𝐴𝐵与𝑀𝐷所成角大小．17．（2022秋·江西萍乡·高三期末）如

图，在五面体ABCDE中，△𝐴𝐵𝐶为等边三角形，平面𝐴𝐵𝐶⊥平面ACDE，且𝐴𝐶=2𝐴𝐸=2𝐸𝐷=2，∠𝐷𝐸𝐴=∠𝐸𝐴𝐶=90°，F为边BC的中点.(1)证明：𝐷𝐹//平面ABE；(2)求DF与平面ABC所成角的大小.18．（2023秋·浙江温州·高二期末）

如图，在四棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷中，底面ABCD为正方形，二面角𝑃−𝐵𝐶−𝐴为直二面角．𝐵𝑃=𝐶𝑃=√2，𝐵𝑃⊥𝐶𝑃，M，N分别为AP，AC的中点．(1)求平面BMN与平面PCD夹角的余弦值；(2)若平面𝐵

𝑀𝑁∩平面𝑃𝐶𝐷=𝑙，求点A到直线l的距离．19．（2023·全国·高三专题练习）四棱锥𝑆−𝐴𝐵𝐶𝐷，底面ABCD是平行四边形，∠𝐷𝐵𝐶=90∘,𝑆𝐶=𝑆𝐷=𝐷𝐶，且平面SCD⊥平面ABCD，点E在棱SC上，直线𝑆𝐴//平面BDE.(1)求

证：E为棱SC的中点；(2)设二面角𝑆−𝐵𝐷−𝐶的大小为𝜃，且tan𝜃=√6.求直线BE与平面ABCD所成的角的正切值.20．（2023·浙江·统考一模）如图，在长方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐸𝐹𝐺

𝐻中，P，Q是长方形EFGH内互异的两点，∠𝐴𝑃𝐶是二面角𝐴−𝑃𝑄−𝐶的平面角．(1)证明：点P在EG上；(2)若𝐴𝐵=𝐵𝐶，𝑃𝐴=𝑃𝐶，求直线AP与平面PBC所成角的正弦值的最大值．21．（2022春·江苏苏州·高一期末）如图，在直四棱柱𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴

1𝐵1𝐶1𝐷1中，底面𝐴𝐵𝐶𝐷是边长为2的菱形，∠𝐴𝐷𝐶=120∘，𝐶𝐶1=4，𝑀，𝑁分别是线段𝐷𝐷1，𝐵𝐷上的动点，且𝐷𝑁=𝜆𝐷𝐵(0<𝜆<1).(1)若二面角𝑀−𝐵𝐶−𝐶1为60∘，求𝐷𝑀的长；(2)当三棱锥𝑀−𝐴�

�𝐶的体积为2√33时，求𝐶𝑁与平面𝐵𝐶𝑀所成角的正弦值的取值范围.22．（2022秋·浙江宁波·高三期末）如图，在Rt△𝐴𝐵𝐶中，𝐵=π2，𝐴𝐵=2𝐵𝐶=2，且𝐸，𝐹分别为

𝐴𝐵，𝐴𝐶的中点．现将△𝐴𝐸𝐹沿𝐸𝐹折起，使点𝐴到达点𝐷的位置，连接𝐵𝐷，𝐶𝐷，𝑀为𝐶𝐷的中点，连接𝑀𝐹．(1)证明：𝑀𝐹⊥平面𝐵𝐶𝐷；(2)若二面角𝐸−𝑀𝐹−𝐶的余弦值为−√33，求

四棱锥𝐷−𝐸𝐵𝐶𝐹的体积．23．（2022秋·辽宁·高二开学考试）如图，多面体ABCDEF中，四边形ABCD为矩形，二面角𝐴−𝐶𝐷−𝐹为45∘，𝐷𝐸//𝐶𝐹，𝐶𝐷⊥𝐷𝐸，𝐴𝐷=2，𝐷𝐶=

3，𝐷𝐸=4，𝐶𝐹=5．(1)求证：𝐵𝐹//平面ADE；(2)求直线AC与平面CDEF所成角的正弦值；(3)求点F到平面ABCD的距离．24．（2022春·河北唐山·高一阶段练习）如图，在正三棱柱𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1（侧棱垂直底面，底面为正三角形）中，各棱长均

相等，D是BC的中点，(1)求证：𝐴𝐷⊥𝐶1𝐷(2)求证：𝐴1𝐵//平面AC1D(3)求异面直线𝐴1𝐵与𝐴𝐶1所成角余弦值．25．（2022·辽宁沈阳·高二阶段练习）如图1，⊙O的直径𝐴𝐵=4，点𝐶,𝐷为⊙O上任意两点，∠𝐶𝐴�

�=45∘，∠𝐷𝐴𝐵=60∘，F为𝐵𝐶⌢的中点，沿直径𝐴𝐵折起，使两个半圆所在平面互相垂直.(1)求证：OF//面ACD；(2)求二面角𝐶−𝐴𝐷−𝐵的余弦值.26．（2022秋·天津宁河·高三阶段练习）如图，在四棱锥𝑃−𝐴𝐵

𝐶𝐷中，𝐴𝐷//𝐵𝐶,𝐴𝐷⊥𝐷𝐶,𝐵𝐶=𝐶𝐷=12𝐴𝐷=2，𝐸为棱𝐴𝐷的中点，𝑃𝐴⊥平面𝐴𝐵𝐶𝐷.(1)证明：𝐴𝐵//平面𝑃𝐶𝐸(2)求证：平

面𝑃𝐴𝐵⊥平面𝑃𝐵𝐷(3)若二面角𝑃−𝐶𝐷−𝐴的大小为45°，求直线𝐴𝐷与平面𝑃𝐵𝐷所成角的正切值.27．（2022秋·上海·高二期中）如图，在棱长为2的正方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，𝐸、𝐹分别是𝐴1𝐷1和

𝐶𝐶1的中点.(1)求异面直线𝐸𝐹与𝐴𝐵所成角的余弦值；(2)在棱𝐵𝐵1上是否存在一点𝑃，使得二面角𝑃−𝐴𝐶−𝐵的大小为30∘?若存在，求出𝐵𝑃的长，若不存在，请说明理由；(3)求异面直线𝐸𝐹与𝐴𝐵之间的距离.2

8．（2022秋·上海普陀·高二期末）如图，在三棱锥𝐷−𝐴𝐵𝐶中，平面𝐴𝐶𝐷⊥平面𝐴𝐵𝐶，𝐴𝐷⊥𝐴𝐶，𝐴𝐵⊥𝐵𝐶，𝐸、𝐹分别为棱𝐵𝐶、𝐶𝐷的中点.(1)求证：直线𝐸𝐹//平面𝐴𝐵𝐷；(2)若直线𝐶𝐷与平

面𝐴𝐵𝐶所成的角为45°，直线𝐶𝐷与平面𝐴𝐵𝐷所成角为30°，求二面角𝐵−𝐴𝐷−𝐶的大小.29．（2022春·河南洛阳·高一阶段练习）如图所示，四边形𝐴𝐵𝐶𝐷为菱形，𝑃𝐴=�

�𝐷，平面𝑃𝐴𝐷⊥平面𝐴𝐷𝐶，点𝐸是棱𝐴𝐵的中点．(1)求证：𝑃𝐸⊥𝐴𝐶；(2)若𝑃𝐴=𝐴𝐵=𝐵𝐷=2，求三棱锥𝐸−𝑃𝐶𝐷的体积．(3)若𝑃𝐴=𝐴𝐵，当二面角𝑃−𝐴�

�−𝐵的正切值为−2时，求直线𝑃𝐸与平面𝐴𝐵𝐶𝐷所成的角．30．（2022春·上海徐汇·高三阶段练习）如图，在Rt△𝐴𝑂𝐵中，∠𝑂𝐴𝐵=π6，斜边𝐴𝐵=4，Rt△𝐴𝑂𝐶可以通过Rt△𝐴𝑂𝐵以直线𝐴�

�为轴旋转得到，且二面角𝐵−𝐴𝑂−𝐶是直二面角，动点𝐷在斜边𝐴𝐵上．(1)求证：平面𝐶𝑂𝐷⊥平面𝐴𝑂𝐵；(2)当𝐷为𝐴𝐵的中点时，求异面直线𝐴𝑂与𝐶𝐷所成角的余弦值；(3)求𝐶𝐷与平面𝐴𝑂𝐵所成的角中最大角

的正切值．