【文档说明】2021年全国高中数学联赛浙江赛区初赛试题 PDF版含答案.pdf，共(11)页，837.887 KB，由小赞的店铺上传

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扫描全能王创建扫描全能王创建扫描全能王创建扫描全能王创建扫描全能王创建2021年全国高中数学联赛浙江赛区初赛试题一、填空题（每题4分，共40分）1.已知单位向量,ab，则2ab的取值范围为__________________________。答案：[1,3]2.计算22si

n20cos50sin20cos50_______________。答案：343.设复数zxyi的实虚部,xy所形成的点(,)xy在椭圆221916xy上。若1zizi为实数，则复数z_________

_________________。答案：315315,44ii4.对于正整数n，若(5315)nxyxy展开式经同类项合并，(,0,1,,ijxyijn）合并后至少有2021项，则n的最小值为_____

________________。答案：445.设直角坐标平面上两个区域为2{(,)0min(2,3)}Mxyyxx，2{(,)2}Nxytxt，记M与N的公共部分面积为()ft。当01t时，则()ft的表

达式为__________________。答案：23522tt6.设012331320,1,,1(1),nnnnnaaaaaaaan则2021a______________。答

案：67.给定实数集合,AB，定义运算{,,}ABxxababaAbB。设{0,2,4,,18},{98,99,100}AB，则AB中的所有元素之和为________________。答案:299708.在ABC中,30,23BCBC,,PQ分别在

线段AB和AC上，1,2APAQ，直线ADBC于D。现将三角形ABC沿着AD对折，当平面ADB与平面ADC的二面角为60时，则线段PQ的长度为___________________________。答案：52349.已知AB

C三个顶点的坐标为(0,0),(7,0),(3,4)ABC，过点(622,32)的直线分别与线段,ACBC交于,PQ。若143PQCS，则CPCQ___________________。答案：424310.设数列1[][],1,2,,723nnnaaan

，这里[]x表示不超过x的最大整数。若88a，则正整数1a有_________________种可能的取值情况。答案：7（13339a）二、解答题（共五题，11-13各10分，14、15各15

分，合计60分）11.已知二次函数2()(,)fxxaxbab有两个不同的零点。若2(21)0fxx有四个不同的根1234xxxx，且1234,,,xxxx成等差数列，求ab的取值范围。解设方程20xaxb的两个为,，设，则222(21)(

21)(21)fxxxxxx……………………2分所以，14,xx为方程2210xx的两个根，23,xx为方程2210xx的两个根，………………………………4分由已知得1423

3xxxx，………………………………6分再由韦达定理得916，………………………………8分于是221325926169()99ab。所以，当ab的取值范围为25(,]9。…………………………10分12.设

C为椭圆22184xy的左焦点，直线1ykx与椭圆交于,AB两点。（1）求CACB的最大值；（2）若直线1ykx与x轴、y轴分别交于,MN，且以MN为直径的圆与线段MN的垂直平分线的交点

在椭圆内部（包括在边界上），求实数k的取值范围。解（1）由已知求得C点的坐标为(2,0)，椭圆的离心率为22e设1122(,),(,)AxyBxy，联立方程组221841xyykx得到关于x的一源二次方程22(21

)460,kxkx则122421kxxk。1221(8)22(2)122CACBxxkk……………………2分当0k时，1224021kxxk；当0k时，11461146CACB；当0k时

，由椭圆的定义得1221(8)22(2)421122CACBxxkk，所以当22k时，CACB的最大值为421。…………………5分（2）由已知得1(,0),N(0,1)Mk，线段MN的中点坐标为11(,)22

k，线段MN的垂直平分线方程为111()22yxkk①以MN为直径的圆方程为2222111()()224kxykk②联立①②得到11221122xkyk，11221122xkyk

……………………7分所以22111111()()1822422kk或者22111111()()1822422kk，解得2611263223k或者2611263223k

，即346146333k，解得46329k或者46329k。…………………………………………10分13.设n为给定的正整数，12,,,naaa为满足对每个mn都有11mkk

ak的一列实数，求1nkka的最大值。解11111111121nnnmnnmkkkkkkkmkkmkaaaaannnkkkk………………8分当11,2naan取到最大值21n。……

………………………………………10分另解122122211111()()()()221222nkknnnaaaaaaaanaaaaannn221111()221nnaaaanaaann121nnn。（下略）…………

…………………………………………8分14.设数集12{,,,}mPaaa，它的平均数12mpaaaCm。现将{1,2,,}Sn分成两个非空且不相交子集,AB,求ABCC的最大值，并讨论取到最大值时不同的有序数对(,)AB的数目。解不妨设ABCC。定义minAk，若存在,tkt

B，则将t与k进行调换，即可以令t在A中，k在B中,从而AC变大，BC减小。重复以上操作，即知存在正整数mP使得{,1,,m1},B{m,m1,,1}Ann所以得到11,22ABnmmCC，…………………………………………5分所以2ABnCC，

与m无关。所以，ABCC的最大值为2n。………………………………………………10分此时m的取值为1,2,,1n，共1n种情况。同理考虑ABCC的情况，也有1n种情况。所以，取到最大值的有序数对为22n。……………

…………………………15分15.设,,0,1xyzxyz，证明4224224225552221()()()xyzyzxzyxxyzyzxzyx。证法1由柯西不等式14222222254222()()()xyzxyzxxyzx

yzxyzxyz，而155111222222224224222()22222xyzxxyzxyzxxxxyzxyzxyz…………5分所以只需要证明2222()(

)21122()2()xyzxyzxyxzxyxyzxyzxyz由平方平均值不等式122xyxy所以只需要证明2()()02()xyxzxyz（※）…………………………………………10分不妨设,x

yz则有2()()02()xyxzxyz，2222()()()()()()02()2()2()2()yxyzzxzyxzxyyzyxzzxyzxyyxz，所以（※）成立。

从而原不等式成立。………………………………………………15分证法2用222,,xyz代替,,xyz，则条件就等价于1xyz，要证明的不等式就变为8448448445225225221()()()xyzy

zxzyxxyzyzxzyx，将其通分变为844552222555222222()()()1()()()xyzyzzxyxxxyzxyyzzx10552222552228771111555422222(()())(()2)()xyzxyzx

yzxyzxyzyzxyzxyzxyzx52522777111155225433637()()()()(yz)()(yz)()(yz)2()xyzxxxyzxyzxyzxyzxyzxxyzxxyzxxyzx

57227711115433637()()()(yz)()(yz)()xyzxxyzxyzyzxyzxxyzxxyzx………………………………5分由舒尔不等式3333743322()()0(

yz)0xxyxzxxxyzyz所以，只需要证明29774551111622637()(yz)()()y()(yz)()xyzxxyzxyxyxyzxxyzxxyzx

…………（※）………………10分由均值不等式555555433225xyyzzxxyz类似的三式相加5534557()()()xyxyzxxyzxyxyzx（1）又由均值不等式11111111111188653311xyyzzxxyz类似的三个不等式相加111162

2()xyxyzxy（2）由均值不等式97797797743977977977437()3()()11()7()()3()11()xyzyzxzxyxyzxzxyzyzxzxyxyzxy类似的六式相加97

743297763()()()()()()()xyzxyzxyzxyzxyzxyzxyz（3）（1）（2）（3）相加即得（※）………………………………………………………………15分