【文档说明】河南省开封市铁路中学2020-2021学年高二下学期期中考试数学试卷含答案.doc，共(11)页，1.135 MB，由小赞的店铺上传

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1开封市铁路中学2020－2021期中考试试卷高二年级数学试卷（时间：120分钟满分：150分）一、单选题1．已知集合2{|40}Axxx=−，2{|40}Bxx=−，则AB=（）A．[2,0]−B．(,0)−

C．[2,0)−D．[4,4]−2．根据如下样本数据，得到回归直线方程ybxa=+$$$，则（）x345678y-3.0-2.00.5-0.52.54.0A．0a，0bB．0a，0bC．0a，0bD．0a，0b3．设复数312izi−=+，则复数z的虚部是（）A．75iB．7

5C．75i−D．75−4．等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝2，S4＝10，则S8＝（）A．44B．24C．20D．125．函数()sinlnfxxx=的部分图像象是A．B．C．D．6．已知双曲线的两条渐近线夹角为，且4tan3=，则其离心率为（

）A．52B．2或5C．5D．52或57．已知角α终边上一点M的坐标为(1,3)，则sin2=（）2A．12−B．12C．32−D．328．已知F为抛物线2:4Cyx=的焦点，过点F的直线l交抛物线C于A，B两点，若6AB=，则线

段AB的中点M到抛物线C的准线的距离为（）A．3B．4C．5D．69．在ABC中，23BDBC=，E为AD的中点，则CE=（）A．1263ABAC−B．2136ABAC−C．1536ABAC−D．5163AB

AC−10．函数()231,12,1xxfxxaxx−=−，有两个不同的零点，则实数a的取值范围是A．2aB．2aC．2aD．2a11．设0.12a=，1ln2b=，3log2c=，则a，b，c的大小关系是A．abcB．acbC．bac

D．bca12．函数()()sin0,0,2fxAxA=+部分图象如图所示，则3f=（）A．32B．12C．3−D．3二、填空题13．曲线31233yx=+在点()1,1处的切线方程为________．14．已知平面向量()()1320

ab=−=−，，，，则2ab+=_____．15．已知实数x，y满足约束条件22,2,,440xyxyxy+−−+则2zxy=−的最小值为______.316．在四棱锥PABCD−中，PDAC⊥，AB⊥平面P

AD，底面ABCD为正方形，且3CDPD+=，若四棱锥PABCD−的每个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积的最小值为_____.三、解答题17．在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且cos23cos10CC+−=.（1）求角C的大小；（2）若3ba

=，ABC的面积为3sinsinAB，求sinA及c的值.18．某高校艺术学院2019级表演专业有27人，播音主持专业9人，影视编导专业18人.某电视台综艺节目招募观众志愿者，现采用分层抽样的方法从上述三个专业的人

员中选取6人作为志愿者.（1）分别写出各专业选出的志愿者人数；（2）将6名志愿者平均分成三组，且每组的两名同学选自不同的专业，通过适当的方式列出所有可能的结果，并求表演专业的志愿者A与播音主持专业的志愿者分在一组的概

率.19．已知等比数列na的前n项和为nS，其中39a=，4139Sa=+.（1）求数列na的通项公式；（2）若na为递增数列，求数列323221loglognnaa+的前n项和.20．在四棱锥PABCD−中，四边形ABCD为平行四边形，APB△为等腰直角三角形，PAPB

=，2AD=，2,,5ABPDABPC=⊥=．（1）求证：BDAD⊥；（2）（理科）求直线BD与面PAD所成角的正弦值．4（文科）求四棱锥PABCD−的体积.21．已知椭圆()2222:10xyCabab+

=过点61,3A，()0,1B−.（1）求C的方程；（2）经过()2,1D，且斜率为k的直线l交椭圆C于P､Q两点(均异于点B)，证明：直线BP与BQ的斜率之和为定值.22．已知函数()ln1fxaxx=++.（1）若1a=−，求函数()fx的单调区间；（2）对任意的

0x，不等式()xfxe恒成立，求实数a的取值范围.参考答案1．C2．C3．D54．A5．A6．D7．D8．A9．A10．C11．B12．D13．0xy−=14．3215．2−.16．617．【详

解】（1）因为cos23cos10CC+−=，可得：22cos3cos20CC+−=，∴1cos2C=，或cos2C=−（舍），∵0C，∴3C=.（2）由余弦定理2222222cos327cababCaaa=+−=+=，得7ca=所以sin7sinCA=，故121sinsin147A

C==，又1sin3sinsin2ABCSabCAB==△，3C=所以24sinsinsinabcABC==，6所以3c=.18．【详解】（1）由题可知选取比例为61279189=++,故表演专业12739=人,播音主持

专业1919=人,影视编导专业11829=人.（2）设表演专业的3位志愿者为A,B,C,播音主持专业的志愿者为D；影视编导专业的志愿者为E,F.则符合条件的所有可能结果有以下6种：①,AD,,BE,

,CF；②,AD,,CE,,BF；③,BD,,AE,,CF；④,BD,,CE,,AF；⑤,CD,,AE,,BF；⑥,CD,,BE,,AF.其中A与D分在一组的情况恰有2种,设所求事件为M

,则()2163PM==.19．【详解】（1）设公比为q的等比数列na的前n项和为nS，其中39a=，4139Sa=+.则：2141939aqSa==+，解得113aq==或18113aq==，故13−=nna或11813

nna−=.（2）na为递增数列，故()()3232211loglog2121nnaann+=−+11122121nn=−−+所以111111123352121nTnn=−+−++−−+11122121nnn=−=++.20

．【详解】7解：（1）设AB的中点为E，连接PE与DE，因为PAB△是等腰三角形，PAPB=，所以PEAB⊥，又因为,ABPDPDPEP⊥=，所以AB⊥平面PED，所以ABDE⊥，2,2BDADAB===，所以ABD△是等腰直角三角形，则ADBD⊥．（2）由（1）可知AB⊥平面PED，故

ABPD⊥，平面PED⊥平面ABD，又因为5PC=，//,CDABCDPD⊥，221PDPCCD=−=，易知1PEDE==，所以60PDE=．8如图，以D为原点，,DEDC所在直线为,xy轴，以,DEDC的方向分别为x轴，

y轴的正方向，过D在PDE△所在平面内作DE的垂线为z轴建立空间直角坐标系．则13(0,0,0),,0,,(1,1,0),(1,1,0)22DPAB−．得13(1,1,0),,0,,(1,1,0)22DBDPD

A===−，设平面PAD的法向量(,,)nxyz=，则130220xzxy+=−=，取(3,3,1)n=−，所以42cos,7|DBnDBnDBn==∣，因此直线BD与平面PAD所成角的正弦值为427．21．【详解】（1）因为椭圆C过点()0

,1B−，得1b=，9过点61,3A，得21213a+=，23a=，所以椭圆C的标准方程为2213xy+=.（2）由题设知直线l的方程为()()211ykxk=−+，与椭圆方程联立()322113ykxxy=

−++=，整理得()()22223161212120kxkkxkk++−+−=，由0，得04k，且1k，设()11,Pxy，()22,Qxy，120xx，则()12262131kkxxk−+=+，()12212131kkxxk−=+，从

而直线BP与BQ的斜率之和12121212112222BPBQyykxkkxkkkxxxx++−+−++=+=+()()12121211221221xxkkkkxxxx+=+−+=+−()()()()6212212121121kkkkkkkk−=+−=+

−=−所以直线BP与BQ的斜率之和为定值1.22．【详解】（1）当1a=−时，()ln1fxxx=−+，定义域为()0,+，()111xfxxx−=−=.令()0fx，得01x；令()0fx，得1x.因此，函数()yfx=的单调递增区间为()0,1，单调递减区

间为()1,+；10（2）不等式ln1xaxxe++恒成立，等价于ln1xexax−−在()0,+恒成立，令()ln1xexgxx−−=，0x，则()()21lnxxexgxx−+=，令()()1lnxhxxex=−+，0x

，()10xhxxex=+.所以()yhx=在()0,+单调递增，而()10h=，所以()0,1x时，()0hx，即()0gx，()ygx=单调递减；()1,x+时，()0hx，即()0gx，()ygx=单调递增.所以在1x=处()ygx=取得最小值()11ge=−

，所以1ae−≤，即实数a的取值范围是1aae−.11