【文档说明】专题20—平面向量（2）—最值问题-近8年高考真题分类汇编-2023届高三数学一轮复习 含解析【高考】.doc，共(26)页，4.120 MB，由小赞的店铺上传

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专题20—平面向量（2）—最值问题考试说明：1、了解平面向量数量积的应用；2、了解平面向量的综合问题3、会用向量方法解决某些简单的平面几何问题。高频考点：1、平面向量加法、减法的几何意义，及其在最值问题中的应用；2、坐标法在最值问题

中的应用3、平面向量数量积与三角函数、解三角形的综合应用；高考中，平面向量这部分经常考查最值问题，难度较大，学生会感觉很难把握，现给大家把高考中平面向量中的最值问题整理一下，希望对大家有所帮助。一、典例分析1．（2018•天津）如图，在平面四

边形ABCD中，ABBC⊥，ADCD⊥，120BAD=，1ABAD==．若点E为边CD上的动点，则AEBE的最小值为()A．2116B．32C．2516D．32．（2018•浙江）已知a，b，e是平

面向量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为3，向量b满足2430beb−+=，则||ab−的最小值是()A．31−B．31+C．2D．23−3．（2017•新课标Ⅱ）已知ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则()PAPBPC+的

最小值是()A．2−B．32−C．43−D．1−4．（2017•新课标Ⅲ）在矩形ABCD中，1AB=，2AD=，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若APABAD=+，则+的最大值为()A．3B．22C．5D．25．（2017•上海）如图所示，正八边形123456

78AAAAAAAA的边长为2，若P为该正八边形边上的动点，则131AAAP的取值范围为()A．[0,862]+B．[22,862]−+C．[862,22]−−D．[862,862]−−+6．（2016•四川）在平面内，定点A，B，

C，D满足||||||DADBDC==，2DADBDBDCDCDA===−，动点P，M满足||1AP=，PMMC=，则2||BM的最大值是()A．434B．494C．37634+D．372334+7．（2016•四川）已知正三角形A

BC的边长为23，平面ABC内的动点P，M满足||1AP=，PMMC=，则2||BM的最大值是()A．434B．494C．37634+D．372334+8．（2021•天津）在边长为1的等边三角形ABC中，D

为线段BC上的动点，DEAB⊥且交AB于点E，//DFAB且交AC于点F，则|2|BEDF+的值为1；()DEDFDA+的最小值为．9．（2021•浙江）已知平面向量a，b，(0)cc满足||1a=，

||2b=，0ab=，()0abc−=．记平面向量d在a，b方向上的投影分别为x，y，da−在c方向上的投影为z，则222xyz++的最小值是25．10．（2020•天津）如图，在四边形ABCD中，60B=，3AB=，6BC=，且ADBC

=，32ADAB=−，则实数的值为16，若M，N是线段BC上的动点，且||1MN=，则DMDN的最小值为．二、真题集训1．（2015•福建）已知1,||,||ABACABACtt⊥==，若P点是ABC所在平面内一点，且4||||ABACA

PABAC=+，则PBPC的最大值等于()A．13B．15C．19D．212．（2015•湖南）已知A，B，C在圆221xy+=上运动，且ABBC⊥，若点P的坐标为(2,0)，则||PAPBPC++的最大值为()A．6B．7C．8D．93．（2014•浙江）设

为两个非零向量a，b的夹角，已知对任意实数t，||bta+的最小值为1．()A．若确定，则||a唯一确定B．若确定，则||b唯一确定C．若||a确定，则唯一确定D．若||b确定，则唯一确定4．（2014•湖南）

在平面直角坐标系中，O为原点，(1,0)A−，(0,3)B，(3,0)C，动点D满足||1CD=，则||OAOBOD++的取值范围是()A．[4，6]B．[191−，191]+C．[23，27]D．[71−，71]+5．（2014•浙江）记{maxx，,},xxyyy

xy=…，{minx，,},yxyyxxy=…，设a，b为平面向量，则()A．{||minab+，||}{||abmina−„，||}bB．{||minab+，||}{||abmina−…，||}bC．2{||maxab+，22

2||}||||abab−+„D．2{||maxab+，222||}||||abab−+…6．（2020•上海）已知1a，2a，1b，2b，，(*)kbkN是平面内两两互不相等的向量，满足12||1aa−=，且||{1ijab−，2}（其中1i=，2，1

j=，2，，)k，则k的最大值是．7．（2020•浙江）已知平面单位向量1e，2e满足12|2|2ee−„．设12aee=+，123bee=+，向量a，b的夹角为，则2cos的最小值是．8．（2020•上海）已知

1A、2A、3A、4A、5A五个点，满足1120(1nnnnAAAAn+++==，2，3)，112||||1(1nnnnAAAAnn+++=+=，2，3)，则15||AA的最小值为．9．（2019•浙江）已知正方形ABCD的边长为1．当每个(

1ii=，2，3，4，5，6)取遍1时，123456||ABBCCDDAACBD+++++的最小值是，最大值是．10．（2018•上海）在平面直角坐标系中，已知点(1,0)A−、(2,0)B，E、F是y轴上的两个动点，且||2EF

=，则AEBF的最小值为．11．（2017•江苏）在平面直角坐标系xOy中，(12,0)A−，(0,6)B，点P在圆22:50Oxy+=上．若20PAPB„，则点P的横坐标的取值范围是．12．（2016•上海）如图，已知点(0,

0)O，(1,0)A，(0,1)B−，P是曲线21yx=−上一个动点，则OPBA的取值范围是．13．（2016•浙江）已知向量a，b，||1a=，||2b=，若对任意单位向量e，均有||||6aebe+„，则ab的最大值是12．14．（2016•上海）在平面直角坐

标系中，已知(1,0)A，(0,1)B−，P是曲线21yx=−上一个动点，则BPBA的取值范围是．15．（2015•上海）已知平面向量a、b、c满足ab⊥，且{||a，||b，||}{1c=，2，3}，则

||abc++的最大值是．典例分析答案1．（2018•天津）如图，在平面四边形ABCD中，ABBC⊥，ADCD⊥，120BAD=，1ABAD==．若点E为边CD上的动点，则AEBE的最小值为()A．2116B．32C．2516D．3分析：如图所示，以D为原点，以D

A所在的直线为x轴，以DC所在的直线为y轴，求出A，B，C的坐标，根据向量的数量积和二次函数的性质即可求出．解答：解：如图所示，以D为原点，以DA所在的直线为x轴，以DC所在的直线为y轴，过点B做BNx⊥轴，过点B做BMy⊥轴，ABBC⊥，ADCD⊥，120BAD=，1ABAD==，1

cos602ANAB==，3sin602BNAB==，13122DN=+=，32BM=，3tan302CMMB==，3DCDMMC=+=，(1,0)A，3(2B，3)2，(0,3)C，设(0,)Em，(1,)AEm=−，3(2BE=−，3)2m−，03m剟，

22233333321()()224216416AEBEmmmm=+−=−+−=−+，当34m=时，取得最小值为2116．故选：A．点评：本题考查了向量在几何中的应用，考查了运算能力和数形结合的能力，属于中档题．2．（2018•浙江）已知a，b，e是平面向量，e是单位向量．若非零

向量a与e的夹角为3，向量b满足2430beb−+=，则||ab−的最小值是()A．31−B．31+C．2D．23−分析：把等式2430beb−+=变形，可得得()(3)0bebe−−=，即()(3)bebe−⊥−，设(1,0)e=，则b

的终点在以(2,0)为圆心，以1为半径的圆周上，再由已知得到a的终点在不含端点O的两条射线3(0)yxx=上，画出图形，数形结合得答案．解答：解：由2430beb−+=，得()(3)0bebe−

−=，()(3)bebe−⊥−，如图，不妨设(1,0)e=，则b的终点在以(2,0)为圆心，以1为半径的圆周上，又非零向量a与e的夹角为3，则a的终点在不含端点O的两条射线3(0)yxx=上．

不妨以3yx=为例，则||ab−的最小值是(2,0)到直线30xy−=的距离减1．即|23|13131−=−+．故选：A．点评：本题考查平面向量的数量积运算，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，属难题．3．（2017•新课标Ⅱ）已知ABC是边长为2的等边三角形，P为平面AB

C内一点，则()PAPBPC+的最小值是()A．2−B．32−C．43−D．1−分析：根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的公式进行计算即可．解答：解：建立如图所示的坐标系，以BC中点为坐标原点，则(0,3)A，(1,0)B−，(

1,0)C，设(,)Pxy，则(,3)PAxy=−−，(1,)PBxy=−−−，(1,)PCxy=−−，则222233()22322[()]24PAPBPCxyyxy+=−+=+−−当0x=，32y=时，取得最小值332()

42−=−，方法2：取BC的中点M，AM的中点N，则，222113()22()2[0(3)]442PAPBPCPAPMPNAM+==−−=−…，当且仅当P与N重合时，取得等号．故选：B．点评：本题主要考查平面向量数量积的应用，根据条件建立坐标系，利用坐标法是

解决本题的关键．4．（2017•新课标Ⅲ）在矩形ABCD中，1AB=，2AD=，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若APABAD=+，则+的最大值为()A．3B．22C．5D．2分析：方法一：如图：以A为原点，以AB

，AD所在的直线为x，y轴建立如图所示的坐标系，先求出圆的标准方程，再设点P的坐标为25(cos15+，25sin2)5+，根据APABAD=+，求出，，根据三角函数的性质即可求出最值．方法二：

根据向量分解的等系数和线直接可得．解答：解：如图：以A为原点，以AB，AD所在的直线为x，y轴建立如图所示的坐标系，则(0,0)A，(1,0)B，(0,2)D，(1,2)C，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上，设圆的半径为r，2BC=，1CD=，22215BD=

+=1122BCCDBDr=，25r=，圆的方程为224(1)(2)5xy−+−=，设点P的坐标为25(cos15+，25sin2)5+，APABAD=+，25(cos15+，25sin2)(15+=，0)(0+，2)(

=，2)，25cos15+=，25sin225+=，255cossin2sin()255+=++=++，其中tan2=，1sin()1−+剟，13+剟，故+的最大值为3，方法二：根据向量分解的等系数和线，可得+的最大

值为3，如图所述故选：A．点评：本题考查了向量的坐标运算以及圆的方程和三角函数的性质，关键是设点P的坐标，考查了学生的运算能力和转化能力，属于中档题．5．（2017•上海）如图所示，正八边形12345678AAAAAAAA的边长为2，若P为该正八

边形边上的动点，则131AAAP的取值范围为()A．[0,862]+B．[22,862]−+C．[862,22]−−D．[862,862]−−+分析：由题意求出以1A为起点，以其它顶点为向量的模，再由正弦函数的单调性及值域可得当P

与8A重合时，131AAAP取最小值，求出最小值，结合选项得答案．解答：解：由题意，正八边形12345678AAAAAAAA的每一个内角为135，且1218||||2AAAA==，1317||||222AAAA==+，1416||||222AAAA==+，15||422AA=+．再由正弦

函数的单调性及值域可得，当P与8A重合时，131AAAP最小为222222cos112.52222()222−+=+−=−．结合选项可得131AAAP的取值范围为[22,862]−+．故选：

B．点评：本题考查平面向量的数量积运算，考查数形结合的解题思想方法，属中档题．6．（2016•四川）在平面内，定点A，B，C，D满足||||||DADBDC==，2DADBDBDCDCDA===−，动点P，M满足||1AP=，PMMC=，则2||BM

的最大值是()A．434B．494C．37634+D．372334+分析：由||||||DADBDC==，可得D为ABC的外心，又DADBDBDCDCDA==，可得可得D为ABC的垂心，则D为ABC的中心，即ABC为正三角形．运用向量的数

量积定义可得ABC的边长，以A为坐标原点，AD所在直线为x轴建立直角坐标系xOy，求得B，C的坐标，再设(cos,sin)P，(02)„，由中点坐标公式可得M的坐标，运用两点的距离公式可得BM的长，运用三角函数的恒等变换公式，结合正弦函数的值域，即可得到最大值．解答：

解：由||||||DADBDC==，可得D为ABC的外心，又DADBDBDCDCDA==，可得()0DBDADC−=，()0DCDBDA−=，即0DBACDCAB==，即有DBAC⊥，DCAB⊥，可得D为ABC的垂心，则D为

ABC的中心，即ABC为正三角形．由2DADB=−，即有||||cos1202DADA=−，解得||2DA=，ABC的边长为4cos3023=，以A为坐标原点，AD所在直线为x轴建立直角坐标系xOy，可得(3,3)B−，(3

,3)C，(2,0)D，由||1AP=，可设(cos,sin)P，(02)„，由PMMC=，可得M为PC的中点，即有3cos(2M+，3sin)2+，则2223cos3sin||(3)(3)22BM++=−++22(3cos)(33si

n)376cos63sin444−+−+=+=3712sin()64+−=，当sin()16−=，即23=时，取得最大值，且为494．另解：如图，根据已知，有ADBBDCCDA==

，因此有DAB、DBC、DCA全等，进而得到ABC为正三角形，计算可得2DADBDC===，根据题意P在以A为圆心、1为半径的圆上运动，因此CP的中点M在以A为圆心、12为半径的圆上运动，其中

N点为AC的中点，因此2||BM的最大值为2213149()()2224BNDB+=+=．故选：B．点评：本题考查向量的定义和性质，以及模的最值的求法，注意运用坐标法，转化为三角函数的最值的求法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．7．（

2016•四川）已知正三角形ABC的边长为23，平面ABC内的动点P，M满足||1AP=，PMMC=，则2||BM的最大值是()A．434B．494C．37634+D．372334+分析：如图所示，建立直角坐标系．(0,0)B，(23,0)C．(3,3)A．点P的轨迹方

程为：22(3)(3)1xy−+−=，令3cosx=+，3siny=+，[0，2)．又PMMC=，可得3131(3cos,sin)2222M++，代入237||3sin()43BM=++，即可得出．解答：解：如图所示，建立直角坐标系．(0,0)

B，(23,0)C．(3,3)A．M满足||1AP=，点P的轨迹方程为：22(3)(3)1xy−+−=，令3cosx=+，3siny=+，[0，2)．又PMMC=，则3131(3cos,sin)2222M++，222331313749

||(cos)(sin)3sin()2222434BM=+++=++„．2||BM的最大值是494．也可以以点A为坐标原点建立坐标系．解法二：取AC中点N，12MN=，从而M轨迹为以N为圆心，12为半径的圆，B，N，M三点共线时，BM为最大值．所以BM最大值为

17322+=．故选：B．点评：本题考查了数量积运算性质、圆的参数方程、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．（2021•天津）在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，DEAB⊥且交AB于点E，//DFAB且交AC于点F，则|2|BEDF+的值为；()DEDF

DA+的最小值为．分析：设BEx=，表示出2BDx=，3DEx=，12DCx=−，利用数量积的定义与性质即可求出．解答：解：如图，设BEx=，ABC是边长为1等边三角形，DEAB⊥，30BDE=，2BDx=，3DEx=，12DCx

=−，//DFAB，DFC是边长为12x−等边三角形，DEDF⊥，22222(2)4444(12)cos0(12)1BEDFBEBEDFDFxxxx+=++=+−+−=，则|2|1BEDF+=，

2()()()DEDFDADEDFDEEADEDFEA+=++=+22(3)(12)(1)531xxxxx=+−−=−+23115()1020x=−+，1(0,)2x，()DEDFDA+的最小值为1120．故答案为：1，

1120．点评：本题考查向量的数量积的定义，向量的运算法则，二次函数求最值，属于中档题．9．（2021•浙江）已知平面向量a，b，(0)cc满足||1a=，||2b=，0ab=，()0abc−=．记平面向量

d在a，b方向上的投影分别为x，y，da−在c方向上的投影为z，则222xyz++的最小值是．分析：首先由所给的关系式得到x，y，z之间的关系，然后求解其最小值即可．解答：解：令(1,0),(0,2),(,)abcmn===，因为(?)0abc

=，故(1，?2)(m，)0n=，?20mn=，令(2,)cnn=，平面向量d在a，b方向上的投影分别为x，y，设(,)dxy=，则：?(?1,),(?)2(?1),||5||daxydacnxn

ycn==+=，从而：(?)2?2||5||dacxnynnzcn+==，故252xyz+=，方法一：由柯西不等式可得22222225221(5)xyzxyz+−=++−++„，化简得22242105xyz++=…，当

且仅当215xyz−==，即215,,555xyz===−时取等号，故222xyz++的最小值为25．方法二：则222xyz++表示空间中坐标原点到平面25?20xyz+=上的点的距离的平方，由平面直角坐标系中点到直线距离公式推广得到的空间直角坐标系中点到平面距离公式可得：22222010

5?0?242()()105415?minxyz+++===++．故答案为：25．点评：本题主要考查平面向量数量积的定义与运算法则，平面向量的坐标运算，平面向量的投影，类比推理的应用等知识，属于难题．10．（2020•天津）如图，在四边形ABCD中，60B=，3AB=，

6BC=，且ADBC=，32ADAB=−，则实数的值为，若M，N是线段BC上的动点，且||1MN=，则DMDN的最小值为．分析：以B为原点，以BC为x轴建立如图所示的直角坐标系，根据向量的平行和向量的数量积即可求出点D的坐标，即可求出的值，再设出点M，N的坐标，根据

向量的数量积可得关于x的二次函数，根据二次函数的性质即可求出最小值．解答：解：以B为原点，以BC为x轴建立如图所示的直角坐标系，60B=，3AB=，3(2A，33)2，6BC=，(6,0)C，

ADBC=，//ADBC，设0(Dx，33)2，03(2ADx=−，0)，3(2AB=−，33)2−，0333()0222ADABx=−−+=−，解得052x=，5(2D，33)2，(1,0)AD=，(6,0)BC=，16ADBC=，16=，||1MN=，设(,0)Mx，

则(1,0)Nx+，其中05x剟，5(2DMx=−，33)2−，3(2DNx=−，33)2−，2253272113()()4(2)22422DMDNxxxxx=−−+=−+=−+，当2x=时取得最小值，最小值为132，故答案为：16，132．点评：本题考查了向量在几何

中的应用，考查了向量的共线和向量的数量积，以及二次函数的性质，属于中档题．真题集训答案1．解：由题意建立如图所示的坐标系，可得(0,0)A，1(Bt，0)，(0,)Ct，4||||ABACAPABAC=+，(1,4)P，1(1PBt=−，4)−，(1,4)PCt=−−，1

1(1)4(4)17(4)PBPCtttt=−−−−=−+，由基本不等式可得114244tttt+=…，117(4)17413tt−+−=„，当且仅当14tt=即12t=时取等号，PBPC的最大值为13，故选：A．2．解：由题意，AC为直径，所以|||2|PAPB

PCPOPB++=+所以B为(1,0)−时，|2|7POPB+„．所以||PAPBPC++的最大值为7．另解：设(cos,sin)B，|2||2(2POPB+=−，0)(cos2+−，sin)|

|(cos6=−，22sin)|(cos6)3712cossin=−+=−，当cos1=−时，B为(1,0)−，取得最大值7．故选：B．3．解：由题意可得2222()2btaatabtb+=++令222()2gtatabtb=++

可得△222222224()44cos40abababab=−=−„由二次函数的性质可知()0gt…恒成立当22||cos2||abbtaa=−=−时，()gt取最小值1．即22222||(cos)||||sin1|

|bgbcosbba−=−+==故当唯一确定时，||b唯一确定，故选：B．4．解：动点D满足||1CD=，(3,0)C，可设(3cosD+，sin)([0，2))．又(1,0)A−，(0,3)B，(2c

os,3sin)OAOBOD++=++．22||(2cos)(3sin)84cos23sin827sin()OAOBOD++=+++=++=++，（其中2sin7=，3cos)7=1sin()1−+剟，22(71)827827sin()827(71)−=−+

++=+剟，||OAOBOD++的取值范围是[71,71]−+．或||||OAOBODOAOBOCCD++=+++，(2,3)OAOBOC++=，将其起点平移到D点，由其与CD同向反向时分别取最大值、最小值，即||OAOBOD++的取值范围是[71,71]−+．故选：D．5．解：对于选项A，取

ab⊥，则由图形可知，根据勾股定理，结论不成立；对于选项B，取a，b是非零的相等向量，则不等式左边{||minab+，||}0ab−=，显然，不等式不成立；对于选项C，取a，b是非零的相等向量，则不等式左边2{||maxab+，222||}||4||ababa−=+=，而不等式右边222||||2

||aba=+=，故C不成立，D选项正确．故选：D．6．解：如图，设11OAa=，22OAa=，由12||1aa−=，且||{1ijab−，2}，分别以1A，2A为圆心，以1和2为半径画圆，其中任意两圆的公共点共有6个．故满足条件的k

的最大值为6．故答案为：6．7．解：设1e、2e的夹角为，由1e，2e为单位向量，满足12|2|2ee−„，所以2211224444cos12eeee−+=−+„，解得3cos4…；又12aee=+，123bee=+，且a，b的夹

角为，所以2211223444cosabeeee=++=+，2221122222cosaeeee=++=+，222112296106cosbeeee=++=+；则222228()(44cos)44cos43cos(22cos)(106cos)53cos353cosa

bab++====−++++，所以3cos4=时，2cos取得最小值为842833329534−=+．故答案为：2829．8．解：设12||AAx=，则232||AAx=，344538||,||23xAAAAx==，设1(0,0)A，如图，求15||AA的最

小值，则：2(,0)Ax，3422(,),(,)2xAxAxx−，52(,)23xAx−−，2222152242||()()23493xxAAxx=−+−=+…，当且仅当22449xx=，即233x=时取等号，1

5||AA的最小值为63．故答案为：63．9．解：正方形ABCD的边长为1，可得ABADAC+=，BDADAB=−，0ABAD=，123456||ABBCCDDAACBD+++++12345566

||ABADABADABADADAB=+−−+++−13562456|()()|ABAD=−+−+−++2213562456()()=−+−+−++，由于(1ii=，2，3，4，5，6)

取遍1，可得13560−+−=，24560−++=，可取561==，131==，21=−，41=，可得所求最小值为0；由1356−+−，2456−++的最大值为4，可取21=，41=−，561==，11=，31=−，可得所求最大值为25

．故答案为：0，25．10．解：根据题意，设(0,)Ea，(0,)Fb；||||2EFab=−=；2ab=+，或2ba=+；且(1,),(2,)AEaBFb==−；2AEBFab=−+；当2ab=+时，22(2)22AEBFbbbb=−++=

+−；222bb+−的最小值为8434−−=−；AEBF的最小值为3−，同理求出2ba=+时，AEBF的最小值为3−．故答案为：3−．11．解：根据题意，设0(Px，0)y，则有220050xy+=，0

(12PAPBx=−−，00)(yx−−，22000000006)(12)(6)12620yxxyyxyxy−=+−−=+++„，化为：00126300xy−+„，即00250xy−+„，表示直线250xy−+=以及直线上方的

区域，联立22000050250xyxy+=−+=，解可得05x=−或01x=，结合图形分析可得：点P的横坐标0x的取值范围是[52−，1]，故答案为：[52−，1]．12．解：设(,)OPxy=，则2(,1)OPxx=−，由(1,0)A，(0,1

)B−，得：(1,1)BA=，21OPBAxx=+−，令cosx=，[0，]，则sincos2sin()4OPBA=+=+，[0，]，故OPBA的范围是[1−，2]，故答案为：[1−，2]．13．解：由绝对值不等式得6

|||||||()|aebeaebeabe++=+厖，于是对任意的单位向量e，均有|()|6abe+„，222|()|||||252abababab+=++=+，|()|52abab+=+，因此|()|abe+的最大值526

ab+„，则12ab„，下面证明：ab可以取得12，（1）若||||||aebeaebe+=+，则显然满足条件．（2）若||||||aebeaebe+=−，此时222||||||2514ababab−=+−=−=，此时||2ab−=于是||||||2aebeaebe+=−„，符合题意，综上ab

的最大值是12，法2：由于任意单位向量e，可设||abeab+=+，则()()()()()()|||||||||||||||||||||||||aabbabaabbabababaebeabababababab+++++++=++==++++++…，||||6aebe+„，||6ab

+„，即2()6ab+„，即22||||26abab++„，||1a=，||2b=，12ab„，即ab的最大值是12．法三：设OAa=，OBb=，OCe=，则ODab=+，BAab=−，1111||||||||||||aebeOAABOBOD+=+=„，由题设当且仅

当e与OD同向时，等号成立，此时2()ab+取得最大值6，由于2222||||)2(||||)10ababab++−=+=，于是2()ab−取得最小值4，则22||||142ababab+−−=„，ab的最大值是12．故答案为：12．14．解：在平面直角坐标系中，

(1,0)A，(0,1)B−，P是曲线21yx=−上一个动点，设(cos,sin)P，[0，]，(1,1)BA=，(cos,sin1)BP=+，cossin12sin()14BPBA=++=++，BPBA的取值范围是[0，12]+．故答

案为：[0，12]+．15．解：分别以,ab所在的直线为x，y轴建立直角坐标系，①当{||a，||}{1b=，2}，||3c=，则(1,2)ab+=，设(,)cxy=，则229xy+=，(1,2)abcxy++=++，22||(

1)(2)abcxy++=+++的最大值，其几何意义是圆229xy+=上点(,)xy与定点(1,2)−−的距离的最大值为223(02)(01)35++++=+；②且{||a，||}{1b=，3}，||2c=，则(1,3)ab+=，224xy+=，(1,3)abc

xy++=++22||(1)(3)abcxy++=+++的最大值，其几何意义是圆224xy+=上点(,)xy与定点(1,3)−−的距离的最大值为222(01)(03)210++++=+，③{||a，||}{2b=，3}，||1c=，则(2,3)ab+=，

设(,)cxy=，则221xy+=(2,3)abcxy++=++22||(2)(3)abcxy++=+++的最大值，其几何意义是在圆221xy+=上取点(,)xy与定点(2,3)−−的距离的最大值为221(02)(03)113++++=+11335,21035+

+++，故||abc++的最大值为35+．故答案为：35+