【文档说明】广东省湛江市第二十一中学2019-2020学年高二下学期复学考试（线上测试）数学试题 【精准解析】.doc，共(24)页，1.910 MB，由小赞的店铺上传

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-1-高二数学第二学期开学考第Ⅰ卷（选择题）一．选择题（共12小题）1.已知集合1,0,1A=−，集合220BxZxx=−，那么AB等于（）A.1−B.0,1C.0,1,2D.{}1,0,1,2-【答案】D【解

析】【分析】解不等式求得集合B，根据并集定义可求得结果.【详解】020,1,2BxZx==且1,0,1A=−，1,0,1,2AB=−.故选：D.【点睛】本题考查集合运算中的并集运算，涉

及到一元二次不等式的求解，属于基础题.2.函数1ln1yxx=+−的定义域为（）A.()0,1B.(0,1C.()1,+D.)1,+【答案】A【解析】【分析】根据使函数有意义列出不等式组，解得即可;

【详解】解：函数1ln1yxx=+−的定义域应满足，100xx−，解得01x．即()0,1x故选：A．【点睛】本题考查函数定义域的求法，属于基础题．3.已知函数(0xyaa=且1a）是增函数，那么函数1()log1afxx=−的图象大致是（）-2-A.B.C

.D.【答案】B【解析】【分析】根据指数函数的性质，可得1a，再结合对数函数的图象与性质，以及复合函数的性质，即可求解.【详解】由题意，函数(0xyaa=且1a）是增函数，可得1a，又由函数1()log1af

xx=−满足101x−，解得1x，排除C、D项，又由函数1()loglog(1)1aafxxx==−−−，根据复合函数的单调性，可得函数()fx为单调递减函数.故选：B.【点睛】本题主要考查了指数函数的图象与性质，以及对数函数的图象与性质的应用，

其中解答中熟记指数函数、对数函数的图象与性质，结合复合函数的单调性进行求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于基础题.4.若直线0xya++=平分圆222410xyxy+−++=，则a的值为（）A.1B.－1C.

2D.－2【答案】A【解析】【分析】将圆的圆心代入直线方程即可.【详解】解：因为直线0xya++=平分圆222410xyxy+−++=，又圆的标准方程为22(1)(2)4xy−++=，-3-所以直线经过圆心(1,2)

−，120a−+=所以1a=，故选A．【点睛】本题考查直线和圆的位置问题，是基础题．5.如图，四边形ABCD中，2ABDC=，E为线段AC上的一点，若35DEABAD=−，则实数的值等于（）A.15B.15−C.25D.25−【答

案】A【解析】【分析】由,,AEC三点共线,设AEAC=,用AB,AD作基底表示出DE,利用平面向量的基本定理列方程组,解方程组求得的值.【详解】因为,,AEC三点共线,设AEAC=,DEDAAEACAD=+=−1()()2ADDCADADABAD

=+−=+−1(1)2ADAB=−+因为35DEABAD=−,所以12315=−=−,解得21,55==.故选:A-4-【点睛】本题考查平面向量的线性运算,考查几何图形中的向量运算,还考查了平面向量的基本定理,属于基础题.6.已知角为

第三象限角，5cossin3−=−，则cos2=()A.659B.659−C.659D.49−【答案】A【解析】【分析】对5cossin3−=−两边平方得出42sincos9=，再得出cossin133

+=−，由cos2(cossin)(cossin)=+−，即可得出答案.【详解】25(cossin)12sincos9−=−=42sincos9=2413(cossin)12sincos199+=+=+=因为角为第

三象限角，所以cossin0+即cossin133+=−13565cos2(cossin)(cossin)339=+−=−−=故选：A【点睛】本题主要考查了三角函数的化简和求值，属于中档题.7.设xR，则

“|2|1x−”是“2430xx−+”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件【答案】C【解析】【分析】-5-分别求解|2|1x−和2430xx−+，观察解集的关系即可得出结果.【详解】解：|2|1x−等价于212

1xx−−−或，即31xx或；2430xx−+的解为31xx或，解集相等，所以“|2|1x−”是“2430xx−+”的充分必要条件.故选：C.【点睛】本题考查充分必要条件的判断，涉及绝对值不等式和一元二次不等

式求解集，属于基础题.8.已知椭圆2212xy+=，作垂直于x轴的垂线交椭圆于A、B两点，作垂直于y轴的垂线交椭圆于C、D两点，且AB=CD，两垂线相交于点P，则点P的轨迹是（）A.椭圆B.双曲线C.圆D.抛物线【答案】B【解析】【分析】

首先根据ABCD=，设出P点坐标，再根据点在椭圆上，代入椭圆方程，求出P点轨迹方程即可.【详解】由题知ABCD=，故设(),Amt，(),Dtn，所以()Pmn,，又因为2212mt+=，2212tn+=，消去t可得：22212mn−=，可知点P轨迹为双曲线.故选：B.-

6-【点睛】本题主要考查了判断点的轨迹方程，属于基础题.9.ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c.已知3a=，cossinbAB=，则A=（）A.12B.6C.4D.3【答案】D【解析】【分析】由cossinbAB=有1sincosbBA=,再由正弦定理有sinsinabAB=

,即31sincosAA=,可解出答案.【详解】由cossinbAB=有1sincosbBA=,由正弦定理有sinsinabAB=,又3a=即31sincosAA=.所以tan3A=.因为A为ABC的内角，则3A=.故选：D【点睛】本题考查正弦定理的应用，属于

中档题.10.在空间直角坐标系中，以(),1,9Am，()10,1,6B−，()2,4,3C为顶点的三角形是等腰三角形，其中mZ，则m的值为（）A.﹣4B.4C.﹣6或4D.6或4-7-【答案】B【解析】【分析】根据两点间距离公式分别求出以AB为底

边，以AC为底边，以BC为底边的等腰三角形中两条腰的长，并求出满足两条腰相等的解即可.【详解】解：以(),1,9Am，()10,1,6B−，()2,4,3C为顶点的ABC，设ABC是以AB为底边的等腰三角形，∴ACBC=，有()()()222222(2)(14)(93)1021463m−+−+−=

−+−−+−，整理得()2532,mmZ=−，∴方程无解；设ABC是以AC为底边的等腰三角形，∴ABBC=，有()()()()()()2222221011961021463m−+++−=−+−−+−，整理得()28510,mmZ=−，方程无解；设ABC是

以BC为底边的等腰三角形，∴ABAC=，∴()()()()()()22222210119621493mm−+++−=−+−+−，∴()()2210322,mmmZ−=+−，解得m＝4.故选：B.【点睛】本题主要考查了两点间的距离公式，属于基础题

.11.一个样本容量为10的样本数据，它们组成一个公差为2的等差数列na，若1a，3a，7a成等比数列，则此样本的平均数和中位数分别是（）A.12，13B.13，13C.13，12D.12，14【答案】B-8-【解析】【分析】首先根据1a，3a，7

a成等比数列求出数列的首项，然后即可求出样本的平均数和中位数.【详解】解：依题意()()22317111462aaaaaa=+=+，解得14a=，故na是首项14a=，公差2d=的等差数列，所以此样本的平均数为10

1310S=，中位数为56132aa+=．故选：B．【点睛】本题主要考查了等比中项的性质，中位数，平均数，属于基础题.12.函数()()sinfxAx=+（其中0A，2）的图象如图所示，为了得到()singxAx=的图象，则只要将()fx的图象（

）A.向右平移6个单位长度B.向右平移3个单位长度C.向左平移6个单位长度D.向左平移3个单位长度【答案】B【解析】【分析】根据图像有2A=,724632T=−=,得到函数的最小正周期，根据周期公式可求出，然后求出()fx和()gx的解析式，再根据相位变换得到答案.【详解】根据

图像有2A=,724632T=−=,所以22||T==,则||=1.不妨取=1，-9-又2=03f有2sin=03+，得22,3kkZ+=+,又2.所以

=3，即()sin3fxx=+，()singxx=所以由()sin3fxx=+向右平移3个单位长度可得()singxx=的图像.故选：B【点睛】本题考查三角函数的图像性质，根据图像求解析式，三角函数的图像变换，属于中档题.第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（共

4小题）13.抛物线28yx=的焦点到双曲线221169xy−=渐近线的距离为_______．【答案】65【解析】【分析】求出抛物线28yx=的焦点坐标，求出双曲线221169xy−=的一条渐近线方程，利用点到直线距离公式求解．【详解】抛物线28yx=的焦点坐标为：()2,0F，双曲线22116

9xy−=的一条渐近线方程为：34yx=，即：340xy−=，则点()2,0F到直线340xy−=距离：2232406534d−==+．【点睛】本题主要考查了抛物线及双曲线的简单性质，考查了点到直线的距离公式，属于基础题．14.如图，在四边形ABCD中，//ADBC，30CAD

=，5AD=，AC33=，3BC=，则ABCD的值为_____．-10-【答案】-6【解析】【分析】首先分解AB与CD为共起点的向量AD和AC，再根据向量数量积的计算公式求解即可.【详解】解：如图，∵//AD

BC，5AD=，3BC=，∴35BCAD=，且30CAD=，AC33=，∴()()ABCDCBCAADAC=−−()35ADACADAC=−−+uuuruuuruuuruuur223558ACADACAD=+−−uu

uruuuruuuruuur3832725335552=−−+6=−..故答案为：-6.【点睛】本题主要考查了向量数量积的计算，平面向量的分解，属于基础题.15.在平面直角坐标系xOy中，点P，Q分别为圆()221:41Cxy+−=和圆()()2222:21Cxaya−+−=（其

中aR）上的两个动点，则PQ的最小值为_____．【答案】424162aa−+−【解析】-11-【分析】首先根据两圆的方程分别求出圆心和半径，再根据圆心的坐标求出圆心距，利用圆心距与两圆的半径即可求出PQ的最小值.【详解】解：∵圆()221:41Cxy+

−=，∴圆心()10,4C，半径11r=，∵圆()()2222:21Cxaya−+−=，∴圆心()222,Caa，半径21r=，∴()()()222421212min02424162PQCCrraaaa=−+=

−+−−=−+−.故答案为：424162aa−+−.【点睛】本题主要考查了圆的标准方程中圆心与半径，两点间距离公式，属于基础题.16.已知x与y之间的一组数据：x0123y1247且y与x的线性回归方程为ˆˆ2yxa=+，则当x＝4时，ˆy=_____【答案】8.5【解析】【分析】首先根据表

中数据求出样本中心坐标，再根据样本中心坐标求出线性回归方程，最后代入x＝4即可求出ˆy.【详解】解：01231.54x+++==，12473.54y+++==．则样本点的中心的坐标为()1.5,3.5，代入ˆˆ2yxa=+，

得3.5210.5ˆ.5a=−=，∴线性回归方程为20.5ˆyx=+，取x＝4，得240.585ˆ.y=+=.故答案为：8.5.-12-【点睛】本题主要考查了线性回归方程的性质，属于基础题.三．解答题（共6小题，满分

70分）17.已知函数1()cos(sincos)2fxxxx=+−.（Ⅰ）若π02，且3sin5=，求()f的值；（Ⅱ）求函数()fx的最小正周期，及函数()fx的单调递减区间.【答案】（Ⅰ）()3150f=（Ⅱ）最小正周期π.π5π

ππ+88k,k,k+Z.【解析】【分析】（Ⅰ）根据3sin5=以及的范围，得到cos，代入到()f中，得到答案；（Ⅱ）对()fx进行整理化简，得到()2sin224fxx=+，根据正弦型函数的图像和性质，求出其周期和单调减区间.【详解】解：（Ⅰ）

因为0,2，且3sin5=，所以2415cossin=−=.所以()434128131=555225250f=+−=−.（Ⅱ）()()1cossincos2fxxxx=+−21co

ssincos2xxx=+−11cos21sin2222xx+=+−()1sin2cos22xx=+2sin224x=+所以函数()fx的最小正周期2ππ2T==.由ππ3π2π22π+,242kxkkZ++，-13-解得π5πππ+,88kxkkZ+

.所以函数()fx的单调递减区间π5πππ+88k,k,k+Z.【点睛】本题考查同角三角函数关系，利用二倍角公式、降幂公式、辅助角公式对三角函数进行化简，求正弦型函数的周期和单调区间，属于简单题.18.nS为等差

数列na的前n项和，1a＝1，3S＝9．（1）求na的通项公式；（2）设212nnnbaa−=+，求数列nb的前n项和nT．【答案】（1）21nan=−；（2）24nTn=.【解析】【分析】（1）首先根据1a＝1，3S＝9求出公差，即可写出数列na的通项公式；（2）首先写出数列

nb的通项公式，再根据数列nb的通项公式求出nT即可.【详解】解：（1）等差数列na的公差设为d，由1a＝1，3S＝9，可得133292d+=，解得2d=，则()12121nann=+−=−；（2）()21222114184nnnba

annn−=+=−−+−=−，可知数列nb是首项14b=，公差8d=的等差数列，则前n项和()2148442nTnnn=+−=.【点睛】本题主要考查了等差数列通项公式的求解，等差数列的前n项和，属于基础题.19.已知函数f（x）是定义在

R上的偶函数，且当x≥0时，f（x）＝x2﹣2x．（1）求f（0）及f（f（1））的值；（2）求函数f（x）的解析式；（3）若关于x的方程f（x）﹣m＝0有四个不同的实数解，求实数m的取值范围，-14-【答案】（1）f（

0）＝0，f（1）＝﹣1（2）()222,02,0xxxfxxxx−=+（3）（﹣1，0）【解析】【分析】（1）根据题意，由函数的解析式，将x＝0代入函数解析式即可得f（0）的值，同理可得f（1）的值，利用函数的奇偶性分析可得f（f（1

））的值；（2）设x＜0，则﹣x＞0，由函数的解析式分析f（﹣x）的解析式，进而由函数的奇偶性分析可得答案；（3）若方程f（x）﹣m＝0有四个不同的实数解，则函数y＝f（x）与直线y＝m有4个交点，作出函数f（x）的图象，由数形结合法分析即可得答案．【详解

】（1）根据题意，当x≥0时，f（x）＝x2﹣2x；则f（0）＝0，f（1）＝1﹣2＝﹣1，又由函数f（x）为偶函数，则f（1）＝f（﹣1）＝﹣1，则f（f（1））＝f（﹣1）＝﹣1；（2）设x＜0，则﹣x＞0，则有f（﹣x）＝（﹣x）2﹣2（﹣x）＝x2+2x，又由函数f（x）为偶函数，

则f（x）＝f（﹣x）＝x2+2x，则当x＜0时，f（x）＝x2+2x，∴()222,02,0xxxfxxxx−=+（3）若方程f（x）﹣m＝0有四个不同的实数解，则函数y＝f（x）与直线y＝m有4个交点，而y＝f（x）的图象如图：-15-分析可得﹣1＜m＜0；

故m的取值范围是（﹣1，0）．【点睛】本题考查偶函数的性质以及函数的图象，涉及方程的根与函数图象的关系，注意利用数形结合法分析与应用，是中档题．20.如图，在空间直角坐标系O﹣xyz中，已知正四棱锥P﹣ABCD的所有棱长均为6，底面正方形ABCD的中心在坐标原点，棱AD，B

C平行于x轴，AB，CD平行于y轴，顶点P在z轴的正半轴上，点M，N分别在线段PA，BD上，且13PMBNPABD==．（1）求直线MN与PC所成角的大小；（2）求锐二面角A﹣PN﹣D的余弦值．【答案】（1）30；（2）1111．【解析】【

分析】（1）首先建立空间直角坐标系，然后求出M，N，P，C点坐标，根据点坐标即可求出直线MN与PC所成角的大小；-16-（2）首先求出平面APN与平面PND的法向量，根据二面角公式即可求出二面角A﹣PN﹣D的余弦值.【详解】解：（1）如图，已知正四棱锥P﹣ABCD

的所有棱长均为6，()3,3,0A−，()3,3,0B，()3,3,0C−，()3,3,0D−−，()0,0,32P，设()111,,Mxyz，()222,,Nxyz，由13PMBNPABD==，得13PMPA=，13BNBD=，即()()11113,,23,3,323xyz−=−

−，所以11x=，11y=−，122z=，由()()2213,3,06,6,03xy−−=−−，得21x=，21y=故()1,1,0N，所()0,2,22MN=−，()3,3,32PC=−−，所以()(),2232183cos2123123MNPC−−===，所以直线MN与PC所成

的角为30°；（2）因为AC⊥平面PBD，设平面PBD的法向量()1,1,0m=−ur，设平面PAN的法向量为(),,nxyz=，()3,3,32PA=−−，()1,1,32PN=−，由00nPAnPN==，得33320320xyzx

yz−−=+−=，故()22,2,1n=，所以22211,11211cosmn−+==−，故锐二面角A﹣PN﹣D的余弦值为1111．-17-【点睛】本题主要考查了利用空间向量求解几何体中线线角与面面角，属于一般题.21.某颜料公司生产A，B两种产品，其中生产每吨A产品，需要甲染料

1吨，乙染料4吨，丙染料2吨，生产每吨B产品，需要甲染料1吨，乙染料0吨，丙染料5吨，且该公司一天之内甲、乙、丙三种染料的用量分别不超过50吨，160吨和200吨，如果A产品的利润为300元/吨，B产品的利润为200元/吨，设公司计划一天内安排生产A产品x吨

，B产品y吨．（I）用x，y列出满足条件的数学关系式，并在下面的坐标系中画出相应的平面区域；（II）该公司每天需生产A，B产品各多少吨可获得最大利润，最大利润是多少?【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）该公司每天需生产甲产品40吨，乙产品10吨可获得最大利润，最大利润为14000元．【解析】分析：（Ⅰ

）由题意得到变量x，y满足的条件即可得到所求，然后在坐标系内画出图形即可．（Ⅱ）由题意的利润z=300x+200y，然后据线性规划的有关知识解题可得所求．详解：（I）设该公司一天安排生产甲产品x吨，乙产品y吨，则x，y满足条件的数学关系式-18-为5041602520000xyxxyxy+

+，．画出该二元一次不等式组表示的平面区域(可行域)如下图所示．（II）设利润为z元，由题意得z=300x+200y，可得32200zyx=−+，平移直线32200zyx=−+，结合图形可得当直线32200zyx=−+经过可行域上的点A时，截距200z最大，此时z页最

大．解方程组4050xxy=+=，，得4010xy==，即()4010A，．∴maxz=300x+200y=14000．答：该公司每天需生产甲产品40吨，乙产品10吨时可获得最大利润，且最大利润为14000元．

【名师点睛】解线性规划应用题的步骤（1）转化——设元，写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为线性规划问题；（2）求解——解这个纯数学的线性规划问题；（3）作答——将数学问题的答案还原为实际问题的答案．22.已知椭圆()2222:10xyCa

bab+=的离心率为12，且与双曲线2212xy−=有相同的焦点.-19-（1）求椭圆C的方程；（2）直线l与椭圆C相交于A，B两点，点M满足AMMB=，点31,2P，若直线MP斜率为32，求ABP△面积的最大值及此时直线

l的方程.【答案】（1）22143xy+=（2）()max92S=，直线的方程为1:12lyx=−−【解析】【分析】(1)有题意有112cca==可求解.(2)先讨论特特殊情况,M是否为原点，然后当AB的斜率存在时,设AB的斜率为k,表示出||AB的长度，进一步表示出

ABP△的面积,然后求最值.【详解】解：（1）由题设知112cca==2a=，23b=椭圆的方程为：22143xy+=（2）法一：AMMB=M为AB的中点又32MPPOkk==1）当M为坐标原点时1当AB的斜率不存

在时，此时A、B为短轴的两个端点112231322ABPPSbx===2当AB的斜率存在时，设AB的斜率为k设()11,Axy，()22,Bxy，则3:2ABlykxk=，代入椭圆方程整理得：()2234120kx+−=-20-1

20xx+=，1221234xxk=−+()2222121222431141433434kABkxxxxkkk+=++−=+=++P到AB的距离2321kdk−=+()222232316122233312434334A

BPkkkSABdkkk−−−====++++解一：令()26123432kgkkk−=+()()()212212343kkgkk+−=+令()0gk=12k=−或32k=函数(

)gk在1,2−−单调递增，13,22−单调递减，3,2+单调递增32k时，()102gkk=−为()gk的极大值点，也是最大值点()max132gkg=−=

()max23ABPS=直线方程为12yx=−解二：设612kt−=，则1212tk=−226123636144431214412ktktttt−==+−++−要得ABPS的最大值0t

，14424tt+26123634312kk−=+当144tt=，12t=时，即61212k−=，12k=−时等号成立-21-()max23ABPS=，直线方程为12yx=−2）当M不为原点时，

由32MPOPkk==，M，O，P三点共线32MOk=，设()11,Axy，()22,Bxy，()00,Mxy，ABl的斜率为ABk1202xxx+=，1202yyy+=，0032yx=A，B在椭圆上，22112222143143xyxy+=+=①②−①②得(

)()()()12121212043xxxxyyyy+−+−+=121212124103yyyyxxyy+−+=++00241032ABykx+=，即431032ABk+=12ABk=−设直线1:2ABlyxm=

−+代入椭圆方程，整理得2230xmxm−+−=()22430mm=−−，22m−222151112312342ABkmmA=+=+−=−P到直线AB的距离425md−=()()()()23213324

22222SABdmmmm==−−=−+令()()()322rmmm=−+，()()()2421rmmm=−−+，22m−-22-令()0rm，21m−−，()0rm，12m−()rm在()2,1−−上单调递增，在()1,2−上单调递减1m=−，()

()max127rmr=−=()max9232S=，此时直线1:12lyx=−−综上所述：()max92S=，直线的方程为1:12lyx=−−解二：设()11,Axy，()22,Bxy，M为AB的中点，P

在椭圆上1当直线AB的斜率不存在时，设:ABlxm=则(),0Mm，33212MPkm==−，所以0m=:0ABlx=，则A，B为短轴上的两个端点112231322ABPPSbx===2当直线AB的斜率k存在时，设:ABlykxt=+，()00,Mxy22

143ykxtxy=++=消去y得()2223484120kxktxt+++−=122834ktxxk+=−+,212241234txxk−=+22430kt=−+()121226234tyykxxtk+=++=+12024234xxktxk+==−+，1

2023234yytyk+==+由0033212MPykx−==−得()210tk+=0t=或12k=−下同解法一【点睛】本题考查椭圆方程，直线与椭圆的位置关系，三角形的面积的最值，利用导数讨论-23-单调性求最值的方法，考查运算能力，属于难题.-24-