【文档说明】云南省昆明市2021届高三高考“三诊一模”第二次教学质量检测数学（文科）试卷（2021.03） 含解析.doc，共(20)页，1.125 MB，由小赞的店铺上传

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2021年云南省昆明市“三诊一模”高三高考数学第二次教学质量检测试卷（文科）（3月份）一、选择题（每小题5分）.1．已知复数z满足＝2+i，则z＝（）A．﹣3﹣iB．﹣3+iC．3+iD．3﹣i2．集合A＝{x|y＝ln（x﹣1）

}，B＝{x|x＞0}，则A∪B＝（）A．（0，1）B．（0，+∞）C．[0，+∞）D．（1，+∞）3．已知sinα﹣cosα＝，则sin2α＝（）A．﹣B．﹣C．D．4．设直线y＝1与y轴交于点A，与曲线y＝x3交于点B，O为原点，记线段OA，AB及曲线y＝x

3围成的区域为Ω．在Ω内随机取一个点P，已知点P取在△OAB内的概率等于，则图中阴影部分的面积为（）A．B．C．D．5．已知P，Q分别是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱BB1，CC1上的动点（不与顶点重合），则下列结论错误的是（）A．AB⊥PQ

B．平面BPQ∥平面ADD1A1C．四面体ABPQ的体积为定值D．AP∥平面CDD1C16．在数学发展史上，已知各除数及其对应的余数，求适合条件的被除数，这类问题统称为剩余问题.1852年《孙子算经》中“物不知其数”问题的解法传至欧洲，在西方的数学史上将“物不知其数”问题的解法称之为“中

国剩余定理”．“物不知其数”问题后经秦九韶推广，得到了一个普遍的解法，提升了“中国剩余定理”的高度．现有一个剩余问题：在（1，2021]的整数中，把被4除余数为1，被5除余数也为1的数，按照由小到大的顺序排列，得到数列{an}，则数列{an}的项数为（）A．98B．99C．

100D．1017．已知曲线y＝ex﹣1在x＝x0处的切线方程为ex﹣y+t＝0，则（）A．x0＝1，t＝﹣1B．x0＝1，t＝﹣eC．x0＝﹣1，t＝﹣1D．x0＝﹣1，t＝﹣e8．若等腰直角三角形

一条直角边所在直线的斜率为，则斜边所在直线的斜率为（）A．﹣或2B．或3C．或4D．或59．已知点P是△ABC所在平面内一点，且++＝，则（）A．＝﹣+B．＝+C．＝﹣﹣D．＝﹣10．已知F1，F2分别是椭圆E：＝1（a＞b＞0）的左，右焦点，M是椭圆短轴的端点，点N在

椭圆上，若＝3，则椭圆E的离心率为（）A．B．C．D．11．饮酒驾车、醉酒驾车是严重危害《道路交通安全法》的违法行为，将受到法律处罚．检测标准：“饮酒驾车：车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或者等于20mg/100mL，小于80mg/100

mL的驾驶行为；醉酒驾车：车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或者等于80mg/100mL的驾驶行为．”据统计，停止饮酒后，血液中的酒精含量平均每小时比上小时降低20%．某人饮酒后测得血液中的酒精含量为100mg/100mL，若经过n（n∈N*）小时，该人血液中的酒精含

量小于20mg/100mL，则n的最小值为（）（参考数据：lg2≈0.3010）A．7B．8C．9D．1012．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜），f（x）的一个零点是，f（x）图象的一条对称轴是直线x＝，下列四个结论：①φ＝；

②ω＝+3k（k∈N）；③f（﹣）＝0；④直线x＝﹣是f（x）图象的一条对称轴．其中所有正确结论的编号是（）A．①②B．①③C．②④D．③④二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知平面向量＝（，），则与夹角为45°的一个非零向

量的坐标可以为．（写出满足条件的一个向量即可）14．已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，右顶点为A，O为原点．若A为线段OF的中点，则C的渐近线方程为．15．已知△ABC中，A＝，满足BC＝，AC＝2AB，则△ABC的面积为．16．由正三棱锥P﹣ABC截得的三棱台ABC﹣A1

B1C1的高为，AB＝6，A1B1＝3．若三棱台ABC﹣A1B1C1的各顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考

题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17．如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的侧棱AA1⊥底面ABCD，四边形ABCD为菱形，E，F分别为AA1，CC1的中点．（1）证明：B，F，D1，E四点共面；（2）若AB＝2，∠BAD＝，求点F到平面BDD1的距离．18．已知等差

数列{an}的前n项和为Sn，a3＝3a1﹣2，且S5﹣S3＝4a2．（1）求数列{an}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和Tn．19．3月12日为我国的植树节，某校为增强学生的环保意识，普及环保知识，于该日在全校范围内组织了一次有关环保知识的竞赛，

现从参赛的所有学生中，随机抽取200人的成绩（满分为100分）作为样本，得到成绩的频率分布直方图，如图所示，其中样本数据分组区间为[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．（1）求频率分布直方图中a的值，并估计该校此次环保

知识竞赛成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间中点值为代表）；（2）在该样本中，若采用分层抽样的方法，从成绩低于70分的学生中随机抽取6人，查看他们的答题情况，再从这6人中随机抽取3人进行调查分析，求这3人中至少有1人成绩在[50，60）内的概率．20．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，

2），B是一动点，直线OA，OB，AB的斜率分别为k1，k2，k3，且+＝，记B点的轨迹为E．（1）求E的方程；（2）过C（1，0）的直线与E交于M，N两点，过线段MN的中点D且垂直于MN的直线与x轴交于H点，若|MN|＝4|DH|，求直

线MN的方程．21．已知函数f（x）＝ax﹣sinx，x∈（0，+∞）（a∈R）．（1）若f（x）＞0，求a的取值范围；（2）当a＝1时，证明：2f（x）+cosx＞e﹣x．（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选

一题作答。并用铅笔在答题卡选考题区域内把所选的题号涂黑。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴非负正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4cosθ．（1）

求C1的极坐标方程和C2的直角坐标方程；（2）若C1，C2交于A，B两点，求|OA|•|OB|．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣3|+|2x﹣3|．（1）求不等式f（x）≤6的解集

；（2）若∃x∈[，3]，x3﹣af（x）+16＜0，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题（共12小题）.1．已知复数z满足＝2+i，则z＝（）A．﹣3﹣iB．﹣3+iC．3+iD．3﹣i解：∵＝2+i，∴z＝（2+i）（1﹣i）＝2﹣2i+i﹣i2＝3﹣i

，故选：D．2．集合A＝{x|y＝ln（x﹣1）}，B＝{x|x＞0}，则A∪B＝（）A．（0，1）B．（0，+∞）C．[0，+∞）D．（1，+∞）解：∵A＝{x|x＞1}，B＝{x|x＞0}，∴A∪B

＝（0，+∞）．故选：B．3．已知sinα﹣cosα＝，则sin2α＝（）A．﹣B．﹣C．D．解：∵sinα﹣cosα＝，∴平方可得1﹣2sinαcosα＝，则sin2α＝2sinαcosα＝﹣，故选：A．4．设直线y＝1与y轴交于点A，与曲线y＝x3

交于点B，O为原点，记线段OA，AB及曲线y＝x3围成的区域为Ω．在Ω内随机取一个点P，已知点P取在△OAB内的概率等于，则图中阴影部分的面积为（）A．B．C．D．解：联立，解得．则曲边梯形OAB的面积为，∵在Ω内随机取一个点P，点P取在△OAB内的概率等于，∴点P取在阴影部分

的概率等于，∴图中阴影部分的面积为．故选：B．5．已知P，Q分别是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱BB1，CC1上的动点（不与顶点重合），则下列结论错误的是（）A．AB⊥PQB．平面BPQ∥平面ADD1A1C．四面体ABPQ的体积为定值D．AP∥平面CDD1C

1解：P，Q分别是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱BB1，CC1上的动点（不与顶点重合），对于A，∵AB⊥BC，AB⊥BB1，BC∩BB1＝B，BC、BB1⊂平面BCC1B1，∴AB⊥平面BCC1B1，∵PQ⊂平面BCC1B1，∴AB⊥PQ，故A正

确；对于B，∵平面ADD1A1∥平面BCC1B1，平面BPQ与平面BCC1B1重合，∴平面BPQ∥平面ADD1A1，故B正确；对于C，∵A到平面BPQ的距离AB为定值，Q到BP的距离为定值，BP的长不是定值，∴四面体ABPQ的体积不为定值，故C错误；对于D，∵平面ABB1A1∥平面CDD1C1，

AB⊂平面ABB1A1，∴AP∥平面CDD1C1，故D正确．故选：C．6．在数学发展史上，已知各除数及其对应的余数，求适合条件的被除数，这类问题统称为剩余问题.1852年《孙子算经》中“物不知其数”问题的解法传至欧洲，在西方的数学史上将“物不知其数”问题的解法称之为“中

国剩余定理”．“物不知其数”问题后经秦九韶推广，得到了一个普遍的解法，提升了“中国剩余定理”的高度．现有一个剩余问题：在（1，2021]的整数中，把被4除余数为1，被5除余数也为1的数，按照由小到大的顺序排列，得到数列{an}，则数列{a

n}的项数为（）A．98B．99C．100D．101解：将题目转化为an﹣1既是4的倍数，也是5的倍数，也即是20的倍数，即an﹣1＝20（n﹣1），an＝20n﹣19，令1＜20n﹣19≤2021，∴1＜n

≤102，又∵n∈N+，故n＝2，3，⋅⋅⋅，102，∴数列共有101项，故选：D．7．已知曲线y＝ex﹣1在x＝x0处的切线方程为ex﹣y+t＝0，则（）A．x0＝1，t＝﹣1B．x0＝1，t＝﹣eC．x0＝﹣1，t＝﹣1D

．x0＝﹣1，t＝﹣e解：y＝ex﹣1的导数为y′＝ex，可得曲线y＝ex﹣1在x＝x0处的切线的斜率为ex0，由切线方程ex﹣y+t＝0，可得ex0＝e，解得x0＝1，切点为（1，e﹣1），则t＝e﹣1﹣e＝﹣1．故选：A．8．若等腰直

角三角形一条直角边所在直线的斜率为，则斜边所在直线的斜率为（）A．﹣或2B．或3C．或4D．或5解：因为等腰直角三角形一条直角边所在直线的斜率为，即，设其倾斜角为α，则tanα＝，因为斜边与直角边的倾斜角相差45°，则

斜边的倾斜角为α+45°或α﹣45°，所以，，所以斜边所在直线的斜率为或4．故选：C．9．已知点P是△ABC所在平面内一点，且++＝，则（）A．＝﹣+B．＝+C．＝﹣﹣D．＝﹣解：因为++＝，所以点P为△ABC的重心，延长PA交BC于

点M，所以，又，所以．故选：D．10．已知F1，F2分别是椭圆E：＝1（a＞b＞0）的左，右焦点，M是椭圆短轴的端点，点N在椭圆上，若＝3，则椭圆E的离心率为（）A．B．C．D．解：不妨设点M为椭圆短轴的上端点（0，b），且F1

（﹣c，0），F2（c，0），设点N的坐标为（m，n），则，由可得：，即m＝，所以点N的坐标为（），代入椭圆方程可得：，解得，所以椭圆的离心率为e＝，故选：C．11．饮酒驾车、醉酒驾车是严重危害《道路交通安全法》的违法行为，将受到

法律处罚．检测标准：“饮酒驾车：车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或者等于20mg/100mL，小于80mg/100mL的驾驶行为；醉酒驾车：车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或者等于80mg/100mL的驾驶行为．”据统计，停止饮酒后，血液中的酒精含量平均每小时比上小时

降低20%．某人饮酒后测得血液中的酒精含量为100mg/100mL，若经过n（n∈N*）小时，该人血液中的酒精含量小于20mg/100mL，则n的最小值为（）（参考数据：lg2≈0.3010）A．7B

．8C．9D．10解：经过n（n∈N*）小时，该人血液中的酒精含量为100×0.8nmg/100ml，由题意可得，100×0.8n＜20，即0.8n＜0.2，所以，所以n的最小值为8．故选：B．12．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ

）（ω＞0，0＜φ＜），f（x）的一个零点是，f（x）图象的一条对称轴是直线x＝，下列四个结论：①φ＝；②ω＝+3k（k∈N）；③f（﹣）＝0；④直线x＝﹣是f（x）图象的一条对称轴．其中所有正确结论的编号是（）A．①②B．①③C．②④D．③④解：函数f（x）＝s

in（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜），f（x）图象的一条对称轴是直线x＝，所以f（）＝f（），由f（x）的一个零点是，所以，整理得，所以T＝，故ω＝（k∈Z）故②错误；当k＝1时，f（x）＝sin（φ），把（）代入关系式，得到s

in（+φ）＝0，由于0＜φ＜，所以φ＝，故①正确；对于f（﹣）＝sin（）≠±1，故④错误，f（﹣）＝sin＝sin（﹣2π）＝0，故③正确；故选：B．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知平面向量＝（，），则与夹角为45°的一个非零向量的坐标可以为（1，0）．（写出满足条件

的一个向量即可）解：设，∴，∴，∴xy＝0，且为非零向量，∴x＝1，y＝0满足题意，∴．故答案为：（1，0）．14．已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，右顶点为A，O为原点．若A为线段OF的中点，则C的渐

近线方程为y＝x．解：由题意知，F（c，0），A（a，0），∵A为线段OF的中点，∴c＝2a，而＝＝a，∴＝，∴C的渐近线方程为y＝±＝x．故答案为：y＝x．15．已知△ABC中，A＝，满足BC＝，AC＝2AB，则△ABC的面积为．

解：设AB＝m，则AC＝2m，由余弦定理可知：14＝m2+4m2﹣2×m×2mcos，解得m＝，所以△ABC的面积为：＝＝．故答案为：．16．由正三棱锥P﹣ABC截得的三棱台ABC﹣A1B1C1的高为，AB＝6，A1B1＝3．若三棱台ABC﹣A1B1C1的各顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为

60π．解：设三棱台ABC﹣A1B1C1的上底面A1B1C1的外接圆的圆心为G1，下底面ABC的外接圆的圆心为G，则G1，G为所在正三角形的中心，故三棱台ABC﹣A1B1C1的外接球的球心O在GG1上，因

为△ABC是边长为6的等边三角形，故2AG＝4，所以AG＝，同理可得AG1＝，设三棱台ABC﹣A1B1C1的外接球的半径为R，在Rt△A1G1O中，，在Rt△AGO中，，又三棱台ABC﹣A1B1C1的高为，因为R2≥12，所以

，故球心O在G1G的延长线上，则，解得R2＝15，所以球O的表面积为S＝4πR2＝60π．故答案为：60π．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要

求作答。（一）必考题：共60分。17．如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的侧棱AA1⊥底面ABCD，四边形ABCD为菱形，E，F分别为AA1，CC1的中点．（1）证明：B，F，D1，E四点共面；（2）若AB＝2，∠BAD＝，求点F到平面BDD1的距离．【解答】（1）证明：

连结AC交BD于点O，因为ABCD为菱形，故AC⊥BD，以O为原点建立空间直角坐标系如图所示，设OB＝a，OA＝b，DD1＝c，则B（0，a，0），D1（0，﹣a，c），E（b，0，），F（﹣b，0，），所以，所以，故BE∥FD1，所以B，F，D1，E四点共面；（2）解：以

O为原点建立空间直角坐标系如图所示，因为AB＝2，∠BAD＝，所以B（0，1，0），D（0，﹣1，0），D1（0，﹣1，c），，设平面BDD1的法向量为，又，，则有，即，令x＝1，故，又，所以点F到平面BDD1的距离为＝．18．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＝3a1﹣2

，且S5﹣S3＝4a2．（1）求数列{an}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和Tn．解：（1）设等差数列{an}的公差为d，因为a3＝3a1﹣2，且S5﹣S3＝4a2．所以，解得，所以数列{an}的通项公式an＝3+2（n﹣1）＝2n+1．（2）Sn＝3n+

×2＝n（n+2），所以＝＝（﹣），所以Tn＝（1﹣+﹣+﹣+…+﹣+﹣）＝（1+﹣﹣）＝﹣．19．3月12日为我国的植树节，某校为增强学生的环保意识，普及环保知识，于该日在全校范围内组织了一次有关环保知识的竞赛，现从参赛的所有学生中，随机抽取2

00人的成绩（满分为100分）作为样本，得到成绩的频率分布直方图，如图所示，其中样本数据分组区间为[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．（1）求频率分布直方图中a的值，并估计该校此次环保知

识竞赛成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间中点值为代表）；（2）在该样本中，若采用分层抽样的方法，从成绩低于70分的学生中随机抽取6人，查看他们的答题情况，再从这6人中随机抽取3人进行调查分析，求这3人中至少有1人

成绩在[50，60）内的概率．解：（1）由频率分布直方图可得，（0.006+0.012+0.018×2+0.021+a）×10＝1，解得a＝0.025，这组样本数据的平均数为45×0.06+55×0.

12+65×0.18+75×0.25+85×0.21+95×0.18＝74.7，所以估计该校此次环保知识竞赛成绩的平均分为74.7分；（2）由频率分布直方图可知，成绩在[40，50），[50，60），[60，70）内的频率分别为0.06，0.12，0.18，所以采用分层抽样的方法从样本中抽取

的6人，成绩在[40，50）内的有1人，成绩在[50，60）内的有2人，成绩在[60，70）内的有3人，故从成绩在[40，70）内的6人随机抽取3人，共有种，这3人成绩均不在[50，60）内，共有种，所以这3人中至少有1人成绩在[50

，60）内的概率为＝．20．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，2），B是一动点，直线OA，OB，AB的斜率分别为k1，k2，k3，且+＝，记B点的轨迹为E．（1）求E的方程；（2）过C（1，0）的直线与E交于M，N两点，过线段MN的中点D且垂直于MN的直线与

x轴交于H点，若|MN|＝4|DH|，求直线MN的方程．解：（1）设B（x，y），所以k1＝，k2＝，k3＝，因为+＝，所以+＝，化简得y2＝4x．所以曲线E的方程为y2＝4x（x≠0，x≠1）．（2）设直线MN的方程为x＝ty+1，联立，得y2﹣4ty﹣4＝0，所以△＝16t2﹣4×1×（

﹣4）＝16（t2+1）＞0，设M（x1，y1），N（x2，y2），所以y1+y2＝4t，y1y2＝﹣4，所以|MN|＝＝4（t2+1），由D为MN的中点，所以D（2t2+1，2t），所以直线DH的方程为y﹣2t＝﹣t（x﹣2t2﹣1），所以H点的坐标为（2t2+

3，0），所以|DH|＝2，因为|MN|＝2|DH|，所以4（t2+1）＝8，解得t＝±，所以直线MN的方程为x﹣y﹣1＝0或x+y﹣1＝0．21．已知函数f（x）＝ax﹣sinx，x∈（0，+∞）（a∈R）．（

1）若f（x）＞0，求a的取值范围；（2）当a＝1时，证明：2f（x）+cosx＞e﹣x．解：（1）f′（x）＝a﹣cosx，当a≥1时，f′（x）≥0，故函数f（x）在（0，+∞）单调递增，故f（x）＞f（0）＝0，满

足题意；a≤﹣1时，f′（x）≤0，故函数f（x）在（0，+∞）单调递减，故f（x）＜f（0）＝0，不满足题意；﹣1＜a＜1时，令f′（x）＝0，在（0，π）上存在x0，使得cosx0＝a成立，故0＜x＜x0时，f′（x）＜0，f（x）在（0，x0）单调递减，则f（x）＜

f（0）＝0，不满足题意；综上：a的取值范围是[1，+∞）；（2）证明：a＝1时，f（x）＝x﹣sinx，要证2f（x）+cosx＞e﹣x，即证2x﹣2sinx+cosx＞e﹣x，即证（2x﹣2sinx+cos

x）ex＞1，设g（x）＝（2x﹣2sinx+cosx）ex，则g′（x）＝[2（x﹣sinx）+2﹣sin（x+）]ex，由（1）得x＞sinx，而2﹣sin（x+）＞2﹣＞0，故g′（x）＞0，g（

x）在（0，+∞）单调递增，故g（x）＞g（0）＝1，故∀x∈（0，+∞），a＝1时，2f（x）+cosx＞e﹣x．（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。并用铅笔在答题卡选考题区域内把所选的题号涂黑。如果多做，则按所做的第一题计分。[

选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴非负正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4cosθ．（1）求C1的极坐标方程和C2的直角坐标方程；（2）若C1，C2交于A，B

两点，求|OA|•|OB|．解：（1）曲线C1的参数方程为（t为参数），转换为直角坐标方程为x﹣y﹣1＝0，根据，转换为极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ﹣1＝0．曲线C2的极坐标方程为ρ＝4cosθ，根据，转换为直角坐标方程为x2+y2＝4x，整理得（x﹣2）2+

y2＝4．（2）由于C1，C2交于A，B两点，所以，解得或即A（），B（），所以|OA||OB|＝×＝．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣3|+|2x﹣3|．（1）求不等式f（x）≤6的解集；（2）若∃x∈[，3]，x3﹣a

f（x）+16＜0，求实数a的取值范围．解：（1）函数f（x）＝|x﹣3|+|2x﹣3|＝，所以不等式f（x）≤6可化为，或，或，解得3≤x≤4，或＜x＜3，或0≤x≤；所以不等式f（x）≤6的解集是{x|0≤x≤4}；（2）当x∈[，3]时，函数f（

x）＝x，所以不等式x3﹣af（x）+16＜0，可化为x3﹣ax+16＜0，即a＞x2+．设g（x）＝x2+，x∈[，3]，则g′（x）＝2x﹣＝＝，当x∈[，2）时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减，x∈

（2，3]时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增，所以x＝2时，函数g（x）取得最小值为g（x）min＝g（2）＝4+8＝12，所以若∃x∈[，3]，x3﹣af（x）+16＜0，实数a的取值范围是a＞12．