【文档说明】重庆市第八中学2021-2022学年高一下学期第一次月考试题 数学 含解析.docx，共(11)页，811.014 KB，由小赞的店铺上传

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重庆八中高2024级高一（下）第一次月考数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在ABC△中，4a=，1b=，1cos2C=，则ABC△的面积为（）A.32B.23C.3D.12.已知O是ABC△所在平面内一点，D为B

C边中点，且0OAOBOC++=，那么（）A.AOOD=B.2AOOD=C.3AOOD=D.2AOOD=3.如图所示的图形中，每一个小正方形的边长均为1，则()ACABCD+=（）A.0B.1C.−2D.−14.设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使abab=成立的充分不必要条

件是（）A.3ab=B.ab∥C.abab=D.ab∥且ab5.若2sincos2−=，则44sincos+=（）A.34B.56C.78D.896.平面上有()2,1A，()1,4B−，()2,3D−三点，点C在直线

AB上，且2ACBC=，连接DC并延长DC至E，使12CECD=，则点E的坐标为（）A.()5,9−B.()3,9−C.()1,4−D.()3,7−7.ABC△的角A，B，C所对的边为a，b，c，设()22sinsinsinsinsinBCABC−=−，则A=（）A.4B.6C.3D.

28.已知向量a，b，c满足3a=，13abab+=−=，()()112cabR+=+−，则c的最小值为（）A.185B.125C.121313D.1313二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分

，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列关于向量a，b，c的说法错误的是（）A.若ab∥且bc∥，则ac∥B.ab∥的充要条件是存在不全为零的实数，使得0ab+=C.若abcb=，则ac=D.abcb−=−，则ac=10.设

函数()22cossin2fxxx=+，则下列选项正确的有（）A.()fx的最小正周期是B.4x=为()fx的一个对称轴C.()fx的最小值是−2D.()fx在,ab上单调递减，那么ba−的最大值是211.在ABC△中，角A，B，C所对的边为a，

b，c，则下列说法正确的有（）A.若AB，则sinsinABB.若222abc+，则ABC+C.sinsinsinsinabcaABCA++=++D.若coscosaAbB=，则ABC△是等腰三角形12.已知平面向量a，b，c.若()1,0a=，13,22b=

，()()0acbc−−=，,abc+=，则下列结论正确的有（）A.若c起点为原点，其终点构成的轨迹为一条直线B.满足条件的c的模的最大值为312+C.cos最大值为63D.cos最小值为63三、填空题：本题共4小题，每小题5分，

共20分.13.已知向量a，b不共线，若2kab+与4ab−共线，则实数k=________.14.若tan2=，则2sin3sincos−=________.15.已知ABC△中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且满足3a=，3b=，221cos2acBabbc=−+，则B

=________.16.已知10AB=，若对任意实数tR，点P都满足3APtAB−，则PAPB的最小值为________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）如图，在长方形ABCD中，E为边DC的中点，F为边BC上一点，且34C

FCB=.设ABa=，ADb=.（1）试用基底,ab表示AE，EF；（2）若3458AGab=+，求证：E，G，F三点共线.18.（12分）O是平面直角坐标系的原点，()1,2A−，()1,1B，记OAa=，OBb=.（1）求a在b上的投影向量坐标；（2）若

四边形OABC为平行四边形，求点C的坐标；（3）若向量()1,c=，满足条件：,ca与,ab互补，求.19.（12分）已知ABC△的角A，B，C对边分别为a，b，c，A为锐角，()coscos3cos1bAaBc

A+=−.（1）求cosA；（2）若2a=，求ABAC的最大值.20.（12分）在ABC△中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若1cos3A=，3bc=.（1）求sinC；（2）若1c=，D为AC上靠近A的

一个三等分点，求BD.21.（12分）已知ABC△中，过重心G的直线PQ交线段AB于P，交线段AC于Q，连结AG并延长交BC于点D，设ABa=，ACb=，APQ△的面积为1S，ABC△的面积为2S，APmAB=，AQnAC=.（1）用a，b表示AG并求证：3mnmn+=.（2）

求12SS的取值范围.22.（12分）已知函数()()23sincossin4242xxfxx=++−+，且函数()ygx=的图象与函数()yfx=的图象关于直线4x=对称.（1）求函数()gx的

解析式；（2）若存在0,2x，使等式()()220gxmgx−+=成立，求实数m的最大值和最小值；（3）若当2,33x−时，不等式()()122fxagxa−−

−恒成立，求实数a的取值范围.重庆八中高2024级高一（下）第一次月考答案一、选择题：题号123456789101112答案CBDAACCBACDADACBD三、填空题：13.12−14.52−15.616.

−16【解析】8.由题可得2b=，且ab⊥，()()11112222ccabab−++=+−=+，即c终点与a和2b终点共线，当且仅当()2cab⊥−时，c最小，为125.11.对于A：对于AB，所以ab，利用正弦定理：2sin2sinRARB，整理得sinsinAB，故A

正确；对于B：由于222abc+，则cos0A，即A为锐角，故B错误；对于C：由于sinsinsinabcABC==，利用等比性质sinsinsinsinaabcAABC++=++，故C正确；对于D：由于coscosaAbB

=，利用正弦定理得sincossincosAABB=，整理得11sin2sin222AB=，所以sin2sin2AB=，故22AB=或22AB+=，所以AB=或2AB+=，故ABC为等腰三角形或直角三角形，故D错误；12.如图：设aAB=，bAC=，cAP=，acP

B−=，bcPC−=，由()()0acbc−−=，可得0PBPC=，∴c的终点P在以BC为直径的圆上，故A错；由题知ABC△为等边三角形，故1BC=，此时圆的半径为12，圆心坐标33,44，则cAP=的最大值为：19

313216162+++=，故B正确；设BC中点为D，,,abcADAP+==，当A，D，P三点共线时，cos1=，故C错；当AP与圆相切时cos取到最小值，此时3cos6APAD==.16.以A，B的中点为原点，AB所在直线为x轴，过O且垂直于AB的直线为轴建

立平面直角坐标系，如图所示，设AHtAB=，H为AB上一点，3APtABAPAHHP−=−=，故min3HP=，所以，P到直线AB的距离为3，则P点在直线:3Ly=上，可得：()5,0A−，()5,0

B，(),3Px，则()()225,35,359126xxPAPBxx=−−−−−+−−==，当且仅当0x=时，PAPB取最小值−16.17.（1）由题，，131313242424EFECCFABCBABADab=+=+=−=−.（2）3511348248

EGAGAEabbaab=−=+−−=−，则12EGEF=，∴E，G，F三点共线.18.（1）a在b上的投影向量为2111cos,,222abaabebbb===；（2）设点(),Cxy，OABC为平行四边形，则有O

ACB=，()1,2OA=−，()1,1CBxy=−−，解得2x=，1y=−，故()2,1C−.（3）10cos,10ababab==，因为,ca与,ab互补，故10cos,cos,10acab=−=−，即221

10cos,1051accaac−===−+，推得2178107−+==或1=（舍），故17=.19.（1）由题及正弦定理可得，()sincossincossin3cos1BAABCA+=−()()()2sinsin3cos1sinsin3cos13cos11cos3

ABCACCAAA+=−=−−==.（2）由余弦定理，2222242cos43abcbcAbcbc=+−=+−=，由22424263bcbcbcbcbc++，2cos43ABACcbAbc==，当且仅当bc=时取等，故ABAC得最大值为4.20.（1）解：∵

1cos3A=，3bc=，由余弦定理，22222222cos83abcbcAbcbcc=+−=+−=，故22ac=，由正弦定理，sinsincCAa=其中222sin1cos3AA=−=，故1sinsin3cCAa==.（2）由题sin3sin1BC==，故2

B=，即BABC⊥，则22c=，由D为靠近A的三等分点可知，2133BDBABC=+，故()()22221112234449993BDBCBABCBAac=++=+==21.（1）证明：221111332233AGAD

ABACab==+=+；∵APmAB=，AQnAC=，∵P，G，Q三点共线，则存在，使得PQPG=，即()AQAPAGAP−=−，即113333nbmaabmamab−=

+−=−+，∴33mmn−=−=，整理得33331mnmnmnm===+−，证毕.（法二：∵2211111133223333AGADABACabAPAQmn==+=+=+，又因为P，G

，Q三点共线，故11133mn+=，则3mnmn=+）（2）解：由（1）APmAB=，AQnAC=，∴121sin21sin2APAQBACAPAQSmnSABACABACBAC===，∵113mn

+=，()0,131mnm=−，∴1,12m∴2122211133113924SmmnSmmmm====−−+−−+，则当132m=时，12SS取得最小值49，当11m=时，12SS取得最大值

12，∵11m，则12SS的取值范围为41,92.22.解：（1）函数()()23sinsinsin4242xxfxx=+−−+，化简可得()23sincoss

in3sinsin3cossin42422xxfxxxxxx=+++=++=+2sin3x=+.函数()ygx=的图象与函数()yfx=的图象关于直线4x=对称.即()2gxfx=−∴()52s

in2sin2sin2366gxxxx=−+=−=+.（2）0,2x，()2sin6gxx=+∴2,663x+∴()12gx.令

()gxt=，则12t.那么：()()220gxmgx−==，可得：220tmt−+=成立.即222mtt=+，当2t=时取等号，∴m的最小值为22.当1t=或2时，可得3m=，即m的最大值为3.故得实数m的最大值为3，最小值为22.（3）不等式()()122fxagxa−−

−恒成立，即sin2sin236xaxa++−−恒成立当2,33x−时，∴03x+，266x−−.若0a=时，显然sin23x+−

恒成立.若0a时，当3x=−时，sin2sin36xax++−取得最小值.即sin2sin23333aa−++−−−成立.可得：22aa−−，解

得：203a.若0a时，当23x=时，sin2sin36xax++−取得最小值.即22sin2sin23336aa++−−成立.得：2a−，∴20a−

.综上可得：a的范围是22,3−.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com