【文档说明】2021苏教版数学必修第二册课时分层作业：11.3　余弦定理、正弦定理的应用 .docx，共(10)页，245.448 KB，由小赞的店铺上传

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课时分层作业(十九)余弦定理、正弦定理的应用(建议用时：40分钟)一、选择题1．学校体育馆的人字屋架为等腰三角形，如图所示，测得AC的长度为4m，A＝30°，则其跨度AB的长为()A．12mB．8mC．33mD．43mD

[由题意知，A＝B＝30°，所以C＝180°－30°－30°＝120°，由正弦定理得，ABsinC＝ACsinB，即AB＝AC·sinCsinB＝4·sin120°sin30°＝43.]2．如图所示，为了测量某湖泊两侧A，B间的距离，李

宁同学首先选定了与A，B不共线的一点C(△ABC的角A，B，C所对的边分别记为a，b，c)，然后给出了三种测量方案：①测量A，C，b；②测量a，b，C；③测量A，B，a.则一定能确定A，B间的距离的所有方案的序号为()A．①②B．②③C．①③D．①②③D[由题意

可知，在①②③三个条件下三角形均可唯一确定，通过解三角形的知识可求出AB．故选D．]3．在地面上点D处，测量某建筑物的高度，测得此建筑物顶端A与底部B的仰角分别为60°和30°，已知建筑物底部高出地面D点20m，则建

筑物高度为()A．20mB．30mC．40mD．60mC[如图，设O为顶端在地面的射影，在Rt△BOD中，∠ODB＝30°，OB＝20，BD＝40，OD＝203，在Rt△AOD中，OA＝OD·tan60°

＝60，∴AB＝OA－OB＝40(m)．]4．如图，两座相距60m的建筑物AB，CD的高度分别为20m，50m，BD在水平面上，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角∠CAD的大小是()A．30°B．45°C．60°D．75°B[

∵AD2＝602＋202＝4000，AC2＝602＋302＝4500，在△ACD中，由余弦定理得cos∠CAD＝AD2＋AC2－CD22AD·AC＝22，∠CAD∈(0°，180°)，∴∠CAD＝45°.]5．如图所示，在地面上共线的三点A，B，C处测得一建筑物的仰角分别为30

°，45°，60°，且AB＝BC＝60m，则建筑物的高度为()A．156mB．206mC．256mD．306mD[设建筑物的高度为h，由题图知，PA＝2h，PB＝2h，PC＝233h，∴在△PBA和△PBC中，分别由余弦定理，得cos∠PBA＝602＋2h2－4h22×60×2h，①co

s∠PBC＝602＋2h2－43h22×60×2h.②∵∠PBA＋∠PBC＝180°，∴cos∠PBA＋cos∠PBC＝0.③由①②③，解得h＝306或h＝－306(舍去)，即建筑物的高度为306m．]二

、填空题6．若两人用大小相等的力F提起重为G的货物，且保持平衡，则两力的夹角θ的余弦值为________．G2－2F22F2[如图，由平行四边形法则可知，|OA→|＝G，在△AOB中，由余弦定理可得|OA→

|2＝F2＋F2－2F·Fcos(π－θ)．∵|OA→|＝G，∴2F2(1＋cosθ)＝G2，∴cosθ＝G2－2F22F2.]7．如图所示，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别是75°，30°，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC

等于________m.120(3－1)[由题意可知，AC＝60sin30°＝120.∠BAC＝75°－30°＝45°，∠ABC＝180°－45°－30°＝105°，所以sin∠ABC＝sin105°＝sin(60°＋4

5°)＝sin60°cos45°＋cos60°sin45°＝6＋24.在△ABC中，由正弦定理得ACsin∠ABC＝BC∠BAC，于是BC＝120×222＋64＝24022＋6＝120(3－1)(m)

．]8.如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC＝223，AB＝32，AD＝3，则BD的长为________．3[∵sin∠BAC＝sin(90°＋∠BAD)＝cos∠BAD＝223，∴在△AB

D中，有BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos∠BAD，∴BD2＝18＋9－2×32×3×223＝3，∴BD＝3.]三、解答题9．如图所示，一条河自西向东流淌，某人在河南岸A处看到河北岸两个目标C，D分别在北偏东45°和北偏东30°方向，此人向东走300米到达B处之后，再

看C，D，则分别在北偏西15°和北偏西60°方向，求目标C，D之间的距离．[解]由题意得，在△ABD中，因为∠DAB＝60°，∠DBA＝30°，所以∠ADB＝90°，在Rt△ABD中，因为AB＝300，所以BD＝300·sin60

°＝1503，在△ABC中，因为∠CAB＝45°，∠ABC＝75°，所以∠ACB＝60°.由正弦定理得ABsin∠ACB＝BCsin∠CAB，所以BC＝30032×22＝1006，在△BCD中，因为BC＝1006，BD＝1

503，∠CBD＝45°，由余弦定理得CD2＝BC2＋BD2－2BC·BD·cos∠CBD＝37500，所以CD＝5015.所以目标C，D之间的距离为5015米．10．在△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos2A＝sin2B＋c

os2C＋sinAsinB．(1)求角C的大小；(2)若c＝3，求△ABC周长的取值范围．[解](1)由题意知1－sin2A＝sin2B＋1－sin2C＋sinAsinB，即sin2A＋sin2B－sin2C＝－sinAsinB，由正弦定理得a2＋b2－c2＝－ab，由余弦定理得c

osC＝a2＋b2－c22ab＝－ab2ab＝－12，又∵0<C<π，∴C＝2π3.(2)由正弦定理得asinA＝bsinB＝csinC＝2，∴a＝2sinA，b＝2sinB，则△ABC的周长为L＝a＋b＋c＝2(sinA＋sinB)＋3＝2sinA＋sinπ3－A＋3＝2

sinA＋π3＋3.∵0<A<π3，∴π3<A＋π3<2π3，∴32<sinA＋π3≤1，∴23<2sinA＋π3＋3≤2＋3，∴△ABC周长的取值范围是(23，2＋3]．1．甲船在岛A的正南B处，以每小时4千米的速度向正北航行

，AB＝10千米，同时乙船自岛A出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间为()A．1507分钟B．157分钟C．21.5分钟D．2.15小时A[如图，设t小时后甲行驶到D处，则AD＝10－4t

，乙行驶到C处，则AC＝6t.∵∠BAC＝120°，∴DC2＝AD2＋AC2－2AD·AC·cos120°＝(10－4t)2＋(6t)2－2×(10－4t)×6t×cos120°＝28t2－20t＋100

＝28t－5142＋6757.当t＝514时，DC2最小，即DC最小，此时它们所航行的时间为514×60＝1507分钟．]2．如图所示，要测量底部不能到达的某电视塔AB的高度，在塔的同一侧选择C，

D两个观测点，且在C，D两点测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得∠BCD＝120°，C，D两地相距500m，则电视塔AB的高度是()A．1002mB．400mC．2003mD．500mD[设AB＝x，在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，∴BC＝AB＝x.在Rt△ABD中，∠

ADB＝30°，∴BD＝3x.在△BCD中，∠BCD＝120°，CD＝500m，由余弦定理得(3x)2＝x2＋5002－2×500xcos120°，解得x＝500m．]3.如图所示，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于A

O的小路CD．已知某人从O沿OD走到D用了2min，从D沿着DC走到C用了3min.若此人步行的速度为每分钟50m，则该扇形的半径为________m.507[连接OC，在△OCD中，OD＝100，CD＝150，∠CDO＝60°，由余弦定理可得OC2＝10

02＋1502－2×100×150×12＝17500，∴OC＝507.]4．台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，B城市处于危险区内的时间为________小时．1[设A地东北方

向上存在点P到B的距离为30千米，AP＝x，在△ABP中，PB2＝AP2＋AB2－2AP·AB·cosA，即302＝x2＋402－2x·40cos45°，化简得x2－402x＋700＝0，|x1－x2|2＝(x1

＋x2)2－4x1x2＝400，|x1－x2|＝20，即图中的CD＝20(千米)，故t＝CDv＝2020＝1(小时)．]5．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA＋C2＝bsinA．(1)求B；(2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△

ABC面积的取值范围．[解](1)由题设及正弦定理得sinAsinA＋C2＝sinBsinA．因为sinA≠0，所以sinA＋C2＝sinB．由A＋B＋C＝180°，可得sinA＋C2＝cosB2，故cosB2＝2sinB2cosB2.因为cosB2≠0，故sinB2＝

12，因此B＝60°.(2)由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC＝34a.由正弦定理得a＝csinAsinC＝sin(120°－C)sinC＝32tanC＋12.由于△ABC为锐角三角形，故0°<A<90°，0°<C<90°.由(1)知A＋C＝120°，所以30°＜C<90°，故

12＜a＜2，从而38＜S△ABC＜32.因此，△ABC面积的取值范围是38，32.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com