【文档说明】安徽省亳州市2024-2025学年高三上学期开学考试 数学 Word版含解析.docx，共(13)页，780.431 KB，由小赞的店铺上传

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2025届安徽省高三摸底大联考数学考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟。2．考生作答时，请将答案答在答题卡上，选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区

域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3．本卷命题范围：高考范围。一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每

小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在复平面内、复数()4(1i)1i+−对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．已知集合()*225140,log22AxxxBxx=−−=−N∣．则图中阴影部分表示的集合为（）A．3,4,5B．

1,2C．3,4,5,6D．1,2,63．有一组数据，按从小到大排列为：1,2,6,8,9,m，这组数据的40%分位数等于他们的平均数，则m为（）A．9B．10C．11D．124．已知圆柱的底面直径为2，它的两个底面的圆周都在同一个体积为205π3的球面

上，该圆柱的侧面积为（）A．8πB．6πC．5πD．4π5．已知π0,,sin35sincos22aa=，则tan值为（）A．3B．32C．22D．16．已知双曲线222:1(0)xCyaa−=，点M在C上，过点M作C两条渐

近线的垂线，垂足分别为,AB，若34MAMB=，则双曲线C的离心率为（）A．62B．233C．263D．37．已知函数()fx的定义域为(),exyfx=+R是偶函数，()3exyfx=−是奇函数，则()ln3f的值为（）A．73B．3C．103D．1138．数列n

a的前n项和为nS，满足111,3,2nnaaa+−==，则10S可能的不同取值的个数为（）A．45B．46C．90D．91二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，

有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知随机变量X满足：()()()34,,01,2XBppEXDX=，则（）A．23p=B．()43EX=C．()11213EX+=D．()32

219DX+=10．设函数()()2()4fxxax=−−，定义域为R，若关于x的不等式()0fx…的解集为{4xx…或1}x=，下列说法正确的是（）A．()fx的极大值为0B．点()2,2−是曲线()yfx=的对称中心C．直线9

4yx=−与函数()fx的图象相切D．若函数()fx在区间(),4m上存在最小值，则m的取值范围为()0,311．已知曲线()222:248Cxyxy+−=+，点()00,Pxy为曲线C上任意一点，则（）A．曲线C的图象由两个圆构成B．2200xy+的最大值为22C．0024yx++

的取值范围为1,17−D．直线2yx=+与曲线C有且仅有3个交点三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中的横线上．12．已知向量()32,3,,2abm==，且()2//aba+，则向

是b在向量a上的投影向量坐标是_______．13．已知函数()2sinfxx=与()2cos(0)gxx=的图象上任意3个相邻的交点构成直角三角形，则=_______．14．用n个不同的元素组成m个非空集合（1

mn剟，每个元素只能使用一次），不同的组成方案数记作mnS，且当2nm…时，111mmmnnnSSmS−−−=+．现有7名同学参加趣味答题活动，参加一次答题，即可随机获得,,,ABCD四种不同卡片中一张，获得每种卡片的概率相同，若每人仅可参加一次，这7

名同学获得卡片后，可集齐全4种卡片的概率为________．四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．15．（13分）在ABC△中，内角,,ABC所对的边分别为cosπ,,,2sincos6

AabcCB=−．（1）求B；（2）若ABC△的面积为3,AC边上的高为1，求ABC△的周长．16．（15分）已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的左、右焦点为12,FF，离心率为223，点P为椭圆C上任意一点，且12PFF△的周长为642+．（1）求椭圆C的方程；

（2）直线1:3lyx=+与直线2:3lyx=−分别交椭圆C于,AB和,CD两点，求四边形ABCD的面积．17．（15分）如图，在四棱锥PABCD−中，//,90ABCDABC=，平面PAD⊥平面,224ABCDABCDBC===．（1）证明：PA

BD⊥；（2）若2PAPD==，点M为棱AB的中点，求二面角APDM−−的余弦值．18．（17分）已知函数()()ln,0fxxxaa=−−．（1）若2x=为函数()fx的极值点，求a的值；（2）若不等式()94lnln2xfxaxaa−

+−+−„恒成立，求a的取值范围．19．（17分）已知数列na，对于任意的*nN，都有212nnnaaa+++，则称数列na为“凹数列”．（1）判断数列2nna=是否为“凹数列”，请说明理由；（2）已知等差数列nb，

首项为4，公差为d，且nbn为“凹数列”，求d的取值范围；（3）证明：数列nc为“凹数列”的充要条件是“对于任意的*,,kmnN，当kmn时，有mknmccccmknm−−−−”．2025届安徽省高三

摸底大联考－数学参考答案、解析及评分细则1．B()()()242(1i)1i(1i)1i41i44i+−=+−=−−=−+，所以复数()4(1i)1i+−在复平面内对应的点在第二象限．故选B．2．

D()*2251401,2,3,4,5,6,log22{26}AxxxBxxxx=−−==−=N∣，所以3,4,5AB=，所以图中阴影部分表示的集合为1,2,6．故选D．3．B因为该组数据共6个，且640%2.4=，所以这组数据的40%

分位数为第三位数，即6，则1268966m+++++=，解得10m=．故选B．4．A球的体积为3420π5π33R=，可得其半径5R=，圆柱的底面直径为2，半径为1r=，在轴截面中，可知圆柱的高为2224hRr=−=，所以圆柱的侧面积为2π8πrh=。故

选A．5．C因为sin35sincos2=，所以()sin25sincos2+=，可得sincos2+cossin25sincos2=，即cossin24sincos2=，所以22tan

4tantan21tan==−，解得2tan2=。故选C．6．B设点()00,Mxy，则220021xya−=，即222200xaya−=，又两条渐近线方程为1yxa=，即0xay=，故

有222200000022223411xayxayxayaMAMBccaa−+−====++，所以233cea==．故选B．7．D因为函数()exyfx=+为偶函数，则()()eexxfxfx−−+=+，即()()eexxfxfx−−−=−①，又因为函数()3exyfx=−为奇函数，则()

()3e3exxfxfx−−−=−+，即()()3e3exxfxfx−+−=+②，联立①②可得()e2exxfx−=+，所以()ln3ln311ln3e2e3f−=+=．故选D．8．B由题设可得1212nnaddd−=++++，其中1,3id，故131nnan+−剟，且

na奇偶交错出现。（1）若na为奇数，由1,3id可得对na可取遍1,31nn+−中的每一个奇数；（2）若na为偶数，由1,3id可得对na可取遍1,31nn+−中的每一个偶数，又()()121212nnSnndndd−=+−+−

++，当()11,2,,1idin==−时，()32nnnS+=；考虑()11,2,,1idin==−时，id调整为3，则对应的nS可增加()2ni−，依次对诸id至少一个）调整为3后()()()332222232122nnnnnSn++++++

++−剟，即()()331222nnnnnS+++剟，从上述的调整过程可得nS取遍了()()331,22nnnn++中的奇数或偶数（取奇数还是偶数取决于()32nn+的奇偶性），当n10=时，nS取遍了65

,155中的奇数，合计46个，故选B．9．BCD因为()4,XBp，所以()()()33122EXDXnppnp==−=，解得13p=，故A错误；()43EXnp==，故B正确；()()1121213EXEX+=

+=，故C正确；()()()32214419DXDXnpp+==−=，故D正确．故选BCD．10．ABC对于A，由()()2()40fxxax=−−…，解得4x…或xa=，所以()()21,(1)4afxxx==−−，则()()()()()2214(1)313fxxxxxx=−−+−=−−，当

()1,3x时，()0fx；当(),1x−或()3,x+时，()0fx；可知()fx在()(),1,3,−+上单调递增，在()1,3上单调递减，所以函数()fx的极大值()10f=，故A正确；对于B，因为()()()()2222(1)

2(1)24fxfxxxxx++−=+−+−−−=−，故B正确；对于C，设切点为00(,)xy，则20000000(1)(4),93(1)(3),94,yxxxxyx=−−=−−=−解得000,4,xy==−所以直线94yx=−与函数()fx的图象相切于()

0,4−，故C正确；对于D，由A选项知()fx在()(),1,3,−+上单调递增，在()1,3上单调递减，又()34f=−，令()4fx=−，解得0x=或3，函数()fx在区间(),4m上存在最小值，所以m的取值

范围为)0,3，故D错误．故选ABC．11．AC由()222248xyxy+−=+，得()()222224448xyxyxy+−++=+，即()22224()0xyxy+−+=，即()()222222220xyxyxyxy++++−−=，所以22220xyxy+++=或22220xyxy+

−−=，即22(1)(1)2xy+++=或22(1)(1)2xy−+−=，所以曲线C表示以()()1,1,1,1MN−−为圆心，2为半径的两个圆，故A正确；2200xy+表示点()00,xy到原点距离的平方，最大值为22(2)(22)8NO+==，故B错误；如图所示，设过点()4

,2A−−且与圆N相切的直线方程为()42ykx=+−，则点N到该直线的距离125321kdk−==+，解得1271,23kk==，即图中直线AC的斜率为1，直线AC的方程为2yx=+，点M到直线AC的距离

22d=，则直线AC与圆M相切，设过点A且与圆M相切的直线方程为()42ykx=+−，则点M到该直线的距离()223121kdk−==+，解得0120211,,74ykkx+==−+表示的是点()00,xy到点()4,2−−的斜率，故0024yx++的取值范围为1,17−

，故C正确；由C项可知直线2yx=+与圆MN、均相切，所以直线2yx=+与曲线C有且仅有2个交点，故D错误．故选AC．12．31,2由题意知()222,6abm+=+，因为()2//aba+，可得()26322m=+，解得1m=，所以b

在a上的投影向量为()21332cos,2,31,||132aabbabaaa===．13．2π4如图所示，设函数()2sin(0)fxx=与()2cosgxx=的交点分

别为()()()112233,,,,,AxyBxyCxy，由2sin2cosxx=得tan1x=，所以1x=23π5π9π,,444xx==，则132π2sin2,24yyy====−，所以ABC△为等腰直角三角形，所以点B到直线AC的距离为12AC，即()123112yyxx−

=−，解得2π4=．14．5251024根据题干可列出mnS对应取值表格如下：mn12341121131314176151152510613190657163301350即123477771,63,301,350,7SSSS====个人集

齐全4种卡片等价于7个不同元素组成4个非空集合，再将4个非空集合对应,,,ABCD4种卡片，所以44747A52541024Sp==．15．解：（1）由cosπ2sincos6ACB=−，得31cos2cossincos22ABCC=−，①由

ABC++=，得()coscoscoscossinsinABCBCBC=−+=−+，②由①②联立，得sinsin3cossinBCBC=，由()0,πC，得sin0C，所以tan3B=，又由()0,πB，得π3B=．（2）因为ABC△的面积为3，所以1132b=，得2

3b=．由1sin32acB=，即13322ac=，所以4ac=．由余弦定理，得2222cosbacacB=+−，即2212acac=+−，所以2()31224acac+=+=，可得26ac+=，所以ABC△的周长为2623abc++=

+．16．解：（1）由题意知223cea==，且22222642,acabc+=+=+，解得3,1,22abc===，则椭圆C的方程为2219xy+=．（2）易知四边形ABCD为平行四边形，设()()1122,,,AxyBxy，联立直线1l与椭圆223,:1,9yx

Cxy=++=消去y并整理得259390xx++=，由韦达定理得1212939,55xxxx+=−=，()221212314145ABkxxxx=++−=，因为AB与CD平行，所以这两条直线的距离()3362d−

−==，则平行四边形ABCD的面积314621655SABd===．17．（1）证明：因为//,90ABCDABC=，所以90BCD=，所以2222,45BDBCCDCBD=+==，所以45ABD=，因为22cos4BDABDAB==，所以90ADB=，即AD

BD⊥．又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD=，所以BD⊥平面PAD，因为PA平面PAD，所以BDPA⊥。（2）解：取AD的中点O，连接,POMO，由（1）知sin4522ADAB

==，因为2PAPD==，易知,2POADPO⊥=，因为M为AB的中点，O为AD的中点，所以12,//2OMBDOMBD==，所以OM⊥平面PAD，所以,,OPOMOD两两垂直，以O为坐标原点，,,OMODOP所在直线分别为,,xyz轴

，建立空间直角坐标系，则()()()()0,2,0,0,0,2,0,2,0,2,0,0APDM−，平面APD的法向量为()1,0,0m=，设平面PDM的法向量为(),,nxyz=，则()()()(),,0

,2,2220,,,2,0,2220,nPDxyzyznPMxyzxz=−=−==−=−=令1z=，则1xy==，故()1,1,1n=，故13cos,33mnmnmn===，设二面角APDM−−的

大小为，由图形可知，为锐角，故二面角APDM−−的余弦值为33．18．解：（1）()11fxxa=−−，由题意知()12102fa=−=−，解得1a=，经验证此时2x=为函数()fx的极值点，故1a=．（2）设()()ln94hxxaax=−+

−，定义域为9,4aa，()()()942129494axxahxxaaxxaax−−−=−=−−−−，设()()99424agxaxxaax=−−−，所以()22094gxax

−=−−，所以()gx在9,4aa上单调递减，又()9550,042aagaag==−，所以存在09,4axa使()()0009420gxaxxa=−−−=，所以当()0,xax时，()0gx，即()0hx

，函数()hx单调递增，当09,4axx时，()0gx，即()0hx，函数()hx单调递减，所以函数()hx的最大值()()()()max00000()ln94ln2hxhxxa

axxaxa==−+−=−+−，因为()94lnln2xfxaxaa−+−+−„恒成立，即()()00ln2ln222aaxaxa−+−+„恒成立，设()ln2(0)mxxxx=+，则()120mxx=+，所以()mx单调递增，所以02axa−„，即032ax„恒成立，因

为()gx在9,4aa上单调递减，且()00gx=，所以只需302ag„恒成立，即30aa−„，解得3a…．故a的取值范围是)3,+19．（1）解：（1）因为2nna=，则2111211222,222nnnnnnnnnnaaaa++++++

+−=−=−=−=，又122nn+，故211nnnnaaaa+++−−，即212nnnaaa+++，数列2n是“凹数列”．（2）解：因为等差数列nb的公差为1,4db=，所以()()1141nbbndnd

=+−=+−，因为数列nbn是凹数列，所以11211nnnbbbnnn−++−+对任意*2,nnN…恒成立，即()()42414211ndndndnnn+−+−++−+，所以444211ddddddnnn−−−++++−+，解得

4d．所以d的取值范围为(),4−．（3）证明：先证明必要性：因为nc为“凹数列”所以对任意的*nN，都有212nnnccc+++，即211nnnncccc+++−−，所以对任意的*,,kmnN，当kmn时

，有()()()()()11211nmnnnnmmmmccccccccnmcc−−−++−=−+−++−−−，所以1nmmmccccnm+−−−，又()()()()()()()112111mkmmmmkkmmmmccccccccmkccmkcc−−−+−+−=−+−++−

−−−−，所以1mknmmmccccccmknm+−−−−−．必要性成立，再证明充分性：对于任意的*,,kmnN，当kmn时，有mknmccccmknm−−−−，取1,2mknk=+=+，则有12111kkkkcccc+++−−

，即212kkkccc+++，所以nc为“凹数列”。