【文档说明】新人教版高中数学教材例题课后习题 必修一 2．2 基本不等式 Word版含解析.docx，共(13)页，532.364 KB，由小赞的店铺上传

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第二章一元二次函数､方程和不等式2.2基本不等式例1已知0x，求1xx+的最小值.分析：求1xx+最小值，就是要求一个0001yxx=+，使0x，都有01xyx+.观察1xx+，发现11xx=.联系基本不等式，可以利用正数x和1x的算术

平均数与几何平均数的关系得到02y=.解：因为0x，所以1122xxxx+=，当且仅当1xx=，即21x=，1x=时，等号成立，因此所求的最小值为2.例2已知x，y都是正数，求证：（1）如果积xy等于定值P，那么当xy=时，和xy+有最小值2P；（2）如果和

xy+等于定值S，那么当xy=时，积xy有最大值214S证明：因为x，y都是正数，所以2xyxy+.（1）当积xy等于定值P时，2xyP+，所以2xyP+，当且仅当xy=时，上式等号成立.于是，当xy=时，和xy+有最小值2P.（

2）当和xy+等于定值S时，2Sxy，所以214xyS，当且仅当xy=时，上式等号成立.于是，当xy=时，积xy有最大值214S.例3（1）用篱笆围一个面积为1002m的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？（2）用一段长为3

6m的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？分析：（1）矩形菜园的面积是矩形的两邻边之积，于是问题转化为：矩形的邻边之积为定的.值，边长多大时周长最短.（2）矩形菜园的周长是矩

形两邻边之和的2倍，于是问题转化为：矩形的邻边之和为定值，边长多大时面积最大.解：设矩形菜园的相邻两条边的长分别为xm，ym，篱笆的长度为()2mxy+.（1）由已知得100xy=.由2xyxy+，可得220xyxy+=，所以()240xy+，

当且仅当10xy==时，上式等号成立.因此，当这个矩形菜园是边长为10m的正方形时，所用篱笆最短，最短篱笆的长度为40m.（2）由已知得()236xy+=，矩形菜园的面积为2mxy.由18922xyxy+==，可得81xy，当且仅当9xy=

=时，上式等号成立.因此，当这个矩形菜园是边长为9m的正方形时，菜园的面积最大，最大面积是812m.例4某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为48003m，深为3m.如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，那么怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？分析：贮

水池呈长方体形，它的高是3m，池底的边长没有确定.如果池底的边长确定了，那么水池的总造价也就确定了.因此，应当考察池底的边长取什么值时，水池的总造价最低.解：设贮水池池底的相邻两条边的边长分别为xm，ym，水池的总造价为z元.根据题意，有()4800150120

23233xy=++()240000720xy=++.由容积为48003m，可得34800xy=，因此1600xy=.所以2400007202zxy+，当40xy==时，上式等号成立，此时297600z=.所以，将贮水池的池底设计成边长为40m的正方形时总

造价最低，最低总造价是297600元.练习1.已知a、bR，求证：22abab+.【答案】证明见解析【解析】【分析】利用作差法可证明出所证不等式成立.【详解】()2222222202444ababaabbaabbabab−+++−+

−=−==，22abab+，即22abab+.【点睛】本题考查利用作差法证明基本不等式的变形，考查推理能力，属于基础题.2.已知,xy都是正数，且xy.求证：（1）+>2yxxy；（2）2+xyxyxy.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】【分析】（1）由已知得>0,>0xyyx，运用基本不等式得+22yxyxxyxy=，可得证；（2）由基本不等式得+2xyxy，可得证.【详解】（1）>0,>0xy，>0,>0xyyx，+22yxyxxyxy=，由于当且仅当y

xxy=，即xy=时取等号，但xy，因此不能取等号，+>2yxxy；（2）>0,>0xy，+2xyxy，22+2xyxyxyxyxy=，当且仅当xy=时取等号，但xy，因此不能取等号，2+xyxyxy.【点睛】本题考查基本不等式的应用

于不等式的证明，在运用时注意满足基本不等式所需的条件：“一正二定三相等”，属于基础题.3.当x取什么值时，221xx+取得最小值？最小值是多少？【答案】1x=或1−时，221xx+取得最小值，最小值为2.【解析】【分析】利用基本不等式可求出221xx+的最小值，利用等号成立的条件求出对应的x

的值，从而可得出结论.【详解】22221122xxxx+=，当且仅当221xx=，即1x=时等号成立.所以，当1x=或1−时，221xx+取得最小值，最小值为2.【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，在应用基本不等式时，要注意“一正二定三相等”三个条件的成立，考查计算能力，

属于基础题.4.已知11x−，求21x−的最大值.【答案】1【解析】【分析】分1x=和11x−两种情况讨论，在11x−时，将代数式变形为()()2111xxx−=−+，利用基本不等式的变形可求出21x−的最大值，综合可得出结论.【详解】当1x=时，210x−=.当11x−

时，10x−，10x+，()()()()221111112xxxxx−++−=−+=，当且仅当11xx+=−，即0x=时取等号.21x−的最大值为1，此时0x=.【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，在应用基本不等式时，要注意“一正二定三相等”三个条件的

成立，考查计算能力，属于基础题.5.已知直角三角形的面积等于250cm，当两条直角边的长度各为多少时，两条直角边的和最小？最小值是多少？【答案】20【解析】【分析】设两条直角边分别为x，y，然后表示三角形的面积，最后根据基本不等式2xyxy+，求两条直角边的和.【详解

】解：设三角形两直角边分别为x，y，则面积1502Sxy==，所以100xy=，故220xyxy+=，当且仅当10xy==时，取等号.所以，当直角三角形直角边都为10时，两条直角边的和最小为20.练习6.用20cm长的铁

丝折成一个面积最大的矩形，应当怎样折？【答案】矩形的一边长为5cm时，面积最大.【解析】【分析】设该矩形的长､宽分别为a，b，由题中条件，得到10ab+=，利用基本不等式，即可求出面积的最大值.【详解】设该矩形的长､宽分别为a，b，则10ab+=，故该矩形的面积为225

2abSab+==，当且仅当5ab==时，等号成立；即矩形的一边长为5cm时，面积最大为25.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，

必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.7.用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩

形菜园，墙长18m.当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？【答案】当矩形菜园平行于墙的一边的长为15cm，与之相邻的边的长为152cm时，菜园的面积最大，最大面积是22252m.【解析】【分析】设矩形

菜园平行于墙的一边的长为xm，与之相邻的边的长为ym，由题意得出220xy+=，利用基本不等式可求出菜园面积的最大值，利用等号成立的条件可求出矩形的边长，进而可得出结论.【详解】设矩形菜园平行于墙的一

边的长为xm，与之相邻的边的长为ym，菜园的面积为2Sm，则230xy+=，Sxy=.由基本不等式得211121900225222222242xySxyxy+====.当2xy=，即15x=，152y

=时，菜园的面积最大，最大面积是22252m.因此，当矩形菜园平行于墙的一边的长为15cm，与之相邻的边的长为152cm时，菜园的面积最大，最大面积是22252m.【点睛】本题考查基本不等式的应用，在利用基本不等式时，要结合定值条件对所求代数式进行合

理配凑，同时也要注意等号成立的条件，考查计算能力，属于基础题.8.做一个体积为332m,高为2m的长方形纸盒,底面的长与宽分别取什么值时用纸最少？【答案】底面的长与宽都为4时用纸最少.【解析】【分析】设底面的长为x，则宽为322x，然后要使用纸最少，只需表示出表面积，利用基本不等式求出最值即可．

【详解】设底面的长为x，宽为322x，161622162*32464Sxxxx=++=++当且仅当16,4xxx==时，用纸最少为64.底面的长与宽都为4时用纸最少．【点睛】本题主要考查了函数模型的选择与应用，以及基本不等式在最值问题中的应用，属于基

础题．9.已知一个矩形的周长为36cm，矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱．当矩形的边长为多少时，旋转形成的圆柱的侧面积最大？【答案】矩形的长、宽均为9cm时，旋转形成的圆柱侧面积最大.【解析】【分析】首先设矩形的长为a，宽为b，根据矩形的周长可以得到18ba=−，

再写出旋转形成的圆柱的侧面积表达式，利用基本不等式即可求得侧面积的最大值，由此可得结果.【详解】设矩形的长为a，宽为b，∵矩形的周长为36，∴()236ab+=，∴18ba=−，而旋转形成的圆柱的侧面积为()()2

1818812aaabaa+−=−=，当且仅当18aa=−，即9ab==时等号成立.∴当矩形的长、宽均为9时，旋转形成的圆柱侧面积最大.答：矩形的长、宽均为9cm时，旋转形成的圆柱侧面积最大.习题2.2复

习巩固10.（1）已知1x，求11xx+−的最小值；（2）求(10)xx−的最大值.【答案】（1）3；（2）5.【解析】【分析】（1）首先变形为1111yxx=−++−，再利用基本不等式求最值；（2）首先求函数的定义域，再利用基本不等式求最大值.【详解】（1）

1xQ，10x−，111(1)12(1)13111xxxxxx+=−++−+=−−−，当且仅当111xx−=−时，即当2x=时等号成立，11xx+−的最小值为3；（2）由(10)0xx−知010x.当0x=或10时，(10)

0xx−=；当010x时，100x−，由基本不等式可得10(10)52xxxx+−−=.当且仅当10xx=−，即当5x=时等号成立.综上，(10)xx−的最大值为5.【点睛】本题考查基本不等式求最值，重点考查转化与化归的思想，属于基础题型，基本不等式求最值的方法需记住“一

正，二定，三相等的原则”.11.（1）把36写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？（2）把18写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？【答案】（1）a=b=6时，它们的和最小，为

12；（2）a=b=9时，它们的积最大，为81【解析】【分析】（1）两个正数的积为定值，则和有最小值，由基本不等式可得；（2）两个正数的和为定值，则积有最大值，由基本不等式可得．【详解】设两个正数为a，b（1）36ab=，则212abab+=，当且仅当6ab

==等号成立，即a=b=6时，它们的和最小，为12.（2）18ab+=，则()2814abab+=当且仅当9ab==等号成立即a=b=9时，它们的积最大，为81.【点睛】本题考查基本不等式求最值．即两个正数，积为定

值时和有最小值，和为定值时积有最大值，都是当且仅当这两个数相等时取得最值．12.某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为248m，房屋正面每平方米的造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元，如果墙高为3m，且

不计房屋背面和地面的费用，那么怎样设计房屋能使总造价最低？最低总造价是多少？【答案】当房屋的正面边长为8m，侧面边长为6m时，房屋总造价最低，为63400元.【解析】【分析】设房屋的正面边长为xm，侧面边长为y

m，总造价为z元，由题意得出48xy=，然后根据题意得出z关于x的函数表达式，利用基本不等式可求出z的最小值，利用等号求出对应的x值，综合可得出结论.【详解】设房屋的正面边长为xm，侧面边长为ym，总造价为z元，则48xy=，即48yx=，576004

576004312006800580036005800236005800zxyxxxx=++=+++63400=.当5760043600xx=时，即当8x=时，z有最小值，最低总造价为634

00元.答：当房屋的正面边长为8m，侧面边长为6m时，房屋总造价最低，为63400元.【点睛】本题考查基本不等式的应用，在利用基本不等式时，要注意等号成立的条件，考查计算能力，属于基础题.综合运用13

.已知x、y、z都是正数，求证：()()()8xyyzzxxyz+++.【答案】见解析【解析】【分析】由基本不等式可得出2xyxy+，2yzyz+，2zxzx+，然后利用不等式的性质可得出结论.【详解】0x>，0y，0z，由基本不等式可得2xyxy+，2yzyz+，2zxzx+

，由不等式的性质可得()()()2228xyyzzxxyzxyyzzx=+++，当且仅当xyz==时等号成立.【点睛】本题考查利用基本不等式证明不等式，涉及不等式性质的应用，考查推理能力与计算能力，属于基础题.14.已知0x，求证：423xx−−的最大

值是243−.【答案】见解析【解析】【分析】利用基本不等式与不等式的性质可证明出结论.【详解】0x>，由基本不等式可得4442323223243xxxxxx−−=−+−=−，当且仅当43xx=时，即当2

33x=时，等号成立，因此，423xx−−的最大值是243−.【点睛】本题考查利用基本不等式求代数式的最值，在应用基本不等式时，要注意“一正二定三相等”条件的成立，考查计算能力，属于基础题.15.一家货物公司计划租地建造

仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费1y（单位：万元）与仓库到车站的距离x（单位：km）成反比，每月库存货物费2y（单位：万元）与x成正比；若在距离车站10km处建仓库，则1y和2y分别为2万元和

8万元，这家公司应该把仓建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小？【答案】5km【解析】【分析】设1kyx=，2ytx=，根据题中信息求出k和t的值，进而可得出两项费用之和z关于x的表达式，利用基本不等式可求出z的最小值，由等号成立求出对应的x值，进而

可得出结论.【详解】设1kyx=，2ytx=，当10x=时，1210ky==，2108yt==，20k=，0.8t=，120yx=，20.8yx=，两项费用之和为1220200.820.88zyyxxxx=+=+=.当且仅当200.8xx=时

，即当5x=时等号成立.即应将这家仓库建在距离车站5km处，才能使两项费用之和最小，且最小费用为8万元.【点睛】本题考查基本不等式的应用，在运用基本不等式求最值时，充分利用“积定和最小，和定积最大”的思想求解，同时也要注意等号成立的

条件，考查计算能力，属于基础题.拓广探索16.一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，一位顾客到店里购买10g黄金，售货员先将5g的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5g的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客.你认为顾

客购得的黄金是小于10g，等于10g，还是大于10g？为什么？【答案】大于10g，理由见解析【解析】【分析】设天平的左臂长为a，右臂长b，则ab¹，售货员现将5g的砝码放在左盘，将黄金xg放在右盘使之平衡；然后又将5g的砝码放入右

盘，将另一黄金yg放在左盘使之平衡，则顾客实际所得黄金为()xyg+，利用杠杆原理和基本不等式的性质即可得出结论.【详解】由于天平两臂不等长，可设天平左臂长为a，右臂长为b，则ab¹，再设先称得黄金为xg，后称得黄金为yg，则5

bxa=，5ayb=，5axb=，5bya=，5555210abababxybababa+=+=+=，当且仅当abba=，即ab=时等号成立，但ab¹，等号不成立，即10xy+.因此，顾客购得的黄金大于10g.【点睛】本题考查了利用基本不等式

的性质解决实际问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.设矩形()ABCDABAD的周长为24cm，把ABC沿AC向ADC折叠，AB折过去后交DC于点P，设ABxcm=，求ADP的最大面积

及相应x的值.【答案】最大面积是()2108722cm−，62x=.【解析】【分析】由题意可得出()12ADxcm=−，设PCacm=，则()DPxacm=−，证明出RtADPRtCBP，可得出APacm=，在RtADP中应用勾股定理得出21272xxax−

+=，由此可得出ADP的面积关于x的表达式，利用基本不等式可求出ADP面积的最大值，利用等号成立的条件求出x值，由此可得出结论.【详解】如图，设ABxcm=，由矩形()ABCDABAD的周长为24cm，可知()12ADxcm=−.设PCacm=，则()D

Pxacm=−，APDCPB=，90ADPCBP==，ADCB=，RtADPRtCBP，APPCacm==.在RtADP中，由勾股定理得222ADDPAP+=，即()()22212xxaa−+−=，解得21272xxax−+=，所以1272xDP

xax−=−=.所以ADP的面积为()211127218727212661822xxxSADDPxxxxx−−+−==−==−++.由基本不等式与不等式的性质，得726218108722Sxx

−+=−，当且仅当72xx=时，即当62x=时，ADP的面积最大，面积的最大值为()2108722cm−.