【文档说明】【精准解析】河北省衡水中学2020届高三高考考前密卷（一）数学（理）试题.doc，共(29)页，2.645 MB，由小赞的店铺上传

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衡水2019-2020届高考考前密卷(一)数学(理)注意事项：1，本试卷分第1卷(选择题)和第1卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟.2，答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在本卡相应的位置.3，全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4，考试结束，将本试题和答题卡一并交

回.第1卷(选择题共60分)一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合2{|320}Axxx=−+，2|lo1gBxx=，则

AB=（）A.|12xxB.2|1xxC.2|0xxD.2|0xx【答案】C【解析】【分析】分别求出集合,AB，然后取并集即可.【详解】由题意，2{|320}Axxx=−+{|12}xx=，2|log12|0Bxxxx==，所以A

B=2|0xx.故选：C.【点睛】本题考查不等式的解法，考查集合的并集，考查学生的计算求解能力，属于基础题.2.已知1z、2z均为复数，下列四个命题中，为真命题的是（）A.2111||||zzz==B.若2||2z=，则2z的取值集合为{2,2,2,2}ii−−（i

是虚数单位）C.若22120zz+=，则10z=或20z=D.1212zzzz+一定是实数【答案】D【解析】【分析】对A，取1zi=，即可判断出正误；对B，由2||2z=，则22(cossin)zi=+，[0，2)；对C，取1zi=，2zi=−，即可否定；对D，设1zabi=+，2zcd

i=+，a，b，c，dR，利用复数的运算法则即可判断出正误．【详解】对A，例如取1zi=，则21z无意义，故A错误；对B，2||2z=，取22(cossin)zi=+，[0，2)，故B错误；对C，例如取1zi=，2zi=−，满足条件，故C错误；对D，设1zabi=

+，2zcdi=+，a，b，c，dR，则1212()()zzzzabicdi+=+−()()()()2abicdiacbdbcadiacbdadbciac+−+=++−+−+−=，所以1212zzzz+是实数，故D正确

．故选：D．【点睛】本题考查复数的运算法则、复数的相关概念，考查逻辑推理能力和运算求解能力.3.已知正实数,ab满足21()log2aa=，21()log3bb=，则（）A.1abB.1baC.1baD.1ab【答案】B【解析】【分析】在同一坐标系内

，分别作出函数211(),()log23xxyyyx===的图象，结合图象，即可求解．【详解】由题意，在同一坐标系内，分别作出函数211(),()log23xxyyyx===的图象，结合图象可得：1ba，故选B．【点睛】本题主要考查了指数

函数、对数函数的图象与性质的应用，其中解中熟记指数函数、对数函数的图象，结合图象求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于中档试题．4.2019年5月22日具有“国家战略”意义的“长三角一体化

”会议在芜潮举行，长三角城市群包括，上海市以及江苏省､浙江省､安徽省三省部分城市，简称“三省一市".现有4名高三学生准备高考后到上海市､江苏省､浙江省､安徽省四个地方旅游，假设每名同学均从这四个地方中任意选取一个去旅游则恰有一个地方未被选中的概

率为（）A.2764B.916C.81256D.716【答案】B【解析】【分析】求出4名同学去旅游的所有情况种数，再求出恰有一个地方未被选中的种数，由概率公式计算出概率．【详解】4名同学去旅游的所有情况有：44256=种恰有一个地方未被选中共有2

113424322144CCCAA=种情况；所以恰有一个地方未被选中的概率：144925616p==；故选：B.【点睛】本题考查古典概型，解题关键是求出基本事件的个数，本题属于中档题．5.已知函数()2sin()(0,0)fxx

=+的部分图象如图所示，点()0,3A，,03B，则下列说法错误的是（）A.直线12x=是()fx图象的一条对称轴B.()fx的最小正周期为C.()fx在区间,312−上单

调递增D.()fx的图象可由()2sin2gxx=向左平移3个单位而得到【答案】D【解析】【分析】根据三角函数的图象，求得函数的解析式()2sin(2)3fxx=+，再结合三角函数的图象与性质，逐项判定，即可求求解.【详解】由

题意，函数()2sin()fxx=+的图象过点()0,3A，可得()03f=，即2sin3=，即3sin2=，因为0，所以3=，即()2sin()3fxx=+，又由点,03B，即()

2sin()0333f=+=，可得33+=，解得2=，所以函数的解析式为()2sin(2)3fxx=+，令12x=，可得2121()2sin(2)si222n3f=+==，所以1

2x=是函数()fx的一条对称轴，所以A是正确的；由正弦型函数的最小正周期的计算的公式，可得222T===，所以B是正确的；当(,)312x−，则2(,)332x+−，根据正弦函数的性质，可得函数()fx在区间(

,)312−单调递增，所以C是正确的；由函数()2sin2gxx=向左平移3个单位而得到函数22sin[2()]2sin(2)33yxxpp=+=+，所以选项D不正确.故选：D.【点睛】本题主要考查了利用三角函数的图象求解

三角函数的解析式，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记三角函数的图象与性质，准确计算与逐项判定是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.6.设向量a与b的夹角为，定义a与b的“向量积”：ab是一个向

量，它的模||||||sinabab=，若(3,1),(1,3)ab=−−=，则||ab（）A.3B.2C.23D.4【答案】B【解析】【分析】根据(3,1),(1,3)ab=−−=，利用数量积运算求得夹角，进而得到夹角的正弦值，再代入公式||||||sinabab=求解.

【详解】(3,1),(1,3)ab=−−=||2,||2ab==233cos,42||||abab−===−则1sin2=||||||sin2abab==，故选：B【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算以及向量积的新定义运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.7.已

知621(1)axx++的展开式中各项系数的和为256，则该展形式中3x的系数为（）A.26B.32C.38D.44【答案】C【解析】【分析】令1x=，由系数和求得a，然后求得6(1)x+展开式中3

x和5x的系数，由多项式乘法法则得结论．【详解】令1x=则6(1)2256,3aa+==，∴6231(1)xx++展开式中含3x的项为26335536338CxCxxx+=，所以3x的系

数为38.故选：C.【点睛】本题考查二项式定理，考查用赋值法求展开式中所有项的系数和，对多项式相乘问题，除要掌握二项展开式通项公式外还应掌握多项式乘法法则．8.执行如下的程序框图，则输出的S是（）A.3

6B.45C.36−D.45−【答案】A【解析】【分析】列出每一步算法循环，可得出输出结果S的值.【详解】18i=满足，执行第一次循环，()120111S=+−=−，112i=+=；28i=成立，执行第二次循环，()221123S=−+−=，213i=

+=；38i=成立，执行第三次循环，()323136S=+−=−，314i=+=；48i=成立，执行第四次循环，()4261410S=−+−=，415i=+=；58i=成立，执行第五次循环，()52101515S=+−=−，516i=+=；68i=成立，执行第六次循环，

()62151621S=−+−=，617i=+=；78i=成立，执行第七次循环，()72211728S=+−=−，718i=+=；88i=成立，执行第八次循环，()82281836S=−+−=，819i=+=；98i=

不成立，跳出循环体，输出S的值为36，故选A.【点睛】本题考查算法与程序框图的计算，解题时要根据算法框图计算出算法的每一步，考查分析问题和计算能力，属于中等题.9.数列na满足1aZ，123nnaan+

+=+，且其前n项和为nS.若13mSa=，则正整数m=（）A.99B.103C.107D.198【答案】B【解析】【分析】根据递推公式，构造新数列1nan−−为等比数列，求出数列{}na通项，再并项求和，将13S用1a表示，再结合通项公式，即可

求解.【详解】由123nnaan++=+得()()1111nnanan+−+−=−−−，∴1nan−−为等比数列，∴()()11112nnana−−−=−−，∴()()11121nnaan−=−−++，()()11121m

maam−=−−++，∴()()131231213Saaaaa=+++++()112241236102aa=+++++=+，①m为奇数时，1121102ama−++=+，103m=.②m为偶数时，()1121102

ama−−++=+，1299ma=+，∵1aZ，1299ma=+只能为奇数，∴m为偶数时，无解.综上所述，103m=.故选:B.【点睛】本题考查递推公式求通项，合理应用条件构造数列时解题的关键，考查并项求和，考查分类讨论思想，属于较难题.10.已知双曲线

22221xyab−=(0a,0b)的左、右焦点分别为1F,2F,过2F的直线交双曲线右支于,PQ两点,且1PQPF⊥,若134PQPF=,则该双曲线离心率e=()A.103B.105C.173D.375【答案】C【解析】【分析】由1PQPF⊥,134PQPF=,可得1QF与1P

F的关系,由双曲线的定义可得12122aPFPFQFQF=−=−,解得|1PF,然后利用12RtPFF,推出,ac的关系,可得双曲线的离心率.【详解】设,PQ为双曲线右支上一点,由1PQPF⊥,134PQPF=,在直角三角形1PFQ中22111

5||4QFPFPQPF=+=由双曲线的定义可得:12122aPFPFQFQF=−=−134PQPF=22134PFQFPF+=可得:111532244PFaPFaPF−+−=1351444PFa−+=解得183aP

F=21223aPFPFa=−=在12RtPFF中根据勾股定理:221282233aacFF==+解得:21723ca=173cea==故选:C.【点睛】本题考查了求双曲线的离心率,解题关键是掌握离心率的定义和根据条件画出草图,数形结合,寻找几何关系,考查了分析能力

和计算能力,属于中档题.11.在三棱锥PABC−中,ABC与PBC均为边长为1的等边三角形,,,,PABC四点在球O的球面上,当三棱锥PABC−的体积最大时,则球O的表面积为()A.53πB.2C.5D.203【答案】A【解析】【分析】由A

BC与PBC均为边长为1的等边三角形,,,,PABC四点在球O的球面上,当三棱锥PABC−的体积最大时,即面ABC与面PBC垂直,画出图像,求出此时的三棱锥PABC−外接球的半径,即可求得答案.【详解】当三棱锥PABC−的体积最大时,即面ABC与面PBC垂直画

出立体图像:设PBC外接圆圆心为M,ABC外接圆圆心为N,PABC−外接球的半径为R,取BC中点为QPBC等边三角形PQBC⊥又面ABC⊥面PBC垂直PQ⊥面ABCAQ面ABCPQ⊥AQABC与PBC均为边长为1的等边三角形可得ABC与PBC外接圆半径为:3

3即33ANPM==则36NQMQ==又OM⊥面PBC,ON⊥面ABC四边形OMNQ是正方形,36NQMQOMON====在RtPMO△中有:222POOMPM=+解得:2223353612PO=+=故PABC−外接球的半径为251

2R=球的表面积公式为:25544123SR===故选:A.【点睛】本题考查了求三棱锥外接球表面积,解题关键是掌握三棱锥外接球半径的求法,画出立体图形,结合图形,寻找几何关系,考查了空间想象能力和计算能力,属于基础题.12.已知函数()fx与

()fx的图象如图所示，则不等式()()04fxfxx的解集为（）A.()0,1B.41,3C.4,23D.()2,4【答案】A【解析】【分析】对图中实线部分曲线为函数()yfx=或其导函数()yfx=的图象进行分类讨论，结合导数符号与原函数单调性之间

的关系进行分析，再结合图象得出不等式()()04fxfxx的解集.【详解】若图中实线部分曲线为函数()yfx=的图象，则虚线部分曲线为导函数()yfx=的图象，由导函数()yfx=的图象

可知，函数()yfx=在区间()0,4上的单调递减区间为()0,2，但函数()yfx=在区间()0,2上不单调，不合乎题意；若图中实线部分曲线为导函数()yfx=的图象，则函数()yfx=在区间()0,4上的减区间为40,3，增区间为4,43

，合乎题意.由图象可知，不等式()()04fxfxx的解集为()0,1.故选：A.【点睛】本题考查利用图象解不等式，解题的关键就是要结合导函数与原函数之间的关系确定两个函数的图象，考查数形结合思想以及推理能力，属于中等题.第11卷(非选择题共90分)本卷包括必

考题和选考题两部分，第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22-23题据要求作答､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康，要求产品在进入市场前必

须进行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售.已知某产品第一轮检测不合格的概率为16，第二轮检测不合格的概率为110，两轮检测是否合格相互没有影响.若产品可以销售，则每件产品获利40元；若产品不能销售，则每件产品亏损80元.已知一

箱中有4件产品，记一箱产品获利X元，则P(X≥－80)＝________.【答案】243256【解析】【分析】首先求某产品两轮检测合格的概率113116104−−=，X的所有可能取值为－320，－200，－80,40,160，然后根据二项分布

求其概率，并计算()80PX−.【详解】由题意得该产品能销售的概率为113116104−−=,易知X的所有可能取值为－320，－200，－80,40,160，设ξ表示一箱产品中可以销售的件数，则ξ～B34

,4，所以()443144kkkPkC−==，所以P(X＝－80)＝P(ξ＝2)＝2224312744128C=，P(X＝40)＝P(ξ＝3)＝33431274464C

=，P(X＝160)＝P(ξ＝4)＝4044318144256C=,故P(X≥－80)＝P(X＝－80)＋P(X＝40)＋P(X＝160)＝243256【点睛】本题考查独立事件同

时发生的概率和二项分布，意在考查分析问题和解决问题的能力，对于此类考题，要注意认真审题，从数学与实际生活两个角度来理解问题的实质,将问题成功转化为古典概型，独立事件、互斥事件等概率模型求解，因此对概率型应用性问题，理解是基础，转化是关键.

14.已知()sin(2019)cos(2019)63fxxx=++−的最大值为A，若存在实数12,xx使得对任意实数x总有12()()()fxfxfx成立，则12Axx−的最小值为______

______【答案】22019【解析】【分析】利用三角恒等变换可得f（x）=2sin（2019x+6），依题意可知A=2，|x1﹣x2|的最小值为12T=2019，从而可得答案．【详解】∵f（x）=sin（2019x+6）+cos（2019x﹣3），=32sin2019x+12cos2

019x+12cos2019x+32sin2019x，=3sin2019x+cos2019x=2sin（2019x+6），∴A=f（x）max=2，周期T=22019，又存在实数x1，x2，对任意实数x总有f（x1

）≤f（x）≤f（x2）成立，∴f（x2）=f（x）max=2，f（x1）=f（x）min=﹣2，|x1﹣x2|的最小值为12T=2019，又A=2，∴A|x1﹣x2|的最小值为22019．故答案为22019．【点睛】本题考查三角函数的最值，着重

考查两角和与差的正弦与余弦，考查三角恒等变换，突出正弦函数的周期性的考查，属于中档题．15.设函数()fx在定义域(0，+∞)上是单调函数，()()0,,xxffxexe+−+=，若不等式()(

)fxfxax+对()0,x+恒成立，则实数a的取值范围是______．【答案】(,21e−−【解析】【分析】先利用换元法求出()fx，然后再用分离变量法，借助函数的单调性解决问题．【详解】解：由题意可设()

xfxext−+=，则()xfxext=−+，∵()xffxexe−+=，∴()ttftettee=−+==，∴1t=，∴()1xfxex=−+，∴()1xfxe=−，由()()fxfxax+得11xxexeax−++−，∴21xeax−对()0,x+恒成

立，令()21xegxx=−，()0,x+，则()()221'xexgxx−=，由()'0gx=得1x=，∴()gx在()0,1上单调递减，在()1,+单调递增，∴()()121gxge=−，∴21ae−，故答案为

：(,21e−−．【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的最值，考查利用函数的单调性解决恒成立问题，属于中档题．16.已知抛物线()220ypxp=，F为其焦点，l为其准线，过F任作一条直线交抛物线于,AB两点，1A、1B分别为A、B在l上的

射影，M为11AB的中点，给出下列命题：（1）11AFBF⊥；（2）AMBM⊥；（3）1//AFBM；（4）1AF与AM的交点的y轴上；（5）1AB与1AB交于原点.其中真命题的序号为_________.

【答案】（1）（2）（3）（4）（5）【解析】【分析】（1）由A、B在抛物线上，根据抛物线的定义可知1AAAF=，1BBBF=，从而有相等的角，由此可判断11AFBF⊥；（2）取AB的中点C，利用中位线即抛物线的定义可得()1122CMAFBFAB=+=，从而可得AMBM⊥；

（3）由（2）知，AM平分1AAF，从而可得1AFAM⊥，根据AMBM⊥，利用垂直于同一直线的两条直线平行，可得结论；（4）取1AA与y轴的交点D，可得1ADOF=，可得出1AF的中点在y轴上，从而得出结论；（5）设直线AB的方程为2pxmy=+，设点()11,Ax

y、()22,Bxy，证明出1A、O、B三点共线，同理得出A、O、1B三点共线，由此可得出结论.【详解】（1）由于A、B在抛物线上，且1A、1B分别为A、B在准线l上的射影，根据抛物线的定义可知1AAAF=，1BBBF=，则11AAFAFA=，11BBFBFB

=，11//AABB，11180FAAFBB+=，则1111180AAFAFABBFBFB+++=，即()112180AFABFB+=，1190AFABFB+=，则1190AFB=，即11AFBF⊥，（1）正确；（2）取AB的中点C，则()1122CMA

FBFAB=+=，90AMB=，即AMBM⊥，（2）正确；（3）由（2）知，1//CMAA，1AAMAMC=，12CMABAC==，AMCCAM=，1AAMCAM=，AM平分1AAF，1AMA

F⊥，由于BMAM⊥，11//AFBM，（3）正确；（4）取1AA与y轴的交点D，则12pADOF==，1//AAx轴，可知1ADEFOE，1AEEF=，即点E为1AF的中点，由（3）知，AM平分1AAF，1AM过点E，所以，1AF与AM的交点的y轴上，（4）正确

；（5）设直线AB的方程为2pxmy=+，设点()11,Axy、()22,Bxy，则点11,2pAy−、12,2pBy−，将直线AB的方程与抛物线的方程联立，消去x得，2220ympyp−−=，由韦达定理得212yyp=−，122yymp+=，直线1OA

的斜率为1221122222OApyyypkpppy−==−=−=−，直线OB的斜率为22222222OByypkyxyp===，1OAOBkk=，则1A、O、B三点共线，同理得出A、O、1B三点共线，所以，

1AB与1AB交于原点，（5）正确.综上所述，真命题的序号为：（1）（2）（3）（4）（5）.故答案为：（1）（2）（3）（4）（5）.【点睛】本题考查抛物线的几何性质，涉及抛物线定义的应用，考查推理能力，属于中等题.三､解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演

算步骤.(一)必考题：共60分17.设公差不为0的等差数列na的前n项和为nS，等比数列nb的前n项和为nT，若2a是1a与4a的等比中项，612a=，11221abab==.(1)求na，nS与nT;(2)若

nnncST=，求证:()1222nnnccc++++.【答案】(1)2nan=，()1nSnn=+，112nnT=−;(2)见解析【解析】【分析】（1）由题意得，2214aaa=，代入等差数列的通项公式即可求得首项与公差，则等差数列的通项公式

与前n项和可求，再将12,aa代入11221abab==，利用等比数列通项公式求出1b，q，进而可得nT；（2）由()1112nncnn=+−，结合10112n−恒成立，即可得到11(1)(1)42ncnnnnn

+++=+，结合等差数列的前n项和公式即可证明()1222nnnccc++++.【详解】(1)根据定义求解.由题易知()()2111135120adaadadd+=++=解得122ad==，故()112naandn=+−

=，()()112nnaanSnn+==+，1122111241ababbbq====解得112b=，12q=，则1112nnnbbq−==，()11112nnnbqTq−==−−，nN+.(2)由题可知()1112nncnn=+−，又10112

n−，则2111112422nnn+−−+，121(1)1(2)1232222nnnnncccnnn++++++++++=+=，即()1222nnnccc++++

成立.【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查等比数列的性质，训练了利用放缩法证明数列不等式，是中档题.18.某大型公司为了切实保障员工的健康安全，贯彻好卫生防疫工作的相关要求，决定在全公司范围内举行一次乙肝普查，为此需要抽验960人的血样进行化验，由

于人数较多，检疫部门制定了下列两种可供选择的方案.方案①：将每个人的血分别化验，这时需要验960次.方案②：按k个人一组进行随机分组，把从每组k个人抽来的血混合在一起进行检验，如果每个人的血均为阴性，则验出的结果呈阴性，这k个人的血就只

需检验一次；否则，若呈阳性，则需对这k个人的血样再分别进行一次化验，这样，该组k个人的血总共需要化验1k+次.假设此次普查中每个人的血样化验呈阳性的概率为p，且这些人之间的试验反应相互独立.（1）设方案②中，某组k个人中每个人的血化验次数为X，求X的分布列；（2）设0.1p=，试比较

方案②中，k分别取2，3，4时，各需化验的平均总次数；并指出在这三种分组情况下，相比方案①，化验次数最多可以平均减少多少次？(最后结果四舍五入保留整数).【答案】（1）见解析（2）390次【解析】【分

析】（1）设每个人的血呈阴性反应的概率为q，则1qp=−，11,1Xkk=+，求出k个人的血混合后呈阴性反应的概率，呈阳性反应的概率得分布列；（2）由（1）计算出期望()EX，令2,3,4k=分别计算出均值后可得检验

次数，从而可得结论．【详解】（1）设每个人的血呈阴性反应的概率为q，则1qp=−所以k个人的血混合后呈阴性反应的概率为kq，呈阳性反应的概率为1kq−依题意可知11,1Xkk=+，所以X的分布列为：X1k11k+P

kq1kq−（2）方案②中结合（1）知每个人的平均化验次数为：()111()111kkkEXqqqkkk=++−=−+所以当2k=时，21()0.910.692EX=−+=，此时960人需要化验的总次数为662次，

3k=时，31()0.910.60433EX=−+=，此时960人需要化验的总次数为580次，4k=时，41()0.910.59394EX=−+=，此时960人需要化验的次数总为570次即2k=时化验次数最多，3k=时次数居中，4k=时化验次数最少而采

用方案①则需化验960次，故在三种分组情况下，相比方案①，当4k=时化验次数最多可以平均减少960570390−=次．【点睛】本题考查随机变量的概率分布列，考查用样本估计总体，考查了学生的数据处理能力和运算求解能力．19.如图，直三棱柱111AB

CABC−中，90BAC=，1ABAC==，D，E分别为1AA，1BC的中点．（1）证明：DE⊥平面11BCCB；（2）已知1BC与平面BCD所成的角为30°，求二面角1DBCB−−的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）2

2．【解析】【分析】（1）取BC中点F，连接AF、EF，根据题目条件，利用线面垂直的判定定理，得出AF⊥平面11BCCB，由于E为1BC中点，1EFBB，112EFBB=，可证出四边形ADEF为平行四边形，得出AFDE∥

，从而可证出DE⊥平面11BCCB；（2）设1ABAC==，12AAa=，根据（1）可知，DE⊥平面1BCB，则D到平面1BCB距离22DE=，设1B到面BCD距离为d，根据三棱锥等体积法有11BBDCDBCBVV−−=，得1

1133BCBBDCSDESd=△△，得2221ada=+，因为1BC与平面BCD所成的角为30°，可求出22a=，结合线面垂直的判定定理证出BC⊥平面DEFA，进而得出EFD为二面角1DBCB−−的平面角，只需求出EFD，即可求出二面角1DBCB−−的余弦值．【详解】解：（1）取

BC中点F，连接AF、EF，∵ABAC=∴AFBC⊥，∵1BB⊥平面ABC，AF平面ABC，∴1BBAF⊥，而BC平面11BCCB，1BB平面11BCCB，1BCBBB=∩∴AF⊥平面11BCCB，∵E为1BC中点，

∴1EFBB，112EFBB=，∴EFDA，EFDA=，∴四边形ADEF为平行四边形，∴AFDE∥．∴DE⊥平面11BCCB．（2）设1ABAC==，12AAa=，则2BC=，22AF=，21BDDCa==+，∴22212DFADAFa=+=+∴21212

2BDCaSBCDF+==△，11122BCBSBBBCa==，D到平面1BCB距离22DE=，设1B到面BCD距离为d，由11BBDCDBCBVV−−=，得11133BCBBDCSDESd=△△，即21212123232aad+=

，得2221ada=+，因为1BC与平面BCD所成的角为30°，所以12222sin3021daBCda===+，而在直角三角形1BBC中，2221142BCBBBCa=+=+，所以22242221aaa+=+，解得22a=

．因为AF⊥平面11BCCB，BC平面11BCCB，所以AFBC⊥，又EF⊥平面11BCCB，BC平面11BCCB，所以EFBC⊥，所以BC⊥平面DEFA，∵DF平面DBC，EF平面1BBC所以EFD为二面角1DBCB−−的平面角，而22DAAF

==，可得四边形DAFE是正方形，所以45EFD=，则2coscos452EFD==，所以二面角1DBCB−−的余弦值为22．【点睛】本题考查线面垂直的判定定理，以及利用几何法求二面角余弦值，涉

及平行四边形的证明、等体积法求距离、棱锥的体积，线面角的应用等知识点，考查推理证明能力和计算能力.20.已知椭圆22221(0)xyabab+=的左､右焦点分别为12,FF，离心率为22，P是椭圆上一点，

且△12PFF面积的最大值为1.（1）求椭圆C的方程；（2）过2F且不垂直坐标轴的直线l交椭圆C于A，B两点，在x轴上是否存在一点(,0)Nn，使得22||:||:ANBNAFBF=，若存在，求出点(,0)Nn，若不存在，说明理由.【答案】（1）2212xy+=;（2）(1,0)N,过程见解析【解

析】【分析】（1）当P是椭圆短轴顶点时，△12PFF面积取得最大值，建立方程组可得（2）设直线方程，联立得22121222422,2121kkxxxxkk−+==++若22||:||:ANBNAFBF=，则0NBNAkk

+=，得12120yyxnxn+=−−化简得1n=【详解】（1）121212PFFPSFFy=，由椭圆性质知当=Pyb时，△12PFF面积最大.由题得：222121222cbcaabc===+解得21ab==所以椭圆方程为：2

212xy+=（2）设直线方程为(1)ykx=−，1122(,),(,)AxyBxy22(1)21yxxyk=−+=化简得2222(21)4220kxkxk+−+−=22121222422,2121kkxxxxkk−+==++22||:||:ANBNAFBF=，如图，

作//AMBN交2NF延长线与M点，易证得22||||AFAMBNBF=,22||:||:ANBNAFBF=AMAN=22ANFBNF=所以2FN是ANB的角平分线,则有0NBNAkk+=12120yyxnxn+=−−，1221(1)(1)

0yxyx−+−=1122,ykxkykxk=−=−1221()(1)()(1)0kxkxkxkx−−+−−=12212()(+)20kxxknkxxkn+++=22222242()202121kkkknkknkk−+++=++

化简得1n=所以存在点(1,0)N满足题意.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，圆锥曲线的取值范围等基本知识与基本技能，以及数形结合、转化与化归的数学思想.意在考查考生的运算求解能力、推理论证能力以及分析问题、解决问题的能力.21.已知函数()2xfxeax=−.（1）

讨论()fx的单调性；（2）当0x时，()21fxax+，求a的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）(,2−.【解析】【分析】（1）求出函数()yfx=的导数，分0a和0a两种情况讨论，分析导数()fx的符号变化，即可求出函数()yfx=的单调区间；（2）问题变形为2210xeax

ax−−−，令()221xgxeaxax=−−−，由题意得出()()00gxg=，根据函数()ygx=的单调性确定a的范围即可．【详解】（1）()2xfxeax=−，定义域为R且()22xfxea=−.①当0a时，则()0fx，则函数()yfx=在R上单调递增；②当0a时，由()0f

x=，得22xea=，得1ln22ax=.当1ln22ax时，()0fx，函数()yfx=单调递减；当1ln22ax时，()0fx，函数()yfx=单调递增.此时，函数()yfx=的单调减区间为1,l

n22a−，单调增区间为1ln,22a+.综上所述，当0a时，函数()yfx=的单调递增区间为(),−+；当0a时，函数()yfx=的单调减区间为1,ln22a−，单调增区间为1ln,22a+

；（2）()21fxax+变形为2210xeaxax−−−，令()221xgxeaxax=−−−，定义域为()0,+，且()00g=，()()2222xgxeaxafxa=−−=−.①当0a时，对任意的0x，()0gx，函数()ygx=在区间()0,+上为增函数，此时，()

()00gxg=，合乎题意；②当0a时，则函数()ygx=在R上的单调减区间为1,ln22a−，单调增区间为1ln,22a+.（i）当1ln022a时，即当02a时，则函数(

)ygx=在区间()0,+上为增函数，此时()()020gxga=−，则函数()ygx=在区间()0,+上为增函数.此时，()()00gxg=，合乎题意；（ii）当1ln022a时，即当2a时，则函数()

ygx=在区间10,ln22a上单调递减，在区间1ln,22a+上单调递增，所以，()min1lnln0222aagxga==−，又()020ga=−，所以，函数()ygx=在区间

10,ln22a上单调递减，当10,ln22ax时，()()00gxg=，不合乎题意.综上所述，实数a的取值范围是(,2−.【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考

查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．(二)选考题：共10分，请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为112212xttytt=+=−（t为参数）.以坐标

原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系.直线l的极坐标方程为2cossin0m−+=.（1）求C和l的直角坐标方程；（2）已知l与C相切，求m的值.【答案】（1）C的直角坐标方程为2212yx−=,直线l的直角坐标方程为20xym−+=（2）2m=【解析】【

分析】（1）将112212xttytt=+=−化为1212xttytt=+=−，两式平方相减，消去参数t，求得C的普通方程；cos,sinxy==代入极坐标

方程，即可求出直线l的直角坐标方程；（2）直线l与曲线C方程联立，消去y，得到关于x的一元二次方程，l与C相切，0=，即可求解.【详解】解：（1）因为()222122xtt=++，2222122ytt=+−，两式相减，有22424xy−=，所以C的直角坐标方程为221

2yx−=.直线l的直角坐标方程为20xym−+=.（2）联立l与C的方程，有221220yxxym−=−+=，消y，得222420xmxm+++=，因为l与C相切，所以有()222164228160mmm=−+=−=，解得：2m=.【点睛】本题考查参数方程与普通方程互化，极坐标

方程与直角坐标方程互化，考查直线与圆锥曲线的位置关系，属于中档题,23.已知0a，0b，0c设函数()fxxbxca=−+++，xR（1）若2abc===，求不等式()7fx的解集；（2）若函数()fx的最小值

为2，证明：4199()2abcabbcca+++++++．【答案】（1）55,,22−−+；（2）见解析【解析】【分析】（1）根据题意，当a＝b＝c＝2时，f（x）＝|x﹣2|+|x+2|+2，然后利用零点分段法解不等式即

可；（2）根据题意，由绝对值不等式的性质可得f（x）的最小值为2，所以a+b+c＝2，进而利用柯西不等式即可证明不等式．【详解】解：（1）解：（1）当a＝b＝c＝2时，f（x）＝|x﹣2|+|x+2|+2所以f（

x）>7⇔2227xx−−或2267x−＜＜或2227xx+所以不等式的解集为55,,22−−+；（2）因为a＞0，b＞0，c＞0所以()()()

fxxbxcaxbxcabcaabc=−+++−−++=++=++因为f（x）的最小值为2，所以a+b+c＝2()()()41914192abbccaabbccaabbcca++=+++++++++++++21

213189()422abbccaabcabbcca+++++==+++++【点睛】本题考查绝对值不等式的解法以及不等式的证明，涉及柯西不等式的应用，考查转化能力与计算能力，属于基础题．