【文档说明】《备战中考数学抢分秘籍》秘籍16 解直角三角形(解析版).docx，共(46)页，3.133 MB，由管理员店铺上传

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1秘籍16解直角三角形【考点总结】一、直角三角形的性质1．直角三角形的两锐角互余．2．直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半．3．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．4．勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．【

考点总结】二、直角三角形的判定1．有一个角等于90°的三角形是直角三角形．2．有两角互余的三角形是直角三角形．3．如果三角形一边上的中线等于这边的一半，则该三角形是直角三角形．4．勾股定理的逆定理：如果三角形一条边的平方等于另外两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形．【考

点总结】三、锐角三角函数定义在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，C．sinA=∠A的对边斜边=ac；cosA＝∠A的邻边斜边＝bc；tanA＝∠A的对边邻边＝ab.【考点总结】四、特殊角的三角函数值2【考点总结】五、解直角三角形1．直角三角形的边角关系：在Rt

△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，C．(1)三边之间的关系：a2＋b2＝c2；(2)锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°；(3)边角之间的关系：sinA＝ac，cosA＝bc，tanA＝ab，sinB＝bc，cosB＝ac，tanB＝ba.2．解

直角三角形的几种类型及解法：(1)已知一条直角边和一个锐角(如a，∠A)，其解法为：∠B＝90°－∠A，c＝asinA，b＝atanA(或b＝c2－a2)；(2)已知斜边和一个锐角(如c，∠A)，其解法为：

∠B＝90°－∠A，a＝c·sinA，b＝c·cosA(或b＝c2－a2)；(3)已知两直角边a，b，其解法为：c＝a2＋b2，由tanA＝ab，得∠A，∠B＝90°－∠A；(4)已知斜边和一直角边(如c，a)，其解法为：b＝c2－a2，由sinA＝ac，求出∠A，∠B＝90°－∠A．【考点总结

】六、解直角三角形的应用1．仰角与俯角：当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角；当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角．32．坡角与坡度：坡角是坡面与水平面所成的角；坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度(或坡比)，常用i表示，也就是坡角的正切值，

坡角越大，坡度越大，坡面越陡．一、单选题1．（2021·上海杨浦区·九年级一模）如果小丽在楼上点A处看到楼下点B处小明的俯角是35°，那么点B处小明看点A处小丽的仰角是（）A．35°B．45°C．55°D．65°【答案】A【分析】根据两点之间的仰角与俯角构成的两条水平

线夹角的内错角相等，即可得出答案．【详解】解：根据两点之间的仰角与俯角构成的两条水平线夹角的内错角相等，可知，点B处小明看点A处小丽的仰角是35°，故选：A．【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，正确理解是解题的关键．2．（2021·上海长宁区·九年级一

模）已知在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝50°，AB＝10，那么BC的长为（）A．10cos50°B．10sin50°C．10tan50°D．10cot50°【答案】A【分析】根据三角函数的定义即可求解．4【详解】解：∵cosB＝BCAB，∴BC＝ABcosB＝10cos50

°．故选：A．【点睛】此题主要考查三角函数的定义．余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA．即cosA＝bc．3．（2021·上海徐汇区·九年级一模）在RtABCV中，90A=，6AB=，10BC=，

那么下列结论正确的是（）A．4tan3C=B．4cot5C=C．3sin4C=D．4cos5C=【答案】D【分析】先根据勾股定理解出AB，再逐项根据三角函数的定义判断即可．【详解】根据勾股定理可得：228ACBCAB=−=，

则3tan4ABCAC==；4cot3ACCAB==；3sin5ABCBC==；4cos5ACCBC==；故选：D．【点睛】本题考查锐角三角函数的定义，熟悉基本定义是解题关键．4．（2021·上海九年级专题练习）在

平面直角坐标系xOy中，已知点()1,3P，点P与原点O的连线与x轴的正半轴的夹角为()090，那么tan的值是（）A．1010B．13C．31010D．35【答案】D【分析】如图，过P作PA⊥x轴于A，根据()1,3P，得到OA

=1，PA=3，由∠POA=，利用角的正切值等于对边比邻边求出答案．【详解】如图，过P作PA⊥x轴于A，∵()1,3P，∴OA=1，PA=3，在Rt△OPA中，∠POA=,∴tan=tan∠POA=PAOA=3，故选：D．．【点睛】此题考查直角坐标系中

点到坐标轴的距离，锐角三角函数值的计算，正确掌握正切值计算公式是解题的关键．5．（2021·上海金山区·九年级一模）在RtABC中，90C=o，那么锐角A的正弦等于（）A．AA锐角的对边锐角的邻边B．A锐角的对边斜边C．A锐角的邻边斜边D．AA锐角的邻边锐角的对边．【答案】B【分析】根据锐角三

角函数的定义可直接得出结果．【详解】6在RtABC中，90C=o，那么锐角A的正弦=A锐角的对边斜边，故选：B．【点睛】本题考查锐角三角函数的定义，属于基础题，需要熟练掌握锐角三角函数的定义．6．（2021·上海金山区·九年级一模）若是锐角，()2sin152+=o，那么锐角等于（）

A．15oB．30oC．45oD．60o【答案】B【分析】由sin45°=22可得()15+o=45°即可确定．【详解】解：∵sin45°=22，()2sin152+=o，是锐角∴()15+o=45°，即=30°．

故选：B．【点睛】本题主要考查特殊角的三角函数值，根据特殊角的三角函数值确定()15+o=45°成为解答本题的关键．7．（2021·内蒙古呼和浩特市·九年级一模）给出以下四个命题：①以现价销售一件商品的

利润率为30%，如果商家在现在价格的基础上先提价40%，后降价50%进行销售，商家还能有利润；②数据x1，x2，x3，x4的方差是3，则数据x1+1，x2+1，x3+1，x4+1的方差还是3；③若圆锥的侧面展开图是一个半圆，则母线AB与高AO的夹角为30°；④已知关于a

的一次函数y=2ax2+2x-3(x≠0)在-1≤a≤1上函数值恒小于零，则实数x的取值范围为-12-72<x<0或0<x<-12+72．7其中正确命题的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【分析】①根据题意设该商品的成本为x元，可得售价为1.82x(1-50%)=0.9

1x(元)，小于成本x元；②已知数据x1，x2，x3，x4的方差是3，由题意可得新数据x1+1，x2+1，x3+1，x4+1，方差还是3；③如图，设圆锥的母线长为l，底面半径为r，利用正弦值为rl=12，可得夹角为30°；④已知关于a的一次函数y=

2ax2+2x-3(x≠0)a的系数2x2>0，因此该一次函数值y随自变量a的增大而增大，可得当a=1时y最大，只需保证当a=1时y<0，求出x的范围即可；【详解】①设该商品的成本为x元，以现价销售这件商品的利润率为30%，则这件商品的现价为1.3x元，在现在价格的基础上提价40%，售价为1.3

x(1+40%)=1.82x(元)，再降价50%,售价为1.82x(1-50%)=0.91x(元)，小于成本x元，∴①错误；②已知数据x1，x2，x3，x4的方差是3，由题意可得新数据x1+1，x2+1，x3+1，x4+1的每个数都比原数据大1，新数据的波动性不变，∴新数据

与原数据方差相同，则数据x1+1，x2+1，x3+1，x4+1的方差还是3，∴②正确;③如图，设圆锥的母线长为l，底面半径为r，则πl=2πr，∴l=2r，∴母线AB与高AO的夹角的正弦值为rl=12，∴母线AB与高AO的夹角为30°,∴③正确;④已知关于a的一次函数y=2a

x2+2x-3(x≠0)在-1≤a≤1上函数值恒小于零，由于a的系数2x2>0，因此该一次8函数值y随自变量a的增大而增大，∴只需保证当a=1时y<0即可保证函数在-1≤a≤1上函数值恒小于0，即2x2+2x-3<0，解得实数x的取值范围为-12-72<x<0或0<x<

-12+72，∴④正确.故选C．【点睛】本题主要考查了命题，应用的知识点主要有：商品销售问题，方差，圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长;注意利用一个角相应的三角函数值求得角的度数，以及一次函数的增减性等知识点，解决本题的关键是对概念要理解透彻做题要细

心．8．（2021·上海杨浦区·九年级一模）在ABCV中，如果1sin2A=，3cot3=B，那么这个三角形一定是（）A．等腰三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．直角三角形【答案】D【分析】根据特殊的三角函数

值可知，∠A＝30°，∠B＝60°，即可判断三角形的形状．【详解】∵1sin2A=，3cot3=B，∴∠A＝30°，∠B＝60°，∴∠A＋∠B＝90°，∴这个三角形一定是直角三角形，故选：D．【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，三角形内角和定理，属于基础题型．9．（2021·

上海黄浦区·九年级一模）对于锐角，下列等式中成立的是（）A．sincostan=B．costancot=C．tancotsin=D．cotsincos=9【答案】A【分析】根据同角的三角函数关系逐一判断即可．【详

解】解：A．sincostan=，故本选项正确；B．tancot1cos=，故本选项错误；C．cotsincostan=，故本选项错误；D．coscotsincossin

=，故本选项错误．故选A．【点睛】此题考查的是同角的三角函数关系，掌握同角的三角函数关系是解题关键．10．（2021·上海静安区·九年级一模）在Rt△ABC中，∠C=90°，CD是高，如果AB=m，∠A=，那么CD的长为（

）A．sintanmB．sincosmC．costanmD．coscotm【答案】B【分析】此题根据题意作图根据锐角三角函数表示出AC，再表示出CD即可求出结果．【详解】解：根据题意作图如下：由题意知：AB=m，∠A=，∴cosACAB=，∴sincossin

CDACAB==，即cossinCDm=，故选：B．10【点睛】此题考查锐角三角函数的应用，主要涉及到正弦和余弦，找准对应边是解题关键．11．（2021·上海静安区·九年级一模）如果锐角

的正切值为32，那么下列结论中正确的是（）A．30=B．60=C．3045D．4560【答案】C【分析】利用30度角和45度角的正切值与角的正切值比较，即可得到答案．【详解】∵33tan30,tan,tan45132

===，2223133(),(),113324===，而13134，∴3045，故选：C．【点睛】此题考查各角的正切值，实数的平方运算，实数的大小比较，熟记各角度的三角函数值是解题的关键．12．（2021·四川成都市·成都实

外九年级开学考试）已知海面上一艘货轮A在灯塔B的北偏东30°方向，海监船C在灯塔B的正东方向5海里处，此时海监船C发现货轮A在它的正北方向，那么海监船C与货轮A的距离是（）A．10海里B．53海里C．5海里D．533海里【答案】B【分析】根据题意先建立直角三角形，然后结合三角

函数中正切的定义求解即可．【详解】根据题意建立如图所示Rt△ABC，其中∠C=90°，∠B=60°，BC=5，∴56053ACBCtanBtan===g，故选：B．11【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，准确根

据题意构建直角三角形并灵活运用三角函数求解是解题关键．13．（2021·上海宝山区·九年级一模）在RtABC△中，90C=，5AB=，3BC=，那么sinA的值为（）．A．35B．34C．45D．43【答

案】A【分析】根据正弦的定义解答即可．【详解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则sinA=35BCAB=，故选：A．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，掌握锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦是解题的关键．14．（2021·上海崇明区·九年级一模）在ABCV中，90C

=，如果8AC=，6BC=，那么A的正弦值为（）A．35B．45C．34D．43【答案】A【分析】利用勾股定理可求出AB的长，根据正弦函数的定义即可得答案．【详解】12∵90C=，8AC=，6BC=，∴AB=22ACBC+

=10，∴sinA=BCAB=35，故选：A．【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练掌握各三角函数的定义，属于中考常考题型．15．（2021·上海九年级一模）在RtABCV中，90C=，那么cosA等于（）A．BCABB．ACABC．BCACD．ACBC【答案】B【分析】作出草图

，根据锐角的正弦=邻边斜边列式即可．【详解】解：如图，∵∠C=90°，∴cosA=ACAB．故选：B．．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，能熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．16．（2021·上海松江区·九年级一模）如图，一艘船从A处向北偏东30°的方向行驶10

千米到B处，再从B处向正西方向行驶20千米到C处，这时这艘船与A的距离（）13A．15千米B．10千米C．103千米D．53千米【答案】C【分析】根据题意，利用30BAD=，根据锐角三角函数求出AD和BD

的长，从而得到CD的长，再用勾股定理求出AC的长．【详解】解：如图，根据题意，10ABkm=，30BAD=，∴1sin301052BDABkm===，3cos3010532ADABkm===，∵20BCkm=，∴15CDkm=，∴22103ACCD

ADkm=+=．故选：C．【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是掌握利用锐角三角函数解直角三角形的方法．17．（2021·上海奉贤区·九年级一模）在RtABC中，90C=o∠，如果33,4ACcosA==，那么AB的长为（）A

．94B．4C．5D．254【答案】B14【分析】根据cosA34==ACAB，即可得出AB的值【详解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，又∵,osA34c==ACAB∴AB=4故选：B．【点睛】本题

考查锐角三角函数的定义，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．18．（2021·上海虹口区·九年级一模）如图，在RtABCV中，90ACB=，D是边AB上一点，过D作DFAB⊥交边BC于点E，交AC的延长线于点F，联结AE，如果1ta

n3EAC=，1CEFS=V，那么ABCSV的值是（）A．3B．6C．9D．12【答案】C【分析】证明△BAC∽△FEC，得219EFCBACSECSAC==，进一步得出结论．【详解】

解：∵90ACB=，DF⊥AB，∴∠ACB=∠FCE=∠BDE=90°又∠FEC=∠BED15∴∠F=∠B∴△ABC∽△EFC∴()22211tan39EFCBACSECEACSAC====∵1CE

FS=V∴99BACFECSS==故选：C【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及三角函数的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．19．（2021·上海九年级专题练习）已知在

RtABCV中，90=C，B=，5AB=，那么AC的长为（）A．5cosB．5sinC．5cosD．5sin【答案】B【分析】根据锐角三角函数的定义即可求出答案．【详解】解：在Rt△ABC中，sinβ=ACAB，∴AC=AB•sin

β=5sinβ，故选：B．【点睛】本题考查锐角三角函数，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于基础题型．20．（2021·上海九年级专题练习）如果某正多边形的外接圆半径是其内切圆半径的2倍，那么这

个正多边形的边数是（）A．3B．4C．5D．无法确定【答案】B16【分析】如图，画出简图，根据切线的性质可得∠OCA=90°，根据∠AOC的余弦可得∠AOC=45°，即可得出此多边形的中心角为90°，即可求

出多边形的边数．【详解】如图，OA、OC分别为此多边形的外接圆和内切圆的半径，AB为边长，∴OC⊥AB，∴∠OCA=90°，∵外接圆半径是其内切圆半径的2倍，∴cos∠AOC=OCOA=22，∴∠AOC=45°，∴∠AOB=90°，即此多边形的中心角为90°，∴此多边形的边

数=360°÷90°=4，故选：B．【点睛】本题考查正多边形和圆及三角函数的定义，熟练掌握余弦的定义并熟记特殊角的三角函数值是解题关键．21．（2021·上海浦东新区·九年级一模）已知在RtABC中，90C=，,2ABC==，那么AB的

长等于（）A．2sinB．2sinC．2cosD．2cos【答案】A【分析】根据锐角三角函数的定义得出sinA＝BCAB，代入求出即可．【详解】17解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝

α，BC＝2，∴sinA＝BCAB，∴AB＝sinBCA=2sin，故选：A．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，能熟记锐角三角函数的定义是解此题的关键．22．（2021·广东九年级专题练习）如图，小明

想要测量学校操场上旗杆AB的高度，他作了如下操作：（1）在点C处放置测角仪，测得旗杆顶的仰角ACE=；（2）量得测角仪的高度CDa=；（3）量得测角仪到旗杆的水平距离DBb=．利用锐角三角函数解直角三角形的

知识，旗杆的高度可表示为（）A．tanab+B．sinab+C．tanba+D．sinba+【答案】A【分析】延长CE交AB于F，得四边形CDBF为矩形，故CF=DB=b，FB=CD=a，在直角三角形ACF中，

利用CF的长和已知的角的度数，利用正切函数可求得AF的长，从而可求出旗杆AB的长．【详解】延长CE交AB于F，如图，根据题意得，四边形CDBF为矩形，∴CF=DB=b，FB=CD=a，在Rt△ACF中，∠ACF=α，CF=b，18tan∠ACF=AFCF∴AF=tantanCFACFb

=,AB=AF+BF=tanab+，故选：A．【点睛】主要考查了利用了直角三角形的边角关系来解题，通过构造直角三角形，将实际问题转化为数学问题是解答此类题目的关键所在．23．（2021·广东江门市·九年级二模）如图，在RtABC

V中，CD是斜边AB上的中线，已知1.52CDBC==，，则cosB的值是（）A．23B．32C．34D．43【答案】A【分析】根据CD是Rt△ABC的中线，可得AD=DB=DC，进而得到斜边AB的长，已知B

C，可直接求出cosB的大小【详解】∵CD是Rt△ABC斜边上的中线，CD=1.5∴AD=DB=DC=1.5，∴AB=3∵BC=2∴cosB=23故选：A【点睛】本题考查锐角三角函数，解题关键是利用直角三角形斜边中线是斜边长一半来求解2

4．（2021·上海九年级专题练习）在RtABC中，90C=，3BC=，4AC=，那么tanA的值等于（）A．34B．43C．35D．4519【答案】A【分析】在直角三角形中，锐角的正切等于对边比邻边，由此可得tanA.【详解】解：如图90C=Q，3tan4BCAAC==.故选：A.【

点睛】本题主要考查了锐角三角函数中的正切，熟练掌握正切的表示是解题的关键.25．（2021·山东济宁市·九年级一模）在△ABC中（2cosA-2）2+|1-tanB|=0，则△ABC一定是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．等腰直

角三角形【答案】D【分析】根据非负数的和为零，可得每个非负数同时为零，根据特殊角三角函数值，可得∠A、∠B的度数，根据直角三角形的判定，可得答案．【详解】解：由（2cosA-2）2+|1-tanB|=0，得2cosA=2，1-tanB=0．解得∠A=45°，∠B=45°，则△ABC一定

是等腰直角三角形，故选：D．【点睛】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．26．（2021·福建南平市·九年级一模）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在20格点上，则tan∠ABC的值为（）A．35B．

34C．105D．1【答案】B【分析】根据网格结构找出∠ABC所在的直角三角形，然后根据锐角的正切等于对边比邻边列式即可．【详解】解：∠ABC所在的直角三角形的对边是3，邻边是4，所以，tan∠ABC＝34．故选B．【点睛】本题考

查了锐角三角函数的定义，熟练掌握网格结构找出直角三角形是解题的关键．27．（2021·上海松江区·九年级一模）已知在Rt△ABC中，∠C=90°，如果BC=2，∠A=α，则AC的长为（）A．2sinαB．2cosαC．2tanαD．2cotα【答案】D【解析

】试题分析：根据锐角三角函数的定义得出cotA=，代入求出即可．∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∴cotA=，∵BC=2，∠A=α，∴AC=2cotα，故选D．考点：锐角三角函数的定义．28．（2021·福建南平市·九年级一模）已知：22sin32cosα1+=o，则锐角α等于（）A．32oB．

58oC．68oD．以上结论都不对【答案】A21【解析】∵sin2α+cos2α=1，α是锐角，∴α=32°．故选A．29．（2021·内蒙古呼和浩特市·九年级三模）如图，线段AB是⊙O的直径，弦CDAB⊥，垂足为H，点M是

¼CBD上任意一点，2,4AHCH==,则cosCMD的值为（）A．12B．34C．45D．35【答案】D【分析】只要证明∠CMD=△COA，求出cos∠COA即可.【详解】如图1中，连接OC,OM.设OC=r,∴2224(

2)rr=+−,∴r=5,∵AB⊥CD，AB是直径，22∴»»»12ADACCD==，∴∠AOC=12∠COM,∵∠CMD=12∠COM，∴∠CMD=∠COA，∴cos∠CMD=cos∠COA=CHOC=35.【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理等知识，

解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会转化的思想思考问题.30．（2021·西安铁一中滨河学校九年级一模）如图，在△ABC中，AC＝8，∠ABC＝60°，∠C＝45°，AD⊥BC，垂足为D，∠ABC的平分线交AD于点E，则AE的长为A．423B．22C．82

3D．32【答案】C【分析】由已知可知△ADC是等腰直角三角形，根据斜边AC=8可得AD=42，在Rt△ABD中，由∠B=60°，可得BD=tan60AD=463，再由BE平分∠ABC，可得∠EBD=30°，从而可求得DE长，再根

据AE=AD-DE即可【详解】∵AD⊥BC，∴△ADC是直角三角形，∵∠C=45°，∴∠DAC=45°，∴AD=DC，23∵AC=8，∴AD=42，在Rt△ABD中，∠B=60°，∴BD=tan60AD=423=463，∵BE平分∠ABC，∴∠EBD=30°，∴DE=BD•

tan30°=46333=423，∴AE=AD-DE=42824233−=，故选C.【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握直角三角形中边角之间的关系是解题的关键.二、填空题31．（2021·上海金山区·九年级一模）已知在RtABC中，90C=o

，1BC=，2AC=，以点C为直角顶点的RtDCE的顶点D在BA的延长线上，DE交CA的延长线于点G，若1tan2CED=，CEGE=，那么BD的长等于______．【答案】25+【分析】根据题意画图，作AH⊥CE于H，根据1tantan2CEDBAC==得出EBAC=，由等边对等

角得CGEECG=，根据三角形的内角和可得出AKCECG=，得出AK=AC，利用等腰三角形三线合一得KH=CH，再证出AH为KCD△的中位线，可得出AK，AD的长，利用勾股定理求出AB，AB+AD24即可得BD的长．【详解】解：如图，作AH⊥CE于H，∵1tanta

n2CEDBAC==，∴EBAC=，∵CEGE=，∴CGEECG=，∴AKCECG=，∴AK=AC=2，∵AH⊥CE，90ECD=o，∴KH=CH，//AHCD，∴AH为KCD△的中位线，∴A为DK的中点，DK=

2AK=4，AD=AK=2，∵90ACB=o，1BC=，2AC=，∴AB=2212+=5，∴BD=AD+AB=25+．故答案为：25+．【点睛】本题考查三角函数-正切，等腰三角形的判定和性质，三角形的中位线，勾股定理等知识，作垂线构造三角形的中位线是解题的关键．32．（2021·上海金山区·九年

级一模）在RtABC中，90C=o，15AB=，4sin5A=，那么BC=______．25【答案】12【分析】直接利用正弦的定义列式求解即可．【详解】解：∵90C=，4sin5A=，∴4sin5CBAAB==∵15AB=∴4155CB=，解得：BC

=12．故填：12．【点睛】本题主要考查了正弦的定义，正确理解正弦的定义是解答本题的关键．33．（2021·上海九年级专题练习）已知在ABCV中，90ACB=，10AB=，5sin5A=（如图），把ABCV绕着点C按顺时针方向旋转()

0360．将点A、B的对应点分别记为点A、B，如果AAC△为直角三角形，那么点A与点B的距离为______．【答案】25或65【分析】先解Rt△ABC求出BC和AC，利用旋转的性质求出'25BCBC==．当'90ACA=时，再分B在AC上和B在AC的延长线

上两种情况作出图形，即可求解．【详解】解：在Rt△ABC中，由题意得，5sin10255BCABA===g，221002045ACABBC=−=−=，26又因为旋转，则'25BCBC==，当'90ACA=时，有两种情况，（1）如图1，B在线

段AC上时，''452525ABACBC=−=−=；（2）如图2，B在线段AC的延长线上时，''452565ABACBC=+=+=故答案为：25或65【点睛】本题考查了锐角三角函数和旋转的性质，掌握利用正弦求边长，并且要有一定的空间想像能力是解

题关键．34．（2021·上海徐汇区·九年级一模）如图，在ABCV中，120ABC=，12AB=，点D在边AC上，点E在边BC上，4sin5ADE=，5ED=，如果ECDV的面积是6，那么BC的长是_____．【答

案】936−【分析】过点F作EFAC⊥交AC于F，过点A作BC的垂线交CB的延长线于点H，通过解直角三角形、勾股定理及三角形面积公式求出CF，再通过解直角三角形求出CH，即可解得答案．【详解】27解；过点F作EFAC⊥交AC于F，∵

4sin=5EFADEED=，又∵5ED=，∴4EF=，∴2222=543DFDEEF−=−=，又∵114622ECDSCDEFCD===V，∴3CD=，6CF=，过点A作BC的垂线交CB的延长线于点H，∴90AHB=，又∵120ABC=，∴60ABH=，∵

12AB=，∴1cos602BHAB==，∴6BH=，3sin602AHAB==63AH=在CEF△和ACHV中，tanEFAHACHCFCH==即4636CH=93CH=936BCCHBH=−=−28【点睛】本题

考查了解直角三角形及勾股定理，解题的关键是根据题意做出辅助线．三、解答题35．（2021·西安市第二十三中学九年级一模）问题提出：（1）如图1，在ABCV中，CDAB⊥，A=，ACb=，ABc=，则ABCS=V___

____．问题探究：（2）如图2，在ABCV中，5AB=，3AC=，D为BC上一点，且满足30BAD=，45CAD=．设ADa=，ABCV的面积为S，求S与a之间的关系式．问题解决：（3）如图3，矩形ABCD是一片试验田的平面示意图，农科人员将试验田分成四部分用于不同作物的种植

，各部分的示意图分别为,,,ABECEFADFAEFVVVV．在试验田划分好之后，为了能够给AEFV部分的试验田进行充分灌溉，农科人员需要从点F处修建一条输水管FG，且满足点G在AE上，//FGAD．已知点E、F分别在边BC和边CD上，45EAF=，120mA

D=，80mAB=，输水管FG的修建费用为200元/米，请你根据以上数据求修建输水管FG的最低费用．【答案】（1）1sin2cb；（2）5324Sa+=；（3）48000(21)−元【分析】（1）在RtACD△中，解直角三角形求出CD，即可解决问题；（2）过点B作BEAD⊥

，交AD的延长线于点E，过点C作CFAD⊥于点F，通过解直角三角形可求出BE，CF，则1122ABCABDACDSSSADBEADCF=+=+VVV，从而可求得结果；（3）延长FG交AB于点Q，可得1()402AEFAGFEGFSSSGFAQBQFG=+=+=VVV，

则可得40AEFSFG=V，29当△AEF的面积最小时，FG最小，此时修建费用最低．另一方面，24AEFSAEAF=V，即当AE∙AF最小时，△AEF的面积最小．为此过点A作AF的垂线，与CB延长线交于点H，作AEH△的外接圆，记圆心为点O，连接OA、OH、OE，过点O作OP

CH⊥，通过证明AHBAFDVV∽后，可得23AHAF=，从而可得12sin4526AHESAHAEAEAF==V，这样转化为AHEV面积最小的问题，余下设圆的半径后，求出△AHE的面积用半径表示的式子

，当OP+OA≥AB时，求得半径的最小值，最后求得最小的费用．【详解】解：（1）在RtACD△中，sinsinCDACb==，∴11sin22ABCSABCDcb==V；（2）如图1，过

点B作BEAD⊥，交AD的延长线于点E，过点C作CFAD⊥于点F，在RtABE△中，5sin5sin302BEABBAD===，在RtACFV中，32sin3sin452CFACCAD===，∵111()222ABCABDACDSSSADBEADCFADB

ECF=+=+=+VVV，∴1532532224Saa++==；（3）如图2，延长FG与AB交于点Q，根据题意可知1111()402222AEFAGFEGFSSSGFAQGFBQGFAQBQGFABFG=+=+=+==VVV，即40AEFSFG

=V，故当AEFV的面积最小时，FG最小，进而达到修建费用最低．30又由（1）可知12sin24AEFSAEAFEAFAEAF==V，∴当AEAF最小时，AEFSV最小．过点A作AF的垂线，与CB延长线交于点H，作AEH△的外接圆，记圆心为点O，连接OA、OH、OE，过点O作OP

CH⊥．根据作图可知,90HABFADABHD===，故AHBAFDVV∽，∴8021203AHABAFAD===，即23AHAF=23AHAF=．又∵9045FADBAEEAF+=−=，HABFAD=，∴45HABBAEHAE+==，故11222sin452232

6AHESAHAEAFAEAEAF===V，∴当AHEV面积最小时，即满足AEAF最小．设Oe的半径为,290rHOEHAE==，故2,22OPrHEr==，∴1128040222AHESHEABrr==

=V．而AOOPAB+…，故2802rr+…，即80(22)r−…，∴min40280(22)6400(21)AHES=−=−V，故6400(21)()min19200(22)2266AHESAEA

F−===−V，31∴219200(22)min4min240(21)4040AEFSFG−===−V．故修建输水管FG的最小费用为200240(21)48000(21)−=−元．【点睛】本题考查了解直角三角形、图形面

积、最值问题，第（3）小题很难，涉及到了辅助线、辅助圆的作法，多次转化，求FG的最小值转化为AEFV的面积最小，又转化为AE∙AF最小，又转化为AHEV面积最小，又转化为圆的半径最小，最后归结为AO+OP最小，从而求得圆的半径最小．36．（2

021·西安市第二十三中学九年级一模）如图，数学兴趣小组成员想测量斜坡CD旁一棵树AB的高度，他们先在点C处测得树顶A的仰角为60，然后在坡顶D测得树顶A的仰角为30°，已知斜坡CD的坡度（坡面的铅直高度与水平宽度的比）1:3i=，斜坡103m

CD=，求树AB的高度．（结果精确到1m，参考数据：21.41,31.73）【答案】26m【分析】根据坡度求出30DCE=，继而求得，∠ACD＝90°，根据平行线的性质可得∠FDC＝30°，继而得∠AD

C＝60°，在RtACDV中，解直角三角形可得AC，在RtABC△中，解直角三角形可得AB的值．【详解】解：∵斜坡CD的坡度1:3i=，∴3tan1:33DCEi===，∴30DCE=．∵60ACB=，∴18030609

0ACD=−−=．32∵//DFBE，∴30FDCDCE==，∴303060ADC=+=．在RtACDV中，103mCD=，tan60ACCD=，∴103330(m)AC==，在RtABC△中，∵sin60ABAC=，∴330153151.73

25.9526(m)2AB===．答：大树的高度约为26m．【点睛】本题考查解直角三角形的运用-仰角和俯角问题，解题的关键是熟练掌握坡度的定义，特殊的锐角三角函数值．37．（2021·河南许昌市·九年级一模）某校数学实践社团开展了一次“利用数学知识测量学校操场上旗杆高度

”的实践活动，该校九年级学生积极参与．小红和小华决定利用下午课间的时间，用测量影长的方式求出旗杆高度．同一时刻测量站在旗杆旁边的小红（CD）和旗杆AB的影长时，发现旗杆的影子一部分落在地面上（BF），另一部分落在了距离旗杆24m的教学楼上（EF）

．经测量，小红落在地面上的影长DG为2.4m，教学楼上的影长EF为2m．已知小红的身高是1.6m，请根据小红和小华的测量结果，求出旗杆AB的高度．【答案】18m．【分析】根据AB∥EF，易得△DCG∽△FEM，根据对应边成比例，求出FM的长度，再由BM=

BF+FM，得到BM的长，根据AB∥EF，易得△DCG∽△BAM，根据对应边成比例，即可求出旗杆AB的高度．33【详解】解：延长AE交BF的延长线于点M，如图所示：由AB∥EF，易得△DCG∽△FEM，∴EFCDFMDG=，∵DG=2.4，CD=

1.6，EF=2，21.62.4FM=，解得FM=3，∴BM=BF+FM=27，由题意，根据AB∥EF，易得△DCG∽△BAM，∴ABCDBMDG=，∴1.6272.4AB=，∴AB=18m，答：旗杆AB的高度为18m.【点睛】本题考查了相似三角形的应用、相似三角形的判定与性质；根据题意得出方程是

解决问题的关键，本题难度适中.38．（2021·内蒙古呼和浩特市·九年级一模）在塔前平地上选取一点A作为观测点竖立一根长1.6米的测杆AD，观测塔顶N的仰角为45°，将测杆AD向塔的方向平移8米到达BC位置，此时观测塔顶N的仰角为65°，计算塔

的高度MN（用含有非特殊角的三角函数表示结果）．34【答案】塔的高度MN为（8tan65tan651−+1.6）米．【分析】延长DC交MN于E，然后设EC=x，由正切函数定义可列出关于x的方程，求出x即EC后即可得到塔高MN的值．【详解】解：如

图，延长DC交MN于E.由题意可知DC⊥MN于E,四边形AMED,四边形ABCD都是矩形,∴CD=AB,AD=ME,∠NDE=45°,∠NCE=65°.在Rt△CEN中,设EC=x米,∵∠NDE=45°,∴NE=DE

=CD+EC=8+x.在Rt△NEC中,tan65°=NEEC=8xx+,∴x=8tan651−.∴NE=8+8tan651−=8tan65tan651−,∴MN=NE+ME=8tan65tan651−+1.6.答:塔的高度MN为8tan65tan651−+1.6米.【点睛】本题考

查解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的方法、方程的方法、正切函数的意义是解题关键．39．（2021·上海黄浦区·九年级一模）如图，是小明家房屋的纵截面图，其中线段AB为屋内地面，线段AE、35BC为房屋两侧的墙，线段CD、

DE为屋顶的斜坡．已知6AB=米，3.2AEBC==米，斜坡CD、DE的坡比均为1∶2．（1）求屋顶点D到地面AB的距离：（2）已知在墙AE距离地面1．1米处装有窗ST，如果阳光与地面的夹角53MNP==，为了防止阳光通过窗ST照射到屋内，所以小明请门窗公司在墙AE

端点E处安装一个旋转式遮阳棚（如图中线段EF），公司设计的遮阳棚可作90°旋转，即090FET=，长度为1．4米，即1.4EF=米．试问：公司设计的遮阳棚是否能达到小明的要求？说说你的理由．（参考数据：21.41，31.73，52.24，103.16，

sin530.8=，cos530.6=，4tan533=．）【答案】（1）屋顶点D到地面AB的距离4.7米；（2）公司设计的遮阳棚能达到小明的要求，理由见解析【分析】（1）过点D作DG⊥AB于G，连接CE交DG于H，根据矩形的判定定理证出四边形ABC

E为矩形，从而求出HG=BC=3.2米，然后根据坡比列出方程即可求出DH，从而求出结论；（2）过点S作SQ∥MN，过点E作EK⊥SQ，只需比较EK与EF的大小关系即可判断，在Rt△SEK中，解直角三角形即可求出EK，从而得

出结论．【详解】解：（1）过点D作DG⊥AB于G，连接CE交DG于H∵3.2AEBC==米，AE∥BC36∴四边形ABCE为平行四边形∵CB⊥AB∴∠ABC=90°∴四边形ABCE为矩形∴CE∥AB，且CE=AB=6∵DH⊥EC∴HG=BC=3.2米∵斜坡CD、DE的坡比均为

1∶2∴DH：CH=1∶2，DH：EH=1∶2设DH=x，则CH=2x，EH=2x∵CH＋EH=CE∴2x＋2x=6解得：x=1.5即DH=1.5米∴屋顶点D到地面AB的距离DG=DH＋HG=4.7米答：屋顶点D到地面AB的距离

4.7米．（2）公司设计的遮阳棚能达到小明的要求，理由如下：过点S作SQ∥MN，过点E作EK⊥SQ，只需比较EK与EF的大小关系即可判断∵阳光与地面的夹角53MNP==，∴SQ与水平线的夹角也为53∴∠ESK=90°－53°=37°∴∠SEK=90°－∠ES

K=53°∵AE=3.2米，AS=1.1米37∴SE=AE－AS=2.1米∴EK=SE·cos∠SEK≈2.1×0.6=1.26米＜1.4米即EK＜EF∴公司设计的遮阳棚能达到小明的要求．【点睛】此题考查的是解直角三角形的应用和矩形的判定及性质，掌握利用锐角三角函数解直角三角形、坡

比的定义是解题关键．40．（2021·上海静安区·九年级一模）已知∠MAN是锐角，点B、C在边AM上，点D在边AN上，∠EBD=∠MAN，且CE∥BD，sin∠MAN=35，AB=5，AC=9．（1）如图1，当CE与边AN相交于点F时，求证：DF·CE=BC·BE；（2）当点E在边AN上时，求A

D的长；（3）当点E在∠MAN外部时，设AD=x，△BCE的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出定义域．【答案】（1）证明见解析；（2）AD=1943；（3）224825xyxx=−+．定义域为：19194433x−+．【分析】（1）根据CE∥BD

，得出∠CEB=∠DBE，∠DBA=∠BCE结合题干证明出△ABD∽△ECB，进而得到ADEBABEC＝，再等量代换即可得到DF·CE=BC·BE．（2）过点B作BH⊥AN，垂足为H．根据条件先证明出△CEB∽△CAE，得到2CE=CBCA

，代入求出CE，再根据BDABCEAC=求出BD，利用三角函数求出BH，根据勾股定理即可求出AD．（3）过点B作BH⊥AN，垂足为H．BH=4，AH=3，DH=4x−根据△ECB∽△ABD得到22EBC

ADBSBCSBD△△＝，代入化简为224825xyxx=−+即可求解．38【详解】解：（1）∵CE∥BD，∴∠CEB=∠DBE，∠DBA=∠BCE．∵∠A=∠DBE，∴∠A=∠BEC．∴△ABD∽△ECB，

∴ADEBABEC＝．∵ADDFABBC=，∴EBDFECBC=，∴DF·CE=BC·BE．（2）过点B作BH⊥AN，垂足为H．∵CE∥BD，∴∠CEB=∠EBD=∠A，又∵∠BCE=∠ECA，∴△CEB∽△CAE，∴CECACBCE=，∴2CE=CBCA．∵AB=5，AC=9，∴

BC=4，∴24936CE==，∴CE=6．39∵BDABCEAC=，∴561093ABCEBD==AC=．在Rt△ABH中，3sin535BHABA===，∴AH=224ABBH−=．DH=22221019()333BDBH−=−=．AD

=1943．（3）过点B作BH⊥AN，垂足为H．BH=4，AH=3，DH=4x−．2222224)3825BD=DH+BHxxx=−+=−+（．∵△ECB∽△ABD，∴22EBCADBSBCSBD△△＝．∵1322ABDSADBHx=△＝，∴21638252y

xxx=−+，∴224825xyxx=−+．定义域为19194433x−+．【点睛】此题属于平面几何的综合应用，主要利用三角形相似，找到相似比，根据相似比求值，计算量较大，有一定难度．41．（2021·上海静安区·九年级

一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线1(0)2yxmm=−+与x轴、y轴分别交于点A、B．抛物线24yaxbx=++（a≠0）经过点A，且与y轴相交于点C，∠OCA=∠OAB．（1）求直线AB的表达式；（2）如果点D在线段AB的延长线上，且AD=AC．

求经过点D的抛物线24yaxbx=++的表达式；（3）如果抛物线24yaxbx=++的对称轴与线段AB、AC分别相交于点E、F，且EF=1，求此抛物线的顶40点坐标．【答案】（1）112yx=−+；（2）231442yxx=−−+；（3）44()33−，．【分析】（1

）先设OA，OB，通过抛物线可求得OC，结合∠OCA=∠OAB，运用锐角三角形函数定义求解OA，OB即可；（2）过点D作DG⊥x轴，由△DGA≌△AOC推出D的坐标，从而结合A，D坐标运用待定系数法求解即可；（3）设抛物线的对称轴FE与OA交于点H，则可根据平行线分线

段成比例列式求解AH和OH，从而求解出抛物线的对称轴，即可求解出抛物线的解析式．【详解】（1）∵设直线12yxm=−+与x轴、y轴分别交于点A（2m，0）、B（0，m），∴OA=2m，OB=m．∵∠OCA=∠OAB，∴tan∠OCA=tan

∠OAB=OAOC=12OBOA=．∵24yaxbx=++（a≠0）经过点C（0，4），OC=4，∴OA=2，OB=1，∴直线AB的表达式为112yx=−+．（2）过点D作DG⊥x轴，垂足为G．∵∠DGA=∠AOC=90°，∠DAG=∠ACO，AD=AC，∴△DGA≌△A

OC，∴DG=AO=2，AG=OC=4，OG=2，∴点D（2−，2）．41∵抛物线24yaxbx=++经过点A、D，∴0=4242424abab++=−+∴3412ab=−=−∴抛物线的表

达式为231442yxx=−−+．（3）设抛物线的对称轴FE与OA交于点H．∵EF∥OC，∴13AHAEEFAOABBC===，AH=23，OH=43，∴0=424423abba++−=∴38a

b==−∴抛物线的表达式为2384yxx=−+．当43x=时，43y=−，抛物线的顶点坐标为44()33−，．．42【点睛】本题考查二次函数的与几何综合问题，涉及到锐角三角函数的运用以及平行线分线段成

比例定理，熟记基本定理并灵活运用是解题关键．42．（2021·上海九年级专题练习）四边形ABCD是菱形，∠B≤90°，点E为边BC上一点，联结AE，过点E作EF⊥AE，EF与边CD交于点F，且EC=3CF．（1）如图1，当∠B=

90°时，求ABESV与ECFSV的比值；（2）如图2，当点E是边BC的中点时，求cosB的值；（3）如图3，联结AF，当∠AFE=∠B且CF=2时，求菱形的边长．【答案】（1）94；（2）15；（3）17.【分析】（1）先证明：,BEACFEVV∽可得：BEABCFCE=，结合：3

,ECCF=可得：3,ABBE=再设,,CFaBEb==可得3,ABBCba==+而3ABb=，建立方程：33,bab+=可得：3,2ba=再利用相似三角形的性质可得答案．（2）延长,AEDC相交于G，过F作FHAD⊥于

,H连接AF，先证明：,ABEGCEVV≌可得：,,ABCGAEGE==证明：AFFG=，设,CFa=再设DHx=，利用22222,AFAHFHDFDH−==−求解x，可得cos,D从而可得答案；（3）如图，过E作EGDC⊥交DC的延长线于G，延长CG至H,使,

CGHG=证明：6EHEC==，设,DFx=,HGGCy==证明：,AFEBDECHH====可得：cos,6EFycocAFEHAF===再证明：,FEHAFDVV∽利用相似三角形的性质列方程组，解方程组可得答案．43【详解】解：（

1）Q四边形ABCD是菱形，90B=，四边形ABCD是正方形，90BC==，90BAEBEA+=，,EFAE⊥Q90BEACEF+=，,BAECEF=,BEACFEVV∽BEABCFCE=，,BECFABCE=3,ECCF=Q3,A

BBE=设,,CFaBEb==3,CEa=3,ABBCba==+而33,ABBEb==33,bab+=3,2ba=9,2ABa=22992.34ABECEFaSABSCEa===VV（2）延长,

AEDC相交于G，过F作FHAD⊥于,H连接AF，44Q菱形ABCD，//,ABCD,BAEG=EQ为BC的中点，,BECE=,AEBCEG=Q()ABEGCEAASVV≌,,,ABCGAEGE==,AEEF⊥Q,AFF

G=设,CFa=则3,CEBEa==6ABBCDCCGADa=====，75,FGAFaDFa===，设,DHx=22222,AFAHFHDFDH−==−()()()2222765,aaxax−−=−,xa=,DHa=1

cos,55DHaDDFa===45由菱形ABCD可得：,BD=1cos.5B=（3）如图，过E作EGDC⊥交DC的延长线于G，延长CG至H,使,CGHG=,,ECEHHECH==23,CFCECF==Q，6CEEH==，设,DFx=,HGGCy==则2,DCADx==

+,6HGycocHEH==Q菱形ABCD，,//,BDABCD=,BECH=,AFEB=Q,AFEBDECHH====cos,6EFycocAFEHAF===,AFHAFEEFHDDAF=+=+Q

,EFHDAF=,FEHAFDVV∽46,EHHFEFDFADAF==622,26yyxx+==+361012xyxyy==+，解得：15,2.4xy==经检验：152.4xy==是原方程组的解，217,C

Dx=+=即菱形ABCD的边长为：17.【点睛】本题考查的是三角形全等的判定与性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理的应用，菱形，正方形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，解分式方程组，掌握以上知识是解题的关键．此类题考查锐角三角

函数的定义，熟练掌握网格结构找出直角三角形是解题的关键．