【文档说明】黑龙江省大庆市实验中学实验二部2023-2024学年高二下学期期中考试 数学 含解析.docx，共(11)页，1.300 MB，由envi的店铺上传

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大庆实验中学实验二部2022级高（二）下学期期中考试数学试题一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）1．数据6.0，7.4，8.0，8.4，8.6，8.7，9.0，9.1的第50百分位数为A．8.4B．8.5C．8.6D．8.72．哈尔滨的冰雪旅游在冬季吸引了

大量游客，在2023年度，哈尔滨市共接待总游客量达到1.35亿人次，同比增长145.78%，比2019年增长41.4%.甲、乙、丙三人从冰雪大世界、太阳岛和中央大街三个旅游景点中任选一个前去游玩，其中甲去过冰雪大世界，所以甲不选冰雪大世界，则不同的选法有A．12

B．16C．18D．243．已知二项式(12)nx+（其中*nN且5n）的展开式中含3x与4x的项的系数相等，则n的值为A．5B．6C．7D．84．对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其样本相关系数的比较，下列正确的是A．24

310rrrrB．42130rrrrC．42310rrrrD．24130rrrr5．从1,2,⋯,9这九个数字中任取两个，这两个数的和为质数的概率为A．13B．49C．718D．13366．《RhindPapyrus》是世界上最古老的数学著作之一.书中有一个

类似这样的问题，请给出答案：把600个面包分给5个人，使每人所得面包个数成等差数列，且使较多的三份之和的17是较少的两份之和，则最少的一份为A．5B．10C．11D．557．某商场推出一种抽奖活动：盒子中装有有奖券和无奖券共10张券，客户从中任意抽取2张，若至少抽中1张有奖券，则该客户中奖，否则不

中奖.客户甲每天都参加1次抽奖活动，一个月（30天）下来，发现自己共中奖11次，根据这个结果，估计盒子中的有奖券有A．1张B．2张C．3张D．4张8．我校举办羽毛球比赛，某班派出甲､乙两名单打主力，为了提高两位主力的能力，体育老师安排了为期一周的对抗训练，训练规则如下：甲、乙两人

每轮分别与体育老师打2局，当两人获胜局数不少于3局时，则认为这轮训练过关；否则不过关.若甲､乙两人每局获胜的概率分别为1p，2p，且满足1243pp+=，每局之间相互独立.记甲、乙在n轮训练中训练过关的轮数为X，若()16EX=，则

从期望的角度来看，甲､乙两人训练的轮数至少为A．27B．24C．32D．28二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分）9．若()202422024012202412xaaxaxax+=++++，

则下列正确的是A．01a=B．20240120243aaa+++=C．012320241aaaaa−+−++=D．12320242320242024aaaa−+−−=−10．已知抛物线2:4Cyx=的焦点为F，准线l与x轴交于点M，过M的直线l与抛物线C相交于()

()1122,,,AxyBxy两点，点D是点A关于x轴的对称点，则下列说法正确的是A．124yy=−B．4AFBF+的最小值为10C．,,BFD三点共线D．0MBMD11．在信道内传输,,MNP信号，信号的传输相互独立，发送某一信号时，收到的信号字母不变的概率为()01

，收到其他两个信号的概率均为12−．若输入四个相同的信号,,MMMMNNNNPPPP的概率分别为123,,ppp，且1231ppp++=．记事件111,,MNP分别表示“输入MMMM”“输入NNNN”“输入PPPP”，事件D表示“依次输出MNPM”，则

A．若输入信号MMMM，则输出的信号只有两个M的概率为()221−B．()22112PDM−=C．()3112PDP−=D．()()1112311pPMDp=−+−三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12．已

知随机变量X服从正态分布()28,N，()50.3PX=，()811PX=．13．已知函数()2eeexxxgxxx=−−，若方程()gxk=有三个不同的实根，则实数k的取值范围是.14．马尔科夫链是机器学习和人工智能的基石，其数学定义为：假设序列状态是…，2tX−，1tX−，tX，1t

X+，…，那么1tX+时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态tX，即()()1211,,,ttttttPXXXXPXX+−−+=．著名的赌徒模型就应用了马尔科夫链：假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏，每

一局赌徒赌赢的概率都为50%，每局赌赢可以赢得1金币，赌输就要输掉1金币．赌徒自以为理智地决定，遇到如下两种情况就会结束赌博游戏：一是输光了手中金币；二是手中金币达到预期的1000金币，出现这两种情况赌徒都会停止赌博．记赌徒的本金为70金币，求赌徒输光所有金币的概率_______.四、填空题（

本题共5小题，共77分）15．（13分）工厂有甲，乙，丙三个车间生产同一产品，已知各车间的产量分别占全厂产量的25%，35%，40%，并且各车间的次品率依次为5%，4%，2%.现从该厂这批产品中任取一件.(1)求取到次品的

概率；(2)若取到的是次品，则此次品由甲车间生产的概率是多少？16.（15分）记nS，nT分别为数列na，nb的前n项和，2nnSa+=，12nnnabb++=，322ST=．（1）求数列na，nb的通项公式；（2）设,4,5nnnancbn=，记nc的前n项和为nQ

，若对任意*Nn，nQm，求整数m的最小值．17.（15分）一批产品共10件，其中()05nnnN，件是不合格品，从中随机抽取2件产品进行检验，记抽取的不合格产品数为.若先随机抽取1件，放回后再

随机抽取1件，当抽到不合格产品数1=时，概率为2150.（1）求n的值；（2）若一次性随机抽取2件，求抽到不合格产品数的分布列及数学期望.18.（17分）悬链线的原理运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程．通过适当建立坐标系，悬链线可

为双曲余弦函数()ee2xxchx−+=的图象，定义双曲正弦函数()ee2xxshx−−=.类比三角函数的性质：①平方关系：22sincos1xx+=，②导数关系：()()sincos,cossin,xxx

x==−．(1)直接写出()shx，()chx具有的类似①、②的性质（不需要证明）；(2)证明：当0x时，()shxx；(3)求()()2cosfxchxxx=−−的最小值．19.（17分）已知椭圆C：22221(0)xyabab+=，

A，F分别为椭圆C的左顶点和右焦点，过F做斜率不为0的直线l交椭圆C于点P,Q两点,且3AF=.当直线lx⊥轴时，3PQ=．(1)求椭圆C的方程；(2)设直线AP,AQ的斜率分别为1k，2k，问12kk是否为

定值？并证明你的结论；(3)直线AP交y轴于点E．若过O点作直线AP的平行线OM交椭圆C于点M，求𝐴𝑃+𝐴𝐸𝑂𝑀的最小值．一、单选题1．数据6.0，7.4，8.0，8.4，8.6，8.7，9.0，9.1的50百分位数为（）A．8.4B．8.5C．8.6D．8.

7【答案】B【分析】根据给定条件，利用第50百分位数的定义计算即得.【详解】依题意，一组数据的第50百分位数即为该组数据的中位数，所以数据6.0，7.4，8.0，8.4，8.6，8.7，9.0，9.1的第50百

分位数为8.48.68.52+=.故选：B2．哈尔滨的冰雪旅游在冬季吸引了大量游客，在2023年度，哈尔滨市共接待总游客量达到1.35亿人次，同比增长145.78%，比2019年增长41.4%.甲、乙、丙三人从冰雪大世界、太阳岛和中央大街三个旅游景点中任选一个前

去游玩，其中甲去过冰雪大世界，所以甲不选冰雪大世界，则不同的选法有（）A．12B．16C．18D．24【答案】C【分析】根据分步计数原理，结合题意，直接计算即可.【详解】根据题意，甲有2种选择，乙、丙都有3种选择，故所有的选法有：23318=种.故选：C.3．已知

二项式(12)nx+（其中*nN且5n）的展开式中3x与4x的系数相等，则n的值为（）A．5B．6C．7D．8【答案】A【分析】利用二项式定理的通项公式建立等量关系可求答案.【详解】因为*nN且5n，由题意知33442C2Cnn=，得()()()()()34121232

23!4!nnnnnnn−−−−−=，求得5n=，故选：A.4．对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其样本相关系数的比较，下列结论正确的是（）A．24310rrrrB．42130rrrrC．42310rrrrD．24130rrrr【答案

】B【分析】根据散点图分析出样本的相关关系即可.【详解】由给出的四组数据的散点图可以看出，左侧两图是正相关，样本相关系数大于0，则10r，30r，右侧两图是负相关，样本相关系数小于0，则20r，40r，下方两图的点相对更加集中，所以相关性较强，所以3r接近于1，4r接

近于－1，上方两图的点相对分散一些，所以相关性较弱，所以1r和2r比较接近0，由此可得42130rrrr．故选：B．5．从1,2,,9这九个数字中任取两个，这两个数的和为质数的概率为（）A．13B．49C．718D．1336【答案】C【分析】求所有组合个数，列举和

为质数的情况，古典概型求概率.【详解】这九个数字中任取两个，有29C种取法，和为质数有()()()()()()()()()()()()()1,2,1,4,2,3,1,6,2,5,3,4,2,9,3,8,4,7,5,6,4,9,5,8,6,7，()8,9共14种情

况，因此所求概率为29147C18=.故选：C.6．《RhindPapyrus》是世界上最古老的数学著作之一.书中有一个类似这样的问题，请给出答案：把600个面包分给5个人，使每人所得面包个数成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和，则最小的一

份为（）A．5B．10C．11D．55【答案】B【分析】设每份面包从小到大为等差数列na，公差为d，解方程12345345122001()7aaaaaaaaaa++++=++=+即可得解.【详解】设每份面包从小到大为等差

数列na，公差为d，可得{𝑎1+𝑎2+𝑎3+𝑎4+𝑎5=60017(𝑎3+𝑎4+𝑎5)=𝑎1+𝑎2，所以{𝑎1+2𝑑=1202𝑑=11𝑎1，解得𝑎1=10.故选：B.7．某

商场推出一种抽奖活动：盒子中装有有奖券和无奖券共10张券，客户从中任意抽取2张，若至少抽中1张有奖券，则该客户中奖，否则不中奖.客户甲每天都参加1次抽奖活动，一个月（30天）下来，发现自己共中奖11次，根据这个结果

，估计盒子中的有奖券有（）A．1张B．2张C．3张D．4张【答案】B【分析】根据题意，计算盒子中奖券数量对应的概率，结合期望分析更接近11的可能最大.【详解】设中奖的概率为p，30天中奖的天数为X，则()30,XBp若盒子中的有奖券有1张，则中奖的概率为19210C1C5p=

=，()13065EX==，若盒子中的有奖券有2张，则中奖的概率为112822210CCC17C45p+==，()173430453EX==，若盒子中的有奖券有3张，则中奖的概率为112733210CCC8C15p+==

，()8301615EX==，若盒子中的有奖券有4张，则中奖的概率为112644210CCC2C3p+==，()230203EX==，根据题意盒子中的有奖券有2张，更有可能30天中奖11天，故选：B.8．某校在校庆期间举办羽毛球比赛，某班派出甲､乙两名

单打主力，为了提高两位主力的能力，体育老师安排了为期一周的对抗训练，比赛规则如下：甲、乙两人每轮分别与体育老师打2局，当两人获胜局数不少于3局时，则认为这轮训练过关；否则不过关.若甲､乙两人每局获胜的概率分别为1p，2p，且满足1243pp+=，每

局之间相互独立.记甲、乙在n轮训练中训练过关的轮数为X，若()16EX=，则从期望的角度来看，甲､乙两人训练的轮数至少为（）A．27B．24C．32D．28【答案】A【分析】先求得每一轮训练过关的概率，利用二项分布的期望列方程，结合

基本不等式以及二次函数的性质求得正确答案.【详解】设每一轮训练过关的概率为p，则()()2221211212222211C1C1ppppppppp=+−+−()22222212121212121212483232333pppppppppppppp=−++=−+=−+

，212124029pppp+=，当且仅当2123pp==时等号成立.函数2833yxx=−+的开口向上，对称轴为49x=，所以2221212848416033393927pppp−+−+

=，依题意，(),XBnp，则()22121283163EXnpppp=−+=，2212121616278163327npppp==−+，所以至少需要27轮.故选：A【点睛】方法点睛：求解相互独立事件和独立重复事件结合的问题，要注意区别两者的不同，

相互独立事件的概率可以不相同，独立重复事件概率是相同的.求最值的方法可以考虑二次函数的性质，也可以考虑基本不等式，利用基本不等式时，要注意“一正二定三相等”.二、多选题9．若()202422024012202412xaaxaxax+=++

++，则下列正确的是（）A．01a=B．20240120243aaa+++=C．012320241aaaaa−+−++=D．12320242320242024aaaa−+−−=−【答案】ABC【分析】通过赋值法即可对A、B、C逐项求解判

断，通过对()202422024012202412xaaxaxax+=++++两边同时求导后再利用赋值法从而可对D求解判断.【详解】对于A：令0x=，则01a=，故A正确；对于B：令1x=，则20240120243aaa+++=，故B正确；对于

C：令=1x−，则012320241aaaaa−+−++=，故C正确；对于D，由()202422024012202412xaaxaxax+=++++，两边同时求导得()202322023123202420242

12232024xaaxaxax+=++++，令=1x−，则12320242320244048aaaa−++−=−，故D错误.故选：ABC.10．已知抛物线2:4Cyx=的焦点为F，准线l与x轴交于点M，过M的直线l与抛物线C相交于()()1122,,,AxyBxy两点，点D是点A关于x轴的

对称点，则下列说法正确的是（）A．124yy=−B．4AFBF+的最小值为10C．,,BFD三点共线D．0MBMD【答案】CD【分析】设直线:1lxmy=−联立抛物线，应用韦达定理判断A；由221212144yyxx==，结合抛物线定义及基本不等式求4AFBF+最小值判断B；设()11,Dx

y−，:BDxnyt=+联立抛物线，应用韦达定理得124yyt−=−，结合A分析求参数判断C；应用向量的坐标运算求MBMD判断D.【详解】设直线:1lxmy=−，联立方程组241yxxmy==−，可得2440ymy−+=，且216160m=−，则1

21244yymyy+==，A不正确；由221212144yyxx==，所以()1212124411452459AFBFxxxxxx+=+++=+++=，当且仅当2142xx==时等号成立，所以4AFBF+的最小值为9，B不正确

；设()11,Dxy−，:BDxnyt=+，联立24yxxnyt==+，可得2440ynyt−−=，且216()0nt=+，则121244yynyyt−+=−=−，结合A分析得1t=，即直线BD过点F，C正确；由()()22111,

,1,MBxyMDxy=+=+−，22121212114214440MBMDxxxxyymm=+++−=+−++=+，D正确.故选：CD11．在信道内传输,,MNP信号，信号的传输相互独立，发送某一

信号时，收到的信号字母不变的概率为()01，收到其他两个信号的概率均为12−．若输入四个相同的信号,,MMMMNNNNPPPP的概率分别为123,,ppp，且1231ppp++=．记事件111,,MNP分别表示“输入MMMM”“输入NNNN

”“输入PPPP”，事件D表示“依次输出MNPM”，则（）A．若输入信号MMMM，则输出的信号只有两个M的概率为()221−B．()22112PDM−=C．()3112PDP−=D．()()1

112311pPMDp=−+−【答案】BCD【分析】由独立事件的乘法公式可得A错误；由条件概率公式可得BC正确；全概率的应用，先求出()3112PDN−=，再根据()2332123111

222PDppp−−−=++和()()()()()()1111PDMPMPMDPMDPDPD==化简得到D正确.【详解】A：因为发送某一信号时，收到的

信号字母不变的概率为()01，收到其他两个信号的概率均为12−，即收到的信号字母变的概率为1−，且信号的传输相互独立，所以输入信号MMMM，则输出的信号只有两个M的概率为()()222224C161−=−，故A错误；B：因为()()()2221121111122pPDM

PDMPMp−−===，故B正确；C：()()()33311131122pPDPPDPPPp−−===，故C正确；D：因为()()()332

11121122pPDNPDNPNp−−===，所以()()()()()()()()()222211111112111122231131112ppPDMPMPMDpPMDPDPDPDpp−−=====−+−−

+−−，故D正确；故选：BCD.【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用独立事件的条件概率公式()()()|PABPBAPA=和全概率公式()()()1|niiiPAPBPAB==.三、填空题12．已知随机变量X服从正态分布()28,N，且()50.3PX

=，则()811PX=．【答案】0.2【分析】随机变量X服从正态分布()28,N,得到对称轴为8x=，再由()50.3PX=,可得()110.3PX=,根据正态分布曲线的特点，即可得到结果.【详解】随机变量X服

从正态分布()28,N，可得到对称轴为8x=，又由()50.3PX=，则()110.3PX=，所以()()18111250.22PXPX=−=.故答案为：0.213．已知函数()2ee

exxxgxxx=−−，若方程()gxk=有三个不同的实根，则实数k的取值范围是.【答案】()20,5e−【分析】通过求导得出函数的单调性和极值，即可得出有三个实根时实数k的取值范围.【详解】由题意，在()2eeexxxgxx

x=−−中，()()2e2xgxxx=+−，当()0gx=时，解得2x=−或1，当()0gx即2<<1x−时，()gx单调递减，当()0gx即<2x−，1x时，()gx单调递增，∵()()()2222222e2ee5eg−−−−−=−−−−=，()1111eee

eg=−−=−，当()()22,1e0xxgxxx−=−−，方程()gxk=有三个不同的实根，∴()02kg−即205ek−，故答案为：()20,5e−.【点睛】易错点点点睛：本题考查函数求导，两函数的交点问题，在研究函数的图象时很容易忽略()()22,1e0xxgx

xx−=−−这个条件.14．马尔科夫链是机器学习和人工智能的基石，其数学定义为：假设序列状态是…，2tX−，1tX−，tX，1tX+，…，那么1tX+时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态tX，即()()1211

,,,ttttttPXXXXPXX+−−+=．著名的赌徒模型就应用了马尔科夫链：假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏，每一局赌徒赌赢的概率都为50%，每局赌赢可以赢得1金币，赌输就要输掉1金币．赌徒遇到如下两种情况才会结束赌博游戏：一种赌徒输光了手中金币；一种是赌金达到预期的1000金

币，赌徒停止赌博．记赌徒的本金为100金币，求赌徒输光所有金币的概率_______.【分析】当0n=时，赌徒已经输光了，因此()01P=.当nB=时，赌徒到了终止赌博的条件，不再赌了，因此输光的概率()0PB=.记M：赌徒有n元最后输光的事件，N：赌徒有

n元上一场赢的事件,()()(|)()(|)PMPNPMNPNPMN=+,即11()(1)(1)22PnPnPn=−++，所以()()()()11PnPnPnPn−−=+−，所以(){}Pn是一个等差数列，设()()1PnPnd

−−=，则()()()()1210PnPndPPd−−−=−=，,，累加得()(0)PnnPd−=，故()(0)PBPBd−=，得1dB=−，100A=，由()()0PnPnd−=得()()0PAPAd−=,即()1APAB=−,当1000B=时，()90%PA=，因此可知久赌

无赢家，即便是一个这样看似公平的游戏，只要赌徒一直玩下去就会100%的概率输光．四、解答题15．设某厂有甲，乙，丙三个车间生产同一产品，已知各车间的产量分别占全厂产量的25%，35%，40%，并且各车间的次品率依次为5%，4%，2%.现从该厂这批产品中任取一件.(1)求取到次品

的概率；(2)若取到的是次品，则此次品由三个车间生产的概率分别是多少？【答案】(1)0.0345(2)甲车间生产的概率为：2569，由乙车间生产的概率为：2869，由丙车间生产的概率为：1669【分析】（1）根据全概率计算公式，计算出所求概率.（2）根据贝叶斯公式，计算出所求概率.【详解】

（1）记事件A表示A车间生产的产品，记事件B表示B车间生产的产品，记事件C表示C车间生产的产品，记事件D表示抽取到次品，则()()()0.25,0.35,0.4PAPBPC===,()()()0.05,0.04,0.02PDAPDB

PDC===，取到次品的概率为()()()()()()()PDPAPDAPBPDBPCPDC=++0.250.050.350.040.40.020.0345=++=（2）若取到的是次品，此次品由

甲车间生产的概率为：()()()()()()()()()0.250.050.0125250.03450.034569PAPDAPADPAPDAPBPDBPCPDC====++16.记nS，nT分别为数列na，nb的前n项和，2nnSa+=，12nnnabb++=

，322ST=．（1）求数列na，nb的通项公式；（2）设,4,5nnnancbn=，记nc的前n项和为nQ，若对任意*Nn，nQm，求整数m的最小值．【答案】（1）112nna−=，112nnnb−+=（2）3【解析】【分析

】（1）由已知2nnSa+=，可得1,nnaa−的关系，从而可得数列na是等比数列，求出通项公式；由12nnnabb++=，将na代入，可得12nnb−为等差数列，再由322ST=可得nb的通项公式.（2）由（1），将,nnab的通项公式代入nc，从而得到nQ，求出整数

m的最小值．【小问1详解】当1n=时，112Sa+=，所以11a=，当2n时，()11122nnnnnnnaSSaaaa−−−=−=−−−=−，所以1112,2nnnnaaaa−−==，数列na是以1为首项，12为公比的等比数列，所以112nna−=

，因为11122nnnbb+−=−，所以11221nnnnbb−+=−，即11221nnnnbb−+−=，所以数列12nnb−是公差为1的等差数列，所以1121nnbbn−=+−，所以1112nnbn

b−+−=，因为322ST=，而321722222S=−=，所以121211722bTbbb+=+=+=，所以12b=，112nnnb−+=.【小问2详解】依题意，111,421,52nnnncnn−−=+，当4n时，131115222228nnn

nQSa−==−=−−=，当5n时，因为121123222nnnnnnnb−−−+++==−，所以344521115788923113822222242nnnnnnnQ−−−+++=+−+−++−=−，其中，当n→+时，

1302nn−+→，114nQ，nQ无限接近114，所以整数m的最小值为3．17．一批产品共10件，其中()05nnnN，件是不合格品，从中随机抽取2件产品进行检验，记抽取的不合格产品数为.若先随机抽取1

件，放回后再随机抽取1件，当抽到不合格产品数1=时，概率为2150.（1）求n的值；（2）若一次性随机抽取2件，求抽到不合格产品数的分布列及数学期望.【答案】（1）3n=（2）详见解析【详解】解：（1）随机变量服从二项分布，(2,)

10n～B，则()122111101050nnPC==−=，所以210210nn−+=，解得：3n=或7n=，因为05nnN，，所以3n=.（2）随机变量可取的值为0，1，2，且服从超几何分布，(2,3,10)H～，于是02372107(0)15CCPC

====，11372107(1)15CCPC====，20372101(2)15CCPC====.因此的分布列可表示为下表：012P715715115所以()77130121515155E=++=.答：抽到不合格产品数的数学期望为35.18．悬链线的原理运用于悬索桥、架空电

缆、双曲拱桥、拱坝等工程．通过适当建立坐标系，悬链线可为双曲余弦函数()ee2xxchx−+=的图象，类比三角函数的性质：①平方关系：①22sincos1xx+=，②导数关系：()()sincos,cossin,xxxx=

=−定义双曲正弦函数()ee2xxshx−−=．(1)直接写出()shx，()chx具有的类似①、②的性质（不需要证明）；(2)证明：当0x时，()shxx；(3)求()()2cosfxchxxx=−−的最小值．【答案】(1)答案见解析(2)(,1−(

3)0【分析】（1）类比，写出平方关系和导数关系，并进行证明；（2）构造函数()()Fxshxax=−，)0,x+，求导，分1a和1a两种情况，结合基本不等式，隐零点，得到函数单调性，进而得到答案；（3）多次求导，结合（2）中结论，先得到()fx在)0,+

内单调递增，再求出()fx为偶函数，从而得到()fx在(,0−内单调递减，求出()()min00fxf==.【详解】（1）平方关系：()()221chxshx−=；导数：()()()()shxchxchxshx==．理由如下：平方关系，()()2222eeee22xxxxchx

shx−−+−−=−2222eeee12244xxxx−−++=−−=+；导数：()()eeee22xxxxshxchx−−−−+===，()ee2xxchxshx−−==；()eesh2xxx−−=，令()(

)eesh2xxFxxxx−−=−=−，则()ee102xxFx−+=−所以()Fx在()0,+上单调递增，所以()()()()sh0sh000FxxxF=−=−=所以当0x时，()shxx成立；（3）()()2cosfxchxxx=−−，()()sin2fxs

hxxx=+−，令()()()sin2gxfxshxxx=+=−，则()()cos2gxchxx=+−，令()()()cos2hxgxchxx=+=−，则()()sinhxshxx=−，当)0,x+

时，由（2）可知，()shxx，则()()sinsinhxshxxxx=−−，令()sinuxxx=−，则()1cos0uxx=−≥，故()ux在)0,+内单调递增，则()()()00hxuxu=，故()hx在)0,

+内单调递增，则()()()00gxhxh==，故()gx在)0,+内单调递增，则()()()00fxgxg==，故()fx在)0,+内单调递增，因为()()()()()22cocssofxchxxxcfxhxxx−=−−=−−−−−=，即()fx为

偶函数，故()fx在(,0−内单调递减，则()()min00fxf==，故当且仅当0x=时，()fx取得最小值0.19.已知椭圆C：22221(0)xyabab+=，A，F分别为椭圆C的左顶点和右焦点，过F做斜率不为0的直线l交椭圆C于点P，Q．若3AF=，且当直线l

x⊥轴时，3PQ=．(1)求椭圆C的方程；(2)设直线AP，AQ的斜率分别为1k，2k，问12kk是否为定值？并证明你的结论；(3)直线AP交y轴于点E．若过O点作直线AP的平行线交椭圆C于点M，求𝐴𝑃+

𝐴𝐸𝑂𝑀的最小值．【答案】(1)22143xy+=(2)12kk为定值14−，证明见解析(3)【分析】（1）由3AF=，3PQ=，及222abc=+可求得2a，2b；（2）可先设直线PQ的方程与P，Q的坐标

，联立直线与椭圆的方程，由韦达定理建立交点坐标的关系，将12kk用坐标表示，再探求定值的存在性；（3）根据1212APQSAFyy=−，将12yy−用参数m表示，从而得到面积关于m函数，根据此函数的形式特点，可求得面积的最大值．【详解】（1）设椭圆的右焦点为(),0Fc，0c

，则222abc=+，①由3AF=，得3ac+=，②又当直线lx⊥轴时，P，Q的横坐标为c，将xc=代入22221xyab+=中，得2bya=，则223bPQa==，③联立①②③，解得24a=，23b=，21c=，所以椭圆C的方程为22143xy+=．（2）121

4kk=−证明如下：显然，直线PQ不与y轴垂直，可设PQ的方程为1xmy=+，联立椭圆方程22143xy+=，消去x并整理得()2234690mymy++−=，又设()11Pxy，，()22Qxy，，由韦达定理得122122634934myymyym+=−+−=+从而()()

()1212122811234xxmymymyym+=+++=++=+，()()()2212121212212411134mxxmymymyymyym−+=++=+++=+，所以()()()21212122121212229913412416222436443434yyyym

kkmxxxxxxmm−−+=====−−++++++++++，即1214kk=−，故得证．（3）直线AP的方程为x=my-2，由{𝑥24+𝑦23=1𝑥=𝑚𝑦−2，消元化简得，3m2y2+4y2=12m

y∴y1＝0，𝑦2=12𝑚3𝑚2+4，即P点纵坐标𝑦𝑃=12𝑚3𝑚2+4x=my-2∴𝐸(0，2𝑚)．∵OM∥AP，∴OM的方程可设为x＝my，由{𝑥24+𝑦23=1𝑥=𝑚𝑦，得M点的横坐标为𝑥=±2√3√3𝑚2+4，由OM∥AP，得𝐴𝐷+�

�𝐸𝑂𝑀=|𝑦𝑃+𝑦𝐸||𝑦𝑀|=12𝑚3𝑚2+4+2𝑚2√3√3𝑚2+4≥2√2，当且仅当𝑚=±2√33时取等号，∴，ADAEOM+的最小值为22．