【文档说明】2021年高考真题——数学（北京卷）含解析.doc，共(19)页，1.529 MB，由envi的店铺上传

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2021年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合|11Axx=−，

|02Bxx=，则AB=（）A.()1,2−B.(1,2]−C.[0,1)D.[0,1]【答案】B【解析】【分析】结合题意利用并集的定义计算即可.【详解】由题意可得：|12ABxx=−，即(1,2

AB=−.故选：B.2.在复平面内，复数z满足(1)2iz−=，则z=（）A.2i+B.2i−C.1i−D.1i+【答案】D【解析】【分析】由题意利用复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.【详解】由题意可得：()()()()2121211112iiziiii++====+

−−+.故选：D.3.已知()fx是定义在上[0,1]的函数，那么“函数()fx在[0,1]上单调递增”是“函数()fx在[0,1]上的最大值为(1)f”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用两者之间的推出关系可

判断两者之间的条件关系.【详解】若函数()fx在0,1上单调递增，则()fx在0,1上的最大值为()1f，若()fx在0,1上的最大值为()1f，比如()213fxx=−，但()213fxx=−在10,3

为减函数，在1,13为增函数，故()fx在0,1上的最大值为()1f推不出()fx在0,1上单调递增，故“函数()fx在0,1上单调递增”是“()fx在0,1上的最大值为()1f”的充分不必要条件，故选：A.4.某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为（）

A.332+B.4C.33+D.2【答案】A【解析】【分析】根据三视图可得如图所示的几何体（三棱锥），根据三视图中的数据可计算该几何体的表面积.【详解】根据三视图可得如图所示的几何体-正三棱锥OABC−，其侧面为等腰直角三角形，底面等边三角形，由三视图可得该正三

棱锥的侧棱长为1，故其表面积为()213333112242++=，故选：A.5.双曲线2222:1xyCab−=过点()2,3，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为（）A.2213xy−=B.2213yx

−=C.22313yx−=D.22313xy−=【答案】B【解析】【分析】分析可得3ba=，再将点()2,3代入双曲线的方程，求出a的值，即可得出双曲线的标准方程.【详解】2cea==，则2ca=，223bcaa=−=，则双曲线的方程为222213xy

aa−=，将点()2,3的坐标代入双曲线的方程可得22223113aaa−==，解得1a=，故3b=，因此，双曲线的方程为2213yx−=.故选：B6.na和nb是两个等差数列，其中()15kkakb为常值，1288a=，596=a，1192b=，则3b=（）A.6

4B.128C.256D.512【答案】B【解析】【分析】由已知条件求出5b的值，利用等差中项的性质可求得3b的值.【详解】由已知条件可得5115aabb=，则51519619264288abba===，因此，1531926412822bbb++

===.故选：B.7.函数()coscos2fxxx=−，试判断函数的奇偶性及最大值（）A.奇函数，最大值为2B.偶函数，最大值为2C.奇函数，最大值为98D.偶函数，最大值为98【答案】D【解析】【分析】由函数奇偶性的定义结

合三角函数的性质可判断奇偶性；利用二倍角公式结合二次函数的性质可判断最大值.【详解】由题意，()()()()coscos2coscos2fxxxxxfx−=−−−=−=，所以该函数为偶函数，又2219()coscos22coscos12cos48fxxxxx

x=−=−++=−−+，所以当1cos4x=时，()fx取最大值98.故选：D.8.定义：24小时内降水在平地上积水厚度（mm）来判断降雨程度．其中小雨（10mm），中雨（10mm25mm−），大雨（25mm50m

m−），暴雨（50mm100mm−），小明用一个圆锥形容器接了24小时的雨水，如图，则这天降雨属于哪个等级（）A.小雨B.中雨C.大雨D.暴雨【答案】B【解析】【分析】计算出圆锥体积，除以圆面的面积即可得降雨量，即可得解.【详解】由题意，一个半径为()200100mm2=的圆面

内的降雨充满一个底面半径为()20015050mm2300=，高为()150mm的圆锥，所以积水厚度()22150150312.5mm100d==，属于中雨.故选：B.9.已知圆22:4Cxy+=，直线:lyk

xm=+，当k变化时，l截得圆C弦长的最小值为2，则m=（）A.2B.2C.3D.5【答案】C【解析】【分析】先求得圆心到直线距离，即可表示出弦长，根据弦长最小值得出m【详解】由题可得圆心为()0,0，半径为2，则圆心到直线的距离21mdk=+，则

弦长为22241mk−+，则当0k=时，弦长取得最小值为2242m−=，解得3m=.故选：C10.数列na是递增的整数数列，且13a，12100naaa+++=，则n的最大值为（）A.9B.10C.11D.12【答案】C【解析】【

分析】使数列首项、递增幅度均最小，结合等差数列的通项及求和公式即可得解.【详解】若要使n尽可能的大，则1a，递增幅度要尽可能小，不妨设数列na是首项为3，公差为1的等差数列，其前n项和为nS，则2nan=+，1131311881002S+==，123

14121021002S+==，所以n的最大值为11.故选：C.第二部分（非选择题共110分）二、填空题5小题，每小题5分，共25分．11.341()xx−展开式中常数项为__________．【答案】4−【解析】【详解】试题分析：431xx

−的展开式的通项()()431241441C1C,rrrrrrrTxxx−−+=−=−令3r=得常数项为()33441C4T=−=−.考点：二项式定理.12.已知抛物线2:4Cyx=，焦点为F，点M为抛物线C上的点，且6FM=，则M的横坐标是_____

__；作MNx⊥轴于N，则FMNS=_______．【答案】①.5②.45【解析】【分析】根据焦半径公式可求M的横坐标，求出纵坐标后可求FMNS.【详解】因为抛物线的方程为24yx=，故2p=且()1,0F.因为6MF=，62Mpx+=

，解得5Mx=，故25My=，所以()15125452FMNS=−=，故答案为：5，45.13.(2,1)a=，(2,1)b=−，(0,1)c=，则()abc+=_______；ab=_______．【答案】①.0②.3【解析】【分析】根据坐标求出a

b+，再根据数量积的坐标运算直接计算即可.【详解】(2,1),(2,1),(0,1)abc==−=，()4,0ab+=，()40010abc+=+=，()22113ab=+−=.故答案为：0；3.14.若点(cos,sin

)P与点(cos(),sin())66Q++关于y轴对称，写出一个符合题意的=___．【答案】512（满足5,12kkZ=+即可）【解析】【分析】根据,PQ在单位圆上，可得,6+关于y轴对称，得出2,6kkZ++=+求解.【详解】(cos,sin)P与

cos,sin66Q++关于y轴对称，即,6+关于y轴对称，2,6kkZ++=+，则5,12kkZ=+，当0k=时，可取的一个值为512.故答案为：512（满足5,12kkZ

=+即可）.15.已知函数()lg2fxxkx=−−，给出下列四个结论：①若0k=，则()fx有两个零点；②0k，使得()fx有一个零点；③0k，使得()fx有三个零点；④0k，使得()fx有三个零点．以上正确结论得序号是_______．【答案】①②④【解析】【分析】由()

0fx=可得出lg2xkx=+，考查直线2ykx=+与曲线()lggxx=的左、右支分别相切的情形，利用方程思想以及数形结合可判断各选项的正误.【详解】对于①，当0k=时，由()lg20fxx=−=，可得1100x=或100x=，①正确；对于

②，考查直线2ykx=+与曲线()lg01yxx=−相切于点(),lgPtt−，对函数lgyx=−求导得1ln10yx=−，由题意可得2lg1ln10kttkt+=−=−，解得100100lge

tkee==−，所以，存在100lg0kee=−，使得()fx只有一个零点，②正确；对于③，当直线2ykx=+过点()1,0时，20k+=，解得2k=−，所以，当100lg2eke−−时，直线

2ykx=+与曲线()lg01yxx=−有两个交点，若函数()fx有三个零点，则直线2ykx=+与曲线()lg01yxx=−有两个交点，直线2ykx=+与曲线()lg1yxx=有一个交点，所以，100lg220ekek−−+，此不等式无解，因此，

不存在0k，使得函数()fx有三个零点，③错误；对于④，考查直线2ykx=+与曲线()lg1yxx=相切于点(),lgPtt，对函数lgyx=求导得1ln10yx=，由题意可得2lg1ln10kttkt

+==，解得100lg100teeke==，所以，当lg0100eke时，函数()fx有三个零点，④正确.故答案为：①②④.【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解

此类问题的一般步骤：（1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题；（2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；（3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围．三、解答题共6小题，共85分，解答应写

出文字说明，演算步骤或证明过程．16.已知在ABC中，2coscbB=，23C=．（1）求B的大小；（2）在下列三个条件中选择一个作为已知，使ABC存在且唯一确定，并求出BC边上的中线的长度．①2cb=；②周长为

423+；③面积为334ABCS=；【答案】（1）6；（2）答案不唯一，具体见解析．【解析】【分析】（1）由正弦定理化边为角即可求解；（2）若选择①：由正弦定理求解可得不存在；若选择②：由正弦定理结合周

长可求得外接圆半径，即可得出各边，再由余弦定理可求；若选择③：由面积公式可求各边长，再由余弦定理可求.【详解】（1）2coscbB=，则由正弦定理可得sin2sincosCBB=，23sin2sin32B==，23C=，0,3B

，220,3B，23B=，解得6B=；（2）若选择①：由正弦定理结合（1）可得3sin231sin2cCbB===，与2cb=矛盾，故这样的ABC不存在；若选择②：由（1）可得6A=，设ABC的外接圆半径为R，则由正弦定理可得2sin6ab

RR===，22sin33cRR==，则周长23423abcRR++=+=+，解得2R=，则2,23ac==，由余弦定理可得BC边上的中线的长度为：()222312231cos76+−=；若选择③：由（1）可得6A=，即ab=，则2

11333sin2224ABCSabCa===，解得3a=，则由余弦定理可得BC边上的中线的长度为：22233212cos33223422aabb+−=++=.17.已知正方体1111ABCDABCD−，点E为11AD中点，直线11BC交平面CD

E于点F．（1）证明：点F为11BC的中点；（2）若点M为棱11AB上一点，且二面角MCFE−−的余弦值为53，求111AMAB的值．【答案】（1）证明见解析；（2）11112AMAB=．【解析】【分析】(1)首先将平面CDE进行扩展，然后

结合所得的平面与直线11BC的交点即可证得题中的结论；(2)建立空间直角坐标系，利用空间直角坐标系求得相应平面的法向量，然后解方程即可求得实数的值.【详解】(1)如图所示，取11BC的中点'F，连结,','DEEFFC，由于1111ABCDABCD−为正方体，

,'EF为中点，故'EFCD，从而,',,EFCD四点共面，即平面CDE即平面'CDEF，据此可得：直线11BC交平面CDE于点'F，当直线与平面相交时只有唯一的交点，故点F与点'F重合，即点F为11BC中点.(2)以点D为坐标原点，1,,DAD

CDD方向分别为x轴，y轴，z轴正方形，建立空间直角坐标系Dxyz−，不妨设正方体的棱长为2，设()11101AMAB=，则：()()()()2,2,2,0,2,0,1,2,2,1,0,2MCFE，从而：()()()2,22

,2,1,0,2,0,2,0MCCFFE=−−−==−，设平面MCF的法向量为：()111,,mxyz=，则：()111112222020mMCxyzmCFxz=−+−−==+=，令11z=−可得：12,,1

1m=−−，设平面CFE的法向量为：()222,,nxyz=，则：2222020nFEynCFxz=−==+=，令11z=−可得：()2,0,1n=−，从而：215,5,51mnmn==+=−，则：2,155155cos3mnmnmn

+−===，整理可得：()2114−=，故12=（32=舍去）.【点睛】本题考查了立体几何中的线面关系和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用

空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.18.为加快新冠肺炎检测效率，某检测机构采取“k合1检测法”，即将k个人的拭子样本合并检测，若为阴性，则可以确定所有样本都是阴性的；若为阳性，则还需要对

本组的每个人再做检测．现有100人，已知其中2人感染病毒．（1）①若采用“10合1检测法”，且两名患者在同一组，求总检测次数；②已知10人分成一组，分10组，两名感染患者在同一组的概率为111，定义随机变量X为总检测次数，求检测次数

X的分布列和数学期望E(X)；（2）若采用“5合1检测法”，检测次数Y的期望为E(Y)，试比较E(X)和E(Y)的大小(直接写出结果)．【答案】（1）①20次；②分布列见解析；期望为32011；（2）()()

EYEX．【解析】【分析】（1）①由题设条件还原情境，即可得解；②求出X的取值情况，求出各情况下的概率，进而可得分布列，再由期望的公式即可得解；（2）求出两名感染者在一组的概率，进而求出()EY，即可得解.【详解】（1）①对每组进行检测，需要10次；再对结果为阳性的组

每个人进行检测，需要10次；所以总检测次数为20次；②由题意，X可以取20，30，()12011PX==，()1103011111PX==−=，则X的分布列:X2030P1111011所以()1103202030111111EX=+=；（2）由题意，Y可以取25，30，两名感染者在同一组的概

率为232981510020499CCPC==，不在同一组的概率为19599P=，则()()49529502530=999999EYEX=+.19.已知函数()232xfxxa−=+．（1）若0

a=，求()yfx=在()()1,1f处切线方程；（2）若函数()fx在1x=−处取得极值，求()fx的单调区间，以及最大值和最小值．【答案】（1）450xy+−=；（2）函数()fx的增区间为(),1−−、()4,+，单调递减区间为()

1,4−，最大值为1，最小值为14−.【解析】【分析】（1）求出()1f、()1f的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；（2）由()10f−=可求得实数a的值，然后利用导数分析函数()fx的单调性与极值，由此可得出结果.【详解】

（1）当0a=时，()232xfxx−=，则()()323xfxx−=，()11f=，()14f=−，此时，曲线()yfx=在点()()1,1f处的切线方程为()141yx−=−−，即450xy+−=；（2）因为()232xfxxa−=+，则()(

)()()()()222222223223xaxxxxafxxaxa−+−−−−==++，由题意可得()()()224101afa−−==+，解得4a=，故()2324xfxx−=+，()()()()222144xxfxx+−=+，列表如下：x(),1−−1−

()1,4−4()4,+()fx+0−0+()fx增极大值减极小值增所以，函数()fx的增区间为(),1−−、()4,+，单调递减区间为()1,4−.当32x时，()0fx；当32x时，()0fx.所以，()()max11fxf

=−=，()()min144fxf==−.20.已知椭圆2222:1(0)xyEabab+=过点(0,2)A−，以四个顶点围成的四边形面积为45．（1）求椭圆E的标准方程；（2）过点P(0，-3)的直线l斜率为k，交椭圆E于不同的两点B，C，直线

AB，AC交y=-3于点M、N，直线AC交y=-3于点N，若|PM|+|PN|≤15，求k的取值范围．【答案】（1）22154xy+=；（2）[3,1)(1,3]−−．【解析】【分析】（1）根据椭圆所过的点及四个顶点围成的四边形的面积可求,ab，从

而可求椭圆的标准方程.（2）设()()1122,,,BxyCxy，求出直线,ABAC的方程后可得,MN的横坐标，从而可得PMPN+，联立直线BC的方程和椭圆的方程，结合韦达定理化简PMPN+，从而可求k的范围，注意判别式的要求.【详解】（1）因为椭圆过()0,2A−，故2

b=，因为四个顶点围成的四边形的面积为45，故122452ab=，即5a=，故椭圆的标准方程为：22154xy+=.（2）设()()1122,,,BxyCxy，因为直线BC的斜率存在，故120xx，故直线112:2yAByxx+=−，令3y=−，则112Mxxy=−+，同理222Nx

xy=−+.直线:3BCykx=−，由2234520ykxxy=−+=可得()224530250kxkx+−+=，故()22900100450kk=−+，解得1k−或1k.又1212223025,4545kxxxxkk+==+

+，故120xx，所以0MNxx又1212=22MNxxPMPNxxyy+=++++()()2212121222212121222503024545=5253011114545kkkxxxxxxkkkkkk

xkxkxxkxxkk−−++++===−−−++−+++故515k即3k，综上，31k−−或13k.21.定义pR数列na：对实数p，满足：①10ap+，20ap+=；②414,nnn

Naa−；③,1mnmnmnaaapaap++++++，,mnN．（1）对于前4项2，-2，0，1的数列，可以是2R数列吗？说明理由；（2）若na是0R数列，求5a的值；（3）是否存在p，使得存在pR数列na，对10,nnNSS？若存在，求出所有这样的p

；若不存在，说明理由．【答案】（1）不可以是2R数列；理由见解析；（2）51a=；（3）存在；2p=．【解析】【分析】(1)由题意考查3a的值即可说明数列不是2R数列；(2)由题意首先确定数列的前4项，然后讨论计算即可

确定5a的值；(3)构造数列nnbap=+，易知数列nb是0R的，结合(2)中的结论求解不等式即可确定满足题意的实数p的值.【详解】(1)由性质③结合题意可知3121202,21{2,3}aaaaa=

+++++=，矛盾，故前4项2,2,0,1−的数列，不可能是2R数列.(2)性质①120,0aa=，由性质③2,1mmmaaa++，因此31aa=或311aa=+，40a=或41a=，若40a=，由性质②可知34aa，即10a或110a+，矛盾；若4311,1aa

a==+，由34aa有111a+，矛盾.因此只能是4311,aaa==.又因为413aaa=+或4131aaa=++，所以112a=或10a=.若112a=，则2111111110,012

,211,2aaaaaaaa+=+++++=+=，不满足20a=，舍去.当10a=，则na前四项为:0，0，0，1，下面用纳法证明()444(1,2,3),1ninaniannN++===+：当0n=时，经验证命题成立，假设当(0)nkk时命题成立，当1

nk=+时：若1i=，则()()4541145kkjkjaaa+++++−==，利用性质③：*45,144{,1}jkjaajNjkkk+−++=+∣，此时可得：451kak+=+；否则，若

45kak+=，取0k=可得：50a=，而由性质②可得：5141,2aaa=+，与50a=矛盾.同理可得：*46,145{,1}jkjaajNjkkk+−++=+∣，有461kak+=+；*48,246{1,2}jkjaajNjkkk+−++=++∣，有

482kak+=+；*47,146{1}jkjaajNjkk+−++=+∣，又因为4748kkaa++，有471.kak+=+即当1nk=+时命题成立，证毕.综上可得：10a=，54111aa+==.(3)令nnb

ap=+，由性质③可知：*,,mnmnmnNbap++=+,1mnmnapapapap+++++++,1mnmnbbbb=+++，由于11224141440,0,nnnnbapbapbapapb−−=+=+=

=++=，因此数列nb为0R数列.由（2）可知:若444,(1,2,3),1ninnNanpianp++=−==+−；11111402320aSSap+−==−=，91010422(2)0SSaap+−=−=−=−−，因此2p=，此时1210,,,0aaa，()011

jaj，满足题意.【点睛】本题属于数列中的“新定义问题”，“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样

有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.