【文档说明】2021-2022学年高中数学人教A版必修1教案：2.3幂函数 3 含答案【高考】.doc，共(12)页，420.000 KB，由小赞的店铺上传

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-1-2.3幂函数教学教法分析●三维目标1．知识与技能(1)理解幂函数的概念，会画幂函数的图象；(2)结合几个幂函数的图象，了解幂函数图象的变化情况和简单性质．2．过程与方法(1)类比研究一般函数、指数函数、对数函数的过程与方法，研究幂函数的图象和性质．引导学生通过观察、归纳、抽象、概括幂函数

的性质，培养学生概括抽象和识图能力．能运用幂函数概念解决简单的问题；(2)使学生领会数形结合的数学思想方法，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力．3．情感、态度与价值观(1)通过生活实例引出幂函数的概念，使学生体会到数学在实际生活中的应用，激发学

生的学习兴趣；(2)进一步渗透数形结合与类比的思想方法；(3)体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性．●重点难点重点：从五个具体的幂函数中认识概念和性质．难点：从幂函数的图象中概括其性质．重难点的突破：以学生熟知的函数y＝x，y＝x2，y＝1x，y＝x3，y＝x12为切入点，类比指数函数及对数

函数的概念得出幂函数的概念．通过学生自主作图，并观察五个具体的幂函数的图象，经小组讨论并结合多媒体的直观演示，师生共同总结出函数y＝xα的图象特征.课前自主导学课标解读1.掌握幂函数的概念、图象和性质．(重点)2．熟悉α＝1,2,3，12，

－1时的五类幂函数的图象、性质及其特点．(易混点)3．能利用幂函数的性质来解决实际问题．(难点)-2-知识1幂函数的概念【问题导思】1．函数y＝2x与y＝x2有何不同？【提示】在函数y＝2x中，常数2为底数，自变量x为指数，故

为指数函数；而在函数y＝x2中，自变量x为底数，常数2为指数，故为幂函数．2．函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1及y＝x12解析式有何共同特征？【提示】指数为常数；底数是自变量，自变量的系数为1；幂xα的系数为1；只有1项．一般地，函数y＝xα叫做幂

函数，其中x是自变量，α是常数．知识2幂函数的图象及性质【问题导思】在同一平面直角坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x\f(1,2)，y＝x－1的图象如图.1．它们的图象都过同一定点吗？

【提示】是的，都过定点(1,1)．2．上述五个函数，在(0，＋∞)内是增函数的是哪几个？是减函数的呢？【提示】在(0，＋∞)内是增函数的有：y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x12.在(0，＋∞)内是减函数的有：y＝x－1.3．上述5个函数的图象关于原点对称，是奇函数的有哪几个？图象

关于y轴对称，是偶函数的呢？【提示】图象关于原点对称是奇函数的有：y＝x，y＝x3，y＝x－1；图象关于y轴对称，为偶函数的是y＝x2.幂函数的性质-3-幂函数y＝xy＝x2y＝x3y＝x12y＝x－1定义域RRR[0

，＋∞){x|x≠0}值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y≠0}奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性在R上是增函数在[0，＋∞)上是增函数，在(－∞，0]上是减函数在R上是增函数在[0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数，

在(－∞，0)上是减函数公共点(1,1)课堂互动探究类型1幂函数的概念已知函数y＝(m2＋2m－2)xm＋2＋2n－3是幂函数，求m，n的值．【思路探究】已知函数――→对照y＝xα――→列方程(组)求m，n

【自主解答】∵函数y＝(m2＋2m－2)xm＋2＋2n－3是幂函数，由幂函数的定义得m2＋2m－2＝12n－3＝0，解得m＝－3或1，n＝32.1．判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常

数)的形式．反之，若一个函数具有这种形式，则该函数必为幂函数．2．判断函数解析式以根式形式给出的函数是否为幂函数，要注意把根式化为分数指数幂的形式进行化简整理，再对照幂函数的定义进行判断．已知幂函数f(x)＝

xα的图象经过点(9,3)，则f(100)＝________.-4-【解析】由题意可知f(9)＝3，即9α＝3，∴α＝12，∴f(x)＝x12，∴f(100)＝10012＝10.【答案】10类型2幂函数的图象已知函数y＝xa，y＝xb，y＝xc的图象如图2－3－

1所示，则a，b，c的大小关系为()A．c<b<aB．a<b<cC．b<c<aD．c<a<b图2－3－1【思路探究】利用幂函数在第一象限内的图象特征和性质结合所给图象分析判断a，b，c的大小关系【自主解答】由幂函数的

图象特征知，c<0，a>0，b>0.由幂函数的性质知，当x>1时，幂指数大的幂函数的函数值就大，则a>b.综上所述，可知c<b<a.【答案】A1．本题也可采用特殊值法，如取x＝2，结合图象可知2a>2b>2c

，又函数y＝2x在R上是增函数，于是a>b>c.2．对于函数y＝xαα＝±1，12，2，3而言，其图象有以下特点：(1)恒过点(1,1)，且不过第四象限．(2)当α＞0时，幂函数的图象在(0，＋∞)上都是增

函数；当α＜0时，幂函数的图象在(0，＋∞)上都是减函数．(3)在第一象限内，直线x＝1的右侧，图象由上到下，相应的指数由大变小．-5-幂函数y＝x－1及直线y＝x，y＝1，x＝1将平面直角坐标系的第一象限分成八个“卦限”：①、②、③、④、⑤、⑥、⑦、⑧(如图所示

)，那么幂函数y＝x12的图象经过的“卦限”是()A．④⑦B．④⑧C．③⑧D．①⑤【解析】∵x－x＝x(x－1)，当0<x<1时，x－x<0，即x<x<1，∴幂函数y＝x12的图象经过“卦限①”；当x>1

时，x－x>0，即x>x>1，∴幂函数y＝x12的图象经过“卦限⑤”．【答案】D类型3幂函数的性质及应用比较下列各组数的大小：(1)3－52和3.1－52；(2)－8－78和－1978；(3)

－23－23和－π6－23；(4)4.125，3.8－23和(－1.9)－35.【思路探究】幂的结构―――――――――――――――→借助幂函数的单调性或中间量幂的大小.【自主解答】(1)函数y＝x－52在(0，＋∞)上为减函数，

又3<3.1，所以3－52>3.1－52.(2)－8－78＝－1878，函数y＝x78在(0，＋∞)上为增函数，又18>19，则1878>1978，从而－8－78<－1978.(3)－23－23＝23－23，－π6－23＝

π6－23.函数y＝x－23在(0，＋∞)上为减函数，又23>π6，-6-所以－23－23＝23－23<π6－23＝－π6－23.(4)4.125>125＝1；0<3.8－23<1－23＝1；(－1.9)－

35<0，所以(－1.9)－35<3.8－23<4.125.1．比较幂的大小的三种常用方法2．利用幂函数单调性比较大小时要注意的问题比较大小的两个实数必须在同一函数的同一单调区间内，否则无法比较大小．已知幂函数f(x)＝xm－3(m∈N*)为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是减函数，求函数f(

x)的解析式．【解】∵f(x)＝xm－3在(0，＋∞)上是减函数，∴m－3<0，∴m<3.又∵m∈N*，∴m＝1,2.又∵f(x)＝xm－3是偶函数，∴m－3是偶数．∴m＝1.∴f(x)＝x－2.思想方法技巧巧用幂函数的性质求参数的范围(12分)已

知幂函数y＝x3m－9(m∈N*)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上函数值随x的增大而减小，求满足(a＋1)－m3<(3－2a)－m3的a的取值范围．【思路点拨】据题中条件→列出不等式组→求出m→利用幂函数的单调性→对底数分类讨论→得a【规范解答】

∵函数在(0，＋∞)上递减，∴3m－9<0，解得m<3.4分-7-又m∈N*，∴m＝1,2.又函数图象关于y轴对称，∴3m－9为偶数，故m＝1.8分∴有(a＋1)－13<(3－2a)－13.又∵y＝x－13在(－∞，0)，(0，＋∞)上均递减，∴

a＋1>3－2a>0或0>a＋1>3－2a或a＋1<0<3－2a，10分解得23<a<32或a<－1.12分1．本题涉及到幂函数的单调性、奇偶性、图象等问题，解题的关键是准确把握幂函数的图象，实质上，抓住了幂函数的图象也就抓住了性质．2

．分类讨论思想．本题中依“a＋1,3－2a”是否在同一区间为分类标准，从而做到不重不漏，学习中应注意分类意识的培养．课堂小结1．幂函数的概念是区别指数函数及处理幂函数相关问题的依据．判断一个函数是否为幂函

数，其关键是判断其是否符合y＝xα(α为常数)的形式．2．幂函数的图象是幂函数性质的直观反映，会用类比的思想分析函数y＝xα(α为常数)同五个函数(y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝x12)图象与性质的关系．3．幂函数的单调性是比较幂值大小关系的重要依据，要学会用幂函数的图象及性质处理幂

值大小的比较问题．当堂双基检测1．下列函数是幂函数的是()A．y＝5xB．y＝x5C．y＝5xD．y＝(x＋1)3【解析】函数y＝5x是指数函数，不是幂函数；函数y＝5x是正比例函数，不是幂函数；函数y

＝(x＋1)3的底数不是自变量x，不是幂函数；函数y＝x5是幂函数．【答案】B2．下列幂函数在(－∞，0)上为减函数的是()A．y＝xB．y＝x2C．y＝x3D．y＝x12-8-【解析】结合幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3及y＝x12的图象可知，幂函数y＝x2在(－∞，0)上为减函数

．【答案】B3．若幂函数f(x)的图象经过点2，14，则f12＝________.【解析】设幂函数f(x)＝xα，则由题意可知f(2)＝2α＝14，∴α＝－2，∴f(x)＝x－2，∴f12＝12－2＝4.【答案】

44．比较下列各组中两个值的大小：(1)1.535与1.635；(2)0.61.3与0.71.3；(2)3.5－23与5.3－23；(4)0.18－0.3与0.15－0.3.【解】(1)∵幂函数y＝x3

5在(0，＋∞)上单调递增，且1.5<1.6，∴1.535<1.635.(2)∵幂函数y＝x1.3在(0，＋∞)上单调递增，且0.6<0.7，∴0.61.3<0.71.3.(3)∵幂函数y＝x－23在(0，＋∞)上

单调递减，且3.5<5.3，∴3.5－23>5.3－23.(4)∵幂函数y＝x－0.3在(0，＋∞)上单调递减，且0.18>0.15，∴0.18－0.3<0.15－0.3.课后知能检测一、选择题1．下列函数中，定义域为R的

是()A．y＝x－2B．y＝x12C．y＝x2D．y＝x－1【解析】对A，由y＝x－2＝1x2，知x≠0；对B，由y＝x12＝x，知x≥0；对D，由y＝x－1＝1x，知x≠0.故A，B，D中函数的定义域均不为R，从而选C.【答案】C2．函数y＝x53的图象大致是()-

9-【解析】∵函数y＝x53在(0,0)处有定义，且该函数为奇函数，故排除选项A、D，又53>1，故排除选项C.【答案】B3．下列命题中正确的是()A．当α＝0时，函数y＝xα的图象是一条直线B．幂函数的图象都经过(0,0)，(1,1)两

点C．若幂函数y＝xα的图象关于原点对称，则y＝xα在定义域上是增函数D．幂函数的图象不可能在第四象限【解析】当α＝0时，函数y＝xα的定义域为{x|x≠0，x∈R}，其图象为两条射线，故A选项不正确；当α<0时，函数y＝xα的图象不过(0,0)点，故选

项B不正确；幂函数y＝x－1的图象关于原点对称，但其在定义域内不是增函数，故选项C不正确；当x>0，α∈R时，y＝xα>0，则幂函数的图象都不在第四象限，故选项D正确．【答案】D4．设a＝2535，b＝2525，c＝3525

，则a，b，c的大小关系是()A．a>b>cB．c>a>bC．a<b<cD．b>c>a【解析】∵函数y＝25x在R上是减函数，又35>25，∴2535<2525，即a<b.又∵函

数y＝x25在R上是增函数，且35>25，∴3525>2525，即c>b，∴a<b<c.【答案】C图2－3－35．若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(－∞，0]上是递减的，且f(－2)＝0，如图2－3－3所示，则使得f(x)<0的x的

取值范围是()-10-A．(－∞，2)B．(2，＋∞)C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D．(－2,2)【解析】由图可得在(－∞，0)上，f(x)<0的解集为(－2,0]．因为f(x)为偶函数，所以x的取值范围为(－2,2)．【答案】D二、填空题6

．函数y＝x－2在区间12，2上的最大值为________．【解析】∵函数y＝x－2在12，2上是减函数，故该函数在12，2上的最大值为12－2＝4.【答案】47．设α∈－1，1，1

2，3，则使y＝xα的定义域为R且为奇函数的所有α的值组成的集合为________．【解析】当α＝－1或α＝12时，所得幂函数的定义域不是R；当α＝1或α＝3时，所得幂函数的定义域为R且为奇函数．【答案】{1,3}8．幂函数y＝f(x)的图象经过点2，18，则满足f(x)＝－27的x值等

于________．【解析】设f(x)＝xα，由题意可知2α＝18，α＝－3，即f(x)＝x－3.由x－3＝－27可知x＝－13.【答案】－13三、解答题9．(2014·济南高一检测)已知函数y＝(m2－3m＋3)xm23－1为幂函数，求其解析式，并讨论函数的单调性和

奇偶性．【解】由题意得m2－3m＋3＝1，即m2－3m＋2＝0.∴m＝1或m＝2.当m＝2时，y＝x13，定义域为R，y＝x13在(－∞，＋∞)上是增函数且是奇函数．-11-当m＝1时，y＝x－23，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．由于y＝x－23＝1x23＝13x2，∴函数y

＝x－23为偶函数．又－23<0，∴y＝x－23在(0，＋∞)上是减函数，在(－∞，0)上是增函数．10．点(2，2)与点－2，－12分别在幂函数f(x)，g(x)图象上，当x为何值时，有(1)f(x)>g(x)；(2)f(x)＝g(x)

；(3)f(x)<g(x)?【解】设f(x)＝xα，g(x)＝xβ，则(2)α＝2，(－2)β＝－12，∴α＝2，β＝－1.∴f(x)＝x2，g(x)＝x－1.分别作出它们的图象如图所示，由图象可知，①当x∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f(x)>g(x)；

②当x＝1时，f(x)＝g(x)；③当x∈(0,1)时，f(x)<g(x)．11．设f(x)＝ax＋a－x2，g(x)＝ax－a－x2(其中a>0且a≠1)．(1)由5＝2＋3，请你探究g(5)能否用f(2)，g(2)，f(3)

，g(3)来表示；(2)如果你在(1)中获得了一个结论，请探究能否将其推广．【解】(1)∵g(5)＝a5－a－52，而f(2)g(3)＋g(2)f(3)＝a2＋a－22·a3－a－32＋a2－a－22·a3＋a－32＝14(a5＋a－a－1－a－5＋a5－a＋a－1－a－5)＝12(

a5－a－5)，∴g(5)＝f(3)g(2)＋g(3)f(2)．(2)由(1)可得g(x＋y)＝f(x)g(y)＋g(x)f(y)．证明：f(x)g(y)＋g(x)f(y)＝ax＋a－x2·ay－a－y2＋ax－a－x2·ay＋a－y2＝14(ax＋y＋ay－x－a

x－y－a－y－x＋ax＋y－ay－x＋ax－y－a－x－y)-12-＝12(ax＋y－a－x－y)＝g(x＋y).