【文档说明】四川省宜宾市叙州区第二中学校2020届高三上学期期末考试数学（理）试题【精准解析】.doc，共(20)页，1.692 MB，由小赞的店铺上传

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2019-2020学年秋四川省叙州区第二中学高三期末考试理科数学试题第I卷(选择题共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.）1.已知

a为实数，若复数()()12aii+−为纯虚数，则a=（）A.12−B.2C.12D.2−【答案】D【解析】【分析】根据复数的运算法则进行化简，结合复数是纯虚数，进行求解即可．【详解】()()12aii+−＝()212aai++

−，∵复数是纯虚数，∴20a+=且120a−得2a=−且a≠12，即2a=−，故选D．【点睛】本题主要考查复数的运算以及复数的概念，根据复数是纯虚数建立条件关系是解决本题的关键，属于基础题．2.已知集合A={x|﹣2＜x＜4}

，B={x|y=lg（x﹣2）}，则A∩（∁RB）=（）A.（2，4）B.（﹣2，4）C.（﹣2，2）D.（﹣2，2]【答案】D【解析】【分析】先求得集合B,再进行补集和交集的运算即可．【详解】B={x|

x＞2}；∴∁RB={x|x≤2}；∴A∩（∁RB）=（﹣2，2]．故选D．【点睛】本题考查描述法表示集合，交集和补集的运算．3.“1x”是“()2log11x+”的（）A.充要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】因为()2log11x+，所

以121xx+，所以“1x”是“()2log11x+”的充要条件，选A.4.若{an}是等差数列，且a1＋a4＋a7＝45，a2＋a5＋a8＝39，则a3＋a6＋a9＝()A.39B.20C.19.5D.33【答案】

D【解析】【分析】根据等差数列的通项公式，纵向观察三个式子的项的脚标关系，可巧解.【详解】由等差数列得：258147147()()339,aaaadadadaaad++=+++++=+++=所以36,d=−同理：369258339633.aaaaaad++=+++=−=故选D.【点睛】本题考查等

差数列通项公式，关键纵向观察出脚标的特殊关系更妙，属于中档题.5.函数xya=(0a且1a)与函数()212yaxx=−−在同一坐标系内的图象可能是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【详解】当1a时，函数xya=为增函数；函数()212yaxx=

−−图象的开口向上，对称轴为101xa=−，且与y轴的交点为(0,0)，排除B．当01a时，函数xya=为减函数；函数()212yaxx=−−图象的开口向下，对称轴为101xa=−，与y轴的交点为(0,0)，排除C,D，故A正确．选A．6.如图，网格线上小正方形的边长为1，粗实线画出

的是某几何体的三视图，其正视图，侧视图均为等边三角形，则该几何体的体积为（）A.83(1)3π+B.43(2)π+C.43(2)3π+D.43(1)π+【答案】C【解析】【分析】由三视图判断出几何体的结构，进而求得几何体的体积.【详解】等边三角形的高为22213−=，由三视图可知，该几

何体的左边是一个三棱锥，右边是一个半个圆锥，由此可求得几何体的体积为211114223π2233232V=+()8343π432π333=+=+，故选C.【点睛】本小题主要考查由三视图还原为原图，考查锥体体积计算公式，考查运算求解能力，属于基础题.

7.已知向量(2,tan)a=，(1,1)b=−，且ab，则πtan4−=A.2B.3−C.3D.13−【答案】B【解析】【分析】向量平行：內积等于外积．【详解】abtan2=−π1tantan341tan−−==−+

【点睛】本题结合向量考查向量与两角差的正切值．向量平行：內积等于外积．8.已知命题:p4sin4sinxx+，命题:q“230xx−”是“4x”的必要不充分条件，则下列命题正确的是（）A.pqB.()pqC.()pqD.()()pq【答案

】C【解析】试题分析：:p当sin0x时4sin4sinxx+，当sin0x时4sin4sinxx+−，为假命题；:q23030xxxx−或，即“230xx−”是“4x”的必要不充分条件，q为真

命题；因此pq为假，()pq为假，()pq为真，()()pq为假，所以选C.考点：复合命题真假【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若p则q”、“若q则p”的真假．并注意和图示相结合，例如“p⇒q”为真，则p是q的充分条件．2．

等价法：利用p⇒q与非q⇒非p，q⇒p与非p⇒非q，p⇔q与非q⇔非p的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则

A是B的充要条件．9.将函数()yfx=图像上每一点的纵坐标保持不变,横坐标扩大到原来的2倍,再把所得的图像沿x轴向右平移2个单位,这样所得的曲线与3ysinx=的图像相同,则函数()yfx=的表达式是()A.()3sinfxx=−B.()3cos2fxx=C.()3sin2

2xfx=−D.()3sin24xfx=+【答案】B【解析】【分析】采用逆推方法可以求得结果.【详解】由题意可得，把3ysinx=的图像向左平移2个单位，即3sin()2yx=+；再把所得图

像上各点横坐标缩为原来的12，即3sin(2)2yx=+可以得到函数()yfx的=图像，即()3sin(2)3cos22fxxx=+=.故选B.【点睛】本题主要考查三角函数图像的变换，平移变换时，明确平移方向和平移单位是解决平移问题

的关键.10.已知A，B是圆心为C，半径为5的圆上两点，且5AB=，则ACCB等于（）A.52−B.52C.2D.532【答案】A【解析】【分析】由A，B是圆心为C，半径为5的圆上两点，且5AB=，可得ABC是等边三角形．再利用数

量积定义即可得出．【详解】解：A，B是圆心为C，半径为5的圆上两点，且5AB=，ABC∴是等边三角形．则()255cos602ACCBCACB=−=−=−．故选：A．【点睛】本题考查了圆的性质、数量积定义、

等边三角形的性质，属于基础题．11.,xy满足约束条件362000xyxyxy−−+,若目标函数(0,0)zaxbyab=+的最大值为12，则23ab+的最小值为()A.256B.25C.253D.5【答案】A【解析】

【分析】先画不等式组表示的平面区域，由图可得目标函数(0,0)zaxbyab=+何时取最大值，进而找到ab，之间的关系式236,ab+=然后可得23123()(23)6ababab+=++，化简变形用基本不等式即可求解．【详解】不等式组表示的平面区域

如图，由36020xyxy−−=−+=得点B坐标为B（4,6）.由图可知当直线zaxby=+经过点B（4,6）时，Z取最大值．因为目标函数(0,0)zaxbyab=+的最大值为12，所以4612,ab+=即23

6,ab+=所以2312316616625()(23)(13)(132)6666abababababbaba+=++=+++=．当且仅当66236abbaab=+=即65ab==时，上式

取“=”号．所以当65ab==时，23ab+取最小值256．故选A．【点睛】利用基本不等式2abab+可求最大（小）值，要注意“一正，二定，三相等”．当ab，都取正值时，（1）若和+ab取定值，则积ab有最大值；（2）

若积ab取定值时，则和+ab有最小值．12.已知双曲线22221(0,0)xyabab−=的左、右两个焦点分别为12FF、，AB、为其左右顶点,以线段12FF、为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为M，且30MAB=,则双曲线的离心率为(）A.212B.2

13C.193D.192【答案】B【解析】分析：求出双曲线的渐近线方程和圆的方程，求出交点M，再由两点的斜率公式，得到,ab的关系，再由离心率公式即可得到所求值．详解：双曲线22221(0,0)xyabab−=的渐近线方程为byxa=，以12FF为byxa，=

代入圆的方程，可得，22acxaab==+（负的舍去），yb=，即有Mab（，），又0Aa−（，），由于30MAB=，则直线AM的斜率为33k=，又2bka=，则2222343baca==−（），即有2237ca=，则离心率

21.3cea=＝．故选B．点睛：本题考查双曲线的方程和性质，考查直线和圆的位置关系，直线的斜率公式，考查离心率的求法，属于基础题．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13.已知向量()()1,2,,4abx==−，若ab，则ab=vv__

____.【答案】－10【解析】【分析】根据ab，得到关于x的方程，解出x，再根据数量积的坐标运算，得到答案.【详解】向量()()1,2,,4abx==−，因为ab，所以42x−=，解得2x=−所以()()1,2,2,4ab==−−所以()()122410ab=

−+−=−.【点睛】本题考查向量的平行关系，向量数量积的坐标运算，属于简单题.14.函数()2263fxsinxcosx=++的最大值为【答案】9【解析】【分析】由同角三角函数基本关系将函数整理成二次函数的形式，再配方即可求解.【详解】因为()2223192632263

222fxsinxcosxcoxcosxcosx=++=−++=−−+，又xR，所以1,1cosx−，所以当1cosx=时，()fx取最大值为9.【点睛】本题主要考查配方法求函数最大值的问题

，属于基础题型.15.在四面体ABCD中，,,ABACAD两两垂直，且3AB=，2AD=，5AC=，则该四面体的外接球的表面积为_______.【答案】12【解析】【分析】由球的对称性及,,ABAC

AD两两垂直，可将四面体ABCD补形为''''ABCDABCD−,由已知求出外接球的球心，可得其表面积.【详解】解：由球的对称性及,,ABACAD两两垂直，可将四面体ABCD补形为''''ABCDABCD−,长方体的对称中心即为外接球的球心，设球的半径为R,可得：222234523RABACA

D=++=++=,3R=,可得其表面积为：2412SR==.【点睛】本题主要考查空间几何体的外接球问题，相对不难，将四面体ABCD补形为长方体''''ABCDABCD−，利用长方体的外接球的性质求出半径是解题的关键.16.已知函数()fx是定

义在R上的偶函数，若对于0x，都有()()2fxfx+=−且当)0,2x时，()e1xfxx=−，则()()20172018ff−+=__________.【答案】e【解析】【分析】由已知可得函数是以4为周期的周期函数，且()fx是

定义在R上的偶函数可得()()()()2017201820172018ffff−+=+，求出()2017f与()2018f的值，可得答案.【详解】解：由已知函数()fx对于0x，都有()()2fxfx+=−，可得()()()42fxfxfx+=−+=，即当0x时，函数()fx是以4为周

期的周期函数，又函数()fx是定义在R上的偶函数，可得()()()()2017201820172018ffff−+=+，()()201750441(1)1fffe=+==−，()()201850442(2)(0)1ffff=+==−=，故可得：()()()()201

720182017201811ffffee−+=+=−+=，故答案为：e.【点睛】本题主要考查了函数奇偶性与周期性的综合应用，其中根据已知条件得出函数为周期是4的周期函数是解题关键.三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17~21题为必

考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）17.甲、乙、丙三人参加微信群抢红包游戏，规则如下：每轮游戏发50个红包，每个红包金额为x元，1,5x．已知在每轮游戏中所产生的50个红包金

额的频率分布直方图如图所示．（1）求a的值，并根据频率分布直方图，估计红包金额的众数；（2）以频率分布直方图中的频率作为概率，若甲、乙、丙三人从中各抢到一个红包，其中金额在[1,2)的红包个数为X，求X的分布列和期望．【答案】（1）0.3a=,众数为2.5（2）见解析【解析】【分析】（1）由

频率分布直方图的性质可得()0.180.20.3211a+++=，解得a，众数为2.5；（2）由频率分布直方图可得，红包金额在)1,2的概率为15，则13,5XB，根据二项分布概率计算公式得分布列及期望.【详解】（1）由题可

得：()0.180.20.3211a+++=，∴0.3a=，众数为2.5.（2）由频率分布直方图可得，红包金额在)1,2的概率为15，则13,5XB.∴X的取值为0,1,2,3，()3034640

5125PXC===,()2134148155125PXC===,()12234112255125PXC===,()3331135125PXC=

==,∴X的分布列为X0123P6412548125121251125∴()6448121301231251251251255EX=+++=（或()13355EX==）．【点睛】本题考查了频率分布直方图的性质、二项分布列的计算公及其数学期望与方差，考查了推理能力与计算能力，属

于中档题．18.ABC的内角A、B、C所对的边分别为abc，，，且sinsinsin2sinaAbBcCaB+=+()1求角C；()2求3sincos4AB−+的最大值．【答案】()()124C=2【解析】试题分析：（1）由正弦定理得到2222ab

cab+=+，再由余弦定理得到()2222cos0224abcCCCab+−===，；（2）由第一问得到原式等价于33sincos44AA−−+，化简后为2sin6A=+，再根据角

的范围得到三角函数的范围即可．解析：()2221sinsinsin2sin2aAbBcCaBabcab+=++=+即2222abcab+−=由余弦定理()2222cos0224abcCCCab+−==

=，（2）由题意可得3sincos4AB−+=3313sincos3sincos2sincos4422AAAAAA−−+=−=+2sin6A=+()110,,6612AA+，，12sin26A−+

3sincos4AB−+的最大值为219.在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，//EFAB，1DEEF==，2DCBF==，30EAD=.（Ⅰ）求证：AE⊥平面CDEF；（Ⅱ

）在线段BD上确定一点G，使得平面EAD与平面FAG所成的角为30.【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）当点G满足13DGDB=时，平面EAD与平面FAG所成角的大小为30.【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）在ADE中，由正弦定理得得sin1AED

=即90AED=∠即AEDE⊥，在RtADE中，可得222AEAPEP+=即AEAB⊥，即AEEF⊥，由此可证明AE⊥平面CDEF.（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，DC⊥平面AED，则平面ABCD⊥平面AED如图，过D点作平面ABCD的

垂线DH，以点D为坐标原点，DA，DC，DH所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，求出相应点及向量的坐标，设平面FAG的一个法向量()1,,nxyz=，令3x=−，得()()13,31,25n=−−−.易知平面E

AD的一个法向量()20,1,0n=uur.由向量的夹角公式()()()2223133125−+−+−32=，化简得29610−+=，13=.即当点G满足13DGDB=时，平面EAD与平面FAG所成角的大小为30.试题解析：（Ⅰ）四

边形ABCD是正方形，2ADDC==.在ADE中，sinsinADDEAEDEAD=，即21sinsin30AED=得sin1AED=90AED=，即AEDE⊥，在梯形ABFE中，过E点作//EPBF，交AB于点P.//EFAB，2

EPBF==，1PBEF==，1APABPB===在RtADE中，可求3AE=，224AEAP+=，24EP=222AEAPEP+=AEAB⊥，AEEF⊥.又EFDEE=Q，AE⊥平面CDEF，（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，AEDC

⊥，ADDC⊥DC⊥平面AED，又DC平面ABCD，平面ABCD⊥平面AED如图，过D点作平面ABCD的垂线DH，以点D为坐标原点，DA，DC，DH所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0D

，()2,2,0B，()0,2,0C，13,1,22F，()2,0,0A，33,1,22AF=−()2,2,0DB=，.设()2,2,0DGDB==，0,1，则()22,2,0AG=−.设平面FAG的一个法向量()1,,nx

yz=，则1nAF⊥，1AGn⊥1100nAFnAG==即()330,222220,xyzxy−++=−+=令3x=−，得()()13,31,25n=−−−.易知平面EAD的一个法向量()20,1,0n=uur.由已知得2112·cos30·nn

nn=()()()2223133125−=+−+−32=，化简得29610−+=，13=.当点G满足13DGDB=时，平面EAD与平面FAG所成角的大小为30.20.已知椭圆2222:1xyCab+=(0)ab

的左、右两个焦点分别为1F，2F，上项点()0,3,A12AFF是正三角形.（1）求椭圆C的标准方程；（2）O为坐标原点，P是直线1FA上的一个动点，求2PFPO+的最小值，并求出此时点P的坐标.【答案

】（1）22143xy+=（2）2PFPO+的最小值为7，P的坐标为23,33−.【解析】【分析】（1）由题得到a,b,c的方程组，解方程组即得椭圆的标准方程；（2）先求出M坐标为33,22−.再根据222PFP

OPFPMMF+=+求2PFPO+的最小值，再联立直线12AFMF、方程求点P的坐标.【详解】（1）由题意的22223acbabc===+解得2,3,1abc===.所以椭圆C的标准方程为22143xy+=.（2）因为12A

FF是正三角形，可得直线1AF的斜率为tan33k==，所以直线1AF的方程为()31yx=+.设点O关于直线1AF的对称点为(),Mmn，则313122nmnm=−=+，解得33,22mn=−=，可得M坐标为33,22−

.因为POPM=，所以222PFPOPFPMMF+=+.所以2PFPO+的最小值2223310722MF=−−+−=，直线2MF的方程为()3021312yx−=−−−，即()315yx=−−.由()()31531

yxyx=−−=+解得2333xy=−=，所以此时点P的坐标为23,33−.综上所述，可求的2PFPO+的最小值为7，此时点P的坐标为23,33−.【点睛】本题

主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系和最值的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.21.设函数()ln(1)xfxxaea−=++−，aR.（1）当1a=时，证明()fx在(0,)+

是增函数；（2）若[0,),()0xfx+，求a的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）(,1]−【解析】【分析】（1）将1a=代入()fx，对()fx求导，利用导函数的性质可证明()fx在(0,)+是增函数；（2）对a

进行讨论，求出函数的最小值，使函数的最小值大于等于零，从而求得a的取值范围.【详解】解：（1）由题意得'1(1)()1(1)xxxaeaxfxxeex−+=−=++.当1a=时，()()()11xxex

fxex−+=+.令()1xgxex=−−，则()1xgxe=−.当(0,)x+时，()10xgxe=−，所以()gx在(0,)+为增函数.因此(0,)x+时，()(0)0gxg=，所以当(0,)x+时，()0fx，则()fx在()0,+是增函数.（

2）由'(1)()(1)xxeaxfxex−+=+.由（1）知，1xex+当且仅当0x=等号成立.故'1(1)(1)(1)()(1)(1)xxxaxaxfxexex+−+−+=++，从而当10a−，即1a时，对[0,)x+，'(

)0fx.于是对[0,)x+()(0)0fxf=.满足题意，由1(0)xexx+得1(0)xexx−−，从而当1a时，()()()()()()222222111xxxxxxxxxeaaaeaaaeaaeaeaeafxexexex−−+−−−−

−+−−+==+++.故当2(0,ln())xaaa+−时，()0fx.于是当2(0,ln())xaaa+−时，()(0)0fxf=.不满足题意，综上，a的取值范围是(,1]−【点睛】本题主要考查利用导数

证明函数的单调性及利用导数解不等式求参数，综合性大，属于难题.（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2sin

=，点0,4A在C上，直线l经过点02,4B且与直线OA垂直.（1）求直线l的极坐标方程；（2）已知点P在曲线C上运动（异于O点），射线OP交直线l于点Q，求线段PQ的中点轨迹的极坐标方程.【答案】（1）sin

224+=（2）23sin04sin4=++【解析】【分析】(1)由已知条件先求出直线的普通方程，再转化成极坐标方程；(2)直接用极坐标表示P、Q两点，运用中点坐标公式求解.【详解】解析：（1）由题知2,4A，

22,4B，故点B的直角坐标为()2,2，由lOA⊥知直线l的倾斜角为34，故直线l的直角坐标方程为4xy+=，所以其极坐标方程为cossin4+=即sin224+=；（2）由题知可

设()1,P，()2,Q，其中30,4，则PQ中点的极坐标为12,2+，由P在曲线C上得12sin=，由Q在直线l上得222sin4=+，故PQ中点的极坐标为2sin,s

in4++，所以PQ中点轨迹的极坐标方程为23sin04sin4=++.【点睛】本题考查极坐标与平面直角坐标互化，属于中档题.23.已知函

数()5fxxax=−+−．（1）当3a=时，求不等式()3fx的解集；（2）若不等式()6fxx−的解集包含1,3，求a的取值范围．【答案】（Ⅰ）5{|2xx，或11}2x（Ⅱ）0a或4a【解析】试题分析：

（1）主要考查了含绝对值不等式的解法.当3a=时，这里可采用零点分段法即可解出不等式的解集.（2）不等式()6fxx−的解集包含1,3，易知当x∈[1，3]时，不等式f（x）≥|x﹣6|恒成立，

适当变形为|x﹣a|≥|x﹣6|﹣|x﹣5|=6﹣x﹣（5﹣x）=1，即得|x﹣a|≥1在x∈[1，3]恒成立.试题解析：解：（1）当a=3时，求不等式f（x）≥3，即|x﹣3|+|x﹣5|≥3，∴3353xxx−+−①，或

35353xxx−+−②，或5353xxx−+−③．解①求得x≤52；解②求得x∈；解③求得x≥112．综上可得，不等式f（x）≥3的解集为{x|x≤52，或x≥112}．（2）若不等式f（x

）≥|x﹣6|的解集包含[1，3]，等价于当x∈[1，3]时，不等式f（x）≥|x﹣6|恒成立，即|x﹣a|+|x﹣5|≥|x﹣6|恒成立，即|x﹣a|≥|x﹣6|﹣|x﹣5|=6﹣x﹣（5﹣x）=1恒成立，即|x﹣a|≥

1恒成立，∴x﹣a≥1，或x﹣a≤﹣1恒成立，即a≤x﹣1，或a≥x+1恒成立，∴a≤0，或a≥4．综上可得，a≤0，或a≥4．