【文档说明】四川省宜宾市叙州区第二中学校2020届高三上学期期末考试数学（理）试题【精准解析】.doc，共(20)页，1.692 MB，由小赞的店铺上传

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2019-2020学年秋四川省叙州区第二中学高三期末考试理科数学试题第I卷(选择题共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.）1.已知a为实数，若复数(

)()12aii+−为纯虚数，则a=（）A.12−B.2C.12D.2−【答案】D【解析】【分析】根据复数的运算法则进行化简，结合复数是纯虚数，进行求解即可．【详解】()()12aii+−＝()212aai++−，∵复数是纯虚数，∴20a+=且120a−得2a=−且a≠12，即2a=−，故选D

．【点睛】本题主要考查复数的运算以及复数的概念，根据复数是纯虚数建立条件关系是解决本题的关键，属于基础题．2.已知集合A={x|﹣2＜x＜4}，B={x|y=lg（x﹣2）}，则A∩（∁RB）=（）A.（2，4

）B.（﹣2，4）C.（﹣2，2）D.（﹣2，2]【答案】D【解析】【分析】先求得集合B,再进行补集和交集的运算即可．【详解】B={x|x＞2}；∴∁RB={x|x≤2}；∴A∩（∁RB）=（﹣2，2]．故选D．【点睛】本题考查描述法表

示集合，交集和补集的运算．3.“1x”是“()2log11x+”的（）A.充要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】因为()2log11x+，所以

121xx+，所以“1x”是“()2log11x+”的充要条件，选A.4.若{an}是等差数列，且a1＋a4＋a7＝45，a2＋a5＋a8＝39，则a3＋a6＋a9＝()A.39B.20C.19.5D.33【答案】D【解析】【分析】根据等差数列的通

项公式，纵向观察三个式子的项的脚标关系，可巧解.【详解】由等差数列得：258147147()()339,aaaadadadaaad++=+++++=+++=所以36,d=−同理：369258339633.

aaaaaad++=+++=−=故选D.【点睛】本题考查等差数列通项公式，关键纵向观察出脚标的特殊关系更妙，属于中档题.5.函数xya=(0a且1a)与函数()212yaxx=−−在同一坐标系内的图象可能是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【详解】当1a

时，函数xya=为增函数；函数()212yaxx=−−图象的开口向上，对称轴为101xa=−，且与y轴的交点为(0,0)，排除B．当01a时，函数xya=为减函数；函数()212yaxx=−−图象的开口向下，对称轴为101xa=−，与y轴的交点为(0,0)，排除C,D，故A正确

．选A．6.如图，网格线上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，其正视图，侧视图均为等边三角形，则该几何体的体积为（）A.83(1)3π+B.43(2)π+C.43(2)3π+D.43(1)π+【答案】C【解析】【分析】由三视图判断出几何体的结构，进而求得几

何体的体积.【详解】等边三角形的高为22213−=，由三视图可知，该几何体的左边是一个三棱锥，右边是一个半个圆锥，由此可求得几何体的体积为211114223π2233232V=+()8343π432π333=+=+，故选C.【点睛】本小题主要考查由三视图还原为原图，考查锥体

体积计算公式，考查运算求解能力，属于基础题.7.已知向量(2,tan)a=，(1,1)b=−，且ab，则πtan4−=A.2B.3−C.3D.13−【答案】B【解析】【分析】向量平行：內积等于外积．【详解】abtan2=−π1tantan341

tan−−==−+【点睛】本题结合向量考查向量与两角差的正切值．向量平行：內积等于外积．8.已知命题:p4sin4sinxx+，命题:q“230xx−”是“4x”的必要不充分条件，则下列命题正

确的是（）A.pqB.()pqC.()pqD.()()pq【答案】C【解析】试题分析：:p当sin0x时4sin4sinxx+，当sin0x时4sin4sinxx+−，为假命题；:q23030xxxx

−或，即“230xx−”是“4x”的必要不充分条件，q为真命题；因此pq为假，()pq为假，()pq为真，()()pq为假，所以选C.考点：复合命题真假【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若p则q”、“若q则p”的

真假．并注意和图示相结合，例如“p⇒q”为真，则p是q的充分条件．2．等价法：利用p⇒q与非q⇒非p，q⇒p与非p⇒非q，p⇔q与非q⇔非p的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3

．集合法：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．9.将函数()yfx=图像上每一点的纵坐标保持不变,横坐标扩大到原来的2倍,再把所得的图像沿x轴向右平移2个单位,这样所得的曲线与3ysinx=的图像相同,则函数()yfx=的

表达式是()A.()3sinfxx=−B.()3cos2fxx=C.()3sin22xfx=−D.()3sin24xfx=+【答案】B【解析】【分析】采用逆推方法可以求得结果.【详解】由题意可得，把3ysinx=的图像向左平移2个单

位，即3sin()2yx=+；再把所得图像上各点横坐标缩为原来的12，即3sin(2)2yx=+可以得到函数()yfx的=图像，即()3sin(2)3cos22fxxx=+=.故选B.【点睛】本题主要考查三角函数图像的变换，平移变换时，明确平

移方向和平移单位是解决平移问题的关键.10.已知A，B是圆心为C，半径为5的圆上两点，且5AB=，则ACCB等于（）A.52−B.52C.2D.532【答案】A【解析】【分析】由A，B是圆心为C，半径为5的圆上两

点，且5AB=，可得ABC是等边三角形．再利用数量积定义即可得出．【详解】解：A，B是圆心为C，半径为5的圆上两点，且5AB=，ABC∴是等边三角形．则()255cos602ACCBCACB=−=−=−．故选：A．【点睛】本题考查了圆的

性质、数量积定义、等边三角形的性质，属于基础题．11.,xy满足约束条件362000xyxyxy−−+,若目标函数(0,0)zaxbyab=+的最大值为12，则23ab+的最小值为()A.256B.25C.253D.5【答案】A【解析】【分析】

先画不等式组表示的平面区域，由图可得目标函数(0,0)zaxbyab=+何时取最大值，进而找到ab，之间的关系式236,ab+=然后可得23123()(23)6ababab+=++，化简变形用基本不等式即可求解．【详解】不等式组表示的平面区域如图，由36020xyxy−−=−+=得

点B坐标为B（4,6）.由图可知当直线zaxby=+经过点B（4,6）时，Z取最大值．因为目标函数(0,0)zaxbyab=+的最大值为12，所以4612,ab+=即236,ab+=所以2312316616625()(23)(13)(132)

6666abababababbaba+=++=+++=．当且仅当66236abbaab=+=即65ab==时，上式取“=”号．所以当65ab==时，23ab+取最小值256．故选A．【点睛】利用基本不等式2abab

+可求最大（小）值，要注意“一正，二定，三相等”．当ab，都取正值时，（1）若和+ab取定值，则积ab有最大值；（2）若积ab取定值时，则和+ab有最小值．12.已知双曲线22221(0,0)xyabab−=的左

、右两个焦点分别为12FF、，AB、为其左右顶点,以线段12FF、为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为M，且30MAB=,则双曲线的离心率为(）A.212B.213C.193D.192【答案】

B【解析】分析：求出双曲线的渐近线方程和圆的方程，求出交点M，再由两点的斜率公式，得到,ab的关系，再由离心率公式即可得到所求值．详解：双曲线22221(0,0)xyabab−=的渐近线方程为byxa=，以12FF为byxa，=代入圆的方程，可得，22acxaab==+（负的舍去），yb=

，即有Mab（，），又0Aa−（，），由于30MAB=，则直线AM的斜率为33k=，又2bka=，则2222343baca==−（），即有2237ca=，则离心率21.3cea=＝．故选B．点睛：本题考

查双曲线的方程和性质，考查直线和圆的位置关系，直线的斜率公式，考查离心率的求法，属于基础题．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13.已知向量()()1,2,,4abx=

=−，若ab，则ab=vv______.【答案】－10【解析】【分析】根据ab，得到关于x的方程，解出x，再根据数量积的坐标运算，得到答案.【详解】向量()()1,2,,4abx==−，因为ab，所以42x−=，解得2x=−所以(

)()1,2,2,4ab==−−所以()()122410ab=−+−=−.【点睛】本题考查向量的平行关系，向量数量积的坐标运算，属于简单题.14.函数()2263fxsinxcosx=++的最大值为【答案】9【解析】【分析】由同角三角函数基本关系将函数整理成二次函数的形式，再配

方即可求解.【详解】因为()2223192632263222fxsinxcosxcoxcosxcosx=++=−++=−−+，又xR，所以1,1cosx−，所以当1cosx=时，()fx取最大值为9.【点睛】本题主要考查配方法

求函数最大值的问题，属于基础题型.15.在四面体ABCD中，,,ABACAD两两垂直，且3AB=，2AD=，5AC=，则该四面体的外接球的表面积为_______.【答案】12【解析】【分析】由球的对称性及,,ABACA

D两两垂直，可将四面体ABCD补形为''''ABCDABCD−,由已知求出外接球的球心，可得其表面积.【详解】解：由球的对称性及,,ABACAD两两垂直，可将四面体ABCD补形为''''ABCDABCD−,长方体的对称中心即为外接球的球心，设球的半径为R,

可得：222234523RABACAD=++=++=,3R=,可得其表面积为：2412SR==.【点睛】本题主要考查空间几何体的外接球问题，相对不难，将四面体ABCD补形为长方体''''ABCDABCD−，利用长方体的外接球的性质求出半径

是解题的关键.16.已知函数()fx是定义在R上的偶函数，若对于0x，都有()()2fxfx+=−且当)0,2x时，()e1xfxx=−，则()()20172018ff−+=__________.【答案】e【解析】【分析】由已知可得函数是以4为周期的周

期函数，且()fx是定义在R上的偶函数可得()()()()2017201820172018ffff−+=+，求出()2017f与()2018f的值，可得答案.【详解】解：由已知函数()fx对于0x，都有()()2fxfx+=−，可得()()()42f

xfxfx+=−+=，即当0x时，函数()fx是以4为周期的周期函数，又函数()fx是定义在R上的偶函数，可得()()()()2017201820172018ffff−+=+，()()201750441(1)1fffe=+==−，()()201850442(2)(0)1

ffff=+==−=，故可得：()()()()201720182017201811ffffee−+=+=−+=，故答案为：e.【点睛】本题主要考查了函数奇偶性与周期性的综合应用，其中根据已知条件得出函数为周期是4的周期函数是解题关键.三、解答题（共70分，解答应写出文字说

明、证明过程或演算步骤，第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）17.甲、乙、丙三人参加微信群抢红包游戏，规则如下：每轮游戏发50个红包，每个红包金额为x元，1,5x．已知在每轮游戏中所产生的

50个红包金额的频率分布直方图如图所示．（1）求a的值，并根据频率分布直方图，估计红包金额的众数；（2）以频率分布直方图中的频率作为概率，若甲、乙、丙三人从中各抢到一个红包，其中金额在[1,2)的红包个数为X，求X的分布列和期望．【答案】（

1）0.3a=,众数为2.5（2）见解析【解析】【分析】（1）由频率分布直方图的性质可得()0.180.20.3211a+++=，解得a，众数为2.5；（2）由频率分布直方图可得，红包金额在)1,2的概率为15，则13

,5XB，根据二项分布概率计算公式得分布列及期望.【详解】（1）由题可得：()0.180.20.3211a+++=，∴0.3a=，众数为2.5.（2）由频率分布直方图可得，红包金额在)1,2的概率为15，则13,5XB

.∴X的取值为0,1,2,3，()30346405125PXC===,()2134148155125PXC===,()12234112255125PXC===,()3331135125PXC

===,∴X的分布列为X0123P6412548125121251125∴()6448121301231251251251255EX=+++=（或()13355EX==）．【点睛】本题考查了频率分布直方图的性质、二项分布列的计算公及其数学期望与方差，

考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.ABC的内角A、B、C所对的边分别为abc，，，且sinsinsin2sinaAbBcCaB+=+()1求角C；()2求3sincos4AB−+的最大值．【答案】()()124C=2【解析】试题分析：（1）由

正弦定理得到2222abcab+=+，再由余弦定理得到()2222cos0224abcCCCab+−===，；（2）由第一问得到原式等价于33sincos44AA−−+，化简后为2sin6A=+，再根据角的范

围得到三角函数的范围即可．解析：()2221sinsinsin2sin2aAbBcCaBabcab+=++=+即2222abcab+−=由余弦定理()2222cos0224abcCCCab+−===，（2）由题意可得3sin

cos4AB−+=3313sincos3sincos2sincos4422AAAAAA−−+=−=+2sin6A=+()110,,6612AA

+，，12sin26A−+3sincos4AB−+的最大值为219.在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，//EFAB，1DEEF==，2

DCBF==，30EAD=.（Ⅰ）求证：AE⊥平面CDEF；（Ⅱ）在线段BD上确定一点G，使得平面EAD与平面FAG所成的角为30.【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）当点G满足13DGDB=时，平面EAD

与平面FAG所成角的大小为30.【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）在ADE中，由正弦定理得得sin1AED=即90AED=∠即AEDE⊥，在RtADE中，可得222AEAPEP+=即AEAB⊥，即AEEF⊥，由此可证明AE⊥平面CDEF.（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，DC⊥平面A

ED，则平面ABCD⊥平面AED如图，过D点作平面ABCD的垂线DH，以点D为坐标原点，DA，DC，DH所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，求出相应点及向量的坐标，设平面FAG的一个法向量()1,,nxyz=，令3x=−，得

()()13,31,25n=−−−.易知平面EAD的一个法向量()20,1,0n=uur.由向量的夹角公式()()()2223133125−+−+−32=，化简得29610−+=，13=.即当点G满足13

DGDB=时，平面EAD与平面FAG所成角的大小为30.试题解析：（Ⅰ）四边形ABCD是正方形，2ADDC==.在ADE中，sinsinADDEAEDEAD=，即21sinsin30AED=得sin1AE

D=90AED=，即AEDE⊥，在梯形ABFE中，过E点作//EPBF，交AB于点P.//EFAB，2EPBF==，1PBEF==，1APABPB===在RtADE中，可求3AE=，224AEAP+=，24EP=222AEAPEP+

=AEAB⊥，AEEF⊥.又EFDEE=Q，AE⊥平面CDEF，（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，AEDC⊥，ADDC⊥DC⊥平面AED，又DC平面ABCD，平面ABCD⊥平面AED如图，过D点作平面ABCD的垂线DH，以点D

为坐标原点，DA，DC，DH所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0D，()2,2,0B，()0,2,0C，13,1,22F，()2,0,0A，33,1,22AF=−()2,

2,0DB=，.设()2,2,0DGDB==，0,1，则()22,2,0AG=−.设平面FAG的一个法向量()1,,nxyz=，则1nAF⊥，1AGn⊥1100nAFnAG==即()330,222220,x

yzxy−++=−+=令3x=−，得()()13,31,25n=−−−.易知平面EAD的一个法向量()20,1,0n=uur.由已知得2112·cos30·nnnn=()()()2223133125

−=+−+−32=，化简得29610−+=，13=.当点G满足13DGDB=时，平面EAD与平面FAG所成角的大小为30.20.已知椭圆2222:1xyCab+=(0)ab的左、右两个焦点分别为1F，2F，上项点()0,3,A12AFF是正三角形.（1）求

椭圆C的标准方程；（2）O为坐标原点，P是直线1FA上的一个动点，求2PFPO+的最小值，并求出此时点P的坐标.【答案】（1）22143xy+=（2）2PFPO+的最小值为7，P的坐标为23,33−

.【解析】【分析】（1）由题得到a,b,c的方程组，解方程组即得椭圆的标准方程；（2）先求出M坐标为33,22−.再根据222PFPOPFPMMF+=+求2PFPO+的最小值，再联立直线12AFMF、方程求点P的坐标.【详解】（1）由题意的22223acbabc

===+解得2,3,1abc===.所以椭圆C的标准方程为22143xy+=.（2）因为12AFF是正三角形，可得直线1AF的斜率为tan33k==，所以直线1AF的方程为()31yx=+.

设点O关于直线1AF的对称点为(),Mmn，则313122nmnm=−=+，解得33,22mn=−=，可得M坐标为33,22−.因为POPM=，所以222PFPOPFPMMF+=+.

所以2PFPO+的最小值2223310722MF=−−+−=，直线2MF的方程为()3021312yx−=−−−，即()315yx=−−.由()()31531yxyx=−−=+解得2333xy=−

=，所以此时点P的坐标为23,33−.综上所述，可求的2PFPO+的最小值为7，此时点P的坐标为23,33−.【点睛】本题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系和最值的

求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.21.设函数()ln(1)xfxxaea−=++−，aR.（1）当1a=时，证明()fx在(0,)+是增函数；（2）若[0,),()0xfx+，求a的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）(,1]−【解析】

【分析】（1）将1a=代入()fx，对()fx求导，利用导函数的性质可证明()fx在(0,)+是增函数；（2）对a进行讨论，求出函数的最小值，使函数的最小值大于等于零，从而求得a的取值范围.【详解】解：（1）由题意得'1(1)

()1(1)xxxaeaxfxxeex−+=−=++.当1a=时，()()()11xxexfxex−+=+.令()1xgxex=−−，则()1xgxe=−.当(0,)x+时，()10xgxe=−，所以()gx在(0,)+为增函数.因此(0,)x+时，()(0)0gxg=

，所以当(0,)x+时，()0fx，则()fx在()0,+是增函数.（2）由'(1)()(1)xxeaxfxex−+=+.由（1）知，1xex+当且仅当0x=等号成立.故'1(1)(1)(1)()(1)(1)xxxa

xaxfxexex+−+−+=++，从而当10a−，即1a时，对[0,)x+，'()0fx.于是对[0,)x+()(0)0fxf=.满足题意，由1(0)xexx+得1(0)xexx−

−，从而当1a时，()()()()()()222222111xxxxxxxxxeaaaeaaaeaaeaeaeafxexexex−−+−−−−−+−−+==+++.故当2(0,ln())xaaa+−时，(

)0fx.于是当2(0,ln())xaaa+−时，()(0)0fxf=.不满足题意，综上，a的取值范围是(,1]−【点睛】本题主要考查利用导数证明函数的单调性及利用导数解不等式求参数，综合性大，属于难题

.（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2sin=，点0,4A

在C上，直线l经过点02,4B且与直线OA垂直.（1）求直线l的极坐标方程；（2）已知点P在曲线C上运动（异于O点），射线OP交直线l于点Q，求线段PQ的中点轨迹的极坐标方程.【答案】（1）sin224+=（2）23sin04sin4

=++【解析】【分析】(1)由已知条件先求出直线的普通方程，再转化成极坐标方程；(2)直接用极坐标表示P、Q两点，运用中点坐标公式求解.【详解】解析：（1）由题知2,4A，22,4B，故点B的直角坐标为()

2,2，由lOA⊥知直线l的倾斜角为34，故直线l的直角坐标方程为4xy+=，所以其极坐标方程为cossin4+=即sin224+=；（2）由题知可设()1,P，()2,Q，其中30,

4，则PQ中点的极坐标为12,2+，由P在曲线C上得12sin=，由Q在直线l上得222sin4=+，故PQ中点的极坐标为2sin,sin4+

+，所以PQ中点轨迹的极坐标方程为23sin04sin4=++.【点睛】本题考查极坐标与平面直角坐标互化，属于中档题.23.已知函数()5fxxax=−+−．（1）当3a=时，求不等式()3fx的解集；（2）若不等式()6fxx

−的解集包含1,3，求a的取值范围．【答案】（Ⅰ）5{|2xx，或11}2x（Ⅱ）0a或4a【解析】试题分析：（1）主要考查了含绝对值不等式的解法.当3a=时，这里可采用零点分段法即可解出不等式的解集.（2）不等式()6fxx−的解集包含1,3，易知当x∈[1，3]时，不

等式f（x）≥|x﹣6|恒成立，适当变形为|x﹣a|≥|x﹣6|﹣|x﹣5|=6﹣x﹣（5﹣x）=1，即得|x﹣a|≥1在x∈[1，3]恒成立.试题解析：解：（1）当a=3时，求不等式f（x）≥3，即|x﹣3|+|x﹣5|≥3，∴3353xxx−+−①，或35353

xxx−+−②，或5353xxx−+−③．解①求得x≤52；解②求得x∈；解③求得x≥112．综上可得，不等式f（x）≥3的解集为{x|x≤52，或x≥112}．（2）若不等式f（x）≥|x﹣6|的解集包含[1，3]，等价于当x∈[1，

3]时，不等式f（x）≥|x﹣6|恒成立，即|x﹣a|+|x﹣5|≥|x﹣6|恒成立，即|x﹣a|≥|x﹣6|﹣|x﹣5|=6﹣x﹣（5﹣x）=1恒成立，即|x﹣a|≥1恒成立，∴x﹣a≥1，或x﹣a≤﹣1恒成立，即a≤x﹣1，或a≥x+1恒成立，∴a≤0，或a≥4．综上可得，a≤0，或a≥

4．