【文档说明】江苏省如皋市2021届高三上学期期末考试 数学 含答案.doc，共(11)页，222.000 KB，由小赞的店铺上传

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2020～2021学年高三年级模拟考试卷数学(满分150分，考试时间120分钟)2021．02一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1

.设复数z＝i1＋i(其中i为虚数单位)，则复数z在复平面内对应的点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知全集U＝R，集合A＝{x|lg(x－2)＜1}，集合B＝{x|x2－2x－3≥0}，则A∪(∁UB)＝()A.(2，12)B.

(－1，3)C.(－1，12)D.(2，3)3.已知直线m平面α，则直线l⊥平面α是直线l⊥m的()A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件4.已知α∈(0，π2)，2sin2α－cos2α

＝1，则cosα的值为()A.15B.55C.33D.2555.如图，在梯形ABCD中，已知AB∥CD，AB⊥BD，点M为AD的中点，MB⊥BC，AD＝2BD＝2，则AB→·MC→＝()A.1B.52C.3D.326.埃及金字塔之谜是人类史上最大的谜，

它的神奇远远超过了人类的想象．在埃及金字塔内有一组神秘的数字142857，因为142857×2＝285714，142857×3＝428571，142857×4＝571428，…所以这组数字又叫“走马灯

数”．该组数字还有如下发现：142＋857＝999，428＋571＝999，285＋714＝999，…若从这组神秘数字中任选3个数字构成一个三位数x，剩下的三个数字构成另一个三位数y.若x＋y＝999，则所有可能的有序实数组(x，y)的

个数为()A.48B.60C.96D.1207.在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：(x－1)2＋y2＝4，若直线l：x＋y＋m＝0上有且只有一个点P满足：过点P作圆C的两条切线PM，PN，切点分别为M，N，且使得四边形PMCN

为正方形，则正实数m的值为()A.1B.22C.3D.78.已知f(x)是定义在R上的奇函数，对任意两个不相等的正数x1，x2，都有x2f（x1）－x1f（x2）x2－x1＞0，记a＝f（0.23）0.23，

b＝f（sin1）sin1，c＝－f（ln13）ln3，则a，b，c的大小关系为()A.a＜b＜cB.b＜a＜cC.c＜a＜bD.c＜b＜a二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有错选

的得0分．9.已知(2x＋1x)n的二项展开式中二项式系数之和为64，则下列结论正确的是()A.二项展开式中各项系数之和为36B.二项展开式中二项式系数最大的项为160x32C.二项展开式中无常数项D.二项展开式中系

数最大的项为90x310.如图，已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的图象与x轴交于点A，B.若OB＝7OA，图象的一个最高点D(43，23)，则下列说法正确的是()A.φ＝－π4B.f(x)的最小正周期为4C.f(x)一个单调增区间为(－23，43)D.f(x)

图象的一个对称中心为(－53，0)11.设函数y＝f(x)定义域为D，若存在x，y∈D，且x≠y，使得2f(x＋y2)＝f(x)＋f(y)，则称函数y＝f(x)是D上的“S函数”，下列函数是“S函数”的是()A.y＝2xB.y＝x－sinx＋1C.y＝lnxD.y＝

1x，x＞0，1，x≤012.如图，在边长为2的正方形ABCD中，点M是边CD的中点，将△ADM沿AM翻折到△PAM，连接PB，PC，在△ADM翻折到△PAM的过程中，下列说法正确的是()A.四棱锥PABCM的体积最大值为255B.

当平面PAM⊥平面ABCM时，二面角PABC的正切值为54C.存在某一翻折位置，使得AM⊥PBD.棱PB的中点为N，则CN的长为定值三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.设f(x)＝ax＋x，若f(3)＝6，则不等式f(2x－1)＞f(x)的解集为

________．14.已知m，n均为正数，a＝(1，m)，b＝(2，1－n)，且a∥b，则1m＋mn的最小值为________．15.在平面直角坐标系xOy中，双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的右焦点F，过点F且

与x轴垂直的直线与双曲线的一条渐近线交于第一象限内的点A，过点F且平行于OA的直线交另一条渐近线于点B.若AB⊥OB，则双曲线C的离心率为________．16.“双十一”是指每年的11月11日，以一些电子商务为代表，在全国范围内兴起的大型购物促销狂欢日．某商家在去年的“双十一”中开展促销活动：

凡购物满5888元的顾客会随机获得A，B，C三种赠品中的一件，现恰有3名顾客的购物金额满5888元．设随机变量X表示获得赠品完全相同的顾客人数，则P(X＝0)＝________，E(X)＝________．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证

明过程或演算步骤．17.(本小题满分10分)从①△ABC的面积S＝2；②AD⊥CD这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中进行求解．如图，在平面四边形ABCD中，AB＝CD＝2，B＝3π4，对角线AC平分∠BAD，且________，求线段AD的长．注：如果选择两个条件分别解答，按

第一个解答计分．18.(本小题满分12分)已知数列{an}的前n项和为Sn，首项a1＝1，Sn＋1＝2Sn＋1.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝nan，记数列{bn}的前n项和为Tn，是否存在正整数n，使得Tn＝2021？

若存在，求出n的值；若不存在，请说明理由．(本小题满分12分)如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，AC，BD相交于点N，DN＝2NB.已知PA＝AC＝AD＝3，BD＝33，∠ADB＝30°.(1)求证：AC⊥平面PAD

；(2)设棱PD的中点为M，求平面PAB与平面MAC所成二面角的正弦值．20.(本小题满分12分)习近平总书记在党的十九大工作报告中提出，永远把人民美好生活的向往作为奋斗目标．在这一号召下，全国人民积极工作，健康生活．当前，“日行万步”正式成为健康生活的代名词．某

地一研究团队统计了该地区1000位居民的日行步数，得到如下表格：日行步数(单位：千步)[0，2](2，4](4，6](6，8](8，10](10，12](12，14]人数206017020030020050(1)为研究日行步数与居民年龄

的关系，以日行步数是否超过8千步为标准进行分层抽样，从上述1000位居民中抽取200人，得到如下列联表，请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有95%的把握认为日行步数与居民年龄超过40岁有关；日行步

数≤8千步日行步数＞8千步总计40岁以上10040岁以下(含40岁)50总计200(2)以这1000位居民日行步数超过8千步的频率，代替该地区1位居民日行步数超过8千的概念，每位居民日行步数是否超过8千相互独立．为了深入研究，该研

究团队随机调查了20位居民，其中日行步数超过8千的最有可能(即概率最大)是多少位居民？参考公式和数据：K2＝n（ad－bc）2（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d），其中n＝a＋b＋c＋d.P(K2≥k0)0.050.0250.010k03.8415.

0246.63521.(本小题满分12分)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)经过点A(2，1)，且椭圆C在点A处的切线方程为y＝－x＋3.(1)求椭圆C的方程；(2)设过点B(3，0)且与x轴不重合的直线l与椭圆C交于不同的两点M，N，直线AM，

AN分别与直线x＝－3交于点P，Q，记点P，Q的纵坐标分别为p，q，求p＋q的值．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ex－x－1，x＞0.(1)若关于x的不等式xf(x)＞kex－x2－2x－2对任意的x＞0恒成立

，求实数k的取值范围；(2)设g(x)＝2f（x）x2，x＞0.①求证：g(x)＞1；②若数列{an}满足0＜a1＜ln32，an＋1＝lng(an)，求证：ean－1＜12n.2020～2021学年高三年级模拟考试卷(如皋)数学参考答案及评分标准1.A2.C3.B4.D5.B6.A7.

C8.D9.AB10.BCD11.BD12.ABD13.(1，＋∞)14.415.23316.295317.解：选①.因为△ABC的面积为2，所以12·AB·BC·sinB＝2，即12×2×BC×22＝2，解得BC＝22.在△ABC中，根据余弦定理得AC

2＝AB2＋CB2－2AB·CB·cosB，所以22＋(22)2－2×2×22×cos3π4＝20，故AC＝25，且cos∠BAC＝AB2＋AC2－BC22AB·AC＝22＋（25）2－（22）22×2×25＝255.(5分)因为AC是∠BAD的平分线，所以cos∠CAD＝co

s∠BAC＝255.在△ACD中，根据余弦定理可得CD2＝AD2＋AC2－2AD·AC·cos∠DAC，即22＝AD2＋(25)2－2AD×25×255，解得AD＝4，所以AD＝4.(10分)选②.因为AC平分∠BA

D，设∠BAC＝∠DAC＝θ，在Rt△ADC中，∠D＝π2，∠DAC＝θ，CD＝2，所以AC＝2sinθ.在△ABC中，根据正弦定理ACsin∠ABC＝ABsin∠ACB，得2sinθsin3π4＝2sin（π4－θ），(5分)整理得2sin(π4－θ)＝sinθ

，即cosθ－sinθ＝sinθ，得tanθ＝12.所以在Rt△ADC中，tanθ＝CDAD＝12，即2AD＝12，所以AD＝4.(10分)18.解：(1)依题意，Sn＋1＝2Sn＋1，a1＝1.当n＝1时，S2＝2S1＋

1，故a2＝a1＋1＝2，所以a2＝2a1；当n≥2，n∈N*时，Sn＝2Sn－1＋1，所以当n≥2，n∈N*时，an＋1＝2an,所以an＋1＝2an对n∈N*都成立．因为a1＝1≠0，所以an≠0，所以an＋1an＝2为定值，所以数列{an}是a1＝1，公比为2的等比

数列，所以an＝2n－1.(5分)(2)依题意，bn＝nan＝n·2n－1，Tn＝1×20＋2×21＋3×22＋…＋n×2n－1，2Tn＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋(n－1)×2n－1＋n×2n，所以－Tn＝1×20＋1×21＋1

×22＋…＋1×2n－1－n×2n＝1－2n1－2－n×2n，整理得Tn＝(n－1)·2n＋1.(9分)因为bn＝n·2n－1>0，故数列{Tn}是单调递增数列．又T8＝7×28＋1＝1793<2021，T9＝8×29＋1＝4097>2021，故不

存在正整数n，使得Tn＝2021.(12分)19.(1)证明：因为BD＝33，DN＝2NB，故DN＝23BD＝23.在△AND中，AD＝3，∠ADN＝30°，DN＝23，根据余弦定理可得AN2＝AD2＋ND2－2AD·ND·

cos∠ADN＝32＋(23)2－2×3×23×32＝3，故AN＝3，所以NA2＋AD2＝ND2，∠NAD＝90°，所以AC⊥AD.又PA⊥平面ABCD，AC平面ABCD，所以AC⊥PA.因为PA∩AD＝A，PA，AD平面PAD，所以A

C⊥平面PAD.(6分)(2)解：以A为坐标原点，以AC，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.在△BAD中，AD＝3，BD＝33，∠ADB＝30°，根据余弦定理可得AB2＝AD2＋

BD2－2AD·BD·cos∠ADB＝32＋(33)2－2×3×33×32＝9，故AB＝3，所以∠ABD＝30°，∠BAD＝120°.所以A(0，0，0)，B(332，－32，0)，C(3，0，0)，D(0

，3，0)，P(0，0，3)．因为点M是PD的中点，故M(0，32，32)．设n1＝(x，y，z)是平面PAB的法向量，则n1⊥AB→，n1⊥AP→，即n1·AB→＝0，n1·AP→＝0，所以332x－32y＝0，3z＝0，取x＝1，得n1

＝(1，3，0)，所以平面PAB的一个法向量为n1＝(1，3，0)．同理，平面MAC的一个法向量为n2＝(0，1，－1)．所以cos〈n1，n2〉＝n1·n2|n1|·|n2|＝32×2＝322.设平面PAB与平面MAC所成的二面角为θ，故|cosθ|＝|

cos〈n1，n2〉|＝322.因为θ∈[0，π]，所以sinθ＝1－cos2θ＝1－（322）2＝104，所以平面PAB与平面MAC所成二面角的正弦值为104.(12分)20.解：(1)表格如下：日行步

数≤8千步日行步数＞8千步总计40岁以上406010040岁以下(含40岁)5050100总计90110200则K2＝200×（40×50－50×60）290×110×100×100＝20099≈2.020.因为2.020<3.841，所以没有95%的把握认为

日行步数与居民年龄是否超过40岁有关．(5分)(2)依题意，该地区1位居民日行步数超过8千步的概率为5501000＝1120.设调查的20位居民中日行步数超过8千步的人数为X，则X～B(20，1120)，P(X＝k)

＝Ck20(1120)k(920)20－k，k＝0，1，2，…，20.令P（X＝k）≥P（X＝k＋1），P（X＝k）≥P（X＝k－1），即Ck20（1120）k（920）20－k≥Ck＋120（1120）

k＋1（920）19－k，Ck20（1120）k（920）20－k≥Ck－120（1120）k－1（920）21－k，化简得920－k≥11k＋1，11k≥921－k，解得21120≤k≤23120.又k∈N，故k＝11.所以这20位居民中的日

行步数超过8千步的最有可能的是11位居民．(12分)21.解：(1)因为椭圆C经过点A(2，1)，所以4a2＋1b2＝1，即a2b2＝a2＋4b2①.又直线y＝－x＋3与椭圆C相切，联立方程组x2a2＋y2b2＝1，y＝－x＋3，整理得(a2＋

b2)x2－6a2x＋9a2－a2b2＝0，据Δ＝0，得36a4－4(a2＋b2)(9a2－a2b2)＝0，即a2＋b2＝9②.联立①②，解得a2＝6，b2＝3，所以椭圆C的方程为x26＋y23＝1.(5分)(2)依题意，直线l经过点B(3，0)，且不与x轴重

合，设l的方程为x＝ty＋3，M(ty1＋3，y1)，N(ty2＋3，y2)．联立方程组x＝ty＋3，x26＋y23＝1，整理得(t2＋2)y2＋6ty＋3＝0，故Δ>0，y1＋y2＝－6tt2＋2，y1y2＝3t2＋2，即y1＋y2＝－

6tt2＋2，y1y2＝3t2＋2，其中t<－1或t>1.又直线AM：y－1＝1－y1－ty1－1(x－2)，令x＝－3，得p＝（t－5）y1＋6ty1＋1.同理，q＝（t－5）y2＋6ty2＋1.故p＋q＝（t－5）y1＋6ty1＋1＋（t－5）

y2＋6ty2＋1＝2t（t－5）y1y2＋（7t－5）（y1＋y2）＋12t2y1y2＋t（y1＋y2）＋1＝2t（t－5）×3t2＋2＋（7t－5）－6tt2＋2＋12t2×3t2＋2＋t×－6tt2＋2＋1＝－24t2＋24t2＋2－2t2＋2

t2＋2＝12.(12分)22.(1)解：依题意，x(ex－x－1)>kex－x2－2x－2对x>0恒成立，即k>x＋x＋2ex对x>0恒成立．令h(x)＝x＋x＋2ex，x>0，h′(x)＝ex－x－1ex＝f（x）ex，而f′(x)＝ex－1>0，故f(x)在(0，＋∞)上是单调增

函数，故f(x)>f(0)＝0，从而h′(x)＝f（x）ex>0，所以h(x)在(0，＋∞)上是单调增函数，所以，当x>0时，h(x)>h(0)＝2.所以k≤2.(3分)(2)证明：依题意，g(x)＝2f（x）x2＝2（ex

－x－1）x2，x>0.①要证g(x)>1，即证2（ex－x－1）x2>1，只需证ex－x－1>12x2，即证ex－12x2－x－1>0.令t(x)＝ex－12x2－x－1，x>0，t′(x)＝ex－x－1＝f(x)>0，所以t(x)在(0，＋∞)上是单调增函数，

故t(x)>t(0)＝0，即ex－12x2－x－1>0，所以当x>0时，g(x)>1.(6分)②由①可知，当x>0时，g(x)>1，因为a1∈(0，ln32)，故g(a1)>1，所以a2＝lng(a1)>0

，g(a2)>1，a3＝lng(a2)>0，…，an>0.要证ean－1<12n，只需证ean＋1－1<12(ean－1)，即证g(an)－1<12(ean－1)，即证g(an)－12ean－12<0.令x＝an>0，只需证g(x)－12ex－12<0，即证2（ex－x－1）x2－12ex－

12<0，即证(12x2－2)ex＋12x2＋2x＋2>0，即证12(x＋2)[(x－2)ex＋x＋2]>0.因为x＝an>0，故x＋2>0.据(1)可得，当k＝2时，x＋x＋2ex>2对x>0恒成立，即当x>0时，(x－2)ex

＋x＋2>0，所以12(x＋2)[(x－2)ex＋x＋2]>0对x>0恒成立．所以ean＋1－1<12(ean－1)．因为a1∈(0，ln32)，故ea1－1<12，所以ean－1<12(ean－2－1)<

122(ean－3－1)<…<12n－1(ea1－1)<12n.(12分)