【文档说明】江苏省镇江市2020届高三下学期6月第三次模拟考试数学试题 【精准解析】.doc，共(23)页，1.983 MB，由小赞的店铺上传

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江苏省镇江市2020届高三第三次模拟考试数学试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1.已知集合=1,2A，2=1,Ba−，若ABa=，则实数a=__________．【答案】1【解析】【分析】根据集合的交集的含义，有集合A和

B必然含有共同元素a，又由集合A，B可得2aa=，且21a=或22a=，从而求得结果.【详解】根据题意，若ABa=，则A和B必然含有共同元素a，又由=1,2A，2=1,Ba−，则有2aa=，且21a=或22a=，故解得1a=故答案为：1【点睛】该题考查的是有关集合的运

算问题，利用两个集合的交集中的元素来确定有关参数的取值问题，属于基础题目.2.若复数z满足()133izi+=+，其中i是虚数单位，z=__________．【答案】3455−i【解析】【分析】由除法法则计算．【详解】由题意23(3)

(13)3933413(13)(13)1055iiiiiiziiii++−−+−====−++−，故答案为：3455−i．【点睛】本题考查复数的除法运算，属于基础题．3.已知，是某个平行四边形的两个内角，命题

:P=；命题:sinsinQ=，则命题P是命题Q的__________条件（在“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”中选择一个合适的填空）．【答案】充分不必要【解析】【分析】根据平行四边形性质，即可由充分必要条件的定义判断结论.【详解】，是某个平行四边形

的两个内角，则=或+=，当=或+=时，命题:P=可以推出命题:sinsinQ=，当+=时，命题:sinsinQ=不能推出命题:P=，因而命题P是命题Q的充分不必要条件，故答案为：充分不必要.【点睛】本题考查了充分必要条件的判定，属于基础题.4.为了研

究疫情病毒和人的血型间的关系，在被感染的600人中，O型血有200人，A型血有150人，B型血有150人，AB型血有100人．在这600人中，为抽取一个容量为60人的样本，则应从O型血中抽取的人数为__________．【答案】20【解析】【分析】直接根据其

所占比例求解即可.【详解】解：因为在被感染的600人中，O型血有200人，A型血有150人，B型血有150人，AB型血有100人，即O型血的人数占2001=6003，所以应从O型血中抽取的人数为160=203故答案为：20【点睛】此题考查了分层抽样，解题的关键是在抽样过程中

每个个体被抽到的概率相等，属于基础题.5.已知直线1:230lxy−+=，2:20xklyk++=，且12ll//，则直线1l，2l间的距离为__________．【答案】5【解析】【分析】根据两直线平行列关于k的方程，解出k的值，然后代入两直线方程进行验证是否满足1

2ll//，即可得出实数k的值，最后利用平行直线得距离公式即可求解.【详解】直线1:230lxy−+=，2:20xklyk++=，且12ll//，则()122k=−，解得4k=−当4k=−时，直线1:

230lxy−+=，2:2440xyl−−=，化简得2:220xyl−−=，此时，12ll//，两直线平行，满足题意，因此，4k=−，则直线1l，2l间的距离为223(2)51(2)d−−==+−故答案为：5【点睛】本题

考查利用两直线平行求参数，在求出参数后，还应将参数的值代入两直线方程，验证两直线是否平行，最后再利用两直线平行的距离公式来求解，考查运算求解能力，属于基础题.6.一周后的6月25日为端午节，国家规定调休放假3天，甲、乙、丙三人端午节值班，每人值

班一天，每天一人值班，则甲在乙前面值班的概率为__________．【答案】12【解析】【分析】首先根据题意列出甲、乙、丙三人值班的全部情况，再列出甲在乙前面值班的情况，最后利用古典概型公式计算即可.【详解】甲、乙、丙三人每人值班一

天，每天一人值班共有：（甲乙丙），（甲丙乙），（乙甲丙），（乙丙甲），（丙甲乙），（丙乙甲），6种情况.其中甲在乙前面值班共有：（甲乙丙），（甲丙乙），（丙甲乙），3种情况.所以甲在乙前面值班的概率为3162=.故答案为：12【点睛】本题

主要考查古典概型，同时考查学生分析问题的能力，属于简单题.7.中国古诗词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子作盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”．意思是把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次排列分绵，

每个弟弟都比前面的哥哥多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵的斤数为__________．【答案】184【解析】【分析】由题意可知，各个儿子分到的绵的斤数构成等差数列，若以第8个儿子分的绵得斤数为首项则公差d=-17，即可根据等差数列的和求出答案.【详解】由题意可知，各个儿子分到的绵的斤数构成以

第8个儿子分到的绵的斤数为首项，公差为d=-17的等差数列，其中n=8，S8=996,所以()18818179962a−+−=（），解得a1=184，故答案为：184【点睛】本题主要考查了数学文化,考查等差数列的定义、求和公式等基础知识，考

查运算求解能力，属于中档题.8.在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y2＝4x的准线是双曲线22212xya−=(a＞0)的左准线,则实数a的值是_______．【答案】2【解析】【分析】根据抛物线以及双

曲线的准线方程列式求解即可.【详解】因为抛物线y2＝4x的准线是双曲线22212xya−=(a＞0)的左准线,故2212aa−=−+,即()()24222210aaaa+=−+=,因为0a故解得a＝2．故答案为：2【点睛】本题主要考

查了抛物线与双曲线的简单性质,属于基础题.9.竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典著，其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一”.该术相当于给出圆锥的底面周长l与高h，计算其体积V的近似公式为2

136Vlh=.该结论实际上是将圆锥体积公式中的圆周率取近似值得到的.则根据你所学知识，该公式中取的近似值为______.【答案】3【解析】【分析】首先求出圆锥体的体积，然后与近似公式对比，即可求出公式中取的近似值.【详解】由题知圆锥体

的体积113VSh=，因为圆锥的底面周长为22llRR==，所以圆锥的底面面积224lSR==，所以圆锥体的体积211312lhVSh==，根据题意与近似公式2136Vlh=对比发现，公式中取的近似值为3.故答案为：3.【点睛】本题考查了圆锥体的体积公式，属于基础题

.10.已知圆()()221:24Cxay−++=与圆()()222:11xbyC+++=外切，则ab的最大值为__________．【答案】2【解析】【分析】由圆心距等于半径之和得出,ab的关系式，然后由基本不等式可得最

值．【详解】圆心为1(,2)Ca−，2(,1)Cb−−，两圆外切，则2()121ab++=+，∴2()8ab+=，所以228222aabbabab=+++，所以2ab，当且仅当ab=时等号成立，故答案为：2．【点睛】本题

考查两圆的位置关系，考查基本不等式求最值，解题关键是掌握两圆位置关系的判断．11.《九章算术》是我国古代著名数学经典，其对勾股定理的论述比西方早一千多年．其中有这样一个问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其意为：今有直角三角形ABC，勾（短直角边）BC长5步，股（长直角边）AB长12步

，问该直角三角形能容纳的正方形DEBF边长为多少？在如图所示中，求得正方形DEBF的边长后，可求得tanACE=__________．【答案】144229【解析】【分析】首先设正方形DEBF的边长a，利用相似比求出a，再求出tanECB和tanACB，利用两角差正切公式计算即可

.【详解】设正方形DEBF的边长a，由题知：12512aa−=，解得6017a=.所以601217tan517ECB==，12tan5ACB=.1212144517tantan()12122291517ACEACBECB−=−==+.故

答案为：144229【点睛】本题主要以数学文化为背景，考查两角差的正切公式，同时考查学生分析问题的能力，属于简单题.12.已知在OAB中，2OA=，2OB=，135AOB=，P为平面OAB上一点，且()OP

OAOB=+R，当OP最小时，向量OP与OB的夹角为__________．【答案】2【解析】【分析】由OPOAOB=+得APOPOAOB=−=，因此有//APOB，这样作出图形后易知OP最小时P点位置，从而得向量夹角．【详解】∵OPOAOB=+，∴APOPOA

OB=−=，作//ACOB，如图，则P在AC上，易知OP最小时，OPAC⊥，所以OPOB⊥，所以向量OP与OB的夹角为2．故答案为：2．【点睛】本题考查平面向量的夹角，解题方法是几何法，通过向量线性运算的几何意义作出图形求解，减少了计算，结果一目了然

．13.已知函数()2e,?143,13xxfxxxx=−+−，若函数()()2gxfxkx=−+有三个零点，则实数k的取值范围是__________．【答案】151e0,,15e3U【解析】【分析】先作图，再求分界线对应k的值，结合图

象确定取值范围.【详解】作()2e,?143,13xxfxxxx=−+−与2ykx=+图象，由243(2),0,2xxkxkx−+−=+−得2222(1)(44)430kxkxk++−++=由2222(44)4(1)

(43)0kkk=−−++=得211501515kkk==Q，对应图中分界线①;由(2),0,2ykxkx=+−过点(1,)e得3ek=，对应图中分界线②；当(2),0,2ykxkx=+−与xye=相切于00(,)

xxe时，因为exy=，所以0001(2)01,xkekxkxke==+=−=Q，对应图中分界线③；因为函数()()2gxfxkx=−+有三个零点，所以实数k的取值范围是151e0,,15e3U故答案为

：151e0,,15e3U【点睛】本题考查根据图象交点求参数取值范围，考查数形结合思想方法，属中档题.14.在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若()sincossincosbCAAC

−=，且2a=，则tantantanABC的最大值为__________．【答案】35−【解析】【分析】由已知应用两角和的正弦公式和诱导公式得sincosBAb=，结合正弦定理可求得tanA，从而可得tan()BC+，利用两角和

的正切公式与基本不等式可得tantanBC的最小值，从而得题设结论．【详解】由()sincossincosbCAAC−=得cossincossincossin()sin()sinbACAACACBB=+=+=−=，所以sinsins

incos2BAAAba===，所以tan2A=，∴tan()tan()tan2BCAA+=−=−=−即tantan21tantanBCBC+=−−，又,BC为锐角，∴tan0,tan0BC，所以tantan2tantan22tantanBCBCBC+=−，当且仅当tantan=BC时

等号成立，解得35tantan2BC+，所以tan235tantan352ABC=−+．故答案为：35−．【点睛】本题考查两角和的正弦公式、正切公式，考查诱导公式，正弦定理．三角函数问题中对角的认识尤其重要，观察已知角的未知角的关系，确定选用公式，才能寻找到正确的解题

思路．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15.如图，在直三棱柱111ABCABC−中，D为AC中点，ABBC=，11ADAC⊥．求证：（1）1//BC平面1ABD

；（2）平面1ABD⊥平面11ABC．【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】【分析】（1）设1AB与1AB交于O，连接OD，利用中位线的性质得出1//ODBC，再利用线面平行的判定定理可证得结论；（2）证明出BD⊥平面11AACC，可得出

1ACBD⊥，再由11ADAC⊥结合线面垂直的判定定理可得出1AC⊥平面1ABD，最后利用面面垂直的判定定理可得出结论.【详解】（1）设1AB与1AB交于O，连接OD，在平行四边形11ABBA中，O为1AB中点，D为AC中点，所以1//OD

BC，OD平面1ABD，因1BC平面1ABD，所以1//BC平面1ABD；（2）因为ABBC=，D为AC中点，所以BDAC⊥．在直三棱柱111ABCABC−中，1CC⊥平面ABC，BD平面ABC，所以1BDCC⊥．又BDAC⊥，1ACCCC=

，所以BD⊥平面11ACCA．因为1AC平面11ACCA，所以1BDAC⊥，又11ADAC⊥，1ADBDD=，所以1AC⊥平面1ABD．又1AC平面11ABC，所以平面11ABC⊥平面1ABD．【点睛】本题考查线面平行和面面垂直的证明

，考查推理能力，属于中等题.16.在ABC中，三角A，B，C的对边分别为a，b，c，且5cos5A=，sin5cosBC=．（1）求tanC的值；（2）若22a=，求ABC的面积．【答案】（1）3；（2）3【解析】【

分析】（1）由同角关系求得sinA，由诱导公式及两角和的正弦公式化sin5cosBC=为C的关系，从而可求得tanC；（2）由tanC可得sinC，cosC，由已知得sinB，再由正弦定理得c，最后由面积公式得结

论．【详解】解：在ABC中，ABC++=，0A，sin0A，因为5cos5A=，得22525sin1cos155AA=−=−=①．（1）因为()()5cossinsinsinsincosco

ssinCBACACACAC==−+=+=+，所以5255coscossin55CCC=+．所以sin3cosCC=②．如果cos0C=，则sin0C=与22sincos1CC+=③矛盾，所以cos0C．所以sintan3cosCCC==．（2）因为0C

，由tan30C=，得02C，则sin0C，cos0C．将（1）中②代入（1）中③解得：310sin10C=，10cos10C=．于是102sin5cos5102BC===．将22a=及（1）①代入正弦定理sinsinacAC=，22

25310510c=，得3c=．所以ABC的面积112sin2233222SacB===．【点睛】本题考查同角间的三角函数关系，考查两角和与差的正弦公式、诱导公式，考查正弦定理、三角形面积公式．解三角形中公式较多，掌握这些公式是解题基础，要善于从已知条件出发选

用恰当地公式进行计算．本题属于中档题．17.在平面直角坐标系xOy中，椭圆()2222:10xyCabab+=左、右焦点分别为1F，2F，离心率为22，两准线间距离为8，圆O的直径为12FF，直线l与圆O相切于第四象限点T，与y轴交于M

点，与椭圆C交于点N（N点在T点上方），且OMON=．（1）求椭圆C的标准方程；（2）求直线l的方程；（3）求直线l上满足到1F，2F距离之和为42的所有点的坐标．【答案】（1）22184xy+=（2

）220xy−−=．（3）()22,0和2242,33−．【解析】【分析】(1)根据椭圆的性质、离心率和两准线间的距离，列出以下方程：22ca=①，228ac=②，222abc=+③，然后求解即可.(2)法一：设切点()00,Txy，则22004xy+=⑤,利用0x和0y为核

心参数，依次表示直线OT的斜率，直线l的方程，以及N点的坐标，然后列方程求解即可求出0x和0y，进而即可求解.法二：设()0,Mm，(),NNNxy，然后，以m，Nx，Ny为核心参数，列出直线l的方程，又因l与22:4Oxy+=相切，则列出圆心距d的方程，最后根据(1)中的

方程，联合求解即可.(3)因为到1F，2F距离之和为42的所有点的集合为椭圆C，所以满足题意的点为直线l与椭圆C的公共点，联立22184xy+=④和220xy−−=⑨得：22220184xyxy−−=+=，然后求解即可.

【详解】解：（1）设椭圆C的焦距为2c，因为离心率为22ca=①，两准线间距离为228ac=②，又222abc=+③，由①②③解得22a=，2b=．则椭圆C的标准方程为22184xy+=④（2）法一：设切点()00,

Txy，则22004xy+=⑤，因T在第四象限，所以00x，00y，直线OT的斜率00OTykx=，因为OTl⊥，所以直线l的斜率00xky=−，直线()0000:xlyyxxy−=−−，由⑤得：004xx

yy+=⑥，令0x=，得040,My，因为OMON=，OTMN⊥，所以，T为MN中点，所以00042,2Nxyy−，代入（1）中④得：()22000422=184yyx−+，解得

：0=2x，0=2y−，代入⑥式得：直线l的方程为220xy−−=．法二：设()0,Mm，(),NNNxy，则2228NNxy+=⑤，设直线:lykxm=+⑦，因为切点T在第四象限，所以0Nx，0k，0m．因l与22:4Oxy+=相切，则圆心距

221mdk==+，2244mk=+⑧，因为OMON=，则22OMON=，所以222NNxym+=⑨，联立⑤⑨解得：2228Nxm=−，228Nym=−，因为0Nx，所以228Nxm=−，28Nym=−，则0NNymkx−=−，由⑧得22248228mmmm−−−=−，解得22m

=−，2m=．当2m=时，0Nx=，与0Nx矛盾．则22m=−，代入⑧，得1k=，所以直线l方程为220xy−−=⑨．（3）因为到1F，2F距离之和为42的所有点的集合为椭圆C，所以满足题意的点为直线l与椭圆C的公共点，联立④⑨得：22220184xyxy−−=

+=，得238280xy−+=，即220xy==或223423xy==−，所以满足条件的点的坐标为()22,0和2242,33−．【点睛】本题考查椭圆的基本性质，离心率，准线的定义，以及如何利用核心参数根

据椭圆的图像性质进行数形结合，进而列方程求解，难点在于列方程和运算，属于难题.18.镇江市长江路江边春江潮广场要设计一尊鼎型塑像（如图1），塑像总高度为12米，塑像由两部分组成，上半部分由四根垂直于水平地面的等高垂直立柱组成（立柱上凸起部分忽略不计），下半部分由正四棱台的上

底面四根水平横柱和正四棱台的四根侧棱斜柱组成，如图2所示．设计要求正棱台的水平横柱长度为4米，下底面边长为8米，设斜柱与地面的所成的角为．（1）用表示塑像上半部分立柱的高度，并求sin的取值范围？（2）若该塑像上半部分立柱的造价为3千元/

米（立柱上凸起部分忽略不计），下半部分横柱和斜柱的造价都为2千元/米，问当为何值时，塑像总造价最低？【答案】（1）()1222tan−米，sin的范围为3380,19．（2）当3=时，塑像总造价最低．【解析】【分析

】（1）在平面AEGC内作AMEG⊥，利用面面垂直的性质定理可得AM⊥平面EFGH，AEM为斜柱与地面所成的角，由13380sinsin19AEM=即可求解.（2）设总造价为y，则()()1434241222tanyAAAEAB=++=−3+22442cos

+，利用导数即可求解.【详解】解：（1）由正四棱台的定义，平面AEGC⊥平面EFGH，在平面AEGC内作AMEG⊥，交EG于M，平面AEGC平面EFGHEG=，则AM⊥平面EFGH，则AEM为斜柱与地面所成的角，即AEM=．显然1A，A，M三点共线，在等腰梯形A

EGC中，42AC=，82EG=，则22EM=，22tanAM=，立柱11222tanAA=−，因为13380sinsin19AEM=，所以338sin0,19．答：塑像上半部分的高度()1222tan−米，sin的范围为3380,19

．（2）22cosAE=，设总造价为y，则()14342yAAAEAB=++，()2241222tan3442cosy=−++()()8223sin1623cos−=++，记()23sincosf−=，则()22sin

3cosf−=，令()0f=，则3338sin0,219=，所以3=，列表：0,330,3()f−0+()f减函数1增函数所以

当3=时，()f有最小值．答：当3=时，塑像总造价最低．【点睛】本题考查了面面垂直的性质定理、利用导数求函数的最值，属于中档题.19.各项为正数的数列na如果满足：存在实数1k³，对任意正整数n，11nna

kka+恒成立，且存在正整数n，使得1nnaka+=或11nnaak+=成立，则称数列na为“紧密数列”，k称为“紧密数列”na的“紧密度”．已知数列na的各项为正数，前n项和为nS，且对任意正整数n，

2nnnSAaBaC=++（A，B，C为常数）恒成立．（1）当14A=，12B=，14C=时，①求数列na的通项公式；②证明数列na是“紧密度”为3的“紧密数列”；（2）当0A=时，已知数列na和数

列nS都为“紧密数列”，“紧密度”分别为1k，2k，且1k，21,2k，求实数B的取值范围．【答案】（1）①21nan=−②见解析；（2）(,1−−【解析】【分析】（1）利用公式1nnnaSS−=−得到na是以首

项为1，公差为2的等差数列，得到通项公式；计算11133nnaa+恒成立，得到证明.（2）根据递推公式得到na是以首项10a，公比1BqB=−的等比数列，考虑1q和01q两种情况，计算得到112q，根据1BqB=−

解得答案.【详解】（1）①当14A=，12B=，14C=时，2111424nnnSaa=++，当2n时，2111111424nnnSaa−−−=++，相减得：221111114422nnnnnaaaaa−−=−+−，整理得：()()()1111124nnnnnnaaaa

aa−−−+=+−，因为0na，则10nnaa−+，即有12nnaa−−=，当1n=时，21111111424Saaa==++，则11a=．则na是以首项为1，公差为2的等差数列，则21nan=−．②21nan=−，得121212121nnanann++==+−−随着n的增大而

减小，则对任意正整数n，11133nnaa+恒成立，且存在1n=，使得13nnaa+=．则数列na是“紧密度”3的“紧密数列”．（2）当0A=时，nnSBaC=+，11nnSBaC++=+，

相减得：()11nnBaBa+=−，若0B=，则上式右端中10na+=，与0na矛盾；若1B=，则上式左端0na=，与0na矛盾，则0B，1B．则11nnaBaB+=−为常数，即na是以首项10a，公比1BqB=−的等比数列．因为数列na为“紧密数列”，则0na，所

以01BqB=−，又11BqB=−．当1q时，111nnaqqa+，对任意正整数n恒成立，且存在正整数n，使得1nnaqa+=，所以数列na的“紧密度”为11,2qk=，又1q，即12q，此时()111nnaqSq−=−，111

111nnnnnSqqqSqq++−−==+−−随n的增大而减小，所以11111nnSqqS+++，对任意正整数n恒成立，且当1n=时，11nnSqS+=+，所以数列nS的“紧密度”为211,2kq=+，则01q，与12q

矛盾，不成立；当01q时，111nnaqaq+，对任意正整数n恒成立，且存在正整数n，使得1nnaqa+=，则此时na的“紧密度”为111,2kq=，即112q．而()111111111nnnnnnnqqqSqqqSqqq++−+−

−−===+−−−随着n的增大而减小，则1111111nnnSqqqqSq+−=+++−对任意正整数n恒成立，且当1n=时，11nnSqS+=+，则nS的“紧密度”211,2kq=+，即01q，故112q，即1121BB−，解得1B−．

综上所述：实数B的取值范围为(,1−−．【点睛】本题考查了数列的新定义问题，求数列的通项公式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力，理解数列的新定义是解题的关键.20.已知函数()()xfxeaxaR=−

，其中e是自然对数的底数．（1）当1a=时，求曲线()yfx=在1x=处的切线方程；（2）如果对任意xR，不等式()0fx恒成立，求实数a的取值范围；（3）讨论函数()()xgxfxe−=−的零点个数．【答案】（1）()e1yx=−（2）0ae（3）当2a时

，函数()gx有一个零点；当2a时，()gx有三个零点．【解析】【分析】（1）代入1a=的函数解析式，求得导函数及切点坐标，由导数的几何意义即可得切线方程；（2）求得导函数，并对a分类讨论，即可确定()yfx=的单调性，

进而由不等式恒成立求得a的取值范围；（3）将()fx的解析式代入可得()gx解析式，结合基本不等式可知在2a时，函数()gx有唯一零点；当2a时，可知()gx为奇函数，由()0gx=可判断()gx的单调情况，进而构造()2xhxex=−，可证明

当2x时，2xex，进而可知当0x时，函数()gx有唯一零点，即可判断2a时()gx的零点个数.【详解】（1）当1a=时，()xfxex=−，可得()1xfxe=−，则有()11kfe==−，()11fe=−，

即切点坐标为()1,1e−，则切线方程为()()111yexe=−−+−，化简可得()e1yx=−.（2）函数()()xfxeaxaR=−，则()xfxea=−，当0a时，()0xfxea=−恒成立，则函数()fx在R上单增，而110xfea=−，与(

)0fx恒成立矛盾，不合题意；当0a=时，()0xfxe=恒成立，则符合题意；当0a时，由()0xfxea=−=得lnxa=，则()fx在(),lna−上单调递减，在()ln,a+上为单调递增，则()()minlnln0fxfaaaa==−，解得0ae．

综上：0ae．（3）因()(),xxxgxfxeeeaxxR−=−=−−，当2a时，因为()220xxxxgxeeaeeaa−−=+−−−=−恒成立，则()gx在R上为增函数，而()00g=，则此时函数()gx有唯一零点．当2a时，()()xxgx

eeaxgx−−=−+=−则()gx为奇函数．只需研究0x情形．由()210xxxxxeaegxeeae−−+=+−==，得210xxeae−+=，则有242xaae−=．则21242lnln021aax

aa−−==+−，224ln02aax+−=，则()gx在()20,x上为减函数，在()2,x+上为增函数，则有()()200gxg=．下面证明：当2x时，2xex．证明：令()2xhxex=−，则()e2

xhxx=−，()2e2e20xhx=−−，即函数()hx在()2,+上为增函数，故有()()22e40hxh=−，则()hx在()2,+上为增函数，故有()()2240hxhe=−

，则2xex．当2x时，有1xe−，则()21xxgxeeaxxax−=−−−−，取20422aax++=，则()002000010xxgxeeaxxax−=−−−−=，因为()gt为连续函数，由零点存在性定理可得：存在唯一()20,txx，使得()0gt=，即当0x

时，函数()gx有唯一零点，也即此时函数()gx有三个零点．综上：当2a时，函数()gx有一个零点；当2a时，()gx有三个零点．【点睛】本题考查了导数的几何意义，利用导数研究不等式恒成立问题，导函数与单调性、极值和最

值的应用，由导函数证明不等式成立，构造函数分析函数零点个数的应用，综合性强，属于难题.