【文档说明】江苏省镇江市2020届高三下学期6月第三次模拟考试数学试题 【精准解析】.doc，共(23)页，1.983 MB，由小赞的店铺上传

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江苏省镇江市2020届高三第三次模拟考试数学试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1.已知集合=1,2A，2=1,Ba−，若ABa=，则实数a=__________．【答案】1【解析】【分析】根据集合的交集的含

义，有集合A和B必然含有共同元素a，又由集合A，B可得2aa=，且21a=或22a=，从而求得结果.【详解】根据题意，若ABa=，则A和B必然含有共同元素a，又由=1,2A，2=1,Ba−，则有2aa=，且21a=或22a=

，故解得1a=故答案为：1【点睛】该题考查的是有关集合的运算问题，利用两个集合的交集中的元素来确定有关参数的取值问题，属于基础题目.2.若复数z满足()133izi+=+，其中i是虚数单位，z=__________．【答案】3455−i【解析】【分析】由除法法则计

算．【详解】由题意23(3)(13)3933413(13)(13)1055iiiiiiziiii++−−+−====−++−，故答案为：3455−i．【点睛】本题考查复数的除法运算，属于基础题．3.已知，是某个平行四边形的两个内角，命题:P=；命题:sin

sinQ=，则命题P是命题Q的__________条件（在“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”中选择一个合适的填空）．【答案】充分不必要【解析】【分析】根据平行四边形性质，即可由充分必要条件的定义判断结论.【详解】，是某个平行四边形的两个内角，则=或+=

，当=或+=时，命题:P=可以推出命题:sinsinQ=，当+=时，命题:sinsinQ=不能推出命题:P=，因而命题P是命题Q的充分不必要条件，故答案为：充分不必要.【点睛】本题考查了充分必要条件的判定，属于基础题.4.为了研究疫情病毒和人的血

型间的关系，在被感染的600人中，O型血有200人，A型血有150人，B型血有150人，AB型血有100人．在这600人中，为抽取一个容量为60人的样本，则应从O型血中抽取的人数为__________．【答案】20【解析

】【分析】直接根据其所占比例求解即可.【详解】解：因为在被感染的600人中，O型血有200人，A型血有150人，B型血有150人，AB型血有100人，即O型血的人数占2001=6003，所以应从O型血中抽取的

人数为160=203故答案为：20【点睛】此题考查了分层抽样，解题的关键是在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，属于基础题.5.已知直线1:230lxy−+=，2:20xklyk++=，且12ll//，则直线1l，2l间的距离为___

_______．【答案】5【解析】【分析】根据两直线平行列关于k的方程，解出k的值，然后代入两直线方程进行验证是否满足12ll//，即可得出实数k的值，最后利用平行直线得距离公式即可求解.【详解】直线1:230lxy−+=，2:20xklyk++=，且12ll/

/，则()122k=−，解得4k=−当4k=−时，直线1:230lxy−+=，2:2440xyl−−=，化简得2:220xyl−−=，此时，12ll//，两直线平行，满足题意，因此，4k=−，则直线1l，2l间

的距离为223(2)51(2)d−−==+−故答案为：5【点睛】本题考查利用两直线平行求参数，在求出参数后，还应将参数的值代入两直线方程，验证两直线是否平行，最后再利用两直线平行的距离公式来求解，考查运算求解能力，属于基础题.6.一周后的6月25日为端午节，国家

规定调休放假3天，甲、乙、丙三人端午节值班，每人值班一天，每天一人值班，则甲在乙前面值班的概率为__________．【答案】12【解析】【分析】首先根据题意列出甲、乙、丙三人值班的全部情况，再列出甲在乙前面值班的

情况，最后利用古典概型公式计算即可.【详解】甲、乙、丙三人每人值班一天，每天一人值班共有：（甲乙丙），（甲丙乙），（乙甲丙），（乙丙甲），（丙甲乙），（丙乙甲），6种情况.其中甲在乙前面值班共有：（甲乙丙），（甲丙乙），（丙甲乙），3种情况.所以甲在乙前面值班的概率为3162=.故答案为：12【

点睛】本题主要考查古典概型，同时考查学生分析问题的能力，属于简单题.7.中国古诗词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子作盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”．意思是把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从

大到小的顺序依次排列分绵，每个弟弟都比前面的哥哥多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵的斤数为__________．【答案】184【解析】【分析】由题意可知，各个儿子分到的绵的斤数构成等差数列，若以第8个

儿子分的绵得斤数为首项则公差d=-17，即可根据等差数列的和求出答案.【详解】由题意可知，各个儿子分到的绵的斤数构成以第8个儿子分到的绵的斤数为首项，公差为d=-17的等差数列，其中n=8，S8=996,所以()18818179

962a−+−=（），解得a1=184，故答案为：184【点睛】本题主要考查了数学文化,考查等差数列的定义、求和公式等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题.8.在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y2

＝4x的准线是双曲线22212xya−=(a＞0)的左准线,则实数a的值是_______．【答案】2【解析】【分析】根据抛物线以及双曲线的准线方程列式求解即可.【详解】因为抛物线y2＝4x的准线是双曲线22212xya−=(a＞0)的左准线

,故2212aa−=−+,即()()24222210aaaa+=−+=,因为0a故解得a＝2．故答案为：2【点睛】本题主要考查了抛物线与双曲线的简单性质,属于基础题.9.竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这

是我国现存最早的有系统的数学典著，其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一”.该术相当于给出圆锥的底面周长l与高h，计算其体积V的近似公式为2136Vlh=.该结论实际上是将圆锥体积公式中的圆周率取近似值得到的.则根

据你所学知识，该公式中取的近似值为______.【答案】3【解析】【分析】首先求出圆锥体的体积，然后与近似公式对比，即可求出公式中取的近似值.【详解】由题知圆锥体的体积113VSh=，因为圆锥的底面周长为22llRR==，所以圆锥的底面面积224lSR==，所以圆锥

体的体积211312lhVSh==，根据题意与近似公式2136Vlh=对比发现，公式中取的近似值为3.故答案为：3.【点睛】本题考查了圆锥体的体积公式，属于基础题.10.已知圆()()221:24Cxay−++=与圆()()222:11xbyC+++=外切，则

ab的最大值为__________．【答案】2【解析】【分析】由圆心距等于半径之和得出,ab的关系式，然后由基本不等式可得最值．【详解】圆心为1(,2)Ca−，2(,1)Cb−−，两圆外切，则2()121a

b++=+，∴2()8ab+=，所以228222aabbabab=+++，所以2ab，当且仅当ab=时等号成立，故答案为：2．【点睛】本题考查两圆的位置关系，考查基本不等式求最值，解题关键是掌握两圆位置关系的判断．11.

《九章算术》是我国古代著名数学经典，其对勾股定理的论述比西方早一千多年．其中有这样一个问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其意为：今有直角三角形ABC，勾（短直角边）BC长5步，股（长直角边）AB长12步，问该直角三角形能容纳的正方形D

EBF边长为多少？在如图所示中，求得正方形DEBF的边长后，可求得tanACE=__________．【答案】144229【解析】【分析】首先设正方形DEBF的边长a，利用相似比求出a，再求出tanECB和tanACB，利用两角差正切公式计算即可.【详解】设正方形DEBF的边长a，由题知

：12512aa−=，解得6017a=.所以601217tan517ECB==，12tan5ACB=.1212144517tantan()12122291517ACEACBECB−=−==+.故答案为：1

44229【点睛】本题主要以数学文化为背景，考查两角差的正切公式，同时考查学生分析问题的能力，属于简单题.12.已知在OAB中，2OA=，2OB=，135AOB=，P为平面OAB上一点，且()OPOAOB=+R，当

OP最小时，向量OP与OB的夹角为__________．【答案】2【解析】【分析】由OPOAOB=+得APOPOAOB=−=，因此有//APOB，这样作出图形后易知OP最小时P点位置，从而得向量夹角．【详解】∵OPOAOB=+，∴APOPOAOB=−=，

作//ACOB，如图，则P在AC上，易知OP最小时，OPAC⊥，所以OPOB⊥，所以向量OP与OB的夹角为2．故答案为：2．【点睛】本题考查平面向量的夹角，解题方法是几何法，通过向量线性运算的几何意义作出图形求解，减少了计算，结果一目了然．13.已知函数()2e,?143,13xx

fxxxx=−+−，若函数()()2gxfxkx=−+有三个零点，则实数k的取值范围是__________．【答案】151e0,,15e3U【解析】【分析】先作图，再求分界线对应k的值，

结合图象确定取值范围.【详解】作()2e,?143,13xxfxxxx=−+−与2ykx=+图象，由243(2),0,2xxkxkx−+−=+−得2222(1)(44)430kxkxk++−++=由2222(44)4(1)

(43)0kkk=−−++=得211501515kkk==Q，对应图中分界线①;由(2),0,2ykxkx=+−过点(1,)e得3ek=，对应图中分界线②；当(2),0,2ykxkx=+−与xye=相切于00(,)xxe时，因为exy=，所以0001(

2)01,xkekxkxke==+=−=Q，对应图中分界线③；因为函数()()2gxfxkx=−+有三个零点，所以实数k的取值范围是151e0,,15e3U故答案为：151e0,

,15e3U【点睛】本题考查根据图象交点求参数取值范围，考查数形结合思想方法，属中档题.14.在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若()sincossincosbCAAC−=，且

2a=，则tantantanABC的最大值为__________．【答案】35−【解析】【分析】由已知应用两角和的正弦公式和诱导公式得sincosBAb=，结合正弦定理可求得tanA，从而可得tan()B

C+，利用两角和的正切公式与基本不等式可得tantanBC的最小值，从而得题设结论．【详解】由()sincossincosbCAAC−=得cossincossincossin()sin()sinbACAACACBB=+=+=−=，所

以sinsinsincos2BAAAba===，所以tan2A=，∴tan()tan()tan2BCAA+=−=−=−即tantan21tantanBCBC+=−−，又,BC为锐角，∴tan0,tan0BC，所以tantan2tantan22tantanBCBCBC+=−，当且

仅当tantan=BC时等号成立，解得35tantan2BC+，所以tan235tantan352ABC=−+．故答案为：35−．【点睛】本题考查两角和的正弦公式、正切公式，考查诱导公式，正弦定理．三角函数问题中对角的认识尤

其重要，观察已知角的未知角的关系，确定选用公式，才能寻找到正确的解题思路．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15.如图，在直三棱柱111ABCABC−中，D为AC中点，ABBC=，11ADAC⊥．求证：（1）

1//BC平面1ABD；（2）平面1ABD⊥平面11ABC．【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】【分析】（1）设1AB与1AB交于O，连接OD，利用中位线的性质得出1//ODBC，再利用线面平行的判

定定理可证得结论；（2）证明出BD⊥平面11AACC，可得出1ACBD⊥，再由11ADAC⊥结合线面垂直的判定定理可得出1AC⊥平面1ABD，最后利用面面垂直的判定定理可得出结论.【详解】（1）设1AB与1AB交于O，连接OD，在平行四边形11AB

BA中，O为1AB中点，D为AC中点，所以1//ODBC，OD平面1ABD，因1BC平面1ABD，所以1//BC平面1ABD；（2）因为ABBC=，D为AC中点，所以BDAC⊥．在直三棱柱111ABCABC−中，1CC⊥平面ABC，

BD平面ABC，所以1BDCC⊥．又BDAC⊥，1ACCCC=，所以BD⊥平面11ACCA．因为1AC平面11ACCA，所以1BDAC⊥，又11ADAC⊥，1ADBDD=，所以1AC⊥平面1ABD．又1AC平面

11ABC，所以平面11ABC⊥平面1ABD．【点睛】本题考查线面平行和面面垂直的证明，考查推理能力，属于中等题.16.在ABC中，三角A，B，C的对边分别为a，b，c，且5cos5A=，sin5cosBC=．（1）求tanC的值；（2）若22a=，求ABC的面积．

【答案】（1）3；（2）3【解析】【分析】（1）由同角关系求得sinA，由诱导公式及两角和的正弦公式化sin5cosBC=为C的关系，从而可求得tanC；（2）由tanC可得sinC，cosC，由已知得sinB，再由正弦定理得c，最后由面积公式得结论．【详解】解：

在ABC中，ABC++=，0A，sin0A，因为5cos5A=，得22525sin1cos155AA=−=−=①．（1）因为()()5cossinsinsinsincoscossinCBACACACAC==−+=+=+，所以5255cosc

ossin55CCC=+．所以sin3cosCC=②．如果cos0C=，则sin0C=与22sincos1CC+=③矛盾，所以cos0C．所以sintan3cosCCC==．（2）因为0C，由tan30C=，得02C，则sin0C，cos0C．将

（1）中②代入（1）中③解得：310sin10C=，10cos10C=．于是102sin5cos5102BC===．将22a=及（1）①代入正弦定理sinsinacAC=，2225310510c=，得3c=．所以ABC的面积112sin2233222SacB===．【点睛】本题考查同

角间的三角函数关系，考查两角和与差的正弦公式、诱导公式，考查正弦定理、三角形面积公式．解三角形中公式较多，掌握这些公式是解题基础，要善于从已知条件出发选用恰当地公式进行计算．本题属于中档题．17.在平面直角坐标系xOy中，椭圆()2222:10xyCabab+=左、右焦

点分别为1F，2F，离心率为22，两准线间距离为8，圆O的直径为12FF，直线l与圆O相切于第四象限点T，与y轴交于M点，与椭圆C交于点N（N点在T点上方），且OMON=．（1）求椭圆C的标准方程；（2）求直线l的方程；（3）求直线l上满足到1F

，2F距离之和为42的所有点的坐标．【答案】（1）22184xy+=（2）220xy−−=．（3）()22,0和2242,33−．【解析】【分析】(1)根据椭圆的性质、离心率和两准线间的距离，列出以下方程：22ca

=①，228ac=②，222abc=+③，然后求解即可.(2)法一：设切点()00,Txy，则22004xy+=⑤,利用0x和0y为核心参数，依次表示直线OT的斜率，直线l的方程，以及N点的坐标，然后列方程求解

即可求出0x和0y，进而即可求解.法二：设()0,Mm，(),NNNxy，然后，以m，Nx，Ny为核心参数，列出直线l的方程，又因l与22:4Oxy+=相切，则列出圆心距d的方程，最后根据(1)中的方程，联合求解即可.(3)因为到1F，2F距离之和为42的所有点的集合为椭圆C，所以满足题意的点为直

线l与椭圆C的公共点，联立22184xy+=④和220xy−−=⑨得：22220184xyxy−−=+=，然后求解即可.【详解】解：（1）设椭圆C的焦距为2c，因为离心率为22ca=①，两准线间距离为228ac=②，又222abc=+③，

由①②③解得22a=，2b=．则椭圆C的标准方程为22184xy+=④（2）法一：设切点()00,Txy，则22004xy+=⑤，因T在第四象限，所以00x，00y，直线OT的斜率00OTykx=

，因为OTl⊥，所以直线l的斜率00xky=−，直线()0000:xlyyxxy−=−−，由⑤得：004xxyy+=⑥，令0x=，得040,My，因为OMON=，OTMN⊥，所以，T为MN中点，所以00042,2Nxyy−，代入（

1）中④得：()22000422=184yyx−+，解得：0=2x，0=2y−，代入⑥式得：直线l的方程为220xy−−=．法二：设()0,Mm，(),NNNxy，则2228NNxy+=⑤，设直线:lykxm=+⑦，因为切点T在第四

象限，所以0Nx，0k，0m．因l与22:4Oxy+=相切，则圆心距221mdk==+，2244mk=+⑧，因为OMON=，则22OMON=，所以222NNxym+=⑨，联立⑤⑨解得：2228Nxm=−，228N

ym=−，因为0Nx，所以228Nxm=−，28Nym=−，则0NNymkx−=−，由⑧得22248228mmmm−−−=−，解得22m=−，2m=．当2m=时，0Nx=，与0Nx矛盾．则22m=−，代入⑧，得1k=，所以直线l方程为220xy−−=⑨．（3

）因为到1F，2F距离之和为42的所有点的集合为椭圆C，所以满足题意的点为直线l与椭圆C的公共点，联立④⑨得：22220184xyxy−−=+=，得238280xy−+=，即220xy==或223423xy==−，所以满足条件的点

的坐标为()22,0和2242,33−．【点睛】本题考查椭圆的基本性质，离心率，准线的定义，以及如何利用核心参数根据椭圆的图像性质进行数形结合，进而列方程求解，难点在于列方程和运算，属于难题.18.镇江市长江路江边春

江潮广场要设计一尊鼎型塑像（如图1），塑像总高度为12米，塑像由两部分组成，上半部分由四根垂直于水平地面的等高垂直立柱组成（立柱上凸起部分忽略不计），下半部分由正四棱台的上底面四根水平横柱和正四棱台的四根侧棱斜柱组成，如图2所示．设计要求正棱台的水平

横柱长度为4米，下底面边长为8米，设斜柱与地面的所成的角为．（1）用表示塑像上半部分立柱的高度，并求sin的取值范围？（2）若该塑像上半部分立柱的造价为3千元/米（立柱上凸起部分忽略不计），下半部分横柱和斜柱的造价都为2千元/米，问当为何值时

，塑像总造价最低？【答案】（1）()1222tan−米，sin的范围为3380,19．（2）当3=时，塑像总造价最低．【解析】【分析】（1）在平面AEGC内作AMEG⊥，利用面面垂直的性质定理可得AM⊥平面E

FGH，AEM为斜柱与地面所成的角，由13380sinsin19AEM=即可求解.（2）设总造价为y，则()()1434241222tanyAAAEAB=++=−3+22442cos+，利用导数即可求解.【详解

】解：（1）由正四棱台的定义，平面AEGC⊥平面EFGH，在平面AEGC内作AMEG⊥，交EG于M，平面AEGC平面EFGHEG=，则AM⊥平面EFGH，则AEM为斜柱与地面所成的角，即AEM=．显然1A，A，M三点共线，在等腰梯形AEGC中，42AC=，82EG=，则22EM=，22tan

AM=，立柱11222tanAA=−，因为13380sinsin19AEM=，所以338sin0,19．答：塑像上半部分的高度()1222tan−米，sin的范围为3380,19．（2）22cosAE=，设总

造价为y，则()14342yAAAEAB=++，()2241222tan3442cosy=−++()()8223sin1623cos−=++，记()23sincosf−=，则()22si

n3cosf−=，令()0f=，则3338sin0,219=，所以3=，列表：0,330,3()f−0+()f减函数1增函数所以当3=时，()f有最小值．答：当3=时，塑像总造价最低．【点睛】本题考查

了面面垂直的性质定理、利用导数求函数的最值，属于中档题.19.各项为正数的数列na如果满足：存在实数1k³，对任意正整数n，11nnakka+恒成立，且存在正整数n，使得1nnaka+=或11nnaak+=成立，

则称数列na为“紧密数列”，k称为“紧密数列”na的“紧密度”．已知数列na的各项为正数，前n项和为nS，且对任意正整数n，2nnnSAaBaC=++（A，B，C为常数）恒成立．（1）当14A=，

12B=，14C=时，①求数列na的通项公式；②证明数列na是“紧密度”为3的“紧密数列”；（2）当0A=时，已知数列na和数列nS都为“紧密数列”，“紧密度”分别为1k，2k，且1k，21,2k，求实数B的取值范

围．【答案】（1）①21nan=−②见解析；（2）(,1−−【解析】【分析】（1）利用公式1nnnaSS−=−得到na是以首项为1，公差为2的等差数列，得到通项公式；计算11133nnaa+恒成立，得

到证明.（2）根据递推公式得到na是以首项10a，公比1BqB=−的等比数列，考虑1q和01q两种情况，计算得到112q，根据1BqB=−解得答案.【详解】（1）①当14A=，12B=，14C=时，2111424nnnSaa=++，当2n时，2111111424

nnnSaa−−−=++，相减得：221111114422nnnnnaaaaa−−=−+−，整理得：()()()1111124nnnnnnaaaaaa−−−+=+−，因为0na，则10nnaa−+，即有12nnaa−−=，当1n=时，21111111424Saaa==++，则11a=

．则na是以首项为1，公差为2的等差数列，则21nan=−．②21nan=−，得121212121nnanann++==+−−随着n的增大而减小，则对任意正整数n，11133nnaa+恒成立，且存在1n=，使得13nnaa+=．则数列na是“紧密度”3的“紧密

数列”．（2）当0A=时，nnSBaC=+，11nnSBaC++=+，相减得：()11nnBaBa+=−，若0B=，则上式右端中10na+=，与0na矛盾；若1B=，则上式左端0na=，与0na矛盾，则0B，1B．则11nnaBa

B+=−为常数，即na是以首项10a，公比1BqB=−的等比数列．因为数列na为“紧密数列”，则0na，所以01BqB=−，又11BqB=−．当1q时，111nnaqqa+，对任意正整数n恒成立，且存在正整数n，使得1n

naqa+=，所以数列na的“紧密度”为11,2qk=，又1q，即12q，此时()111nnaqSq−=−，111111nnnnnSqqqSqq++−−==+−−随n的增大而减小，所以11111n

nSqqS+++，对任意正整数n恒成立，且当1n=时，11nnSqS+=+，所以数列nS的“紧密度”为211,2kq=+，则01q，与12q矛盾，不成立；当01q时，111nnaq

aq+，对任意正整数n恒成立，且存在正整数n，使得1nnaqa+=，则此时na的“紧密度”为111,2kq=，即112q．而()111111111nnnnnnnqqqSqqqSqqq++−+−−−===+−−−随着n的增大而减小，则1111111nnnSqqqqSq+−=

+++−对任意正整数n恒成立，且当1n=时，11nnSqS+=+，则nS的“紧密度”211,2kq=+，即01q，故112q，即1121BB−，解得1B−．综上所述：实数B的取值范围为(,1−−．【点睛】本题考查了数列的新定义问题，求

数列的通项公式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力，理解数列的新定义是解题的关键.20.已知函数()()xfxeaxaR=−，其中e是自然对数的底数．（1）当1a=时，求曲线()yfx=在1x=处的切线方程；（2）如果对任意xR，不等式()0fx恒成立，求实数a的取值范围；（

3）讨论函数()()xgxfxe−=−的零点个数．【答案】（1）()e1yx=−（2）0ae（3）当2a时，函数()gx有一个零点；当2a时，()gx有三个零点．【解析】【分析】（1）代入1a=的函数解析式，求得导函数及切点坐标，由导数的几何意

义即可得切线方程；（2）求得导函数，并对a分类讨论，即可确定()yfx=的单调性，进而由不等式恒成立求得a的取值范围；（3）将()fx的解析式代入可得()gx解析式，结合基本不等式可知在2a时，函数()gx有唯一零点；当2a时，可知()gx为奇函数，由()0gx=可判断()gx

的单调情况，进而构造()2xhxex=−，可证明当2x时，2xex，进而可知当0x时，函数()gx有唯一零点，即可判断2a时()gx的零点个数.【详解】（1）当1a=时，()xfxex=−，可得()1xfxe=−，则有()

11kfe==−，()11fe=−，即切点坐标为()1,1e−，则切线方程为()()111yexe=−−+−，化简可得()e1yx=−.（2）函数()()xfxeaxaR=−，则()xfxea=−，当0a时，()0xfxea=−恒成立，则函数()fx在R上单增，而11

0xfea=−，与()0fx恒成立矛盾，不合题意；当0a=时，()0xfxe=恒成立，则符合题意；当0a时，由()0xfxea=−=得lnxa=，则()fx在(),lna−上单调递减，在()ln,a+

上为单调递增，则()()minlnln0fxfaaaa==−，解得0ae．综上：0ae．（3）因()(),xxxgxfxeeeaxxR−=−=−−，当2a时，因为()220xxxxgxeeaeeaa−−=+−−−=−恒成立，则()gx在R上为增函数，而()00g=，则此时

函数()gx有唯一零点．当2a时，()()xxgxeeaxgx−−=−+=−则()gx为奇函数．只需研究0x情形．由()210xxxxxeaegxeeae−−+=+−==，得210xxeae−+=，则有242xaae−=．则2

1242lnln021aaxaa−−==+−，224ln02aax+−=，则()gx在()20,x上为减函数，在()2,x+上为增函数，则有()()200gxg=．下面证明：当2x时，2xex．证明：令()2xhxex=−，则()e2xhxx=−，(

)2e2e20xhx=−−，即函数()hx在()2,+上为增函数，故有()()22e40hxh=−，则()hx在()2,+上为增函数，故有()()2240hxhe=−，则2xex．当2x时，有1xe−，则()21xxgxeeaxxax−=−−

−−，取20422aax++=，则()002000010xxgxeeaxxax−=−−−−=，因为()gt为连续函数，由零点存在性定理可得：存在唯一()20,txx，使得()0gt=，即当0x时，函数

()gx有唯一零点，也即此时函数()gx有三个零点．综上：当2a时，函数()gx有一个零点；当2a时，()gx有三个零点．【点睛】本题考查了导数的几何意义，利用导数研究不等式恒成立问题，导函数与单调性、极值和最值的应用，由导函数证明不等式成立，构造函数分析函

数零点个数的应用，综合性强，属于难题.