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第一部分考点过关检测第一章集合与常用逻辑用语、不等式考点练1集合的概念与运算1．答案：A解析：log2(x－1)<1＝log22，所以0<x－1<2，所以1<x<3，所以N＝{x|log2(x－1)<1}＝{x|1<x<3}，

所以NM.故选A.2．答案：B解析：因为A＝{x|x2＋4x－12<0}＝{x|(x＋6)(x－2)<0}＝{x|－6<x<2}，B＝{x|1<x≤3}，所以A∩B＝{x|1<x<2}．故选B.3．答案：B解析：因为A＝{x|－2<x<1}，所以∁R

A＝(－∞，－2]∪[1，＋∞)，又B＝{x|y＝lgx}＝(0，＋∞)，所以(∁RA)∩B＝[1，＋∞).故选B.4．答案：B解析：由log0.2(x－2)>0，即0<x－2<1，解得2<x<3，所以A＝{x|

log0.2(x－2)>0}＝{x|2<x<3}，由x2≤4，即(x－2)(x＋2)≤0，解得－2≤x≤2，所以B＝{x|x2≤4}＝{x|－2≤x≤2}，所以A∪B＝{x|－2≤x<3}．故选B.5．答案：C解析：因为A

＝{1，2，3}，所以B＝{(2，1)，(3，1)，(3，2)，(1，2)，(1，3)，(2，3)}，B中含6个元素．故选C.6．答案：ACD解析：由6x2－5x＋1＝0得(2x－1)(3x－1)＝0，解得x＝12或x＝1

3，故M＝{12，13}，因为M∩P＝P，所以P⊆M，当P＝∅时，得a＝0，满足题意；当P≠∅时，得a≠0，则P＝{x|ax＝1}＝{x|x＝1a}，所以1a＝12或1a＝13，得a＝2或a＝3；综上：a＝0或a＝2或a＝3.故选ACD.考点练2充分条件、必要条件1．答案：A解析：x2＋|

y|＝0⇔x＝y＝0，xy＝0⇔x＝0或y＝0，所以“x2＋|y|＝0”是“xy＝0”的充分不必要条件．故选A.2．答案：B解析：若0<a<1，由aa>a3可得a<3，此时0<a<1；若a＝1，则aa＝a3，不合乎题意；若a>1，由aa>a3可得a>3，此时a>3

.因此，满足aa>a3的a的取值范围是{a|0<a<1或a>3}，因为{a|0<a<1或a>3}{a|a>3}，因此，“aa>a3”是“a>3”的必要不充分条件．故选B.3．答案：A解析：因为lnx>lny，所以x>y>0，由于x>y>0⇒x>y，而x>yD⇒/x>y>0，故A选项满足题意；

令x＝－2，y＝0，则满足x2>y2，但不满足x>y，故B错误；由x3>y3⇔x>y，故C选项是一个充分必要条件，故C选项错误；令x＝－2，y＝1，则满足1x<1y，但不满足x>y，D错误．故选A.4．答案：D解析：由不等式|x－1|<a，可得－a＋1<

x<a＋1，(a<0不合题意)，要使得0<x<1是－a＋1<x<a＋1的一个充分条件，则满足－a＋1≤0a＋1≥1，解得a≥1.故选D.5．答案：ABD解析：A.由a＝b有ac＝bc，当ac＝bc不一定有a＝b成立，必要性不成立，假命题；B.若a＝1>b＝－2时a2

<b2，充分性不成立，假命题；C.a<5不一定a<3，但a<3必有a<5，故“a<5”是“a<3”的必要条件，真命题；D.a＋5是无理数则a是无理数，若a是无理数也有a＋5是无理数，故为充要条件，假命题．6．答案：m≥1解析：∵命题p：x<2m＋1，q：x2－5x＋6<0，即2<x<3，

p是q的必要不充分条件，∴(2，3)(－∞，2m＋1)，∴2m＋1≥3，解得m≥1.∴实数m的取值范围为m≥1.考点练3全称量词与存在量词1．答案：B解析：“存在一个素数，它的平方是偶数”的否定是“任意一

个素数，它的平方不是偶数”．故选B.2．答案：A解析：根据全称量词命题与存在量词命题的关系，命题p：“∀x>0，x2>0”的否定¬p：“∃x>0，x2≤0”．故选A.3．答案：D解析：A.命题的否定为：存在一个菱形不是平行四边形，假命题

，故错误；B.命题的否定为：所有的梯形都不是等腰梯形，假命题，故错误；C.命题的否定为：存在x∈Z，x2的个位数等于3，当x∈Z时，x2的个位数可以为0，1，4，5，6，9，没有3，所以为假命题，故错误；D.命题的否定为：任意一个素数都不含有三个正因

数，真命题，故正确．故选D.4.答案：D解析：因为命题“∃x∈[1，3]，f（x）≤－m＋2”是假命题，所以∀x∈[1，3]，f（x）>－m＋2，又f（x）>－m＋2可化为mx2－mx－1>－m＋2，即m（x2－x＋1）>3，当x∈[1，3]时，x2－x＋1∈[1，7]，所以m>3x2－x

＋1在x∈[1，3]上恒成立，所以m>3x2－x＋1max其中x∈[1，3]，当x＝1时x2－x＋1有最小值为1，此时3x2－x＋1有最大值为3，所以m>3，故实数m的取值范围是（3，＋∞）.故选D.5．答案：ACD解析：若x＝12，则x3>x6，所以p是真命题，A正确；¬p：∀x∈

（0，2），x3≤x6，B错误；每个大于2的质数都是奇数，q是真命题，C正确；¬q：存在一个大于2的质数不是奇数，D正确．故选ACD.6．答案：（－3，＋∞）解析：由题得¬p：∃x0∈[－1，1]，x30<a－2x0为真命题，所

以当x0∈[－1，1]时，a>x30＋2x0有解，令f（x）＝x3＋2x，x∈[－1，1]，f′（x）＝3x2＋2>0，所以f（x）在区间[－1，1]上单调递增，所以f（x）min＝f（－1）＝－3，所以只需a>－3，即实数a的取值范围是（－3，＋∞）.考点过关检

测1集合与常用逻辑用语1．答案：D解析：M＝{x|0≤x<16}，N＝{x|x≥13}，故M∩N＝{x|13≤x<16}．故选D.2．答案：B解析：B＝{x|0≤x≤2}，故A∩B＝{1，2}．故选B.3．答案：B解析：命题“∀

x∈N*，n2>2n”的否定为“∃x∈N*，n2≤2n”．故选B.4．答案：B解析：∵A＝{x|－1<x≤1}，B＝{y|y＝x－1，x∈A}＝{y|－2<y≤0}，∴∁RB＝（－∞，－2]∪（0，＋∞）.5．答案：C解析：因为集合P代表的是函数的定义域，Q代表函数的值域，P＝{x

|x≥－1}，Q＝{y|y≥0}，所以P⊇Q.6．答案：C解析：由y＝x2y＝x得：x＝0y＝0或x＝1y＝1，∴A∩B＝{（0，0），（1，1）}，即A∩B有2个元素，∴A∩B的真子集个数为

22－1＝3（个）.故选C.7．答案：A解析：因为x<z，y<z，所以x＋y<2z，故充分；当x＝3，y＝1，x＝2.5时，满足x＋y<2z，但不满足x<y<z，故不必要．故选A.8．答案：D解析：因为A＝{x|0<x<1}，B＝{x|x>3}，故集合A，B不存在包含关系，故

A，B选项错误；对于C选项，A∪B＝（0，1）∪（3，＋∞）≠R，故错误；对于D选项，A∩（∁RB）＝{x|0<x<1}∩{x|x≤3}＝{x|0<x<1}＝A，故D选项正确．9．答案：D解析：令数列{an}通项a

n＝－1n，n∈N*，显然{an}为递增数列，而Sn＋1－Sn＝an＋1＝－1n＋1<0，{Sn}是递减数列，令Sn＝n，显然{Sn}为递增数列，而n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝1，a1＝1满足上式，即an＝1，{an}为常数数列，所以“{an}为递

增数列”是“{Sn}为递增数列”的既不充分也不必要条件．故选D.10．答案：C解析：A.命题“∀x∈R，cosx≤1”的否定是“∃x0∈R，cosx0>1”，正确；B.在△ABC中，sinA≥sinB，由正弦定理可得a2R≥b2R（R为外接圆半径），a≥b，由

大边对大角可得A≥B；反之，A≥B可得a≥b，由正弦定理可得sinA≥sinB，即为充要条件，故正确；C.当a＝b＝0，c≥0时满足ax2＋bx＋c≥0，但是得不到“a>0，且b2－4ac≤0”，则不是充要条件，故错误

；D.若“sinα≠12，则α≠π6”与“α＝π6则sinα＝12”的真假相同，故正确．故选C.11．答案：ACD解析：因为A＝{x|x2－2x≤0}＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y＝x2}＝{y|y≥0}，

所以A∩B＝{x|0≤x≤2}∩{x|x≥0}＝{x|0≤x≤2}，故A正确；因为∁RA＝{x|x<0或x>2}，∁RB＝{x|x<0}，所以∁RB⊆∁RA，故B错误，D正确；因为A∪B＝{x|0≤x≤2}∪{x|x≥0}＝{x|x≥0}＝B

，故C正确．故选ACD.12．答案：ABD解析：对A，当x＝0时，x2<1成立，故A正确；对B，当a＝b时，a2＝b2成立，但当a2＝b2时，a＝±b，所以“a2＝b2”是“a＝b”的必要而不充分条件，故B正确；对C，当x＝－2，y＝2时，x＋y＝0，不是无理

数，故C错误；对D，全集为R，若A⊆B，则∁RB⊆∁RA，故D正确．故选ABD.13．答案：14解析：因为{x|－1<x≤3且x∈N}＝{0，1，2，3}，所以该集合的所有非空真子集的个数为24－2＝14.14．答案：[0，4]解析

：根据题意，∀x∈R，x2－ax＋a≥0恒成立，所以Δ＝a2－4a≤0⇒a∈[0，4].15．答案：2（答案不唯一）解析：由题设4>a－（2－a）≥2且a≥1，可得2≤a<3，所以，符合条件的一个a值为2.16．答案：a＝14（或{a|

14≤a<12}的任一非空真子集都可以）解析：因为f（x）＝（2a－1）x＋2a（x<1）logax（x≥1）在R上单调递减，所以2a－1<00<a<12a－1＋2a≥0，解得14≤a<12，所以答案为{a|14≤a

<12}的非空真子集．考点练4不等式的性质1．答案：C解析：a为正数，b为负数，所以ab<0，a2b<0，1－a>0，ab－a2b＝ab（1－a）<0，ab<a2b，所以ab<a2b<1.故选C.2．答案：D解析：由题可

知，a≠0，b≠0，c≠0，A项中，若a>b>c>0，则ab<ac，故A项错误；B项中，若a>0>b>c，则ab<0，bc>0，故ab<bc，故B项错误；C项中，若a>0>b>c，则1a>1c，故C项错误；D项中，ab＋bc>ac＋b2⇒ab－

ac>b2－bc⇒a（b－c）>b（b－c），因为a>b>c，abc≠0，则b－c>0，故ab＋bc>ac＋b2，故D项正确．故选D.3．答案：BCD解析：因为a，b，c满足c<a<b，且ac<0，所以c<0，a>

0，b>0，a－c>0，b－a>0，所以ac（a－c）<0，c（b－a）<0，cb2<ab2，ab>ac.故选BCD.4．答案：BCD解析：对A：取a＝2>b＝1，c＝1>d＝－2，则a－c<b－d，故选项A错误；对B：因为a>b，1a－1b＝b－aab>0，所以ab<0，故选项

B正确；对C：因为a>b>0，c>0，所以b＋ca＋c－ba＝c（a－b）a（a＋c）>0，故选项C正确；对D：因为a<b<0，所以ab>0，a2>b2，所以ab－ba＝a2－b2ab>0，故选项D正确．故选BCD.5．答案：D解析：由1a<1b<0，可得b<a<0，则

a＋b<0，a－b>0，ab>0，对于A中，由a2－b2＝（a＋b）（a－b）<0，所以a2<b2，所以A不正确；对于B中，由ba>0，ab>0，且ba≠ab，则ba＋ab>2ba×ab＝2，所以B不正确；对于C中，由|a|a

>0，|a|b>0，且|a|a|a|b＝|a|a－b，当|a|>1时，|a|a|a|b＝|a|a－b>1，此时|a|a>|a|b；当|a|＝1时，|a|a|a|b＝|a|a－b＝1，此时|a|a＝|a|b；当|

a|<1时，|a|a|a|b＝|a|a－b<1，此时|a|a<|a|b，所以C不正确；对于D中，由lga2－lgab＝lga2ab＝lgab，因为b<a<0，可得0<ab<1，所以lgab<0，可得lga2<lgab，所以D正确．故选D.6

．答案：≥解析：2a2＋14b2＋1－ab－2a＝（a－12b）2＋（a－1）2≥0，当且仅当a＝1，b＝2取等号．考点练5一元二次不等式的解法1．答案：D解析：由x2－4x＋3≤0，可得1≤x≤3，则M

＝{x|1≤x≤3}；由xx－3≤0，可得0≤x<3，则N＝{x|0≤x<3}；所以M∩N＝{x|1≤x<3}．故选D.2．答案：ABD解析：不等式ax2＋bx＋1>0的解集为（－1，12），所以－1，12为方程ax2＋bx＋1＝0的两个根，则

－1＋12＝－ba－1×12＝1a，解得a＝－2b＝－1，所以a2＋b2＝5，a＋b＝－3，ab＝2，ab＝2，故C错，ABD正确．故选ABD.3．答案：ABD解析：关于x的不等式ax2

＋bx＋c>0的解集为（－∞，－2）∪（3，＋∞），∴a>0，A选项正确；且－2和3是关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的两根，由韦达定理得－2＋3＝－ba－2×3＝ca，则b＝－a，c＝－6a，则

a＋b＋c＝－6a<0，C选项错误；不等式bx＋c>0即为－ax－6a>0，解得x<－6，B选项正确；不等式cx2－bx＋a<0即为－6ax2＋ax＋a<0，即6x2－x－1>0，解得x<－13或x>12，D选项正确．故选ABD.4．答案：[－1，0）∪（6，7]解析：由题意，x

2－（m＋3）x＋3m＝（x－3）（x－m）<0，①若m>3，则不等式的解为：3<x<m，因为不等式x2－（m＋3）x＋3m<0的解集中恰有3个整数，所以6<m≤7；②若m＝3，则不等式无解，不满足题意；③若m<3，则不等式的解为：m<x<3，因为不等式x

2－（m＋3）x＋3m<0的解集中恰有3个整数，所以－1≤m<0.综上所述，实数m的取值范围为[－1，0）∪（6，7].5．解析：∵ax2－（3＋2a）x＋6＝（ax－3）（x－2）>0.①当a＝0时，－3（x－2）>0⇒x<2，即解集为{x|x<

2}；②当a<0时，3a<2且f（x）＝ax2－（3＋2a）x＋6（a∈R）开口方向向下，所以ax2－（3＋2a）x＋6＝（ax－3）（x－2）>0的解集为{x|3a<x<2}；③当a>0时，若3a＝2，即a＝32时，原不等式的解集为{x|x≠2}；若3a>2，即0<a<32，原不等

式的解集为{x|x<2或x>3a}；若3a<2，即a>32，原不等式的解集为{x|x<3a或x>2}．综上，当a<0时，f（x）>0的解集为（3a，2）；当a＝0时，f（x）>0的解集为（－∞，2）；当0<a<32时，f（x）>0的解集为（－∞，2）∪（3a，＋∞）；当a＝32时，f（x）>

0的解集为（－∞，2）∪（2，＋∞）；当a>32时，f（x）>0的解集为（－∞，3a）∪（2，＋∞）.考点练6一元二次不等式恒成立或能成立1．答案：C解析：因为不等式为一元二次不等式，所以m≠0，若一元二次不等式mx2－2mx－1≤0恒成立，则m<0Δ＝4m2＋4

m≤0，可得－1≤m<0，此时不等式恒成立．故选C.2．答案：B解析：当m＝0时，该不等式为－2x＋1>0，解集为x<12，不成立；当m≠0时，由不等式的解集为R，得m>0Δ＝（m＋2）2－4m（m＋1）<0，解得m>233.故选B.3．

答案：ACD解析：A选项：由题意Δ＝a2－16≤0，解得－4≤a≤4，故A正确；B选项：由f（x）开口向上，故只需f（1）＝5－a≥0或f（2）＝8－2a≥0，解得a≤5，B错误；C选项：由题可知方程有两个不相等的正实根，则Δ＝a2－16>0x1＋x2＝

a>0x1x2＝4>0，解得a>4，C正确；D选项：由题可知f（1）＝5－a>0f（2）＝8－2a<0f（4）＝20－4a>0，解得4<a<5，D正确．故选ACD.4．答案：（1）（1，＋∞）（2）[3，＋∞）解析：（1）

原不等式变为（x－1）（x－a）<0，当a＝1时，解集为∅；当a>1时，解集为（1，a）；当a<1时，解集为（a，1）.若不等式在（1，3）上有解，则a>1.（2）若不等式在（1，3）上恒成立，则由（1）可知（1，3）⊆（1，a），所以a≥3.5．解析：（1）由题意可得f（

m）＝2m2－1<0f（m＋1）＝2m2＋3m<0，求得－22<m<0，即实数m的取值范围为（－22，0）.（2）由题意可得5m4≥f（x）min＝－m24－1，求得m≤－4，或m≥－1，即实数m的取值范围为{m|m≤－4或m≥－1}．考点练7基

本不等式的应用1．答案：D解析：方法一∵x≥52，∴x－2>0，则x2－4x＋5x－2＝（x－2）2＋1x－2＝（x－2）＋1（x－2）≥2，当且仅当x－2＝1x－2，即x＝3时，等号成立．方法二令x－2＝t，∵x≥52，∴t≥12，∴x＝t＋2.将其代入

，原函数可化为y＝（t＋2）2－4（t＋2）＋5t＝t2＋1t＝t＋1t≥2t·1t＝2，当且仅当t＝1t，即t＝1时等号成立，此时x＝3.故选D.2．答案：B解析：因为4a＋b＋1b＋1＝1，且a，b为正实数，所以a＋b＋b＋1＝（a＋b＋b＋1）（4a＋b＋1b＋1）＝4＋a＋bb

＋1＋4（b＋1）a＋b＋1≥5＋2a＋bb＋1×4（b＋1）a＋b＝9，当且仅当a＋bb＋1＝4（b＋1）a＋b即a＝b＋2时等号成立．所以a＋2b＋1≥9，a＋2b≥8.故选B.3．答案：AB解析：∵m>0，n>0，m＋n＝2，∴1m＋1n＝12（m＋n）（1m＋1

n）＝12（2＋nm＋mn）≥12（2＋2nm·mn）＝2，当且仅当nm＝mn，即m＝n＝1时等号成立，故A正确；∵m＋n＝2≥2mn，∴mn≤1，当且仅当m＝n＝1时，等号成立，故B正确；∵（m＋n）2≤2[（m）2＋（n）2]＝4，∴m＋n≤2（m＋n）＝2，当且仅当m＝n＝

1时等号成立，最大值为2，故C错误；m2＋n2≥（m＋n）22＝2，当且仅当m＝n＝1时等号成立，故D错误．故选AB.4．答案：CD解析：当x<0时，y＝x＋4x无最小值，故A错误；当0<x<π时，sinx>0，由基本不等式可得：y＝sinx＋4sinx≥2

sinx·4sinx＝4，当且仅当sinx＝4sinx，即sinx＝2时，等号成立，显然－1≤sinx≤1，所以等号取不到，故B选项错误；ex>0，由基本不等式得：y＝ex＋4ex≥2ex·4ex＝4，当且仅当ex＝4ex，即x＝ln2时，等号成立，故C正确；因为x>1，所以log3x>0

，由基本不等式得：y＝log3x＋4logx3≥24log3x·logx3＝4，当且仅当log3x＝4logx3，即log3x＝2，x＝9时，等号成立，故D正确．故选CD.5．答案：6解析：设矩形空地的长为xm

，则宽为32xm，依题意可得，试验区的总面积S＝（x－0.5×4）（32x－0.5×2）＝34－x－64x≤34－2x·64x＝18，当且仅当x＝64x即x＝8时等号成立，所以每块试验区的面积的最大值为183＝6m2.6．答案：12解析：由3a＋1b≥ma＋3b得m≤（a＋3b）（3a＋1b）＝9

ba＋ab＋6.又9ba＋ab＋6≥29＋6＝12，当且仅当9ba＝ab，即当a＝3b时等号成立，∴m≤12，∴m的最大值为12.考点过关检测2不等式1．答案：A解析：由－x2＋3x－4<0，得x2－3x＋4>0，因为Δ＝（－3）2－4×4＝－7<0，所以

不等式x2－3x＋4>0的解集为R.故选A.2．答案：D解析：取a＝－1，b＝1，则1b>1a成立，但a>b不成立，故充分性不成立；取a＝1，b＝－1，则a>b成立，但1b>1a不成立，故必要性也不成立；所以“1b>1a”是“a>b”的既不

充分也不必要条件．故选D.3．答案：A解析：当x<0时，－x>0，∴x＋1x＝－[（－x）＋－1x]≤－2（－x）·－1x＝－2（当且仅当－x＝－1x，即x＝－1时取等号），∴x＋1x的最大值为－2.故选A.4．答案：D解析：因为关于x的不等式x2－2ax－8a2<0的解集为（x1

，x2），∴x1，x2是方程x2－2ax－8a2＝0的两个不同的实数根，且Δ＝4a2＋32a2>0，∴x1＋x2＝2a，x1x2＝－8a2，∵x2－x1＝15，∴152＝（x1＋x2）2－4x1x2＝4a2＋32a2，a2＝15236，解得a＝±52.故选D.5．答案：C

解析：由题可知，原不等式可转化为[2x－（a＋1）][2x－（a－1）]<0，因为a＋12>a－12，所以不等式的解为a－12<x<a＋12.故选C.6．答案：C解析：对于A，若a＝－1，b＝－2，则满足ab>

0，且a>b，而a2＝1<b2＝4，所以A错误，对于B，若a＝－1，b＝－2，则满足ab>0，且a>b，而1a＝－1<1b＝－12，所以B错误，对于C，因为ab>0，所以ba>0，ab>0，所以ba＋ab≥2ba·

ab＝2，当且仅当ab＝ba，即a＝b时取等号，而a>b，所以取不到等号，所以ba＋ab>2，所以C正确，对于D，若a＝－1，b＝－2，则满足ab>0，且a>b，而a＋b2＝－32<ab＝2，所以D错

误．故选C.7．答案：A解析：根据题意可得x＝m和x＝n是方程ax2－（a2＋6a＋9）x＋a＋1＝0的两根且a>0，即m＋n＝a2＋6a＋9a，mn＝a＋1a.故1m＋1n＝m＋nmn＝a2＋6a＋9a＋1＝（a＋1）

2＋4（a＋1）＋4a＋1＝（a＋1）＋4a＋1＋4≥4＋4＝8，当且仅当a＝1时，等号成立．故选A.8．答案：B解析：因为5x2y2＋y4＝1，所以x2＝1－y45y2，因为x2≥0，所以y2∈（0，1]，所以x2＋y

2＝y2＋1－y45y2＝1＋4y45y2＝15（4y2＋1y2）≥15×24y2·1y2＝45，当且仅当4y2＝1y2，即y2＝12，x2＝310时取等号，所以x2＋y2的最小值是45.故选B.9．答案：ABC解析：∵a>b，c>d，

相加即得a＋c>b＋d，A正确；对于C，∵c<d，∴－c>－d，且a>b，相加即得a－c>b－d，C正确；∵a>b>0，c>d>0，两式相乘，即ac>bd，B正确；对于D，当a＝2，b＝1，c＝－2，d＝－1时，代入不符

合题意，D错．故选ABC.10．答案：ACD解析：因为a>0，b>0，且a＋b＝1，所以0<a<1，所以2a2＋b＝2a2－a＋1，二次函数的抛物线的对称轴为a＝14，所以当a＝14时，2a2－a＋1的最小值为78，所以2a2＋b≥78，所以选项A正确；1a

＋1b＝（1a＋1b）（a＋b）＝1＋ba＋ab＋1≥2＋2ba·ab＝4成立，当且仅当a＝b＝12时取等号），故选项B错误；∵1＝a＋b≥2ab，∴ab≤14成立，（当且仅当a＝b＝12时取等号），故选项C正确；∵（a＋b）2＝a＋b＋2ab≤2（a＋b）＝2，∴a＋b≤2（当且仅

当a＝b＝12时取等号），故选项D正确．故选ACD.11．答案：BC解析：对于A，因为x>0，y>0，满足x＋y＝4，则xy≤x＋y22＝4，当且仅当x＝y＝2时取等号，所以xy的最大值为4，故选项A正确；对于B，因

为x<12，则1－2x＞0且11－2x>0，所以y＝2x＋12x－1＝－[（1－2x）＋11－2x]＋1≤－2（1－2x）·11－2x＋1＝－1，当且仅当x＝0时取等号，所以函数y＝2x＋12x－1的最大值为－1，故选项B错误；对于C，因为0＜x＜1，所以

y＝x＋1x≥2x·1x＝2，当且仅当x＝1时取等号，则等号取不到，所以ymin>2，故选项C错误；对于D，因为0＜x＜1，∴y＝4x＋11－x＝（4x＋11－x）[x＋（1－x）]＝5＋4（1－x）x＋x1－x≥5＋24（1－x）x×x1－x＝9，当且仅当4（1－x）x＝x1－x，

即x＝23时取等号，故函数y＝4x＋11－x（0<x<1）的最小值为9，故选项D正确．故选BC.12．答案：CD解析：由题可知存在正数x，y使得12x＋x＋2y＋1y≤t成立，所以t≥（12x＋x＋2y＋1y）min，因为正数x，y满足x＋2

y＝4，所以12x＋x＋2y＋1y＝4＋14（12x＋1y）（x＋2y）＝4＋14（52＋xy＋yx）≥4＋14（52＋2xy·yx）＝418，当且仅当x＝y时，取等号，∴t≥418.故选CD.13．答案：（－3，3）解析：由题意Δ＝k2－

4×2×38<0，－3<k<3.14．答案：k≥4解析：由于x∈[1，3]，分离参数后问题转化为：k≥x＋4x在x∈[1，3]上有解，只需要k≥（x＋4x）min，由基本不等式x＋4x≥2x·4x＝4，当x＝4x时，即x＝2取得等号，而2∈[1，3]，（x＋4x）min＝4，故k≥4.15．答

案：9解析：方法一由题意可知f（x）＝2x＋a2x＋1≥5对任意的x∈R恒成立，即a≥（5－2x）（2x＋1）恒成立，因为（5－2x）（2x＋1）＝－（2x）2＋4·2x＋5＝－（2x－2）2＋9≤9，当且仅当2x＝2时，即当x＝1时

，等号成立，所以，a≥9.方法二由基本不等式可得f（x）＝（2x＋1）＋a2x＋1－1≥2a－1＝5，可得a＝9，当且仅当2x＋1＝3时，即当x＝1时，等号成立，故a＝9.16．答案：12－74解析：①由2＝2a＋b≥22ab，得ab≤12，当且仅当2a＝b＝1，即a＝1

2，b＝1时取等，所以ab的最大值为12；②a2＋ab＋a＋b＝（a＋b）（a＋1）≤a＋b＋a＋122＝2a＋b＋122＝94，当且仅当a＋b＝a＋1，即a＝12，b＝1时取等，又

由上知ab≤12，故－2ab≤－4，当且仅当a＝12，b＝1时取等，所以a2＋ab＋a＋b－2ab≤94＋（－4）＝－74，当且仅当a＝12，b＝1时取等，故a2＋ab＋a＋b－2ab的最大值为－74.单元过关检测一集合与常用逻辑用语、不等式1．答案：B解析：由已知可

得P∩Q＝{－1，0，1，2}．故选B.2．答案：D解析：命题“∀x>0，ex＋e－x>2”的否定是∃x>0，ex＋e－x≤2.故选D.3．答案：B解析：∵x∈N，63－x∈N，∴x＝2或1或0，故集合A＝{0，1，2}，则集合A的真子集的个数为23－1＝7

.故选B.4．答案：B解析：因为|2x－1|≤3，所以－1≤x≤2，显然由－1≤x≤3推不出－1≤x≤2，由－1≤x≤2可推出－1≤x≤3，所以“－1≤x≤3”是“|2x－1|≤3”的必要不充分条件．故选B.5．答

案：D解析：由题得：M＝{x|x>3}，N＝{x|x2－7x＋10≤0}，解得N＝{x|2≤x≤5}，所以M∪N＝{x|x≥2}．故选D.6．答案：B解析：当a＝2时，原不等式为－12<0满足解集为R；当a≠2时，根据题意得a－2<0，且Δ

＝16（a－2）2－4（a－2）×（－12）<0，解得－1<a<2.综上，a的取值范围为{a|－1<a≤2}．故选B.7．答案：D解析：因为A∪B＝A，所以B⊆A，因为A＝{x|1<x≤a}，B＝{x|1<x<2}，所以a>1a≥2，解得a≥2

，所以，实数a的取值范围是[2，＋∞）.故选D.8．答案：B解析：因为a>0，b>0，ab＝1.所以a2＋b2＋6a＋b＝（a＋b）2－2ab＋6a＋b＝（a＋b）2＋4a＋b＝a＋b＋4a＋b≥4，当且仅当a＝b＝1时，等号成立

．故选B.9．答案：AC解析：因为a<b<0，对A，可得0>a－b>a，所以1a－b<1a，故A错误；对B，|a|>|b|成立，故B正确；对C，1a>1b，故C错误；对D，|a|>|b|，所以a2>b2成立，故D正确．故选AC.10．答案：ABD解析：对于选项A：“a＞1”可推出“1a＜1”，但

是当1a＜1时，a有可能是负数，∴“1a＜1”推不出“a＞1”，∴“a＞1”是“1a＜1”的充分不必要条件，故A正确；对于选项B：命题“∀x＜1，x2＜1”的否定是“∃x＜1，x2≥1”，故B正确；对于选项C：当x＝－3，y＝3时，x2＋

y2≥4，但是“x≥2且y≥2”不成立，∴“x2＋y2≥4”推不出“x≥2且y≥2”，∴“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的充分不必要条件，故C错误；对于选项D：“a≠0”推不出“ab≠0”，但“ab≠0”可推出“a≠0”，∴“a≠0”是“ab≠0”的必要而不充分条件，故

D正确．故选ABD.11．答案：BD解析：对于选项A，因为M＝{x∈Q|x<0}，N＝{x∈Q|x>0}，M∪N＝{x∈Q|x≠0}≠Q，故A错误；对于选项B，设M＝{x∈Q|x<0}，N＝{x∈Q|x≥0}

，满足戴德金分割，则M中没有最大元素，N有一个最小元素0，故B正确；对于选项C，若M有一个最大元素m，N有一个最小元素n，若m≠n，一定存在k∈（m，n）使M∪N＝Q不成立；若m＝n，则M∩N＝∅不成立，故C错误；对于选项D，设M＝{x∈Q

|x<2}，N＝{x∈Q|x≥2}，满足戴德金分割，此时M没有最大元素，N也没有最小元素，故D正确．故选BD.12．答案：ABD解析：因为a>0，a2＋ab＝4，所以a（a＋b）＝4，a＋b>0，对于A，因为a（a＋b）＝4，所以4a（a＋b）＝16，因为a＋b>0，a>0

，所以5a＋b＝4a＋（a＋b）≥24a（a＋b）＝216＝8，当且仅当4a＝a＋b，即a＝1，b＝3时取等号，所以A正确；对于B，因为a＋b>0，a>0，所以1a＋1a＋b＝2a＋ba（a＋b）＝a＋（a＋b）4≥2a（a＋b）

4＝1，当且仅当a＝a＋b，即a＝2，b＝0时取等号，所以B正确；对于C，因为a>0，a2＋ab＝4，所以2a2＋2ab＝8，所以2a2＋2ab＋b2＝8＋b2≥8，所以C错误；对于D，由a>0，a2＋ab＝4，得b＝4a－a，所以3a2＋b2＝3a2＋（4a－a）2＝3a

2＋16a2－8＋a2＝4a2＋16a2－8≥24a2·16a2－8＝8，当且仅当4a2＝16a2，即a＝2，b＝0时取等号，所以D正确．故选ABD.13．答案：－2<a<4解析：由题意可知：x＝2是不等式2x2＋ax－a2>0的解，所以8＋2a－a2>0

，即（a－4）（a＋2）<0，解得－2<a<4.14．答案：0≤a≤4解析：由题意可知，“∃x∈R，ax2－ax＋1<0”的否定是真命题，即“∀x∈R，ax2－ax＋1≥0”是真命题，当a＝0时，1≥0，不等式显然成立，当a≠0时，由

二次函数的图象及性质可知，a>0Δ＝a2－4a≤0，解得0<a≤4，综上，实数a的取值范围为0≤a≤4.15．答案：（－∞，0）∪（0，1）解析：集合A恰有8个子集，故集合A中有3个元素，即x3－2x2＋ax＝x（x2－2x＋a）＝0有三个

不同的解，即x2－2x＋a＝0有两个不为0的解，即Δ＝4－4a>0，且a≠0，解得a<1且a≠0，所以a∈（－∞，0）∪（0，1）.16．答案：43－2解析：由a＋b＝1，得a2＋2ab＋b2＝1，a>0，b>0，则3abc2＋b＋1abc2＋ab＋2c2＝1c

2＋1（3ab＋a2＋2ab＋b2ab）＋2c2＝1c2＋1（4ab＋ba＋2）＋2c2≥1c2＋1（24ab×ba＋2）＋2c2＝6c2＋1＋2（c2＋1）－2≥26c2＋1×2（c2＋1）－2＝4

3－2，当且仅当4ab＝ba，即b＝2a，6c2＋1＝2（c2＋1），即（c2＋1）2＝3时取“等号”，所以当a＝13，b＝23，c2＝3－1时，3abc2＋b＋1abc2＋ab＋2c2的最小值为43－2.17．解

析：（1）当a＝3时，N＝{x|4≤x≤8}，而∁UM＝{x|－1<x<6}，所以（∁UM）∩N＝{x|4≤x<6}．（2）因N⊆M，则当a＋1>3a－1，即a<1时，N＝∅，此时满足N⊆M，即a<1，当a＋1≤3a－1，即a≥1时，N≠∅，则有3

a－1≤－1或a＋1≥6，即a≤0或a≥5，因此a≥5，所以实数a的取值范围为（－∞，1）∪[5，＋∞）.18．解析：（1）由p：2x2－5x－3>0，即p：x>3或x<－12，设A＝{x|x>3或x<－12}，B＝{x|

x>a}，因为p是q的必要不充分条件，所以集合B是集合A的真子集，所以a≥3.（2）由r：x2≤m（m>0），即r：－m≤x≤m，¬p：－12≤x≤3，设C＝{x|－m≤x≤m}，D＝{x|－12≤x≤3}，因为

¬p是r的必要条件，所以C⊆D，所以－m≥－12m≤3m>0，解得0<m≤14，所以m的最大值为14.19．解析：（1）要证mx＋ny>nx＋my，只需证mx＋ny－nx－my>0，mx＋ny－nx－my＝（m－n）（x－y），因

为m>n，x>y，所以（m－n）（x－y）>0故mx＋ny－nx－my>0，证毕．（2）1x＋2y＝12（x＋2y）（1x＋2y）＝12（5＋2xy＋2yx）≥12（5＋2xy×2yx）＝92，当且仅当2

xy＝2yx且x＋2y＝2即x＝y＝23时取“＝”．20．解析：（1）A＝{x|－1<x<3}，当a＝1时，B＝{x|－3<x<2}，∴A∩B＝{x|－1<x<2}，因为不等式x2＋mx＋n<0的解集为A∩B，所以－1，2是方程x2＋mx＋n＝0的两个根，－1＋2＝－m－1×2＝

n，解得m＝－1，n＝－2，∴－x2＋x－2<0，∴x2－x＋2>0，∴x∈R，即不等式mx2＋x＋n<0的解集为R.（2）当a＝0时，－6＜0恒成立，符合题意；当a≠0时，a<0Δ<0，得a<0a2＋24a<0，得－24＜a

＜0；综上，a的取值范围是（－24，0].21．解析：（1）由题意知，当m＝0时，x＝2（万件），则2＝4－k，解得k＝2，∴x＝4－2m＋1.所以每件产品的销售价格为1.5×8＋16xx（元），∴2020年的利润y＝1.5x×8＋16xx－8－16x－m＝36－16m＋1－m（m≥

0）.（2）∵当m≥0时，m＋1>0，∴16m＋1＋（m＋1）≥216＝8，当且仅当16m＋1＝（m＋1）即m＝3时等号成立．∴y≤－8＋37＝29，即m＝3万元时，ymax＝29（万元）.故该厂家2020年的促销费用

投入3万元时，厂家的利润最大为29万元．22．解析：（1）（2，3）⊙（－1，4）＝（2×4＋3×（－1），3×4－2×（－1））＝（5，14）.（2）∀α，β∈A，都有α⊙β＝β⊙α成立，证明如下：依题意，α＝（a，b），β＝（c，d），则α⊙β＝（ad＋bc，bd－

ac），β⊙α＝（c，d）⊙（a，b）＝（cb＋da，db－ca）＝（ad＋bc，bd－ac），所以α⊙β＝β⊙α.（3）若A中的元素I＝（x，y），∀α∈A，都有α⊙I＝I⊙α＝α成立，则由（2）知，只需I⊙α＝α

成立，设α＝（a，b），即（x，y）⊙（a，b）＝（a，b），则（bx＋ay，by－ax）＝（a，b），当α＝（0，0）时，显然有I⊙α＝α成立，即元素I为A中任意元素，当α≠（0，0）时，则bx＋ay＝a

－ax＋by＝b，解得x＝0y＝1，因此，当∀α∈A，都有α⊙I＝I⊙α＝α成立时，得I＝（0，1），反之，当I＝（0，1）时，∀α∈A，设α＝（a1，b1），I⊙α＝（0，1）⊙（a1，b1）＝（0·b

1＋1·a1，1·b1－0·a1）＝（a1，b1）＝α，所以“A中的元素I＝（0，1）”是“∀α∈A，都有α⊙I＝I⊙α＝α成立”的充要条件，元素I＝（0，1）.第二章函数与基本初等函数考点练8函数的定

义域1．答案：BC解析：函数y＝x12＝x的定义域为[0，＋∞）.对于A选项，函数y＝x2的定义域为R；对于B选项，函数y＝（x）2的定义域为[0，＋∞）；对于C函数，由2x－1≥0，可得x≥0，所以，函数y＝2x－1的定义域为[0，＋∞

）；对于D选项，对任意的x∈R，ex>0，所以，函数y＝lnex的定义域为R.故选BC.2．答案：C解析：由题意得1－x>0，x＋1>0，x≠0，解得－1<x<0或0<x<1.所以原函数的定义域为（－1，0）∪（0，1）.故选C.3．答案：C解析：函

数y＝f（x）的定义域是[1，3]，∴1≤2x－1≤3，解得1≤x≤2.又x>0，且x≠1，∴x∈（1，2].故函数h（x）的定义域是（1，2].故选C.4．答案：B解析：要使f（x）＝lg1－x1＋

x有意义，则1－x1＋x>0，即（1－x）（1＋x）>0，解得－1<x<1，所以函数f（x）的定义域为（－1，1）.要使g（x）＝f（ex）x＋2有意义，则－1<ex<1x＋2≠0，解得x<0且x≠－2，所以

函数g（x）的定义域为{x|x<0，且x≠－2}．故选B.5．答案：A解析：函数f（x－1）的定义域为[－2，3]，即－2≤x≤3，则－3≤x－1≤2，所以f（x）的定义域为[－3，2].则函数f（2x－4）的定义域，需满足－3≤2x－4≤2，解得12≤x≤3，即函数f（2

x－4）的定义域为[12，3].故选A.6．答案：0≤m≤1解析：由于函数y＝mx2－2mx＋1的定义域为R，则对∀x∈R，mx2－2mx＋1≥0恒成立，当m＝0时，显然满足要求，当m≠0时，则m>0且Δ＝4m2－4m≤0⇒0<m≤1，综上得：0≤m≤1.考点练9求函数解析式1．

答案：D解析：因为f（x）＝x＋1x－1，所以f（x＋1）＝（x＋1）＋1（x＋1）－1＝x＋2x＝1＋2x（x≠0）.故选D.2．答案：C解析：令t＝x＋1（t≥1），则x＝t－1，x＝（t－1）2，所以f（t）＝（t

－1）2－1＝t2－2t，所以f（x）＝x2－2x（x≥1）.故选C.3．答案：A解析：由于f（1－2x）＝1－x2x2（x≠0），令1－2x＝t，得x＝1－t2（t≠1），则f（t）＝1－1－t221－t22＝4－（1－t）2（1－t

）2，当t＝13时，f13＝4－1－1321－132＝8.故选A.4．答案：AD解析：设f（x）＝kx＋b，由题意可知f（f（x））＝k（kx＋b）＋b＝k2x＋kb＋b＝9x＋8，所以k2＝9kb＋b＝8，解得k＝3b＝2或k＝

－3b＝－4，所以f（x）＝3x＋2或f（x）＝－3x－4.故选AD.5．答案：ABD解析：对于A选项，f（x）＝|2x|，f（2x）＝4|x|，2f（x）＝4|x|，所以A正确；对于B选项，f（x）＝x，满足f（2x）＝2f（x），所以B正确；对

于C选项，f（x）＝x，f（2x）＝2x，2f（x）＝2x，不满足f（2x）＝2f（x），所以C不正确；对于D选项，f（x）＝x－|x|，f（2x）＝2x－2|x|，2f（x）＝2x－2|x|，所以D正确．故选ABD.6．答案：4解析：因为x>

0，所以1x>0，f（x）－4f1x＝－15x①，所以f1x－4f（x）＝－15x②，由①②可解得f（x）＝4x＋1x，x∈（0，＋∞），因为x>0，所以f（x）＝4x＋1x≥24x·1x＝4

，当且仅当4x＝1x，即x＝12时，等号成立．考点练10分段函数1．答案：C解析：由题意，函数f（x）＝13x，x≤0log3x，x>0，可得f19＝log319＝－2，所以ff19＝f（－2）＝13－2＝9.故选C.2．答案：B解

析：由题意x∈[0，＋∞），函数f（x）＝2x－1，x∈[0，1]f（x－1），x∈（1，＋∞），可得f52＝f（52－1）＝f32＝f（32－1）＝f12，因为12∈[0，1]，所以f12＝212－1＝2－1.故选B.3．答案：B解析：作出

函数f（x）的图象，f（x）在（－∞，0]，（0，＋∞）上分别单调递增．由f（a－3）＝f（a＋2），若a－3≤0a＋2>0，即－2<a≤3，此时f（a－3）＝a－3＋3＝a，f（a＋2）＝a＋2，所以a＝a＋2，即a2＝a＋2，解得a＝

2或a＝－1（不满足a＝a＋2，舍去），此时a＝2满足题意，则f（a）＝2，若a－3>0a＋2≤0，此时不存在满足条件的a.故选B.4．答案：D解析：当3x－1≤0时，f（3x－1）＝2－

123x－1，因为123x－1≥1，所以f（3x－1）≤1，故当3x－1≤0时，不等式无解，当3x－1>0时，f（3x－1）＝12（3x－1）2＋1，令12（3x－1）2＋1>3，得3x－1>2，解得x>1.故选D.5．答案：ACD解析：当a≤0

时，f（a）＝a＋2＝34，解得a＝－54；当0<a<2时，f（a）＝1a＝34，解得a＝43；当a≥2时，f（a）＝－a2＋4a－3＝34，解得a＝52或a＝32（舍去）.综上可知，实数a的值为－54或43或52.

故选ACD.6．答案：3解析：f（2025）＝f（507×4－3）＝f（－3）＝log33＋2＝3.考点练11函数单调性的判断与应用1．答案：B解析：y＝x2在（－∞，0]上单调递减，在（0，＋∞）上单调递增，故选项A错误；y＝x在R上为增函数，选项B

正确；y＝－x在[0，＋∞）上单调递减，故选项C错误；y＝1x在（－∞，0）单调递减，在（0，＋∞）单调递减，故选项D错误．故选B.2．答案：A解析：∵f（x）＝（x－2）·x，x≥2，（2－x）·x，x<2，∴直接

通过解析式，结合二次函数图象得：（－∞，1），（2，＋∞）单调递增，在[1，2]单调递减．故选A.3．答案：D解析：f（x）＝log2（x2－2x－3）要满足x2－2x－3>0，解得：x>3或x<－1，又y＝log2u是增函数，所以只需求出g（x）＝

x2－2x－3的单调递增区间，g（x）＝x2－2x－3的对称轴为x＝1，且开口向上，结合函数的定义域可得：f（x）＝log2（x2－2x－3）的单调递增区间为（3，＋∞）.故选D.4．答案：（1，32）解析：由－x2＋3x－2≥0

可得x2－3x＋2≤0，解得：1≤x≤2，所以函数y＝－x2＋3x－2的定义域为[1，2]，因为y＝－x2＋3x－2是由y＝t和t＝－x2＋3x－2复合而成，t＝－x2＋3x－2＝－（x－32）2＋14对称轴为x＝32，开口向

下，所以t＝－x2＋3x－2在（1，32）上单调递增，在（32，2）上单调递减，因为y＝t单调递增，所以y＝－x2＋3x－2在（1，32）上单调递增，在（32，2）上单调递减，所以y＝－x2＋3x－2的单调递增区间为（1，32）.5．解析：（1）由f（－x）＝－f

（x）可得－ax＋b1＋（－x）2＝－ax＋b1＋x2，可得－b＝b，解得b＝0，f12＝12a1＋122＝2a5＝25，∴a＝1，故f（x）＝x1＋x2.（2）任取x1、x2∈（－1，1）且x1<x2，即－1<x1<x2<1，则x1－x2<0，x1x2<1，所以，f（x1）－f

（x2）＝x11＋x21－x21＋x22＝x1（1＋x22）－x2（1＋x21）（1＋x21）（1＋x22）＝（x1－x2）（1－x1x2）（1＋x21）（1＋x22）<0，则f（x1）<f（x2），所以，函数f（x）在（－1，1）上为增函数．由f（x2－1）

＋f（x）<0可得f（x2－1）<－f（x）＝f（－x），结合单调性可得x2－1<－x－1<x2－1<1－1<x<1，解得0<x<－1＋52或（－1，0），因此，不等式f（x2－1）＋f（x）<0的

解集为（0，－1＋52）∪（－1，0）.考点练12利用函数的单调性求参数1．答案：A解析：f（x）＝x2－2x＋3的图象的对称轴为x＝1，因为函数f（x）＝x2－2x＋3在区间[t，t＋1]上是单调增函数，所以t≥1，

即t的取值范围是[1，＋∞）.故选A.2．答案：C解析：根据题意，函数f（x）＝ax－1x－a＝a（x－a）＋a2－1x－a＝a2－1x－a＋a，若f（x）在区间（2，＋∞）上单调递减，必有a2－1>0a≤2，解可得：a

<－1或1<a≤2，即a的取值范围为（－∞，－1）∪（1，2].故选C.3．答案：C解析：因为f（x）对任意实数x1≠x2，都有f（x2）－f（x1）x2－x1>0成立，所以f（x）在R上为增函数，所以

a－1>0a>1a0≥3a－4且a>0，a≠1，解得1<a≤53，所以a的取值范围为（1，53].故选C.4．答案：BD解析：当a＝0时，f（x）＝－12x＋5，在R上是减函数，A错误；当a＝1时，f（x）＝2x2－8x＋5，其单调递减区间是（

－∞，2]，因此f（x）在（－∞，0）上递减，B正确；由f（x）的单调递减区间是（－∞，－4]得2a>0，－4（a－3）4a＝－4，a的值不存在，C错误；在D中，当a＝0时，f（x）＝－12x＋5，在（－∞，3）上是减函数；当a≠0

时，由a>0，－4（a－3）4a≥3，得0<a≤34，所以a的取值范围是[0，34]，D正确．故选BD.5．答案：（－∞，4]∪[16，＋∞）解析：函数f（x）＝4x2－kx－8的对称轴为：x＝k8，∴f（x）在（－∞，k8]为单

调减函数；在[k8，＋∞）上为单调增函数．根据题意，[12，2]⊆（－∞，k8]或[12，2]⊆[k8，＋∞），∴2≤k8或12≥k8，即：k≥16或k≤4.6．答案：（1，2]解析：f（x）＝－x2＋2ax的对称轴为x＝a，函数在区间[2，4]上都是减函数，故a≤2；g（x）＝2x－3＋ax－1

＝2＋a－1x－1，函数在区间[2，4]上都是减函数，故a>1；故a∈（1，2].考点练13函数的值域与最值1．答案：D解析：函数y＝x＋2x－1＝1＋3x－1在[2，5）上单调递减，所以在x＝2处取得最大值4，而x＝5取不到，则最小值取

不到．故选D.2．答案：D解析：函数的定义域是{x|x≥1}，令x－1＝t，则t∈[0，＋∞），x＝t2＋1，所以y＝2（t2＋1）－t＝2t2－t＋2＝2（t－14）2＋158，因为t≥0，所以y≥158，所以原函数的值域为[158，＋∞）.故选D.3

．答案：A解析：x2－6x＋5＝（x－3）2－4≥－4，设t＝x2－6x＋5，则t≥－4，则y＝12t为减函数，则0<y≤12－4＝16，故函数的值域为（0，16].故选A.4．答案：[－3，1）解析：y＝x2－3x2＋1＝x2＋1－4x2＋1＝1－4x2

＋1，因为x2＋1≥1，所以4x2＋1∈（0，4]，所以－4x2＋1∈[－4，0），所以y＝x2－3x2＋1∈[－3，1）.5．答案：2解析：∵g（x）＝x2－x＋1x＝x＋1x－1≥2x·1x－1＝1，当且仅当x＝1x即x＝

1时取等号，∴当x＝1时，g（x）取最小值g（1）＝1.∵函数f（x）与g（x）同在一个区间内取同一个自变量时，同时取得相同的最小值，则称这两个函数为“兄弟函数”，∴函数f（x）在区间[12，2]上最小值为f（1）＝1.∴点（1，1）为抛物

线f（x）＝x2＋bx＋c的顶点．∴－b2＝14c－b24＝1，∴b＝－2c＝2.∴f（x）＝x2－2x＋2.∴y＝f（x）在区间[12，1]上单调递减，在区间[1，2]上单调递增．∵f12＝54，f（2）＝2，∴f（

x）在区间[12，2]上的最大值是2.6．答案：[1，5＋12]解析：当1－a>0，即a<1时，f（x）在（－∞，a）上单调递增，故f（x）无最小值，不符合题意；当1≤a≤2时，f（x）在（－∞，a）上单调递减，所以f（a）＝（1－a）a＋1，又f（x）在[a，＋∞）上的最小值为f（2）＝0，要

使f（x）存在最小值，还需（1－a）a＋1≥0，解得1－52≤a≤5＋12，故1－52≤a≤5＋121≤a≤2⇒1≤a≤5＋12；当a>2时，要使f（x）存在最小值，还需：（1－a）a＋1≥a＋4a－4，因为（

1－a）a＋1<0，a＋4a－4>0，所以无解．综上a的取值范围为[1，5＋12].考点练14奇偶性的判断与应用1．答案：A解析：∵二次函数为偶函数，∴对称轴为y轴，且区间[2－2a，a]关于原点对称

，∵2－2a＋a＝02b－a＝0⇒a＝2b＝1，∴a－b＝1.故选A.2．答案：C解析：令g（x）＝f（x＋2），因为g（x）＝f（x＋2）为奇函数，所以g（0）＝f（2）＝0.故选C.3．答案：C解析：由已知，f（x）＝x3（a·2x－2－x），所以

f（－x）＝（－x）3（a·2－x－2x），函数f（x）为偶函数，所以f（x）＝f（－x），所以x3（a·2x－2－x）＝（－x）3（a·2－x－2x），整理得：（a－1）（2x＋2－x）x3＝0，所以a＝1.故选C.4．答案：BD解析：对于A，由1＋x1－x≥0且1－x

≠0，得－1≤x<1，则函数的定义域不关于原点对称，所以函数为非奇非偶函数，所以A错误；对于B，函数的定义域关于原点对称，当x>0时，－x<0，则f（－x）＝（－x）2－x＝x2－x＝－（－x2＋x）＝－f（x），当x<0时，－x>0，则f（－x）＝－（－x）2－x＝－

x2－x＝－（x2＋x）＝－f（x），综上f（－x）＝－f（x），所以f（x）为奇函数，所以B正确；对于C，由3－x2≥0且x2－3≥0，得x2＝3，得x＝±3，定义域关于原点对称，此时f（x）＝0，此函数既是奇函数又是偶

函数，所以C错误；对于D，由1－x2≥0且|x＋3|－3≠0，得－1≤x≤1且x≠0，则定义域关于原点对称，f（x）＝1－x2|x＋3|－3＝1－x2x，因为f（－x）＝1－（－x）2－x＝－1－x2x＝－f（x），所以此函数为奇函数，所以正确．故选BD.5．答案：1解析：因为f

（x）是奇函数，f（－e2）＝2，所以f（e2）＝－2，因为当x>0时，f（x）＝－ln（ax），所以f（e2）＝－ln（ae2）＝－2，所以ae2＝e2，解得：a＝1.6．答案：－12ln2解析：因为f（x）为

奇函数，所以f（0）＝0，f（2）＋f（－2）＝0，即ln|a＋1|＋b＝0①，ln|a－1|＋lna＋13＋2b＝0②.由①可得－b＝ln|a＋1|③.将③代入②可得，|（a－1）（a＋13）|＝|a＋1

|2.当（a－1）（a＋13）＝（a＋1）2时，解得a＝－12.把a＝－12代入①，可得b＝ln2，此时f（x）＝ln|－12＋11－x|＋ln2＝ln1＋x1－x，所以f（－x）＋f（x）＝ln1－x1＋x＋ln1＋x1－x＝ln1＝0，所以f（x）

为奇函数，且f（0），f（2），f（－2）均有意义．当（a－1）（a＋13）＝－（a＋1）2时，整理可得a2＋23a＋13＝0，此时Δ＝49－4×13<0，所以a无解．综上可得，a＝－12，b＝ln2.考点练15

奇偶性与单调性的综合1．答案：B解析：奇函数图象关于原点中心对称，在对称的区间上具有相同的单调性，故f（x）在区间[－7，－3]上是增函数，且f（－4）＝－f（4）＝－5.故选B.2．答案：D解析：因为函数f（x）是偶函数且在（－∞，0）上为增函数，故

函数f（x）在（0，＋∞）上为减函数，所以，f（－π）＝f（π）<f（3）<f（2）.故选D.3．答案：C解析：因为函数y＝f（x）的定义域是[－4，4]且为奇函数，且函数f（x）在[0，4]上单调递减，故函数f（x）在[－4，0]上单调递减，故函数f（x）在[－4，4]上为

减函数，由f（a＋1）>f（2a）可得a＋1<2a－4≤a＋1≤4－4≤2a≤4，解得1<a≤2.故选C.4．答案：D解析：因为函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（－∞，0）上是减函数，所以，函数f（x）在（0，＋∞）上是增函数，所以f（log2x）>0⇔f（|log2

x|）>f（1），即有|log2x|>1，所以log2x>1或log2x<－1，解得x>2或0<x<12.故选D.5．答案：BCD解析：对于A，f（－x）＝x2－x－2＝f（x），为偶函数，则A不符合题意；对于B，画出函数f

（x）＝x－1，x>0x＋1，x<0的图象，如图1，由图可知，B符合题意；对于C，画出函数f（x）＝x－1x的图象，如图2，由图可知，C符合题意；对于D，画出函数f（x）＝lnx，x>0－ln（－x），x<0的图象，如图3，由图可知，D符合题意．故选BCD.图

1图2图36．答案：log12|x|（不唯一）解析：性质①显然是和对数有关，性质②只需令对数的底0<a<1即可，性质③只需将自变量x加绝对值即变成偶函数．考点练16奇偶性、对称性、周期性与单调性的综合1．答案：C解析：∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（－x

）＝－f（x），∵f（x）关于x＝2对称，∴f（x＋2）＝f（－x＋2），∴f（6）＝f（4＋2）＝f（－4＋2）＝f（－2）＝－f（2）.∴f（6）＝－f（2）＝－22＝－4.故选C.2．答案：C解析：f（4－x

）＝f[2－（x－2）]＝f（x－2）＝－f（2－x）＝－f（x），即f（4－x）＋f（x）＝0，故f（x）关于（2，0）成中心对称，A错误；∵f（2－x）＝f（x），则f（x）关于x＝1成轴对称，B错误；根据题意可得：f（x）在（0，1）内单调递增，∵f（x）关于x＝1成

轴对称，（2，0）中心对称，则f（x）在（2，3）内单调递减；C正确；又∵f（x）＝f（2－x）＝－f（x－2），则f（x＋2）＝－f（x），∴f（x＋4）＝－f（x＋2）＝f（x），可知f（x）的周期为4，则f－72＝f1

2<f23，D错误．故选C.3．答案：C解析：根据函数的图象变换，由f（x＋1）为偶函数，f（x＋2）为奇函数，则直线x＝1，（2，0）分别为函数f（x）的对称轴与对称中心，即函数f（x）的对称轴的方程为x＝2n－1（n∈Z）与对称中心坐标

为（2n，0）（n∈Z），易知f（0）＝0，函数f（x）的周期T＝4，由f（0）＋f（3）＝6，则f（3）＝6，即f（1）＝－6，且f（2）＝0，可得方程：a＋b＝－64a＋b＝0，解得a＝2b＝－8，即当x∈[1，2]，f（x）＝2x

2－8，f112＝f32＋4＝f32＝2×322－8＝－72.故选C.4．答案：A解析：因为f（x＋y）＋f（x－y）＝f（x）f（y），令x＝1，y＝0可得，2f（1）＝

f（1）f（0），所以f（0）＝2，令x＝0可得，f（y）＋f（－y）＝2f（y），即f（y）＝f（－y），所以函数f（x）为偶函数，令y＝1得，f（x＋1）＋f（x－1）＝f（x）f（1）＝f（x），即有f（x＋2）＋f（x）＝f（x＋1），从而可知f（x＋2）＝－f（x－1），f（x

－1）＝－f（x－4），故f（x＋2）＝f（x－4），即f（x）＝f（x＋6），所以函数f（x）的一个周期为6.因为f（2）＝f（1）－f（0）＝1－2＝－1，f（3）＝f（2）－f（1）＝－1－1＝－2，f

（4）＝f（－2）＝f（2）＝－1，f（5）＝f（－1）＝f（1）＝1，f（6）＝f（0）＝2，所以一个周期内的f（1）＋f（2）＋…＋f（6）＝0，由于22除以6余4，所以＝f（1）＋f（2）＋f（3）＋f

（4）＝1－1－2－1＝－3.故选A.5．答案：BCD解析：因为定义在R上的函数f（x）满足f（x）＋f（－x）＝0，即f（－x）＝－f（x），故函数f（x）是奇函数，故A错误；因为f（x）＋f（x＋6）＝0，故f（x

＋6）＝－f（x），而f（－x）＝－f（x），所以f（x＋6）＝f（－x），即f（x）的图象关于x＝3对称，则x＝2是函数f（x＋1）的对称轴，故C正确；因为f（x＋6）＝f（－x），所以f（x＋12）＝－f（x＋6）＝f（x），故12是函数f（x）的周期；对任意的x

1，x2∈[－3，0]，当x1≠x2时，都有x1f（x1）＋x2f（x2）<x1f（x2）＋x2f（x1），即（x1－x2）·[f（x1）－f（x2）]<0，故x∈[－3，0]时，f（x）单调递减，又因为f（x）为奇函数，所以x

∈[0，3]时，f（x）单调递减，又因为f（x）的图象关于x＝3对称，故x∈[3，6]时，f（x）单调递增，因为12是函数f（x）的周期，故函数f（x）在[－9，－6]单调性与x∈[3，6]时的单调性相同，故函数f（x）在[

－9，－6]上单调递增，故B正确；作出函数f（x）的大致图象如图所示，结合图象可知12是函数f（x）的最小正周期，D正确．故选BCD.6．答案：f（x）＝（x＋1）2解析：由f（－3＋x）＝f（1－x）可得f（x）的对称轴为

x＝－1，由对于∀x1，x2∈[－1，＋∞）都有f（x1）－f（x2）x1－x2>0，可知：f（x）在[－1，＋∞）单调递增，故f（x）＝（x＋1）2，满足题意．考点过关检测3函数的概念与性质1．答案：B解析：要使函数有意义，则1－2x>0且2x＋1≠

0，解得x<12且x≠－12，故函数的定义域为（－∞，－12）∪（－12，12）.2．答案：D解析：f（1）＝ln1＝0，f（f（1））＝f（0）＝e0＝1.3．答案：B解析：设g（x）＝f（x）－2＝ax5＋bx3，则g（－x）＝－ax5－bx3＝－g（

x），即f（x）－2＝－f（－x）＋2，故f（－2）＝－f（2）＋4＝－3.4．答案：C解析：因为对∀x1，x2∈（0，＋∞），都有f（x1）－f（x2）x1－x2<0，所以f（x）在（0，＋∞）上单调递减，因为f（2－2m）>f

（1＋m），所以2－2m<1＋m2－2m>01＋m>0，解得m∈（13，1）.5．答案：C解析：由题意有f32＝－f－32＝f（－32＋2）＝f12，奇函数f（x）在[0，1]上为减函数，∴f（x）在[－1，1]上为减函数，1>12>14>－14>

－1，∴f12<f14<f－14，即f32<f14<f－14.故选C.6．答案：B解析：根据题意，函数f（x）满足f（1－x）＋f（1＋x）＝0，则f（－x）＋f（2＋x）＝0，又由f（x）为偶函数，则有f（x＋2）＝－f（x），则有

f（x＋4）＝－f（x＋2）＝f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数，f（1－x）＋f（1＋x）＝0，令x＝0可得f（1）＝0.f（2022）＝f（2）＝－f（0）＝－3，f（2023）＝f（3）＝－f（1）＝0，所以f（2022）＋f（2023）＝－3.故选B.7．答案：C解

析：∵f（x）为奇函数，∴f（－x）＝－f（x），又f（2）＝1，∴f（－2）＝－1，则－1≤f（x＋3）≤1可化为：f（－2）≤f（x＋3）≤f（2），∵f（x）在（－∞，＋∞）单调递增，∴－2≤x＋3≤2，解得：－5≤x≤－1，∴

x的取值范围为[－5，－1].故选C.8．答案：B解析：因为函数f（x＋2）为偶函数，则f（2＋x）＝f（2－x），可得f（x＋3）＝f（1－x），因为函数f（2x＋1）为奇函数，则f（1－2x）＝－f（2x＋1），所以f（1－x）＝－f（x＋1），所以f（x＋3）＝

－f（x＋1）＝f（x－1），即f（x）＝f（x＋4），故函数f（x）是以4为周期的周期函数，因为函数F（x）＝f（2x＋1）为奇函数，则F（0）＝f（1）＝0，故f（－1）＝－f（1）＝0，其它三个选项未知．故选B.9．答案：AC解析：易得四个函数定义域均为R，对于A，令f

（x）＝x2，则f（－x）＝（－x）2＝x2＝f（x），且在（0，＋∞）上单调递增，A正确；对于B，令g（x）＝|x－1|，g（－x）＝|－x－1|＝|x＋1|≠g（x），B错误；对于C，令h（x）＝|x|－1，h（－x）＝|－x|－1＝|x|－1＝h（

x），且在（0，＋∞）上单调递增，C正确；对于D，令m（x）＝2x，m（－x）＝2－x≠m（x），D错误．故选AC.10．答案：AC解析：函数f（x）＝x－bx2＋1是奇函数，定义域为R，则f（0）＝0，代入可得b＝0，故A正确；由f（x）＝x－bx2＋1＝xx2＋1＝1x＋1x

，对勾函数y＝x＋1x在（1，＋∞）上单调递增，所以f（x）＝1x＋1x在（1，＋∞）上单调递减，故B错误；由y＝x＋1x∈（－∞，－2]∪[2，＋∞），所以f（x）＝1x＋1x∈[－12，0）∪（0，12]，所以f（x）min＝－12，f（x）max＝12，故C正

确、D错误．故选AC.11．答案：AB解析：对于A选项，由于函数f（x）的定义域为[－2，2]，对于函数f（x－1），－2≤x－1≤2，解得－1≤x≤3，所以函数f（x－1）的定义域为[－1，3]，A选项正确；对于B选项，令t＝1－x≥0，则x＝1－t2，y＝2（1－t2）＋t＝－2（

t－14）2＋178≤178，且t＝14≥0时，取得等号，所以函数y＝2x＋1－x的值域为（－∞，178]，B选项正确；对于C选项，f（x）＝x2＋3x2＋2＝x2＋2＋1x2＋2≥2，当且仅当x2＋2＝1x2＋2时，即

x2＝－1等号取得，但等号取不到，所以C选项错误；对于D选项，y＝x1－x＝1－（1－x）1－x＝11－x－1＝1－（x－1）－1，所以函数y＝x1－x的单调增区间为（－∞，1）和（1，＋∞），单调区间之间不能用并集符号，D选项错误．故选AB.12．答案：B

D解析：由题意知偶函数f（x）满足f（x）＋f（2－x）＝0，则f（－x）＝f（x）＝－f（2－x），即f（x＋2）＝－f（x），故f（x＋4）＝－f（x＋2）＝f（x），故函数f（x）是以4为周期的周期函数，故A错误，B正确；令g（x）＝f（x－3），则g（－x）＝f（－x－3）＝f（

x＋3）＝f（x－1）＝f（x－3＋2）＝－f（x－3）＝－g（x），故函数f（x－3）是奇函数，由于此函数的函数值不一定恒为零，故一般情况下不是偶函数，C错误；令F（x）＝f（x－1），则F（－x）＝f（－x－

1）＝f（x＋1），由于f（x）＋f（2－x）＝0，故f（x＋1）＋f（1－x）＝0，即f（x＋1）＝－f（1－x）＝－f（x－1），所以F（－x）＝－F（x），即函数f（x－1）为奇函数，D正确．故选BD.13．答案：19解析：由y＝x在（0，2）上递增，y＝3（x－2

）在（2，＋∞）上递增，所以，由f（a）＝f（a＋2），则0<a<2，故a＝3a，可得a＝19（a＝0舍去）．14．答案：－3解析：由题意得，当x>0，－x<0时，f（x）＝－f（－x）＝－（－e－ax）＝e－ax，所以f（ln2）＝e－aln

2＝eln2－𝑎＝2－a＝8＝23，即2－a＝23，所以a＝－3.15．答案：（－3，0）∪（3，＋∞）解析：因为f（x）是偶函数，所以f（x）＋f（－x）2x<0等价于f（x）x<0，又f（x）在（0，＋∞）上单调递减，所以f（x）在（－∞，0）上

单调递增．由f（x）x<0得x<0f（x）>0，或x>0f（x）<0，又f（－3）＝0，所以f（3）＝0，由x<0f（x）>0f（－3）＝0得－3<x<0，由x>0f（x）<0f（3）＝0得

x>3，故解集为（－3，0）∪（3，＋∞）.16．答案：（1）（－∞，3a]（2）（－∞，0）∪（1，3]解析：（1）因为f（x）＝3－axa－1，a>1，所以3－ax≥0，即ax≤3，故x≤3a，所以f（x）的定义域为（－∞，3a].（2）当a－1>0，即a>1时，要使

f（x）在区间（0，1]上是减函数，需要y＝3－ax在（0，1]上是减函数，同时y＝3－ax≥0恒成立，即ymin≥0，因为a>1>0，即－a<0，所以y＝3－ax在（0，1]上是减函数显然成立，此时ymin＝3－a，则3

－a≥0，得a≤3，故1<a≤3；当a－1<0，即a<1时，要使f（x）在区间（0，1]上是减函数，需要y＝3－ax在（0，1]上是增函数，同时y＝3－ax≥0恒成立，所以－a>0，即a<0，此时y＝3－ax

≥0显然成立；综上：a<0或1<a≤3，即a∈（－∞，0）∪（1，3].考点练17二次函数的单调性与最值1．答案：B解析：因为y＝5－3x在[－1，1]上是减函数，所以y∈[2，8]，令5－3x＝t，所以t∈[2，22]，x＝5－t23，

所以g（t）＝2t＋5－t2＝－t2＋2t＋5（t∈[2，22]）.因为g（t）在[2，22]上单调递减，所以g（t）max＝g（2）＝－2＋22＋5＝3＋22，所以f（x）在区间[－1，1]上的最大值为3＋22.故选B.2．答案：D解析：函数f（x）＝x2－2

ax＋1－a图象的对称轴为x＝a，图象开口向上，（1）当a≤0时，函数f（x）在[0，2]上单调递增．则f（x）min＝f（0）＝1－a，由1－a＝－1，得a＝2，不符合a≤0；（2）当0<a<2时，则f（x）min＝f（a）＝a2－2a2＋1－a＝－a2－a＋1，

由－a2－a＋1＝－1，得a＝－2或a＝1，又0<a<2，∴a＝1符合；（3）当a≥2时，函数f（x）＝x2－2ax＋1－a在[0，2]上单调递减，∴f（x）min＝f（2）＝4－4a＋1－a＝5－5a，由5－

5a＝－1，得a＝65，又a≥2，∴a＝65不符合，综上可得a＝1.故选D.3．答案：A解析：当x>1时，x2＋16x－3a＝x2＋8x＋8x－3a≥33x2×8x×8x－3a＝12－3a，当且仅当x

2＝8x时，等号成立；即当x>1时，函数f（x）的最小值为12－3a，当x≤1时，f（x）＝x2－2ax＋9＝（x－a）2＋9－a2，要使得函数f（x）的最小值为f（1），则满足a≥1f（1）＝10－2a≤12－3a，

解得1≤a≤2，即实数a的取值范围是[1，2].故选A.4．答案：3解析：由题意，函数f（x）在[n，2]上为偶函数，所以n＋2＝0，解得n＝－2，又由f（x）的图象关于y轴对称，可得a＝0，可得f（x）＝x2＋1（－2≤x≤2），可得f（x）的最大值为5，即m＝5，所以a＋m＋n＝0＋

5－2＝3.5．解析：（1）设二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）.由f（0）＝3，可得c＝3.∵f（x＋1）＝f（1－x），∴二次函数f（x）的图象的对称轴方程为x＝1，即－b2a＝1，即2a＋b＝0.∵f（1）＝2，∴a＋b＋c＝2.联立可得

c＝3，2a＋b＝0，a＋b＋c＝2，解得a＝1，b＝－2，c＝3.故f（x）的解析式为f（x）＝x2－2x＋3.（2）①由条件可知g（x）＝x2－2mx＋3，其图象的对称轴方程为x＝m.∵g（x）在[－1，3]上具有单调性

，∴m≥3或m≤－1，即实数m的取值范围是（－∞，－1]∪[3，＋∞）.②g（x）＝x2－2mx＋3，x∈[－1，1]，其图象的对称轴方程为x＝m.当m>1时，∵g（x）在[－1，1]上单调递减，∴g（x）min

＝g（1）＝1－2m＋3＝－2m＋4；当m<－1时，∵g（x）在[－1，1]上单调递增，∴g（x）min＝g（－1）＝1＋2m＋3＝2m＋4；当－1≤m≤1时，g（x）min＝g（m）＝m2－2m2＋3＝－m2＋3.综上所述，g（x）min＝

－2m＋4，m>1，－m2＋3，－1≤m≤1，2m＋4，m<－1.考点练18二次函数的零点1．答案：C解析：二次函数y＝x2－2x＋m的开口向上，对称轴为x＝1，要使二次函数y＝x2－2x＋m在区间（1，＋∞）上有且仅有一个零点，则需1

2－2×1＋m<0，m<1，所以m的取值范围是（－∞，1）.故选C.2．答案：B解析：因为f（x）在（1，2）上单调递增，且f（x）的图象是连续不断的，所以f（1）＝1＋1＋m<0f（2）＝4

＋2＋m>0，解得－6<m<－2.故选B.3．答案：C解析：由x2－（a＋b）x＋ab＋1＝（x－a）（x－b）＋1＝0，令f（x）＝（x－a）（x－b）＋1，g（x）＝（x－a）（x－b），则g（x）＝f（x）－1，所以x1，x2为f（x）与x轴交点横坐标，且x1<x2，将f（

x）向下移动1个单位得到g（x），且g（x）与x轴交点横坐标为a，b且a<b，所以a<x1<x2<b.故选C.4．答案：B解析：当0<x<1时，[x]＝0，f（x）＝（a－1）x2－3且f（x）在（0，1）递增．因为f（0）＝－3<0，所以只须f（1）＝a－4>0，即a>

4时，f（x）在（0，1）上有一个零点．当1≤x<2时，[x]＝1，f（x）＝（a－1）x2＋x－3且f（x）在[1，2）递增，因为f（0）＝－3<0，故只须f（1）＝a－3≤0f（2）＝4a－5>0，即54<a≤3时，f（x）在[1，2）上有一个零点．

综上可得：a∈（54，3]∪（4，＋∞），f（x）在（0，2）上有一个零点．故选B.5．答案：（－∞，－2）解析：∵方程x2－（2－a）x＋5＋a＝0的一根大于1，另一根小于1，令f（x）＝x2－（2－a）x＋5＋a，则f（1）＝1－（2－a）＋5＋a<0，解得a<－2.6．答案：0解析：

设f（x）＝x2－2|x|－3，x∈R，所以f（－x）＝x2－2|x|－3＝f（x），则f（x）为偶函数，则f（x）＝x2－2x－3，x≥0x2＋2x－3，x<0，作出函数f（x）图象如图．若f（x）＝a有4个不相等实数根x1，x2，x3，x4，由f（x）是偶函数得x1

＋x4＝0，x2＋x3＝0，x>0时，x2－2x－3＝a的两根为x3，x4，则x3＋x4＝2，x<0时，x2＋2x－3＝a的两根为x1，x2，则x1＋x2＝－2，所以（x1＋x2）＋（x2＋x3）＋（x3＋x4）＝－2＋0＋2＝0.考点练19指数与对数的运算1．答案

：C解析：对于A，2－π<0，所以（2－π）2＝π－2，错误；对于B，因为－1a>0，所以a<0，则a－1a＝－（－a）·1－a＝－－a，错误；对于C，（m14n－38）8＝（m14）8（n－38）8＝m2n3，正确；

对于D，（x3－2）3＋2＝x9－2＝x7，错误．故选C.2．答案：B3．答案：C解析：lg0.001－log135×log59＋lne＋2－1＋log23＝lg10－3－（－log35×log532）＋lne12＋2log232＝－3＋2＋12＋32＝1.故选C.4．答案：ABD解析：对于A中，

原式＝32－1－32＝－1，所以A正确；对于B中，原式＝(12)log127＋ln（lne）＝7＋ln1＝7，所以B正确；对于C中，原式＝lg3lg2×lg22lg3＝lg3lg2×2lg2lg3＝2，所以C错误；对于D中，原式lg52＋23lg23－lg200＋lg2＝2（lg5＋

lg2）－lg2002＝2－2＝0，所以D正确．故选ABD.5．答案：ACD解析：由题设，10a＋b＝100，即a＋b＝2，A正确；10b－a＝254，即b－a＝lg254>lg244＝lg6，B错误，D正确；由a＝2l

g2，b＝2lg5，则ab＝4lg2lg5>4lg2lg4＝8（lg2）2，C正确．故选ACD.6．答案：13解析：因为32x＝2y＝27，所以x＝log3227，y＝log227，则1x＋1y＝1log3227＋1log227＝log2732＋log272＝log273＝13.

考点练20利用幂函数、指数函数、对数函数的单调性比较大小1．答案：A解析：构造f（x）＝5x可知f（x）单调递增，a＝50.3＝f（0.3）>f（0）＝1，∴a>1，构造g（x）＝0.3x可知g（x）单调递减，0<b＝0.35＝g（5）<g（0）＝1，∴0<b<1，

构造h（x）＝log0.3x可知h（x）单调递减，c＝log0.35＝h（5）<h（1）＝0，∴c<0，所以a>b>c.故选A.2．答案：D解析：依题意loga13>logb13>0，－loga3>－logb3>0，loga3<logb3<0，所以a∈（0，1），b∈（0，1）

，lga<0，lgb<0，lg3lga<lg3lgb，1lga<1lgb，lga>lgb，由于y＝lgx在（0，＋∞）上递增，所以a>b>0，综上所述，得0<b<a<1.故选D.3．答案：D解析：因为y＝0.3x以及y＝0

.5x是R上的单调减函数，故可得0.30.3>0.30.5，0.50.3>0.50.5，即a>b，c>d；又因为a＝0.30.3＝0.0270.1，d＝0.50.5＝0.031250.1，而y＝x0.1是（

0，＋∞）上的单调增函数，则0.031250.1>0.0270.1，即d>a.故c>d>a>b.故选D.4．答案：B解析：∵f（x）是R上的偶函数，∴flog314＝f（log34）.∵log34>log33＝1，1＝20>2－23>2－32，

∴log34>2－23>2－32，又f（x）在（0，＋∞）单调递增，∴f（log34）>f2－23>f2－32，∴f2－32<f2－23<flog314.故选B.5．答案：BC解析：对

于A，∵幂函数y＝xm（0<m<1）在（0，＋∞）单调递增，∴根据a>b>1可知am>bm，故A错误；对于B，∵指数函数y＝mx（0<m<1）在R上单调递减，∴根据a>b>1可知ma<mb，故B正确；对于C，∵对数函数y＝logmx（0<m<1）在（0，＋∞）上单调递减，∴根据a>b>1可

知logma<logmb，故C正确；对于D，由C可知logma<logmb<0，∴1logma>1logmb，即logam>logbm，故D错误．故选BC.6．答案：b<a<c解析：log33<log34<log39，所以1<a<2，πb＝3，所

以b＝logπ3，logπ1<logπ3<logππ，所以0<b<1，c3＝9>23，所以c>2，所以b<a<c.考点练21与幂函数、指数函数、对数函数相关的方程或不等式1．答案：C解析：由log2a>log2b结合函数y＝log2x是（0，＋∞）上的增

函数，可得a>b>0，由13a<13b结合函数y＝13x是R上的减函数，可得a>b，故“log2a>log2b”是“13a<13b”的充分不必要条件．故选C.2．答案：C解析：因为4x>0，所以

logax>0，又0<x≤12，∴0<a<1，在同一坐标系内作出y＝4x与y＝logax的图象，依据图象特征，只需满足loga12>412＝2，∴12<a2，∴22<a<1.故选C.3．答案：AD解析：f（1）＝e0＝1，因为2f（1）＋f（a）＝3，所以f（a）＝1，当a<0时，f（a）＝lg（

－a）＝1，解得：a＝－10，当a>0时，f（a）＝ea－1＝1，解得：a＝1.故选AD.4．答案：ACD解析：因为a>b>0，且ab＝4，对A，a－b>0，所以2a－b>20＝1，故A正确；对B，取a＝83，b＝32，所以log2a－log2b＝log2ab＝log2169

<log22＝1，故B错误；对C，2a＋2b≥22a·2b＝22a＋b，当且仅当a＝b取等号，又因为a＋b≥2ab＝4，当且仅当a＝b取等号，所以2a＋2b≥22a＋b≥224＝8，当且仅当a＝b取等号，因为a>b>0，所以不能取等号，故C正确；对D，当a>1>b>0，log2a>0，log2

b<0，所以log2a·log2b<1；当a>b>1，log2a>0，log2b>0，所以log2a·log2b≤（log2a＋log2b）24＝（log2ab）24＝1，当且仅当a＝b取等号，因为a>b>0，所以不能取等号，故D正确．故选ACD.5．答案

：[－1，15）解析：由题意，当x≤1时，令2x＋1＝4，可得x＋1＝2，即x＝1，为一个根；当x>1时，令log2（x＋a）＝4，解得x＋a＝24＝16，即x＝16－a>1，故a<15，又x>1时，y＝log2（x＋a）有意义，故1＋

a≥0，即a≥－1；综上：实数a的取值范围为[－1，15）.6．答案：（4，＋∞）解析：由f（a）＝f（b），得到|lga|＝|lgb|，因为0<a<b，所以lga<0，lgb>0，于是－lga＝lgb，所以lga＋lgb＝0，即lg

ab＝0，所以ab＝1，于是b＝1a>a，所以a∈（0，1），所以a＋3b＝a＋3a，因为函数y＝a＋3a在（0，1）上为减函数，所以a＋3a∈（4，＋∞），由题意，存在0<a<b，使得m≥a＋3b成立，所

以m>4.考点练22常见复合函数的图象与性质1．答案：A解析：－x2＋4x＝－x（x－4）>0，解得0<x<4，所以f（x）的定义域为（0，4），y＝－x2＋4x的开口向下，对称轴为x＝2，根据复合函数单调性同增异减可知，f（x）的单调递增区间是[2，4）.故选A.2．答案：B解析：f（x）＝3

x－13x定义域为R，且f（－x）＝3－x－13－x＝13x－3x＝－f（x），所以f（x）＝3x－13x为奇函数，又y＝3x与y＝－13x在定义域上单调递增，所以f（x）＝3x－13x在R上单调递增．故选B.3．答案：ABC解析：由题意知，

f（x）＝lnx＋ln（2－x）的定义域为（0，2），f（x）＝ln[x（2－x）]＝ln[－（x－1）2＋1]，由复合函数的单调性知，函数f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，2）上单调递减，所以A

，B正确；∵函数f（x）＝lnx＋ln（2－x），∴f（2－x）＝ln（2－x）＋lnx，即f（x）＝f（2－x），即y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称，所以C正确，D错误．故选ABC.4．答案：BD解析：选项A，ex－e－x≠0

，解得x≠0，故f（x）的定义域为{x|x≠0}，选项A错误；选项B，函数定义域关于原点对称，且f（－x）＝e－x＋exe－x－ex＝－f（x），故f（x）是奇函数，选项B正确；选项C，f（－1）＝e－1＋ee－1－e＝e2＋11－e

2<0，f（1）＝e＋e－1e－e－1＝e2＋1e2－1>0，故f（－1）<f（1），即f（x）在定义域上不是减函数，选项C不正确；选项D，f（x）＝ex＋e－xex－e－x＝e2x＋1e2x－1＝1＋2e2x－1，

令t＝e2x>0，y＝1＋2t－1，由于t＝e2x在R上单调递增，y＝1＋2t－1在（0，1），（1，＋∞）分别单调递减，故函数f（x）在（－∞，0），（0，＋∞）分别单调递减，且x→－∞时，f（x）→－1，x→0－时，f（x）→－∞，x→0＋时，f（x）→＋

∞，x→＋∞时，f（x）→1，故函数f（x）的值域为（－∞，－1）∪（1，＋∞），无最小值，无最大值，选项D正确．故选BD.5．答案：[14，＋∞）－2解析：当a＝1时，f（x）＝2𝑥2＋4𝑥＋2，设t＝x2＋4x＋2，则t＝（x＋2）2－2≥－2，因为y＝2x在R上是增函数，所

以2𝑥2＋4𝑥＋2≥2－2＝14，即f（x）≥14，所以函数的值域是[14，＋∞）；要使函数f（x）的最大值为16，则t＝ax2＋4x＋2的最大值为4，故a<04a×2－424a＝4，解得a＝－2.6．答案：（0，23]∪

（1，43）解析：令t（x）＝2x－ax2，则t（x）>0，当a>1时，y＝logax是增函数，由f（x）＝loga（2x－ax2）在区间（1，32]上为减函数，则t（x）＝2x－ax2在（1，32]上为减函数，故1a≤

1t32>0a>1，即1a≤13－94a>0a>1，解得1<a<43；当0<a<1时，y＝logax是减函数，由f（x）＝loga（2x－ax2）在区间（1，32]上为减函数，则t（x）＝2x－ax2在（1，32]上为增函数，故1a≥32t（1）≥

00<a<1，即1a≥322－a≥00<a<1，解得0<a≤23，综上，a的取值范围是（0，23]∪（1，43）.考点练23函数图象的识别与应用1．答案：D解析：设f（x）＝x2＋1xln|x|，显然x≠0且x≠±1，因为f（－x）

＝x2＋1－xln|x|＝－x2＋1xln|x|＝－f（x），所以该函数是奇函数，又因为x2＋1>0，所以函数没有零点，排除B、C；当x＝e时，f（e）＝e＋1e>0.故选D.2．答案：C解析：f（x）＝|lg|x||图象如图所示

，根据图象得：f（x）＝|lg|x||<1的解为（－10，－110）∪（110，10），将x换成x－1得（－9，910）∪（1110，11）.故选C.3．答案：D解析：由题图：f（x）的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），排除A；

当f（x）＝ex＋e－xx3，f（－x）＝e－x＋ex（－x）3＝－e－x＋exx3＝－f（x），故f（x）＝ex＋e－xx3是奇函数，排除B.当f（x）＝x2ex－e－x，f（－x）＝（－x）2e－x－ex＝－x2ex－e－x＝－f（x），故f（x）＝

x2ex－e－x是奇函数，排除C.故选D.4．答案：ABD解析：由题意知1－|x|≠0，则x≠±1，当x∈（0，1）时，1－|x|>0，xα>0，f（x）>0，当x∈（1，＋∞）时，1－|x|<0，xα>0，f（x）<0，所以f（x）的大致图象不可

能为C，而当α为其他值时，A，B，D均有可能出现，不妨设α＝12，定义域为[0，1）∪（1，＋∞），此时A选项符合要求；当α＝1时，定义域为{x|x≠±1}，且f（－x）＝－x1－|－x|＝－x1－|x|＝－f（x），故函数f（x）＝x1－|x|为奇函数，所以B选项符合要求，当α＝2时，定义域

为{x|x≠±1}，且f（－x）＝（－x）21－|－x|＝x21－|x|＝f（x），故函数f（x）＝x21－|x|为偶函数，所以D选项符合要求．故选ABD.5．答案：（0，1）解析：y＝|2x－1|＝2x－1，x≥0－2x＋

1，x<0，作出其图象，数形结合可知，a∈（0，1）.6．答案：（2，4）解析：f（x）＝|log2x|，0<x<2－12x＋2，x≥2，画出函数图象，如图所示：不妨设a<b<c，其中－log2a＝log2b，故ab＝1，且c∈（2，4），

所以abc的取值范围是（2，4）.考点练24嵌套函数的零点问题1．答案：A解析：由图可知，图①为f（x）的图象，图②为g（x）的图象，m∈（－2，－1），n∈（1，2），∴方程f（g（x））＝0⇔g（x）＝－1或g（x）＝0或g（x）＝1

⇔x＝－1，x＝1，x＝m，x＝0，x＝n，x＝－2，x＝2，∴方程f（g（x））＝0有7个根，即a＝7；而方程g（f（x））＝0⇔f（x）＝m（舍）或f（x）＝0或f（x）＝n（舍）⇔f（x）＝0⇔x＝－1，x＝0，x＝1，∴方程g（f

（x））＝0有3个根，即b＝3.∴a＋b＝10.故选A.2．答案：B解析：下面解方程：f（t）＝2，当t≤0时，t2＋t＝2，得t＝－2或1（舍去），当t>0时，log2（x＋1）＝2，得t＝3，所以f（t）＝2的两根为t1＝－2，t2＝3，由f（f（x））＝2得f（x）＝－2或f（x

）＝3，若f（x）＝－2，则当x≤0时，x2＋x＝－2无解，当x>0时，log2（x＋1）＝－2无解；若f（x）＝3，则当x≤0时，x2＋x＝3解得x1＝－1－132，当x>0时，log2（x＋1）＝3解得x2＝7，所以y＝f（f（x））－2的零点个数共有两个．故选B.3．答案：AC解析：

根据函数的图象，函数f（x）的图象与x轴有3个交点，所以方程f（g（x））＝0有且仅有三个解；函数g（x）在区间上单调递减，所以方程g（g（x））＝0有且仅有一个解．对于D：方程f（f（x））＝0，即f（x）＝－b或f（x）＝0，或f（x）＝b，因为f（x）＝0有三个解，当b>c时f（x

）＝b或f（x）＝－b只有一个解，故f（f（x））＝0有5个解，故D错误；对于B：方程g（f（x））＝0，即f（x）＝b，当b>c时f（x）＝b只有一个解，故g（f（x））＝0只有1个解，故B错误．故选AC.

4．答案：ABC解析：作出函数f（x）的图象如图，关于x的方程f2（x）＋mf（x）－4＝0有6个不同根，令t＝f（x），t2＋mt－4＝0，即方程t2＋mt－4＝0有2个不同的解，可能一个在（0，4]上，一个在（－5，0）上，也可能两个都在（4，＋∞）上．令g（t）＝t2＋mt

－4，若g（t）在（0，4]上和（－5，0）上各有一个不同的零点，所以g（－5）>0g（0）<0g（4）≥0，解得－3≤m<215，所以整数m的取值可以是－3，－2，－1，0，1，2，3，4.若g（t）在（4，＋∞）有两个不同的零

点，所以－m2>4m2＋16>0g（4）>0，该不等式组无解．故选ABC.5．答案：－1解析：根据题意，作出函数f（x）的图象如图所示．由关于x的方程f2（x）＋af（x）＋b＝0（a，b∈R）

有且仅有7个不同实数根，结合图象，令t＝f（x），则关于t的方程t2＋at＋b＝0有两个根，且t1＝1，14<t2<1，故12＋a＋b＝0，即a＋b＝－1.考点过关检测4基本初等函数与函数的应用1．答案：C解析：a＝log52<log55＝12＝log822<log83

＝b，即a<c<b.故选C．2．答案：B解析：∵y＝|2x－2|＝2x－2，x≥12－2x，x<1，∴x＝1时，y＝0，x≠1时，y>0.故选B.3．答案：D解析：因为a13<1，故a133<13，即a<1，故求解loga13<1有loga1

3<logaa，即0<a<13，又13a<130，解得a>0.故a∈（0，13）.故选D.4．答案：A解析：由y＝12u在定义域上递减，要使f（x）有最大值，则u＝ax2－2x＋3在定义域上先减后增，当f（x）max＝2，则u＝ax2－2x＋3的

最小值为－1，所以a>03－1a＝－1，可得a＝14.故选A.5．答案：B解析：a>0且a≠1，函数ax与－a－x在R上有相同的单调性，即函数f（x）＝ax－a－x与函数ax在R上有相同的单调

性，因此函数ax在R上单调递增，a>1，在g（x）＝loga（x2＋2x－3）中，x2＋2x－3>0，解得x<－3或x>1，显然函数y＝x2＋2x－3在（－∞，－3）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增，所以函数g（x）＝loga（x2＋2x－3）的单调递增区间为（

1，＋∞）.故选B.6．答案：B解析：因为R0＝3.28，T＝6，R0＝1＋rT，所以r＝3.28－16＝0.38，所以I（t）＝ert＝e0.38t，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为t1天，则e0.38（𝑡＋𝑡1）＝2e0.38t，

所以e0.38𝑡1＝2，所以0.38t1＝ln2，所以t1＝ln20.38≈0.690.38≈1.8天．故选B.7．答案：D解析：令g（x）＝x2－ax＋3a，∵f（x）＝log0.5（x2－ax＋3a）

在[2，＋∞）上单调递减，∴g（x）在（2，＋∞）内递增，且恒大于0，∴a2≤2且g（2）>0，∴－4<a≤4.故选D.8．答案：B解析：令t＝f（x），g（x）＝0，则f（t）－2t＋1＝0，即f（t）＝2t－1，分别作出函数y＝f（t）和直线y＝2t－1的图象，如图1所示，由图象可得有两个

交点，横坐标设为t1，t2，则t1＝0，1<t2<2，对于t＝f（x），分别作出函数y＝f（x）和直线y＝t2的图象，如图2所示，由图象可得，当f（x）＝t1＝0时，即方程f（x）＝0有两个不相等的根，当t2＝f（x）时，函数y＝f（x）和直线y＝t2有三个交点，即方程t2＝f（x）有三个不相等

的根，综上可得g（x）＝0的实根个数为5，即函数g（x）＝f（f（x））－2f（x）＋1的零点个数是5.故选B.图1图29．答案：BD解析：设4x＝25y＝100z＝m>1，则x＝log4m，y＝log25m，z＝log100m，所以1x＋1y＝logm4＋logm25＝logm100＝1z.

所以xy＝xz＋yz.故选BD.10．答案：ABC解析：g（x）＝3x∈（0，＋∞），而h（x）＝－3－x∈（－∞，0），所以f（x）＝3x－3－x值域为R，A正确，D错误；因为g（x）＝3x是递增函数，而h（x）＝－3－x是递增函数，所以f（x）＝3x－3－x是递增函数

，B正确；因为定义域为R，且f（－x）＝3－x－3x＝－f（x），所以f（x）是R上的奇函数，C正确．故选ABC.11．答案：BCD解析：因lnb<lna<0，则0<b<a<1，于是有b2<a2，A不正确；1a－1b＝b－aab<0，即1

a<1b，B正确；由0<b<a<1得：log3b<log3a<0⇔1logb3<1loga3<0，因此，loga3<logb3，C正确；因0<b<a<1，函数y＝ax在R上单调递减，函数y＝xa在（0，＋∞）上单调递增，则ab>aa>ba，D正确．故选BCD.12．答案：ABD解析：根

据图象变换作出函数f（x）的图象（f（x）＝|ln|2－x||＝|ln|x－2||，作出y＝lnx的图象，再作出其关于y轴对称的图象，然后向右平移2个单位，最后把x轴下方的部分关于x轴翻折上去即可得），如图，由图象知f（x）在（1，2）是单

调递增，A正确，函数图象关于直线x＝2对称，B正确；f（x1）＝f（x2）＝k，直线y＝k与函数f（x）图象相交可能是4个交点，如图，如果最左边两个交点横坐标分别是x1，x2，则x1＋x2＝4不成立，C错误，f（x）与x轴仅

有两个公共点，即函数仅有两个零点，D正确．故选ABD.13．答案：1解析：18－23－log25·log58＝（23）23－3log25·log52＝4－3×lg5lg2×lg2lg5＝4－3＝1.14．答案：2

，12或－1解析：函数f（x）＝|log2x|，x>012x－1，x≤0，故当x>0时，f（x）＝|log2x|＝1，即log2x＝±1，解得x＝2或x＝12；当x≤0时，f（x）＝12x－1＝1，解得x＝－1.综上，x＝2，12或－1.15．

答案：2解析：∵a>1，所以，函数f（x）在区间[a，2a]上为增函数，由已知条件可得loga（2a）＝3logaa＝logaa3，∴a3＝2a，∵a>1，解得a＝2.16．答案：{x|1<x<4}（1，3]∪（4，＋∞）解析：当

λ＝2时函数f（x）＝x－4，x≥2x2－4x＋3，x<2，显然x≥2时，f（x）<0即x－4<0，所以解得{x|2≤x<4}；x<2时，不等式f（x）<0化为：x2－4x＋3<0，解得1<x<2，综上，不等式f（x）<0的解集为：{x|1<x<4}．函数f（x）＝x－4

，x≥λx2－4x＋3，x<λ的草图如图所示．函数f（x）恰有2个零点，则1<λ≤3或λ>4.单元过关检测二函数与基本初等函数1．答案：A解析：对于A：由幂函数的性质可知y＝x－1是奇函数且在（0，＋∞）上为减函数，故A正确；对于B：由幂函数的性质可知

y＝x3是奇函数且在（0，＋∞）上为增函数，故B错误；对于C：易知y＝3－x是非奇非偶函数，故C错误；对于D：易知y＝12x是非奇非偶函数，故D错误．2．答案：A解析：因为a＝243＝1613，b＝425＝1615，c＝2513，

且幂函数y＝x13在R上单调递增，因为25>16，所以2513>1613，即a<c，指数函数y＝16x在R上单调递增，因为13>15，所以1615<1613，所以b<a，综上，b<a<c.故选A.3．答案：A解析：f（f（0））＝f（3）＝log28＝3.故选A.

4．答案：B解析：解不等式13x>13，得x<1，解不等式x2<1，得－1<x<1，又（－1，1）⊆（－∞，1），所以不等式13x>13成立是不等式x2<1成立的必要不充分条件．故选B.5．答

案：A解析：f（0）＝0－log2（40＋1）＝－1<0，排除C选项.4x＋1>0，f（x）的定义域为R，f（－x）＝－x－log2（4－x＋1）＝－x－log24x＋14x＝－x－[log2（4x＋1）－log24x]＝－x＋2x－log2（4

x＋1）＝x－log2（4x＋1）＝f（x），所以f（x）是偶函数，排除D选项．f（1）＝1－log2（41＋1）＝1－log25<1－log24＝－1＝f（0），所以B选项错误，故A选项正确．故选A.6．答案：D解析：由于

a，b，c都是正数，故可设4a＝6b＝9c＝M，∴a＝log4M，b＝log6M，c＝log9M，则1a＝logM4，1b＝logM6，1c＝logM9.∵logM4＋logM9＝2logM6，∴1a＋1c＝2b，即1c＝2b－1a.故选D.∵1a＋1c＝2b，即bc＋ab＝2

ac，故A、B错误．7．答案：B解析：由题意，采摘后20小时，这种蔬菜失去的新鲜度为20%，采摘后30小时，这种蔬菜失去的新鲜度为40%，可得h（20）＝ma20＝0.2h（30）＝ma30＝0.4，解得a＝2110，m＝0.05，所以h（t）＝0.05×

2110t，令h（t）＝0.05×2110t＝0.5，可得2t10＝10，两边同时去对数，故t＝10·lg10lg2＝100.3≈33小时．8．答案：B解析：因为f（x）＝|2x－6|，x≥03x＋6，x<0，即f（x）＝3x＋6，

x<06－2x，0≤x≤32x－6，x>3，设f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝t，x1<x2<x3，作出函数f（x）的图象如图所示：由图象可知，点（x2，f（x2））、（x3，f（x3））关于直线x＝3对称，则x2＋x3＝6，由图可知，x1∈（－2，0），因此

，x1＋x2＋x3＝x1＋6∈（4，6）.9．答案：ACD解析：y＝x＋2的定义域为R.对于A，y＝（x＋2）2的定义域为[－2，＋∞），与y＝x＋2的定义域不同，不是同一函数；对于B，y＝3x3＋2＝x＋2定义域为R，与y＝x＋2定义域相同，对应关系相同

，是同一函数；对于C，y＝x2x＋2的定义域为{x|x≠0}，与y＝x＋2定义域不同，不是同一函数；对于D，y＝x2＋2＝|x|＋2＝x＋2，x≥0－x＋2，x<0，与y＝x＋2的对应关系不同，不是同一函数．故选ACD.10．答案：ACD解析：由题意知f（x）的定义域为R，因为f

（x）＋f（－x）＝lg100＝2，所以f（x）的图象关于（0，1）对称，故A正确；因为g（x）的定义域为R，且g（x）＋g（－x）＝2，所以g（x）的图象关于（0，1）对称，故B不正确；因为F（x）＝f

（x）＋g（x），所以F（x）的图象关于（0，2）对称，所以对任意的x∈[－a，a]（a>0），F（x）最大值与最小值之和为4，故C正确；由F（x－3）＋x－3x－1<1，得F（x－3）＋x－3x－1－1＝F（x－3）－

2x－1<0，又F（x）在R上单调递减，且F（0）＝2，所以x－3>0x－1>0或x－3<0x－1<0，解得x>3或x<1，故D正确．故选ACD.11．答案：BD解析：f－12＝－12－[－12]＝－12－（－1）＝12，f12＝12－[12]＝12－0＝12

，故f12＝f－12，故A错误；∵函数f（x）的定义域为R，又∵f（x＋1）＝（x＋1）－[x＋1]＝x－[x]＝f（x），∴函数f（x）＝x－[x]是周期为1的函数，当0≤x<1时，f（x）＝x－[x]＝x

－0＝x，则作出其图象如图所示，故函数f（x）在定义域上不具有单调性，故B正确；由图得其值域为[0，1），故C错误；令y＝12022，根据其为周期为1的函数，可得到两函数有无数个交点，故方程f（x）＝12022存在无数个实数根，故D正确．故选BD.12．答案：AC解析：当a>0时，

令f（x）＝t，由f（t）＋1＝0，解得t＝13或t＝3或t＝－2a.作出函数f（x）的图象，如图1所示，易得f（x）＝t有4个不同的实数解，即当a>0时，g（x）有4个零点．故A正确，B错误；当a<0时，令f（x）＝t，所以f（t）＋1＝0，解得t＝13或t＝3或t＝－2a（舍）.作出函数

f（x）的图象，如图2所示，易得f（x）＝t有1个实数解，即当a<0时，g（x）有1个零点．故C正确，D错误．故选AC.13．答案：－1e2解析：由f（x）是奇函数，则f（－e）＝－f（e）＝－1，∴

f（－e）＝lna（－e）＝－1.则a＝－1e2.14．答案：2解析：由题意，函数y＝ax（a>0，a≠1）在区间[0，1]上的最大值与最小值之和为3，①当a>1时，函数y＝ax单调递增，故ymax＝a1＝

a，ymin＝a0＝1，故a＋1＝3，∴a＝2；②当1>a>0时，函数y＝ax单调递减，故ymax＝a0＝1，ymin＝a1＝a，故a＋1＝3，∴a＝2（舍去），综上：a＝2.15．答案：f（x）＝x4

（答案不唯一，f（x）＝x2n（n∈N*）均满足）解析：取f（x）＝x4，则f（x1x2）＝（x1x2）4＝x41x42＝f（x1）f（x2），满足①，f′（x）＝4x3，x>0时有f′（x）>0，满足②，f′（x）＝4x3的定义域

为R，又f′（－x）＝－4x3＝－f′（x），故f′（x）是奇函数，满足③.16．答案：5（1，2]解析：当a＝2时，f（4）＝3＋log24＝3＋2＝5；若函数的值域是[4，＋∞），故当x≤2时，满足f（x）＝6－x≥4，当x

>2时，由f（x）＝3＋logax≥4，所以logax≥1，若0<a<1，当x>2时，logax<0不成立；若a>1，函数y＝logax为增函数，所以loga2≥1⇔loga2≥logaa⇒1<a≤2，所以实数a的取值范围是1<a≤2.17．解析：（1）将A（1，6）代

入f（x）得：a2＋a－6＝0，解得a＝2或a＝－3（舍），故f（x）＝22x－2x＋4.（2）易知f（x）＝2x－122＋154≥154，当x＝－1时取等号，故f（x）的最小值为154.19．解析：（1）因为

函数f（x）＝lnx－m与y＝ex在（1e，1）都是增函数，所以函数g（x）＝f（x）＋ex＝lnx＋ex－m在（1e，1）也是增函数，因为函数g（x）在区间（1e，1）内存在零点，所以ln1e＋1－m<0，ln1＋e－m>0，解得0

<m<e.所以实数m的取值范围为（0，e）.（2）关于x的方程f（ex＋1）＝x2有实数根等价于关于x的方程2m＝2ln（ex＋1）－x有实数根，所以存在实数x使2m＝ln（ex＋1）2－lnex＝ln（ex＋1）2ex＝ln（ex＋1ex＋2）成立．因为ex＋1ex≥2ex·1ex＝

2（当且仅当ex＝1ex，x＝0时取等号），所以ln（ex＋1ex＋2）≥ln（2＋2ex·1ex）＝2ln2，所以实数m的取值范围是[ln2，＋∞）.20．解析：（1）当0<x≤5时，L（x）＝60x－（30x－x22）－30＝x

22＋30x－30；当5<x≤100时，L（x）＝60x－61x－100x＋3752－30＝3152－（x＋100x），综上所述，L（x）＝x22＋30x－30，0<x≤5，3152－x＋

100x，5<x≤100.（2）当0<x≤5时，L（x）max＝L（5）＝2652；当5<x≤100时，L（x）＝3152－（x＋100x），L（x）在（5，10）上单调递增，在（10，＋∞）上单调递减；此时L（x）max＝L（10）＝2

752，所以当x＝10，即今年年产量为10万本时，该企业所获利润最大，且最大利润为2752万元．21．解析：（1）f（1）－f（0）＝2得log2（1－2a＋4）－log2（1－a＋1）＝log24⇒log2（5－2

a）＝log24（2－a）⇒5－2a＝8－4a⇒a＝32.（2）log2（1－a·2x＋4x）≥x－1＝log22x－1⇒1－a·2x＋4x≥2x－1⇒a≤2x＋12x－12，令t＝2x，∵x∈[1，＋∞），∴t∈[2，＋∞），设h（t）＝t＋1t－12，

则a≤h（t）min，∵h（t）在[2，＋∞）上为增函数⇒t＝2时，h（t）＝t＋1t－12有最小值为2，∴a≤2.22．解析：（1）依题意，函数f（x）＝12x＋a·2－x，因f（x）是R上的偶函数，即∀x∈R，f（－x）＝f（x），因此，∀x∈R，2x＋a·2－x＝2－

x＋a·2x⇔（2x－2－x）a＝2x－2－x，而当x≠0时，2x－2－x≠0，于是得a＝1，所以a的值是1.（3）依题意，f（－x2＋4x－7）<f（x2－x＋1）⇔f（x2－4x＋7）<f（x2－x＋1），而x2－4x＋7＝（x－2）2＋3>0，x2－x＋1＝（x－12）2

＋34>0，由（2）知，x2－4x＋7>x2－x＋1，解得x<2，所以原不等式的解集是（－∞，2）.滚动过关检测一第一章～第二章1．答案：A解析：由题设，A＝{x|－1≤x≤7}，B＝{x|x<2或x>4}，所以

A∩B＝{x|－1≤x<2或4<x≤7}．故选A.2．答案：C解析：A.若a>b，当c＝0时，ac2＝bc2，所以选项A不成立；B.若ac>bc，当c<0时，则a<b，所以选项B不成立；C.因为ab<0，将a>b两边同除以ab，则1a>1

b，所以选项C成立；D.如果a＝2，b＝－1，满足a2>b2，但是1a>1b，所以选项D不成立．故选C.3．答案：A解析：b＝log47＝log27，因为函数y＝log2x为（0，＋∞）上的增函数，2<7<3，所以log22<log27<log23，故1<b<a，又y＝2x为R上的

增函数，－2<－2<－1，所以2－2<2－2<2－1，即14<c<12，所以a>b>c.故选A.4．答案：B解析：由y＝（ex－1）（x－1x）ex＋1，则该函数的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），将－x代入该函数，可得y＝（e－x－1）（－x－1－x）e－x＋1＝－（1ex－1

）（x－1x）1ex＋1＝－（1－ex）（x－1x）1＋ex＝（ex－1）（x－1x）ex＋1，故该函数为偶函数，则C、D错误；将x＝12代入函数，可得y＝（e－1）（12－2）e＋1＝－3（e－1）2（e＋1）<

0，故A错误，B正确．故选B.5．答案：A解析：令x2<－x2＋x得0<x<12，所以m（x）＝x2，x∈（0，12）－x2＋x，x∈（－∞，0]∪[12，＋∞）.当x∈（0，12）时，m（x）max<m12＝14，当x∈（－∞，0]∪[12，＋∞）时，m（x）max＝m

12＝14，综上所述，m（x）max＝14.故选A.6．答案：B解析：因为函数y＝f（x）是奇函数，所以f（－x）＝－f（x），且f（0）＝0，当x<0时，则－x>0，则f（－x）＝2－x－2＝－f（x），所以当x<0

时，f（x）＝－2－x＋2，则x>0f（x）＝2x－2>0，解得x>1，x<0f（x）＝－2－x＋2>0，解得－1<x<0，所以不等式f（x）>0的解集是（－1，0）∪（1，＋∞）.故选B.7．答案：A解析：－f（－x）＝－e－x－1e－x＋1＝－1－exexex

＋1ex＝ex－1ex＋1＝f（x），故f（x）是奇函数．又f（x）＝ex＋1－2ex＋1＝1－2ex＋1，由复合函数单调性可知f（x）单调递增．故选A.8．答案：A解析：若不等式4x＋1＋1y<m2＋32m有解，则m2＋32m>（4x＋1＋1y）

min，4x＋1＋1y＝12（4x＋1＋1y）（x＋1＋y）＝12（5＋4yx＋1＋x＋1y）≥12（5＋24yx＋1·x＋1y）＝12（5＋2×2）＝92，当且仅当4yx＋1＝x＋1yx＋y＝1即x＝13y＝23时，4x＋1＋1y最小值

为92，所以m2＋32m>92，即2m2＋3m－9>0，所以（2m－3）（m＋3）>0，解得：m<－3或m>32.故选A.9．答案：ACD解析：函数f（x）＝x定义域为R，函数g（x）＝（x）2的定义域为[0，＋∞），所以两个函数的定义域不相同，所以两个函

数不是相同函数；所以A不正确；命题“∃x∈[0，1]，x2＋x≥1”的否定为“∀x∈[0，1]，x2＋x<1”，满足命题的否定形式，所以B正确；函数y＝sinx＋4sinx（0<x<π2），因为0<x<π2，所以0<si

nx<1，可知y＝sinx＋4sinx>2sinx·4sinx＝4，所以函数没有最小值，所以C不正确；设函数f（x）＝2x＋2，x<0，2x，x≥0，两段函数都是增函数，并且x<0时，x→0，f（x）→2

，x≥0时，函数的最小值为1，两段函数在R上不是单调递增，所以D不正确．10．答案：AC解析：当命题“∀x∈[1，2]，x2－a≤0”是真命题时，只需a≥（x2）max，x∈[1，2].又y＝x2在[1，2]上的最大值是4，所以a≥4.

故选AC．11．答案：AC解析：由题意可设x1＝m1＋3n1，x2＝m2＋3n2，其中m1，m2，n1，n2∈N*，则x1＋x2＝（m1＋m2）＋3（n1＋n2），x1＋x2∈A，所以加法满足条件，A正确；x1－x2＝（m1－m2）＋3（n1－n2），当n1＝n

2时，x1－x2∉A，所以减法不满足条件，B错误；x1x2＝m1m2＋3n1n2＋3（m1n2＋m2n1），x1x2∈A，所以乘法满足条件，C正确；x1x2＝m1＋3n1m2＋3n2，当m1m2＝n1n2＝λ（λ>0）时，

x1x2∉A，所以除法不满足条件，D错误．故选AC.12．答案：ABC解析：∵f（1＋x）＝f（1－x），∴f（2＋x）＝f（－x），且f（x）关于直线x＝1对称；又f（x－2）＋f（－x）＝0，∴f（x＋2）＝－f（x－2），且f（x）关于（－1，0

）中心对称；∴f（x＋4）＝－f（x），∴f（x＋8）＝－f（x＋4）＝f（x），则f（x）是周期为8的周期函数；对于A，令g（x）＝f（x＋1），则g（－x）＝f（－x＋1）＝f（1＋x）＝g（x），∴f（x＋1）为偶函数，A正确；对于B，令h（x）＝f（x＋3）

＝－f（x－1），则h（－x）＝－f（－x－1）＝－f（2＋（x＋1））＝－f（x＋3）＝－h（x），∴f（x＋3）为奇函数，B正确；对于C，作出f（x）和y＝lg|x|的图象如图所示，当|x|>10时，lg|x|>1，又f（x）∈[－1，1]，由图象可知：f（x）与y＝lg|x|共有1

0个不同的交点，则y＝f（x）－lg|x|有10个不同的零点，C正确；对于D，∵f（1）＋f（2）＋…＋f（8）＝0，253×[f（1）＋f（2）＋…＋f（8）]－f（2024）＝0－f（8）＝－1，D错误．故选A

BC.13．答案：9解析：当m≤0时，则f（m）＝2m－1＝3，则m＝2>0不成立；当m>0时，则f（m）＝m12＝m＝3，则m＝9>0成立，∴m＝9.14．答案：4解析：由题知：Δ＝16（m－1）2－8（m2＋7）≥0，即m2－4

m－5≥0，解得m≥5或m≤－1.又因为x1＋x2＝2（m－1），x1x2＝m2＋72，所以|x1－x2|＝（x1＋x2）2－4x1x2＝4（m－1）2－2（m2＋7）≤2，化简得m2－4m－7≤0，解得2－11≤m≤2＋11，故实数m的最大值与最小值的和为2－11＋2＋1

1＝4.15．答案：－2解析：因为函数f（x）＝kx＋ln（1＋e4x）为偶函数，所以f（－x）＝f（x），即－kx＋ln（1＋e－4x）＝kx＋ln（1＋e4x），整理的lne－4x＝2kx，即－4x＝2kx，所以k＝－2.16．答案：0<m<1解析

：由题设f（x）＝－2x－1，x≤－122x＋1，－12<x<1log2（x－1），x>1，其图象如图所示，当m∈（－∞，0），y＝m与f（x）只有一个交点且x∈（1，2）；当m＝0，y＝m与f（x）有两个交点且x＝－12或x＝2；当m∈（0，3），y＝m与

f（x）有三个交点且x∈（－2，－12）∪（－12，1）∪（2，9）；当m∈[3，＋∞），y＝m与f（x）有两个交点且x∈（－∞，－2]∪[9，＋∞）；由题图，要使t＝g（x），y＝f（t）－m有9个零点，且m∈（0，3），t∈（m－3，m＋2），且f（t）

＝m有－2<t1<－12<t2<1<2<t3<9，根据f（x）解析式：t1＝－m＋12，t2＝m－12，t3＝2m＋1，综上，m－3<－m＋12<m＋2m－3<m－12<m＋2m－3<2m＋1<m＋20<

m<3，可得－53<m<53－5<m<50<m<10<m<3，故0<m<1.17．解析：（1）（23a2·b）（－6a·3b）÷（－34a3·6b5）＝（2a23·b12）（－6a12·b13）÷（－3a34·b56）＝4a512·b0＝4a512.（2）12lg3249－43lg8

＋lg245＋3log314＝12（lg32－lg49）－43lg812＋12lg245＋14＝12（5lg2－2lg7）－43×32lg2＋12（2lg7＋lg5）＋14＝52lg2－lg7－2lg2

＋lg7＋12lg5＋14＝12lg2＋12lg5＋14＝12lg10＋14＝34.18．解析：（1）∵x>1，∴x－1>0，∴f（x）＝x＋4x－1－2＝（x－1）＋4x－1－1≥2（x－1）·4x－1－1＝3，当且仅当x－1＝4x－1，即x＝3时等号成立，

∴m＝3.（2）由（1）可知g（x）＝ax2－ax＋3的定义域为R，∴不等式ax2－ax＋3≥0的解集为R，①a＝0时，3≥0恒成立，满足题意；②a≠0时，a>0a2－12a≤0，解得0<a≤12，∴综上得，a的取值范围为[0，12].19．解析：（1）当x<0时，－x>0，∴f（－x）＝

－x3－2－x，又函数f（x）是奇函数，∴f（－x）＝－f（x），∴f（x）＝x3＋2－x.又f（0）＝0，∴综上所述，f（x）＝x3－2x，x>0，0，x＝0，x3＋2－x，x<0.（2）∵f（x）为R上的单调函数，且f（－

1）＝53>f（0）＝0，∴函数f（x）在R上单调递减．∵f（t2－2t）＋f（2t2－k）<0，∴f（t2－2t）<－f（2t2－k）.∵函数f（x）是奇函数，∴f（t2－2t）<f（k－2t2）.又f（x）在R上单调递减，∴t2－2

t>k－2t2对任意的t∈R恒成立，∴3t2－2t－k>0对任意的t∈R恒成立，∴Δ＝4＋12k<0，解得k<－13，∴实数k的取值范围为（－∞，－13）.20．解析：（1）当a>0时，函数g（x）＝ax2－2ax＋1＋b的对称轴为：x＝1，因此函数g（x）当x∈[2，3]时

，单调递增，故g（3）＝4g（2）＝1，⇒3a＋1＋b＝41＋b＝1，⇒a＝1b＝0，所以a＝1，b＝0.（2）由（1）知，g（x）＝x2－2x＋1，f（x）＝x＋1x－2，不等式f（2x）－k

·2x≥0，可化为：2x＋12x－2≥k·2x，即1＋12x2－2·12x≥k，令12x＝t，k≤t2－2t＋1，t∈[12，2]，令φ（t）＝t2－2t＋1＝（t－1）2，φ（t）min＝φ（1）＝0，∴k≤0.21．解析：（1）由函数f（x）是偶函数，可

知f（x）＝f（－x），所以log4（4x＋1）＋2kx＝log4（4－x＋1）－2kx，即log44x＋14－x＋1＝－4kx，所以log44x＝－4kx，所以x＝－4kx，即（1＋4k）x＝0对一切x∈R恒成立，所以k＝－

14.验证f（x）为偶函数成立．（2）由m＝f（x）＝log4（4x＋1）－12x＝log44x＋12x＝log4（2x＋12x），因为2x＋12x≥2，当且仅当x＝0时等号成立，所以m≥log42＝12

.故要使方程f（x）＝m有解，实数m的取值范围为[12，＋∞）.22．解析：（1）∵前4个月，B市的粮食总需用量为16万吨，∴4k＝16，得k＝8.∴M＝12＋mx－x－8x（1≤x≤16且x∈N*）.（2）由题意，M＝12＋mx－x－8x≥0对任意1≤x≤16且x∈N*成

立，且M＝12＋mx－x－8x≤40对任意1≤x≤16且x∈N*成立．①当12＋mx－x－8x≥0对任意1≤x≤16且x∈N*成立时，m≥－12x＋8x＋1对任意1≤x≤16且x∈N*成立，即m≥（－12

x＋8x＋1）max，∴y＝－12x＋8x＋1＝－12（1x－13）2＋73（1≤x≤16且x∈N*）的最大值为73，②12＋mx－x－8x≤40对任意1≤x≤16且x∈N*成立时，m≤28x＋8x＋1对任意1≤x≤16且x∈N*成立，即m≤（28x＋

8x＋1）min成立．又函数y＝28x＋8x＋1单调递减，当x＝16时y＝28x＋8x＋1取得最小值194.∴m的取值范围为[73，194].第三章导数及其应用考点练25导数的几何意义1．答案：D解析：由f（x

）图象可知f′（3）<f（3）－f（2）2－1<f′（2），即f′（3）<f（3）－f（2）<f′（2）.故选D.2．答案：B解析：因为f（x）＝ex（sinx＋a），所以f（0）＝e0（sin0＋a）＝a，

又f′（x）＝ex（sinx＋a＋cosx），所以f′（0）＝e0（sin0＋a＋cos0）＝1＋a，所以切线方程为y－a＝（1＋a）（x－0），即y＝（1＋a）x＋a，所以1＋a＝3，解得a＝2.故选B.3．

答案：D解析：f（x）＝lnx，g（x）＝ex－2，∴f′（x）＝1x，g′（x）＝ex－2，设切点分别为M（x1，y1），N（x2，y2），则曲线f（x）＝lnx的切线方程为：y－lnx1＝1x1（x－x1），∴y＝lnx1＋1x1（x－x1）＝1x1·x＋lnx1－1，曲

线g（x）＝ex－2的切线方程为：y－e𝑥2－2＝e𝑥2－2（x－x2），化简得y＝e𝑥2－2·x＋（1－x2）e𝑥2－2，故（1x1－1）（lnx1－1）＝0，解得x1＝e或x1＝1.当x1

＝e，切线方程为x－ey＝0，故m＝－e，n＝0，故m＋n＝－e.当x1＝1，切线方程为y＝x－1，故m＝n＝－1，则m＋n＝－2.故m＋n的取值为－e或－2.故选D.4．答案：B解析：∵f（x）＝x3－12f′（1）x＋f′（2），∴f′（x）＝3x2－12f′（1），∴f′（1）＝3－12f

′（1），∴f′（1）＝2，∴f′（x）＝3x2－1≥－1，∴tanα≥－1，∴0≤α<π2或3π4≤α<π.故选B.5．答案：ACD设g（x）＝x2－ax＋aex，则g′（x）＝（2x－a）－（x2－ax＋a）ex＝－x2＋（a＋2）x－2aex

＝－（x－a）（x－2）ex，当a＝0时，g′（x）＝－x（x－2）ex，由g′（x）>0可得0<x<2，由g′（x）<0可得：x<0或x>2，所以g（x）＝x2ex在（－∞，0）和（2，＋∞）上单调递减，在（0，2）上单调递增，g（0）＝0，g（2）＝4e2

，当x趋近于＋∞时，g（x）＝x2ex趋近于0，对于A：当a＝0时，若只能作两条切线，则y＝b与g（x）＝x2ex图象有两个交点，由图知b＝4e2，故选项A正确；对于B：当a＝0，b>4e2时，y＝b与g（x）＝x2ex图象有一个交点，此时只能作一条切线，故选项B不正确；对于C

：g′（x）＝－（x－a）（x－2）ex，当0<a<2时，由g′（x）>0可得a<x<2，由g′（x）<0可得：x<a或x>2，所以g（x）＝x2－ax＋aex在（－∞，a）和（2，＋∞）上单调递减，在（a，2）上单调递增，g（x）极小值g（a）＝a2－a2＋aea＝aea，g（

x）极大值g（2）＝22－2a＋ae2＝4－ae2，若可作三条切线，则y＝b与g（x）＝x2－ax＋aex图象有三个交点，所以aea<b<4－ae2，故选项C正确；对于D：当a＝2时，g′（x）＝－（x－2）2ex≤0，所以g（x）＝x2－2x＋2ex单调递减，当x趋近于－∞时，g（x

）趋近于＋∞，当x趋近于＋∞时，g（x）趋近于0，此时y＝b>0与g（x）＝x2－2x＋2ex＝（x－1）2＋1ex>0图象有一个交点，所以有且只有一条切线，故选项D正确．故选ACD.6．答案：y＝1exy＝－1ex解析：因为y＝ln|x|，当x>0时y＝lnx

，设切点为（x0，lnx0），由y′＝1x，所以𝑦′|𝑥＝𝑥0＝1x0，所以切线方程为y－lnx0＝1x0（x－x0），又切线过坐标原点，所以－lnx0＝1x0（－x0），解得x0＝e，所以切线方程为y－1＝1e（x－e）

，即y＝1ex；当x<0时y＝ln（－x），设切点为（x1，ln（－x1）），由y′＝1x，所以𝑦′|𝑥＝𝑥1＝1x1，所以切线方程为y－ln（－x1）＝1x1（x－x1），又切线过坐标原点，所以－ln（－x1）＝1x1（－x1），解得x1＝－e，所以切线方程为y－1＝1－e（x＋e）

，即y＝－1ex.考点练26利用导数研究函数的单调性1．答案：C解析：因为f（x）＝excosx，所以f′（x）＝（cosx－sinx）ex，令f′（x）＝0，解得x＝π4，当x∈（0，π4）时，f′（x）>0，当x∈（π4，π）时，f′（x）<0，所以f（x

）在（0，π4）上单调递增，在（π4，π）上单调递减，所以f（x）在（0，π）上的单调递增区间为（0，π4）.故选C.2．答案：BC解析：f′（x）＝lnx－1（lnx）2＝0，x>0且x≠1，得x＝e，当x∈（0，1）∪（1，e

）时，f′（x）<0，所以函数f（x）的单调递减区间是（0，1）和（1，e），当x∈（e，＋∞）时，f′（x）>0，函数f（x）的单调递增区间是（e，＋∞）.故选BC.3．答案：（－∞，3]解析：因为f（x）＝mlnx－x22－2x在[1，＋∞）上单调递减，所以f′（x）＝

mx－x－2≤0在[1，＋∞）上恒成立，所以m≤x（x＋2）在[1，＋∞）上恒成立，所以m≤[x（x＋2）]min，又y＝x（x＋2）在[1，＋∞）上单调递增，当x＝1时，y＝x（x＋2）取得最小值3，所以m≤3，所以实数m的取值范围是（－∞，3].4．答案：

－∞，32解析：f′（x）＝（2x＋m）ex＋（x2＋mx）ex＝[x2＋（m＋2）x＋m]ex，则原问题等价于f′（x）<0在[－12，1]上有解，即x2＋（m＋2）x＋m<0在[－12，1]上有解，即m<－x2－2xx＋1在[－

12，1]上有解，因为－x2－2xx＋1＝－（x＋1）＋1x＋1，且y＝－（x＋1）＋1x＋1在[－12，1]上单调递减，所以当x＝－12时，ymax＝－（－12＋1）＋1－12＋1＝32，所以m<32.5．解析：（1）函数f（x）＝x2－alnx的

定义域为（0，＋∞），f′（x）＝2x－ax＝2x2－ax.①当a≤0时，对任意的x>0，f′（x）>0，此时，函数y＝f（x）的单调递增区间为（0，＋∞）.②当a>0时，令f′（x）<0，得0<x<2a2；令f′（x）>0，得x

>2a2.此时，函数y＝f（x）的单调递减区间为（0，2a2），单调递增区间为（2a2，＋∞）.（2）f（x）＝x2－alnx≥0，当x＝1时显然成立．当x>1时，即a≤x2lnx，令g（x）＝x2lnx，g′（x）＝2x（lnx－12）（l

nx）2.若1<x<e时g′（x）<0，g（x）单调递减；x>e，g′（x）>0，g（x）单调递增．g（x）min＝g（e）＝2e.综上所述，实数a的取值范围是a≤2e.考点练27利用导数研究函数的极值1．答案：CD解析：由题意，根据f′（x）的图象，可得当－3<x<－1时，f′（x）<

0，f（x）单调递减；当x>－1时，f′（x）>0，f（x）单调递增，所以f（0）<f（1），所以A不正确；x＝1不是函数f（x）的极值点，所以B不正确；x＝－1是函数f（x）的极小值点，所以C正确；x＝－3是函数f（x）的极大值点，所以D正确．故选CD.2．答案

：C解析：因为f′（x）＝[x2＋（a＋2）x＋a－1]ex＋2，f′（1）＝0，所以a＝－1，所以f（x）＝（x2－x－1）ex＋2，f′（x）＝（x2＋x－2）ex＋2.令f′（x）＝0，解得x＝－2或x＝1，所以当x∈（－∞，－2），f′（x）>0，

f（x）单调递增；当x∈（－2，1）时，f′（x）<0，f（x）单调递减；当x∈（1，＋∞），f′（x）>0，f（x）单调递增，所以f（x）的极大值为f（－2）＝[（－2）2－（－2）－1]e－2＋2＝5.故选C.3．答案：

D解析：f′（x）＝－2ax＋2lnx＋2，令h（x）＝2lnx－2ax＋2，因为函数f（x）＝－ax2＋2xlnx有两个极值点，所以h（x）＝0有两个不同的正实根，且h（x）在零点的两侧符号异号．h′（x）＝2x－2a＝2－2axx，当a≤0时，h′（x）>0，h（x）在（

0，＋∞）上单调递增，故不可能有两个零点．当a>0时，x∈（0，1a）时，h′（x）>0，h（x）在（0，1a）上单调递增；x∈（1a，＋∞）时，h′（x）<0，h（x）在（1a，＋∞）上单调递减，所以h（x）max

＝h1a>0，即2ln1a－2＋2>0，0<a<1.当0<a<1时，h1e＝－2ae<0，故h（x）在（1e，1a）上有一个零点；当x→＋∞时，h（x）＝2lnx－2ax＋2→－∞，所以h（x）在（1a，＋∞）上有一个零点，综上，0<a<1.故选D.4．答案：－e

2≤a≤0解析：当a＝0时，f（x）＝ex单调递增，显然没有极值点，符合题意；当a≠0时，f′（x）＝ex＋2ax，令f′（x）＝0，得ex＝－2ax，即－12a＝xex；设g（x）＝xex，则g′（x）＝1－xex；x∈（－∞，1）时，g′（x）>

0，g（x）为增函数；x∈（1，＋∞）时，g′（x）<0，g（x）为减函数；所以g（x）≤g（1）＝1e，简图如下：因为f（x）无极值点，所以－12a≥1e，解得－e2≤a<0.综上得，a的取值范围为－e2≤a≤0.5．解析：（1）由f（x）＝2a

（x－1）ex－x2可得f′（x）＝2axex－2x＝2x（aex－1），当a＝1时，f（1）＝－1，f′（1）＝2（e－1），所以曲线y＝f（x）在x＝1处的切线方程为y＋1＝2（e－1）（x－1），即y＝2（

e－1）x－2e＋1.（2）由（1）f′（x）＝2x（aex－1），当a≤0时，aex－1<0，当x>0时，f′（x）<0，f（x）在（0，＋∞）上单调递减，故在（0，＋∞）内不存在极值；当a>0时，由f′（x）＝0得，x1＝0，x2＝ln1a，要使f（x）在（0，＋∞）内存在极小值，

ln1a>0，解得0<a<1，此时f（x）在（0，ln1a）上单调递减，在（ln1a，＋∞）上单调递增，所以f（x）取得极小值fln1a＝2（ln1a－1）－ln1a2＝－1，即ln1a2－2ln1a＋1

＝0，解得ln1a＝1，a＝1e.考点练28利用导数研究函数的最值1．答案：A解析：函数的定义域为R，由f（x）＝xex，得f′（x）＝ex－xex（ex）2＝1－xex，当x<1时，f′（x）>0，当x>1时，f′（x）<

0，所以f（x）在（－∞，1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减，所以当x＝1时，f（x）取得最大值，f（x）没有最小值．故选A.2．答案：A解析：当x＝1时，函数f（x）＝alnx＋bx取得最大值－2，所以f（

1）＝b1＝－2，即b＝－2，f（x）＝alnx－2x，定义域为（0，＋∞），又因为f（x）在x＝1处取得最大值，所以f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减，f′（x）＝ax＋2x2，则f′（1）＝a＋21＝0，所以a＝－2.故选A.3．答案：A解析：∵f（

x）＝x2＋ax＝x＋ax（a>0），∴f′（x）＝1－ax2＝x2－ax2＝（x＋a）（x－a）x2，∴当0<x<a时，f′（x）<0，当x>a时，f′（x）>0，可知，f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，＋∞）上单调递

增，∴f（x）在x＝a处取得极小值，又∵在区间（a，a＋1）上有最小值，∴a<a<a＋1，解得0<a<1.故选A.4．答案：BC解析：因为f′（x）＝1＋xx－lnx（1＋x）2－1x＝－1＋x＋lnx（1＋x）2，x>0，由题可知f′（x0）＝0，所以1＋x0＋lnx0＝0，所以f（x0）

＝lnx01＋x0－lnx0＝x0，x0>0，即B正确．令g（x）＝1＋x＋lnx，因为g′（x）＝1＋1x，x>0，所以g（x）是增函数，且g12＝32－ln2>0，又g（x0）＝1＋x0＋lnx0＝

0，所以x0<12，即f（x0）＝x0<12，即C正确．故选BC.5．解析：（1）由题意得f（x）的定义域是（0，＋∞），且f′（x）＝x＋ax2，因为a≥0，所以f′（x）>0，故f（x）在（0，＋∞）上单调递增，

无极值；当a<0，x>－a时f′（x）>0，f（x）单调递增，0<x<－a时f′（x）<0，f（x）单调递减，所以f（x）在x＝－a有极小值ln（－a）＋1，无极大值．（2）由（1）可得f′（x）＝x＋ax2，因为x∈[1

，e]，①若a≥－1，则x＋a≥0，即f′（x）≥0在[1，e]上恒成立，此时f（x）在[1，e]上单调递增，所以f（x）min＝f（1）＝－a＝32，所以a＝－32（舍去）；②若a≤－e，则x＋a≤0，即f′（x）≤0在[1，e]上恒成立，此时f（x）在[1，

e]上单调递减，所以f（x）min＝f（e）＝1－ae＝32，所以a＝－e2（舍去）.③若－e<a<－1，令f′（x）＝0，得x＝－a，当1<x<－a时，f′（x）<0，所以f（x）在（1，－a）上单调递减；当－a<x<e时，f′（

x）>0，所以f（x）在（－a，e）上单调递增，所以f（x）min＝f（－a）＝ln（－a）＋1＝32，所以a＝－e.综上，a＝－e.考点练29三次函数的图象与性质1．答案：B解析：因为f（0）＝d>0，故③错误；f′（x）＝3x2＋2bx＋c，记函数f（

x）的极值点分别为x1，x2，则x1＋x2＝－2b3>0，故b<0，故①错误；而x1x2＝c3<0，则c<0，故②正确．故选B.2．答案：C解析：由f（x）＝13x3＋（a－1）x2＋x＋1得f′（x）＝x2＋2（a－1）x＋1，根据题意得[2（a－

1）]2－4≤0，解得0≤a≤2.故选C.3．答案：C解析：∵f（x）图象关于点（1，0）对称，∴f（x）＋f（2－x）＝0，又f（2－x）＝（2－x）3＋a（2－x）2＋（2－x）＋b＝－x3＋（a＋6

）x2－（4a＋13）x＋10＋4a＋b，∴f（x）＋f（2－x）＝（2a＋6）x2－（4a＋12）x＋10＋4a＋2b＝0，∴2a＋6＝04a＋12＝010＋4a＋2b＝0，解得：a＝－3，b＝1.故选C.4．答案：ABD解析：因为f（x）＝x3＋

12x2－4x，所以f′（x）＝3x2＋x－4＝（x－1）（3x＋4），当x∈（－∞，－43）∪（1，＋∞）时，f′（x）>0；当x∈（－43，1）时，f′（x）<0，故f（x）的单调递增区间为（－∞，－43）和（1，＋∞），单调

递减区间为（－43，1），则f（x）有两个极值点，B正确；且当x＝1时，f（x）取得极小值，A正确；且极小值为f（1）＝－52，C错误；又f（0）＝0，f（2）＝2，所以f（x）在[0，2]上的最大值为2，D正确．故选ABD.5．答案

：ACD解析：f（x）＝x3－3ax＋2，f′（x）＝3x2－3a，因为函数f（x）＝x3－3ax＋2的极值点分别为x1，x2（x1<x2），所以3x2－3a＝0有两个不相等的实数根x1，x2（x1<x2

），所以a>0，故A正确；对选项B，因为a>0，所以f′（x）＝3x2－3a＝3（x＋a）（x－a），令f′（x）＝3（x＋a）（x－a）＝0，则x1＝－a，x2＝a，所以x∈（－∞，－a），f′（x）>0，f（x）为增函数，x∈

（－a，a），f′（x）<0，f（x）为减函数，x∈（a，＋∞），f′（x）>0，f（x）为增函数，所以x1＝－a，x2＝a为函数f（x）的极值点．所以f（x1）＋f（x2）＝（－a）3－3a（－a）＋2＋（a）3－3aa＋

2＝4≠2，故B错误；对选项C，f（x2）＝（a）3－3aa＋2<0，化简得：aa>1，解得a>1，故C正确；对选项D，设切点为（x0，x30－3ax0＋2），f′（x）＝3x2－3a，切线过（0，2），所以x30－3ax0x0＝3x20－3a

，即x30－3ax0＝3x30－3ax0，解得x0＝0，所以过（0，2）仅能做曲线y＝f（x）的一条切线，故D正确．故选ACD.6．答案：（－1，0）解析：设切点坐标为（x0，x30－x0），由f（x）＝x3－x，得f′（x0）＝3x20－1，所以切线方程为y－x30＋x0＝（3

x20－1）（x－x0），将（1，t）代入切线方程，得t＝－2x30＋3x20－1，即x0为方程t＝－2x3＋3x2－1的解，设h（x）＝－2x3＋3x2－1，则h′（x）＝－6x2＋6x，当x<0时，

h′（x）<0，函数h（x）＝－2x3＋3x2－1在（－∞，0）上单调递减，当0<x<1时，h′（x）>0，函数h（x）＝－2x3＋3x2－1在（0，1）上单调递增，当x>1时，h′（x）<0，函数h（x）＝－2x3＋3x2－1在（1，＋∞）上单调递减，所以

当x＝0时，函数h（x）取极小值，极小值为h（0）＝－1，当x＝1时，函数h（x）取极大值，极大值为h（1）＝0，因为过点（1，t）可作曲线y＝f（x）的三条切线，所以方程t＝h（x）有三个不同的解，y＝t与y＝h（x）的图象有三个不同的交点，所以－1<t<0，即t的范围是（－

1，0）.考点练30构造法求解不等式问题1．答案：A解析：因为f（x）<x2＋12可化为f（x）－x2－12<0，令g（x）＝f（x）－x2－12，则g′（x）＝f′（x）－12，因为f′（x）<12，所以g′（x）<0，所以g（x）在R上单调递减，因为f（1）＝1，所以g（1）＝f（1

）－12－12＝0，所以g（x）<g（1），所以x>1，即不等式f（x）<x2＋12的解集为（1，＋∞）.故选A.2．答案：D解析：构造函数g（x）＝f（x）ex⇒g′（x）＝f′（x）－f（x）ex，因为f（x）<f′（x），所以g′（x）

>0，因此函数g（x）是增函数，于是有g（2）>g（1）⇒f（2）e2>f（1）e⇒f（2）>ef（1），构造函数h（x）＝f（x）·ex⇒h′（x）＝ex[f（x）＋f′（x）]，因为f（x）<f′（x）<0，所以h′（x）<0，因此h（x）是

单调递减函数，于是有h（2）<h（1）⇒e2f（2）<ef（1）⇒ef（2）<f（1）.故选D.3．答案：C解析：由b＝1e＝lnee，令y＝lnxx，则y′＝1－lnxx2，令y′＝0，则x＝e，当x∈（0，e）时，y′>0；当x∈（e，＋∞）时，y′<0，故y＝lnxx在（0

，e）上单调递增，在（e，＋∞）上单调递减，由7>5>e，则lnee>ln55>ln77，即b>c>a.故选C.4．答案：ABD解析：由题意得：令g（x）＝f（x）cosx，x∈（0，π2），于是其导数g′（x）＝f′（x）cosx－f（x）sinx，又函数y＝f（x），x∈（0，π2），

f′（x）是其导函数，恒有f′（x）cosx>f（x）sinx，∴f′（x）cosx－f（x）sinx>0，∴g′（x）>0，即函数g（x）为增函数．对于选项A：由π3>π4，则有gπ3>gπ4，即fπ3cosπ3>fπ4c

osπ4，于是fπ3>2fπ4，故A正确；对于选项B：由π4>π6，则有gπ4>gπ6，即fπ4cosπ4>fπ6cosπ6，于是fπ4>62fπ6，故B正确；对于选项C：由1>π6

，则有g（1）>gπ6，即f（1）cos1>fπ6·cosπ6，于是233f（1）cos1>fπ6，故C错误；对于选项D：由π3>1，则有gπ3>g（1），即fπ3cosπ3>f（1）·cos1，于是12fπ3>f（1）co

s1，故D正确．故选ABD.5．答案：AD解析：由已知得a＝5.1ln3.1，b＝4.1ln4.1，c＝3.1ln5.1，设f（x）＝lnxx，得f′（x）＝1－lnxx2，所以，当x∈（e，＋∞）时，f′（x）<0，f（x）＝lnxx单调递减

，所以f（3.1）>f（5.1），即ln3.13.1>ln5.15.1，所以a>c，A正确，B错误；设g（x）＝x－ln（x＋1）（x≥0），则g′（x）＝xx＋1≥0（x≥0），所以，g（x）在[0，＋∞）上单调递增，所以g（x）

≥g（0）＝0，即x≥ln（x＋1），又c－b＝3.1ln5.1－4.1ln4.1＝3.1（ln5.1－ln4.1）－ln4.1＝3.1ln（1＋14.1）－ln4.1≤3.14.1－ln4.1<0，所以b>c，C错误，D正确．

故选AD.6．答案：（ln2，＋∞）解析：由题意，函数f（x）满足f′（x）＋1x>0，f（2）＝ln12，令g（x）＝f（x）＋lnx（x>0），可得g′（x）＝f′（x）＋1x>0，所以函数g（x）在（0，＋∞）上单调递

增，且g（2）＝f（2）＋ln2＝0，又由不等式f（ex）＋x>0，可得g（ex）>g（2），所以ex>2，解得x>ln2，即不等式f（ex）＋x>0的解集为（ln2，＋∞）.考点练31利用导数求解不等式恒成立问题1．

答案：C解析：f′（x）＝3x2＋x－2，令f′（x）＝0，得x＝－1或x＝23.当－1≤x<23时，f′（x）<0，当23<x≤2时，f′（x）>0，所以f（x）在（－1，23）上单调递减，在（23，2）上单

调递增．因为f（－1）＝132，f（2）＝11，所以f（x）max＝11.因为对任意的x∈[－1，2]有f（x）<m恒成立，所以f（x）max<m，即m>11.故选C.2．答案：C解析：因为对∀m，n∈（0，＋∞），m>n，都有f（m）－f（n）m－n<2成立，所以对∀m，

n∈（0，＋∞），m>n，都有f（m）－2m<f（n）－2n.设g（x）＝f（x）－2x＝ax2－ex，则g（x）在（0，＋∞）为减函数．g′（x）＝2ax－ex，等价于x∈（0，＋∞），2ax－ex≤0恒成立，即x∈（0，＋∞）

，2a≤exx恒成立．设h（x）＝exx，h′（x）＝exx－exx2＝ex（x－1）x2，所以x∈（0，1），h′（x）<0，h（x）为减函数，x∈（1，＋∞），h′（x）>0，h（x）为增函数，所以h（x）min＝h（1）＝e，所以2a≤e，即a≤e2.故选C.3．答案：ABC

解析：因为函数f（x）＝x2＋2，x<0ex，x≥0，满足对任意的x∈R，f（x）≥ax恒成立，当x<0时，x2＋2≥ax恒成立，即a≥x＋2x恒成立，因为x＋2x≤－22，当且仅当x＝2x，即x＝－2时取等号，所以a≥－22.当x＝0时，e0≥0恒成

立．当x>0时，ex≥ax恒成立，即a≤exx恒成立，设g（x）＝exx，g′（x）＝xex－exx2＝ex（x－1）x2，x∈（0，1），g′（x）<0，g（x）为减函数，x∈（1，＋∞），g′（x）>0，g（x）为增函数，所以g（x）min＝g（1）＝e，所以a≤e，综上

所述：－22≤a≤e.故选ABC.4．答案：[1e，＋∞）解析：对任意的x∈[1，＋∞），aeax≥lnx恒成立，axeax≥xlnx恒成立，易得a>0，x∈[1，＋∞），令h（x）＝xlnx，x≥1，则h′（x）＝lnx＋1>0，所以h（x）

在[1，＋∞）上递增，所以由h（eax）≥h（x），得eax≥x，即ax≥lnx，a≥lnxx，令g（x）＝lnxx，则g′（x）＝1－lnxx2，当1<x<e时，g′（x）>0，当x>e时，g′（x）<0，所以g（x）在（1，e）上递增，在（e，＋∞）上递减，所以当x＝e时，g（x）取得最大值，

即g（x）max＝g（e）＝lnee＝1e，所以a≥1e.即实数a的取值范围为[1e，＋∞）.5．解析：（1）f′（x）＝1－lnxx2，x＞0，当x∈（0，e）时，f′（x）＞0，f（x）递增；当x∈（e，＋∞）时，f′（x）＜0，f（x）递减；所以f

（x）的极大值为f（e）＝1e＋k＝1e＋1，故k＝1.（2）根据题意，任意x∈（0，＋∞），g（x）≥af（x），即ex－ax>alnxx＋a，化简得xex－alnx－ax－a≥0，令h（x）＝xex－alnx－ax－a，x＞0，h（x）＝el

nxex－alnx－ax－a＝elnx＋x－a（lnx＋x）－a，令lnx＋x＝t，t∈R，设H（t）＝et－at－a，H′（t）＝et－a，只需H（t）≥0，t∈R，当a＜0，t＜0时，H（t）＜1－at－a，所以H（1a－1）＜1－a（1a－1）－a＝0，不成立；当a＝0时，H（t）≥

0显然成立；当a＞0时，由H′（t）＝et－a，当t∈（－∞，lna），H（t）递减，t∈（lna，＋∞），H（t）递增，H（t）的最小值为H（lna）＝a－alna－a＝－alna，由H（lna）＝－aln

a≥0，得0＜a≤1，综上0≤a≤1.考点练32利用导数求解不等式能成立问题1．答案：D解析：因为f（x）＝x3－3x2＋3－a，所以f′（x）＝3x2－6x＝3x（x－2），x∈[－1，1].由题意，只需f（x）max>0.当x∈[

－1，0）时，f′（x）>0，当x∈（0，1]时，f′（x）<0，所以f（x）在[－1，0）上单调递增，在（0，1]上单调递减，所以f（x）max＝f（0）＝3－a>0，故实数a的取值范围为（－∞，3）.故选D.2．答案：B解析：∃x1，x2∈R，使得f（x2）≥g（x1）成立，则f（

x）max≥g（x）min，由题得f′（x）＝－ex－1＋（1－x）ex－1＝－xex－1，当x>0时，f′（x）<0，当x<0时，f′（x）>0，所以函数f（x）在（－∞，0）单调递增，在（0，＋∞）单调递减，所以f（x）max＝f（0）＝1

e，由题得g（x）min＝g（－1）＝a，∴a≤1e.故选B.3．答案：ACD解析：由题意，a不等于0，由4x＋a（y－3e2x）（lny－lnx）＝0，得4＋a（yx－3e2）lnyx＝0，令t＝yx

（t>0），则－4a＝tlnt－3e2lnt，设g（t）＝tlnt－3e2lnt，则g′（t）＝1＋lnt－3e2t，因为函数g′（t）在（0，＋∞）上单调递增，且g′（e2）＝0，所以当0<t<e2时

，g′（t）<0，当t>e2时，g′（t）>0，则g（t）在（0，e2）上单调递减，在（e2，＋∞）上单调递增，从而g（t）min＝g（e2）＝－4e2，即－4a≥－4e2，解得a≥1e2或a<0.故a∈（－∞，0）∪[1e2，＋∞

）.故选ACD.4．答案：a>3解析：由g（x）>f（x），x∈（0，＋∞）得，a>x＋4x2，令F（x）＝x＋4x2，则F′（x）＝1－8x3，当0<x<2时，F′（x）<0；当2<x时，F′（x）>0；所以F（x）在（0，2）上单调递减，在（2，＋∞）上单调递增，故

F（x）min＝F（2）＝3，由于存在x∈（0，＋∞），g（x）>f（x）成立，则a>3.5．解析：（1）f′（x）＝6x2－6x＝6x（x－1），由f′（x）>0，解得x>1或x<0；由f′（x）<0解得0<x<1，所以f（x）在（－∞，0）上单调递增，在（0，1）上单调递减，在（1，＋

∞）上单调递增．若函数f（x）与x轴有三个不同交点，则f（0）＝a>0f（1）＝－1＋a<0，解得0<a<1，所以若函数f（x）与x轴有三个不同交点，实数a的取值范围为0<a<1.（2）对于∀x1∈[－1，2]，∃x2∈[

1，e]，都有f（x1）≥g（x2），则f（x）min≥g（x）min，由（1）知函数f（x）在[－1，0）上单调递增，在（0，1]上单调递减，在（1，2]上单调递增，又f（－1）＝a－5，f（1）＝a－1，

故当x∈[－1，2]时f（x）min＝f（－1）＝a－5，因为g（x）＝x2（2lnx－3），且x∈[1，e]，则g′（x）＝4x（lnx－1）≤4x（1－1）＝0，故函数g（x）在[1，e]上单调递减，故g（x）min＝g（e）＝－e2

，由题意可得a－5≥－e2，故a≥5－e2.所以实数a的取值范围为[5－e2，＋∞）.考点过关检测5导数及简单应用1．答案：B解析：由f（x）＝2xf′（1）＋lnx，可得f′（x）＝2f′（1）＋1x，所以f′（1）＝2f′（1）＋1，则f′（1）＝－1.故选B.2．答案：B解析：由函数

f（x）在R上可导，其导函数为f′（x），若函数f（x）在x＝1处取得极大值，所以当x>1时，f′（x）<0；x＝1时，f′（x）＝0；x<1时，f′（x）>0；所以当x<0时，y＝－xf′（x）>0，

当0<x<1时，y＝－xf′（x）<0，当x＝0或x＝1时，y＝－xf′（x）＝0，当x>1时，y＝－xf′（x）>0，可得选项B符合题意．3．答案：B解析：因为f′（x）＝3x2＋6mx＋n，由题有f′（－1）＝0f（－1）＝0，即3－6m＋n＝0－1

＋3m－n＋m2＝0，解得m＝1n＝3或m＝2n＝9，检验：当m＝1n＝3时f′（x）＝3x2＋6x＋3＝3（x＋1）2≥0，不合题意，舍掉；当m＝2n＝9时，f′（x）＝3x2＋12x＋9＝3（x＋

3）（x＋1），令f′（x）>0，得x<－3或x>－1；令f′（x）<0得－3<x<－1.所以f（x）在（－∞，－3），（－1，＋∞）上单调递增，在（－3，－1）上单调递减，符合题意，则m＋n＝2＋9＝11.4．答案：B解析

：f′（x）＝k－1x，因为函数f（x）＝kx－lnx在区间（12，＋∞）上单调递增，所以f′（x）＝k－1x≥0在（12，＋∞）上恒成立，即k≥1x在（12，＋∞）上恒成立．因为y＝1x在（12，＋∞）上单调递减，所以当x∈（12，＋∞）时，y<2，所以k≥2，则k的取值范围为[2，＋∞

）.故选B.5．答案：C解析：函数f（x）＝xcosx，x∈R，则f′（x）＝cosx－xsinx＝0，得tanx＝1x，正切函数y＝tanx和反比例函数y＝1x的图象在（0，π2）上只有一个交点，∴f′（x）＝0在x∈（0，

π2）上只有一个解，∴f（x）在（0，π2）上有且仅有一个极值点，故选项A、B不正确；设y＝f（x）的切点为（t，tcost），则切线斜率为k＝f′（t）＝cost－tsint，∵切线过（0，0），故可设切线方程为y＝（cost－tsint）x，代入切点（t，tcost）得t2si

nt＝0，解得t＝0或t＝kπ（k∈Z），则f′（0）＝1，f′（kπ）＝cos（kπ）＝±1，∴切线方程为y＝±x，∴选项C正确，选项D错误．故选C.6．答案：A解析：设g（x）＝f（x）x，则g′（x）＝xf′（x）－f（x）x2<0，∴g（x）为单调递减

函数．∵3>ln4>1，∴g（3）<g（ln4）<g（1），即a>b>c.7．答案：A解析：f′（x）＝ax－1＝a－xx，其中x>e，当a≤e时，f′（x）<0，故f（x）在（e，＋∞）上单调递减，此时f（x）在（e，＋∞）

内无最值．当a>e时，若x∈（e，a），则f′（x）>0，若x∈（a，＋∞），则f′（x）<0，故f（x）在（e，a）上为增函数，在（a，＋∞）上为减函数，故f（x）在x＝a处取最大值．故选A.8．答案：B解析：f（x）＝lnx－ax＋2＝0（a∈R）定义域为（0，

＋∞），故lnx＋2x＝a有两个不同的正实根，即g（x）＝lnx＋2x，x∈（0，＋∞）与y＝a两函数有两个交点，其中g′（x）＝1－lnx－2x2＝－1＋lnxx2，当x>1e时，g′（x）<0，当0<x<1e时，g′（

x）>0，故g（x）＝lnx＋2x在0<x<1e上单调递增，在x>1e上单调递减，从而g（x）＝lnx＋2x在x＝1e处取得极大值，也是最大值，g（x）max＝－1＋21e＝e，且当x>1e2时，g（x）＝lnx

＋2x>0恒成立，当0<x<1e2时，g（x）＝lnx＋2x<0恒成立，画出g（x）＝lnx＋2x的图象如图所示．显然要想g（x）＝lnx＋2x，x∈（0，＋∞）与y＝a两函数有两个交点，需要满足a∈（0，e），综上：

实数a的取值范围是（0，e）.故选B.9．答案：ACD解析：根据函数y＝f′（x）的图象可得：当x<－4时，f′（x）<0，当x>－4时，f′（x）≥0（仅在x＝0处有f′（x）＝0），故函数y＝f（x）在（－∞，－4）上单调递减，在（－4，＋∞）上单

调递增．所以x＝－4是函数y＝f（x）的极小值点，故选项A正确．x＝0不是函数y＝f（x）的极值点，故选项B不正确．y＝f（x）在区间（－4，1）上单调递增，故选项C正确．由函数y＝f′（x）的图象可得0＝f′（0）<f′（1），所以y＝f（x）在x＝1处切线的斜率大于零，故选项D正确．故选

ACD.10．答案：ABC解析：函数f（x）＝xln（x＋1），则f′（x）＝ln（x＋1）＋xx＋1＝ln（x＋1）－1x＋1＋1，可得：f′（x）单调递增，且f′（0）＝0，函数的定义域为（－1，＋∞），所以函数f（x）在区间（－1，0）单调递减，在区间（0，＋∞）单调递增，故A选项正确；且f

（x）在x＝0处取得极小值，故B选项正确；C选项中，f′（1）＝ln2＋12，所以在x＝1处的切线斜率为ln2＋12，故C选项正确；D选项中，因为函数的定义域不关于原点对称，所以不具备奇偶性，故D选项错误．11．答案：BD解析：由题，f′（x）＝3x2－1，令f′（x）>0得x>

33或x<－33，令f′（x）<0得－33<x<33，所以f（x）在（－∞，－33），（33，＋∞）上单调递增，（－33，33）上单调递减，所以x＝±33是极值点，故A错误；因f－33＝1＋239>0，f33＝1－239>0，f（－2）＝－5<

0，所以，函数f（x）在（－∞，－33）上有一个零点，当x≥33时，f（x）≥f33>0，即函数f（x）在（33，＋∞）上无零点，综上所述，函数f（x）有一个零点，故B正确；令h（x）＝x3－x，该函数的定义域为R，h（－x）＝（－x）3－（－x）＝－x3＋x＝－h（x）

，则h（x）是奇函数，（0，0）是h（x）的对称中心，将h（x）的图象向上移动一个单位得到f（x）的图象，所以点（0，1）是曲线y＝f（x）的对称中心，故C错误；令f′（x）＝3x2－1＝2，可得x＝±1，又f（1）＝f（－1）＝1，当切点为（1，1）时，切线方程为y＝2x－1，当切点为（

－1，1）时，切线方程为y＝2x＋3，故D正确．故选BD.12．答案：AD解析：f（x）＝x＋1ex，则f′（x）＝ex－ex（x＋1）（ex）2＝－xex，因为ex>0在x∈R恒成立．所以当x>0时，f′（x）<0，f（x）在x∈（0，＋∞）单调递减；当x<0时，f′（

x）>0，f（x）在x∈（－∞，0）单调递增；所以f（x）在x＝0处有极大值，没有极小值，故A正确，B错误；根据f（x）的单调性，画出函数f（x）图象，以及y＝－x＋2的图象，如图：由此可知，函数f（x）与y＝－x＋2的图象只有一个交点，故C错误；函数g（x）＝f（

x）－12023有两个零点等价于函数f（x）与y＝12023图象有两个交点，如图所示：由此可知，函数f（x）与y＝12023图象有两个交点，即函数g（x）＝f（x）－12023有两个零点．故D正确．故选AD.13．答案：2x－y＝0解析：由题知f（x）＝

lnx＋x＋1，∴f（1）＝2，f′（x）＝1x＋1，∴f′（1）＝2，∴f（x）＝lnx＋x＋1在（1，f（1））处的切线方程为y＝2（x－1）＋2，即2x－y＝0.14．答案：2π解析：f′（x）

＝1－cosx＋xsinx，当x∈[0，π]时，f′（x）＝1－cosx＋xsinx≥0，所以函数f（x）在[0，π]上递增，所以f（x）max＝f（π）＝π＋π＝2π.15．答案：（－∞，3ln2）解析：令g（x）＝f（x）－lnx（x

>0），则g′（x）＝f′（x）－1x＝xf′（x）－1x（x>0），因为xf′（x）－1>0，x>0，所以g′（x）>0，所以g（x）在（0，＋∞）上单调递增；又因为g（8）＝f（8）－ln8＝3ln2－3ln2＝0.不等式f（ex）<x，

即为f（ex）－lnex<0，即g（ex）<0，所以ex<8，所以x<ln8＝3ln2，所以不等式f（ex）<x的解集为：（－∞，3ln2）.16．答案：[1e，e2]解析：由题ae1－x＝elna＋1－x，原式变形：elna－lna≥elna＋1－x＋ex－e－x，移项且两

边同时加1得e（lna＋1－x）＋1≥elna＋1－x＋lna＋1－x，令lna＋1－x＝t，原式可得et＋1≥et＋t，令f（t）＝et＋t，g（t）＝et＋1，因为g（0）＝f（0）＝1，g（1）＝f（1）＝e＋1，由如图图象可知

，当f（t）≤g（t）时，可得t∈[0，1]，故0≤lna＋1－x≤1，所以x－1≤lna≤x，因为题目中为存在性命题，且x∈[0，2]，所以－1≤lna≤2，解得1e≤a≤e2.考点练33利用导数证明不等式——“同构”构造新函数1．证明：不妨设x1>x

2>0，因为lnx1－ax1＝0，lnx2－ax2＝0，所以lnx1＋lnx2＝a（x1＋x2），lnx1－lnx2＝a（x1－x2），所以lnx1－lnx2x1－x2＝a，欲证x1x2>e2，即证lnx1＋lnx2>2.因为lnx1

＋lnx2＝a（x1＋x2），所以即证a>2x1＋x2，所以原问题等价于证明lnx1－lnx2x1－x2>2x1＋x2，即lnx1x2>2（x1－x2）x1＋x2，令c＝x1x2（c>1），则不等式变为lnc>2（c－1）c＋1.令h（c）＝lnc－2（c－1）c＋1，c>1，所以h′（c）＝

1c－4（c＋1）2＝（c－1）2c（c＋1）2>0，所以h（c）在（1，＋∞）上单调递增，所以h（c）>h（1）＝ln1－0＝0，即lnc－2（c－1）c＋1>0（c>1），因此原不等式x1x2>e2得证．2．解析：（1）∵f（x）＝

ex－lnx＋1，∴f′（x）＝ex－1x，∴k＝f′（1）＝e－1.∵f（1）＝e＋1，∴切点坐标为（1，1＋e），∴函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y－e－1＝（e－1）（x－1），即y＝（e－1）x＋2，∴切线与坐标轴交点坐标分别为（0，2），（－2e－1，0）

，∴所求三角形面积为12×2×|－2e－1|＝2e－1.（2）f（x）＝aex－1－lnx＋lna＝elna＋x－1－lnx＋lna≥1等价于elna＋x－1＋lna＋x－1≥lnx＋x＝elnx＋lnx.令

g（x）＝ex＋x，上述不等式等价于g（lna＋x－1）≥g（lnx），显然g（x）为单调增函数，∴又等价于lna＋x－1≥lnx，即lna≥lnx－x＋1，令h（x）＝lnx－x＋1，则h′（x）＝1x－1＝1－xx，在（0，1）上h′（x）>0，h

（x）单调递增；在（1，＋∞）上h′（x）<0，h（x）单调递减，∴h（x）max＝h（1）＝0，lna≥0，即a≥1，∴a的取值范围是[1，＋∞）.考点练34利用导数证明不等式——放缩法1．解析：（1）f（x）的定义域为（0，＋∞），f′（x）＝aex－1x.由题设知，f′（2）＝0，

所以a＝12e2.从而f（x）＝12e2ex－lnx－1，f′（x）＝12e2ex－1x.当0<x<2时，f′（x）<0；当x>2时，f′（x）>0.所以f（x）在（0，2）单调递减，在（2，＋∞）单调递增．（2）证明：当a≥1e时，f（x）≥e2e－ln

x－1.设g（x）＝exe－lnx－1，则g′（x）＝exe－1x.当0<x<1时，g′（x）<0；当x>1时，g′（x）>0.所以g（x）在（0，1）单调递减，在（1，＋∞）单调递增，所以x＝1是g（x）的最小值点．故当x>0时，g（x）≥g（1）＝0.因

此，当a≥1e时，f（x）≥0.2．解析：（1）由题意得f′（x）＝ex＋acosx，且f（0）＝1＋b，所以f′（0）＝e0＋a＝1，所以a＝0.又（0，1＋b）在切线x－y－1＝0上，所以0－1－b－1＝0，所以b＝－2.（2）证明：由（1）知f（x）＝

ex－2.先证：ex－2>x－1，即ex－x－1>0（x>0）.令g（x）＝ex－x－1（x>0），则g′（x）＝ex－1，所以g（x）在（0，＋∞）上是增函数．故g（x）>g（0）＝0，即ex－2>x－1①.再证：x－1≥lnx，即x－1－lnx≥

0.令φ（x）＝x－1－lnx，则φ′（x）＝1－1x＝x－1x（x>0）.故φ（x）在（0，1）上是减函数，在（1，＋∞）上是增函数，则φ（x）min＝φ（1）＝0，即x－1－lnx≥0，所以x－1≥lnx.由①②得

ex－2>lnx，即f（x）>lnx在（0，＋∞）上恒成立．考点练35利用导数证明不等式——隐零点法1．解析：（1）由题意知f′（x）＝ax＋1＝x＋ax（x>0），当a>0时，f′（x）>0在（0，＋∞）上恒成立，所以函数f（x）在（0

，＋∞）上单调递增；当a<0时，令f′（x）<0，解得0<x<－a，令f′（x）>0，解得x>－a，故函数f（x）在（0，－a）上单调递减，在（－a，＋∞）上单调递增．（2）证明：当a＝1时，f（x）＝lnx＋x＋1，令F（x）＝xex－lnx－x－1（x

>0），则F′（x）＝（x＋1）ex－1x－1＝x＋1x（xex－1）.令G（x）＝xex－1（x>0），则G′（x）＝（x＋1）ex>0在（0，＋∞）上恒成立，所以函数G（x）在区间（0，＋∞）上是增函数，又G（0）＝－1<0，G（1）＝e－1>0，

所以函数G（x）存在唯一的零点x0∈（0，1），且当x∈（0，x0）时，G（x）<0；当x∈（x0，＋∞）时，G（x）>0.所以当x∈（0，x0）时，F′（x）<0；当x∈（x0，＋∞）时，F′（x）>0.所以函数F（x）在（0，x0）

上单调递减，在（x0，＋∞）上单调递增．故F（x）min＝F（x0）＝x0e𝑥0－lnx0－x0－1，由G（x0）＝0得：x0e𝑥0－1＝0，即x0e𝑥0＝1，两边取对数得lnx0＋x0＝0，故F（x0）＝0.所以F（x）≥0，即f（x）≤xex.2．解析：（1）f′（x）＝1x－a＝1－

axx（x>0），当a≤0时，f′（x）>0，所以f（x）在（0，＋∞）上单调递增，当a>0时，令f′（x）＝0，得到x＝1a，所以当x∈（0，1a）时，f′（x）>0，f（x）单调递增，当x∈（1a，＋∞）时，f′（x）<0，f（x）单调递减，综上所述，当a≤0时

，f（x）在（0，＋∞）上单调递增，当a>0时，f（x）在（0，1a）单调递增，f（x）在（1a，＋∞）单调递减．（2）证明：设函数φ（x）＝ex－2－lnx，则φ′（x）＝ex－2－1x，可知φ′（x）在（0，＋∞）上单调递增，又由φ′（1）<0，φ′（2）>0，所以φ′（x）在（0，

＋∞）上有唯一实数根x0，且1<x0<2，则φ′（x0）＝e𝑥0－2－1x0＝0，即e𝑥0－2＝1x0，当x∈（0，x0）时，φ′（x）<0，φ（x）单调递减，当x∈（x0，＋∞）时，φ′（x）>0，φ（x）单调递增，所以φ（x）≥φ（x0）＝e𝑥0－2－lnx0，结合e𝑥0－2＝1x0

，知x0－2＝－lnx0，所以φ（x）≥φ（x0）＝1x0＋x0－2＝x20－2x0＋1x0＝（x0－1）2x0>0，则φ（x）＝ex－2－lnx>0，即不等式ex－2－ax>f（x）恒成立．考点练36利用导数证明不等式——极值点偏移1．证明：（1）当a＝1时，f（x）＝2lnx－x

2＋1，定义域为（0，＋∞），令g（x）＝f（x）－（2x－x2）＝2lnx－2x＋1，则g′（x）＝2x－2，当0<x<1时，g′（x）>0；当x>1时，g′（x）<0；所以函数g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减，故g（x）max＝g（1）＝－1<0，

所以g（x）<0，得f（x）<2x－x2.（2）因为f（x）有两个不同的零点x1，x2，则f（x）在定义域内不单调；由f′（x）＝2ax－2x＋2（a－1）＝－2（x－a）（x＋1）x，当a≤0时，f′（x）<0在（0，

＋∞）恒成立，则f（x）在（0，＋∞）上单调递减，不符合题意；当a>0时，在（0，a）上有f′（x）>0，在（a，＋∞）上有f′（x）<0，所以f（x）在（0，a）上单调递增，在（a，＋∞）上单调递减．不妨设0<x1<a<x2，令F（x）＝f（x）－f（2a－x），则F′（x）＝f′（x

）－f′（2a－x）（2a－x）′＝f′（x）＋f′（2a－x）＝2ax－2x＋2（a－1）＋2a2a－x－2（2a－x）＋2（a－1）＝4（a－x）2x（2a－x），当x∈（0，a）时，F′（x）>0，则F（x）在（0，a）上单调递增，所以F（x）<F（a）＝f（a）－f（2a－a）

＝0，故f（x）<f（2a－x），因为0<x1<a<x2，所以f（x1）<f（2a－x1），又f（x1）＝f（x2），a<2a－x1<2a，则f（x2）<f（2a－x1），又f（x）在（a，＋∞）上单调递减，所以x2>2a－x1，则x1＋x2>2a.2．解析：（1）当a<0时，f

1a＝1e1𝑎，因为0<e1𝑎<e，所以1e1𝑎>1e，即f1a>1e，不符合题意；当a>0时，f′（x）＝a（1－x）ex，当x∈（－∞，1）时，f′（x）>0，当x∈（1，＋∞）时，

f′（x）<0，所以f（x）在（－∞，1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减．所以f（x）≤f（1）＝ae.由f（x）≤1e恒成立可知ae≤1e，所以a≤1.又因为a>0，所以a的取值范围为（0，1].（2）证明：因为m＝nem－n，所以me－m＝ne－n，即mem

＝nen.令g（x）＝xex，由题意可知，存在不相等的两个实数m，n，使得g（m）＝g（n）.由（1）可知g（x）在区间（－∞，1）上单调递增，在区间（1，＋∞）上单调递减．不妨设m<n，则m<1<n.设h（x）＝g（x）－g（2－x

）（x>1），则h′（x）＝g′（x）－g′（2－x）（2－x）′＝1－xex＋（x－1）ex－2＝（x－1）·e2x－2－1ex>0，所以h（x）在（1，＋∞）上单调递增，所以h（x）>h（1）＝0，所以h（x）>0，即g（x）>g

（2－x）在区间（1，＋∞）上恒成立．因为n>1，所以g（n）>g（2－n）.因为g（m）＝g（n），所以g（m）>g（2－n）.又因为m<1，2－n<1，且g（x）在区间（－∞，1）上单调递增，所以m>2－n，即m＋n>2.考点练37利用导数解决“双变量”问题1．解析：（1）函数f（x）的定义域

为（0，＋∞），f′（x）＝a＋1x＝ax＋1x.当a≥0时，f′（x）>0，所以f（x）在（0，＋∞）上为增函数，此时函数不存在极值．当a<0时，由f′（x）>0，解得0<x<－1a，故f（x）在（0，－1a）上

单调递增．由f′（x）<0，解得x>－1a，故f（x）在（－1a，＋∞）上单调递减．此时函数在x＝－1a处取得极大值，y极大＝f－1a＝－1－lna，无极小值．综上所述，当a≥0时，函数不存在极值．当a<0时，函数在x＝－1a处取得极大值，无极小值．（2）由

（1）知当a≥0时，f（x）在（0，＋∞）上为增函数，故f（x）无最大值，此时不符合题意；当a<0时，f（x）max＝f－1a＝－1＋ln－1a＝－1－ln（－a）.易知g（x）＝x2－2x＋

2在[0，1]上单调递减，所以g（x）max＝g（0）＝2．因为∀x1∈（0，＋∞），∃x2∈[0，1]，使得f（x1）<g（x2），所以f（x）max<g（x）max，即a<0，－1－ln（－a）<2，解得a<－e－3，所以实数a的取值范围是（－∞，－e－3）.2

．解析：（1）由题可知，f′（x）＝lnx＋ax，令f′（x）＝0，即lnx＋ax＝0，即－a＝lnxx有两个根x1，x2，令g（x）＝lnxx，则g′（x）＝1－lnxx2，由g′（x）>0得，1－lnx>0，解得0<x<e；由g′（x）<0得，1－lnx<0，解得x>e，所以g（x）在

（0，e）单调递增，（e，＋∞）单调递减，g（1）＝0，x>e时g（x）>0，所以要使－a＝lnxx有两个根，则0<－a<g（e）＝1e，所以－1e<a<0.（2）证明：由（1）可知－a＝lnx1x1－a＝lnx2x2，且1<x1<e<x2，所以－ax1＝lnx

1－ax2＝lnx2，要证a＋2x1＋x2<0，只用证a（x1＋x2）＋2<0，等价于证明－a（x1＋x2）>2，即证lnx1＋lnx2>2，而－a（x2－x1）＝lnx2－lnx1，即－a＝lnx2

－lnx1x2－x1，故等价于证明lnx2－lnx1x2－x1>2x2＋x1，即证lnx2x1>2（x2－x1）x2＋x1.令t＝x2x1，则t>1，于是等价于证明lnt>2（t－1）t＋1成立，设g（t）＝lnt－2（t－1）t＋1，

t>1，g′（t）＝1t－4（t＋1）2＝（t－1）2t（t＋1）2>0，所以g（t）在（1，＋∞）上单调递增，故g（t）>g（1）＝0，即lnt>2（t－1）t＋1成立，所以lnx1＋lnx2>2，结论得证．考点练3

8利用导数求解函数零点问题1．解析：（1）依题意f（x）＝8－4xx2－2x－2，故f（2）＝0；而f′（x）＝－4（x2－2x－2）－（2x－2）（8－4x）（x2－2x－2）2，故f′（2）＝2，又f（2）＝0，故所求切线方程为y＝2x－4.（2）令g（x

）＝f（x）－λ＝0，则f（x）＝λ；f′（x）＝－4（x2－2x＋m）－（2x－2）（8－4x）（x2－2x＋m）2，而f′（0）＝－4m＋16m2＝0，解得m＝4，经检验成立．所以f（x）＝8－4xx2－2x＋4，故函数f（x）的定义域为R，f′（x）

＝－4（x2－2x＋4）－（2x－2）（8－4x）（x2－2x＋4）2＝4（x2－4x）（x2－2x＋4）2＝4x（x－4）（x2－2x＋4）2；令f′（x）＝0，解得x＝0或x＝4；故当x∈（－∞，0）时，f′（x）>0，当x∈（0，4）时，f′（x）<0，当x∈（4，＋

∞）时，f′（x）>0，故函数f（x）在（－∞，0）和（4，＋∞）上单调递增，在（0，4）上单调递减；而f（0）＝2，f（4）＝－23，且当x→－∞时，f（x）→0＋，当x→＋∞时，f（x）→0－，作出f（x）的大致图象如

图所示，观察可知，实数λ的取值范围为（－23，0）∪（0，2）.2．解析：（1）证明：∵a＝b＝2，∴f（x）＝ex－2ln（x＋2），x>－2，则f′（x）＝ex－2x＋2，令m（x）＝f′（x），则m′

（x）＝ex＋2（x＋2）2>0，∴m（x）单调递增，又m（0）＝0，∴当x∈（－2，0）时，m（x）<0，f（x）单调递减；当x∈（0，＋∞）时，m（x）>0，f（x）单调递增，∴f（x）≥f（0）＝1－2ln2，故f（x）≥1－2ln2.（2）当b＝1时，f（x）＝ex－aln（x＋1

），x>－1，则f′（x）＝ex－ax＋1，令g（x）＝f′（x），∵a≥4，∴g′（x）＝ex＋a（x＋1）2>0，∴g（x）单调递增．∵g（0）＝1－a<0，g（lna）＝alna1＋lna>0，∴存在唯一的x0∈（0，＋∞），使g（x0）

＝0，且当x∈（－1，x0）时，g（x）<0，f（x）单调递减；当x∈（x0，＋∞）时，g（x）>0，f（x）单调递增，∴f（x）最多有2个零点．又f（0）＝1>0，f（1）＝e－aln2≤e－4ln2≈2.718－4×0.693＝－0.054<0，∴f（x）在（

0，1）内有1个零点；令h（a）＝f（a－1）＝ea－1－alna（a≥4），则h′（a）＝ea－1－lna－1，令p（a）＝h′（a），则p′（a）＝ea－1－1a≥e3－14>0，∴p（a）在[4

，＋∞）上单调递增，∴p（a）≥p（4）＝e3－ln4－1>0，∴h（a）在[4，＋∞）上单调递增，故h（a）≥h（4）＝e3－4ln4>23－4×2＝0，则f（x）在（1，a－1）内有1个零点．综上，a≥4时，f（x）有两个零点．考点过关检测6函数与导数1

．解析：（1）函数f（x）＝xlnx－ax＝lnx－ax，定义域为（0，＋∞），f′（x）＝1x＋ax2＝x＋ax2，①当a≥0时，f′（x）>0，f（x）单调递增；②当a<0时，－a>0，x∈（0，－a）时，f′（x）

<0，f（x）单调递减；x∈（－a，＋∞）时，f′（x）>0，f（x）单调递增，综上，当a≥0时，f（x）的单调递增区间为（0，＋∞），无单调递减区间；当a<0时，f（x）的单调递减区间为（0，－a），单调递增区间为（－a，＋∞）.（2）证明：由（1）知，当a＝－1时，f（x）

＝lnx＋1x，且f（x）≥f（1）＝1，所以xlnx＋1≥x，因为f（x）＝xlnx－ax，所以不等式xf（x）＋e－x>－a等价于xlnx＋e－x>0，令g（x）＝x＋e－x－1，则g′（x）＝1－e－x＝ex－1ex>0在x>0时恒成立，所以当x>0时，g（x）>g（0）＝0，

即x＋e－x－1>0.又xlnx＋1≥x，所以xlnx＋e－x≥x－1＋e－x>0，故xlnx＋e－x>0，即xf（x）＋e－x>－a.2．解析：（1）当a＝1时，需证f（x）≥g（x），只需证2x－xcosx－si

nx≥0，设h（x）＝2x－xcosx－sinx，h′（x）＝2－2cosx＋xsinx，当x∈[0，π]时，h′（x）＝2（1－cosx）＋xsinx≥0，所以h（x）在[0，π]上单调递增，所以h（x）≥h（0）＝0.所以f（x）≥g（x）.（2）因为f（x）≥g（x）

，所以2ax－axcosx－sinx≥0，设φ（x）＝2ax－axcosx－sinx，可得φ（0）＝0，又φ′（x）＝2a－a（cosx－xsinx）－cosx，则φ′（0）＝a－1，若a≥1，φ（x

）≥2x－xcosx－sinx，由（1）知，当x∈[0，π]时，φ（x）≥φ（0）＝0；当x∈（π，＋∞）时，2x－xcosx－sinx＝x（1－cosx）＋（x－sinx）>0，所以φ（x）≥0恒成立，符合题意；若a≤0，φ（x）＝2ax－axcosx－sinx＝ax（1－co

sx）＋ax－sinx，当x∈（0，π2）时，φ（x）<0，不合题意；若0<a<1，因为x∈（0，π2）时，φ″（x）＝（2a＋1）sinx＋axcosx≥0，所以φ′（x）在（0，π2）上单调递增，因为φ′π2＝（2＋π2

）a>0，又φ′（0）<0，所以存在x0∈（0，π2），φ′（x0）＝0，当x∈（0，x0）时，φ′（x）<0，φ（x）在（0，x0）上单调递减，φ（x）<φ（0）＝0，不合题意；综上，a的取值范围是[1，＋∞）.3．解析：（1）依题意f（x）＝－2xln

x＋x2，f′（x）＝－2lnx－2＋2x＝2（x－lnx－1）.令g（x）＝x－lnx－1，则g′（x）＝1－1x＝x－1x（x>0），当x∈（0，1）时，g′（x）<0，当x∈（1，＋∞）时，g′（x）>0，故函数g（x）在（0，1）上单调递减，

在（1，＋∞）上单调递增，则g（x）≥g（1）＝0，即f′（x）≥0，故函数f（x）的单调递增区间为（0，＋∞），无单调递减区间．（2）证明：要证lnx1＋lnx2>2，即证ln（x1x2）>2.依题意，x1、x2是方程mxlnx＋x2＝0的两个不等实数根，不妨令x

1>x2，因为x>0，故mlnx1＋x1＝0mlnx2＋x2＝0，两式相加可得m（lnx1＋lnx2）＋（x1＋x2）＝0，两式相减可得m（lnx1－lnx2）＋（x1－x2）＝0，消去m，整理得ln（x1x2）lnx1x2＝x1＋x2x1－x2，故ln（x1x2）

＝lnx1x2·x1＋x2x1－x2＝lnx1x2·x1x2＋1x1x2－1，令x1x2＝t>1，故只需证明lnt·t＋1t－1>2，即证明lnt>2（t－1）t＋1，设h（t）＝lnt－2（t－1）t＋1，故h′（t）＝1t－4（t＋1）2＝（t－1）2t（t＋1）

2>0，故h（t）在（1，＋∞）上单调递增，从而h（t）>h（1）＝0，因此lnt>2（t－1）t＋1.故原不等式得证．4．解析：（1）∵f（x）定义域为（0，＋∞），f′（x）＝1x－1＝1－xx，∴当x∈（0，1）时，

f′（x）>0；当x∈（1，＋∞）时，f′（x）<0；f（x）的单调递增区间为（0，1）；单调递减区间为（1，＋∞）.（2）①若x1，x2∈（0，e]是g（x）的两个不同零点，则y＝f（x）与y＝－a在（0，e]上有两个不同交点；由（1）知：

f（x）max＝－1，又f（e）＝1－e，f（x）在（0，e]的图象如图所示，由图象可知：1－e≤－a<－1，∴1<a≤e－1，即a的取值范围为（1，e－1].②证明：不妨设x1<x2，由①知：0<x1<1<x2≤e，∴g（x）＝f（x）＋a，∴g′（x）＝1－xx，∴g（x

）在（0，1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减；设F（x）＝g（x）－g1x（1<x≤e），则F′（x）＝1－xx－1－1x1x·－1x2＝1－xx＋x－1x2＝－（x－1）2x2<0，∴F（x）在（1，e

]上单调递减，∴F（x）<F（1）＝0，∴g（x）<g1x，又x2∈（1，e]，∴g（x2）<g1x2，又g（x1）＝g（x2），∴g（x1）<g1x2；∵x1∈（0，1），1x2∈[1e，1），g（x）在（0，1）上单调递增，∴x1<1x2，则x

1x2<1.单元过关检测三导数及其应用1．答案：B解析：由点M（3，f（3））处的切线方程是y＝13x＋23可得：f′（3）＝13，x＝3时，y＝13×3＋23＝53，故f（3）＝53，∴f（3）＋f′（3）＝2.故选B.2．答案：D解析：由f（x）＝2f′（1）lnx＋2x，

得f′（x）＝2f′（1）x＋2，令x＝1，则f′（1）＝2f′（1）1＋2，解得f′（1）＝－2，所以f（x）＝－4lnx＋2x，f（e）＝－4＋2e.故选D.3．答案：B解析：由函数图象可知，当x≤0时

，函数y＝f（x）匀速递增，故f′（x）是一个大于0的常数，当x>0时，函数y＝f（x）递减，且递减幅度越来越快，∴f′（x）<0，且y＝f′（x）单调递减，则f′（2）<f′（1）<0<f′（－1）＝f′（－2）.故选B.4．

答案：D解析：f′（x）＝2cosx－2sinx－aex，因为函数f（x）＝2sinx＋aex在x＝π2处取得极值，所以f′π2＝0，解得a＝－2，经检验a＝－2符合题意，所以a＝－2.故选D.5．答案：A解析：因为函数f（x）＝ax3＋x在定义域R上恰有三个单调区间，所

以其导函数在定义域R上有两个不同的零点，由f′（x）＝3ax2＋1可得3ax2＋1＝0，即x2＝－13a，所以只需a<0，方程3ax2＋1＝0在R上有两个不同的实数根．故选A.6．答案：C解析：由题知点在直线y＝2上运动，y＝2与y＝2x－1的交点为

A（2，2），由图象可知．要使过点（a，2）有两条与曲线y＝2x－1相切的直线，则点（a，2）只需要在A点的右侧，结合选项可知a>e为其充分条件．故选C.7．答案：B解析：由图形可得：f（x）≥0当x∈（0，＋∞）时恒成立，先减后增，f（π）>2.对A：当x∈（0，1）时，则x＋1x>0

，lnx<0，故f（x）＝（x＋1x）lnx<0，A错误；对B：f′（x）＝（1＋1x2）lnx＋（x－1x）×1x＝（x2＋1）lnx＋（x＋1）（x－1）x2，∵x>0，则x2＋1>0，x＋1>0，x2>0，当x>1时，则lnx>0，x－1>0，则f′

（x）>0，当0<x<1时，则lnx<0，x－1<0，则f′（x）<0，∴f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增，则f（x）≥f（1）＝0，又∵π－1π>2，lnπ>1，则f（π）＝（π－1π）lnπ>2，B

正确；对C：当x∈（0，1）时，则x－1x＝（x＋1）（x－1）x<0，x>0，故f（x）＝（x－1x）1x<0，C错误；对D：f（π）＝π－lnπ－1π＝1－1＋lnππ<1，D错误．故选B.8．答

案：D解析：∵a＝1e＝lnee，c＝3（3－ln3）e3＝3－ln3e3－ln3，令f（x）＝lnxx，则a＝f（e），b＝f（2），c＝f（3－ln3），f′（x）＝1x·x－lnxx2＝1－lnxx2，当0<x<e时，f′（x）>0，即f（x）＝ln

xx在（0，e）上单调递增．∵0<3－ln3<2<e，∴f（3－ln3）<f（2）<f（e），即c<b<a.故选D.9．答案：AC解析：由图象可得，当x∈（－∞，－3）时f′（x）<0，当x∈（－3，＋∞）时f′（x）>0，所以f

（x）在（－∞，－3）上单调递减，在（－3，＋∞）上单调递增，故－3是函数y＝f（x）的极值点，－2、－1不是函数y＝f（x）的极值点．故选AC.10．答案：AB解析：对A：f（x）＝x，则f′（x）

＝1，令f（x）＝f′（x），则x＝1，故f（x）有“巧值点”；对B：f（x）＝ex，则f′（x）＝ex，因为f（x）＝f′（x）恒成立，故任意的x∈R，都是f（x）的“巧值点”；对C：f（x）＝tanx，则f′（x）＝1cos2x，令tanx＝

1cos2x，整理得sin2x＝2，方程无根，故f（x）＝tanx没有“巧值点”；对D：f（x）＝1x定义域为{x|x>0}，则f′（x）＝－12xx<0，而f（x）>0，显然f（x）＝f′（x）无根，故f（x）＝1x没有“巧值点”．故

选AB.11．答案：ACD解析：f′（x）＝（x＋2）ex－2（x＋1），记g（x）＝（x＋2）ex－2（x＋1），因为g′（x）＝（x＋3）ex－2，且g′（0）＝1，g′（x）在区间（－3，＋∞）上显然

递增，所以记m为g′（x）＝（x＋3）ex－2的零点，则有－3<m<0，所以当x>m时，g′（x）>0，g（x）在（m，＋∞）上单调递增，又因为g（0）＝0，所以当x∈（m，0）时，f′（x）<0，当x∈（0，＋∞）时，f′（

x）>0，所以当x＝0时，f（x）有极小值，D正确；由上可知，f（x）在（0，＋∞）上单调递增，且当x趋近于正无穷时，f（x）也趋于正无穷，故AC正确；易知f（0）＝0，f（－1）＝0，故B错误．故选ACD.12．答案：ABC解析：因为f′（x）－f（x）x－1>0，所以

当x>1时，f′（x）－f（x）>0；当x<1时，f′（x）－f（x）<0.因为g（x）＝f（x）ex，所以g′（x）＝f′（x）－f（x）ex，则当x>1时，g′（x）>0；当x<1时，g′（x）<0.所以函数g（x）在（1，＋∞）上为单调递增函数，在（－∞，1）上为单调递减函数，则x

＝1是函数g（x）的极小值点，则选项A，B均正确．当g（1）<0时，因为函数g（x）在（1，＋∞）上单调递增，在（－∞，1）上单调递减，所以函数g（x）在区间（1，＋∞）和区间（－∞，1）上分别至多有一个零点，当g（1）>0时，函

数g（x）无零点，所以函数g（x）至多有两个零点，所以选项C正确．因为f（0）＝1，所以g（0）＝f（0）e0＝1，又g（x）在区间（－∞，1）上单调递减，所以当x≤0时，g（x）＝f（x）ex≥g（0）＝1，

又ex>0，所以f（x）≥ex，故选项D错误．故选ABC.13．答案：（2，e2）14．答案：（－∞，－13]解析：由题意得：由函数f（x）＝x3＋x2－ax＋1可知：函数f′（x）＝3x2＋2x－a，x∈R，函数f（x）＝x3＋x2－ax＋1在R上单调递增，可转化为f′（x

）≥0在R上恒成立．于是可知对于二次函数f′（x）＝3x2＋2x－a只要Δ＝4＋12a≤0，解得：a∈（－∞，－13].15．答案：（1）2（2）（0，2）解析：（1）当a＝1时，f（x）＝－x2＋x＋1，x≤1x，x>1；∵f（1）＝1，f（x）为连

续函数，又f（x）在（－∞，12），（1，＋∞）上单调递增，在（12，1）上单调递减，∴x＝12和x＝1是f（x）的极值点，即f（x）的极值点个数为2；（2）∵f（1）＝a，f（x）为连续函数，又f（x）＝ax（x>1）为单调函数，f（x）在（1，＋∞）

上无极值点；f（x）＝－x2＋ax＋1在（－∞，1）上至多有一个极值点，∴x＝1和x＝a2必为f（x）的两个极值点，∴a2<1，解得：a<2，又f（x）在（a2，1）上单调递减，f（x）在（1，＋∞）上单调递增，∴a>0.综上所述：实数a的取值范围为（0，2）.16．答案：（－1，0）∪

（1，＋∞）解析：构造g（x）＝f（x）x（x≠0），则当x>0时，g′（x）＝xf′（x）－f（x）x2>0，∴g（x）在（0，＋∞）上递增，∵f（x）为奇函数，∴g（－x）＝－f（－x）x＝f（x）x＝g（x）为

偶函数，∴g（x）在（－∞，0）上递减，g（1）＝g（－1）＝－f（－1）＝0，当x>0时，f（x）>0⇔xg（x）>0⇔g（x）>0，∴x>1；当x<0时，f（x）>0⇔xg（x）>0⇔g（x）<0，∴－1<x<0.综上：使得f（x）>0成立的x的取值范围是（－1，0）∪（1，＋∞）

.17．解析：（1）令x＝0，则f（0）＝e0＝1，所以f（x）与y轴的交点A的坐标为（0，1）.（2）由f（x）＝ex－ax，得f′（x）＝ex－a，∴f′（0）＝1－a＝－1，解得a＝2，∴f（x）＝ex－2x，f′（x）＝ex－2，令f′（x）＝ex

－2＝0，解得x＝ln2，当x<ln2时，f′（x）<0，f（x）单调递减，当x>ln2时，f′（x）>0，f（x）单调递增，所以当x＝ln2时，f（x）有极小值f（ln2）＝2－2ln2.故函数极小值

为2－2ln2，无极大值．18．解析：（1）由题意知f（1）＝3－c，因此－b－c＝3－c，从而b＝－3.由题意求导得f′（1）＝0，因此a－2b＝0，解得a＝－6.（2）由（1）知f′（x）＝－12xlnx．令f′（x）＝0，解得x＝1.x（0，1）1（1，＋∞）

f′（x）＋0－f（x）递增极大值递减因此f（x）的单调递增区间为（0，1），而f（x）的单调递减区间为（1，＋∞）；所以f（x）在x＝1处取得极大值f（1）＝3－c，此极大值也是最大值．要使f（x）≥2

c2（x>0）有解，只需3－c≥2c2.即2c2＋c－3≤0，从而（2c＋3）（c－1）≤0，解得－32≤c≤1.所以c的取值范围为－32，1.19．解析：（1）若a＝0，有f（x）＝3－2xx2，定义域为{x|x≠0}，则f′（x）＝2x－6x3，f′（x）

<0得0<x<3；f′（x）>0得x<0或x>3，所以，f（x）的减区间是（0，3），增区间是（－∞，0），（3，＋∞）.（2）∵f′（x）＝2x2－6x－2a（x2＋a）2，f′（－1）＝0即：8－2a＝0，∴a＝4，∴f（x）＝3－2xx2＋

4，∴f′（x）＝2x2－6x－8（x2＋4）2＝2（x－4）（x＋1）（x2＋4）2，∴当x<－1或x>4时，f′（x）>0；当－1<x<4时f′（x）<0，∴f（x）在（－∞，－1），（4，＋∞）上递增，在（－1，4）上递减∴

f（x）的极大值为f（－1）＝1，f（x）的极小值为f（4）＝－14.又∵当x→－∞时，f（x）→0＋，当x→＋∞时，f（x）→0－，f（x）max＝f（－1）＝1，f（x）min＝f（4）＝－14.20．解析：（1）由题

意得f′（x）＝（x－1）ex＋2ax－b.∵函数f（x）的图象在点（0，f（0））处的切线的斜率为－3，∴f′（0）＝－b－1＝－3，解得b＝2.（2）∵f（x）>－e－1恒成立，∴f（1）＝－e＋a－2>－e－1，即a>1.下面证明当a>1时，不等式f（x）>－e－

1在x∈R上恒成立．当a>1时，f（x）>（x－2）ex＋x2－2x（当x＝0时，取“＝”）.令g（x）＝（x－2）ex＋x2－2x，则g′（x）＝（x－1）ex＋2（x－1）＝（x－1）（ex＋2）.由g′（x）>0，得x>1，由g′（x）<0，

得x<1.∴函数g（x）在区间（－∞，1）上单调递减，在区间（1，＋∞）上单调递增．∴g（x）min＝g（1）＝－e－1，∴g（x）≥－e－1（当x＝1时，取“＝”）.∴f（x）>－e－1.综上，实数a的取

值范围为a>1.21．解析：（1）由题知∵m＝2，∴f（x）＝x22x－1，∴f′（x）＝2x－ln2·x22x.∵f（1）＝－12，f′（1）＝2－ln22，∴f（x）的图象在x＝1处的切线方程为y＋

12＝2－ln22（x－1），即（2－ln2）x－2y＋ln2－3＝0.（2）证明：当0<m<1时，mx>0，则函数f（x）＝xmmx－1只有一个零点等价于函数g（x）＝xm－mx只有一个零点，可得g′（x）＝mxm－1－mxlnm，∵0<m<1，∴mxm－1>0，lnm<0，即g′（x）>0

，∴g（x）在（0，＋∞）上单调递增，又∵g（m）＝0，∴g（x）在（0，＋∞）上只有一个零点．即f（x）在（0，＋∞）上只有一个零点．22．解析：（1）令s＝ex，则f（x）有2个零点，等价于as2－2s＋2＝0存在两个正根，则有Δ＝4－8a>02a>0，解得0<a<12，所以使得f

（x）有两个不同零点的a的取值范围是（0，12）.（2）证明：依题意，g′（x）＝ae2x＋（a－2）ex＋2e－x＝e－x（ex＋1）（ae2x－2ex＋2），因为e－x>0，ex＋1>0，且g（x）有两个极值点x1，x2，则x1，x2为ae2x

－2ex＋2＝0的两个不同解，设x2－x1＝t（t>0），令h（t）＝t（et＋1）－2et＋2，t>0，则h′（t）＝et（t－1）＋1，令φ（t）＝h′（t）＝et（t－1）＋1，则φ′（t）＝tet>0，即φ（t）在（0，＋∞）上单调递增，

则有h′（t）＝φ（t）>φ（0）＝0，因此，h（t）在（0，＋∞）上单调递增，即h（t）>h（0）＝0，当t>0时，t（et＋1）>2（et－1），取t＝x2－x1，x2>x1，从而有2（e𝑥2－𝑥1－1）<（e𝑥2－𝑥1＋1）（x2－x1）成立，所以原

不等式成立．滚动过关检测二第一章～第三章1．答案：B解析：因为A＝{－1，1，2，3}，B＝{x|2x－2≤1}＝{x|x<2或x≥4}，则A∩B＝{－1，1}．故选B.2．答案：D解析：存在量词命题的否定是全称量词命题．命题p的

否定是：∀x∈N，ex≥0.故选D.3．答案：C解析：∵a＝log0.32<log0.31＝0，b＝20.3>（2）0＝1，∵0<0.20.1<0.20＝1，∴c∈（0，1），∴a<c<b.故选C.4．答案：C解析：对于A，y＝（2）

－x＝22x在（0，＋∞）上单调递减，故A错误；对于B，由对数函数性质y＝log13x在（0，＋∞）上单调递减，故B错误；对于C，设u＝x2＋2x，∵u＝x2＋2x在（0，＋∞）上单调递增，又y＝

u在（0，＋∞）上单调递增，所以y＝x2＋2x在（0，＋∞）上单调递增，故C正确；对于D，函数y＝|x－12|当x＝0和x＝1时函数值相等，故y＝|x－12|在区间（0，＋∞）上递增不成立，故D错误．故选C.5．答案：C解析：∵正实数a，b，c满足log2a＝log3b＝log6c

，∴设log2a＝log3b＝log6c＝k，则a＝2k，b＝3k，c＝6k，∴c＝ab.故选C.6．答案：C解析：g（x）＝14x＋f′（x）＝14x－sinx，函数g（x）为奇函数，排除B、D；gπ2＝π8－1<0，排除A；C符合题意．故选C.7．答案：C解析：观察函数f（x）的图

象知，－1，0，2是函数f（x）的零点，且x1，x2是函数f（x）的两个极值点，于是得f（x）＝x（x＋1）（x－2）＝x3－x2－2x，求导得f′（x）＝3x2－2x－2，因x1，x2是函数f（x）的两个极值点，则x1，x2是方程3x2－2x－2＝0的两根，从而有x1＋x2

＝23，x1x2＝－23，所以x21＋x22＝（x1＋x2）2－2x1x2＝232＋2·23＝169.故选C.8．答案：B解析：由题意知f（x＋2）＝－f（x），则f（x＋4）＝－f（x＋2）＝f（x），所以函数f（x）是以4为周

期的周期函数，又当x∈[－2，0]时，f（x）＝x2＋x，且f（x）是定义在R上的奇函数，所以x∈[0，2]时，－x∈[－2，0]，f（x）＝－f（－x）＝－（x2－x）＝－x2＋x，所以当x∈[4，6]时，x－4∈[0，2]，f（x）＝f（x－4）＝－

（x－4）2＋（x－4）＝－x2＋9x－20.故选B.9．答案：AD解析：由题意可得：函数y＝sin2x＋3cos2x＋1＝2sin（2x＋π3）＋1，将其向右平移π12个单位可得y＝2sin（2x－π6＋π3）＋1＝2sin（2x＋π6）＋1

，再将所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y＝g（x）的图象，可得g（x）＝2sin（4x＋π6）＋1，故可得函数g（x）的周期T＝2π4＝π2，A符合题意；令x＝－π12，可得g（－π12）＝0

，故（－π12，0）不是函数g（x）的一个对称中心，B不符合题意；当x∈π4，π2，可得4x＋π6∈7π6，13π6，由正弦函数性质，可得函数g（x）＝2sin（4x＋π6）＋1在x∈π4，π2不单

调，C不正确；由g（π12）＝2sinπ2＋1＝3，可得x＝π12是函数的对称轴，D符合题意．故选AD.10．答案：ABD解析：对A，由1a<1b<0，得b<a<0，A正确；对B，由1a<1b<0，得b<a<0，所以ba>

0，ab>0，根据基本不等式知，B正确：对C，因为1a<1b<0，所以a>b，因此ab2>b3，所以该选项显然错误；对D，由b<a<0，所以ba>1，所以D正确．故选ABD.11．答案：BD解析：令t

＝2x，则方程即为t2＋bt＋c＝0，则一人写错了常数c，得到的根为t＝12或t＝74，由两根之和得：b＝－（12＋74）＝－94，另一人写错了常数b，得到的根为t＝20＝1或t＝12，由两根之积得：c＝12，所以方程为t2－94t＋12＝0，解得

：t＝14或t＝2，即2x＝14或2x＝2，解得：x＝－2或x＝1.故选BD.12．答案：CD解析：若不等式g（x）>2f（x）－x2－11对一切实数x恒成立，即不等式ex－mx＋8>0对任意实数x恒成立，令h（x）＝ex－mx＋8，∴h′（x）＝ex－m，令h′（x）＝0得x＝lnm，

x<lnm时，h′（x）<0，x>lnm时，h′（x）>0，∴函数h（x）在（－∞，lnm）上单调递减，在（lnm，＋∞）上单调递增，∴h（x）min＝h（lnm）＝m－mlnm＋8>0，令φ（m）＝m－mlnm＋8，φ′（m）＝－lnm，令φ′（m）＝0得m＝1，0<m<1时，

φ′（m）>0，m>1时，φ′（m）<0，∴φ（m）在（0，1）上递增，在（1，＋∞）上递减，取m＝e2∈（7，8），φ（e2）＝8－e2>0，取m＝8，φ（8）＝8（2－ln8）<0，所以φ（m）在（1，＋∞）上存在唯一零点m0且m0

∈（7，8），在m∈（0，m0）上φ（m）>0，在m∈（m0，＋∞）上φ（m）<0，所以m的最大正整数为7.故选CD.13．答案：[110，10]解析：因为函数f（x）的定义域为[－1，1]，所以－1≤lgx≤1，解得：110≤x≤10，所

以f（lgx）的定义域为[110，10].14．答案：（1，2]解析：∵函数f（x）为R上的单调递增函数，∴a>0a－1>0a×0＋1≥（a－1）e0，解得1<a≤2.15．答案：32＋2解析：∵y＝x＋1x－1＝x－1＋2x－1＝1＋2x－1，所以，函数y＝x＋1x－1的图象可由函数y＝

2x的图象先向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到，因为函数y＝2x图象的对称中心为原点，所以函数y＝x＋1x－1图象的对称中心为（1，1），由题意可得2a＋b＝2，即12（2a＋b）＝1，因为a、b均为正数，则1a＋1b＝12（2a＋b）（1

a＋1b）＝12（3＋2ab＋ba）≥12（3＋22ab·ba）＝3＋222，当且仅当b＝2a时，等号成立，故1a＋1b的最小值为32＋2.16．答案：（1）3π4（2）α>β解析：（1）∵f（x）＝cosx，∴f′（x）＝－sinx，根据“新驻点”的定义得f（x）＝f′（x），即co

sx＝－sinx，可得tanx＝－1，∵x∈（0，π），解得x＝3π4，所以，函数f（x）＝cosx在（0，π）上的“新驻点”为3π4.（2）g（x）＝ex－x，则g′（x）＝ex－1，根据“新驻点”的定义得g（α

）＝g′（α），即α＝1.∵h（x）＝ln（x＋1），则h′（x）＝1x＋1，由“新驻点”的定义得h（x）＝h′（x），即ln（x＋1）＝1x＋1，构造函数F（x）＝ln（x＋1）－1x＋1，则函数y＝F（x）在定义域上为增函数，∵F（0）＝－1<0

，F（1）＝ln2－12>0，又∵F（β）＝0，由零点存在定理可知，β∈（0，1），∴α>β.17．解析：（1）f′（x）＝3x2＋2ax＋b，因为f（x）的极值点分别为x1＝－1，x2＝3，所以－1，3是方程3x2＋2ax

＋b＝0的根，所以－1＋3＝－2a3，－1×3＝b3，解得a＝－3，b＝－9.（2）由（1）知f（x）＝x3－3x2－9x＋2，f′（x）＝3x2－6x－9，令f′（x）＝0得x＝－1或3，所以在x<－1或x>3时，f′（x）>0，f（x）单调递增，在－1<x<3时，

f′（x）<0，f（x）单调递减，所以f（x）极大值＝f（－1）＝7，f（x）极小值＝f（3）＝－25.18．解析：（1）由题设，令g（x）＝f（x）＋1＝ax2－（a＋3）x＋4，由函数y＝lg[f（x）＋1]

的定义域为R，∴a>0Δ＝（a＋3）2－16a<0，解得1<a<9.∴a的取值范围为1<a<9.（2）由题意，f（x）＝ax2－（a＋3）x＋3＝（ax－3）（x－1）>0，当3a>1，即0<a<3时，解集为（－∞，1）∪（3a，＋∞）；当3a＝1，即a＝3时，解集为{

x|x≠1}；当3a<1，即a>3时，解集为（－∞，3a）∪（1，＋∞）.综上可知：0<a<3时，解集为（－∞，1）∪（3a，＋∞）；a＝3时，解集为{x|x≠1}；a>3时，解集为（－∞，3a）∪（1，＋∞）.19

．解析：（1）f′（x）＝1－aex＝ex－aex，当a≤0时，f′（x）>0，f（x）在R上递增，0个极值点．当a>0时，f′（x）＝0⇒x＝lna，f（x）在区间（－∞，lna），f′（x）<0，f（x）递减；在区间（lna，＋∞），f′（x）>0，f（x）递增，所以当x＝lna时，f（x）

取得极小值，所以f（x）有1个极值点．（2）由（1）知：当a≤0时，f（x）在[0，1]上递增，f（x）min＝f（0）＝a＝43，不符合．当a≥e时，lna≥1，f（x）在区间[0，1]上递减，f（x）min＝f（1）＝1＋ae＝43，a＝13e，不符合．当1

<a<e时，0<lna<1，f（x）min＝f（lna）＝lna＋aa＝lna＋1＝43，lna＝13，a＝e13，符合．当0<a≤1时，lna<0，f（x）在[0，1]上递增，f（x）min＝f（0）＝a＝43，不符合．综上所述，a的值为e13

.20．解析：（1）因为函数f（x）＝a·2x－12x＋1是奇函数，所以f（－x）＝－f（x），即a·2－x－12－x＋1＝－a·2x－12x＋1，即a－2x2x＋1＝－a·2x＋12x＋1，即a－2x＝－a·2x＋1，整理得（a－1）（2x＋1）＝0，所以a－

1＝0，即a＝1，则－a－2＝－3，因为定义域为[－a－2，b]关于原点对称，所以b＝3.（2）因为x∈[1，2]，所以f（x）＝2x－12x＋1>0，又当x∈[1，2]时，2＋mf（x）＋2x>0恒成立，所以－m<（2x＋2）

（2x＋1）2x－1，x∈[1，2]时恒成立，令t＝2x－1，则－m<（t＋3）（t＋2）t＝t2＋5t＋6t＝t＋6t＋5，t∈[1，3]时恒成立，所以让－m小于t＋6t＋5的最小值，而t＋6t＋5≥2t·6t＋5＝26＋5，当且仅当t＝6t，即t＝6时，

等号成立，所以－m<26＋5，m>－26－5，即m的取值范围是（－26－5，＋∞）.21．解析：（1）f（x）的定义域为R，由f（x）得f′（x）＝2x（1－x）e2x，当x＝0或x＝1时，f′（x）＝0；当x<0时，f′（x）

<0，f（x）单调递减；当0<x<1时，f′（x）>0，f（x）单调递增；当x>1时，f′（x）<0，f（x）单调递减．故f（x）有极大值f（1）＝1e2，有极小值f（0）＝0.x→＋∞时，f（x）→－∞；x→－∞时，f（x）→＋∞；若f（x）＝m有三个解，

则0<m<1e2.（2）因为∀x∈（－∞，0），f（x）－x2>ag（x），即x2e－2x>ax3＋x2，得1e2x－（ax＋1）>0，令h（x）＝1e2x－（ax＋1），则h（x）>0在（－∞，0）上恒成立．由h（x）得h′（x）＝－2e－2x－a，且h（0）＝0.①当a≥－2即－a≤2时，由

x∈（－∞，0），得－2e－2x<－2，所以h′（x）＝－2e－2x－a<0，所以h（x）在（－∞，0）上单调递减，所以h（x）>h（0）＝0，所以a≥－2符合题意．②当a<－2时，令h′（x）＝－2e－2x－a＝0，得x

＝－12ln（－12a）；令h′（x）＝－2e－2x－a>0，得－12ln－12a<x<0，此时h（x）递增，所以h（x）<h（0）＝0，这与h（x）>0相矛盾，所以a<－2不合题意．综上知，a≥－2.22．解析：（1）∵f（x）＝ex－12x2，∴f′（x）＝ex－x，∴f′（1）＝e

－1，∵f（1）＝e－12，故切点坐标为（1，e－12）.故曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y－（e－12）＝（e－1）（x－1），即（e－1）x－y＋12＝0.（2）证明：因为f（x）＝ex－12x2，设g（x）＝f（x）＋3x＋

1，故有g（x）＝ex－12x2＋3x＋1，则g′（x）＝ex－x＋3，令φ（x）＝ex－x＋3，则φ′（x）＝ex－1，显然φ′（x）在R上单调递增，当x<0时，φ′（x）<0，当x>0时，φ′（x）>0，则φ（x）在（－∞，0）上单调递

减，在（0，＋∞）上单调递增，则φ（x）min＝φ（0）＝4>0，即g′（x）>0，于是得g（x）在R上单调递增，令函数F（x）＝g（x）＋g（－x）＝ex＋e－x－x2＋2，∴F′（x）＝ex－e－x－2x，令G（x）＝ex－e－x－2x，则G′（x）＝ex＋e－x－2≥2ex·e－x－

2＝0，当且仅当x＝0时取等号，即有G（x）在R上单调递增，而G（0）＝0，即当x<0时，F′（x）＝G（x）<0，当x>0时，F′（x）＝G（x）>0，因此，F（x）在（－∞，0）单调递减，在（0，＋∞）上单调递增，F（x）min＝F（0）＝4，从而有∀x∈R，g（x）＋

g（－x）≥4，因为x1＋x2≥0，即x1≥－x2，且g（x）在R上单调递增，故g（x1）≥g（－x2），所以g（x1）＋g（x2）≥g（x2）＋g（－x2）≥4.第四章三角函数、解三角形考点练39三角函数的定义1．答案：A解析：由角α，β的终边关于x轴对称，可知sinα＝－sinβ，即sinα＋

sinβ＝0成立，当sinα＋sinβ＝0时，角α，β的终边关于x轴对称或α＝β＋（2k＋1）π，k∈Z，所以“角α，β的终边关于x轴对称”是“sinα＋sinβ＝0”的充分不必要条件．故选A.2．答案：A解析：P（cos2π3，sin2π3），即P（－12，32），则sinα＝yx2＋y

2＝32，tanα＝yx＝－3.故sinαtanα＝－32.故选A.3．答案：CD解析：由弧度和角度不能在同一个表达式中，故选项A，B错误，与9π4终边相同的角的集合是{α|α＝2kπ＋9π4，k∈Z}＝{α|α＝m·

360°＋45°，m∈Z}，经验证选项C，D正确．故选CD.4．答案：BD解析：对于A，正角和负角的正弦值都可正、可负，故A错误；对于B，∵sinα·cosβ<0，α，β∈（0，π），∴sinα>0，cosβ<0，即β∈（π2，π），∴三角形必为钝角三角形，故B

正确；对于C，当sinα，cosα异号时，等式不成立，故C错误；对于D，∵tanα，1tanα的符号相同，∴|tanα＋1tanα|＝|tanα|＋1tanα，故D正确．因此正确的有B，D.故选BD

.5．答案：1112π（答案不唯一）解析：因为A（cosθ，sinθ）与B（cos（θ＋π6），sin（θ＋π6））均在单位圆上，设圆与x轴交于P、Q两点，A在第二象限，B在第三象限，如图所示．则∠AOP＝θ，∠AOB＝π6，因为A、B关于x轴对称，所以∠BOP＝θ，所以2θ＋π6＝2π，解得

θ＝1112π，则符合题意的θ的一个值可以为1112π.6．答案：209解析：如图，依题意可得弧AB的长为60cm，弧CD的长为20cm，设扇形的中心角的弧度数为α，则AB̂＝α·OA，CD̂＝α·OC，则OAOC＝6020＝3，即OA＝3OC.因为AC＝18cm，所以O

C＝9cm，所以该扇形的中心角的弧度数α＝CD̂OC＝209.考点练40同角三角函数的基本关系式、诱导公式1．答案：D解析：由题意得sinα＝－1－132＝－223，则tanα＝sinαcosα＝－22.故选D.2．答案

：C解析：因为tanα＝－3，则sin3α－sinαsinα＋π2＝sin3α－sinαcosα＝（sin2α－1）sinαcosα＝－sinαcosαcos2α＋sin2α＝－tanα1＋tan2α＝310.故选C.3．答案：D解析：因为

（π6－α）＋（α＋π3）＝π2，cos（π6－α）＝45，所以sin（α＋π3）＝sin[π2－（π6－α）]＝cos（π6－α）＝45.故选D.4．答案：ACD解析：因为sinα＋cosα＝15，所以1＋2sinαcosα＝125，可得2sinαcosα＝－2425<0

，因为α∈（0，π），所以α∈（π2，π），由sinα＋cosα＝15sin2α＋cos2α＝1解得sinα＝45cosα＝－35，所以sinα－cosα＝75，故A正确；tanα＝－43，故B错误；cosα

＝－35，故C正确；sin2α＝－2425，故D正确．故选ACD.5．答案：－3解析：因为sin（π－θ）＋cos（θ－2π）sinθ＋cos（π＋θ）＝sinθ＋cosθsinθ－cosθ＝12，所以2（sinθ＋cosθ）＝si

nθ－cosθ，所以sinθ＝－3cosθ，又∵cosθ≠0，所以tanθ＝－3.6．答案：－223解析：由1－cos2αcosα＝163可得3（1－cos2α）＝16cosα，即6sin2α＝16cosα，所以6（1－cos2α）＝16cosα，∴3cos2α＋8cosα－3＝0，解得c

osα＝13或cosα＝－3（舍去），因为α是第四象限角，故sinα＝－1－132＝－223，所以cos（α＋3π2）＝sinα＝－223.考点练41和差公式1．答案：C解析：∵sinα＝35，α∈（π2，π），∴cosα＝－45，∴cos（α＋π3）＝cosα

cosπ3－sinαsinπ3＝－45×12－35×32＝－4＋3310.故选C.2．答案：A解析：因为α，β都是锐角，sinα＝13，cosβ＝63，所以cosα＝1－sin2α＝1－132＝223，sinβ＝1－cos2β＝1－

632＝33，所以cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ＝223×63－13×33＝33.故选A.3．答案：ACD解析：对于A，12sin15°－32cos15°＝sin15°cos60°－sin60°cos15°＝sin（15°－

60°）＝sin（－45°）＝－22，故A正确；对于B，sin20°cos10°－cos160°sin10°＝sin20°cos10°＋cos20°sin10°＝sin（20°＋10°）＝sin30°＝12，故B

错误；对于C，sinπ12－3cosπ12＝2（sinπ12cosπ3－sinπ3cosπ12）＝2sin（π12－π3）＝2sin－π4＝－2，故C正确；对于D，sin105°＝sin（60°＋45°）＝sin60°cos4

5°＋cos60°sin45°＝32×22＋12×22＝6＋24，故D正确．故选ACD.4．答案：AD解析：因为tan2β＝tan[（α＋β）－（α－β）]＝tan（α＋β）－tan（α－β）1＋tan（α＋β）tan（α

－β），又tan（α－β）＝－17，tan（α＋β）＝－1，所以tan2β＝－1＋171＋17＝－34，因为tan2β＝2tanβ1－tan2β，所以2tanβ1－tan2β＝－34，所以3tan2β－8tanβ－3＝0，解得tanβ＝－13或3.故选AD.5．答案：13解析：cos2β

＝2cos2β－1＝－79，即cos2β＝19，又因为β∈（π2，π），所以cosβ<0，所以cosβ＝－13，sinβ＝1－cos2β＝223.因为α∈（0，π2），β∈（π2，π），所以α＋β∈（π2，3π2），又sin（α＋β）＝79>0，所以α＋β∈（π2，π），而co

s（α＋β）＝－1－sin2（α＋β）＝－429，所以sinα＝sin（α＋β－β）＝sin（α＋β）cosβ－cos（α＋β）sinβ＝79×－13＋429×223＝1627－727＝13.6．答案：－210解析：因为cos（α

＋π12）＝35>0，α∈（0，π2），所以（α＋π12）∈（π12，π2），所以sin（α＋π12）＝1－cos2（α＋π12）＝1－925＝45，所以cos（α＋π3）＝cos[（α＋π12）＋π4]＝cos（α＋π12）cosπ4－sin（α＋π12）sinπ4＝35×22－45×22＝－2

10.考点练42倍角公式1．答案：A解析：sin（π2＋2x）＝cos2x＝2cos2x－1＝2×19－1＝－79.故选A.2．答案：B解析：∵cosθ＝－255，且θ∈（π2，π），∴sinθ＝1－cos2θ＝1－2025＝55，∴tanθ＝sinθcosθ＝－12，∴ta

n2θ＝2tanθ1－tan2θ＝2×－121－－122＝－43.故选B.3．答案：D解析：因为2α－π6＋2（π3－α）＝π2，所以2α－π6＝π2－2（π3－α），则sin（2α－π6）＝cos2（π3－α）＝2cos2

（π3－α）－1＝2×352－1＝－725.故选D.4．答案：ACD解析：A中，2tan22.5°1－tan222.5°＝tan45°＝1，正确；B中，1－2cos215°＝－cos30°＝－32，不正确；C中，cos4π8－sin4π8＝（cos2π8＋sin2π8）·（cos2

π8－sin2π8）＝cosπ4＝22，正确；D中，cos275°＋cos215°＋cos75°cos15°＝sin215°＋cos215°＋sin15°cos15°，1＋12sin30°＝1＋14＝54，正确．故选ACD.5．答案：BD解析：对于A,1－cos2α1＋

cosα＝1－（2cos2α－1）1＋cosα＝2－2cos2α1＋cosα＝2（1－cosα），对于B，sin2α1＋cos2α＝2sinαcosα2cos2α＝sinαcosα＝tanα，对于C，sinα1－cos

2α＝sinα1－（1－2sin2α）＝sinα2sin2α＝12sinα，对于D，1－cos2αsin2α＝1－（1－2sin2α）2sinαcosα＝sinαcosα＝tanα.故选BD.6．答案：－1解

析：当θ为第二象限角时，2kπ＋π2<θ<2kπ＋π，k∈Z，∴kπ＋π4<θ2<kπ＋π2，k∈Z.又sin（θ2＋π2）＝cosθ2＝13，可得θ2在第一象限，故sinθ2＝1－cos2θ2＝223，∴cosθ2－sinθ2<0，故1－sinθcosθ2－sinθ2＝cos2θ2＋

sin2θ2－2cosθ2sinθ2cosθ2－sinθ2＝cosθ2－sinθ2cosθ2－sinθ2＝－1.考点过关检测7三角函数的概念与三角恒等变换1．答案：C解析：∵α为第二象限角，∴90°＋k·360°<α<180°＋k·360°（

k∈Z），∴45°＋k·180°<α2<90°＋k·180°（k∈Z）；当k＝2n（n∈Z）时，α2为第一象限角；当k＝2n＋1（n∈Z）时，α2为第三象限角；∴α2为第一或第三象限角；∵cosα2＝－cosα2，∴cosα2<0，∴α2为第

三象限角．故选C.2．答案：C解析：角α与β的终边关于直线y＝x对称，则α＋β＝π2＋2kπ，k∈Z，∴cos（α＋β）＝cos（π2＋2kπ）＝cosπ2＝0.反之，当cos（α＋β）＝0时，则α＋

β＝π2＋kπ，k∈Z，从而角α与β的终边不一定关于直线y＝x对称．故“角α与β的终边关于直线y＝x对称”是“cos（α＋β）＝0”的充分不必要条件．故选C.3．答案：B解析：扇形的半径r＝12ABsin1＝1sin1，所以扇形的弧长等于α×r＝2

×1sin1＝2sin1.故选B.4．答案：A解析：因tan（π－x）＝12，则tanx＝－12，即cosx＝－2sinx，而sin2x＋cos2x＝1，于是得sin2x＝15，所以cos（π2＋x）＝－sin

x＝±55.故选A.5．答案：C解析：将式子进行齐次化处理得：sinθ（1＋sin2θ）sinθ＋cosθ＝sinθ（sin2θ＋cos2θ＋2sinθcosθ）sinθ＋cosθ＝sinθ（sinθ＋cosθ）＝sinθ（sinθ＋cosθ）sin2θ＋cos2θ＝ta

n2θ＋tanθ1＋tan2θ＝4－21＋4＝25.故选C.6．答案：D解析：由已知得：sinαcosβ＋cosαsinβ＋cosαcosβ－sinαsinβ＝2（cosα－sinα）sinβ，即：sinαcosβ－cosαsinβ＋cosαcosβ＋sinαsinβ＝0，即：sin（α－β）

＋cos（α－β）＝0，所以tan（α－β）＝－1.故选D.7．答案：A解析：因为π4≤α≤π，则π2≤2α≤2π，因为sin2α＝45，则π2≤2α≤π，可得π4≤α≤π2，因为π≤β≤3π2，则π2≤β－α≤5π4，5π4≤α＋β≤2π，所以，cos2

α＝－1－sin22α＝－35，sin（α＋β）＝－1－cos2（α＋β）＝－7210，所以，sin（β－α）＝sin[（α＋β）－2α]＝sin（α＋β）cos2α－cos（α＋β）sin2α＝－7210×

－35－－210×45＝22，所以，β－α＝3π4.故选A.8．答案：A解析：设大正方形的边长为a，则直角三角形的两直角边分别为asinα，acosα，故S1＝a2，S2＝a2－4×12asinα·acosα＝

a2（1－2sinαcosα），则S1S2＝11－2sinαcosα＝5，所以sinαcosα＝25，又α为锐角，则sinα>0，cosα>0，所以sinα＋cosα＝1＋2sinαcosα＝355.故选A.9．答案：BD解析：对于A，sin（32π－α）＝－co

sα，故A错；对于B，512πrad＝512×180°＝75°，故B正确；对于C，若α终边上有一点P（－4，3），则sinα＝342＋32＝35，故C不正确；对于D，若一扇形弧长为2，圆心角为60°，则该扇形的半径为6π，面积为12×2×6π＝6π，故D正确．故选BD.10．答案：

ABD解析：A：cos82°sin52°－sin82°cos52°＝sin（52°－82°）＝sin（－30°）＝－12，正确；B：sin15°sin30°sin75°＝sin15°sin30°cos15°＝

12sin230°＝18，正确；C：tan48°＋tan72°1－tan48°tan72°＝tan（48°＋72°）＝tan（120°）＝－3，错误；D：cos215°－sin215°＝cos30°＝32，正确．

故选ABD.11．答案：BC解析：因cos（π6＋α）＝13，则π6＋α是第一象限或者第四象限角，当π6＋α是第四象限角时，sin（π6＋α）＝－1－cos2（π6＋α）＝－223，A不正确；cos（5π6－α）＝cos[π－（π6＋α）]＝－c

os（π6＋α）＝－13，B正确；sin（π3－α）＝sin[π2－（π6＋α）]＝cos（π6＋α）＝13，C正确；因π6＋α是第一象限或者第四象限角，则α＝（π6＋α）－π6不可能是第二象限角．故选

BC.12．答案：AC解析：因为cos（α＋β）＝－55，cos2α＝－513，其中α，β为锐角，所以：sin2α＝1－cos22α＝1213，故A正确；因为sin（α＋β）＝255，所以cos（α－β）＝cos[2α

－（α＋β）]＝cos2α·cos（α＋β）＋sin2αsin（α＋β）＝－513×（－55）＋1213×255＝29565，故B错误；可得cosαcosβ＝12[cos（α＋β）＋cos（α－β）

]＝12（－55＋29565）＝8565，故C正确；可得sinαsinβ＝12[cos（α－β）－cos（α＋β）]＝12[29565－（－55）]＝21565，所以tanαtanβ＝218，故D错误．13．答案：79解析：由sin（α＋π）＝13，得sinα＝－13，sin（2α－3π2）＝

sin（2α＋π2）＝cos2α＝1－2sin2α＝79.14．答案：1解析：因为sin2α＝2sinαcosα，cos2α＝2cos2α－1，sin2α＋cos2α＝1，所以sin2α1＋cos2α·cosα1＋cosα·sinα1－cosα＝2sinαcosα2cos2α·cosα1

＋cosα·sinα1－cosα＝sin2α1－cos2α＝1.15．答案：32解析：∵θ∈（0，π2），∴5π6－θ∈（π3，5π6），∴sin（5π6－θ）＝1－cos2（5π6－θ）＝32，∴sin（θ＋π6）＝sin[π－（5π6－θ）]＝sin（5π6－θ）＝32.16．答案：310

1045解析：方法一因为α＋β＝π2，所以sinβ＝cosα.将其代入3sinα－sinβ＝10，得3sinα－cosα＝10，即10sin（α－φ）＝10，其中sinφ＝1010，cosφ＝31010，所以α－φ＝2kπ＋π2（k∈Z），所以

sinα＝sin（2kπ＋π2＋φ）＝cosφ＝31010（k∈Z），所以cos2β＝cos（π－2α）＝－cos2α＝2sin2α－1＝45.方法二因为α＋β＝π2，所以sinβ＝cosα.将其代入3sinα－sinβ＝10，得3sinα－cosα＝10，所以（3sin

α－10）2＝cos2α＝1－sin2α，整理，得10sin2α－610sinα＋9＝0，解得sinα＝31010.所以cos2β＝cos（π－2α）＝－cos2α＝2sin2α－1＝45.考点练43三角函数的图象与变换1．答案：A解析：因为f

（x）＝sin（2x＋π6）＝sin[2（x＋π12）]，所以只需把g（x）＝sin2x图象向左平移π12个单位，即可得到f（x）＝sin（2x＋π6）的图象．故选A.2．答案：C解析：函数y＝3sin（2x－π6）的图象

向右平移π4个单位得到y＝3sin[2（x－π4）－π6]，即y＝3sin（2x－2π3）.故选C.3．答案：A解析：因为f（x）＝sin2x＋3cos2x＝2sin（2x＋π3），将函数f（x）的图象向左平移φ（φ>0

）个单位长度，得到函数y＝2sin[2（x＋φ）＋π3]＝2sin（2x＋2φ＋π3）的图象，因为函数y＝2sin（2x＋2φ＋π3）为偶函数，则2φ＋π3＝π2＋kπ（k∈Z），解得φ＝π12＋kπ2（k∈Z），∵φ>0，则当

k＝0时，φ取最小值π12.故选A.4．答案：D解析：由题意，将函数f（x）的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变可得函数y＝sin（x－π4）的图象，将该图象向左平移a（a>0）个单位长度，得到y＝sin（x＋a－π4）的图象，所以sin（x＋a－π4）＝cosx，对于A中，

当a＝π8时，sin（x＋π8－π4）＝sin（x－π8）≠cosx，故A错误；对于B中，当a＝π4时，sin（x＋π4－π4）＝sinx≠cosx，故B错误；对于C中，当a＝π2时，sin（x＋π2－π4）＝sin（x＋π4）≠cosx，

故C错误；对于D中，当a＝3π4时，sin（x＋3π4－π4）＝sin（x＋π2）＝cosx，故D正确．故选D.5．答案：AB解析：由题可得，y＝sin（2x＋π6）＝cos（2x－π3），所以要得到函数y＝

sin（2x＋π6）的图象，只需把y＝cosx的图象向右平移π3个单位长度，然后将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变）；或者将y＝cosx图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），然后将所得图象向右平移π6个单位长度．选项AB正确．6．答案：－32解析

：由题意可得将函数y＝sin（x－π6）的图象，向左平移π2个单位长度，再把所得曲线图象上所有点的横坐标缩小到原来的12倍，纵坐标不变，得y＝f（x）的图象，故f（x）＝sin（2x＋π2－π6）＝sin（2x＋π3），故fπ2＝sin（

π＋π3）＝－sinπ3＝－32.考点练44求三角函数的解析式1．答案：A解析：由图可知：A＝2，34T＝13π12－π3⇒T＝π⇒ω＝2πT＝2，f（x）经过最高点（13π12，2），故2×13π12＋φ＝π2＋2kπ，k∈Z，故φ＝－13π6＋π2＋2kπ，k∈Z，所以f（x）

＝2sin（2x－13π6＋π2＋2kπ）＝2sin（2x－π6＋π2）＝2cos（2x－π6）.故选A.2．答案：A解析：由函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A>0，ω>0，|φ|<π2）的部分图象知，A＝2，T4＝2π4ω＝7π12－π3，解得ω＝2，再

由五点法作图可得2×π3＋φ＝π，解得φ＝π3；∴f（x）＝2sin（2x＋π3），∴fπ2＝2sin（2×π2＋π3）＝－2sinπ3＝－62.故选A.3．答案：B解析：由图知：A＝2且3T4＝11π12－π6＝3

π4，则T＝π，故ω＝2，则f（x）＝2sin（2x＋φ），由fπ6＝2sin（π3＋φ）＝2，则π3＋φ＝π2＋2kπ，k∈Z，所以φ＝π6＋2kπ，k∈Z，又|φ|<π2，故φ＝π6，综上，f（x）＝2sin（2x＋π6），将函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原

来的6倍得到y＝2sin（x3＋π6），再向左平移π4个单位得到g（x）＝2sin[13（x＋π4）＋π6]＝2sin（x3＋π4）.故选B.4．答案：BC解析：由题知P的纵坐标为π2，又PM→·PN→＝0，所以PM⊥PN，PM＝PN，所以MN＝2yP＝π，所以f（

x）的周期T＝2π，所以2πω＝2π，ω＝1，故B正确；所以xP＝xM＋T4＝π3，故C正确；xN＝xM＋T2＝5π6，故A错误，将P（π3，π2）代入函数解析式可得：sin（π3＋φ）＝1，φ＝π6＋2

kπ（k∈Z），故D错误．故选BC.5．答案：f（x）＝2sin（2x－π6）解析：由图可知A＝2，T2＝π3－－π6＝π2，所以T＝π，又T＝2πω，所以ω＝2，所以f（x）＝2sin（2x＋φ），又函数过点

（π3，2），所以fπ3＝2sin（2π3＋φ）＝2，所以2π3＋φ＝π2＋2kπ，k∈Z，解得φ＝－π6＋2kπ，k∈Z，因为|φ|<π2，所以φ＝－π6，所以f（x）＝2sin（2x－π6

）.6．答案：2＋22解析：由图象可知，A＝2，T＝8，∴ω＝2π8＝π4，∴f（x）＝2sin（π4x＋φ），∵f（x）的图象过点（2，2），∴sin（π2＋φ）＝1，则π2＋φ＝π2＋2kπ，k∈Z，又|φ|<π2，∴

k取0，φ＝0，故f（x）＝2sinπ4x，∵f（1）＋f（2）＋f（3）＋…＋f（8）＝0，2020＝8×252＋4，∴f（1）＋f（2）＋f（3）＋…＋f（2020）＝f（1）＋f（2）＋f（3）＋f（4）＝2＋22.考点练45三角函数的奇偶性与

周期性1．答案：B解析：因为函数f（x）的最小正周期为2πω＝3π，解得ω＝23，所以，f（x）＝4sin[23（x－3π4）]＝4sin（2x3－π2）＝－4cos2x3，所以，函数f（x）为偶函数．故选B.2．答案：D解析：易知f（x）＝cosx为偶函数，由g

（－x）＝6（－x）（－x）2＋1＝－6xx2＋1＝－g（x），则g（x）为奇函数，由图象可知，该函数是奇函数，因为f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，所以f（x）±g（x）是非奇非偶函数，A，B不符合题意．因为当x＝0时，y＝f（x）g（x）无意义，所以

C不符合题意．故选D.3．答案：A解析：由题意得g（x）＝2sin[ω（x＋π2）＋π4]，∵g（x）为奇函数，∴g（0）＝0，即ωπ2＋π4＝kπ（k∈Z），∴ω＝2k－12（k∈Z）.又0<ω<3，∴ω＝32，∵T＝2πω＝4π3，∴fT4＝fπ3＝As

in3π4＝2，∴A＝2，∴f（x）＝2sin（32x＋π4），∴f－π2＝2sin－π2＝－2.故选A.4．答案：AD解析：f（x）＝sin（ωx＋φ）为奇函数，则φ＝kπ，k∈Z，即φ为π的整数倍，故A正确，f（x）＝cos（ωx＋φ）

为奇函数，则φ＝kπ＋π2，k∈Z，B不正确；因为f（x）＝tan（π3＋2x）周期为π2，若f（x1）＝f（x2），则x1－x2必是π2的整数倍，故C错误．f（x）＝sin（π3＋2x）的周期为π，f（x1）＝f（x2）＝0，x1－x2必是π2的整数倍，故D正确．故选AD.5．答案：

cos4πx（答案不唯一）解析：从三角函数入手，由于函数f（x）是偶函数，则可考虑余弦型函数，可设f（x）＝cosωx（ω>0），因为函数f（x）的最小正周期为12，所以T＝2πω＝12，解得ω＝4π，故f（x）＝cos4πx.6．答案：－12

解析：因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（0）＝0，即2sinα＋cos0＝0，解得sinα＝－12，经检验当sinα＝－12时，cosα＝±32，f（x）＝2sinxcosα＋2cosxsinα＋cosx＝2sinxcosα＝±3sin

x，不管函数是y＝3sinx还是y＝－3sinx，都是奇函数．所以sinα＝－12.考点练46三角函数的单调性1．答案：A解析：因为y＝tanx在区间（－π2＋kπ，π2＋kπ），k∈Z上单调递增，所以－π2＋kπ<12x－π3<π2＋kπ，k∈Z

⇒－π3＋2kπ<x<5π3＋2kπ，k∈Z，所以y＝tan（12x－π3）的单调递增区间为（－π3＋2kπ，5π3＋2kπ），k∈Z.当k＝0时，区间为（－π3，5π3）.故选A.2．答案：C解析：y＝sin（π6－2x）＝－sin（2x－π6），2kπ＋π2≤2x－π

6≤2kπ＋3π2，kπ＋π3≤x≤kπ＋5π6，k∈Z，令k＝0可得y＝sin（π6－2x）（x∈[0，π]）的递增区间为[π3，5π6].故选C.3．答案：B解析：因为f（x）是定义在R上的单调减函数，则不等式f（sinx）<f（cosx）等价于sinx>cosx，所以sinx－c

osx＝2sin（x－π4）>0，令0＋2kπ<x－π4<π＋2kπ，k∈Z，解得π4＋2kπ<x<5π4＋2kπ，k∈Z，所以不等式的解集为（π4＋2kπ，5π4＋2kπ），k∈Z，因为（π2，π）⊆（π4，5π4），故x∈（π2，π）

时满足f（sinx）<f（cosx）.故选B.4．答案：BCD解析：由π6≤x≤π3，得ωπ6－π6≤ωx－π6≤ωπ3－π6，则－π2＋2kπ≤ωπ6－π6<ωπ3－π6≤π2＋2kπ，k∈Z，解得－2＋12k≤ω≤2＋6

k，k∈Z.由－2＋12k<2＋6k，k∈Z，得k<23，k∈Z，因为ω>0，所以当k<0时，不符合条件，故k＝0，即0<ω≤2.由π8≤x≤π4，得ωπ8－π6≤ωx－π6≤ωπ4－π6，则0＋2kπ≤ωπ8－π6<ωπ4－π

6≤π＋2kπ，k∈Z，解得43＋16k≤ω≤143＋8k，k∈Z，由43＋16k<143＋8k，k∈Z，得k<512，k∈Z，因为ω>0，所以当k<0时，不符合条件，故k＝0，即43≤ω≤143.综上所

述，ω的取值范围为[43，2].所以ω的取值可以为选项中的43，53，2.故选BCD.5．答案：f（x）＝sin（4x－π6）（答案不唯一）解析：设f（x）＝sin（ωx＋φ），T＝π2，所以ω＝2πT＝4，令fπ6＝

1（注：函数图象最高点），得sin（2π3＋φ）＝1，2π3＋φ＝π2，φ＝－π6，所以这个函数可以为f（x）＝sin（4x－π6）.6．答案：（0，π3]和[5π6，π）解析：由题可知f（x）＝4cosx（sinxcosπ6－cosxsinπ6

）－1＝23sinxcosx－2cos2x－1＝3sin2x－cos2x－2＝2sin（2x－π6）－2，令－π2＋2kπ≤2x－π6≤π2＋2kπ，解得－π6＋kπ≤x≤π3＋kπ，k∈Z，令π2＋2kπ≤2x－π6≤3π2

＋2kπ，解得π3＋kπ≤x≤5π6＋kπ，k∈Z，所以f（x）在[－π6＋kπ，π3＋kπ]（k∈Z）单调递增，在[π3＋kπ，5π6＋kπ]（k∈Z）单调递减，所以f（x）在[－π6，π3]单调递增，[π3，5π6]单调递减，[5π6，4π3]单调递增，因为0<x<π，所

以f（x）在（0，π3]和[5π6，π）单调递增．考点练47三角函数的对称性1．答案：D解析：由题意得：令32x－π8＝π2＋kπ（k∈Z），可得x＝5π12＋2kπ3（k∈Z）.当x＝4π3时，5π12＋2kπ3＝4π3，k＝118∉Z，当x＝π时，5π12＋2kπ3＝π，k＝78∉Z，当

x＝712π时，5π12＋2kπ3＝712π，k＝14∉Z，当x＝－π4时，5π12＋2kπ3＝－π4，k＝－1∈Z.故选D.2．答案：B解析：∵函数的最小正周期为π，∴T＝2πω＝π，则ω＝2，则f（x）＝cos（2x＋φ），∵图象关于直线x＝π3对称，∴2×π3＋φ＝kπ，k∈Z，即φ＝kπ－

2π3，k∈Z，∵|φ|<π2，∴当k＝1时，φ＝π－2π3＝π3，则f（x）＝cos（2x＋π3），由2x＋π3＝π2＋kπ，解得x＝kπ2＋π12，k∈Z，当k＝0时，x＝π12，即函数f（x）图象的一个对称中心为（π12，0）.故选B.3．答案：AC解析：因为f（x

）图象相邻的对称中心与对称轴的距离为π4，所以最小正周期T＝π，故A正确，B不正确；因为ω＝2πT＝2，且2×π6＋φ＝π2＋kπ（k∈Z），|φ|<π2，所以φ＝π6，故C正确，D不正确．故选AC.4．答

案：ABD解析：因为f（x）相邻两个零点之间的距离为π2，所以T2＝π2，解得T＝π，即2πω＝π，解得ω＝2.因为f（x）＝4sin（2x＋φ）的图象关于直线x＝－π3对称，所以2×－π3＋φ＝kπ＋π2，k∈Z，解得φ＝kπ＋7π6，k∈

Z，∵|φ|<π2，∴－π2<φ<π2，当k＝－1时，φ＝π6.所以f（x）＝4sin（2x＋π6）.又因为函数y＝g（x）图象上的所有点向左平移π6个单位长度，得到函数f（x）＝4sin（2x＋π6）的图象，所以g（x）＝4sin[2（x－π6）＋

π6]＝4sin（2x－π6）.对于A，因为fπ6＝4sin（2×π6＋π6）＝4sinπ2＝4，所以直线x＝π6是f（x）图象的一条对称轴，故A正确；对于B，因为gπ3＝4sin（2×π3－π6）＝4sinπ2＝4，所以直线x＝π3是g（x）图象的一条对称

轴，故B正确；对于C，因为fπ12＝4sin（2×π12＋π6）＝4sinπ3＝23≠0，所以点（π12，0）不是f（x）图象的一个对称中心，故C不正确；对于D，因为g7π12＝4sin（2×7π1

2－π6）＝4sinπ＝0，所以点（7π12，0）是g（x）图象的一个对称中心，故D正确．故选ABD.5．答案：23π30解析：由3x＋π5＝π2＋kπ（k∈Z）得函数f（x）＝sin（3x＋π5）图象的对称轴：x＝π10＋kπ3（k∈Z），依

题意，m＝π10＋kπ3（k∈Z），而0<m<π，于是得k∈{0，1，2}，当k＝2时，mmax＝23π30，所以m的最大值为23π30.6．答案：（2kπ＋4π3，0）x＝2kπ＋π3（k∈Z）解析：

由f（x）＝cos（ωx＋φ）的最小正周期为4π，得ω＝12，因为f（x）≤fπ3成立，所以f（x）max＝fπ3，即12×π3＋φ＝2kπ（k∈Z），又∵|φ|<π2，所以φ＝－π6，故f（x）＝cos（12x－π6），令12x－π6＝π2＋kπ

（k∈Z），得x＝2kπ＋4π3（k∈Z），故f（x）图象的对称中心为（2kπ＋4π3，0）（k∈Z），令12x－π6＝kπ（k∈Z），得x＝2kπ＋π3（k∈Z），故f（x）图象的对称轴方程是x＝2kπ＋π3（k∈Z）.考点练48三角函数的最值1．答案：B解析：

x∈[a，a＋π3]时，2x＋π4∈[2a＋π4，2a＋π4＋2π3]，令2x＋π4＝t，2a＋π4＝h，则问题转化为g（t）＝sint在[h，h＋2π3]上的最大值是M，最小值是m，由正弦函数性质，g（t）＝

sint的周期是2π，要使得M－m最小，则g（t）的最大值或最小值点是区间[h，h＋2π3]的中点，由周期性，不妨取h＋h＋2π3＝π或h＋h＋2π3＝3π，h＝π6，或h＝7π6，h＝π6时，M＝1，m＝sinπ6＝12，M－m＝12，h＝7π6时，m＝－1，M＝sin7π6

＝－12，M－m＝12.故选B.2．答案：B解析：依题意函数f（x）＝|sinx|＋cos2x，x∈[－π2，π2]，f（－x）＝|sin（－x）|＋cos（－2x）＝|sinx|＋cos2x＝f（x），所以f（x）是偶函数，图象关于y轴对称．当0≤x≤π2时，f（x

）＝sinx＋cos2x＝－2sin2x＋sinx＋1，令t＝sinx∈[0，1]，y＝－2t2＋t＋1，开口向下，对称轴为t＝14，所以当t＝1时，y＝－2t2＋t＋1取得最小值为0，即sinx＝1，x＝π2时，f（x）取得最小值为0，根据对称性

可知，在区间[－π2，π2]上，f（x）的最小值为0.故选B.3．答案：A解析：f（x）＝cosx2（4sinx2＋cosx2）＝4sinx2cosx2＋cos2x2＝2sinx＋12cosx＋12，故f（x）＝172（417sinx＋117cosx）＋12＝172sin（

x＋φ）＋12，其中cosφ＝417，sinφ＝117，当x＝β时，f（x）取得最大值，此时β＋φ＝π2＋2kπ（k∈Z），得到β＝π2－φ＋2kπ（k∈Z），cosβ＝sinφ＝1717.故选A.4．答案：BCD解析：由题

意得：g（x）＝f（x－π6）＝2sin（2x＋π3）－1；当x∈[－π4，m]时，2x＋π3∈[－π6，2m＋π3]，∵g（x）∈[－2，1]，∴sin（2x＋π3）∈[－12，1]，∴π2≤2m＋π3≤7π6，解得：π12≤m≤5π12，∴实数m的取值可以是π

12，π6，π3.故选BCD.5．答案：52解析：因为函数f（x）＝sin（ωx－π6）＋k（ω>0）的最小正周期为T，若π<T<2π，所以π<2πω<2π，解得1<ω<2，因为x＝5π4时，f（x）取得最小值1，所以5π4ω－π6＝－π2＋2nπ，n∈Z，k－1＝1，所以ω

＝－415＋85n，n∈Z，k＝2，因为1<ω<2，所以n＝1，ω＝43，即f（x）＝sin（43x－π6）＋2，所以fπ4＝sin（43×π4－π6）＋2＝52.6．答案：3＋2解析：设t＝sinx＋cosx，则sinxcosx＝（sinx＋cosx）2－12＝t2－12，t＝sinx

＋cosx＝2（22sinx＋22cosx）＝2sin（x＋π4）∈[－2，2]，f（x）＝g（t）＝t＋t2－1＋2＝（t＋12）2＋34，∴t＝2时，g（t）max＝2＋2＋1＝3＋2，即f（x）max＝3＋2.考点过关检测8三角函数的图象与

性质1．答案：A解析：将函数y＝sin2x的图象向左平移π6个单位长度后得到曲线C1，则C1的解析式为y＝sin2（x＋π6）＝sin（2x＋π3），再将C1上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到曲线C2，则C2的解析式为y＝sin（x＋π3）.2．答案：D解析：因为函数f（x）＝2sin

（ωx＋φ）（0<φ<π2）的图象的相邻两个最高点的距离为π2，所以f（x）的图象的最小正周期为π2，所以ω＝2ππ2＝4.因为f（0）＝2，所以sinφ＝22，因为0<φ<π2，所以φ＝π4，所以f（x）＝2sin（4x＋

π4）.故选D.3．答案：B解析：因为f（x）＝3sin2x＋cos2x＝2（32sin2x＋12cos2x）＝2sin（2x＋π6），所以最小正周期为T＝2π2＝π，最小值为－2.故选B.4．答案：C解析：f（x）＝cos（ωx－π

3）（ω>0），对称轴为：ωx－π3＝kπ⇒π2ω－π3＝kπ⇒ω＝2k＋23（ω>0）（k∈Z），当k＝0时，ω取值为23.故选C.5．答案：C解析：（通解）将函数f（x）＝sin（ωx＋π3）的图象向左平移π2个单位长度得到y＝sin（ωx＋π2ω＋π3）的图象．由所得图象关于y轴对

称，得π2ω＋π3＝kπ＋π2（k∈Z），所以ω＝2k＋13（k∈Z）.因为ω>0，所以令k＝0，得ω的最小值为13.故选C.（快解）由曲线C关于y轴对称，可得函数f（x）＝sin（ωx＋π3）的图象关于直线x＝π2对称，所以f（

π2）＝sin（πω2＋π3）＝±1，然后依次代入各选项验证，确定选C.6．答案：C解析：f（x）＝cos2x－sin2x＝cos2x.令2kπ≤2x≤π＋2kπ，k∈Z，解得kπ≤x≤π2＋kπ，k∈Z，故f（x）的减区间为[kπ，π2＋kπ]，k∈Z.令k＝0，则[0，π2]为f（x）

的一个减区间．因为（0，π3）⊆[0，π2]，所以f（x）在（0，π3）上单调递减．故选C.7．答案：A解析：因为2π3＜T＜π，所以2π3＜2π|ω|＜π.又因为ω＞0，所以2＜ω＜3.因为y＝f（x）的图象关于点（

3π2，2）中心对称，所以b＝2，3π2ω＋π4＝kπ，k∈Z，所以ω＝－16＋23k，k∈Z.令2＜－16＋23k＜3，解得134＜k＜194.又因为k∈Z，所以k＝4，所以ω＝52.所以f（x）＝sin（52x＋π4）＋2，所以f（π2）＝

sin（5π4＋π4）＋2＝1.故选A.8．答案：A解析：根据题意，由振幅是2易知A＝2，故s＝2sin（13ωt＋φ），则B（1，2）是s＝2sin（13ωt＋φ）的最高点，不妨记B相邻的最低点为C，连接BC，过C作C

D⊥y轴，过B作BD⊥CD，交点为D，如图．则CD＝T2，BD＝2－（－2）＝4，BC＝5，故42＋T22＝52，得T＝6，又因为T＝2π13ω，故13ω＝2πT＝2π6＝π3，得ω＝π，所以s＝2sin（π3t＋φ），因为B（1，2）是s＝2sin（π3t＋φ）的点，故2sin

（π3＋φ）＝2，得π3＋φ＝π2＋2kπ，即φ＝π6＋2kπ（k∈Z），因为|φ|<π2，所以φ＝π6，故ω＝π，φ＝π6.故选A.9．答案：AC解析：对于A，定义域为R，因为f（－x）＝|cos（－x）|＝|cosx|＝f（x），

所以函数为偶函数，因为y＝|cosx|的图象是由y＝cosx的图象在x轴下方的关于x轴对称后与x轴上方的图象共同组成，所以y＝|cosx|的最小正周期为π，所以A正确；对于B，定义域为R，因为f（－x）＝sin（－2x）＝－si

n2x＝－f（x），所以函数为奇函数，所以B错误；对于C，定义域为R，f（x）＝sin（2x＋π2）＝cos2x，最小正周期为π，因为f（－x）＝cos（－2x）＝cos2x＝f（x），所以函数为偶函数，所以C正确；对于D，定义域为R，最小正周期为2π12＝4π，所以D

错误．故选AC.10．答案：ABC解析：对A，画出函数f（x）＝|tanx|的图象（如图），易得f（x）的周期为T＝kπ（k∈Z），取k＝2，则2π是f（x）的一个周期，故A正确；对B，f（x）是偶函数，则f－3π4＝f3π4，故B

正确；对C，易得f（x）的定义域是{x|x≠π2＋kπ，k∈Z}，故C正确；对D，由图可得点（π2，0）不是函数f（x）＝|tanx|图象的对称中心，故D错误．故选ABC.11．答案：ABD解析：由图象可得函数f（x）的最大值

为2，最小值为－2，所以A＝2，又5π12＋π3＝34T，所以T＝π，故2πω＝T＝π，所以ω＝2，由图象函数f（x）经过点（5π12，2），所以2sin（2×5π12＋φ）＝2，所以5π6＋φ＝2kπ＋π2，所以φ＝2kπ－π3，又|φ|<π2，所以φ＝－π3，A对；所以f（x）＝2

sin（2x－π3），故f（－x）＝2sin（－2x－π3）＝－2sin（2x＋π3），f（x－π6）＝2sin（2x－π3－π3）＝2sin（2x＋π3－π）＝－2sin（2x＋π3），所以f（－x）＝f（x－π6），B对；因为函数f（x）的图象向右平移π6个

单位长度后得到函数g（x）的图象，所以g（x）＝f（x－π6）＝－2sin（2x＋π3），所以g（π6）＝－2sin2π3＝－3，g（－π6）＝0，故函数g（x）不是偶函数，C错；由2kπ＋π2≤2x＋π3

≤2kπ＋3π2（k∈Z）可得kπ＋π12≤x≤kπ＋7π12（k∈Z），所以函数g（x）的单调递增区间为[kπ＋π12，kπ＋7π12]（k∈Z），取k＝0可知函数g（x）在区间[π12，7π12]上单调递增，D对．故选A

BD.12．答案：AD解析：由题意得：f2π3＝sin（4π3＋φ）＝0，所以4π3＋φ＝kπ，k∈Z，即φ＝－4π3＋kπ，k∈Z，又0<φ<π，所以k＝2时，φ＝2π3，故f（x）＝sin（2x＋2π3）.对A，当x∈（0，5π12）时，2x＋2π3∈（2π3，3π2），由正弦函数

y＝sinu图象知y＝f（x）在（0，5π12）上单调递减；对B，当x∈（－π12，11π12）时，2x＋2π3∈（π2，5π2），由正弦函数y＝sinu图象知y＝f（x）只有1个极值点，由2x＋2π3＝3π2，解得x＝5π12，即x＝5

π12为函数的唯一极值点；对C，当x＝7π6时，2x＋2π3＝3π，f7π6＝0，直线x＝7π6不是对称轴；对D，由y′＝2cos（2x＋2π3）＝－1得：cos（2x＋2π3）＝－12，解得2x＋2π3＝2π3＋2kπ或2x＋2π3＝4π3＋2kπ，k∈Z，从而得：x＝kπ

或x＝π3＋kπ，k∈Z，所以函数y＝f（x）在点（0，32）处的切线斜率为k＝y′|x＝0＝2cos2π3＝－1，切线方程为：y－32＝－（x－0）即y＝32－x.故选AD.13．答案：[2kπ＋π2，2

kπ＋π]，k∈Z解析：由题可得cosx≤0sinx≥0，根据各象限三角函数值的符号可得，x的终边位于第二象限或者y轴的非负半轴，x轴的非正半轴，即x∈[2kπ＋π2，2kπ＋π]，k∈Z.14．答案：3cos（πx）解析：f（x－1）为偶函数，故f（x）关于x＝

－1对称；则满足题意的函数答案不唯一，可以为：f（x）＝3cos（πx）.15．答案：－3解析：f（x）＝4sin（ωx＋φ）sin（ωx＋φ＋π2）＝4sin（ωx＋φ）cos（ωx＋φ）＝2sin（2ωx＋2φ）.由题图可知f（0）＝3，即sin2φ＝32，由于点（0，3）在单调递增的区

间内，所以2φ＝π3＋2kπ，k∈Z，解得φ＝π6＋kπ，k∈Z，根据题意知φ＝π6，由图象过点（5π12，0），则5π6ω＋π3＝2π，解得ω＝2，故f（x）＝2sin（4x＋π3），则fπ4＝

2sin4π3＝－2sinπ3＝－3.16．答案：2－1或1解析：由g（x）＝cos2（x＋φ）－sin2（x＋φ）＝cos2（x＋φ），与f（x）的对称中心完全重合，所以两函数的最小正周期相同，故ω＝2，则f（x）＝sin（2x＋π6），令2x＋π6＝kπ且k∈Z，故x＝kπ2－

π12且k∈Z，则对称中心为（kπ2－π12，0）且k∈Z，所以cos2（kπ2－π12＋φ）＝cos（kπ－π6＋2φ）＝0，故kπ－π6＋2φ＝k1π＋π2且k1∈Z，则φ＝（k1－k）π2＋π3，k1

－k∈Z，令k1－k＝0，此时φ＝π3，所以g（x）＝cos2（x＋π3），故gπ6＝cosπ＝－1；令k1－k＝1，此时φ＝5π6，所以g（x）＝cos2（x＋5π6），故gπ6＝cos2π＝1；由余弦函数的

周期性、对称性知：gπ6＝±1.考点练49正弦定理、余弦定理1．答案：C解析：因为A＝30°，b2＋c2－a2＝43，所以2bccosA＝3bc＝43，所以bc＝4，所以△ABC的面积为12bcsinA＝1.故选C.2．答案：2π3解析：由正弦定理得3c

＝5b，又b＋a＝2c，则b＝35c，a＝75c，由余弦定理得cosA＝b2＋c2－a22bc＝925c2＋c2－4925c22·35c·c＝－12，又A∈（0，π），则A＝2π3.3．解析：（1）根据正弦定理和题设可得sinB＝si

nCsinA＝ca，又sinB＝CDa，所以CD＝c.（2）由三角形的面积公式可得S＝12absinC＝12AB×CD＝12c2，所以c2＝absinC.又由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC＝5a

b－2abcosC，因此absinC＝5ab－2abcosC，得sinC＋2cosC＝5sin（C＋θ）＝5，其中θ为锐角，且tanθ＝2，于是C＋θ＝π2，所以sinC＝sin（π2－θ）＝cosθ＝5

5.4．解析：（1）由正弦定理得，3sinBsinA＝sinA－sinAcosB.因为sinA≠0，所以3sinB＝1－cosB，所以3sinB＋cosB＝2sin（B＋π6）＝1，即sin（B＋π6）＝12.又B∈（0，π），则B＋π6

＝5π6，所以B＝2π3.（2）选择条件①：因为BD→＝BA→＋BC→2，所以|BD→|2＝14（|BA→|2＋2BA→·BC→＋|BC→|2）＝14（12＋2×1×2×－12＋22）＝34，∴|BD|＝32.选择

条件②：因为BD为∠ABC的角平分线，所以S△ABD＋S△CBD＝S△ABC，则12c·|BD|sin60°＋12a·|BD|sin60°＝12a·csin120°，∴12·1·|BD|sin60°＋12·2·|BD|sin60°＝12·2·1·sin120°，解得|BD|＝2

3.考点练50三角形中的最值、范围问题1．答案：C解析：因为S＝12bcsinA＝a2sinA，故bc＝2a2.又cosA＝b2＋c2－a22bc≥2bc－12bc2bc＝34，等号当且仅当b＝c时取到．故选C.2

．答案：3－1解析：以D为坐标原点，DC所在的直线为x轴，DC→的方向为x轴的正方向，过点D且垂直于DC的直线为y轴，建立平面直角坐标系（图略），易知点A位于第一象限．由AD＝2，∠ADB＝120°，得A（1，3）.因为CD＝2BD，所以设B（－x，0），x＞0，则C（2x，0）.所以AC＝（2

x－1）2＋（0－3）2＝4x2－4x＋4，AB＝（－x－1）2＋（0－3）2＝x2＋2x＋4，所以ACAB2＝4x2－4x＋4x2＋2x＋4.令f（x）＝4x2－4x＋4x2＋2x＋4，x＞0，则f′（x）＝（4

x2－4x＋4）′（x2＋2x＋4）－（4x2－4x＋4）（x2＋2x＋4）′（x2＋2x＋4）2＝（8x－4）（x2＋2x＋4）－（4x2－4x＋4）（2x＋2）（x2＋2x＋4）2＝12（x2＋2x－2）（x2＋2x

＋4）2.令x2＋2x－2＝0，解得x＝－1－3（舍去）或x＝3－1.当0＜x＜3－1时，f′（x）＜0，所以f（x）在（0，3－1）上单调递减；当x＞3－1时，f′（x）＞0，所以f（x）在（3－1，＋∞）上单调递增．所以当x＝3－1时，f（x）取得最小值，即ACAB取得最小值，此时BD＝3－

1.3．解析：（1）由3acosC－asinC＝3b得，3sinAcosC－sinAsinC＝3sin（A＋C），∴－sinAsinC＝3cosAsinC，即tanA＝－3，∵A∈（0，π），∴A＝2π3.（2）∵a＝2，cosA＝b2＋c2－a22bc，∴－12＝b2＋c2－42b

c，即－b2－c2＋4＝bc≤b2＋c22，∴b2＋c2≥83，∴AD＝122（b2＋c2）－a2≥12163－4＝33，当且仅当b＝c取等号．4．解析：（1）∵ccosC＝a＋bcosA＋cosB，由正弦定理可得，sinCcosC＝sinA＋sinBcos

A＋cosB，整理可得：sinCcosA＋sinCcosB＝sinAcosC＋sinBcosC，即sinCcosA－sinAcosC＝sinBcosC－sinCcosB，即：sin（C－A）＝sin（B－C），又因为锐角△ABC，所以C－A∈（－π2，π2），B－C∈（－π2，π2），所以C－

A＝B－C，即A＋B＝2C，又A＋B＋C＝π，所以C＝π3.（2）由题意可知∠ADB＝2π3，设∠DAB＝α，所以∠ABD＝π3－α，又0<2α<π2，B＝π－π3－2α∈（0，π2），所以α∈（π12，π4）.在△ABD中，由正弦定理可得ABsin∠ADB＝ADsin

∠ABD，即3sin2π3＝ADsin（π3－α），所以AD＝2sin（π3－α），所以S△ABD＝12AB·ADsinα＝12×3×2sin（π3－α）sinα＝32sinα·cosα－32sin2α＝32sin（2α＋π6）－34，又α

∈（π12，π4），所以2α＋π6∈（π3，2π3），所以sin（2α＋π6）∈（32，1]，所以32sin（2α＋π6）－34∈（3－34，34]，即△ABD面积的取值范围为（3－34，34].考点练51以平面多边形为背景解三角形1．答案：3解析：因为∠ADC

＝120°，CD＝23，AC＝310，所以在△ACD中，由正弦定理CDsin∠DAC＝ACsin∠ADC得sin∠DAC＝CD·sin∠ADCAC＝23×sin120°310＝1010，因为AB⊥AD，所以cos∠BAC＝cos（π2－∠DAC）＝sin

∠DAC＝1010，所以，在△ABC中，设AB＝x，由cos∠BAC＝AC2＋AB2－BC22AC·AB得1010＝90＋x2－812×310x，即x2－6x＋9＝0，解得x＝3，所以AB＝3.2．解析：（1）设BC＝22x，CD＝5x，则BD2＝BC2＋CD2－

2BC·CD·cos∠BCD＝8x2＋25x2－20x2＝13x2，所以BD＝13x，利用正弦定理得13xsin∠BCD＝22xsin∠BDC，解得sin∠BDC＝21313，又∠BDC∈（0，π2），所以cos∠BDC＝31313，tan∠BDC＝23

.（2）因为∠ADC＝π2，所以cos∠ADB＝cos（π2－∠BDC）＝sin∠BDC＝21313，根据余弦定理得cos∠ADB＝BD2＋9－106BD＝21313，解得BD＝13.3．解析：（1）sin（π3－A）cos（π6＋A）＝cos[π2－（π3－A）

]cos（π6＋A）＝cos2（π6＋A）＝cos（π3＋2A）＋12＝14⇒cos（π3＋2A）＝－12，因为0<A<π，得π3<π3＋2A<7π3，∴π3＋2A＝2π3或π3＋2A＝4π3，解得A＝π6或A＝π2，因为BD<AD，得A<π2，∴A＝π6.（2）在△ABD

中，BD＝（3）2＋32－2×3×3cosπ6＝3，在△BCD中，1sin∠CBD＝3sin∠C⇒sin∠C＝3sin∠CBD，∵∠C＝2∠CBD⇒2sin∠CBDcos∠CBD＝3sin∠CBD，∵0<∠CBD<π3，∴cos∠CB

D＝32，得∠CBD＝π6，∴∠C＝π3，∠CDB＝π2，所以四边形ABCD的面积为S＝S△ABD＋S△BCD＝12×3×3×sinπ6＋12×3×1＝534.考点练52三角函数、解三角形与数学文化1．答案：C解析：在△A′BD中，由正弦定理得：A′Bs

in∠A′DB＝A′Dsin∠A′BD，即23sin∠A′DB＝2sin30°，解得：sin∠A′DB＝32，显然∠A′DB为钝角，所以∠A′DB＝2π3，所以∠BA′D＝π－2π3－π6＝π6，∠BAC＝2∠

BA′D＝π3.故选C.2．答案：C解析：由正弦定理得asinA＝a＋b＋csinA＋sinB＋sinC＝c2sinA，得c＝2a，因为b＝2，△ABC的面积S＝14[a2b2－a2＋b2

－c222]＝14－9a4＋20a2－4，所以当a2＝109，即a＝103时，△ABC的面积S有最大值为23.故选C.3．答案：B解析：由条件可得BG＝AF＝6.在△BFG中，由余弦定理得cos∠GBF＝BG2＋BF2－GF22BG·B

F＝36＋160－2442×6×410＝－110，∴cos∠EBF＝110，∴BE＝BF·cos∠EBF＝410×110＝4，EF＝BF2－BE2＝12，∴EA＝6，∴“勾股圆方图”中小正方形的边长为E

A－BE＝2，∴面积为4.故选B.4．答案：22解析：∠PBA＝45°，∠APB＝120°，∴∠BAP＝15°，∠PAC＝30°，∠ACP＝30°，∴PA＝PC＝4，△APB中，422＝PB6－24，∴PB＝23－2.BC

2＝（23－2）2＋16－2×（23－2）×4×－12＝24，∴BC＝26，设△BPC的外接圆半径为r，2632＝2r，∴r＝22.考点过关检测9解三角形1．答案：A解析：因为b＝33，c＝11，

B＝60°，由正弦定理bsinB＝csinC，即33sin60°＝11sinC，解得sinC＝12，因为0°<C<120°，所以C＝30°.故选A.2．答案：B解析：因为a＋b＝2c（cosA＋cosB），则a＋b＝2c（b2＋c2－a22bc＋a2＋c2－b22ac），整理得（a＋

b）（c2－a2－b2＋ab）＝0，所以c2－a2－b2＋ab＝0即a2＋b2－c2＝ab，则cosC＝a2＋b2－c22ab＝ab2ab＝12，∵C∈（0，π），所以C＝π3.故选B.3．答案：B解析：∵sinAcosC＝sinB，sinA≠0，∴由正弦定理得cosC＝sinBsinA＝ba

，因为a2＝4b2，所以a＝2b，即cosC＝12，∴c2＝a2＋b2－2abcosC＝a2＋b2－ab＝34a2，即2c＝3a.故选B.4．答案：A解析：△ABC为锐角三角形，故0<A<π2

0<B<π20<C<π2⇒0<A<π20<2A<π20<π－A－2A<π2⇒π6<A<π4，故cosA∈（22，32），进而由正弦定理可得ab＝sinAsinB＝sinAsin2A＝sinA2sinAcosA＝12cosA∈（33，

22）.故选A.5．答案：ACD解析：在△ABC中，正弦定理asinA＝bsinB＝csinC＝2R，对于A，若asinB＝bsinA，则根据正弦定理得：ab＝ba⇒a2＝b2⇒a＝b，即△ABC为等腰三角形，故A正确；对于B，若acosB

＝bcosA，则根据正弦定理得：sinAcosB＝sinBcosA⇒sinAcosA＝sinBcosB⇒sin2A＝sin2B，∵A，B∈（0，π），A＋B∈（0，π），∴2A，2B∈（0，2π）且2A＋2B∈（0，2π），∴2A＝2B或2A＋2B＝π，

即A＝B或A＋B＝π2，即△ABC为等腰三角形或直角三角形，故B错误；对于C，由射影定理得acosB＋bcosA＝c，又acosB－bcosA＝c，即bcosA＝0，而b≠0，则cosA＝0，A＝π2，△ABC为直角三角形，C正确；对于D，cos2A2＝c＋b2c⇔1＋

cosA2＝c＋b2c⇔ccosA＝b，由射影定理b＝acosC＋ccosA得，即acosC＝0，而a≠0，则cosC＝0，C＝π2，△ABC为直角三角形，D正确．故选ACD.6．答案：2114解析：由3acosC＋csinA＝0，所以3sinAcosC＋sinCsin

A＝0，因为A∈（0，π），所以sinA>0，所以3cosC＋sinC＝0，则tanC＝－3，又C∈（0，π），所以C＝2π3.由余弦定理AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cosC，即（27）2＝4

2＋BC2－2×4·BC·cos2π3，解得BC＝2或BC＝－6（舍去），由正弦定理得BCsinA＝ABsinC，即2sinA＝27sin2π3，所以sinA＝2114.7．答案：7534解析：因为BD＝2AD，设AD＝m，则BD＝2m，在△ACD中，由余弦定理得CD2＝A

D2＋AC2－2AD·ACcosA＝m2＋75－15m，在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcosA＝9m2＋75－45m，因为CD⊥BC，即BD2＝BC2＋CD2，于是得10m2－60m＋150＝4m2，解得m＝5，则AB

＝15，所以△ABC的面积S＝12AB·ACsinA＝12×15×53sin30°＝7534.8．解析：（1）由题意得S1＝12·a2·32＝34a2，S2＝34b2，S3＝34c2，则S1－S2＋S3＝34a2－34b2＋34c2＝32，即a2＋c2－b2＝2，由余弦定理得cosB＝

a2＋c2－b22ac，整理得accosB＝1，则cosB>0，又sinB＝13，则cosB＝1－132＝223，ac＝1cosB＝324，则S△ABC＝12acsinB＝28.（2）由正弦定理得：bsinB＝asinA＝csinC，则b

2sin2B＝asinA·csinC＝acsinAsinC＝32423＝94，则bsinB＝32，b＝32sinB＝12.9．解析：（1）由条件可得ACBC＝32sin∠BAC，由正弦定理得ACBC＝sin∠

ABCsin∠BAC，∴sin∠ABC＝32.由题意，π2<∠ABC<π，∴∠ABC＝2π3.（2）在△ABC中，由余弦定理得：AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC，∴28＝4＋BC2－4BC×－12，解得BC＝4，由题意，∠DBC＝π3，S△BDC＝12BD·BC·sin

∠DBC＝12×4×32BD＝33，∴BD＝3，在△DBC中，由余弦定理得：CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos∠DBC＝32＋42－2×3×4×12＝13，∴CD＝13.综上，CD＝13.10．解析：若选条件①，则由正弦定理得sinAs

inA＋C2＝sinBsinA，因为△ABC的内角A，B，C，sinA>0，所以sinA＋C2＝sinB，所以sinπ－B2＝2sinB2cosB2，即cosB2＝2sinB2cosB2，又因为cosB2>0，所以sinB2

＝12，因此B＝π3；若选条件②，则由正弦定理asinA＝bsinB可得bsinA＝asinB，∴bsinA＝acos（B－π6）＝asinB，∴cos（B－π6）＝32cosB＋12sinB＝sinB，可得tanB＝3.又B∈（0，π），因此B＝π3；若选条件③，则由余弦定理a2＋

c2－b2＝abcosA＋a2cosB＝2accosB，即bcosA＋acosB＝2ccosB，∴sinBcosA＋sinAcosB＝2sinCcosB，所以sin（A＋B）＝2sinCcosB＝sinC，又sinC>0，所以cosB＝12，又B∈（0，π），因此B＝π3；若选择结论①，因

b＝13，所以由余弦定理可得：a2＋c2－ac＝13，所以（a＋c）2－13＝3ac≤3·a＋c22，解得a＋c≤213（当且仅当a＝c＝13时取等号）又a＋c>b＝13，所以13<a＋c≤21

3，即213<a＋b＋c≤313，故△ABC的周长的取值范围是（213，313]；若选择结论②，因b＝13，所以由余弦定理可得：a2＋c2－ac＝13，即13＋ac＝a2＋c2≥2ac（当且仅当a＝c时取等），故a

c≤13，所以△ABC的面积S＝12acsinB＝34ac≤1334，即△ABC的面积的最大值为1334.单元过关检测四三角函数、解三角形1．答案：B解析：选项A：y＝cosx最小正周期为2π.判断错误；选项B：y＝|sinx|最小正周期为π，且在区间（π2，π

）上单调递减．判断正确；选项C：y＝cosx2最小正周期为4π.判断错误；选项D：y＝tanx在区间（π2，π）上单调递增.判断错误．故选B.2．答案：D解析：sin（210°－α）＝sin[270°－（60°＋α）]＝－cos（60°＋α）＝－35.3．答案：D

解析：因为sin4α－cos4α＝13，所以cos2α＝－13，因为α∈（0，π2），所以sin2α>0，sin2α＝223，所以cos（2α＋π4）＝22（cos2α－sin2α）＝22（－13－223）＝－4－26.4．答案：B解析：由1tanα＝2－1sinα，

切化弦得cosαsinα＝2sinα－1sinα，∴cosα＝2sinα－1，由cos2α＋sin2α＝1且sinα≠0，解得sinα＝45，cosα＝35，∴tanα＝43，∴tan（π4－α）＝1－tanα1＋tanα＝1－431＋43＝－17.故选B.5．答案：D解析：因为y＝2sin3x＝

2sin[3（x－π15）＋π5]，所以把函数y＝2sin（3x＋π5）图象上的所有点向右平移π15个单位长度即可得到函数y＝2sin3x的图象．故选D.6．答案：A解析：因为函数y＝sinx的单调递增区间为（2kπ－π

2，2kπ＋π2）（k∈Z），对于函数f（x）＝7sin（x－π6），由2kπ－π2<x－π6<2kπ＋π2（k∈Z），解得2kπ－π3<x<2kπ＋2π3（k∈Z），取k＝0，可得函数f（x）的一个单调递增区间

为（－π3，2π3），则（0，π2）⊆（－π3，2π3），（π2，π）⊄（－π3，2π3），A选项满足条件，B不满足条件；取k＝1，可得函数f（x）的一个单调递增区间为（5π3，8π3），（π，3π2）⊄（－π3，2π3）且（π，3π2）⊄（5π3，8π3），（3π2，2π）⊄（

5π3，8π3），C、D选项均不满足条件．故选A.7．答案：B解析：因为a（b2＋c2－a2）＝b2c，所以2a×b2＋c2－a22bc＝b，即b＝2acosA，所以sinB＝2sinAcosA＝sin2A，所以B＝2A或B＋2A＝π.若B＋2A＝π则C＝A.这与

题设不合，故B＝2A，又B＝C，所以A＋B＋C＝5A＝π，即A＝π5.故选B.8．答案：C解析：因为f（x）＝sin（ωx＋π3），结合选项，只考虑ω＞0.当ωx＋π3＝π2＋kπ（k∈Z），即x＝π6ω＋kπω（k∈Z）时，f（x）取得极值．又因为f

（x）在区间（0，π）上恰有三个极值点，所以π6ω＋2πω＜π，π6ω＋3πω≥π，解得136＜ω≤196.当ωx＋π3＝kπ（k∈Z），即x＝－π3ω＋kπω（k∈Z）时，f（x）＝0.又因为f（x）在区间（0，π）上恰有

两个零点，所以－π3ω＋2πω＜π，－π3ω＋3πω≥π，解得53＜ω≤83.综上可得，ω的取值范围是136，83.故选C.9．答案：ABD解析：对A：由题可得tanα<0，则α属于第二或者第四象限；cosα<0，则α属于第二或者第三象限或角的终边落在x轴的负半轴上；故α属于第二象限

，A正确；对B：设扇形OAB的圆心角为α（α>0），半径为R，圆心角对的弧长为l，则12lR＝4，l＋2R＝10，解得l＝2，R＝4，又l＝αR，即2＝4α，解得α＝12，B正确；对C：根据题意可得sinα＝2a（2a）2＋a2＝2a5|a|＝±255，故C错误；对D：因为3∈（π2，π），4∈（

π，32π），5∈（3π2，2π），故sin3>0，cos4<0，tan5<0，故sin3cos4tan5>0，D正确．故选ABD.10．答案：ABD解析：对于A：若a>b，由正弦定理可得2RsinA>2RsinB，R指△ABC外接圆的半径，所以sinA>sinB，故选项A正确；对于B：因为A＝3

0°，b＝4，a＝3，由正弦定理得，asinA＝bsinB即312＝4sinB，故sinB＝23，因为b>a，所以B>A，故B为锐角或钝角，△ABC有两解，故选项B正确；对于C：若△ABC为钝角三角形且角C为钝角，由余弦定

理可得：cosC＝a2＋b2－c22ab<0，所以a2＋b2<c2，故选项C不正确；对于D：因为A＝60°，a＝2，由余弦定理得：a2＝4＝b2＋c2－2bccosA＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc，当且仅当b＝c＝2时取等号，故bc≤4，所以△ABC面积S＝12bc×32＝3

4bc≤34×4＝3，即最大值为3，故选项D正确．11．答案：BC解析：由题图可知，函数的最小正周期T＝2（2π3－π6）＝π，∴2π|ω|＝π，ω＝±2.当ω＝2时，y＝sin（2x＋φ），将点（π6，0）代入得，sin（2×π6＋φ）＝

0，∴2×π6＋φ＝2kπ＋π，k∈Z，即φ＝2kπ＋2π3，k∈Z，故y＝sin（2x＋2π3）.由于y＝sin（2x＋2π3）＝sin[π－（2x＋2π3）]＝sin（π3－2x），故选项B正确；y＝sin（π3－2x）＝

cos[π2－（π3－2x）]＝cos（2x＋π6），选项C正确；对于选项A，当x＝π6时，sin（π6＋π3）＝1≠0，错误；对于选项D，当x＝π6＋2π32＝5π12时，cos（5π6－2×5π12）＝1≠－1，错误．当ω＝－2时，y＝sin（－2x＋φ），将（π6，0）代入，得sin

（－2×π6＋φ）＝0，结合函数图象，知－2×π6＋φ＝π＋2kπ，k∈Z，得φ＝4π3＋2kπ，k∈Z，∴y＝sin（－2x＋4π3），但当x＝0时，y＝sin（－2x＋4π3）＝－32<0，与图象不符合，舍去．综上，选BC.12．答案：ACD解析：因为f（x）＝3

sinωx＋cosωx＝2sin（ωx＋π6）（0<ω<π），所以把f（x）的图象向左平移π6个单位长度得到函数g（x）＝2sin[ω（x＋π6）＋π6]＝2sin（ωx＋π6ω＋π6）的图象，因为g（x）关

于y轴对称，所以π6ω＋π6＝kπ＋π2，k∈Z，即ω＝6k＋2，k∈Z，又因为0<ω<π，所以ω＝2，f（x）＝2sin（2x＋π6），对于A，T＝2π2＝π，故A正确；对于B，f5π12＝2sin（2×5π12＋π6）＝2sinπ＝0，故B错误；对于C，由2kπ－π

2≤2x＋π6≤π2＋2kπ（k∈Z），得kπ－π3≤x≤π6＋kπ（k∈Z），所以当k＝0时，f（x）的单调递增区间为[－π3，π6]，又因为（－π12，π6）⊆[－π3，π6]，所以f（x）在（－π12

，π6）上单调递增，故C正确；对于D，若函数f（x）在[－π12，a）上存在最大值，由选项C可知，f（x）在（－π12，π6）上单调递增，且fπ6＝2sin（2×π6＋π6）＝2sinπ2＝2，即f（x）在x＝π6

时取得最大值，所以a>π6，即实数a的取值范围为（π6，＋∞），故D正确．故选ACD.13．答案：4－3310解析：∵α∈（0，π2），sinα＝35，∴cosα＝1－sin2α＝45，∴cos（α＋π3）＝cosαcosπ3－s

inαsinπ3＝45×12－35×32＝4－3310.14．答案：45解析：∵2cos（π－θ）＝sin（π＋θ），∴2cosθ＝sinθ，∴tanθ＝2，sin2θ＝sin2θsin2θ＋cos2θ＝2sinθcosθsin2θ＋cos2θ＝2tanθtan2θ＋1＝2×222＋1＝45.

15．答案：3解析：因为T＝2π|ω|，ω>0，所以ω＝2πT.由f（T）＝32，得cos（2π＋φ）＝32，即cosφ＝32.又因为0<φ<π，所以φ＝π6.因为x＝π9为f（x）的零点，所以ωπ9＋π6＝kπ＋π2，k∈Z，解得ω＝9k＋3，k∈Z.

又因为ω>0，所以ω的最小值为3.16．答案：[1，2）解析：已知△ABC的面积S△ABC＝34（a2＋b2－c2），则12absinC＝34（a2＋b2－c2），即sinC＝3（a2＋b2－c2）2ab＝3cosC，即tanC＝3，则C＝π3，由sinBsin

C3sinA＝cosAa＋cosCc可得：acsinBsinC3sinA＝c·cosA＋a·cosC，由余弦定理可得：acsinBsinC3sinA＝c·b2＋c2－a22bc＋a·a2＋b2－c22ab＝b，即acsinBsinC＝3bsinA，由正弦定理可得：

csinC＝3，则C＝23，由正弦定理可得：bsinB＝asinA＝csinC＝4，则a＋b＝4（sinA＋sinB）＝4[sinA＋sin（2π3－A）]＝4（32sinA＋32cosA）＝43sin（A＋π6），又C＝π3，则A＋π6∈（π6，5π6），则43sin（A＋π6）∈（

23，43]，则2ca＋b∈[1，2）.17．解析：方案一：选条件①.由C＝π6和余弦定理得a2＋b2－c22ab＝32.由sinA＝3sinB及正弦定理得a＝3b.于是3b2＋b2－c223b2＝32，由此可得b＝c.由①ac＝3，解得a＝3，b＝c＝1.因此，选条件①时问

题中的三角形存在，此时c＝1.方案二：选条件②.由C＝π6和余弦定理得a2＋b2－c22ab＝32.由sinA＝3sinB及正弦定理得a＝3b.于是3b2＋b2－c223b2＝32，由此可得b＝c，B＝C＝π6，A＝2π3.由②csinA＝3，所以c＝b＝23，a＝6.因此，

选条件②时问题中的三角形存在，此时c＝23.方案三：选条件③.由C＝π6和余弦定理得a2＋b2－c22ab＝32.由sinA＝3sinB及正弦定理得a＝3b.于是3b2＋b2－c223b2＝32，由此可得b＝c.由③c＝3b，与b＝c矛

盾．因此，选条件③时问题中的三角形不存在．18．解析：（1）f（x）＝2cos2ωx＋23sinωxcosωx＋a＝2cos2ωx－1＋23sinωxcosωx＋a＋1＝cos2ωx＋3sin2ωx＋a＋1＝2（12cos2ωx＋32sin2ωx）＋a＋1＝2sin（2ωx＋π6）＋a＋1，f（

x）最大值为2×1＋a＋1＝1，所以a＝－2，f（x）的相邻两条对称轴之间的距离为T2＝π2，所以T＝2π2ω＝π，ω＝1，所以函数f（x）的解析式为f（x）＝2sin（2x＋π6）－1.（2）由题函数g（x）的解析式为g（x）＝2sin（4x＋

π6）－1，∵x∈[0，π4]，∴4x∈[0，π]，∴4x＋π6∈[π6，7π6]，∴sin（4x＋π6）∈[－12，1]，∴g（x）＝2sin（4x＋π6）－1∈[－2，1]，即g（x）在区间[0，π4]上的值域为[－2，1].19．解析：（1）因为2sinC＝3sinA，则2c＝2（a＋2）

＝3a，则a＝4，故b＝5，c＝6，cosC＝a2＋b2－c22ab＝18，所以C为锐角，则sinC＝1－cos2C＝378，因此，S△ABC＝12absinC＝12×4×5×378＝1574.（2）

显然c>b>a，若△ABC为钝角三角形，则C为钝角，由余弦定理可得cosC＝a2＋b2－c22ab＝a2＋（a＋1）2－（a＋2）22a（a＋1）＝a2－2a－32a（a＋1）<0，解得－1<a<3，则0<a<3，由三角形

三边关系可得a＋a＋1>a＋2，可得a>1，∵a∈Z，故a＝2.20．解析：（1）因为∠ABC＝∠ACD＝π2，AB＝BC＝1，AC＝CD，所以AC＝CD＝2，AD＝2，∠DAB＝∠DAC＋∠BAC＝π2，所以BD＝5，所以在△BCD中，cos∠CD

B＝BD2＋CD2－BC22×BD×CD＝5＋2－12×5×2＝31010.（2）因为sin∠BPC＝sin（∠CDB＋π2）＝cos∠CDB＝31010，在△BCP中，由正弦定理可得BCsin∠BP

C＝BPsin∠BCP，即BP＝BC×sin∠BCPsin∠BPC＝1×2231010＝53，由余弦定理得：cos∠BCP＝BC2＋CP2－BP22×BC×CP，即22＝1＋CP2－592×1×CP，解得PC＝

23或223（大边对大角，舍去），故△BCP的周长为1＋53＋23.21．解析：（1）由题设，BD＝asinCsin∠ABC，由正弦定理知：csinC＝bsin∠ABC，即sinCsin∠ABC＝cb，∴BD＝acb，又b2＝ac，∴BD＝b，得证．（2）由题意知：BD＝b，

AD＝2b3，DC＝b3，∴cos∠ADB＝b2＋4b29－c22b·2b3＝13b29－c24b23，同理cos∠CDB＝b2＋b29－a22b·b3＝10b29－a22b23，∵∠ADB＝π－∠CDB，∴13b29－c24b23＝a2－10b292b23，整理得2a2＋c2＝11b23，又b

2＝ac，∴2a2＋b4a2＝11b23，整理得6a4－11a2b2＋3b4＝0，解得a2b2＝13或a2b2＝32，由余弦定理知：cos∠ABC＝a2＋c2－b22ac＝43－a22b2，当a2b2＝13时，cos∠ABC＝76>1不合题意；当a

2b2＝32时，cos∠ABC＝712；综上，cos∠ABC＝712.22．解析：（1）由已知条件，得sin2B＋sinAsin2B＝cosA＋cosAcos2B.所以sin2B＝cosA＋cosAcos2B－

sinAsin2B＝cosA＋cos（A＋2B）＝cos[π－（B＋C）]＋cos[π－（B＋C）＋2B]＝－cos（B＋C）＋cos[π＋（B－C）]＝－2cosBcosC，所以2sinBcosB＝－2cosBcosC，即（sinB＋cosC）cosB＝0.由已知

条件，得1＋cos2B≠0，则B≠π2，所以cosB≠0，所以sinB＝－cosC＝12.又0＜B＜π3，所以B＝π6.（2）由（1）知sinB＝－cosC＞0，则B＝C－π2，所以sinA＝sin（B

＋C）＝sin（2C－π2）＝－cos2C.由正弦定理，得a2＋b2c2＝sin2A＋sin2Bsin2C＝cos22C＋cos2Csin2C＝（1－2sin2C）2＋（1－sin2C）sin2C＝2＋4sin4C－5sin2Csin2C＝2si

n2C＋4sin2C－5≥22sin2C·4sin2C－5＝42－5，当且仅当sin2C＝22时，等号成立，所以a2＋b2c2的最小值为42－5.滚动过关检测三第一章～第四章1．答案：B解析：解不等式x2－x－6<0得－2<x

<3，则A＝{x|－2<x<3}，而B＝{x|0<x<1}，则∁RB＝{x|x≤0或x≥1}，所以A∩（∁RB）＝{x|－2<x≤0或1≤x<3}．故选B.2．答案：C解析：对于A，当x＝2时，2x＝x2＝4，故A错误；对于B，x2－x＋1＝

（x－12）2＋34>0恒成立，故B错误；对于C，根据全称量词命题的否定是存在量词命题，则命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n>x2”的否定形式是“∃x∈R，∀n∈N*，使得n≤x2”，故C正确；对于D，方程x2＋（

m－3）x＋m＝0有两个正实数根，设为x1，x2，则充要条件是Δ≥0x1＋x2＝3－m>0x1·x2＝m>0，解之得0<m≤1，故D错误．故选C.3．答案：C解析：由题可得－1和12是方程ax2－x－c＝0的两个根，且a<0，∴－1＋12＝

1a－1×12＝－ca，解得a＝－2，c＝－1，则y＝cx2－x－a＝－x2－x＋2＝－（x＋2）（x－1），则函数图象开口向下，与x轴交于（－2，0），（1，0）.4．答案：C解析：设切点为（m，n），y＝l

n（x＋b）的导数为y′＝1x＋b，由题意可得1m＋b＝1，又n＝m－2a，n＝ln（m＋b），解得n＝0，m＝2a，即有2a＋b＝1，因为a、b为正实数，所以1a＋2b＝（1a＋2b）（2a＋b）＝2＋2＋ba＋4ab≥4＋2ba·4ab＝8，当且仅当2a＝b＝1

2时取等号，故1a＋2b的最小值为8.故选C.5．答案：D解析：由题意得：y＝sinx（sinx＋cosx）＝sin2x＋12sin2x＝1－cos2x2＋12sin2x＝22sin（2x－π4）＋12.选项A：

函数的最小正周期为Tmin＝2πω＝2π2＝π，故A错误；选项B：由于－1≤sin（2x－π4）≤1，函数的最大值为22＋12，故B错误；选项C：函数的对称轴满足2x－π4＝kπ＋π2，x＝k2π＋3π8，当x＝π

4时，k＝－14∉Z，故C错误；选项D：令x＝π8，代入函数得fπ8＝22sin（2×π8－π4）＋12＝12，故（18，12）为函数的一个对称中心，故D正确．故选D.6．答案：B解析：因为0<α<π2，所以π4<π4＋α<3π4，所以sin（π4＋α）＝1－cos2（π

4＋α）＝1－132＝223，因为－π2<β<0，所以π4<π4－β2<π2，因为sin（π4－β2）＝33，所以cos（π4－β2）＝1－sin2（π4－β2）＝1－332＝63，所以sin（α＋β2）＝sin[（

π4＋α）－（π4－β2）]＝sin（π4＋α）cos（π4－β2）－cos（π4＋α）sin（π4－β2）＝223×63－13×33＝33.故选B.7．答案：C解析：由b2＝a（a＋c）及余弦定理，可得c－a

＝2acosB，正弦定理边化角，得sinC－sinA＝2sinAcosB，∵A＋B＋C＝π，∴sin（B＋A）－sinA＝2sinAcosB，∴sin（B－A）＝sinA．∵△ABC是锐角三角形，∴B－A＝A，即B＝2A.∵0<B<π2，

π2<A＋B<π，那么：π6<A<π4，则asinAbcosA－acosB＝sin2Asin（B－A）＝sinA∈（12，22）.故选C.8．答案：B解析：因为f′（x）＝2xex＋f（x），所以f′

（x）－f（x）＝2xex，则f（x）ex′＝f′（x）－f（x）ex＝2x，所以f（x）ex＝x2＋c（c为常数），即f（x）＝（x2＋c）ex，因为f（1）＝e，所以f（1）＝（1＋c）e＝e，解得c＝0

，所以f（x）＝x2ex，则g（x）＝x2ex－4，所以g′（x）＝exx（x＋2），当x<－2或x>0时，g′（x）>0，当－2<x<0时，g′（x）<0，所以当x＝－2时，函数g（x）取得极大值4（e－2－1）<0，当x＝0时，函数

g（x）取得极小值－4<0，又当x→＋∞时，g（x）→＋∞，所以函数g（x）＝f（x）－4的零点个数为1.故选B.9．答案：BC解析：由正弦定理知asinA＝4＝2R，所以外接圆半径是2，故A错误；由正弦定理及acosA＝bsinB可得，sinAcosA＝sinBsinB＝1，即tanA＝1，由0

<A<π，知A＝45°，故B正确；因为cosC＝a2＋b2－c22ab<0，所以C为钝角，△ABC一定是钝角三角形，故C正确；若A＝π6，B＝π4，显然cosA>cosB，故D错误．故选BC.10．答案：BCD解析：A.因为函数y＝x＋2x在区间[2

，3]上递增，所以函数在区间[2，3]上的值域是[3，113]，故错误；B．当ac>0时，Δ＝b2＋4ac>0，所以∃x∈R，使ax2＋bx－c＝0成立，故正确；C．因为1a＝1，所以幂函数的图象都过点（1，1），故正确；D.不等式x2－2x－3<0的解集是（－1，3），又（

－1，3）（－2，3），所以必要不充分，故正确．故选BCD.11．答案：AC解析：∵f（x）是定义在R上的偶函数，对∀x∈R，均有f（x＋2）＝－f（x），∴f（x＋4）＝－f（x＋2）＝f（x），故函数的周期为4，故选项A正确；f（2022）＝f（4×505＋2）＝f（

2）＝－f（0）＝－1，故选项B错误；当x∈[2，3]时，x－2∈[0，1]，则f（x）＝－f（x－2）＝－log2[2－（x－2）]＝－log2（4－x），故选项C正确；易知f（1）＝f（3）＝f（5）＝…

＝f（2019）＝f（2021）＝0，于是函数f（x）在[0，2021]内有1011个零点，故选项D错误．故选AC.12．答案：ACD解析：∵f′（x）＝lnx＋1－4ax，（x>0），令f′（x）＝0，则4a＝1＋lnxx，令g（x）＝1＋ln

xx，则g′（x）＝－lnxx2，g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减．作出y＝4a，g（x）＝1＋lnxx的大致图象，当0<a<14时，f′（x）＝0有两个根x1，x2，且x1<1<x2，故A正确；当a→0时，x1＋x2→＋∞，故B错误；又函数f（x）在区间（0，

x1）上递减，在区间（x1，x2）上递增，在区间（x2，＋∞）上递减，∴f（x1）<f（1）＝－2a<0，f（x2）>f（1）＝－2a>－12，故CD正确．故选ACD.13．答案：5x－y－2＝0解析：

由f（x）＝x2＋2x＋lnx，得f′（x）＝2x＋2＋1x，所以切线的斜率为f′（1）＝2＋2＋1＝5，因为f（1）＝12＋2＋ln1＝3，所以切线方程为y－3＝5（x－1），即5x－y－2＝0.14．答案：－π3

解析：由图象可知，34T＝5π12－－π3＝9π12，∴T＝π，ω＝2πT＝2.∵（5π12，2）在图象上，则2×5π12＋φ＝2kπ＋π2，φ＝2kπ－π3（k∈Z），∵|φ|<π2，－π2<φ<π2，∴k＝0，φ＝－π3.15．答案：10解析：因为cosB＝－22，且B为△ABC内角

，所以sinB＝1－cos2B＝22，因为S△ABC＝12acsinB＝12×2c×22＝1，所以c＝2，由余弦定理cosB＝a2＋c2－b22ac，得－22＝4＋2－b242，解得b＝10.16．答案：4－3ln3解析：由函数解析式可知函数在每一段都为单调递增函数，且当

x<1时，f（x）<2，当x≥1时，f（x）≥2，所以函数f（x）在R上为单调递增函数，又m≠n，且f（m）＋f（n）＝4，所以m，n中有一个小于1，一个大于等于1，不妨设n<1，m≥1，则f（m）＋f（n）＝2＋3lnm＋n＋1＝4，即n＝1－3ln

m，所以m＋n＝m－3lnm＋1，m≥1，令g（x）＝x－3lnx＋1，x≥1，所以g′（x）＝1－3x＝x－3x，当1≤x≤3时，g′（x）<0，函数g（x）为单调递减函数，当x>3时，g′（x）>0，函数g（x）为单调递增函数，

所以当x＝3时，函数g（x）min＝3－3ln3＋1＝4－3ln3，无最大值，故m＋n的最小值为4－3ln3.17．解析：（1）因为3c－3bcosA＝bsinA，所以3sinC－3sinBcosA＝sinAsinB，即3sinAcosB＋3cosAsinB－3sinBco

sA＝sinAsinB，化简得3sinAcosB＝sinAsinB，所以tanB＝3，又因为B∈（0，π），所以B＝π3.（2）因为b2＝c2＋a2－2accosB，所以3＝c2＋（c＋1）2－2c（c＋1）×12，整理得c2＋c－2＝0，解得c＝1.18．解析：

（1）f（x）＝3sin（x2＋π6）＋3，x∈R，令x2＋π6＝0，π2，π，3π2，2π，得到相应的x的值，列表如下：x－π32π35π38π311π3x2＋π60π2π3π22πy36303描点，用光滑的曲线把各点连接，作图如下：（2）由2kπ－π2≤x2＋π6≤2k

π＋π2，k∈Z，得：4kπ－4π3≤x≤4kπ＋2π3，k∈Z，可得其增区间为[4kπ－4π3，4kπ＋2π3]，k∈Z，同理，由2kπ＋π2≤x2＋π6≤2kπ＋3π2，k∈Z，得：4kπ＋2π3≤x≤4kπ＋8

π3，k∈Z，可得其减区间为[4kπ－2π3，4kπ＋8π3]，k∈Z.（3）y＝sinx向左平移π6个单位，得到y＝sin（x＋π6），再将纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到y＝sin（x2＋π6）

，横坐标不变，纵坐标伸长为原来的3倍，得到y＝3sin（x2＋π6），最后向上平移3个单位得到y＝3sin（x2＋π6）＋3的图象．19．解析：（1）由余弦定理可得2a－b＝2c·a2＋c2－b22ac，整理得a2＋b2－c2＝ab.于是cosC＝a2＋b2－c22ab＝12，又C∈（0，π），

所以C＝π3.（2）由题意可得b（32sinB－12cosB）＋acosB＝23，整理得bsin（B－π6）＋acosB＝23，又B－π6＝π－π3－A－π6＝π2－A，所以bcosA＋acosB＝23.由余弦定理可得b·b2＋c2－a22bc＋a·a2＋c2－b22ac＝23，整理得，c＝

23.由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2abcosC＝a2＋b2－ab≥ab，即ab≤c2＝12，当且仅当a＝b时取等号．所以，△ABC的面积S＝12absinC＝34ab≤33，当且仅当a＝b时取等号．因此，△ABC面积的最大值为33.20．解析：（1）∵f（x）＝m

x2－2mx＋n的对称轴是x＝1，又m>0，∴f（x）在[12，1]上单调递减，在[1，3]上单调递增，∴当x＝1时，f（x）取最小值－1，当x＝3时，f（x）取最大值3，∴m－n＝13m＋

n＝3，解得m＝1n＝0.（2）由（1）知：h（x）＝f（x）x＝x－2，∴h（5x）－k·5x＝5x－2－k·5x≥0，即（1－k）·5x－2≥0，∴k≤1－25x，令g（x）＝1－25x，则g（x）在[－1，0）上是增函数．∴g（x）min＝g（－1）＝－9

，要使h（5x）－k5x≥0在x∈[－1，0）上恒成立，只需k≤－9.21．解析：（1）由题可知f′（x）＝ex（－1x2－lnx＋a），则f′（1）＝e（－1＋a）＝e，解得a＝2.（2）∵f（x）＝ex·（1x－lnx＋a）在（0，＋∞

）上是减函数，∴f′（x）＝ex（－1x2－lnx＋a）≤0对x∈（0，＋∞）恒成立，所以a≤1x2＋lnx，令g（x）＝1x2＋lnx，则由g′（x）＝－2x3＋1x＝1x（1－2x2）＝0得x＝2，当x∈（0

，2]时，g′（x）<0，当x∈[2，＋∞）时，g′（x）>0，所以g（x）在x∈（0，2]上单调递减，在x∈[2，＋∞）上单调递增，所以g（x）min＝g（2）＝12＋12ln2，故只需a≤g（x）min＝12＋12ln2，故a

的取值范围是（－∞，12＋12ln2].22．解析：（1）当a＝1时，f（x）＝12x2－lnx，则f（1）＝12，又f′（x）＝x－1x，则f′（1）＝0，∴切线方程为y＝12.（2）定义域为（0，＋∞），f′（x）＝ax＋（1－a）－1x＝ax2＋（1－a

）x－1x＝（x－1）（ax＋1）x（a≠0），当a>0时，ax＋1>0，∴x>1时f′（x）>0，f（x）单调递增；0<x<1时f′（x）<0，f（x）单调递减；当a＝－1时f′（x）<0恒成立，即f（x）单调递减；当－1<a<0时，－1a>1，单调性如下表：x（0，1）11，－1a－1

a－1a，＋∞f′（x）－＋－f（x）减增减∴f（x）在（0，1）和（－1a，＋∞）单调递减，在（1，－1a）单调递增；当a<－1时，－1a<1，单调性如下表：x0，－1a－1a－1a，11（1，＋∞）f′（x）－＋－f（x）减增减∴f（x）在（0

，－1a）和（1，＋∞）单调递减，在（－1a，1）单调递增；综上：a>0时，f（x）在（1，＋∞）单调递增，在（0，1）单调递减；a＝－1时，f（x）在（0，＋∞）单调递减；－1<a<0时，f（x）在（0，1）和（－1a，＋∞）单调递减，在（1，－1a）单调递增；a<－1时，f（x）在（0，－1a

）和（1，＋∞）单调递减，在（－1a，1）单调递增．（3）当a<－1时，g（x）＝（x－1）lnx－x＋1－f（x）＝xlnx－12ax2＋（a－2）x＋1，方法一若h（x）＝g′（x）＝lnx－ax＋a－1，则h′（x）＝1x－a＝

1－axx>0，∴h（x）在（0，＋∞）单调递增，且h（1）＝－1<0，h（2）＝ln2－a－1>0，∴∃x0∈（1，2）使h（x0）＝g′（x0）＝0，即g′（x0）＝lnx0－ax0＋a－1＝0（※），当x∈（0，x0）时，h（x）<0即g′（x

）<0，则g（x）单调递减；当x∈（x0，＋∞）时，h（x）>0即g′（x）>0，则g（x）单调递增；∴g（x）min＝g（x0）＝x0lnx0－12ax20＋（a－2）x0＋1，由（※）式得：lnx0＝ax0－a＋1，则g（x0）＝12ax20－x0＋1（x0∈（1，2）），令φ（x

）＝12ax2－x＋1（x∈（1，2）），φ′（x）＝ax－1，由x∈（1，2），则φ′（x）＝ax－1<0，故φ（x）在x∈（1，2）上单调递减，又φ（1）＝12a－1＋1＝12a<0，∴g（x0）<0在（1，2）成立，易证y＝

xlnx在（0，1e）单调递减，在（1e，＋∞）单调递增，则xlnx>－1e，取x1>0，设g（x1）＝x1lnx1－12ax21＋（a－2）x1＋1>－1e＋（a－2）x1＋1>0，则x1<1－1e2－a，∴存在0<x1<1－1e2－a<1使得g（x1）>0，故g（x

）在（0，1）内有一零点，取x2>2，设g（x2）＝x2lnx2－12ax22＋（a－2）x2＋1>－12ax22＋（a－2）x2＝12x2（ax2＋2（a－2））>0，∴存在x2>2（a－2）a>2，使得g（x2）>0，故g

（x）在（2，＋∞）内有一零点，综上，g（x）在定义域内有两个零点．方法二g（x）＝0⇔lnx－12ax＋（a－2）＋1x＝0⇔lnx＋1x＝12ax－（a－2）（※），令m＝a＋1（m<0），则（※）式化为lnx＋12x＋1x－3＝12m（x－2），设h（x）＝

lnx＋12x＋1x－3，直线l：y＝12m（x－2），问题转化为讨论h（x）与直线的交点个数，h′（x）＝1x＋12－1x2＝x2＋2x－22x＝（x＋1＋3）（x＋1－3）2x，x∈（0，3－1）时，h′（x）<0，h（x）单调递减；x∈（3－1，＋∞）时，h′（x）

>0，h（x）单调递增；h（3－1）＝ln（3－1）＋3－3<0，当x→＋∞时，h（x）→＋∞；当x→0时，h（x）>（x－1）＋12x＋1x－3＝32x＋1x－4→＋∞；由h（2）＝ln2－32<0，h（4）＝ln4－34>0，则h（x）图象大致如下：由图知：直线与h（x）交点

有两个，∴g（x）在定义域内有两个零点．第五章平面向量、复数考点练53平面向量的线性运算1．答案：A解析：由题知DC→＝3BC→，∴BC→＝13DC→，AC→＝AB→＋BC→＝AB→＋13DC→＝AB→＋13（DA→＋AC→）＝AB→－13AD→＋13AC→，即23AC→＝AB→－13AD→，

∴AC→＝32AB→－12AD→.故选A.2．答案：B解析：如图所示，设AB→＝m，AD→＝n，且BD→＝xa＋yb，则BD→＝xa＋yb＝x·（12n－m）＋y·（n－12m）＝（12x＋y）n－（x＋12y）m，又因为

BD→＝n－m，所以12x＋y＝1x＋12y＝1，解得x＝23，y＝23，所以BD→＝23a＋23b.故选B.3．答案：A解析：以{AB→，AC→}为基底向量，∵B，E，F三点共线，则AF→＝xAB→＋（1－x）AE→＝xAB→＋13（1－x）AC→，又∵A

，F，D三点共线，且D为边BC的中点，则AF→＝yAD→＝12yAB→＋12yAC→，∴x＝12y13（1－x）＝12y，解得x＝14y＝12，即AF→＝14AB→＋14AC→.∵CF→＝AF→－AC→＝（14AB→＋14AC→）－AC

→＝14AB→－34AC→，∴λ＝14，μ＝－34，则λ＋μ＝－12.故选A.4．答案：ABD解析：对选项A，AM→＝2AB→－AC→，所以AM→－AB→＝AB→－AC→，即BM→＝CB→.所以BM→∥CB→，又因为B为公共点，所以B，C，M三点共线，即点M在直线BC上，故

A正确．对选项B，设D为BC的中点，所以AM→＝13AB→＋13AC→＝13（AB→＋AC→）＝23AD→，所以点M是△ABC的重心，故B正确．对选项C，因为AM→＝λ（AB→|AB→|＋AC→|AC→|）（λ∈R），则M在∠BAC的平

分线上，M不一定在BC的中线上，故C错误．对选项D，因为AM→＝xAB→＋yAC→，且x＋y＝12，所以2AM→＝2xAB→＋2yAC→，且2x＋2y＝1，设AN→＝2AM→，则AN→＝2xAB→＋2yAC→，且2x＋2y＝1，即N，B，C三点

共线．又因为AN→＝2AM→，所以M为AN的中点，如图所示．所以S△MBC＝12S△ABC，故D正确．故选ABD.5．答案：18解析：由M为边BC上任意一点，则BM→＝γBC→，（0≤γ≤1），AN→＝12AM→＝12（AB→＋BM→）＝

12（AB→＋γBC→）＝12AB→＋γ2（AC→－AB→）＝1－γ2AB→＋γ2AC→，可得λ＝1－γ2μ＝γ2，则λ＋μ＝12，即λ＝12－μ，由0≤γ≤1，可得0≤γ2≤12，则μ∈[0，12]，故λ2＋μ2＝（12－μ）2＋μ2

＝2μ2－μ＋14＝2（μ－14）2＋18，当μ＝14时，λ2＋μ2取得最小值为18.6．答案：2解析：设PA→＝λPD→，则λPD→＝mPB→＋（43－m）PC→⇒PD→＝mλPB→＋43－mλPC→，因为B，C，D三点共线，所以mλ＋43－m

λ＝1⇒λ＝43，故PD→＝34PA→，因此DA→＝PA→－PD→＝14PA→，由AP＝8得DA＝2，在△ABC中，由余弦定理可得：cos∠ACB＝4＋9－72×2×3＝12，因为0°<∠ACB<180°，故∠ACB＝60°，又AC＝AD＝2，故△ABC是等边三角形，所以CD

＝2.考点练54平面向量的数量积1．答案：A解析：|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝1，因为|a|＝|b|＝1，所以a·b＝12，所以a在b方向上的投影向量为a·b|b|·b|b|＝12b.故选A.2．答案：D解析：由

|a＋b|＝|a－b|两边平方化简可得a·b＝0，所以（2a＋b）2＝4a2＋b2＋4a·b＝8，所以|2a＋b|＝22.故选D.3．答案：BCD解析：由题意得OA→＝（1，1），OB→＝（－1，1），OC→＝（0，

－2），所以OA→＋OB→＋OC→＝（0，2－2）≠0，故A错误；|BC→|＝|CA→|＝4＋22，故B正确；OA→·OB→＝0，故C正确；CA→·AB→＝（1，1＋2）·（－2，0）＝－2，故D正确．故选BCD.4．答案：AC解析：因为|a＋b|＝7，a·b

＝1，所以a2＋2a·b＋b2＝7，即a2＋2×1＋1＝7，解得|a|＝2，故A正确；因为a·b＝1，|a|＝2，所以a·（a－b）＝a2－a·b＝4－1≠0，故B错误；因为a·b＝1，|a|＝2，|b|＝1，所以cos〈a

，b〉＝a·b|a||b|＝12，又因为0≤〈a，b〉≤π，所以a与b的夹角为π3，故C正确，D错误．故选AC.5．答案：7解析：a·（a－b）＝32，所以a2－a·b＝32，因为|a|＝|b|＝1，所以1－a·b＝32，所以a·b＝－12，|2a－b|2＝4a2－4a·b＋

b2＝4＋2＋1＝7，所以|2a－b|＝7.6．答案：54解析：因为|e|＝1，不妨设e＝（1，0），因为a·e＝1，b·e＝2，不妨设a＝（1，m），b＝（2，n），所以a－b＝（－1，m－n），因为|a－b|＝2，所以1＋（m－n）2＝4，（m－n）2＝3，故（m＋n）2

＝（m－n）2＋4mn＝3＋4mn≥0，所以mn≥－34，当且仅当m＝－n＝±32时等号成立，所以a·b＝2＋mn≥2－34＝54.考点练55建系解决平面向量问题1．答案：D解析：如图所示，以点C为原点建立直角坐标系，则可设点E（2，2），F（4，1），所以CE→＝（2，2），CF

→＝（4，1），所以CE→·CF→＝2×4＋2×1＝10.故选D.2．答案：C解析：不妨设△ABC中，∠A＝90°，边长c＝2，边长b＝3，以A为原点、AB为x轴、AC为y轴建立平面直角坐标系，则A（0，0）、B（2，0）、C（0，3），AB→＝（2，0），AC→＝

（0，3），设M（x，y），则AM→＝（x，y），故AM→＝12AB→＋13AC→＝12（2，0）＋13（0，3）＝（1，1），可得x＝1y＝1，故M（1，1），△ABM的面积为12×2×1＝1，△BCM的面积为12×2×3－12×3×1－12×2×1＝12，则△ABM与△BCM

的面积之比为112＝2.故选C.3．答案：CD解析：根据三角形面积公式得到12×l周长×r＝S＝12×AB×AC×sin60°，可得到内切圆的半径为1;以D点为原点，BC所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立坐标系，可得到点的坐标为：B（－3，0），C（3，0），A（0，3），D（0，0）

，设M（cosθ，1＋sinθ），BM→＝（cosθ＋3，1＋sinθ），BA→＝（3，3），BD→＝（3，0），∵BM→＝xBA→＋yBD→，∴BM→＝（cosθ＋3，1＋sinθ）＝（3x＋3y，3x），∴cosθ＝3x＋3y－3，sinθ

＝3x－1，∴x＝1＋sinθ3y＝cosθ3－sinθ3＋23，2x＋y＝cosθ3＋sinθ3＋43＝23sin（θ＋π3）＋43，∵－1≤sin（θ＋π3）≤1，∴23≤2x＋y≤2，故选项CD满足．故选CD.4．答

案：0解析：以点A为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示．则A（0，0），B（3，0），D（0，4），C（3，4），设点P的坐标为（x，y），则PB→＝（3－x，－y），PD→＝（－x，4－y），因为PA＝1，PC＝26，故可得x2＋y2＝

1，（x－3）2＋（y－4）2＝24，上述两式相减可得：3x＋4y＝1；则PB→·PD→＝x2＋y2－3x－4y＝0.5．答案：2解析：如图所示，设C（0，0），A（1，0），因为∠ACB＝2π3，CB＝1，则B（－12，32），CA→＝（1，0），CB→＝（－12，32），设M（x，y），则CM

→＝（x，y），因为|CM→|＝1，所以x2＋y2＝1，因为CM→＝λ1CA→＋λ2CB→，则x＝λ1－12λ2y＝32λ2，所以有（λ1－12λ2）2＋（32λ2）2＝1，即λ21＋λ22－λ1λ2＝1，即λ1λ2＝（λ1＋

λ2）2－13，又λ1λ2≤（λ1＋λ2）24（λ1>0，λ2>0），所以（λ1＋λ2）2－13≤（λ1＋λ2）24，解得0<λ1＋λ2≤2，当且仅当λ1＝λ2＝1时不等式取等号．则λ1＋λ2的最大值为2.6．答案：5解析：∵BA→·BC→＝|BA→|·|BC→|·cosB＝|BA→|

2，∴|BC→|cosB＝|BA→|＝6，∴CA→⊥AB→，即∠A＝π2，以A为坐标原点建立如图所示的坐标系，则B（6，0），C（0，3），设P（x，y），则PA→2＋PB→2＋PC→2＝x2＋y2＋（x－6）2＋y2＋x2＋（y－3）2＝3x2－12x＋3y2

－6y＋45＝3[（x－2）2＋（y－1）2＋10]，∴当x＝2，y＝1时取得最小值，此时P（2，1），所以AP→＝（2，1），则|AP→|＝22＋12＝5.考点练56向量与三角函数综合问题1．答案：B解析：∵a·b＝cosα＋3

sinα＝2cos（π3－α）＝85，∴cos（π3－α）＝45.∴sin（2α－π6）＝cos[π2－（2α－π6）]＝cos（2π3－2α）＝2cos2（π3－α）－1＝725.故选B.2．答案：B解析：

因为a∥b，所以1－4cos2α＝sinα（3sinα－2），1－4（1－2sin2α）＝3sin2α－2sinα，5sin2α＋2sinα－3＝0，所以sinα＝35或sinα＝－1，又α∈（0，π2），所以sinα＝35，所以tanα＝34，所以tan（α－π4）＝tanα－11＋tanα

＝34－11＋34＝－17.故选B.3．答案：BD解析：对于选项A：因为a⊥b，所以a·b＝2cosθ＋sinθ＝0，所以得到：tanθ＝－2，故选项A错误；对于选项B：当cosθ＝63，sinθ＝33时，a＝3b，此时a与b同向共线，所以|a＋b|＝|a|＋|b|成立，故选项

B正确；对于选项C：与向量a共线的单位向量为±a|a|＝±（63，33），有两个，故选项C错误；对于选项D：|a－b|2＝a2＋b2－2a·b＝4－2（2cosθ＋sinθ）＝4－23sin（θ＋φ），其中sinφ＝63，cosφ＝33，φ∈（0，π2），所以θ＋φ∈（0，3π2），所以当θ

＝π时，sin（θ＋φ）取最小值，|a－b|2max＝4＋22，所以向量a－b模的最大值是4＋22，故选项D正确．故选BD.4．答案：－6解析：由已知f（x）＝a·b＝3sinx－mcosx，∴fπ3＝3sinπ3－mcosπ3＝0，解得m＝

3，∴f（x）＝a·b＝3sinx－3cosx＝23sin（x－π3），则fπ12＝23sin（π12－π3）＝－6.5．解析：（1）∵AC→＝23AB→＝23（AC→＋CB→），∴13AC→＝23CB→，∴AC→＝2CB→，∴|AC→||CB→|＝2.（2）∵OC→＝13

OA→＋23OB→，∴C（1＋23cosx，cosx），AB→＝（cosx，0），又x∈[0，π2]，∴|AB→|＝cosx∈[0，1]，∴f（x）＝OA→·OC→－（2m＋23）·|AB→|＝1＋23cosx＋cos

2x－（2m＋23）cosx＝（cosx－m）2＋1－m2，当m<0时，当cosx＝0时，f（x）取最小值1与已知相矛盾；当0≤m≤1时，当cosx＝m时，f（x）取最小值1－m2，得m＝±102（舍），当m>1时，当cosx＝1时，f

（x）取得最小值2－2m，得m＝74>1，综上所述，m＝74为所求．考点练57复数1．答案：A解析：因为复数z在复平面内对应的点为（1，－2），所以z＝1－2i，则z－＝1＋2i，所以z－z＝1＋2i

1－2i＝（1＋2i）2（1－2i）×（1＋2i）＝－3＋4i5＝－35＋45i.故选A.2．答案：A解析：z－＝1＋2i，z＋az－＋b＝1－2i＋a（1＋2i）＋b＝（1＋a＋b）＋（2a－2）i，由z＋az－＋b＝0，得

1＋a＋b＝02a－2＝0，即a＝1b＝－2.故选A.3．答案：D解析：由a－i1＋2i＝（a－i）（1－2i）（1＋2i）（1－2i）＝（a－2）＋（－2a－1）i5＝a－25－2a＋15i，因为复数a－i1＋2i（a∈R）为纯虚数，所以a－25＝02a＋15≠0，解得a＝

2，所以|1－ai|＝|1－2i|＝12＋（－2）2＝5.故选D.4．答案：AD解析：由题意得，z＝3－i（2＋i）2＝3－i3＋4i＝（3－i）（3－4i）（3＋4i）（3－4i）＝15－35i，故其虚部为－35，z－＝15

＋35i.复数z对应的点为（15，－35），在第四象限，|z－1|＝|－45－35i|＝－452＋－352＝1.故选AD.5．答案：AC解析：设z＝a＋bi，a，b∈R，z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i，a1，b1，a2，b2∈R.对于选项A：1z＝1a

＋bi＝a－bia2＋b2，若1z∈R，则b＝0，即z＝a为实数，故A正确；对于选项B：z2＝a2－b2＋2abi，若z2∈R，则2ab＝0⇒a＝0或b＝0，若a＝0，b≠0，则z∉R，故B错误；对于选项C：|z1|＝|z2|⇒a21＋b21＝a22

＋b22，z1z－1＝a21＋b21，z2z－2＝a22＋b22，故z1z－1＝z2z－2，故C正确；对于选项D：z1z2＝（a1＋b1i）（a2＋b2i）＝（a1a2－b1b2）＋（a1b2＋a2b1）i，若z1z2∈R，则a1b2＋a2b1＝

0，无法得到z1＝z－2，故D错误．故选AC.6．答案：2解析：根据in的周期性（周期为4），即i4k＝1，i4k＋1＝i，i4k＋2＝－1，i4k＋3＝－i，所以有i4k＋i4k＋1＋i4k＋2＋i4k＋3＝0，z＝505×0＋i＋i2＝i－1，|z|＝2.单元过关检测五平面向量、复数1

．答案：A解析：因为a＝（1，x－1），b＝（x＋1，3），且a，b共线，则1×3＝（x－1）（x＋1）解得x＝±2.故选A.2．答案：D解析：依题意，z＝2＋i1－i＝（2＋i）（1＋i）（1－i）（1＋i）＝1＋3i2＝12＋32i，于是得z－＝12－32i，

所以z的共轭复数在复平面内对应的点（12，－32）位于第四象限．故选D.3．答案：B解析：由题可知a＝－b，则a＋c＝－aa－c＝（6，6），即2a＋c＝（0，0）a－c＝（6，6），解得a＝（2，2）c＝（－4，－4），

∴|a|＝22＋22＝22.故选B.4．答案：D解析：取AB中点E，连CE，则点O为△ABC的重心，∴OE→＋OM→＋ON→＝0，－12OC→＋OM→＋ON→＝0，∴OC→＝2OM→＋2ON→，即CO→＝2MO→＋2NO

→.故选D.5．答案：A解析：因为C，D为以AB为直径的半圆的两个三等分点，则AB∥CD，且AB＝2CD，又E为线段CD的中点，F为BE的中点，∴AF→＝12（AE→＋AB→）＝12AE→＋12AB→＝12（AC→＋CE→）＋12AB→＝12AC→＋14CD→＋12AB→＝12A

C→＋18AB→＋12AB→＝12AC→＋58AB→＝58a＋12b.故选A.6．答案：C解析：a－b＝（－3，1），设b，a－b的夹角为θ，|b|＝5，|a－b|＝10，cosθ＝（a－b）·b|a－b|·|b|＝a·b－

b2|a－b|·|b|＝－2＋2－510·5＝－22，由于0≤θ≤π，所以θ＝3π4.故选C.7．答案：C解析：由2AM→＝MB→得AM→＝13AB→，所以CM→＝CA→＋AM→＝CA→＋13AB→＝CA→＋13（CB→－CA→）＝23CA→＋13CB→

，所以3CM→＝2CA→＋CB→，即μ＝1.故选C.8．答案：D解析：如图，以B点为坐标原点，建立平面直角坐标系，设AB＝a，BP＝x（0≤x≤a），因为AD＝2，BC＝3，所以P（0，x），C（3，0），D（2，a），所以P

C→＝（3，－x），PD→＝（2，a－x），2PD→＝（4，2a－2x），所以PC→＋2PD→＝（7，2a－3x），所以|PC→＋2PD→|＝49＋（2a－3x）2≥7，所以当2a－3x＝0，即x＝23a时，|PC→＋2PD

→|的最小值为7.故选D.9．答案：AD解析：当t＝1时，m＋n＝（5，4），所以|m＋n|＝41，故A项正确；m·n＝6t＋4－4t＝2t＋4，当t>－2时，m·n>0，但当t＝311时，向量m与向量n同向，夹角为0°，故B项错误；若m∥n，则t＝311，故C项错误；若m⊥

n，则m·n＝0，即3×2t＋4（1－t）＝0，解得t＝－2，故D项正确．故选AD.10．答案：ABD解析：z＝1a＋2i＝a－2i（a＋2i）（a－2i）＝aa2＋4－2a2＋4i，对选项A，z－＝aa2＋4＋2a2＋4i，|z|＝|z－|＝a2（a2＋4）2＋4（a2＋4）2，故A正确．对选项

B，z＝aa2＋4－2a2＋4i，当a＝0时，z＝－12i为纯虚数，故B正确．对选项C，z＋1z＝aa2＋4－2a2＋4i＋a＋2i＝（aa2＋4＋a）＋（2－2a2＋4）i，令2－2a2＋4＝0，即a2＋3＝0无解，故C错误．对选项D，|z|2＝a2（a2＋4）2＋4（a2＋4）2＝1a2＋4

≤14，当且仅当a＝0时取等号．所以|z|的最大值为12，故D正确．故选ABD.11．答案：BC解析：连接BG，CF，由正八边形的性质可知，AH∥BG，CF∥BG，所以AH∥CF，所以AH→与CF→是共线向量，所以AH→与CF→不能构成一组基底，A项错误

；∠AOC＝14×2π＝π2，所以OA⊥OC，所以OA→·OC→＝0，B项正确；因为OA→⊥OC→，由平行四边形法则可知，OA→＋OC→＝2OB→，C项正确；正八边形的每一个内角为18×（8－2）×π＝3π4，AB⊥CD，所以AC→·CD→＝（AB→＋BC→）·CD→＝AB→

·CD→＋BC→·CD→＝|BC→|2cos（π－3π4）＝22，D项错误（或者从正八边形的性质可知AC→与CD→的夹角为锐角，则有AC→·CD→>0可判断D错误）.故选BC.12．答案：BC解析：对于A，若a⊥b，则a·b＝cosαsinβ＋sinαcosβ＝sin（α＋β

）＝0，因为α和β都是锐角，所以sin（α＋β）＝0不成立，所以A错误；对于B，若a∥b，则存在唯一实数λ，使得a＝λb，则（cosα，sinα）＝λ（sinβ，cosβ），所以cosα＝λsinβsinα＝λcosβ，所以sinαcosα＝

cosβsinβ，当α＝β＝π4时上式成立，所以B正确；对于C，因为a＝（cosα，sinα），b＝（sinβ，cosβ），所以a－b＝（cosα－sinβ，sinα－cosβ），所以|a－b|＝（cosα－sinβ）2＋（sinα－cosβ）2＝

cos2α－2cosαsinβ＋sin2β＋sin2α－2sinαcosβ＋cos2β＝2－2sin（α＋β），因为α和β都是锐角，所以0<α＋β<π，所以0<sin（α＋β）≤1，所以0≤2－2sin（α＋β）<2，所以2－2sin（α＋β）<2，所以C正确；对于D，a·b＝cosαsinβ＋s

inαcosβ＝sin（α＋β），a·c＋b·c＝cosα＋sinβ，若α＝π3，β＝π6，则a·b＝a·c＋b·c，所以D错误．故选BC.13．答案：－325解析：i3＋4i＝i（3－4i）（3＋4i）（3－4i）＝4＋3i25，所以复数i3＋4i的共轭复数为425－325i，其虚部为－32

5.14．答案：5解析：∵（a＋b）⊥（a－b），∴（a＋b）·（a－b）＝a2－b2＝k2＋4k2－9－16＝0，又k>0，∴k＝5.15．答案：6解析：由a＋b＋c＝0，得a＋b＝－c，两边平方，得a2＋2a·b＋b2＝c2，因为|a|＝2，|b|＝3，|c|＝5，所以

4＋2a·b＋9＝25，得a·b＝6.16．答案：16132解析：∵AD→＝λBC→，∴AD∥BC，∴∠BAD＝180°－∠B＝120°，AB→·AD→＝λBC→·AB→＝λ|BC→|·|AB→|cos12

0°＝λ×6×3×－12＝－9λ＝－32，解得λ＝16，以点B为坐标原点，BC所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系xBy，∵BC＝6，∴C（6，0），∵|AB|＝3，∠ABC＝60°，∴A的坐标为A（3

2，332），又∵AD→＝16BC→，则D（52，332），设M（x，0），则N（x＋1，0）（其中0≤x≤5），DM→＝（x－52，－332），DN→＝（x－32，－332），DM→·DN→＝（x－52

）（x－32）＋（332）2＝x2－4x＋212＝（x－2）2＋132，所以，当x＝2时，DM→·DN→取得最小值132.17．解析：（1）因为a＝（1，3），b＝（－2，0），所以a－b＝（3，3），设a－b与a之间的夹角为θ，则cosθ＝（a－b）·a|a－b|·|a|＝6

43＝32，因为θ∈[0，π]，所以a－b与a之间的夹角为π6.（2）|a－tb|2＝a2－2ta·b＋t2b2＝4＋4t＋4t2＝（2t＋1）2＋3，因为t∈[－1，1]，所以|a－tb|2∈[3，12]

，故|a－tb|的取值范围是[3，23].18．解析：（1）由z（2－i）＝m＋3i，得z＝m＋3i2－i＝（m＋3i）（2＋i）（2－i）（2＋i）＝2m－35＋m＋65i.∴z－＝2m－35－m＋65i.由z＋z－＝6，得2×2m－35＝6，解得m

＝9，∴z＝3＋3i，故|z|＝9＋9＝32.（2）由z·z－<3，得2m－352＋m＋652<3，即m2<6，解得－6<m<6，∴m的取值范围是（－6，6）.19．解析：（1）α＝π3时，OB→＝（12，32），∴OA→＋OB→＝（32，332），∴|

OA→＋OB→|＝94＋274＝3.（2）OA→·OB→＝3sinα＋cosα＝2sin（α＋π6），∵0≤α≤π2，∴π6≤α＋π6≤2π3，∴OA→·OB→的取值范围为[1，2].20．解析：（1）选择①：因为a∥b，所

以3sinx·2cosx＝cos2x，又cosx≠0，所以23sinx＝cosx，得tanx＝36，所以tan2x＝2tanx1－tan2x＝2×361－362＝4311.选择②：a·b＝3sinx·cosx＋2cos2x＝1，可得32sin2x＝－cos2x，则tan2x＝－

233.（2）f（x）＝|a＋b|2－|b|2＝（3sinx＋cosx）2＋（3cosx）2－5cos2x＝3sin2x＋23sinxcosx＋5cos2x＝3sin2x＋cos2x＋4＝2sin（2x＋

π6）＋4.令2x＋π6＝kπ，解得x＝－π12＋kπ2，所以函数图象的对称中心是（－π12＋kπ2，4）（k∈Z）.取k＝0，f（x）的图象关于（－π12，4）对称，而奇函数的图象关于（0，0）对称，所以只需将f（x）的图象向右平移π12个单位长度

，再向下平移4个单位长度，就可以得到一个奇函数的图象．（答案不唯一）21．解析：（1）因为BA→·BC→＝9，B＝π3，a＝3，所以3ccosπ3＝9，解得c＝6.（2）因为a＝3，c＝6，B＝π3，所以b2＝a2＋c2－2

accosB＝9＋36－18＝27，所以b＝33.又S△ABC＝12acsinB＝12×3×6×32＝932，所以BD＝2S△ABCAC＝9333＝3.因为点E为线段BD的中点，所以BE＝32，又EA→＝ED→＋DA→＝BE

→＋DA→，所以BE→·EA→＝BE→·（BE→＋DA→）＝BE→2＋0＝94.22．解析：（1）f（x）＝m·n＝2cosωxsinωx＋23cos2ωx－3＝sin2ωx＋3cos2ωx＝2sin（2ωx＋π3），由f（x）的最小正周期T＝2π2ω＝π，则ω＝1，∴f（x）＝2s

in（2x＋π3），则令2x＋π3∈（π2＋2kπ，3π2＋2kπ）（k∈Z），解得x∈（π12＋kπ，7π12＋kπ），k∈Z，所以f（x）的单调递减区间为（π12＋kπ，7π12＋kπ），k∈Z.（2）由（1）得，f（x）＝2si

n（2ωx＋π3），当x∈（0，π2）时，则2ωx＋π3∈（π3，πω＋π3），因为函数y＝f（x）在（0，π2）上有且只有一个极值点，所以可得：ωπ＋π3∈（π2，3π2]，解得：16<ω≤76.滚动过关检测四第一章～第五章1．答案：A解析：由题意

可得：A∪B＝{－1，0，1，2}，则∁U（A∪B）＝{－2，3}．故选A.2．答案：C解析：对于A选项，设f（x）＝x2sinx，该函数的定义域为R，f（－x）＝（－x）2sin（－x）＝－x2sinx＝

－f（x），所以，函数y＝x2sinx为奇函数；对于B选项，设g（x）＝xcosx，该函数的定义域为R，g（－x）＝－xcos（－x）＝－xcosx＝－g（x），所以，函数y＝xcosx为奇函数；对于C选项，设h（x）＝|sinx

|，该函数的定义域为R，h（－x）＝|sin（－x）|＝|－sinx|＝|sinx|＝h（x），所以，函数y＝|sinx|为偶函数；对于D选项，设t（x）＝x－cosx，则t（1）＝1－cos1，t（－1）＝－1－cos（－1）＝－1－cos1，则t（－1）≠

t（1），t（－1）≠－t（1），所以，函数y＝x－cosx为非奇非偶函数．故选C.3．答案：C解析：∵A、B、C三点不共线，∴|AB→＋AC→|>|BC→|⇔|AB→＋AC→|>|AB→－AC→|⇔|AB→＋AC→|2>

|AB→－AC→|2⇔AB→·AC→>0⇔AB→与AC→的夹角为锐角．故“AB→与AC→的夹角为锐角”是“|AB→＋AC→|>|BC→|”的充要条件．故选C.4．答案：A解析：由函数y＝log1.1x在（0，＋∞）上单调递增，所以a＝log1.10.9<log1.11

＝0，由于函数y＝0.9x在R上单调递减，所以0<0.91.1＝b<0.90＝1，由于函数y＝1.1x在（0，＋∞）上单调递增，所以1.10.9>1.10＝1，故a<b<c.故选A.5．答案：B解析：因为x>0时，f（x）＝（2x－1）lnx，所以x<0时，－x>0

，所以f（x）＝f（－x）＝（－2x－1）ln（－x），所以x<0时，f′（x）＝－2ln（－x）－1x－2，所以f′（－1）＝－1，所以曲线y＝f（x）在点（－1，f（－1））处的切线的斜率为－1.故选B.6．答案：D

解析：因AN→＝13NC→，则AC→＝4AN→，又AP→＝mAB→＋211AC→，于是得AP→＝mAB→＋811AN→，而AB→，AN→不共线，点P在直线BN上，因此m＋811＝1，解得m＝311，所以实数m的值为311.故选D.7．答案：D解析：由fπ6－f2π3＝2可知f

（x）max＝fπ6，f（x）min＝f2π3，即fπ6＝1，f2π3＝－1，即sin（ω·π6＋φ）＝1，sin（ω·2π3＋φ）＝－1，∴ω·π6＋φ＝2k1π＋π2，ω·2π3＋φ＝2k2π＋3π2，k1∈

Z，k2∈Z，两式相减可得ω＝2＋4（k2－k1），因为0<ω<4，故ω＝2，将ω＝2代入ω·π6＋φ＝2k1π＋π2得φ＝2k1π＋π6，又|φ|<π2，∴φ＝π6，所以函数f（x）＝sin（2x＋π6），令2kπ－π2≤2x＋π6≤2kπ＋π2，求

得kπ－π3≤x≤kπ＋π6，可得函数f（x）的单调递增区间为[kπ－π3，kπ＋π6]，k∈Z.故选D.8．答案：C解析：x2＋ax＋1≥0对于一切x∈（0，12）成立，则等价为a≥－x2－1x对于一切x∈（0，12）成立，即a≥－x－1x对于一切x∈（0，12）成立，设y

＝－x－1x，则函数在区间（0，12）上是增函数，∴－x－1x<－12－2＝－52，∴a≥－52.故选C.9．答案：AD解析：对于选项A:由向量共线定理知选项A正确；对于选项B：a＋λb＝（1，2）＋λ（1，1）＝（1＋λ，2＋λ），

若a与a＋λb的夹角为锐角，则a·（a＋λb）＝1＋λ＋2（2＋λ）＝5＋3λ>0解得λ>－53，当a与a＋λb共线时，2＋λ＝2（1＋λ），解得：λ＝0，此时a＝（1，2），a＋λb＝（1，2），此时a＝b夹

角为0，不符合题意，所以实数λ的取值范围是（－53，0）∪（0，＋∞），故选项B不正确；对于选项C：若a·c＝b·c，则c·（a－b）＝0，因为c≠0，则a＝b或c与a－b垂直，故选项C不正确；对于选项D：若点G为△ABC的重心，延长AG与BC交于M，则M为BC的中点，所以AG→＝2GM

→＝2×12×（GB→＋GC→）＝GB→＋GC→，所以GA→＋GB→＋GC→＝0，故选项D正确．故选AD.10．答案：BC解析：因为函数y＝f（x）的图象相邻两条对称轴之间的距离为π4，所以函数的周期为π2

，∴ω＝2πT＝4，∴f（x）＝sin（4x＋φ），将函数y＝f（x）的图象向左平移3π16个单位后，得到函数y＝sin[4（x＋3π16）＋φ]的图象，∵图象关于y轴对称，∴4×3π16＋φ＝kπ＋π2，k∈Z，即φ＝kπ－π4

，k∈Z，又|φ|<π2，∴φ＝－π4，∴f（x）＝sin（4x－π4），令4x－π4＝kπ，k∈Z，解得x＝kπ4＋π16，k∈Z，k＝0时，x＝π16，所以f（x）的图象关于点（π16，0）对称．故B正确．令－π16＝k

π4＋π16，k∈Z，得k＝－12不满足，故A不正确．令4x－π4＝kπ＋π2，k∈Z，所以函数的对称轴方程为x＝kπ4＋3π16，k∈Z.令－π4＝kπ4＋3π16，k∈Z，得k＝－74不满足，故D不正确．当k＝－1时，对称轴方程为x＝－π16，所以C正确．故选BC.11

．答案：ABC解析：因为y＝x2－4x－4＝（x－2）2－8，开口向上，对称轴为x＝2，所以，当x＝0和x＝4时，函数值为－4，当x＝2时函数值为－8，因为函数y＝x2－4x－4的定义域为[0，m]，值域为[－8，－4]，所以m∈[2，4]，所以m的值可能是选项AB

C.12．答案：ACD解析：对于选项A：函数定义域为（0，＋∞），f′（x）＝1－2lnxx3，令f′（x）>0可得0<x<e，令f′（x）<0可得x>e，所以f（x）在（0，e）单调递增，在（e，＋∞）单调

递减，所以f（x）在x＝e时取得极大值f（e）＝12e，故选项A正确；对于选项B：令f（x）＝lnxx2＝0，可得x＝1，因此f（x）只有一个零点，故选项B不正确；对于选项C：显然e<3<π，f（x）在（e，＋∞）单调递减，可得f（3

）>f（π）＝lnππ>0，因为f22＝2ln22<0，即f22<f（π）<f（3），故选项C正确；对于选项D：由题意知：k>f（x）＋1x2＝lnxx2＋1x2在（0，＋∞）上恒成立，令g（x）＝lnxx2＋1x2（x>0）则k>g（x）max，因为g′（x）＝－1－2

lnxx3，易知当x∈（0，1e）时．g′（x）>0，当x∈（1e，＋∞）时，g′（x）<0，所以g（x）在x＝1e时取得极大值也是最大值g1e＝e2，所以k>e2，所以f（x）＋1x2<k在x∈（

0，＋∞）上恒成立，则k>e2，故选项D正确．故选ACD.13．答案：π3解析：由a、b均为单位向量，|a－2b|＝3，得：|a－2b|2＝3，即a2－4a·b＋4b2＝3，所以a·b＝12，〈a，b〉∈[0，π]，cos〈a，b〉＝π3.14．答案：－142解析：由题意，（s

inα＋cosα）2＝1＋2sinαcosα＝74，又α∈（0，π2），所以sinα＋cosα>0，则sinα＋cosα＝72，所以cos2αsin（α－π4）＝cos2α－sin2α22（sinα－cosα）＝（cosα－sinα）（cosα＋sinα）22（sinα－cosα）＝－1

42.15．答案：[14，12）[3，＋∞）解析：函数f（x）＝log12（－2x2＋x）的定义域满足－2x2＋x>0，得0<x<12，所以函数f（x）＝log12（－2x2＋x）的定义域为（0，12）.设t＝－2x2＋x，由y＝log12t是单调递减函数．由复合函数单调性的性质，

即求t＝－2x2＋x的减区间．由二次函数的性质可得t＝－2x2＋x在[14，12）上单调递减．又当x∈（0，12）时，t＝－2x2＋x∈（0，18]，由y＝log12t是单调递减函数，所以f（x）≥log1218＝3，所以f（x）的值域是[3，＋∞）.16．答案

：12解析：f（x）＝x2－2mx＋e2x－2mex＋2m2＝（x－m）2＋（ex－m）2，则存在实数x0，使得f（x0）≤12成立，等价于f（x0）min≤12，即可看作点P（x0，e𝑥0）与点Q（m，m）距离的平方的最小值小于等于12，因为P在曲线y＝ex上，点Q在直线y＝

x上，则|PQ|的最小值为与y＝ex相切且与y＝x平行的直线与y＝x的距离，对于y＝ex，y′＝ex，令ex＝1，解得x＝0，则切点为M（0，1），即点M（0，1）到直线y＝x的距离最小，且距离为12＝22，要使f（x0）≤12，则f（x0）＝1

2，此时MQ垂直于直线y＝x，则kMQ＝m－1m＝－1，解得m＝12.17．解析：（1）因为向量a＋kb与ka＋2b为方向相反的向量，所以存在实数λ<0，使得a＋kb＝λ（ka＋2b），且a与b不共线，所以1＝kλk

＝2λ，解得：λ＝－22k＝－2或λ＝22k＝2（舍）；所以实数k的值为－2.（2）因为向量a与b的夹角为60°，|a|＝1，|b|＝2，所以a·b＝|a|·|b|·cos60°＝1×2×

12＝1，（2a＋b）·（a－b）＝2a2－a·b－b2＝2|a|2－a·b－|b|2＝2×12－1－22＝－3，|2a＋b|＝（2a＋b）2＝4a2＋4a·b＋b2＝4＋4＋22＝23，|a－b|＝（a－b）2＝a2－2a·b＋

b2＝1－2×1＋22＝3，所以cosθ＝（2a＋b）·（a－b）|2a＋b|·|a－b|＝－323×3＝－12，因为0°≤θ≤180°，所以θ＝120°.18．解析：（1）依题意，函数f（x）＝sinx（3cosx＋sinx）＋12＝3sinxcosx＋sin2x＋

12＝32sin2x－12cos2x＋1＝sin（2x－π6）＋1，若f（θ）＝32，则sin（2θ－π6）＝12，又θ∈（0，π），2θ－π6∈（－π6，11π6），∴2θ－π6＝π6或5π6，即θ＝π6或π2.（2）函数f（x）＝sin（2x－π6）＋1，x∈[0，π2]，则2x－

π6∈[－π6，5π6]，所以sin（2x－π6）∈[－12，1]，所以f（x）在x∈[0，π2]的值域为[12，2].（3）因为2x－π6∈[－π6，5π6]，所以令2x－π6∈[－π6，π2]，得x∈[0，π3]；令2x－π6∈[π2，5π6]，得x∈[π3，π2]

.所以f（x）的单调增区间为[0，π3]，单调减区间为[π3，π2].19．解析：（1）要使函数有意义，则x＋1>01－x>0，解得－1<x<1，即函数f（x）的定义域为（－1，1）.（2）函数的定义域关于坐标原点对

称，∵f（－x）＝loga（－x＋1）－loga（1＋x）＝－[loga（x＋1）－loga（1－x）]＝－f（x），∴f（x）是奇函数．（3）若a>1时，由f（x）>0得loga（x＋1）>loga（1－x），则－1<x<1x＋1>1－x，求解关于实数x的不等式可得0<x<1，

故不等式的解集为（0，1）.20．解析：（1）因为2acosA＝bcosC＋ccosB，由正弦定理可得2sinAcosA＝sinBcosC＋sinCcosB＝sin（B＋C）＝sinA，∵A∈（0，π），则sinA>0，可得cosA＝12，故A＝π3.（2）如图

，延长AM到D，使得AM＝DM，则四边形ABDC是平行四边形，由向量加法的平行四边形法则可得2AM→＝AD→＝AB→＋AC→，所以，4AM→2＝14＝（AB→＋AC→）2＝AC→2＋AB→2＋2AC→·AB→＝8＋c2＋22c，整理可得c2＋22c－6＝0

，∵c>0，解得c＝2，因此，S△ABC＝12bcsinπ3＝3.21．解析：（1）a＝－2时，f（x）＝13x3＋2（x2－x＋1），则f′（x）＝x2＋4x－2＝（x＋2）2－6，令f′（x）>0，解得：

x>－2＋6或x<－2－6，令f′（x）<0，解得：－2－6<x<－2＋6，故f（x）在（－∞，－2－6）和（－2＋6，＋∞）递增，在（－2－6，－2＋6）递减．（2）证明：令f（x）＝0，则有3a＝x3x2－x＋1，令g（x）＝x3x2－x＋1，则g′（x）＝x2（x2－2

x＋3）（x2－x＋1）2＝x2[（x－1）2＋2]（x2－x＋1）2>0，故g（x）在R上递增，又g（x）∈R，所以3a＝g（x）仅有1个根，即f（x）只有1个零点．22．解析：（1）f（x）的定义域为（0，＋∞），f′（x）＝lnx－2ax＋1，由题意f′（x）＝0在（0，＋∞）上有两解，即

lnx－2ax＋1＝0，即2a＝lnx＋1x有两解．令g（x）＝lnx＋1x（x>0），即g（x）的图象与直线y＝2a有两个交点．g′（x）＝－lnxx2＝0，得x＝1，当x∈（0，1）时，g′（x）>0，g（x）递增；当x∈（1，

＋∞）时，g′（x）<0，g（x）递减，∴g（x）max＝g（1）＝1，g1e＝0，x→0时，g（x）→－∞；x→＋∞时，g（x）→0，∴0<2a<1，∴0<a<12，∴a的取值范围是（0，12）.（2）证明：当a＝0时，f（x）＝xlnx＋2，即证xlnx＋2>x

－2x，即证xlnx＋2－x＋2x>0，令h（x）＝xlnx＋2－x＋2x（x>0），h′（x）＝lnx－2x2，令m（x）＝lnx－2x2，则m′（x）＝1x＋4x3，当x>0时，m′（x）>0，∴h′（x）在（0，＋∞）递增．h′（1）＝－2<0，h

′（e）＝1－2e2>0，∴存在唯一的x0∈（1，e），使得h′（x0）＝lnx0－2x20＝0，当x0∈（0，x0）时，h′（x）<0，h（x）递减；当x∈（x0，＋∞）时，h′（x）>0，h（x）递增，∴h（x）min＝h（x0）.又∵x0∈（1，e），h′（x0）＝

0，∴lnx0－2x20＝0，∴h（x0）＝x0lnx0＋2－x0＋2x0＝2x0＋2－x0＋2x0＝2－x0＋4x0>2－e＋4e>0，∴h（x）>0，∴f（x）>x－2x.第六章数列考点练58数列通项公式的求法1．答案：C解析：当n＝1时，a2

＝5S1＝5a1＝5，当n≥2时，an＝5Sn－1，所以an＋1－an＝5（Sn－Sn－1）＝5an⇒an＋1＝6an，而a2＝5a1≠6a1，所以数列{an}从第二项起是以5为首项，6为公比的等比数列，所以an＝1，n＝15×6n－2，n≥2.故选C.2．答案：B

解析：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n＋λ－[（n－1）2＋（n－1）＋λ]＝2n，故可知当n≥2时，{an}单调递增，故{an}为递增数列只需满足a2>a1，即4>2＋λ⇒λ<2.故选B.3．答案：ABC解析：对于A，∵an＝2，n为奇数0，n为偶数，∴a1＝2，

a2＝0，a3＝2，a4＝0，故A正确；对于B，∵an＝1＋（－1）n＋1，∴a1＝1＋（－1）2＝2，a2＝1＋（－1）3＝0，a3＝1＋（－1）4＝2，a4＝1＋（－1）5＝0，故B正确；对于C，∵an＝2

sinnπ2，∴a1＝2sinπ2＝2，a2＝2sin2π2＝0，a3＝2sin3π2＝2，a4＝2sin4π2＝0，故C正确；对于D，∵an＝21－（－1）n2，∴a1＝21－（－1）12＝2，a2＝21－（－1）22＝1，a3＝

21－（－1）32＝2，a4＝21－（－1）42＝1，故D错误．故选ABC.4．答案：BC解析：根据题意，可知a4＝10，且an＋1－an＝n＋1，故A错误，B正确；因为an＋1－an＝n＋1，所以an＝an－1＋n＝an－2＋（n－

1）＋n＝…＝a1＋2＋…＋（n－1）＋n＝1＋2＋…＋n＝n（n＋1）2（n≥2），所以a20＝20×212＝210，C正确；因为a22≠a1a3，故D错误．故选BC.5．答案：2n解析：因为a1＋a22＋a33＋…＋ann＝an＋1－2，当

n≥2时，a1＋a22＋a33＋…＋an－1n－1＝an－2，则ann＝an＋1－an，即有an＋1n＋1＝ann；当n＝1时，a1＝a2－2，得a2＝4，a22＝a11满足上式，an＋1n＋1＝ann，n∈N*，因此数列ann是常数列，即a

nn＝a11＝2，所以an＝2n.6．答案：an＝2n（n＋1）解析：由Sn＝n2an，可得当n≥2时，Sn－1＝（n－1）2an－1，则an＝Sn－Sn－1＝n2an－（n－1）2an－1，即（n2－1）an＝（n－1）2an－1，故anan－1＝n－1n＋1，所

以an＝anan－1·an－1an－2·an－2an－3·…·a3a2·a2a1·a1＝n－1n＋1·n－2n·n－3n－1·…·24×13×1＝2n（n＋1）.当n＝1，a1＝1满足an＝2n（n＋1）.故数列{an}的通项公式为an＝2n（n＋1）.考点练59等差数

列的有关计算1．答案：C解析：由2a6＝a8＋10，得：2a1＋10d＝a1＋7d＋10，即a1＋3d＝10，即a4＝10，所以S7＝7()a1＋a72＝7a4＝70.故选C.2．答案：B解析：∵数列{an}为等差数列，∴数列

Snn为等差数列，设其公差为d，又S1010－S88＝2d＝2，解得：d＝1，又S11＝a1＝－2023，∴S20232023＝－2023＋2022＝－1，∴S2023＝－2023.故选B.3．答案：

BD解析：由题意可知数列{an}是等差数列，且递减，则d<0，不妨举例如：4，3，2，1，0，－1，－2，－3，…则S1＝4，S2＝7，S3＝9，这三项不构成递减数列，故A错；而S3＝9，S6＝9，S9＝0，这三项

不构成等差数列，说明C错；对于B，Snn＝na1＋n（n－1）2dn＝d2n＋（a1－d2），是关于n的一次函数，因此Snn是等差数列，故B正确；对于D，S15＝15（a1＋a15）2＝15a8>0，则a8>0，S16

＝16（a1＋a16）2＝8（a8＋a9）<0，则a9<－a8<0，故S9＝S8＋a9<S8，故D正确．故选BD.4．答案：ABD解析：由题意得：对于选项A：取n＝1，则a1＝a21＋12，解得a1＝1，即A正确；对于选项B：由A可知，Sn＝n2＋n2，则d＝S2－2a1

＝3－2＝1，即B正确；对于选项C：因为a1＝1，d＝1，则an＝n.因为S2n＝（2n）2＋2n2＝2n2＋n＝2a2n＋an，即C错误；对于选项D：因为2Sn－an＝n2，且1＋3＋…＋（2n－1）＝n（1＋2n－1）2＝n2，即D正确

．故选ABD.5．答案：10解析：由题意在等差数列{an}中，设公差为d，则a1＋2a7＝3a1＋12d＝3a5＝15，所以a5＝5，于是a2＋a8＝2a5＝10.6．答案：13解析：设等差数列{an}的公差为d，∵S3＝9，S10＝100，∴S3＝3a1＋3×22·d＝9S10＝10a1

＋10×92·d＝100，解得a1＝1d＝2，∴a7＝a1＋6d＝1＋6×2＝13.考点练60等比数列的有关计算1．答案：C解析：设{an}的公比为q，则a1－a3＋a5＝a1－a1q2＋a1q4＝2（1－q2＋q4）

＝26，解得q2＝4，所以a3＝a1q2＝8.故选C.2．答案：C解析：设等比数列{an}的公比为q，且q>0，an>0，a3a5＝a24＝64⇒a4＝8，a5＋2a6＝8q＋16q2＝8⇒q＝12，所以a1＝a4q3＝26，即S6＝26·1－1261－12＝126.故选C.3．答

案：C解析：设公比为q（显然q≠1），由2a2＝S3－3a1得2a1q＝a1（1－q3）1－q－3a1，即q2－q－2＝0，得q＝2或－1（舍去），所以{an}递增且a1＝18，a2＝14，a3＝12，a4＝1，a5＝2，所以

Tn最小值为18×14×12×1＝164.故选C.4．答案：AC解析：因为等比数列{an}的公比为q，且a5＝1所以a3＝1q2，a4＝1q，a6＝q，a7＝q2，因为a3＋a7＝1q2＋q2≥2，故A正确；因为a4＋a6＝1q＋q

，当q<0时式子为负数，故B错误；因为a7－2a6＋1＝q2－2q＋1＝（q－1）2≥0，故C正确；因为a3－2a4－1＝1q2－2q－1＝（1q－1）2－2，存在q使得a3－2a4－1<0，故D错误．故选AC.5．答案：22解析：依题意{an}是各项均为正数的等比数列，a51·T5＝a51·

a1·a2·a3·a4·a5＝a51·a53＝a102＝25，所以a2＝2，所以T3＝a1a2a3＝a32＝（2）3＝22.6．答案：121或1219解析：设数列{an}的公比为q，∵前三项积为27，∴a1a2a3

＝a32＝27，解得a2＝a1q＝3，∵前三项和为13，∴S3＝a2q＋a2＋a2q＝3q＋3＋3q＝13，解得a1＝1q＝3或a1＝9q＝13，∴S5＝1－351－3＝121或S5＝9×（1－135）1－13＝1219.考点过关检测10数列的基本计算1．答案：C解析：

由题意可得构成的等比数列为{an}，其公比为q，则a1＝2，an＋2＝6，所以an＋2＝2qn＋1＝6，解得q＝n＋13.故选C.2．答案：B解析：因为{an}为等差数列，所以S2＝a4，则2a1＋d＝a1＋3d，所以a1＝2d，所以a7S3＝a1

＋6d3a1＋3d＝8d9d＝89.故选B.3．答案：D解析：设等比数列{an}的公比为q.由题意知，a2q＋a2＋a2q＝168，a2－a2q3＝42.两式相除，得1＋q＋q2q（1－q3）＝4，解得q＝12.代入a2－a2q3＝42，得a2＝48，所以a6＝a2

q4＝3.故选D.4．答案：B解析：由已知a24＝a2a5，则（a1＋3）2＝（a1＋1）（a1＋4），解得a1＝－5，故Sn＝na1＋n（n－1）2＝n2－11n2＝0，因为n∈N*，解得n＝11.故选B.5．答案：C解析：因为a2a9＝8，所以a1

a2a3…a10＝85＝215，所以log2a1＋log2a2＋log2a3＋…＋log2a10＝log2（a1a2a3…a10）＝15.故选C.6．答案：A解析：∵Sn－Sn－4＝an－3＋an－2＋an－1＋an＝5，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝3，∴（an－3＋

a4）＋（an－2＋a3）＋（an－1＋a2）＋（an＋a1）＝4（a1＋an）＝8，∴a1＋an＝2，∴Sn＝n（a1＋an）2＝17，解得n＝17.故选A.7．答案：A解析：2S3，3S5，4S6成等差数列，6S5＝2

S3＋4S6，∴6（a1＋a2＋a3＋a4＋a5）＝2（a1＋a2＋a3）＋4（a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6）∴6a4＋6a5＝4a4＋4a5＋4a6，∴4a6－2a5－2a4＝0，∴2q2－q－1＝0，∴q＝1或－12.故选A.8．答案：D解析：因为a150＝300，28＝

256<300，29＝512>300，故数列{an}的前150项中包含{bn}的前8项，故数列{cn}的前150项包含{an}的前158项排除与{bn}公共的8项．记数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，c1＋c2＋…＋c150

＝S158－T8＝（2＋316）×1582－2×（1－28）1－2＝24612.故选D.9．答案：AB解析：设数列{an}的首项为a1，公比为q.对于A，2an＝2a1qn－1，所以数列{2an}是公比为q的等比数列；对于B，a2n＝a21q2n－2＝a21（q2）n－1，所以数列{a2n}是公

比为q2的等比数列；对于C，2𝑎𝑛＝2𝑎1𝑞𝑛－1，所以当n≥2时，，不是一个非零常数，所以数列{2an}不是等比数列；对于D，当n≥2时，log2|an|log2|an－1|＝log2|a1qn－1|log2|a1qn－2|，不是一个非

零常数，所以数列{log2|an|}不是等比数列．故选AB.10．答案：ABC解析：根据等差数列的性质知，a7＋a8＋a9＝3a8>0，a8>0，又a7＋a10＝a8＋a9<0，所以a9<0，所以d＝a9－a8<0，B项正确；又a8＋a9<0

，所以a8<－a9＝|a9|，A项正确；根据a8>0，a9<0，d<0可知，等差数列前8项均为正数，从第9项起为负数，所以当n＝8时Sn最大，C项正确；S15＝a1＋a152×15＝15a8>0，S16＝a1＋a

162×15＝a8＋a92×15<0，所以使Sn>0的n的最大值为15.故选ABC.11．答案：BC解析：正项等比数列{an}的前n项积为Tn，a1>1，公比q≠1，当T5＝T9时，a6a7a8a9＝1，而a6a9＝a7a8，

则a7a8＝1，即a21q13＝1，而a1>1，有0<q<1，数列{an}单调递减，因此数列{an}前7项均大于1，从第8项起均小于1，必有T7是Tn中最大的项，A不正确；由选项A知，T14＝a1a1

4·a2a13·a3a12·a4a11·a5a10·a6a9·a7a8＝（a7a8）7＝1，B正确；当T6>T7时，a1q6＝a7<1，而a1>1，则0<q<1，数列{an}单调递减，0<a8<a7<1，有T8＝a8T7<T7，C正确；因T6＝a6T5，由C

选项知，0<q<1，数列{an}单调递减，而a6与1的大小关系不确定，D不正确．故选BC.12．答案：ABD解析：A选项：an＋an＋22＝n2＋（n＋2）22＝n2＋2n＋2＝（n＋1）2＋1>（n＋1）2＝a

n＋1，则数列{an}为差增数列，A正确；B选项：an＋an＋22＝2n＋2n＋22＝54×2n＋1>2n＋1＝an＋1，则数列{an}为差增数列，B正确；C选项：当a3＝724时，数列{an}满足差增数列，所以m最小值为3，C错；D选项：当Sn

最小时，要求数列{an}的每一项都要最小，又a1＝1，a2＝2，则a3＝4，a4＝7，a5＝11，a6＝16，a7＝21…，整理得a2－a1＝1，a3－a2＝2，a4－a3＝3，a5－a4＝4，a6－a5＝5，a7－a6＝6，所以an－an－1＝n－1，an＝（an－an－1）＋（an

－1－an－2）＋…＋（a2－a1）＋a1＝（n－1）＋（n－2）＋…＋1＋1＝n（n－1）2＋1＝n2－n＋22，D正确．故选ABD.13．答案：3－n解析：设等差数列{an}的公差为d（d≠0），由

a3＝S5a1a4＝a5得：a1＋2d＝5a1＋5×42da1（a1＋3d）＝a1＋4d，解得：a1＝2d＝－1，∴an＝2－（n－1）＝3－n.14．答案：40解析：由题知3an＋

1＝an，则an＋1an＝13，∴数列{an}是以q＝13为公比，a1＝a3q2＝27为首项的等比数列，则S4＝27（1－134）1－13＝40.15．答案：35解析：由题意S2n－1＝（2n－1）（a1＋a2n－1）2＝（2

n－1）an，同理T2n－1＝（2n－1）bn，所以S2n－1T2n－1＝anbn，所以b4a4＝T7S7＝2×7＋13×7＋4＝35.16．答案：21622𝑛＋1－2解析：第四次构造得到的数列为1，2，24，26，2

4，2，故b4＝216.因为bn＝1·a1·a2·…·ak·2，所以由数列的构造方式可得bn＋1＝（bn）2，所以lgbn＋1＝2lgbn，因为lgb1＝2lg2，所以数列{lgbn}是首项为2lg2，公比为2的等比数列，所以lg

bn＝2（lg2）·2n－1＝2nlg2＝lg22𝑛，所以bn＝22𝑛，所以Hn＝b1b2…bn＝22·222·223…22𝑛＝22＋22＋23＋…＋2𝑛＝22（1－2n）1－2＝22𝑛+1－2.考点练61公式法和分组法求和1．解析：（1）等比数列{an}的前n项

和Sn＝3n＋12－m①.当n＝1时，解得a1＝S1＝92－m，当n≥2时，Sn－1＝3n2－m②，①－②得：an＝Sn－Sn－1＝3n，又{an}是等比数列，n＝1时也符合，当n＝1时，92－m＝3，故m＝32.（2）由（1）得：bn＝（－1）nlog3an＝（－1）n·n

，所以T2n＝（－1）＋2＋（－3）＋4＋…＋[－（2n－1）]＋2n＝（－1＋2）＋（－3＋4）＋…＋（－2n＋1＋2n）＝n.2．解析：（1）证明：因为4an＋1＝3an－bn＋4，4bn＋1＝3bn－an－4，

所以4（an＋1＋bn＋1）＝2（an＋bn），即an＋1＋bn＋1an＋bn＝12，a1＋b1＝1≠0所以{an＋bn}是公比为12的等比数列．将4an＋1＝3an－bn＋4，4bn＋1＝3bn－an－4方程左右两边分别相减，得4（an＋1－

bn＋1）＝4（an－bn）＋8，化简得an＋1－bn＋1＝an－bn＋2，所以{an－bn}是公差为2的等差数列．（2）由（1）知an＋bn＝12n－1，an－bn＝－2＋2（n－1）＝2n－4，上式两边相加并化简，得an＝12n＋n－2，所

以Sn＝（12＋122＋…＋12n）＋（－1＋0＋…＋n－2）＝1－12n＋n（n－3）2＝n2－3n＋22－12n.考点练62裂项相消法求和1．解析：（1）由题意，得S4＝4a1＋4×32×2＝16

，解得：a1＝1，故an＝1＋2（n－1）＝2n－1.（2）证明：因为bn＝1anan＋2＝1（2n－1）（2n＋3）＝14（12n－1－12n＋3），所以Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝14（1－15＋13－17＋15－19＋…＋12n－1－12n＋3）＝14（1＋13－12n＋1

－12n＋3）＝13－14（12n＋1＋12n＋3），因为1412n＋1＋12n＋3>0，所以Tn<13.2．解析：（1）因为数列{an}满足an＋1＝3an，设a1＝0，则a2＋a4＝0，与已知矛盾，所以a1≠0，又an＋1＝3an，且an≠0，所以an＋1

an＝3，所以数列{an}是等比数列，设数列{an}的公比是q，首项是a1，则q＝3.由a2＋a4＝90，可得a1q（1＋q2）＝90，所以a1＝3，所以an＝3n.（2）因为bn＝an（an＋1）（an＋1

＋1）＝3n（3n＋1）（3n＋1＋1）＝12（13n＋1－13n＋1＋1），所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝12（131＋1－132＋1）＋12（132＋1－133＋1）＋…＋12（13n＋1－13n＋1

＋1）＝12（131＋1－13n＋1＋1）＝12（14－13n＋1＋1）＝18－12·3n＋1＋2.考点练63错位相减法求和1．解析：（1）设等比数列{an}的公比为q，显然q≠1，由S3＝a1（1－q3）1－q＝14，S6＝a1（1－q6）1－q＝1

26，相除可得1＋q3＝9，解得q＝2，所以a1＝2，所以数列{an}是以2为首项，以2为公比的等比数列，即an＝2n.（2）由（1）得：bn＝（n－1）an＝（n－1）2n，所以Tn＝1×22＋2×23＋…＋（n－2）×2n－1＋（n－1）×2n①

，12Tn＝1×2＋2×22＋…＋（n－2）×2n－2＋（n－1）×2n－1②，②－①得：－12Tn＝2＋22＋…＋2n－2＋2n－1－（n－1）×2n＝2（1－2n－1）1－2－（n－1）×2n，所以Tn＝4＋（n－2）×2n＋1.2．解析：（1

）Sn＝3an－4①，Sn－1＝3an－1－4（n≥2）②，①－②得an＝3an－3an－1，即anan－1＝32，所以数列{an}是以32为公比的等比数列，又S1＝3a1－4，即a1＝2，所以an＝

2×（32）n－1（2）nan＝n2×（23）n－1，Tn＝1a1＋2a2＋3a3＋…＋nan，则Tn＝12×（23）0＋22×（23）1＋32×（23）2＋…＋n－12×（23）n－2＋n2×（23）n－1，所以23Tn＝12×（23）1＋22×（23）2＋32×（23）3＋…＋

n－12×（23）n－1＋n2×（23）n，两式相减，得13Tn＝12×[（23）0＋（23）1＋（23）2＋…＋（23）n－1]－n2×（23）n，得Tn＝92－92（23）n－3n2（23）n，所以Tn＝92－92（23）n－3n2（23）n<92－8×

23n，解不等式得nmin＝3.考点练64数列的奇偶项问题1．解析：（1）方法一因为{an}是公比q>1的等比数列，所以由S3＝13a24＝3a6，得a1＋a2＋a3＝13（a1q3）2＝3a1q5，即

a1（1＋q＋q2）＝13a1q＝3，两式相除得1＋q＋q2q＝133，整理得3q2－10q＋3＝0，即（3q－1）（q－3）＝0，解得q＝3或q＝13，又q>1，所以q＝3，故a1＝3q＝1，所以an＝a1qn－1＝3n－1.方法二因为{

an}是公比q>1的等比数列，所以由S3＝13a24＝3a6得a1＋a2＋a3＝13a2a6＝3a6，即a1＋a2＋a3＝13a2＝3，则a1＋a3＝10a22＝9，故a1＋a3＝10a1a3＝9，解得

a1＝1a3＝9或a1＝9a3＝1（舍去），故q2＝a3a1＝9，则q＝3，所以an＝a1qn－1＝3n－1.（2）当n为奇数时，bn＝an＝3n－1，当n为偶数时，bn＝bn－1＋n＝3n－2＋n，所以S2n＝b1＋b2＋b3＋b4

＋…＋b2n－1＋b2n＝（b1＋b3＋…＋b2n－1）＋（b2＋b4＋…＋b2n）＝（30＋32＋…＋32n－2）＋（30＋2＋32＋4＋…＋32n－2＋2n）＝2（30＋32＋…＋32n－2）＋（2＋4＋…＋2n）＝2×1－（32）n1－32＋n（2n＋2

）2＝9n－14＋n（n＋1）.2．解析：（1）当n＝1时，S1＝12a2＋1＝2，所以a2＝2，当n≥2时，Sn－1＝12（n－1）an＋1，∴Sn－Sn－1＝an＝12nan＋1－12（n－1）an.∴an＋1n＋1＝ann（n≥2），∴ann为从第2项开始的常数列，∴a

nn＝a22＝1，∴an＝n（n≥2），∴an＝2，n＝1n，n≥2.（2）因为bnbn＋1＝2n，bn＋1bn＋2＝2n＋1，所以bn＋2bn＝2（n∈N*）.所以数列{bn}的奇数项构成以b1＝1为首项，2为公比的等比数列．故T2n＝b1＋b3＋…＋b2n－1

＋a2＋a4＋…a2n＝2n－12－1＋n（2＋2n）2＝2n＋n2＋n－1，∴T22＝211＋112＋11－1＝2179>2022，T20＝210＋102＋10－1＝1133<2022，又因为{T2n}在[1，＋∞）上单调递增，∴整数k

的最小值为11.考点练65数列与数学文化1．答案：C解析：由已知，设等比数列首项为a1，前n项和为Sn，公比为q＝12，S6＝378，则S6＝a1()1－q61－q＝a11－1261－12＝63a132＝378，等比数列首项a1＝192.故选C.2．答案

：D解析：设OD1＝DC1＝CB1＝BA1＝1，则CC1＝k1，BB1＝k2，AA1＝k3，依题意，有k3－0.2＝k1，k3－0.1＝k2，且DD1＋CC1＋BB1＋AA1OD1＋DC1＋CB1＋BA1＝0.725，所以0.5＋3k3－0.34＝0.725，故k3＝0.

9.故选D.3．答案：B解析：设该数列为{an}，数列的前7项分别为3，4，6，9，13，18，24，则数列{an}满足a1＝3，an－an－1＝n－1（n≥2），所以an＝（an－an－1）＋（an－1－an

－2）＋…＋（a2－a1）＋a1＝（n－1）＋（n－2）＋…＋1＋3＝（n－1）（n－1＋1）2＋3＝n（n－1）2＋3，所以a15＝15×（15－1）2＋3＝108.故选B.4．答案：ABC解析：∵数列{an}为1，1，2，3，5，8，13，21，3

4，55，89，144，233，…，被3除后的余数构成一个新数列{bn}，∴数列{bn}为1，1，2，0，2，2，1，0，1，1，2，0，2，2，1，0，…，观察可得数列{bn}是以8为周期的周期数列，故bn＋9－bn＋1＝0，A正确；且b1＋b2＋…＋b8＝9，故Sn＋10＝Sn＋2＋bn＋

3＋bn＋4＋…＋bn＋10＝Sn＋2＋9，B正确；b2022＝b8×252＋6＝b6＝2，C正确；则{bn}的前2022项和为S2022＝252×9＋1＋1＋2＋0＋2＋2＝2276，D错误．故选ABC.5．答案：BD解析：设“宫”的

频率为a，则“徵”的频率为32a，∴“商”的频率为32a×34＝98a；“商”经过一次“损”，得到“羽”的频率为98a×32＝2716a；“羽”经过一次“益”，得到“角”的频率为2716a×34＝8164a；

∵8164a，98a，a成公比为89的等比数列，∴“角、商、宫”的频率成等比数列；又a<98a<8164a<32a<2716a，∴“宫、商、角、徵、羽”的频率依次递增．故选BD.6．答案：32解析：依题意设甲、乙、丙

、丁、戊所得钱分别为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，则由题意可知，a－2d＋a－d＝a＋a＋d＋a＋2d，即a＝－6d，又a－2d＋a－d＋a＋a＋d＋a＋2d＝5a＝5，∴a＝1，d＝－16，∴末两人共得为a＋d＋a＋2d＝2a＋

3d＝32.考点过关检测11数列的求和1．解析：（1）因为数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an，n∈N*，所以数列{an}是以1为首项，公比为2的等比数列，所以an＝a1qn－1＝2n－1，即数列{an}的通项公式为an＝2n－1，设等差数列{bn}的公差为d，由b1＝a2＝2，b3＝

a2＋a3＋a4＝2＋4＋8＝14，得b1＝2b1＋2d＝14，解得d＝6，所以bn＝b1＋（n－1）d＝6n－4，即数列{bn}的通项公式为bn＝6n－4.（2）由（1）可知cn＝an＋bn＝2n－1＋6n－4，所以数列{cn}的前n项和Sn＝（

1＋2＋…＋2n－1）＋[2＋8＋…＋（6n－4）]＝1－2n1－2＋n（2＋6n－4）2＝2n＋3n2－n－1，即Sn＝2n＋3n2－n－1.2．解析：（1）∵a1＝1，∴S1＝a1＝1，∴S1a1＝1，又∵Snan是公差为13的等差数列，∴Snan＝1＋13（n－1）＝

n＋23，∴Sn＝（n＋2）an3，∴当n≥2时，Sn－1＝（n＋1）an－13，∴an＝Sn－Sn－1＝（n＋2）an3－（n＋1）an－13，整理得：（n－1）an＝（n＋1）an－1，即anan－1＝n＋1n－1，∴an＝a1×a2a1×a3a2×…×an－1an－2×anan－1＝1×31

×42×…×nn－2×n＋1n－1＝n（n＋1）2，显然对于n＝1也成立，∴{an}的通项公式an＝n（n＋1）2.（2）证明：1an＝2n（n＋1）＝2（1n－1n＋1），∴1a1＋1a2＋…＋1an＝2[（1－12）＋（12－13）＋…（1n－

1n＋1）]＝2（1－1n＋1）<2.3．解析：（1）设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则Snn＝－9＋（n－1）×1＝n－10，所以Sn＝n2－10n，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－10n－[（n－1）2－10（n－1）]＝2n－11，又

a1＝－9也符合上式，故数列{an}的通项公式为an＝2n－11.（2）当n≤5时，an＝2n－11<0，∴数列{|an|}的前n项和Tn＝－Sn＝10n－n2；当n>5时，an＝2n－11>0，∴数列{|an|}的前n项和Tn＝－（a1＋a2＋a3＋a4＋a5）＋a6＋a7＋a8＋…＋an＝－2

（a1＋a2＋a3＋a4＋a5）＋Sn＝－2S5＋Sn，∴Tn＝－2×（25－50）＋n2－10n＝n2－10n＋50.综上所述：Tn＝10n－n2，1≤n≤5n2－10n＋50，n>5（n∈N*）4．解析：

（1）因为Sn＝a2n4＋n，所以当n≥2时，Sn－1＝a2n－14＋n－1，所以当n≥2时，Sn－Sn－1＝a2n－a2n－14＋1＝an，整理得（an－2）2＝a2n－1，因为数列{an}单调递增，且a1＝2，所以当n≥2

时，an－2>0，an－1>0，所以当n≥2时，an－2＝an－1，即an－an－1＝2，所以数列{an}是以2为首项，2为公差的等差数列．所以an＝2＋2（n－1）＝2n.（2）bn＝2n·3n－1，所以Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝2（1·31＋2·32＋3·33＋…＋

n·3n）－n，设Bn＝1·31＋2·32＋3·33＋…＋n·3n，则3Bn＝1·32＋2·33＋3·34＋…＋n·3n＋1，所以－2Bn＝31＋32＋33＋…＋3n－n·3n＋1＝3（1－3n）1－3－n·3n＋1＝（12－

n）3n＋1－32，所以2Bn＝（n－12）3n＋1＋32，所以Tn＝2Bn－n＝（n－12）3n＋1－n＋32.5．解析：（1）由于数列{an}是公比大于1的等比数列，设首项为a1，公比为q，依题意有a1q＋a1q3＝20a1q2

＝8，解得a1＝2，q＝2，或a1＝32，q＝12（舍），所以an＝2n，所以数列{an}的通项公式为an＝2n.（2）由于21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝12

8，所以b1对应的区间为：（0，1]，则b1＝0；b2，b3对应的区间分别为：（0，2]，（0，3]，则b2＝b3＝1，即有2个1；b4，b5，b6，b7对应的区间分别为：（0，4]，（0，5]，（0，6]，（0，7]

，则b4＝b5＝b6＝b7＝2，即有22个2；b8，b9，…，b15对应的区间分别为：（0，8]，（0，9]，…，（0，15]，则b8＝b9＝…＝b15＝3，即有23个3；b16，b17，…，b31对应的区间分别为：（0，16]，

（0，17]，…，（0，31]，则b16＝b17＝…＝b31＝4，即有24个4；b32，b33，…，b63对应的区间分别为：（0，32]，（0，33），…，（0，63]，则b32＝b33＝…＝b63＝5，即有25个5；b64，b65，…，

b100对应的区间分别为：（0，64]，（0，65]，…，（0，100]，则b64＝b65＝…＝b100＝6，即有37个6.所以S100＝1×2＋2×22＋3×23＋4×24＋5×25＋6×37＝480.6．解析：（1）公差d不为0的等差数列{an}中，a1，a3，a9成公

比为a3的等比数列，所以a23＝a1a9，则a23＝a1a3a3，解得a1＝1，在公差不为0的等差数列{an}中，由a23＝a1a9，可得（a1＋2d）2＝a1（a1＋8d），代入a1＝1，可得（1＋2d）2＝1＋8d，整理可得4d2－4d＝0，解

得a1＝d＝1，所以an＝n，n∈N*.（2）由（1）可得bn＝2n，n＝2k－12n，n＝2k，（k∈N*），当n为偶数时，Tn＝（2＋8＋32＋…＋2n－1）＋（4＋8＋12＋…＋2n）＝2（1－4n2

）1－4＋n2（4＋2n）2＝2（2n－1）3＋n（n＋2）2；当n为奇数时，Tn＝Tn－1＋bn＝2（2n－1－1）3＋（n－1）（n＋1）2＋2n＝2n＋23＋n22－76.所以Tn＝2（2n－1）3＋n（n＋2）2，n为偶数，2n＋23＋n22－76，n为奇数．单元过关检测

六数列1．答案：C解析：由题知S11＝22，即S11＝11（a1＋a11）2＝11a6＝22，∴a6＝2，∴a1＋a3＋a9＋a11＝4a6＝8.故选C.2．答案：B解析：设等比数列的公比为q，由题得q4＋q7q＋q4＝8，∴q4（1＋q3）q（1＋q3）＝8，∴q3＝8，

∴q＝2.所以S5＝1－251－2＝31.故选B.3．答案：D解析：由an＋2＝an＋1an，a1＝2，a2＝3，所以a3＝a2a1＝32，a4＝a3a2＝323＝12，a5＝a4a3＝1232＝13，a6＝a5a4＝1312＝23，a7＝a6a5＝2313＝2，即{an}是

周期为6的数列．因为2022＝6×337，所以a2022＝a6＝23.故选D.4．答案：C解析：∵Sn为等比数列{an}的前n项和，∴S2，S4－S2，S6－S4成等比数列，∴S2＝3，S4－S2＝6－3＝3

，∴S6－S4＝3，∴S6＝3＋S4＝3＋6＝9.故选C.5．答案：C解析：设等差数列{an}的公差为d，因为a1，a2，𝑎𝑘1，𝑎𝑘2，𝑎𝑘3成公比为3的等比数列，所以a2a1＝3，所以a2＝3a1，

即a1＋d＝3a1，所以d＝2a1，所以an＝a1＋（n－1）d＝（2n－1）a1，又因为a1，a2，𝑎𝑘1，𝑎𝑘2，𝑎𝑘3成公比为3的等比数列，所以𝑎𝑘3＝a1×34＝81a1，因为𝑎𝑘3＝（2k3－1）a1，所以2k3－1＝81，解得k

3＝41.故选C.6．答案：A解析：由题知，∵an＋1＝an＋1，∴an＋1－an＝1，∴{an}是以1为首项，1为公差的等差数列，∴an＝n，故bn＝a2n－1＝2n－1，∴bn－bn－1＝2，b1＝1，所以{bn}是以1为首项，2为公差的等差数列，记{bn}的前

n项和为Sn，∴Sn＝n（b1＋bn）2＝n（1＋2n－1）2＝n2.故选A.7．答案：B解析：因为an＋2＝an＋1＋an，所以a2023＝a2022＋a2021＝a2022＋a2020＋a2019＝…＝a2022＋a2020＋a2018＋…＋a2＋a

1，又因为a1＝1，所以a2＋a4＋a6＋…＋a2022＝a2023－a1＝m－1.故选B.8．答案：B解析：由题意，对∀n∈N*，f（n＋1）－f（n）>0，即[en＋1－a（n＋1）]－（en－a

n）＝（e－1）en－a>0，即a<（e－1）en，对∀n∈N*恒成立，由于y＝ex在R上单调递增，故en≥e1＝e，故a<（e－1）en≤[（e－1）en]min＝e（e－1）＝e2－e.即a∈（－∞，e2－e）.故选B.9．答案：ACD解析：因为数列{an}

为等差数列，且a2＝11，a5＝5，则a1＋d＝11a1＋4d＝5，解得a1＝13，d＝－2，an＝13＋（n－1）×（－2）＝－2n＋15，故A选项正确，由－20＝－2n＋15，得n＝352

∉N*，故B错误，因为d<0，所以数列{an}单调递减，故C正确，由数列通项公式an＝15－2n可知，前7项均为正数，a8＝－1，所以前7项和最大，故D正确．故选ACD.10．答案：ABC解析：因{an}为等比数列，设其公比为q，则有an＝a1

qn－1，对于A，a2n＋1a2n＝（an＋1an）2＝q2是常数，数列{a2n}是等比数列，A是；对于B，k∈R且k≠0，k·an＋1k·an＝an＋1an＝q是常数，数列{}k·an是等比数列，B是；对于C，1an＋11a

n＝anan＋1＝1q是常数，1an是等比数列，C是；对于D，显然an＝1，{an}为等比数列，而lnan＝0，数列{lnan}不是等比数列，D不是．故选ABC.11．答案：AB解析：若公比q＝1有S3＝3a1，S6＝6a1，S9

＝9a1，此时2S9≠S3＋S6，故公比q≠1，由题意2S9＝S3＋S6⇒2a1（1－q9）1－q＝a1（1－q3）1－q＋a1（1－q6）1－q，化简有q＋q4＝2q7，两边同时乘以a1，可得：a2＋a5＝2a8；两边同时乘以a1q，可得a3＋a6＝2a9，故有a2＋

a5＝2a8或a3＋a6＝2a9.故选AB.12．答案：AC解析：由an＋1n＝ana2n＋n－1得nan＋1＝an＋n－1an，∴an＝nan＋1－n－1an；当n＝1时，可得a1a2＝1，但a1不一定为1，∴A正确，B错误；Sn＝a1＋a2＋…＋an＝（1a2－

0a1）＋（2a3－1a2）＋…＋（nan＋1－n－1an）＝nan＋1，∴Sn·an＋1＝n.∴n＝2020时，S2020·a2021＝2020，所以C正确，D错误．故选AC.13．答案：6解析：根据等差数列的性质可得a1＋

a9＝2a5＝2，所以a5＝1，又a4＋a6＝2a5，所以a4＋4a5＋a6＝6a5＝6.14．答案：an＝2n，n≥2，4，n＝1，n∈N解析：∵an＋1＝Sn，则当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝an＋

1－an，得an＋1an＝2，故数列{an}从第二项起是等比数列，又a2＝S1＝4，当n≥2时，an＝a2×2n－2＝2n，又a1＝4，∴an＝2n，n≥2，4，n＝1，n∈N*.15．答案：1

6解析：由an＝2n3n－49得an＝23＋983×13n－49，当n≤16时，13n－49单调递减，且13n－49<0，当n＝1时，a1<0，故当n≤16时，an<0，当n≥17时，13n

－49>0，且an>0，所以当n＝16时，Sn最小．16．答案：5720－15()n＋32n－4解析：（1）由对折2次共可以得到5dm×12dm，10dm×6dm，20dm×3dm三种规格的图形，所以对折三次的结果有：52×12，5×6，10×3，20×32，共4

种不同规格（单位dm2）；故对折4次可得到如下规格：54×12，52×6，5×3，10×32，20×34，共5种不同规格．（2）由于每次对折后的图形的面积都减小为原来的一半，故各次对折后的图形，不论规格如何，其面积成公比为12

的等比数列，首项为120()dm2，第n次对折后的图形面积为120×12n－1，对于第n次对折后的图形的规格形状种数，根据（1）的过程和结论，猜想为n＋1种（证明从略），故得猜想Sn＝120（n

＋1）2n－1，设S＝k＝1nSk＝120×220＋120×321＋120×422＋…＋120()n＋12n－1，则12S＝120×221＋120×322＋…＋120n2n－1＋120（n＋1）2n

，两式作差得12S＝240＋12012＋122＋…＋12n－1－120()n＋12n＝240＋601－12n－11－12－120()n＋12n＝360－1202n－1－120()n＋12n＝360－120()n＋32n，因

此，S＝720－240()n＋32n＝720－15()n＋32n－4.17．解析：（1）由等差数列的性质可得S5＝5a3，则a3＝5a3，∴a3＝0，设等差数列的公差为d，从而有a2a4＝（a3－d）（a3

＋d）＝－d2，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝（a3－2d）＋（a3－d）＋a3＋（a3＋d）＝－2d，从而－d2＝－2d，由于公差不为零，故d＝2，数列的通项公式为an＝a3＋（n－3）d＝2n－6.（2）由数列的通

项公式可得a1＝2－6＝－4，则Sn＝n×（－4）＋n（n－1）2×2＝n2－5n，则不等式Sn>an即n2－5n>2n－6，整理可得（n－1）（n－6）>0，解得n<1或n>6，又n为正整数，故n的最小值为7.18．解析：（1）由题设可得b1＝a2＝a1＋1＝2，b2

＝a4＝a3＋1＝a2＋2＋1＝5，又a2k＋2＝a2k＋1＋1，a2k＋1＝a2k＋2，故a2k＋2＝a2k＋3即bn＋1＝bn＋3即bn＋1－bn＝3，所以{bn}为等差数列，故bn＝2＋（n－1）×3＝3n－1.（2）设{an}的前20项和为S

20，则S20＝a1＋a2＋a3＋…＋a20，因为a1＝a2－1，a3＝a4－1，…，a19＝a20－1，所以S20＝2（a2＋a4＋…＋a18＋a20）－10＝2（b1＋b2＋…＋b9＋b10）－10＝2×（10×2＋9×102×3）－10＝300.19．解析：

（1）证明：设数列{an}的公差为d，所以a1＋d－2b1＝a1＋2d－4b1a1＋d－2b1＝8b1－（a1＋3d），即可解得b1＝a1＝d2，所以原命题得证．（2）由（1）知，b1＝a1＝d2，所以bk＝am＋a1⇔b1×2k－1＝a1＋（

m－1）d＋a1，即2k－1＝2m，亦即m＝2k－2∈[1，500]，解得2≤k≤10，所以满足等式的解k＝2，3，4，…，10，故集合{k|bk＝am＋a1，1≤m≤500}中的元素个数为10－2＋1＝9.20．解析：

（1）证明：因为anan＋1＝2Sn－1①，则an＋1an＋2＝2Sn＋1－1②，②－①得an＋1（an＋2－an）＝2an＋1，又an＋1≠0，所以an＋2－an＝2.（2）由a1＝－1得a3＝1，于是b2＝a3＝1，由b1＝－1得{bn}的公比q＝－1.所以bn＝（－1

）n，anbn＝（－1）nan.由a1a2＝2a1－1得a2＝3，由an＋2－an＝2得a2022－a2021＝a2020－a2019＝…＝a2－a1＝4，因此T2022＝－a1＋a2－a3＋a4…－a2021＋a2022＝（a2

－a1）＋（a4－a3）＋…＋（a2022－a2021）＝1011×（a2－a1）＝1011×4＝4044.21．解析：（1）因为4Sn＝（2n－1）an＋1＋1，所以4Sn－1＝（2n－3）an＋1（n≥2）.两式相减

，得4an＝（2n－1）an＋1－（2n－3）an（n≥2），即（2n＋1）an＝（2n－1）an＋1，所以当n≥2时，an＋1an＝2n＋12n－1，在4Sn＝（2n－1）an＋1＋1中，令n＝1，得a2＝3，所以an＝a

nan－1·an－1an－2·an－2an－3…a3a2·a2a1·a1＝2n－12n－3·2n－32n－5·2n－52n－7…53·31·1＝2n－1（n≥2），又a1＝1满足，所以an＝2n－1，所以an－an－1＝（2n－1）－（2n－3）＝2（n≥2），故数

列{an}是首项为1，公差为2的等差数列，且an＝2n－1.（2）Sn＝n＋n（n－1）2×2＝n2，所以bn＝1anSn＝1（2n－1）n＝22n（2n－1）<22n（2n－2）＝12n－2－12n，当n＝1时，T1＝1a1S1＝1<32，当n≥2时

，Tn<（1＋12－14＋14－16＋…＋12n－2－12n）＝32－12n<32，所以Tn<32.22．解析：（1）设正项等比数列{an}的公比为q，则q>0，根据题意，由b3＝2a2，a3＝b4＋1，可得b1＋2d＝2a1qa1q2＝b1＋3d＋1，即

b1＋4＝2qq2＝b1＋7，解得b1＝2q＝3或b1＝－6q＝－1（舍），所以an＝a1qn－1＝3n－1，bn＝b1＋（n－1）d＝2n.（2）选①由（1）可得cn＝3n＋2n－1，所以Sn＝c

1＋c2＋c3＋…＋cn＝（3＋32＋33＋…＋3n）＋（1＋3＋5＋…＋2n－1），所以Sn＝3（1－3n）1－3＋n2（1＋2n－1）＝n2＋3n＋12－32.选②由（1）可得cn＝2n－13n，所以Sn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn＝13＋332＋533＋…＋2n－13

n，①则13Sn＝132＋333＋534＋…＋2n－13n＋1，②①－②得23Sn＝13＋232＋233＋234＋…＋23n－2n－13n＋1＝13＋2321－（13）n－11－13－2n－13n＋1＝13＋13[1－

13n－1]－2n－13n＋1＝23－2（n＋1）3n＋1，所以Sn＝1－n＋13n.滚动过关检测五第一章～第六章1．答案：C解析：集合A＝{x|x<1}＝{x|0≤x<1}，B＝{x|3x≤3}＝x|x≤12.所以A∩B＝x|0≤x≤

12.故选C.2．答案：C解析：因为z＝2－i2＋i＝（2－i）2（2＋i）（2－i）＝3－4i5＝35－45i，所以z－＝35＋45i，即z的共轭复数的虚部为45.故选C.3．解析：当a>0，b>0时，a＋b≥2ab，则当a＋b≤4时，有2ab≤a＋b≤4，解得ab≤4，充分性成立；当a＝

1，b＝4时，满足ab≤4，但此时a＋b＝5>4，必要性不成立，综上所述，“a＋b≤4”是“ab≤4”的充分不必要条件．故选A.4．答案：D解析：令f（x）＝2|x|sin2x，因为x∈R，f（－x）＝2|－x|sin2（－x）＝－2|x|sin2x＝－f（x），所以f（x）＝2|x

|sin2x为奇函数，排除选项A，B；因为x∈（π2，π）时，f（x）<0，所以排除选项C.故选D.5．答案：D解析：a＝22ln2＝1ln2＝log2e，b＝ln3ln2＝log23，c＝32＝log2232＝l

og28，∵3>8>e，∴b>c>a.故选D.6．答案：B解析：∵2sin2α＝cos2α＋1，∴4sinα·cosα＝2cos2α.∵α∈（0，π2），∴cosα>0，sinα>0，∴2sinα＝cosα，又sin2α＋cos2α＝1，∴5sin2α＝1，sin2α＝15，又

sinα>0，∴sinα＝55.故选B.7．答案：B解析：AF→＝AD→＋DF→＝12AB→＋32DE→＝12AB→＋32×12AC→＝12AB→＋34AC→，BC→＝AC→－AB→，所以AF→·BC→＝（12AB→＋34AC→）·（AC→－AB→）

＝－14AB→·AC→－12AB→2＋34AC→2＝－14×1×1×cosπ3－12×12＋34×12＝18.故选B.8．答案：C解析：令g（x）＝f（x）＋lnx，x∈（0，＋∞）.∵在（0，＋∞）上的函数f（x）满足xf′（x）＋1>0，∴g′（x）＝f′（x）＋1x＝xf′（x）

＋1x>0，∴函数g（x）在（0，＋∞）上单调递增，∵g（3）＝f（3）＋ln3＝0，∴不等式g（x）>0＝g（3）的解集为x>3.而不等式f（ex）＋x>0满足ex>3，即x>ln3.∴不等式f（ex）＋x>0的

解集为（ln3，＋∞）.故选C.9．答案：BD解析：a1＋3a2＝S6，则a1＋3（a1＋d）＝6a1＋15d，化简a1＋6d＝0，即a7＝0，A错误；S13＝12（a1＋a13）×13＝13a7＝0，B正确；当

d<0时，S8＝S7＋a8＝S7＋a7＋d＝S7＋d<S7，C错误；S8－S5＝a6＋a7＋a8＝3a7＝0，即S5＝S8，D正确．故选BD.10．答案：ABD解析：由题意得a<0，且ax2＋2x＋c＝0的两根为－1与2，由韦达定理得－1＋2＝－2a，－1×2＝ca，解得a＝－2

，c＝4，故a＋c＝2，A正确；命题p：∀x∈（0，＋∞），x－1>lnx的否定为∃x∈（0，＋∞），x－1≤lnx，B正确；若x>0，y>0，xy＋x＋y＝8，则xy＝8－（x＋y）≤（x＋y）24，解得x＋y≥4或x＋y≤－8（舍去），当且仅当x＝y时，等号成

立，则x＋y的最小值为4，C错误；mx2＋3x＋2m<0可变形为（x2＋2）m＋3x<0，令g（m）＝（x2＋2）m＋3x，可看作关于m的一次函数，则g（m）<0在m∈[0，1]恒成立，因为x2＋2>0，所以一次

函数g（m）＝（x2＋2）m＋3x单调递增，只需g（1）＝x2＋2＋3x<0，解得x∈（－2，－1），则实数x的取值范围为（－2，－1），D正确．故选ABD.11．答案：BD解析：由函数y＝cos（2x＋π

3）的图象向左平移π4个单位长度得到函数f（x）图象，所以f（x）＝cos（2（x＋π4）＋π3）＝cos（2x＋5π6）.对于A：f（x）＝cos（2（x＋π4）＋π3）＝cos（2x＋π2＋π3）＝－si

n（2x＋π3），故A错误；对于B：f（x）＝－sin（2x＋π3），要求y＝f（x）的对称轴，只需令2x＋π3＝π2＋kπ（k∈Z），当k＝1时，解得x＝7π12，所以直线x＝7π12是函数f（x）图象的一条对称轴，故B正确；对于C：f（x

）＝cos（2x＋5π6），因为f（－x）＝cos（－2x＋5π6）＝cos（2x－5π6）≠－f（x），所以函数f（x）不是奇函数，故C错误；对于D：要求函数f（x）的递减区间，只需2kπ≤2x＋5π6≤π＋2kπ，解得－5π1

2＋kπ≤x≤π12＋kπ，即函数f（x）的递减区间为[kπ－5π12，kπ＋π12]（k∈Z），故D正确．故选BD.12．答案：ACD解析：因为函数满足f（x－2）＋f（x）＝0，所以f（x－4）＝－f（x－2）＝f（x），所以4是函数y＝f

（x）的周期，故A正确；因为函数y＝f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x－2）＋f（x）＝0，所以f（x－2）＝－f（x），则f（x－1）＝－f（x＋1），即f（1－x）＝f（x＋1），所以函数y＝f（

x）的图象关于直线x＝1对称，故B错误；当x∈[1，3]时，x－2∈[－1，1]，则f（x－2）＝（x－2）3＝－f（x），所以f（x）＝－（x－2）3＝（2－x）3，故C正确；因为函数y＝f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x－2）＋f（x）＝0，所以f（x－2）＝－f（x），则f

（－x－2）＝－f（－x）＝f（x）＝－f（x－2），即f（x＋2）＝f（x－2），所以f（x＋2）＝－f（2－x），所以函数y＝f（x）的图象关于点（2，0）对称，故D正确．故选ACD.13．答案：1解析：因为a⊥（a＋2b），所以a2＋2a·b＝0，|a＋b|2＝a2

＋2a·b＋b2＝1，则|a＋b|＝1.14．答案：1解析：因为f（x）＝3x－sinx，所以f′（x）＝3－cosx，所以f′（0）＝2，所以函数f（x）＝3x－sinx在（0，f（0））处的切线的斜率为k＝2，又因为函数f（x）＝3x－

sinx在（0，f（0））处的切线与直线2x－my＋1＝0平行，所以2m＝2，解得m＝1.15．答案：6解析：解法一：如图，作平行四边形OB1CA1，则OC→＝OB1→＋OA1→，因为OA→与OB→的夹角为120°，OA→与OC→的夹角为30°，所以∠B1OC＝9

0°.在Rt△OB1C中，∠OCB1＝30°，|OC|＝23，所以|OB1→|＝2，|B1C→|＝4，所以|OA1→|＝|B1C→|＝4，所以OC→＝4OA→＋2OB→，所以λ＝4，μ＝2，所以λ＋μ＝

6.解法二：以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则A（1，0），B（－12，32），C（3，3）.由OC→＝λOA→＋μOB→，得3＝λ－12μ，3＝32μ，解得λ＝4，μ＝2.所以λ＋μ＝6.16．答案：361解析：方法一根据杨辉三角形的生成过程，当n为偶数时，a

n＝n＋42，当n为奇数时，a1＝1，a3＝3，an＋2＝an＋an－1＝an＋n＋32，a3－a1＝2，a5－a3＝3，…，an－an－2＝n＋12，an＝n2＋4n＋38，＝（1＋3＋6＋…＋66）＋（3＋4

＋5＋…＋12）＝286＋75＝361.方法二当n＝2m－1（m∈N*）时，an＝a2m－1＝m（1＋m）2＝m2＋m2，当n＝2m（m∈N*）时，an＝a2m＝m＋2，＝12[（12＋22＋…＋112）＋（1＋2＋…＋11）]＋10·（3＋12）2＝12×11×12×236＋12×11×1

22＋75＝253＋33＋75＝361.17．解析：（1）f（x）＝1－cos2x2＋32sin2x＝32sin2x－12cos2x＋12＝sin（2x－π6）＋12，所以f（x）的最小正周期为T＝2π2＝π.（2）由（1）知f（x）＝sin（2x－π6）

＋12.因为x∈[－π3，m]，所以2x－π6∈[－5π6，2m－π6].要使得f（x）在[－π3，m]上的最大值为32，即sin（2x－π6）在[－π3，m]上的最大值为1.所以2m－π6≥π2，即m≥π3.所以m的最小值为π3.1

8．解析：（1）由题意可得2（a3＋1）＝a2＋a4，即2（2a2＋1）＝a2＋4a2，解得a2＝2，∴a1＝a22＝1，∴数列{an}的通项公式为an＝2n－1.（2）bn＝an＋log2an＋1＝2n－1＋n，Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝（1＋2＋3

＋…＋n）＋（20＋21＋22＋…＋2n－1）＝n（n＋1）2＋1－2n1－2＝n（n＋1）2＋2n－1.19．解析：（1）因为f（x）＝ex－2x，所以f′（x）＝ex－2.所以f′（0）＝－1.又f（0）＝

1，所以曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y－1＝－x，即x＋y－1＝0.（2）由题意得，g（x）＝ex－2x－a，所以g′（x）＝ex－2.由g′（x）＝ex－2＝0，解得x＝ln2，故当－1≤x<ln2时，g′（x）<0

，g（x）在[－1，ln2）上单调递减；当ln2<x≤1时，g′（x）>0，g（x）在（ln2，1]上单调递增．所以g（x）min＝g（ln2）＝2－2ln2－a.又g（－1）＝e－1＋2－a，g（1）＝e－2－a，若函

数恰有两个零点，则g（－1）＝e－1＋2－a≥0，g（1）＝e－2－a≥0，g（ln2）＝2－2ln2－a<0，解得2－2ln2<a≤e－2.所以实数a的取值范围为（2－2ln2，e－2].20．解析：（1）由不等式x2－4nx＋3n2≤0可得：n≤x≤3n，∴an＝2n＋1

，Tn＝14×3n＋1－12n－34，当n＝1时，b1＝T1＝1，当n≥2时，bn＝Tn－Tn－1＝12×3n－12，因为b1＝1适合上式，∴bn＝12×3n－12.（2）由（1）可得：cn＝3n－1＋（－1）n－1λ32n，∴cn＋1＝3n＋1－1＋（－1）

nλ32n＋1，∵cn<cn＋1，∴cn＋1－cn＝2×3n＋52（－1）nλ32n>0，∴（－1）nλ>－45×2n，当n为奇数时，λ<45×2n，由于45×2n随着n的增大而增大，当n＝1时，45×2n的最小值为85，∴λ<85，当n为偶数时，λ>－45×2n，由于－45×2

n随着n的增大而减小，当n＝2时，－45×2n的最大值为－165，∴λ>－165，综上可知：－165<λ<85.21．解析：（1）∵（b－a）（sinB＋sinA）＝c（3sinB－sinC），∴由正弦定理可得（b－a）（

b＋a）＝c（3b－c），即b2＋c2－a2＝3bc，∴cosA＝b2＋c2－a22bc＝3bc2bc＝32，∵0<A<π，∴A＝π6.（2）方案一：选择条件①和②，由正弦定理asinA＝bsinB，可得b＝a·sinBsinA＝22，可得△ABC的面积S＝12absinC＝12×2×22×sin

7π12＝22sin（π4＋π3）＝3＋1.方案二：选择条件①和③，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，可得4＝b2＋12b2－6b2，可得b＝27，可得c＝437，△ABC的面积S＝12bcsinA＝12×27×437×12＝237.方案三：选择条件②和③

，这样的三角形不存在，理由如下：在三角形中，由（1）A＝π6，则C＝π－π6－π4，由正弦定理asinA＝bsinB＝csinC，由③可得cb＝23，而sinCsinB＝sin（180°－75°）sin45°＝sin（45°＋30°）22＝6＋2422＝3＋12，则cb≠sinCsinB，

所以这样的三角形不存在．22．解析：（1）f（x）的定义域为（0，＋∞）.①若a≤0，因为f（12）＝－12＋aln2<0，所以不满足题意；②若a>0，由f′（x）＝1－ax＝x－ax知，当x∈（0，a）时，f′（x）<0；当x∈（a，＋∞）时，f′

（x）>0，所以f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，＋∞）上单调递增，故x＝a是f（x）在（0，＋∞）的唯一极小值点．由于f（1）＝0，所以当且仅当a＝1时，f（x）≥0.故a＝1.（2）由（1）知当x∈（1，＋∞）

时，x－1－lnx>0.令x＝1＋12n得ln（1＋12n）<12n.从而ln（1＋12）＋ln（1＋122）＋…＋ln（1＋12n）<12＋122＋…＋12n＝1－12n<1.故（1＋12）（1＋1

22）…（1＋12n）<e.且2<e<3，而（1＋12）（1＋122）（1＋123）>2，所以m的最小值为3.第七章立体几何与空间向量考点练66空间几何体的表面积、体积1．答案：B解析：依题意，做球的剖面图如下：其中，O是球心，E是圆锥的顶点，EC是圆锥的母线，由题意可知球的半径计算公式：43π

R3＝36π，R＝3，由于圆柱的高为2，OD＝1，DE＝3－1＝2，DC＝32－12＝22，母线EC＝22＋8＝23，∴圆锥的侧面积为S＝12·EC·2π·DC＝12×23×2π×22＝46π.故选B.2．答案：C解析：因为D是CC1的中点，∴𝑉𝐷­𝐴1𝐵1𝐶1VD­A1B1C1＝VD­

ABC＝16𝑉𝐴𝐵𝐶­𝐴1𝐵1𝐶1，∴𝑉𝐷­𝐴𝐵𝐵1𝐴1＝𝑉𝐴𝐵𝐶­𝐴1𝐵1𝐶1－𝑉𝐷­𝐴1𝐵1𝐶1－VD­ABC＝23𝑉𝐴𝐵𝐶­𝐴1𝐵1𝐶1，∴𝑉𝐷­𝐴1𝐵1𝐶1𝑉𝐷­𝐴𝐵𝐵1�

�1＝14.故选C.3．答案：C解析：设三棱柱中底面ABC上的高为h，△ABC中边AB上的高为h′，则当以平面ABC为底时，水的体积V＝12hS△ABC，当以侧面AA1B1B水平放置时，水呈现为四棱柱，此时底面作图如下：其中CG⊥AB，由

题意可知AB∥DE，则CF⊥DE，设其底面四边形的面积为S（阴影面积），水的体积可表示为V＝hS，可得S＝12S△ABC，即S△CDE＝12S△ABC，则CFCG＝22，即FG＝CG－22CG＝82－8，则水面高度为82－8.故选C.4．答案

：BCD解析：由题意可知，该几何体的结构为半个圆锥和半个圆台，该几何体的高为DE＝3，该几何体的表面积为S＝12π·1·2＋12π·12＋12π()1＋2·2＋12π()12＋22＋2×12×2×3＝7π＋23，体积为V＝12×13×π×3＋12×13×

π×3×()1＋4＋2＝43π3.故选BCD.5．答案：ACD解析：由题意，堑堵的体积V1＝V2，阳马的体积V2＝V3，鳖臑的体积V3＝13V1＝V6，所以V1＋V2＋V3＝V，2V1＝3V2，6V3＝3V2＝V，即V2＝2V3，所以V2－V3＝V3＝V6，所以ACD选项正确，B选项错误

．故选ACD.6．答案：833解析：连接AC，BD交于点O，取BC的中点H，连接EH，OH，如图所示：由题意得EO⊥平面ABCD，所以它为正四棱锥E­ABCD的高．所以EO⊥OH，又该正八面体的八个面均为正三角形且棱长均为2，所以EH⊥BC，EH＝3，所以EO＝（3）2－12＝2，所以V

E­ABCD＝13×2×2×2＝423，所以此正八面体的体积为2VE­ABCD＝823.考点练67空间几何体的截面问题1．答案：BD解析：由正方体的对称性可知，截面的形状不可能为三角形和五边形，如图，截面的形状只可能为四边形和六边形．故

选BD.2．答案：B解析：根据题意，作出正方体被平面α所截得到的截面为四边形AD1C1B，如图所示：根据正方体的几何特点，显然四边形AD1C1B为矩形，且D1C1＝2，AD1＝22，故其面积S＝D1C1×AD1＝42.故选B.3．答案：C解析：∵轴截面顶角的正弦值是1

2，∴轴截面顶角为π6或5π6，设截面三角形顶角为θ，则截面面积为12×22×sinθ＝2sinθ.当轴截面顶角为π6时，截面面积的最大值是2sinπ6＝1；当轴截面顶角为π2时，截面面积的最大值是2sinπ2＝2.故选C.4．答案：BCD解析：如图所示，截面为△ABC，设AD＝a，BD＝b，CD

＝c，∴AC2＝a2＋c2，BC2＝b2＋c2，AB2＝a2＋b2，cos∠BAC＝AB2＋AC2－BC22AB·AC＝a2＋b2＋a2＋c2－b2－c22（a2＋b2）（a2＋c2）＝2a22（a2＋b2）（a2＋c2）>

0，同理，cos∠ABC>0，cos∠ACB>0，即∠BAC，∠BCA，∠ABC为锐角，∴△ABC为锐角三角形，B，D都不可能，BD都要选；如图截面可以是五边形EFGHI，A可能，A不选；如图截面MNPQ可以是梯形，但不可以是直角梯形，C要选．故

选BCD.5．答案：B解析：如图，分别取DD1，CC1，CD的中点H，E，F，连接A1H，HN，AF，EF.易得A1H∥DM，则A1H∥平面α，又A1N∥平面α，故平面A1HN∥平面α，又AB1∥HN，故AB1为平面α与平面ABB1A1的交线；因为B

1E∥A1H，故B1E为平面α与平面BCC1B1的交线；而EF∥HN，故EF为平面α与平面CDD1C1的交线，故梯形AFEB1的内部即为所求截面．由已知得EF＝2，AB1＝22，AF＝B1E＝5，梯形的高为（5）2－（22）2＝3

22，故𝑆梯形𝐴𝐹𝐸𝐵1＝12×（2＋22）×322＝92.故选B.6．答案：32解析：由正方体的性质可得，AC⊥BD，AC⊥B1B，B1B∩BD＝B，∴AC⊥平面B1BD，B1B⊂平面B1BD，∴AC⊥B1D，同理B1D⊥CD1，又CD1∩CA＝C，∴B1D⊥平面CD1A，故截面与平面

CD1A平行或在平面内，当点E与A1或D1重合时，截面为正△A1BC1或正△ACD1，周长为32；一般地，设D1E＝t（0<t<1），则EA1＝1－t，∴EJ＝2t，EF＝2（1－t），∴EF＋EJ＝2（1－t）＋2t＝2，同理可得FG＋GH＝2，HI＋IJ＝2，故截面图

形的周长为定值32.考点练68空间几何体展开图的应用1．答案：C解析：由题设，底面周长l＝2π，而母线长为22，根据扇形周长公式知：圆心角θ＝2π22＝π2.故选C.2．答案：C解析：易知母线长为（7）2＋（22－2）2＝3，且上底面圆周为2

2π，下底面圆周为42π，易知展开图为圆环的一部分，圆环所在的小圆半径为3，则大圆半径为6，所以面积S＝12×6×42π－12×3×22π＝92π.故选C.3．答案：ABC解析：从A点沿长方体表面到达C1有三种展开方式，若以A1B1为轴展开，则AC

1＝（A1A＋A1D1）2＋（D1C1）2＝81＋9＝310，若以BC为轴展开，则AC1＝（C1C＋CD）2＋（AD）2＝49＋25＝74，若以B1B为轴展开，则AC1＝（AB＋BC）2＋（CC1）2＝64＋16＝45.故选ABC.4．答案：33解析：由题意知底面圆的直径AB＝2，故底面周长

等于2π.设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为α，展开后扇形的弧长为α·|SA|，根据底面周长等于展开后扇形的弧长得2π＝α·|SA|，故α＝π3，所以展开图中∠PSC＝π3，在△PSC中，SP＝6，SC＝3，由余弦定理得PC2＝SP2＋SC2－2SP·SC·cos∠PSC＝62

＋32－2×6×3×12＝27，所以小虫爬行的最短距离为33.5．答案：22解析：由题意可得此三棱锥的侧面展开图如图所示，则△AED周长为AD＋DE＋EA′，由于两点之间线段最短，所以当D，E位于如图位置时，截面△AED的周长最小，即为AA′的长，因为∠APB＝30°，所以∠APA′＝9

0°，因为PA＝PA′＝2，所以AA′＝PA2＋PA′2＝4＋4＝22，所以截面△AED周长的最小值为22.6．答案：132解析：若将底面ABC沿AC展开使其与侧面ACC1A1在同一个平面，连接EF，因为∠BAC＝120°，所以EF与棱不相交，所以不合

题意，若将底面ABC沿BC展开和侧面BCC1B1在同一个平面，连接EF，则EF与棱BC相交，符合题意，此时EF为这只蚂蚁爬行的最短路线，如图所示，过E作BB1的平行线，过F作B1C1的平行线，交于点G，EG

交BC于H，因为AA1＝2，AB＝AC＝1，∠BAC＝120°，点E，F分别是棱AB，CC1的中点，所以BE＝12，CF＝HG＝1，∠ABC＝30°，BC＝AB2＋AC2－2AB·ACcos120°＝3，所以EH＝14，BH＝34，所以FG＝3－34＝334，EG＝1＋

14＝54，所以EF＝FG2＋EG2＝2716＋2516＝5216＝132.考点练69球的切、接问题1．答案：B解析：由题意可知，该正四棱柱的体对角线长为12＋12＋22＝6，因此该正四棱柱的外接球半径为R＝62，因此该正四棱柱的外接球的表面积为4πR2＝6π.故选B.2．答案：B解析：设

球半径为R，圆锥的底面半径为r，若一个直角圆锥的侧面积为42π，设母线为l，则l2＋l2＝4r2⇒l＝2r，所以直角圆锥的侧面积为12×2πr·l＝12×2πr·2r＝42π，可得r＝2，l＝2r＝22，圆锥的高BO1＝l2－r2＝8－4＝2，由r2＋()2－R2＝

R2，解得R＝2，所以球O的体积等于43πR3＝43π×8＝32π3.故选B.3．答案：C解析：因为AB⊥平面BCD，BC，BD⊂平面BCD，则AB⊥BC，AB⊥BD，而AB＝23，AC＝AD＝4，则BC＝BD＝2＝CD，三棱锥A­BCD的外接球O截平面BCD所得小圆圆心O

1是正△BCD的中心，O1B＝233，连OO1，则OO1⊥平面BCD，取线段AB的中点E，则球O的球心O在过E垂直于直线AB的垂面上，连接OE，如图，则四边形BEOO1是矩形，OO1＝BE＝12AB＝3，因此球O的半径BO有：BO2＝BO21＋OO21＝133，所以

三棱锥A­BCD外接球的表面积S＝4π·BO2＝52π3.故选C.4．答案：C解析：因为BA，BC，BD两两垂直，BA＝1，BC＝BD＝2，所以AC＝AD＝5，CD＝22.取CD的中点E，连接AE，则

AE⊥CD，所以AE＝AD2－DE2＝3，△ACD的面积为12×22×3＝6，所以四面体ABCD的表面积S＝12×1×2×2＋12×2×2＋6＝4＋6，又四面体ABCD的体积V＝13×1×12×22＝23，设四面体ABCD内切球球心为O，半径为r，则VA

­BCD＝VO­ABC＋VO­BCD＋VO­ABD＋VO­ACD，即V＝13S·r，所以四面体ABCD内切球的半径r＝3VS＝24＋6＝4－65.故选C.5．答案：BD解析：设球的球心为O，半径为R，则4πR2＝100π，解得R＝5，上底面正方形ABCD的中心为M，下

底面正方形EFGH的中心为N，若球心在四棱台的内部，连接OA，OE，AM，EN，OM，ON，则MN为四棱台的高，OA＝OE＝5，AM＝12AC＝12×（32）2＋（32）2＝3，同理：NE＝4，由勾股定理得OM＝OA2－AM2＝4，ON＝OE2－NE2＝3，

所以四棱台的高h＝MN＝4＋3＝7，此时四棱台的体积V＝13×（18＋32＋18×32）×7＝5183；若球心在四棱台的外部，则四棱台的高h＝OM－ON＝4－3＝1，此时四棱台的体积V＝13×（18＋32＋18×32）×1＝743.故选BD.6．答案：5

00π3解析：如图，圆台的轴截面ABCD为球的大圆的内接梯形，易知球心O落在梯形上下底中点连线O1O2上，设球半径为R.在直角三角形AOO2中，OO2＝R2－16，在直角三角形DOO1中，OO1＝R2－9，故O1O2＝R2－16

＋R2－9＝7，所以R2－16＝7－R2－9，两边平方整理得4＝R2－9，再平方可得R2＝25，所以R＝5（负值舍去）.故球的体积V＝4πR33＝500π3.考点练70线面平行关系1．答案：D解析：A选项，若m∥α，n∥

α，则m∥n，或m，n相交或m，n异面，A错误；B选项，若m∥α，m∥β，则α∥β或α，β相交，B错误；C选项，若m⊥α，α⊥β，则m∥β或m⊂β，C错误；D选项，若m⊥α，m⊥β，则α∥β，D正确．故选D.2．答案：ABC解

析：对于A选项，因为AA1∥BB1且AA1＝BB1，E，F分别为AA1，BB1的中点，则A1E∥B1H且A1E＝B1H，所以四边形A1B1HE为平行四边形，则A1B1∥EH，因为F，G分别为A1C1，B1C1的中点，所以FG∥A1B

1，∴FG∥EH，故E，F，G，H四点共面，A对；对于B选项，连接AC1，BC1，∵E，F分别为AA1，A1C1的中点，则EF∥AC1，∵EH⊄平面ABC1，AC1⊂平面ABC1，∴EF∥平面ABC1，因为四边形AA1B1B为平行四边形，则A1B1∥AB，∵EH∥A1B

1，则EH∥AB，∵EF⊄平面ABC1，AB⊂平面ABC1，∴EH∥平面ABC1，∵EF∩EH＝E，∴平面EGH∥平面ABC1，B对；对于C选项，由图可知FH不与AA1相交，若FH∥AA1，又因为BB1∥AA1，则FH∥BB1，这与FH∩BB1＝H矛盾，故

FH与AA1异面，C对；对于D选项，延长AH，A1B1交于点N，连接FN交B1C1于点P，连接PH，若BC∥平面AFH，BC⊂平面BB1C1C，平面BB1C1C∩平面AFH＝PH，∴PH∥BC，事实上，PH与BC相交，故假设不成立，D错．故选ABC.3．答案：A

BC解析：作出立体图形，连接E，F，G，H四点构成平面EFGH，A：因为E，F分别是PA，PD的中点，所以EF∥AD，又EF⊄平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以EF∥平面ABCD，同理EH∥平面AB

CD，又EH∩EF＝E，EH，EF⊂平面EFGH，所以平面EFGH∥平面ABCD，故A正确；B：连接AC，BD，交于点M，连接DG，BG，则M为AC，BD的中点，得MG∥PA，又PA⊄平面BDG，MG⊂平面BDG，所以PA∥平面BDG，故B正确；C：由①的分析可知EF

∥AD，AD∥BC，所以EF∥BC，因为EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以EF∥平面PBC，故C正确；D：由③的分析可知EF∥BC，结合图形，可知BC∩BD＝B，所以直线EF与平面BDG不平行，故D错误．故选ABC.4．答案：7

2解析：如图，连接D1A，AC，D1C，因为E，F，G分别为AB，BC，C1D1的中点，所以EF∥AC，又EF⊄平面ACD1，AC⊂平面ACD1，所以EF∥平面ACD1.易得EG∥AD1，同理可得EG∥平面ACD1，又EF∩EG＝E，EF⊂平面EFG，EG

⊂平面EFG，所以平面ACD1∥平面EFG.因为直线D1P∥平面EFG，所以点P在直线AC上，故当D1P⊥AC时，线段D1P的长度最小．在△ACD1中，AD1＝2，AC＝2，CD1＝2，所以𝑆△𝐴𝐷1𝐶＝12×2×22－（22）2＝72，所以线段D1P长度的最小值为7212×2＝72

.5．证明：（1）因为M，N分别为AB，BC的中点，所以MN∥AC，因为MN⊂平面B1MN，AC⊄平面B1MN，所以AC∥平面B1MN.（2）因为P为B1C1的中点，所以B1P＝CN，又因为B1P∥CN，所以四边形B1PCN是平行四边形，所以CP∥B1N，又因为B1N⊂平面B1

MN，CP⊄平面B1MN，所以CP∥平面B1MN，由第（1）问，AC∥平面B1MN，AC∩CP＝C，AC⊂平面ACP，CP⊂平面ACP，所以平面ACP∥平面B1MN.考点练71线面垂直关系1．答案：B解析：由α是空间中的一个平面，l，m，n是三条不同的直线，知：在A中，若m⊂α

，n⊂α，l⊥m，l⊥n，由于m，n不一定相交，则l与α相交、平行或l⊂α，即l不一定垂直于α，故A错误；在B中，若l∥m，m∥n，则l∥n，又因为l⊥α，故n⊥α，故B正确；在C中，若l∥m，m⊥α，n⊥α，则l∥n，故C错误；在D中，若m⊂α，n⊥α，l⊥n，则l与m相交、平行或异面，

故D错误．故选B.2．答案：C解析：因PA是圆柱的母线，AB是圆柱的底面直径，C是圆柱底面圆周上的任意一点（不与A，B重合），则PA⊥平面ABC，A正确；而BC⊂平面ABC，则PA⊥BC，又AC⊥BC，PA∩AC＝A，PA，PC⊂平面PAC，则有BC⊥平面PAC，B正确；由选项A知，△PAB

，△PAC都是直角三角形，由选项B知，△ABC，△PBC都是直角三角形，D正确；假定AC⊥平面PBC，PC⊂平面PBC，则AC⊥PC，即∠PCA＝90°，而在△PAC中，∠PAC＝90°，矛盾，所以AC⊥平

面PBC不正确，C错误．故选C.3．答案：BC解析：设正方体的棱长为2，对于A，如图1所示，连接AC，则MN∥AC，故∠POC（或其补角）为异面直线OP，MN所成的角，在直角三角形OPC中，OC＝2，CP＝1，故tan∠POC＝12＝

22，故MN⊥OP不成立，故A错误．对于B，如图2所示，取NT的中点为Q，连接PQ，OQ，则OQ⊥NT，PQ⊥MN，由正方体SBCM­NADT可得SN⊥平面ANDT，而OQ⊂平面ANDT，故SN⊥OQ，而SN∩NT＝N，故OQ⊥平面SNTM，又MN⊂平面SNTM，OQ

⊥MN，而OQ∩PQ＝Q，所以MN⊥平面OPQ，而PO⊂平面OPQ，故MN⊥OP，故B正确．对于C，如图3，连接BD，则BD∥MN，由B的判断可得OP⊥BD，故OP⊥MN，故C正确．对于D，如图4，取AD的中点Q，AB的中点K，连接AC，PQ，OQ，PK，OK，则AC∥MN，

因为DP＝PC，故PQ∥AC，故PQ∥MN，所以∠QPO或其补角为异面直线PO，MN所成的角，因为正方体的棱长为2，故PQ＝12AC＝2，OQ＝AO2＋AQ2＝1＋2＝3，PO＝PK2＋OK2＝4＋1＝5，QO2<PQ2＋OP2，故∠QPO不是直角，故PO，MN不垂直，故D

错误．4．答案：0<a≤1解析：连接DM，如图：因为PD⊥平面ABCD，所以PD⊥CM.又PM⊥CM，且PD∩PM＝P，所以CM⊥平面PDM，所以CM⊥DM，所以以DC为直径的圆与AB有交点，所以0<a≤1.5．解析：（1）证明：因为M，N分别为BC，AB的

中点，所以MN∥AC.因为MN⊄平面PAC，AC⊂平面PAC，所以MN∥平面PAC.（2）证明：因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC，因为AB＝AC＝2，M为BC的中点，所以AM⊥BC.因为AM∩PA＝A，所以BC⊥平面PAM.因为BC⊂平面PBC，所

以平面PBC⊥平面PAM.（3）存在．过点M作ME⊥AC交AC于点E，因为PA⊥平面ABC，ME⊂平面ABC，所以PA⊥ME.因为ME⊥AC，AC∩PA＝A，所以ME⊥平面PAC.且AC⊂平面PAC，故ME⊥AC.因为在△ABC中，AB＝

AC＝2，BC＝23，M为BC的中点，AM＝AB2－（12BC）2＝1，由AM⊥BC，ME⊥AC，在△AMC中由等面积法有12AM·MC＝12AC·ME，得ME＝32，所以ME＝32.考点过关检测12空间

几何体与线面位置关系1．答案：B解析：设圆锥的母线长为l，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则πl＝2π×2，解得l＝22.故选B.2．答案：A解析：A：由l∥α，过l的平面交面α于m，则l∥m，而l⊥β，故m⊥β，m⊂α，所以α⊥β，正确；B：α

⊥β，l⊥α，则l∥β或l⊂β，错误；C：α∥β，l∥α，则l∥β或l⊂β，错误；D：若α和β相交，l与α相交，则l与β可能相交、平行或l⊂β，错误．故选A.3．答案：C解析：依题意可知棱台的高为MN＝157.5－148.5＝9

（m），所以增加的水量即为棱台的体积V.棱台上底面积S＝140.0km2＝140×106m2，下底面积S′＝180.0km2＝180×106m2，∴V＝13h（S＋S′＋SS′）＝13×9×（140×106＋180×106＋140×180×10

12）＝3×（320＋607）×106≈（96＋18×2.65）×107＝1.437×109≈1.4×109（m3）.故选C.4．答案：C解析：设甲、乙两个圆锥的母线长都为l，甲、乙两个圆锥的底面半径分别为r1，r2，高分别为h1，h2.因为两圆锥

的侧面展开图的圆心角之和为2π，所以2πr1l＋2πr2l＝2π，则r1＋r2＝l.又S甲S乙＝2，所以πr1l＝2πr2l，所以r1＝2r2，所以r1＝23l，r2＝13l，所以h1＝l2－23l2＝53l，h2＝l2－13l2＝

223l，所以V甲V乙＝13πr21h113πr22h2＝49l2·53l19l2·223l＝10.故选C.5．答案：C解析：设四棱锥的底面为四边形ABCD.设四边形ABCD的外接圆圆心为O′，半径为r.S四边形ABCD＝S△AO′B＋S△AO′D＋S△BO′C＋S△CO′D＝12r2sin∠AO

′B＋12r2sin∠AO′D＋12r2sin∠BO′C＋12r2sin∠CO′D＝12r2（sin∠AO′B＋sin∠AO′D＋sin∠BO′C＋sin∠CO′D）.因为∠AO′B＋∠AO′D＋∠BO′C＋∠CO′D＝2π，且当

θ＝π2时，sinθ取最大值1，所以当∠AO′B＝∠AO′D＝∠BO′C＝∠CO′D＝π2时，S四边形ABCD最大，即当四棱锥O­ABCD的底面为正方形时，四棱锥O­ABCD的体积取得最大值．设AB＝a（a>0），则正方形ABCD的外接圆的半径r＝22a，四棱锥O­ABCD的高h＝1－12

a2，则1－12a2>0，解得0<a<2，所以VO­ABCD＝13a2h＝13a4－12a6.令f（x）＝x4－12x6（0<x<2），则f′（x）＝4x3－3x5＝x3（4－3x2）.当x∈（0，233）时，f′（x）>0；当x∈（233，2）时，f′（x）<0

.所以f（x）在（0，233）上单调递增，在（233，2）上单调递减．当x2＝43时，f（x）取得极大值，也是最大值，即VO­ABCD取得最大值，此时四棱锥O­ABCD的高h＝1－12a2＝33.故选C.6．答案：A解析

：设正三棱台上下底面所在圆面的半径分别为r1，r2，所以2r1＝33sin60°，2r2＝43sin60°，即r1＝3，r2＝4，设球心到上下底面的距离分别为d1，d2，球的半径为R，所以d1＝R2－9，d2＝R2－16，故|d1－d

2|＝1或d1＋d2＝1，即|R2－9－R2－16|＝1或R2－9＋R2－16＝1，解得R2＝25符合题意，所以球的表面积为S＝4πR2＝100π.故选A.7．答案：BCD解析：A.球的截面形状都是圆，不存在截面是三角形的情

况；B.圆锥的轴截面是等腰三角形，所以满足；C.用平行于三棱锥底面的截面去截三棱锥，所得截面形状是三角形，所以满足；D.如图所示：取四棱台的顶点A1，C1，B，此时截面形状是三角形，所以满足．故选BCD.8．答案：CD解析：设AB＝ED＝2FB＝2，则V1＝13×2×2＝43

，V2＝13×2×1＝23.如图，连接BD交AC于点M，连接EM，FM，则FM＝3，EM＝6，EF＝3，所以FM2＋EM2＝EF2，即EM⊥MF，所以S△EMF＝12×3×6＝322，所以V3＝13S△EMF·

AC＝2，所以V3＝V1＋V2，2V3＝3V1.故选CD.9．答案：4π解析：设圆柱的高为h，依题意2π×1×h＝8π，解得h＝4，所以圆柱的体积为π×12×4＝4π.10．答案：[2，3]解析：连接BC1，A1D，如图所示：可得EF∥BC1，A1D⊥BC1，∴A1D⊥EF，又DC⊥EF，

可得EF⊥平面A1DC，则A1C⊥EF，∴当P在线段CD上运动时，有A1P⊥EF，当P与D重合时，A1P有最小值为2，当P与C重合时，A1P有最大值为3.∴线段A1P长度的取值范围是[2，3].11．解析：方法一（1）证明：过点E作EE′⊥AB于点E′，过点F作FF′⊥BC于点F′，连接E′

F′，如图（1）.∵平面EAB⊥平面ABCD，平面EAB∩平面ABCD＝AB，EE′⊥AB，EE′⊂平面EAB，∴EE′⊥平面ABCD.同理FF′⊥平面ABCD，∴EE′∥FF′.易得△EE′B≌△FF′B，∴EE′＝FF′，∴四边形EE′F′F是平行四边形，∴EF∥E

′F′.又∵E′F′⊂平面ABCD，EF⊄平面ABCD，∴EF∥平面ABCD.（2）过点G，H分别作GG′⊥CD于点G′，HH′⊥DA于点H′，连接F′G′，G′H′，H′E′，AC，如图（1）.由（1）及题意，可知E′，F′，G′，H

′分别为AB，BC，CD，DA的中点，四棱柱EFGH­E′F′G′H′为长方体．故该包装盒可看作由一个长方体和四个相等的四棱锥组合而成．由底面ABCD是边长为8cm的正方形，可得E′F′＝E′H′＝12AC＝42cm.在正三角形ABE中，易得EE′＝43cm.∴所求包装盒的容积V＝VEFG

H­E′F′G′H′＋4VA－EE′H′H＝E′F′×E′H′×EE′＋4×13×E′H′×EE′×14AC＝42×42×43＋4×13×42×43×14×82＝64033（cm3）.方法二（1）证明：∵四边

形ABCD是正方形，△EAB和△FBC是正三角形，∴分别取AB，BC的中点K，I，连接EK，FI，KI，则EK⊥AB，FI⊥BC，如图（2）.∵平面EAB⊥平面ABCD，平面EAB∩平面ABCD＝AB，EK⊥AB，EK⊂平面EAB，∴EK⊥平面ABCD

.同理FI⊥平面ABCD，∴EK∥FI.易知△EAB≌△FBC，∴EK＝FI，∴四边形EKIF是平行四边形，∴EF∥KI.又∵EF⊄平面ABCD，KI⊂平面ABCD，∴EF∥平面ABCD.（2）可补形成长方体，如图（2），易得长方体的高为43cm.故所求包装盒的容积V＝82×43－4×1

3×12×42×43＝64033（cm3）.12．解析：（1）证明：∵AD＝CD，∠ADB＝∠BDC，BD＝BD，∴△ABD≌△CBD，∴AB＝CB.∵E为AC的中点，∴DE⊥AC，BE⊥AC.∵DE∩BE＝E，DE，BE⊂平面BED，∴AC⊥平面BED.∵AC⊂平面ACD，∴平面BE

D⊥平面ACD.（2）如图，连接EF.在△ABC中，由AB＝BC＝2，∠ACB＝60°可知，AC＝2，BE＝3，∵AD⊥CD，E为AC的中点，∴DE＝12AC＝1.又BD＝2，∴DE2＋BE2＝BD2，∴DE⊥BE，由（1）知△ABD≌△CBD，∴AF＝CF.又E为AC的中点，∴EF⊥

AC．∴当△ACF的面积最小时，EF⊥BD.∴S△BDE＝12BE·DE＝12BD·EF，∴EF＝32，BF＝32.方法一：∴VF­ABC＝VA­BEF＋VC­BEF＝2VA­BEF＝2×13×12×32×32×1＝34.方法二：∴BF∶BD＝3∶4.∴VF­ABC＝34VD­A

BC＝34×13×12×2×3×1＝34.考点练72异面直线所成的角1．答案：B解析：如图，连接A1B，BC1，A1C1，由题意EF∥A1B，GH∥BC1，所以异面直线EF与GH所成的角是∠A1BC1或其补角，由正方体性质知△A1BC1是等边三角形，∠A1BC1＝

60°，所以异面直线EF与GH所成的角是60°.故选B.2．答案：A解析：如图，设N是棱AA1的中点，连接CN，ND1，MN，由M是棱BB1的中点，故MN∥A1B1，MN＝A1B1，则MN∥C1D1，MN＝C1D1，故四边形MND1C1为平行四边形，故D1N∥C1M，所以∠N

D1C是MC1和CD1所成的角或其补角．设该正方体的棱长为2，则CD1＝22，D1N＝5，CN＝（22）2＋12＝3，所以cos∠ND1C＝D1N2＋CD21－NC22D1N·CD1＝（22）2＋（5）2－322×22×5＝1010

，故异面直线MC1和CD1所成角的余弦值为1010.故选A.3．答案：A解析：因为PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，所以DP，DC，DA两两互相垂直，以D为原点，DA，DC，DP分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系

．由PD＝DC＝2，得P（0，0，2），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），Q（0，32，12），所以AC→＝（－2，2，0），BQ→＝（－2，－12，12）.设异面直线AC与BQ所成的角为θ，则cosθ＝|AC→·BQ→||AC→|·|BQ→|

＝|3|22×322＝12，又θ∈（0，π2]，所以异面直线AC与BQ所成的角为π3.故选A.4．答案：710解析：如图所示，建立空间直角坐标系，则A（2，0，0），B（1，3，0），M（32，32，2），N（1，0，2）.∴AN→＝（－1，0，2），BM→＝（12，－32，2），∴co

s〈AN→，BM→〉＝AN→·BM→|AN→|·|BM→|＝－12＋45×5＝710.5．解析：（1）由空间向量加法法则可得AC1→＝AB→＋BC→＋CC1→，故AC12→＝（AB→＋BC→＋CC1→）2＝AB→2＋BC→2＋CC12→＋2AB→·BC→＋2AB→·CC1

→＋2BC→·CC1→＝1＋1＋4＋2×1×1×cos90°＋2×1×2×cos60°＋2×1×2×cos60°＝6＋2＋2＝10，故AC1＝|AC1→|＝10.（2）由空间向量减法可得A1D→＝AD→－AA1→，AC1→·A1D→＝（AB→＋

BC→＋CC1→）·（AD→－AA1→）＝AB→·AD→－AB→·AA1→＋BC→·AD→－BC→·AA1→＋CC1→·AD→－CC1→·AA1→＝0－2×cos60°＋1－2×cos60°＋2×cos60°－4＝－4，A1D2→＝（AD→－AA

1→）2＝AD→2－2AD→·AA1→＋AA12→＝1－4cos60°＋4＝3，所以A1D＝|A1D→|＝3，且AC1＝|AC1→|＝10，设异面直线AC1与A1D所成角为α，则cosα＝|cos〈AC1→，A1D→〉|＝2

3015，故异面直线AC1与A1D所成角的余弦值为23015.考点练73直线与平面所成的角1．解析：（1）证明：连接OP，如图所示：在四边形ABCD中△ABD、△BCD都是正三角形，所以四边形ABCD是

菱形，点O为BD的中点.因为△ABD、△BDP都是正三角形，所以AO⊥BD，PO⊥BD.因为AO∩PO＝O，AO，PO⊂平面APC，所以BD⊥平面APC.因为BD⊂平面BDP，所以平面ACP⊥平面BDP.（2）由题意可得OA＝OP＝OC＝3，因为AP＝3，所以∠AOP＝120°，以O为原点，直线

OA，OB分别为x轴，y轴，过点O与平面ABCD垂直的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系如图所示：则O（0，0，0），A（3，0，0），B（0，1，0），D（0，－1，0），P（－32，0，32），所以AD→＝（－3

，－1，0），AP→＝（－332，0，32），BP→＝（－32，－1，32），设平面ADP的法向量为n＝（x，y，z），则有n·AD→＝0n·AP→＝0，得－3x－y＝0，－332x＋32z＝0，取x＝1，得n＝（

1，－3，3）；设直线BP与平面ADP所成角为θ，则sinθ＝|n·BP→||n||BP→|＝|1×（－32）＋（－1）×（－3）＋3×32|12＋（－3）2＋（3）2×（－32）2＋（－1）2＋（32）2

＝217，所以直线BP与平面ADP所成角的正弦值为217.2．解析：（1）AE＝AD，OA＝12AE，所以DO＝AD2－OA2＝6，解得AD＝AE＝43，由于三角形ABC是等边三角形，圆O是其外接圆，A

E是圆O的直径，所以AE垂直平分BC，OA＝OB＝OC＝23，在三角形ABC中，由正弦定理得ABsinπ3＝43，AB＝6，则AB＝AC＝BC＝6，由于PA⊥平面PBC，所以PA⊥PC，由于PA＝OA2＋OP2＝OC2＋OP2＝PC，所以三角

形PAC是等腰直角三角形，所以PA＝PC＝6×22＝32，所以PO＝（32）2－（23）2＝6.（2）由（1）得AE⊥BC，设AE∩BC＝F，CF＝BF＝3，OF＝（23）2－32＝3，结合圆锥的几何性质，建立如图所示空间直角坐标系，B（3，

3，0），C（－3，3，0），E（0，23，0），设P（0，0，t），0<t<6，则EP→＝（0，－23，t），PB→＝（3，3，－t），BC→＝（－6，0，0），设平面PBC的法向量为n＝（x，y，z），则n·PB→＝3x＋3y－tz＝0n·BC→＝－6x＝0

，故可设n＝（0，t，3），设直线EP与平面PBC所成角为θ，则sinθ＝|n·EP→|n|·|EP→||＝3t3＋t2·12＋t2＝3t2＋36t2＋15，由于t2＋36t2＋15≥2t2·36t2＋15＝27，

当且仅当t2＝36t2，t＝6时等号成立，所以sinθ≤327＝13，即当PO＝6时，直线EP与平面PBC所成角的正弦值最大．考点练74平面与平面的夹角1．解析：（1）证明：取PC的中点F，连接EF，BF，因为AE是等边△ADP的中线，所以AE⊥PD，因为E是

棱PD的中点，F为PC的中点，所以EF∥CD，且EF＝12CD，因为AB∥CD，AB＝12CD，所以EF∥AB，且EF＝AB，所以四边形ABFE是平行四边形，所以AE∥BF.因为BC＝BP，F为PC的中点，所以BF⊥P

C，从而AE⊥PC.又PC∩PD＝P，且PC⊂平面PCD，PD⊂平面PCD，所以AE⊥平面PCD.（2）由（1）知AE⊥CD，又AD⊥CD，AD∩AE＝A，且AD，AE⊂平面ADP，所以CD⊥平面ADP，从而EF⊥平面ADP.以E为坐标原点，EP→，EA→，EF→的方向分别为x，y，z轴的

正方向，建立如图所示的空间直角坐标系E­xyz.则P（22，0，0），B（0，26，2），C（－22，0，4），所以PB→＝（－22，26，2），PC→＝（－42，0，4），设平面PBC的法向量为m＝（x，y，z），由PB→·m＝0，PC→·m＝0，得－22x＋26y＋

2z＝0，－42x＋4z＝0，令x＝1，则y＝0，z＝2，所以m＝（1，0，2）.又平面PAD的一个法向量为n＝（0，0，1），所以cos〈m，n〉＝m·n|m||n|＝23＝63，即平面PBC与平面PAD夹角的余弦值为63.2．解析：（1）证明：连接BD，因为AB＝2AD＝2，∠DAB

＝60°所以在△ABD中，由余弦定理得BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos∠DAB＝5－4cos60°＝3，即BD＝3，所以AD2＋BD2＝AB2，即AD⊥BD，因为A1D⊥底面ABCD，所以A1D⊥AD，因为A1D∩BD＝D，所以AD⊥平面A1BD，又A1B⊂平

面A1BD，所以AD⊥A1B.（2）结合（1）可知，DA，DA1，DB两两垂直，故以D为坐标原点，分别以DA→，DB→，DA1→的方向为x，y，z轴的方向，建立空间直角坐标系，如图，则D（0，0，0），A（1，0，0

），A1（0，0，3），B（0，3，0），C（－1，3，0），所以DC1→＝DA1→＋A1B1→＋B1C1→＝DA1→＋AB→＋BC→＝（0，0，3）＋（－1，3，0）＋（－1，0，0）＝（－2，3，3），即C1（－2，3，

3），因为点P为线段DC1上一点（异于D，C1），所以设DP→＝λDC1→＝（－2λ，3λ，3λ）（0<λ<1），所以A1P→＝DP→－DA1→＝（－2λ，3λ，3λ－3），A1B→＝（0，3，－3），设n＝（x

，y，z）是平面A1PB的一个法向量，即y＝z，2λx＝3λy＋（3λ－3）z，故令z＝2λ，则y＝2λ，x＝23λ－3，即n＝（23λ－3，2λ，2λ）.由于DA，DA1，DB两两垂直，且DA∩DA1＝D，所以DB⊥平面AA1D1D，故平面

AA1D1D的一个法向量可以为m＝（0，1，0），设平面A1PB与平面AA1D1D夹角为θ，则cosθ＝|n·m||n|·|m|＝2λ20λ2－12λ＋3＝231λ－22＋8，0<λ<1.所以当1λ＝2时，即

λ＝12时，cosθ取得最大值，所以DP＝12DC1＝102.考点练75空间距离1．解析：（1）证明：取PB的中点N，连结MN，AN，MO，∵M，N为PC，PB的中点，∴MN∥BC且MN＝12BC，又∵菱形ABCD，O为AD中点，∴

OA∥BC且OA＝12BC，∵MN∥OA且MN＝OA，∴四边形OANM为平行四边形，∴OM∥AN，又OM⊄平面PAB，AN⊂平面PAB，∴OM∥平面PAB.（2）连结PO，OC，又∵菱形ABCD，∠ABC＝60°，∴CO⊥AD，又平面P

AD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，OC⊂平面PAD，∴OC⊥平面PAD，∵△PAD为正三角形，∴PO⊥AD且PO＝3，如图以O为原点，OA，OC，OP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则P（0，0，3），A（1，0，0），B（2，3，0），M（0

，32，32），设平面PAB的法向量为n＝（x，y，z），AP→＝（－1，0，3），AB→＝（1，3，0），则n·AP→＝－x＋3z＝0n·AB→＝x＋3y＝0，取n＝（3，－1，1）且AM→＝（－1，32，32），∴M到平面P

AB的距离d＝||AM→·n|n|＝|－3－32＋32|5＝155.即点M到平面PAB的距离为155.2．解析：（1）证明：取EC的中点G，连接BD交AC于N，连接GN，GF，因为ABCD是菱形，所以AC⊥BD，且N是AC

的中点，所以GN∥AE且GN＝12AE，又AE∥BF，AE＝2BF＝2，所以GN∥BF且GN＝BF，所以四边形BNGF是平行四边形，所以GF∥BN，又EA⊥平面ABCD，BN⊂平面ABCD，所以EA⊥BN，又因为AC∩EA＝A，AC，EA⊂平面EAC，所以NB⊥平面EAC，

所以GF⊥平面EAC，又GF⊂平面EFC，所以平面EFC⊥平面EAC.（2）取CD的中点H，由四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，则∠ADC＝60°，∴△ADC是正三角形，∴AH⊥CD，∴AH⊥AB，又AE⊥平面ABCD，所以以A为原点，AH，AB，AE为坐标轴建立空间直角坐

标系，设在棱EC上存在点M使得平面MBD与平面ABCD的夹角为45°，则D（3，－1，0），B（0，2，0），C（3，1，0），E（0，0，2），F（0，2，1），A（0，0，0），则设EM→＝λEC→＝λ（3，1，－2）＝（3λ，λ，－2λ），∴M（

3λ，λ，2－2λ），所以DM→＝（3λ－3，λ＋1，2－2λ），BM→＝（3λ，λ－2，2－2λ），BC→＝（3，－1，0），BF→＝（0，0，1），设平面DBM的一个法向量为n＝（x，y，z），则n·DM→＝0n·BM→＝0，即（

3λ－3）x＋（λ＋1）y＋（2－2λ）z＝03λx＋（λ－2）y＋（2－2λ）z＝0，令x＝3，y＝1，得n＝（3，1，2λ－1λ－1）平面ABCD的法向量可以为m＝（0，0，1），∴|cos〈n，m〉

|＝|m·n||m|·|n|＝|2λ－1λ－1|4＋（2λ－1λ－1）2＝22，解得λ＝34，所以M（334，34，12），则CM→＝（－34，－14，12），设平面BCF的一个法向量为u＝（a，b，c），则u·BC→＝0u·BF→＝0，即3a－b＝0c＝0，取a＝1，得u

＝（1，3，0），所以点M到平面BCF的距离d＝|u·CM→||u|＝34.考点练76翻折问题1．答案：A解析：①对应图1，Q是平面PMN外一点，M在平面PMN内，且M不在直线PN上，因此MN与PQ是异面

直线，①正确；②对应图2，Q、N重合，MN与PQ是相交直线，②错；③对应图3，由于由中位线定理得MN，PQ都与棱AB平行，从而MN∥PQ，③错；④对应图4，与图1类似得MN与PQ是异面直线，④正确．故选A.2．答案：AB解析：对于A，如图，延长DC，AE相交于K点，易得△CEK∽

△BEA，得CKAB＝CEBE＝12，所以CK＝12AB＝12DK，得四边形ABKD为正方形．连接BD交AK于M点，则AK⊥BD.则MD＝MB＝12BD＝12（32）2＋（32）2＝3＝AM，∴ME＝AE－AM＝23AK－12AK＝16AK＝16×2D

M＝1.在翻折过程中始终有AE⊥MB，AE⊥MD，MB∩MD＝M，MB⊂平面MBD，MD⊂平面MBD，所以AE⊥平面MBD，BD⊂平面MBD，∴AE⊥BD，故A正确．对于B，VB­AED＝VE­BDM＋VA­BDM＝13·S△BDM·AE，

当BM⊥DM时，S△BDM最大，又AE＝23AK＝23×6＝4，此时S△BDM＝12MD·MB＝12×3×3＝92，∴（VB­AED）max＝13×92×4＝6，故B正确．对于C，在选项A的正方形ABKD中，EK＝13AK＝13×6＝2，则EK＋EG

＝2＋1＝3＝12AK，故点G为AK的中点，则AG＝3，AF＝32＝12AG，所以F为AG的中点，若HF∥BG，则H为AB的中点，由B选项易知HF＝12BG＝12×3＝32，所以AH＝322，故C错误．对于D，利用选项A中图象和结论来解答，若A

D⊥BD成立，又AE⊥BD，AE∩AD＝A，AE⊂平面AECD，AD⊂平面AECD，∴BD⊥平面AECD，又DM⊂平面AECD，∴BD⊥DM，即∠BDM＝90°，∴BM>DM，与BM＝DM矛盾，故D错误．故选AB.3．答案：283π解析：因为AC＝BC＝CD＝AD＝2，四面体的所有顶点

在同一个球面上，且AC⊥BC，所以平面ABC的外接圆的圆心为斜边AB的中点，设为O1，则该四面体的外接球的球心一定在经过O1，且垂直于平面ABC的直线上，设为O，取AC的中点为M，O2为△ACD的重心，连接DM，O1M

如图所示，则由题意有DM⊥AC，O1M⊥AC，所以二面角D­AC­B即为∠DMO1＝30°，由此可得OO2⊥平面ACD，OO1⊥平面ABC，且O，O2，M，O1四点共圆，又O2为△ACD的重心，所以O2M＝13DM＝33，O1M＝1.在△O1MO2中，由余

弦定理得：O1O22＝O2M2＋O1M2－2O2M·O1M·cos30°＝（33）2＋12－2×33×1×32＝13.所以O1O2＝33，所以四边形OO2MO1外接圆的直径为：OM＝O1O2sin30°＝233，所以在直角△OMA中，OA2＝MO2＋

MA2＝（233）2＋12＝73，所以四面体外接球的半径为OA＝R＝213，所以四面体的外接球的表面积为S＝4πR2＝28π3.4．解析：（1）证明：由题设知：△PBD为等腰直角三角形且PB⊥PD，PB

＝PD＝22，则BD＝4，又∠DBC＝45°，BC＝42，在△BCD中由余弦定理得CD＝4，所以BD2＋CD2＝BC2，即BD⊥CD.方法一又平面PBD⊥平面BCD，平面PBD∩平面BCD＝BD，CD⊂平面BCD，

所以CD⊥平面PBD，PB⊂平面PBD，则CD⊥PB，又PD∩CD＝D，所以PB⊥平面PCD，PC⊂平面PCD，则PB⊥PC.方法二取BD的中点Q，连接CQ，在Rt△CDQ中，CQ2＝DQ2＋CD2＝20，连接P

Q，则PQ＝2且PQ⊥BD，又平面PBD⊥平面BCD，平面PBD∩平面BCD＝BD，PQ⊂平面PBD，所以PQ⊥平面BCD，CQ⊂平面BCD，则PQ⊥CQ.在Rt△PQC中，PC2＝PQ2＋CD2＝24，又BC2＝32，所以在△PBC中，BC2＝PB2

＋PC2，即PB⊥PC.（2）方法一设M，N分别是BD，BC的中点，连接PM，MN，则PM⊥BD，MN⊥BD，又PM∩MN＝M，则BD⊥平面PMN，所以∠PMN是二面角P­BD­C的平面角．在平面PMN上过M作Mz⊥MN，如图以M为原点，直线MB为x轴，直线MN为y轴，直线Mz为

z轴，建立空间直角坐标系．则B（2，0，0），C（－2，4，0），D（－2，0，0），设∠PMN＝θ，θ∈（0，π），则P（0，2cosθ，2sinθ），E（－1，cosθ＋2，sinθ），故BE→＝（－3，

cosθ＋2，sinθ），DB→＝（4，0，0）.设平面BDE的法向量为n＝（x，y，z），则n·BE→＝－3x＋（cosθ＋2）y＋sinθz＝0，n·DB→＝4x＝0，取y＝sinθ，得n＝（0，sinθ，－cosθ－2）.显然平面BCD的一个法向量为n1＝（0，0，1），因为二面角

E­BD­C为30°，则|cos〈n，n1〉|＝|n·n1||n|·|n1|＝2＋cosθsin2θ＋（2＋cosθ）2＝32，整理得4cos2θ＋4cosθ＋1＝0，解得cosθ＝－12，所以θ＝2π3，所以二面角P­BD­C的大小为2π3.方法二由（1）法二：PQ⊥B

D，取BC的中点F，连接QF，则QF∥CD且QF＝12CD＝2，所以QF⊥BD，又PQ∩QF＝Q，则BD⊥平面PQF，则∠PQF为二面角P­BD­C的平面角，连接PF交BE于M，连接QM，且QM⊂平面PQF，所以BD⊥

QM，则∠MQF为二面角E­BD­C的平面角，且∠MQF＝30°，易知：M是△PBC的重心，则FMPM＝12，即S△QFMS△QPM＝12QF·QM·sin30°12QP·QM·sin∠PQM＝12，所以∠PQM＝90°，故∠PQF＝120°，即二面角P­BD­C的大小是120°.考点练77探

究问题1．解析：（1）因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AB，又AD⊥AB，AD∩PA＝A，所以AB⊥平面PAD，又AB∥CD，所以CD⊥平面PAD，AG⊂平面PAD，CD⊥AG.又PA＝AD，G为PD的中点，所以AG⊥PD，而PD∩DC＝D，所以AG⊥平面P

CD.（2）以A为坐标原点，AD→，AB→，AP→所在方向分别为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，如图，则A（0，0，0），B（0，4，0），C（4，2，0），D（4，0，0），P（0，0，4），F（0，2，2），G（2，0，2）.所以PC→＝（4，2，－4

），设PH→＝kPC→（0≤k≤1），所以PH→＝（4k，2k，－4k），则H（4k，2k，－4k＋4），所以GH→＝（4k－2，2k，－4k＋2），FG→＝（2，－2，0），设平面GHF的法向量为n＝（x，y，z），则n·GH→＝0，n·FG

→＝0，即（4k－2）x＋2ky＋（－4k＋2）z＝02x－2y＝0，令x＝2k－1，则n＝（2k－1，2k－1，3k－1），由（1）可知AG→＝（2，0，2）为平面PCD的一个法向量，若平面GHF⊥平面PCD，则n·AG→＝0，即2（2k－1）＋2（3k－1）＝0

，解得k＝25.即PH＝25PC时平面GHF⊥平面PCD.2．解析：（1）证明：连接OA，OD，因为OP⊥平面ABCD，OA⊂平面ABCD，OD⊂平面ABCD，所以PO⊥OA，PO⊥OD.又PA＝PD＝5，PO＝2，所以OA＝OD＝1.又AD＝2，所以

△AOD为等腰直角三角形．设OM与AD交于点E，则点E为AD的中点，又点M是BC的中点，底面ABCD为正方形，所以AD⊥OM，又PO⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以PO⊥AD，又PO∩OM＝O，所以A

D⊥平面POM，PM⊂平面POM，所以AD⊥PM.（2）由（1）知，OA，OD，OP以O为坐标原点，分别以OA，OD，OP所在方向为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系O­xyz，假设存在点N在线段OM上满足条件，设ON→＝λOM→，λ∈[0，1]，则A（1，0，0），B（2，1，

0），P（0，0，2），M（32，32，0），∴N（32λ，32λ，0），AB→＝（1，1，0），AP→＝（－1，0，2），PB→＝（2，1，－2），NB→＝（2－32λ，1－32λ，0），设m＝（x1，y1，z1）为平面PAB的一个法向量，

则m·AB→＝0m·AP→＝0，即x1＋y1＝0－x1＋2z1＝0，令z1＝1，则y1＝－2，x1＝2，m＝（2，－2，1），设n＝（x2，y2，z2）为平面PNB的一个法向量，则n

·NB→＝0n·PB→＝0，即（2－32λ）x2＋（1－32λ）y2＝0，2x2＋y2－2z2＝0，令x2＝－1＋32λ，则y2＝2－32λ，z2＝34λ，n＝（－1＋32λ，2－32λ，34λ），设二面角A­PB­N所成

角为α，则cosα＝|cos〈m，n〉|＝|m·n||m|·|n|＝2×（－1＋32λ）＋（－2）×（2－32λ）＋1×34λ22＋（－2）2＋12×（－1＋32λ）2＋（2－32λ）2＋（34λ）2＝|274λ－6|3×8116λ2－9λ＋5.因为

二面角A­PB­N的余弦值为55，所以|274λ－6|3×8116λ2－9λ＋5＝55，化简得27λ2－48λ＋20＝0，解得λ＝23或λ＝109>1（舍）.所以在线段OM上存在点N，且N是线段OM靠近M的一个三等分点．考

点练78立体几何与数学文化1．答案：B解析：圆柱的侧面积为2π×82×2.5＝20π平方米；圆锥的母线长为32＋（82）2＝5，侧面积为π×82×5＝20π平方米．所以建造该毡帐需要毛毡20π＋20π＝40π平方米．故选B

.2．答案：B解析：由题意漏下来的沙子是全部沙子的1927，下方圆锥的空白部分就是上方圆锥中的沙子部分，∴可以单独研究下方圆锥，∴V上V全＝827＝（h上h全）3，∴h上h全＝23，∴h上h下＝21.故选B.3．答案：B解析：连接OC，则根据垂径定理知O，C，D三点共线．因为OA

＝2，∠AOB＝60°，所以AB＝2，OC＝32×2＝3，则CD＝2－3，所以AB︵的弧长的近似值s＝AB＋CD2OA＝2＋（2－3）22＝11－432.故选B.4．答案：B解析：通过题目可知，圆台上底周长2丈，则上底半径为22

π＝1π丈．同理，下底周长3丈，下底半径为32π丈.根据圆台体积公式得V＝13×1×[π（1π）2＋π（32π）2＋π（1π）2·π（32π）2]＝1912π（立方丈）.故选B.5．答案：AC解析：两碗馅料的体积为2×12×43π×63＝288πcm3，如图，在正四面体D

­ABC中，CM为AB边上的中线，O为三角形ABC的中心，则OD即为正四面体的高，CM＝6×32＝33cm，OC＝23CM＝23cm，OD＝36－12＝26cm，所以正四面体的体积为13×12×6×33×26＝182cm3，即一个正四面体状的三角粽的体积为182c

m3，因为288π÷182≈35.52，所以这两碗馅料最多可包三角粽35个，故A正确，B错误；一个圆柱状竹筒粽得体积为（32）2π×6＝27π2cm3，因为288π÷27π2≈21.33，所以这两碗馅料最多可包竹筒粽21个，故C正确，D错误．故

选AC.6．答案：26解析：由题意，圆取的是正方体的内切球，则该球半径r＝3，易知该球为正四面体的外接球，如图：可知E为外接球球心，EP＝EB＝r，PD⊥平面ABC，D为底面等边△ABC的中心，设正四面体的棱长为d，则BD＝23×32·d＝33

d，PD＝d2－（33d）2＝63d，在Rt△EDB中，EB2＝ED2＋DB2，即r2＝（33d）2＋（63d－r）2，解得d＝263r，即d＝26.考点过关检测13空间角与距离1．解析：（1）证明：∵CD∥AB，AD＝CB＝1，DC≠AB，∴四边形A

BCD是等腰梯形．如图，过点C作CE⊥AB于点E，过点D作DF⊥AB于点F，则AF＝BE＝12（AB－CD）＝12，CD＝EF.又AD＝1，∴DF＝AD2－AF2＝32.又BF＝EF＋BE＝32，∴BD＝BF2＋DF2＝3.又AD＝1，AB＝2，∴AD2＋BD2＝AB2，∴AD⊥B

D.∵PD⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PD⊥BD.又AD∩PD＝D，AD，PD⊂平面PAD，∴BD⊥平面PAD.∵PA⊂平面PAD，∴BD⊥PA.（2）如图，以D为原点，DA，DB，DP所在

直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），A（1，0，0），B（0，3，0），P（0，0，3），∴PD→＝（0，0，－3），PA→＝（1，0，－3），PB→＝（0，3，－3）.设平面PAB的法向量为

n＝（x，y，z）.由PA→·n＝0，PB→·n＝0，得x－3z＝0，3y－3z＝0.令z＝1，得x＝3，y＝1，则n＝（3，1，1）.设直线PD与平面PAB所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈n，PD→〉|＝|n·PD→|

|n|·||PD→＝35×3＝55.∴PD与平面PAB所成的角的正弦值为55.2．解析：（1）设点A到平面A1BC的距离为h.∵𝑉三棱锥𝐴1­𝐴𝐵𝐶＝𝑉三棱锥𝐴­𝐴1𝐵𝐶＝13𝑉

三棱柱𝐴𝐵𝐶­𝐴1𝐵1𝐶1＝43，∴13·𝑆△𝐴1𝐵𝐶·h＝13×4.又∵𝑆△𝐴1𝐵𝐶＝22，∴h＝2.∴点A到平面A1BC的距离为2.（2）方法一如图（1），取A1B的中点E，连接AE.由AA1＝AB，AA1⊥AB，得AE⊥A1B且AE＝12A1B.

∵平面A1BC⊥平面ABB1A1，平面A1BC∩平面ABB1A1＝A1B，AE⊂平面ABB1A1，∴AE⊥平面A1BC，∴AE＝h＝2，AE⊥BC，∴A1B＝22，∴AA1＝AB＝2.由𝑉三棱柱𝐴𝐵𝐶­𝐴1𝐵1𝐶

1＝4，AA1＝2，得2S△ABC＝4，∴S△ABC＝2.易知AA1⊥BC，AE⊥BC，AA1∩AE＝A，AA1，AE⊂平面A1AB，∴BC⊥平面A1AB，∴BC⊥AB，∴BC＝2.过点A作AF⊥BD于点F，连接EF，易得∠EFA即为二面角A­BD­C的平面角的补角．易得AC＝AB2＋

BC2＝22，则A1C＝AA21＋AC2＝23.∵A1B⊥CB，D为A1C的中点，∴BD＝12A1C＝3.易知AD＝BD＝12A1C＝3，∴△ABD为等腰三角形，∴AF·BD＝AB·AD2－（12AB）2＝22，

则AF＝223，∴sin∠AFE＝AEAF＝2223＝32，∴二面角A­BD­C的正弦值为32.方法二如图（2），取A1B的中点E，连接AE.∵AA1＝AB，∴AE⊥A1B.∵平面A1BC⊥平面ABB1A1，平面A1BC∩平面ABB1A1＝A1B，AE⊂平面ABB1A1，∴AE⊥平面A1B

C，∴AE＝h＝2，则AA1＝AB＝2.∵AE⊥平面A1BC，BC⊂平面A1BC，∴AE⊥BC.∵A1A⊥BC，AE∩A1A＝A，∴BC⊥平面ABB1A1.∵AB⊂平面ABB1A1，∴BC⊥AB.由𝑉三棱柱𝐴𝐵𝐶­𝐴1𝐵1𝐶1＝

S△ABC·A1A＝12AB·BC·A1A＝12×2×BC×2＝4，解得BC＝2.以B为坐标原点，分别以BC，BA，BB1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立如图（2）的空间直角坐标系．易得B（0，0，0），A

（0，2，0），E（0，1，1），D（1，1，1）.∴AE→＝（0，－1，1），BD→＝（1，1，1），BA→＝（0，2，0）.由题意，得平面BDC的法向量为n1＝AE→＝（0，－1，1）.设平面BDA的法向量为n2＝（x，y，

z），则BA→·n2＝0，BD→·n2＝0，∴2y＝0，x＋y＋z＝0.令x＝1，则y＝0，z＝－1，∴n2＝（1，0，－1），∴cos〈n1，n2〉＝n1·n2|n1|·|n2|＝0＋0－12×2＝－12.设二面角A­BD­C的平面角为α（0≤α≤π），则

sinα＝1－cos2α＝32，∴二面角A­BD­C的正弦值为32.3．解析：（1）证明：因为AB＝AD，O为BD中点，所以AO⊥BD.因为平面ABD∩平面BCD＝BD，平面ABD⊥平面BCD，AO⊂平

面ABD，因此AO⊥平面BCD，因为CD⊂平面BCD，所以AO⊥CD.（2）作EF⊥BD于F，作FM⊥BC于M，连EM，因为AO⊥BD，EF⊥BD，AO，EF⊂平面ABD，所以AO∥EF，所以EF⊥平面BCD，且BC⊂平面BCD，所以EF⊥BC.因为FM⊥BC，FM∩EF＝F，所以BC

⊥平面EFM，即BC⊥ME，则∠EMF为二面角E­BC­D的平面角，∠EMF＝45°，因为BO＝OD，△OCD为正三角形，所以△BCD为直角三角形．因为BD＝2CD，所以FM＝12BF＝121＋1

3＝23，从而EF＝FM＝23，所以AO＝1，因为AO⊥平面BCD，所以V＝13AO·S△BCD＝13×1×12×1×3＝36.4．解析：（1）由题设，PO⊥平面ABD，又D是切线CE与圆O的切点，所以

CE⊂平面ABD，则PO⊥CE，且OD⊥CE，又PO∩OD＝O，PO、OD⊂平面POD，所以CE⊥平面POD，又CE⊂平面PDE，所以平面PDE⊥平面POD.（2）作Ox∥AE，以O为原点，以Ox→，OC→，OP→为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系，且CO＝2R，OD＝R，CD＝

3R，又CDCA＝COCE＝ODEA，可得AE＝CD＝ED＝3R，∴P（0，0，2），D（32R，12R，0），E（3R，－R，0），B（0，R，0）.有PD→＝（32R，12R，－2），PB→＝（0，R，－2），PE→＝（3R，－R，－2），设m＝（x，y，z

）是平面PBD的一个法向量，则m·PD→＝32Rx＋12Ry－2z＝0m·PB→＝Ry－2z＝0，令x＝3，则m＝（3，3，32R），又直线PE与平面PBD所成角的正弦值为10535，即|cos〈m，PE→〉|＝|m·PE→|m||PE→||＝3

R12＋94R24＋4R2＝10535，整理得3R4－16R2＋16＝0，即（3R2－4）（R2－4）＝0，解得R＝233或R＝2，当R＝2时，P（0，0，2），D（3，1，0），E（23，－2，0），A（0，－2，0），PE→＝（23，－2，－2），PD→＝

（3，1，－2），AP→＝（0，2，2）设n＝（a，b，c）是平面PED的一个法向量，则n·PD→＝3a＋b－2c＝0n·PE→＝23a－2b－2c＝0，令a＝3，则n＝（3，1，2），所以点A到平面P

ED的距离d＝|n·AP→|n||＝63＋1＋4＝322，当R＝233时，P（0，0，2），D（1，33，0），E（2，－233，0），A（0，－233，0），PE→＝（2，－233，－2），PD→＝（1，33，－2），AP→＝（0，233

，2）.设l＝（a1，b1，c1）是面PED的一个法向量，则l·PD→＝a1＋33b1－2c1＝0l·PE→＝2a1－233b1－2c1＝0，令a1＝3，则l＝（3，3，2），所以点A到平面PED的距离d＝|l·AP→|l||＝

69＋3＋4＝32，综上，点A到平面PED的距离为322或32.5．解析：（1）证明：因为OE∥平面SAB，OE⊂平面SBD，平面SAB∩平面SBD＝SB，故OE∥SB.又因为四边形ABCD为矩形，故

BO＝DO，则SE＝DE.（2）∵四边形ABCD为矩形，∴AB⊥AD.又∵平面SAD⊥平面ABCD，平面SAD∩平面ABCD＝AD，AB⊂平面ABCD，∴AB⊥平面SAD.∵SA⊂平面SAD，∴AB⊥SA.同理AD⊥SA.又AB∩AD＝A，AB⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD，∴SA⊥平面ABC

D.设AB＝a，以A为坐标原点，AB，AD，AS所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（a，0，0），C（a，2，0），D（0，2，0），E（0，1，1），S（

0，0，2）.AB→＝（a，0，0），AE→＝（0，1，1），CB→＝（0，－2，0），CE→＝（－a，－1，1），设m＝（x，y，z）为平面ABE的法向量，∵m·AB→＝0m·AE→＝0，∴ax＝0y＋z＝0，令y＝1，则z＝－1.∴m＝（

0，1，－1）.设n＝（x，y，z）为平面CBE的法向量，∵n·CB→＝0n·CE→＝0，∴－2y＝0－ax－y＋z＝0，令x＝1，则z＝a.∴n＝（1，0，a）.∴|cos〈m，n〉|＝|m·n

|m||n||＝|－a|2·a2＋1＝32020，解得a＝3.故AB＝3.6．解析：（1）存在，点N为线段D′E的中点，如图，连接AC，BE，交于点P，连接MP，MN，NP.由题设可知四边形ABCE是菱形，所以点P是线段

BE的中点．因为M是AB的中点，N是线段D′E的中点，所以MP∥AE∥BC，NP∥D′B，因为MP，NP⊄平面D′BC，D′B，BC⊂平面D′BC.所以MP∥平面D′BC，NP∥平面D′BC.因为MP∩NP＝P，所以平面PMN∥平面D′BC.又MN⊂平面PMN，所以MN∥平面D′BC.（2）

取AE的中点O，连接D′O，BO.由题设可知△D′AE是等边三角形，所以D′O⊥AE.因为平面D′AE⊥平面ABC，D′O⊂平面D′AE，所以D′O⊥平面ABC.因为∠EAB＝∠AED′＝60°，AB＝AE，

所以△ABE是等边三角形，所以BO⊥AE.分别以射线OA，OB，OD′为x轴，y轴，z轴正方向，建立空间直角坐标系O­xyz，由AB＝BC＝12CD＝2，易得A（1，0，0），B（0，3，0），D′（0，0，3）.所以BC→＝2AO→＝（－2，0，0），B

D′→＝（0，－3，3）.设平面D′BC的一个法向量为n＝（x0，y0，z0），则n·BC→＝（x0，y0，z0）·（－2，0，0）＝0，n·BD′→＝（x0，y0，z0）·（0，－3，3）＝0，得x0＝0，－3y0＋3z0＝0，取y0＝z0＝1，所以n＝（0，1，1）.设

平面D′AE与平面D′BC所成锐二面角为θ，因为平面D′AE的一个法向量为OB→＝（0，3，0），所以cosθ＝n·OB→|n||OB→|＝32×3＝22，所以θ＝45°.故平面D′AE与平面D′BC所成锐二面角的大小为45°.单元过关检测七立体几何

与空间向量1．答案：C解析：如图所示，设圆锥底面圆的半径为r，高为1，母线长为r2＋1，由题意得，2πr＝πr2＋1，以4r2＝1＋r2，故r＝33.故选C.2．答案：B解析：设球的半径为R，则由题意得圆柱的底面半径为R，高为2R，所以圆柱的表面积为2πR

2＋2πR·2R＝6πR2，球的表面积为4πR2，所以圆柱与球的表面积之比为6πR24πR2＝32.故选B.3．答案：C解析：由l、m是不同的直线，α、β是不同的平面，知：在A中，若l∥α，m⊥β，l⊥m，则α与β相交或平行，故A错误；在B中，若l∥

α，m⊥β，l⊥m，则α与β相交或平行，故B错误；在C中，若l∥α，m⊥β，l∥m，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故C正确；在D中，若l∥α，m⊥β，l∥m，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故D错误．故选C.

4．答案：B解析：作出正方体的图形如图所示：则AB与CD、AB与GH、EF与GH是异面直线，共3对．故选B.5．答案：D解析：作出图形，连接该正四棱台上下底面的中心，如图，因为该四棱台上下底面边长分别为2，4，侧棱长为2，

所以该棱台的高h＝22－（22－2）2＝2，下底面面积S1＝16，上底面面积S2＝4，所以该棱台的体积V＝13h（S1＋S2＋S1S2）＝13×2×（16＋4＋64）＝2823.6．答案：D解析：取BC的中点H，如图连接AH，GH，D1G，AD1，由题意得GH∥EF，AH∥A1F，∵GH

不在平面A1EF内，EF⊂平面A1EF，∴GH∥平面A1EF.∵AH不在平面A1EF内，A1F⊂平面A1EF，∴AH∥平面A1EF.∵GH∩AH＝H，GH，AH⊂平面AHGD1，∴平面AHGD1∥平面A1EF，过线段AG且平行于平面

AEF的截面图形为等腰梯形AHGD1.故选D.7．答案：A解析：如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，易知BD⊥AC.又E，F分别为AB，BC的中点，所以EF∥AC，所以BD⊥EF.由正方体的性质，知DD1⊥平面ABC

D.又EF⊂平面ABCD，所以DD1⊥EF.因为BD∩DD1＝D，所以EF⊥平面BDD1.因为EF⊂平面B1EF，所以平面B1EF⊥平面BDD1，A正确．假设平面B1EF⊥平面A1BD.因为平面B1EF⊥平面BDD1，且平面A1BD∩平

面BDD1＝BD，所以BD⊥平面B1EF.在正方体ABCD­A1B1C1D1中，显然BD与平面B1EF不垂直，B错误．设A1A与B1E的延长线相交于点P，所以平面B1EF与平面A1AC不平行，C错误．连接AB1，B1C，易证平面ACB1∥平面A1C1D.因为平面ACB1与平面B1EF相交，

所以平面B1EF与平面A1C1D不可能平行，D错误．故选A.8．答案：C解析：设该球的半径为R，则由题意知43πR3＝36π，解得R＝3.如图，连接AC，BD，相交于点E，连接PE并延长，交球于点Q，连接Q

D，则PQ＝2R＝6.易知PD⊥QD，DE⊥PQ，所以由射影定理，得PD2＝PE·PQ，所以PE＝l26，所以DE＝PD2－PE2＝l2－l436，所以DC＝2DE＝2×l2－l436，所以正四棱锥的体积V＝13×（2×l2－l

436）2×l26＝19（l4－l636），则V′＝l39（4－l26）.令V′＞0，得3≤l＜26，令V′＜0，得26＜l≤33，所以V＝19（l4－l636）在[3，26）上单调递增，在（26，33]上单调递减，所以Vmax＝V（26）＝643.又因为V（

3）＝274，V（33）＝814＞274，所以Vmin＝274，所以该正四棱锥体积的取值范围是274，643.故选C.9．答案：ABD解析：对于A，每个面都是直角三角形的四面体，如：E­ABC，所以A正确；对于B，每个面都是等边三角形的四面体，如E­

BGD，所以B正确；对于C，若四面体的每个面都是全等的直角三角形，则必有直角边等于斜边，而这样的直角三角形不存在，所以C错误；对于D，有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体，如：A­BDE，所以D正确．故选

ABD.10．答案：AD解析：因为AB为圆O的直径，M是线段PB的中点，所以OM∥PA；又OM⊄平面PAC，PA⊂平面PAC，所以MO∥平面PAC，即A正确；又PA⊂平面PAB，即PA⊂平面MOB，故B错误；因为点C在圆O的圆周上

，所以AC⊥CB，故OC不与AC垂直，所以OC不可能与平面PAC垂直，即C错误；由直线PA垂直于圆O所在的平面，所以PA⊥BC；又AC⊥CB，AC∩PA＝A，AC⊂平面PAC、PA⊂平面PAC，所以B

C⊥平面PAC，又BC⊂平面PBC，所以平面PAC⊥平面PBC，即D正确．故选AD.11．答案：ABD解析：如图（1），连接B1C.因为DA1∥CB1，BC1⊥CB1，所以直线BC1与DA1所成的角为90°，所以A正确．如图（2），连接B

1C.因为BC1⊥B1C，BC1⊥A1B1，B1C∩A1B1＝B1，B1C，A1B1⊂平面A1B1C，所以BC1⊥平面A1B1C，CA1⊂平面A1B1C，所以BC1⊥CA1，所以B正确．如图（3），连接A1C1，交B1D1于点O，连接BO，A1B.易证A1C1⊥平面BDD

1B1，所以∠C1BO为直线C1B与平面BDD1B1所成的角，∠C1BO＝30°，所以C错误．如图（4），因为C1C⊥平面ABCD，所以∠C1BC为直线BC1与平面ABCD所成的角，且∠C1BC＝45°

，所以D正确．故选ABD.12．答案：BC解析：如图，设圆柱的底面半径为r，高为h，圆柱的外接球的半径为R，由4r＋2h＝12，得2r＋h＝6，又2R＝4r2＋h2，0<r<3，圆柱的体积为V＝πr2h＝πr2（6－2r）＝2πr2（3－r

），则V′＝6πr（2－r），当0<r<2时，V′>0，当r>2时，V′<0，故函数V＝2πr2（3－r）在（0，2）上单调递增，在（2，3）上单调递减，所以r＝2时，V取最大值8π，所以0<V≤8π，圆柱的外接球的表面积S＝4πR2＝π（4r2＋h2）＝π[4r2＋（6

－2r）2]＝4π（2r2－6r＋9），函数S＝4π（2r2－6r＋9）在（0，32）上单调递减，在（32，3）上单调递增，所以r＝32时，S取最小值18π，所以18π≤S<36π.故选BC.13．答案：122π解析：如图为圆台的轴截

面，依题意AO1＝2，BO2＝4，O1O2＝AC＝2，所以BC＝BO2－CO2＝2，所以圆台的母线AB＝AC2＋BC2＝22，故圆台的侧面积S＝π（R＋r）l＝π（4＋2）×22＝122π.14．答案：3714解析：设AA1＝h，则A1（42，0，h），B（0，4，0），C（0，0，0），B1（

0，4，h），A1B→＝（－42，4，－h），CB1→＝（0，4，h），因为A1B→⊥CB1→，所以A1B→·CB1→＝16－h2＝0，解得h＝4，故M（22，2，4），A1B→＝（－42，4，－4），CM→＝（22，2，4），所以异面直线CM与A1B夹角

的余弦值为3714.15．答案：1或2解析：由已知得B1D⊥平面ACC1A1，又CF⊂平面ACC1A1，所以B1D⊥CF，若CF⊥平面B1DF，则必有CF⊥DF，设AF＝x（0<x<3），则CF2＝x2＋4，DF2＝1

＋（3－x）2，CD2＝12＋32＝10，所以由CF2＋DF2＝CD2得x2＋4＋1＋（3－x）2＝10，解得x＝1或2，所以当AF＝1或2时，CF⊥平面B1DF.16．答案：2643311解析：如图，建立空间直角坐标系，则B（2，4，0

），A（2，0，0），C（0，4，0），E（2，4，1），C1（0，4，3），设F（0，0，z），由题意可知：四边形AEC1F为平行四边形，则AF→＝EC1→，即（－2，0，z）＝（－2，0，2），则z＝2，即F（0，0，2），∴BF→＝（－2，－4，2），则|BF→|＝（－2）2＋

（－4）2＋22＝26，故BF的长为26.设平面AEC1F的一个法向量为n＝（x，y，z），因为AE→＝（0，4，1），AF→＝（－2，0，2），则n·AE→＝4y＋z＝0n·AF→＝－2x＋2z＝0，令y＝－1，则x＝z＝4，即n＝（4，

－1，4），因为CC1→＝（0，0，3），则点C到平面AEC1F的距离为d＝|𝐶𝐶1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗·𝑛||𝑛|＝1233＝43311.17．解析：（1）证明：连接A1B.在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1⊥平面ABC.

因为BC⊂平面ABC，所以AA1⊥BC.因为∠ABC＝90°，即AB⊥BC，AB∩AA1＝A，AA1⊂平面ABB1A，AB⊂平面ABB1A1，所以BC⊥平面ABB1A1.因为AB1⊂平面ABB1A1，所以BC

⊥AB1.由题意可得四边形ABB1A1为正方形，所以AB1⊥A1B.因为A1B∩BC＝B，A1B⊂平面A1BC，BC⊂平面A1BC，所以AB1⊥平面A1BC.因为A1C⊂平面A1BC，所以AB1⊥A1C.（2）△AA1B1的面积𝑆△𝐴𝐴1𝐵1＝12AA1·A1B1＝2.三棱锥A­A

1B1C的体积𝑉𝐴­𝐴1𝐵1𝐶＝𝑉𝐶­𝐴𝐴1𝐵1＝13𝑆△𝐴𝐴1𝐵1·BC＝43.18．解析：（1）证明：方法一连接OA.因为PO是三棱锥P­ABC的高，所以PO⊥平面ABC，所以PO⊥OA，PO⊥OB，所以∠POA＝∠POB＝90°.又PA＝

PB，PO＝PO，所以△POA≌△POB，所以OA＝OB.取AB的中点D，连接OD，DE，则有OD⊥AB.又AB⊥AC，所以OD∥AC.因为OD⊄平面PAC，AC⊂平面PAC，所以OD∥平面PAC.因为D

，E分别为AB，PB的中点，所以DE∥PA.因为DE⊄平面PAC，PA⊂平面PAC，所以DE∥平面PAC.因为OD，DE⊂平面ODE，OD∩DE＝D，所以平面ODE∥平面PAC.又OE⊂平面ODE，所以OE∥平面PAC.方法二连接OA.因为PO是三棱

锥P­ABC的高，所以PO⊥平面ABC，所以PO⊥OA，PO⊥OB，所以∠POA＝∠POB＝90°.又PA＝PB，PO＝PO，所以△POA≌△POB，所以OA＝OB.延长BO交AC于点H，连接PH.因为AB⊥AC，所以△ABH为直角三角形．又OA＝OB，则可得OA＝OB＝OH，所以点O

为BH的中点．在△PBH中，O，E分别为BH，PB的中点，所以OE∥PH.因为OE⊄平面PAC，PH⊂平面PAC，所以OE∥平面PAC.（2）由（1）易知OA＝OB，所以OD⊥AB.以D为坐标原点，分别以D

B，DO所在直线为x轴、y轴，以过点D且垂直于平面ABC的直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图．因为PO＝3，PA＝5，且PO⊥OA，所以OA＝OB＝4.又∠ABO＝∠CBO＝30°，所以OD＝12OB＝

2，DA＝DB＝23，所以P（0，2，3），B（23，0，0），A（－23，0，0），E（3，1，32）.设AC＝a，则C（－23，a，0）.设平面AEB的法向量为n1＝（x1，y1，z1）.AB→＝

（43，0，0），AE→＝（33，1，32），则AB→·n1＝0，AE→·n1＝0，所以43x1＝0，33x1＋y1＋32z1＝0，所以x1＝0.令y1＝3，得z1＝－2，所以n1＝（0，3，－2）.设平面AEC的法向量为n2＝（x2，y2，z2

）.AC→＝（0，a，0），AE→＝（33，1，32），则AC→·n2＝0，AE→·n2＝0，所以ay2＝0，33x2＋y2＋32z2＝0，所以y2＝0.令x2＝3，得z2＝－6，所以n2＝（3，0，－

6）.所以cos〈n1，n2〉＝n1·n2|n1|·|n2|＝1213×39＝12133＝4313.设二面角C­AE­B的平面角为θ，则sinθ＝1－cos2θ＝1113，所以二面角C­AE­B的正弦值为1113.19．解析：（1

）证明：∵AD＝CD，∠ADB＝∠BDC，BD＝BD，∴△ABD≌△CBD，∴AB＝CB.∵E为AC的中点，∴DE⊥AC，BE⊥AC.∵DE∩BE＝E，DE，BE⊂平面BED，∴AC⊥平面BED.∵AC⊂平面ACD，∴平面BED⊥平面ACD.（2）如图，连接EF.由（1）知AC

⊥平面BED.又∵EF⊂平面BED，∴EF⊥AC.∴S△AFC＝12AC·EF.当EF⊥BD时，EF的长最小，此时△AFC的面积最小．由（1）知AB＝CB＝2.又∵∠ACB＝60°，∴△ABC是边长为2的正三

角形，∴BE＝3.∵AD⊥CD，∴DE＝1，∴DE2＋BE2＝BD2，∴DE⊥BE.以点E为坐标原点，直线EA，EB，ED分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则E（0，0，0），A（1，0，0），B（0，3，0），C（－1，0，0），D（0

，0，1），∴AB→＝（－1，3，0），AD→＝（－1，0，1），DB→＝（0，3，－1），ED→＝（0，0，1），EC→＝（－1，0，0）.设DF→＝λDB→（0≤λ≤1），则EF→＝ED→＋DF→＝ED→＋λDB→＝（0，0，1）＋λ（0，3，－1）＝（0，3λ，1－λ）

.∵EF⊥DB，∴EF→·DB→＝（0，3λ，1－λ）·（0，3，－1）＝4λ－1＝0，∴λ＝14，∴EF→＝（0，34，34），∴CF→＝EF→－EC→＝（0，34，34）－（－1，0，0）＝（1，34，34）.设平面A

BD的法向量为n＝（x，y，z），则n·AB→＝0，n·AD→＝0，即－x＋3y＝0，－x＋z＝0.取y＝1，则x＝3，z＝3，∴n＝（3，1，3）.设当△AFC的面积最小时，CF与平面ABD所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈n，CF→〉|＝|n·C

F→||n||CF→|＝3×1＋1×34＋3×343＋1＋3×1＋316＋916＝437.故当△AFC的面积最小时，CF与平面ABD所成的角的正弦值为437.20．解析：（1）证明：在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E是CD的中点，AE＝2，BE＝2，所以AE2＋BE2＝

AB2，所以BE⊥AE，在折叠后的图形中，也有BE⊥AE，因为平面PAE⊥平面ABCE，平面PAE∩平面ABCE＝AE，BE⊂平面ABCE且BE⊥AE，所以BE⊥平面PAE，因为PA⊂平面PAE，所以BE⊥PA，因为PA⊥

PE，且PE∩BE＝E，所以PA⊥平面PBE.又PA⊂平面PAE，所以平面PAE⊥平面PBE.（2）取AE的中点O，AB的中点F，连接PO，OF，因为PA＝PE，所以PO⊥AO，因为OF∥BE，BE⊥AE，所以OA⊥OF，因为BE⊥平面PAE，所以BE⊥PO，所以OF⊥PO，所以PO，O

A，OF两两垂直，以O为原点，OA，OF，OP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图：则A（22，0，0），P（0，0，22），B（－22，2，0），M（－324，24，0），则BM→＝（－24，－324，0），

PA→＝（22，0，－22），AM→＝（－524，24，0），设平面PAM的法向量n＝（x，y，z），则n·PA→＝22x－22z＝0n·AM→＝－524x＋24y＝0，令x＝1，得y＝5，z＝1，得n＝（1，5，1），所以直线BM与平面PAM所成角

的正弦值为|n·BM→|n|·|BM→||＝－24－15241＋25＋1·216＋1816＝83045.21．解析：（1）证明：∵AO⊥平面BB1C1C，B1C⊂平面BB1C1C，∴AO⊥B1C，∵B1C1＝AA1，AA1＝

BB1，∴B1C1＝BB1，∴四边形BB1C1C为菱形，∴B1C⊥BC1，又BC1∩AO＝O，AO⊂平面ABC1，BC1⊂平面ABC1，∴B1C⊥平面ABC1，∵AB⊂平面ABC1，∴B1C⊥AB.（2）令B

C＝BB1＝2，在等腰△BCB1中，∠BB1C＝30°，∴OB＝1，B1C＝23，CO＝3.∵AO⊥平面BB1C1C，∴∠ABO为直线AB与平面BB1C1C所成的角，∴∠ABO＝60°，∴AO＝3，由（1）得OB，OB1

，OA两两垂直，所以以O为坐标原点，OB，OB1，OA所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则O（0，0，0），B（1，0，0），B1（0，3，0），A（0，0，3），C1（－1，0，0），则AB1→＝（0，3，－3），C1B1

→＝（1，3，0），A1B1→＝AB→＝（1，0，－3），设平面AB1C1的一个法向量为n1＝（x1，y1，z1），∴3y1－3z1＝0x1＋3y1＝0.令y1＝1，x1＝－3，z1＝1得n1

＝（－3，1，1），设平面A1B1C1的一个法向量为n2＝（x2，y2，z2），∴x2－3z2＝0x2＋3y2＝0，令y2＝1，x2＝－3，z2＝－1，解得n2＝（－3，1，－1），设二面角A1­B1C1­A大小为θ，

由图易知θ为锐角，∴cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝|n1·n2||n1||n2|＝35×5＝35.∴二面角A1­B1C1­A的余弦值为35.22．解析：（1）证明：在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝CD＝BC＝1，故梯形ABCD为等腰梯形，因为∠BCD＝2π3，则

∠ADC＝2π3，所以∠BAC＝∠ACD＝π6又因为∠ABC＝π－∠BCD＝π3，则∠ACB＝π－∠ABC－∠BAC＝π2，所以AC⊥BC，因为CF⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以AC⊥CF，因为BC∩CF＝C，所以AC⊥平面BCF，

因为四边形ACFE为矩形，则AC∥EF，因此，EF⊥平面BCF.（2）因为CF⊥平面ABCD，AC⊥BC，以点C为坐标原点，CA、CB、CF所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，在Rt△ABC中，AC＝BCtanπ6＝3，则A（3，0，0）、B（0，1，0）

、C（0，0，0）、F（0，0，1）、E（3，0，1），设点M（t，0，1），其中0≤t≤3，设平面MAB的法向量为m＝（x1，y1，z1），AB→＝（－3，1，0），AM→＝（t－3，0，1），由

m·AB→＝3x1－y1＝0m·AM→＝（t－3）x1＋z1＝0，取x1＝1，可得m＝（1，3，3－t）.易知平面FCB的一个法向量为n＝（1，0，0），cos〈m，n〉＝|m·n||m||n|＝14＋（t－3）2，所以，当t＝0，即M与F重合时，cos〈m，n〉取

最小值，此时平面MAB与平面FCB所成锐二面角最大，此时，平面MAB与平面FCB所成锐二面角的余弦值为77.滚动过关检测六第一章～第七章1．答案：D解析：由－1<2－x≤1，化简可得－1≤x－2<1，所以1≤x<3，所以M＝{x|1≤x<3}，又N＝{1，

2，3}，所以M∩N＝{1，2}．故选D.2．答案：C解析：由（z－1）·i＝4（1－i）可得z＝4（1－i）i＋1＝4（1－i）·（－i）i（－i）＋1＝－4－4i＋1＝－3－4i，所以|z|＝（－3）2＋（－4）2＝5.故选C.3．答案：D解

析：因为a，b是单位向量，所以|a|＝1，|b|＝1，所以a2＝1，b2＝1，所以a2＝b2，D正确；由已知a，b共线，所以a，b的方向相同或相反；当a，b的方向相反时，a≠b，A错误；当a，b的方向相反时，a·

b＝|a|·|b|cos180°＝－1，B错误，C错误．故选D.4．答案：C解析：由题意知：BC⊥平面A1ACC1，设BC＝x，则有AC＝AB2－BC2＝4－x2，𝑉𝐵­𝐴1𝐴𝐶𝐶1＝13BC·

𝑆▱𝐴1𝐴𝐶𝐶1＝13x×2×4－x2＝23x4－x2，0<x<2；考虑（𝑉𝐵­𝐴1𝐴𝐶𝐶1）2＝49x2·（4－x2）是关于x2开口向下的二次函数，当x2＝2时取得最大值，最大值＝49×2×（4－2）＝169，∴𝑉𝐵­𝐴1𝐴𝐶𝐶1的最大值为43.故选C.5

．答案：C解析：因为a4，a2019是方程x2－4x＋3＝0的两个根，故可得a4＋a2019＝4，又数列{an}是等差数列，故a1＋a2022＝a4＋a2019＝4，故S2022＝2022×（a1＋a2022）2＝4044.故选C.6．答案：B解析：根据f（x）的图象可知：f

（0）＝1，故可得2sinφ＝1，即sinφ＝12，又φ∈（0，π2），故φ＝π6；又f（4π3）＝1，故可得2sin（4π3×ω＋π6）＝1，解得4π3×ω＋π6＝2kπ＋π6或2kπ＋56π，k∈Z，解得：ω

＝32k或32k＋12，k∈Z，数形结合可知：T2>43π，即2π2ω>43π，结合ω>0，解得ω∈（0，34），显然ω＝32k，k∈Z不满足题意，故对ω＝32k＋12，k∈Z，当且仅当k＝0时，ω＝12满足题意；故f（x）＝2

sin（12x＋π6）；令2kπ－π2≤12x＋π6≤2kπ＋π2，k∈Z，解得x∈[－4π3＋4kπ，2π3＋4kπ]（k∈Z）.即f（x）的单调增区间为：[－4π3＋4kπ，2π3＋4kπ]（k∈Z）.故选B.7．答案：C解析：因为f（x）＝2x＋x－5单调

递增，且f（1.6）＝21.6－3.4＝5（21.6）5－5（3.4）5＝5256－5454.35424<0，f（2）＝4＋2－5>0，由零点的存在性定理可知f（x）有唯一零点a且1.6<a<2；因为g（x）＝x2＋x－4在（0，＋∞）单调递增，且

g（1）＝1＋1－4<0，g（1.6）＝1.62－2.4＝2.56－2.4>0，由零点的存在性定理可知g（x）有唯一零点b且1<b<1.6；因为h（x）＝log2x＋x－3在（0，＋∞）单调递增，且h（2）＝

1＋2－3＝0，由零点的存在性定理可知h（x）有唯一零点c＝2，所以b<a<c.故选C.8．答案：B解析：因为f（x＋1）＝12f（x），当x∈（0，1]时，f（x）＝x（1－x）.所以当x∈（k，k＋1]，k∈N*时，f（x）＝1

2f（x－1）＝（12）2f（x－2）＝…＝（12）k－1f（x－k＋1）＝（12）kf（x－k），因为k<x≤k＋1，所以0<x－k≤1，所以f（x－k）＝（x－k）（1－x＋k），所以当x∈（k，k＋1]，k∈N*时，f（x）＝（12）k（x－k）（1－x＋k），又

f（12）＝14，且对任意x∈[m，＋∞），都有f（x）≤118，所以m>12，作出函数f（x）在（0，＋∞）上的图象，要使f（x）≤118，则需x≥x1，其中2.5<x1<3，f（x1）＝118，所以14（x1－2）（3－x1）＝11

8，解得x1＝83，所以m≥83.故选B.9．答案：BC解析：因为f（x）＝sinx（sinx＋3cosx），所以f（x）＝sin2x＋3sinxcosx＝1－cos2x2＋32sin2x，所以f（x）＝32sin2x－12cos2x＋12＝si

n（2x－π6）＋12，所以f（x）的最大值为32，故A错误．f（x）的最小正周期T＝2π2＝π，故B正确．令2x－π6＝kx＋π2，k∈Z，化简得x＝kπ2＋π3，k∈Z，取k＝0可得x＝π3，所以函数f（x）的图象关于直线x＝π3对称，故C正确

．令2x－π6＝kπ，k∈Z，化简得x＝kπ2＋π12，k∈Z，取k＝1可得x＝7π12，当x＝7π12时，f（x）＝12，所以f（x）的图象关于点（7π12，12）对称．故D错误．故选BC.10．答

案：BC解析：假设存在点M使MN∥SC，所以M，N，S，C四点共面，又因为A∈SN，所以A∈平面MNSC，易得点A，M，C为平面MNSC和平面ABC的公共点，所以A，M，C三点共线，与题意矛盾，故不存在点M使MN∥SC，即A错误；过O作OM∥BC，交劣弧AC于

点M，连接ON，由于N，O分别为SA，AB的中点，所以ON∥SB，由于OM⊄平面SBC，ON⊄平面SBC，所以OM∥平面SBC，ON∥平面SBC，又因为OM∩ON＝O，所以平面OMN∥平面SBC，由于

MN⊂平面OMN，所以MN∥平面SBC，即B正确；点M的位置同选项B，由于AB为直径，所以AC⊥BC，即AC⊥OM，由圆锥易得SO⊥AC，SO∩OM＝O，所以AC⊥平面SOM，所以AC⊥SM，即C正确；假设存在点M使AM⊥平

面SBC，所以AM⊥SB，又因为AM⊥SO，SO∩SB＝S，所以AM⊥平面SBO，故平面SBC应与平面SBO平行，与题意显然不符，即D错误．故选BC.11．答案：BCD解析：对A：因为f（x）＝x（x＋a1）（x＋a2）…（x＋a9），故f′（x）＝（x＋a1）（x

＋a2）…（x＋a9）＋x[（x＋a1）（x＋a2）…（x＋a9）]′则f′（0）＝a1a2…a9＝1，（a5）9＝1，解得a5＝1，又a1>1，且数列{an}是正项数列，故可得q∈（0，1），故该数列单调递减，A

错误；对B：lgan＋1－lgan＝lgan＋1an＝lgq，由A知：q∈（0，1），故lgq<0，故数列{lgan}单调递减，B正确；对C：由A可知：a5＝1，又a1>1，q∈（0，1），故数列{an}的前4项均为大于1的正数，从第6项开始均为小

于1的正数，故当n＝4或5时，Tn取得最大值，C正确；对D：因为q≠1，故Sn＝a1（1－qn）1－q＝a5（1－qn）q4（1－q）＝1－qnq4（1－q），因为q∈（0，1），0<qn<1，故可得1－qnq4（1－q）<1q4（1－q），即Sn<1q4（1－q

），故D正确．故选BCD.12．答案：ACD解析：对于选项A，当x≤0时，f（m）＝0⇔mem＝0.因∀m<0，mem<0，故x≤0时，f（m）＝0有唯一解m＝0.此时f（m－1）＝f（－1）＝－1e.当x>0，a＝－1时，f（m）＝0⇔lnm－1m＝0.此时，f′（x）＝1x＋1x2>0，则f

（x）在（0，＋∞）上单调递增．又f（1）＝－1<0，f（2）＝ln2－12＝ln412－lne12>0，故∃m∈（1，2），使得f（m）＝0.则0<m－1<1，又f（x）在（0，＋∞）上单调递增，故f（m－1）<f（1）＝－1<－1e，故A不正确．对于选项B，分析函数g（x）

＝f（x）－x.因a＝1，则g（x）＝xex－x，x≤0lnx＋1x－x，x>0，当x≤0时，g（x）＝x（ex－1），对∀x<0，ex－1<0，则x≤0时，g（x）有唯一零点0.当x>0时，g′（x）＝1x－1x2－1＝－x2＋x－1x2＝1x2·[－（x－12）

2－34]<0，则g（x）在（0，＋∞）上单调递减．又g（1）＝0，故当x>0时，g（x）有唯一零点1.综上，g（x）在R上有两个零点，即f（x）的图象与直线y＝x有两个交点．故B正确．对于C选项，因f（x）在（0，＋∞）上单调递增，则∀x∈（0，＋∞），f′（x）＝1x－ax2≥0，得∀x∈

（0，＋∞），a≤x⇒a≤0.故C不正确．对于选项D，设f（x）的零点为t，则y＝f（f（x））的零点个数，就是方程f（x）＝t解的个数．由选项A知，当x≤0时，f（x）有唯一零点0.当x>0时，由f（x）＝0，得a＝－xlnx.故此时f（x）零点个数就是h（x）＝－xlnx图象与直线y＝a

的交点个数．h′（x）＝－（lnx＋1），得h（x）在（0，1e）上单调递增，在[1e，＋∞）上单调递减．则h（x）≤h（1e）＝1e.又注意到limx→0h（x）＝0，h（1）＝0，0<a<1e，则y＝a与图象h（x）有两个交点，即f（x

）有两个零点，设为x1，x2其中x1∈（0，1e），x2∈（1e，1），又当x≤0时，f′（x）＝（x＋1）ex.则f（x）在（－∞，－1）上单调递减，在[－1，0]上单调递增，当x>0时，f′（x）＝1x－ax2＝x

－ax2，因0<a<1e，则f（x）在（0，a）上单调递减，在[a，＋∞）上单调递增．又f（－1）＝－1e<0，f（0）＝0，f（a）＝lna＋1<0，f（1）＝a>0.据此可做出f（x）的大致图象．方程f（x）＝t解的个数就是f（x）图象与直线y＝t的交点个数．当t＝0时，由图可知有3

个交点；当t＝x1时，有2个交点；当t＝x2时，有2个交点，综上，0<a<1e时，y＝f（f（x））有7个零点，故D不正确．故选ACD.13．答案：－45解析：因为sin（7π2－α）＝sin（3π＋π2－α）＝sin（2π＋π＋π2－α）＝sin（π＋π

2－α）＝－sin（π2－α）＝－cosα＝45，所以cosα＝－45.14．答案：3π4（32，－12）解析：由题意得a·b＝2×（－6）＋1×2＝－10，又因为|a|＝22＋12＝5，|b|＝（－6）2＋22＝210，所以cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝－22，所

以a与b的夹角为3π4，a在b上的投影向量为a·b|b|·b|b|＝－10210×1210（－6，2）＝（32，－12）.15．答案：y＝2ex－2e或y＝－1e2x＋1e2.解析：设切点的横坐标为x0，因为y＝（x2－1）

ex，故y′＝（x2＋2x－1）ex，故（x20－1）e𝑥0－0＝（x0－1）（x20＋2x0－1）e𝑥0，整理得到：（x20＋x0－2）（x0－1）＝0，故x0＝－2或x0＝1，故切线的斜率为2e或－1e2，故切线方程为y＝2e（x－1）或y＝－1e2（x－1），即

y＝2ex－2e或y＝－1e2x＋1e2.16．答案：25π12解析：如图所示正四面体A­BCD，设棱长为a，高为h，O为正四面体A­BCD内切球的球心，延长AO交底面BCD于E，E是等边三角形△BCD的中心，过A作AF⊥CD交CD于F，连接BF，则OE为

正四面体A­BCD内切球的半径，因为AF＝BF＝32a，BE＝23BF＝33a，EF＝13BF＝36a，所以h＝AE＝AF2－EF2＝63a，所以OE＝BO2－BE2＝（AE－OE）2－BE2，解得r＝OE＝612a＝14h，所以正四面体A­BCD内切球的体积V＝43πr3＝πh348，由图可

知最大球内切于高h大＝63×26＝4的正四面体中，最大球半径r大＝14h＝1，故最大球体积为V大＝43π×13＝4π3；中等球内切于高h中＝h大－2r大＝2的正四面体中，中等球半径r中＝14h中＝12，故中等球的体积为V中＝43π×（12）3＝π

6；最小球内切于高h小＝h中－2r中＝1的正四面体中，最小球半径r小＝14h小＝14，故最小球的体积为V小＝43π×（14）3＝π48；所以九个球的体积和V＝V大＋4V中＋4V小＝25π12.17．解析：（1）已知2b＝c＋2acosC，由正弦定理得：2sinB＝sinC＋2sinAcosC

，即2sin（A＋C）＝2sinAcosC＋sinC，所以2sinAcosC＋2cosAsinC＝2sinAcosC＋sinC，化简得2sinCcosA＝sinC，∵C∈（0，π），sinC≠0，∴cosA＝12，又∵A∈（0，π），∴A＝π3.（2）由已知

可得b＝3，c＝4，又A＝π3.由余弦定理可知a2＝b2＋c2－2bccosA，所以a2＝32＋42－2×3×4×12，所以a＝13，因为BC→＝3BD→，所以DC＝2133，在△ABC中，由余弦定理可知cosC＝a2＋b2－c22ab＝1313，所以sinC＝23913，所以S△ACD

＝12×2133×3×23913＝23，所以△ACD的面积为23.18．解析：（1）由已知3an＋1＋2＝λ＋3an＋2，令bn＝3an＋2，可知数列{bn}是公差为λ的等差数列，b2＝3a2＋2＝3－

1＋2＝3，b5＝3a5＋2＝3－53＋2＝9，b5－b2＝3λ，即λ＝2，所以bn＝b2－（n－2）·λ＝2n－1，即3an＋2＝2n－1，解得an＝32n－1－2，所以数列{an}的通项公式为an＝32n－1－2.（2）证明：cn＝3（2n－1）（2n＋1）＝32（12n－1－

12n＋1），所以Tn＝32（1－13＋13－15＋15－17…＋12n－1－12n＋1）＝32（1－12n＋1），由于n≥1，n∈N*，0<12n＋1≤13，所以1≤Tn<32.19．解析：（1）方法一如图所示，以A为原点建立空间直角坐标系，由

题意易知A（0，0，0），B（3，1，0），E（0，2，1），A1（0，0，4），C（0，2，0），所以AA1→＝（0，0，4），AB→＝（3，1，0），AE→＝（0，2，1），设平面ABE的一个法向量为m＝（x，y，

z），则m·AB→＝0m·AE→＝0，所以3x＋y＝02y＋z＝0，令x＝1，得m＝（1，－3，23），设A1到平面ABE的距离为d，则方法二在正三棱柱ABC­A1B1C1中，D为AB的中点，所以CD⊥平面ABB1A1，因为AB＝2，所以CD＝3，因为C

E∥平面ABB1A1，所以E到平面ABB1A1的距离为3，所以𝑉𝐸­𝐴𝐵𝐴1＝13×12×2×4×3＝433，易知DE＝2，设A1到平面ABE的距离为d，则𝑉𝐴1­𝐴𝐵𝐸＝13×12×2×2×d＝2d3，因为𝑉𝐸­𝐴𝐵𝐴1＝𝑉𝐴1­𝐴�

�𝐸，所以d＝23.（2）方法一由（1）知A（0，0，0），B（3，1，0），A1（0，0，4），C（0，2，0），D（32，12，0），设E（0，2，b），所以CD→＝（32，－32，0），A1B→＝（3，1，－4），A1E→＝（0，2，b－4），设平面A1BE的一个法向量为n＝（x

，y，z），令z＝1，得n＝（（b＋4）36，4－b2，1），因为CD∥平面A1BE，所以CD→·n＝0，解得b＝2，所以E为CC1中点，n＝（3，1，1）取BC的中点H，易知AH⊥平面BCC1B1，H（32，32，0），所以平面BCC1B1的一个法向量为AH→＝（32，32，0），所以平面A1B

E与平面BCC1B1的夹角θ的余弦值为cosθ＝|cos〈n，AH→〉|＝|n·AH→||n|·|AH→|＝|3×32＋1×32＋1×0|（3）2＋12＋12×（32）2＋（32）2＋02＝315＝155.所以，平面A1BE与平面BCC1B1的夹角的余弦值为155.方法二取A

1B1中点F，连接C1F、DF，记DF∩A1B＝G，则G是DF中点，连接GE，则平面CDFC1∩平面A1BE＝GE，因为CD∥平面A1BE，CD⊂平面CDFC1，所以CD∥GE，因为G是DF中点，所以E是CC1中点．所以AA1→＝（0，0，4），A1B→

＝（3，1，－4），A1E→＝（0，2，－2）设平面A1BE的一个法向量为n＝（x，y，z），令z＝1，得n＝（3，1，1）取BC的中点H，易知AH⊥平面BCC1B1，H（32，32，0），所以平面BCC1B1的一个法向量为AH→＝（32，32

，0），所以平面A1BE与平面BCC1B1的夹角θ的余弦值为：cosθ＝|cos〈n，AH→〉|＝|n·AH→||n||AH→|＝|3×32＋1×32＋1×0|（3）2＋12＋12×（32）2＋（32）2＋02＝315＝155.所以，平面A1BE与平面BCC1

B1的夹角的余弦值为155.20．解析：（1）设（x，y）是g（x）图象上任意一点，设（x′，y′）是点（x，y）关于点（π8，32）的对称点，则x＋x′＝π4，y＋y′＝3，所以x′＝π4－x，y′

＝3－y，由已知（π4－x，3－y）在f（x）图象上，所以3－y＝2sin[π3－2（π4－x）]，y＝3－2sin（2x－π6），即g（x）＝3－2sin（2x－π6），把g（x）图象向右平移π6个单位，得h（x）＝3－2sin[2（x－π6）－π6]＝3－2si

n（2x－π2）＝3＋2cos2x，所以h（x）＝3＋2cos2x.（2）因为当x≤0时，h（x）＝3＋2cos2x，cos2x∈[－1，1]，所以h（x）∈[1，5]，当x>0时，t（x）＝loga（x＋2），当0<a<1时，

函数t（x）＝loga（x＋2）在（0，＋∞）上单调递减，t（x）在（0，＋∞）的取值范围为（－∞，loga2），所以t（x）的值域为（－∞，loga2）∪[1，5]，与已知矛盾，当a>1时，函数t（x）＝loga（x＋2）在（0，＋∞）上单调递增，t（x）在（0，＋∞）的取值范

围为（loga2，＋∞），所以t（x）的值域为（loga2，＋∞）∪[1，5]，要使t（x）的值域为[1，＋∞），则a>11≤loga2≤5，解得52≤a≤2.故所求a的取值范围为[52，2].21．解析：（1）证明：因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥

AD.又底面ABCD为正方形，所以AD⊥DC.因此AD⊥平面PDC.因为AD∥BC，AD⊄平面PBC，所以AD∥平面PBC.又AD⊂平面PAD，平面PAD∩平面PBC＝l，所以l∥AD，因此l⊥平面PDC.（2）以D为坐标原点，DA→的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D­xyz，则D

（0，0，0），C（0，1，0），B（1，1，0），P（0，0，1），DC→＝（0，1，0），PB→＝（1，1，－1）．由（1）可设Q（a，0，1），则DQ→＝（a，0，1）.设n＝（x，y，z）是平面QCD的法向量，则n·DQ

→＝0，n·DC→＝0，即ax＋z＝0，y＝0.可取n＝（－1，0，a）.所以cos〈n，PB→〉＝n·PB→|n|·|PB→|＝－1－a3·1＋a2.设PB与平面QCD所成角为θ，则sinθ＝33×|a＋1|1＋a2＝

331＋2aa2＋1.因为331＋2aa2＋1≤63，当且仅当a＝1时等号成立，所以PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值为63.22．解析：（1）定义域为（0，＋∞），f′（x）＝ax－1＝a－xx，①当a≤0时，f′（x）<0，f（x）在（0，＋∞）单调递减；②当a>0时，解

f′（x）<0得x∈（0，a）；解f′（x）<0，得x∈（a，＋∞），综上所述，当a≤0时，f（x）在（0，＋∞）上单调递减；当a>0时，f（x）在（0，a）上单调递增，f（x）在（a，＋∞）单调递减．（2）证明：由于0<x1<x2且

alnx1－x1＝0，alnx2－x2＝0，∴x1x2＝lnx1lnx2，令x1x2＝lnx1lnx2＝t，t∈（0，1），则x1＝tx2，lnx1＝tlnx2，∴lnx1＝tlntt－1，lnx2＝lntt－1，要证2lnx1＋lnx2>e，即证2tlntt

－1＋lntt－1>e，即证（2t＋1）lnt－e（t－1）<0.构造函数g（t）＝（2t＋1）lnt－e（t－1），g′（t）＝2lnt＋1t＋2－e.令h（t）＝2lnt＋1t＋2－e，h′（t）＝2t－1t2，当0<t<12时，h′（t）<

0，h（t）单调递减；当12<t<1时，h′（t）>0，h（t）单调递增．h1e＝0，h1e>h12，∴h12<0，又h（1）>0，∴∃t0∈（12，1），使得h（t0）＝0，当0<t<1e时，g′（t）>0，g（t）单调递增；当1e<t<t0时，g′（t）<

0，g（t）单调递减；当t0<t<1时，g′（t）>0，g（t）单调递增．又g（1e）＝e－2－2e<0，g（1）＝0，因此有g（t）＝（2t＋1）lnt－e（t－1）<0，即（2t＋1）lntt－1<e.∴2lnx1＋lnx2>e.第八章

解析几何考点练79直线与方程1．答案：B解析：由题意得lga＋lgc＝2lgb，得ac＝b2，故l2：acx＋cy－c＝0，即ax＋y－1＝0，两直线重合．2．答案：A解析：直线l：m(x－1)－y＋1＝0，令x－1＝0，y－1＝0，解得x＝1，y＝1，∴直

线l必过定点P(1，1).kPA＝－3－12－1＝－4，kPB＝－2－1－3－1＝34.∵直线l：y＝m(x－1)＋1与线段AB相交，∴由图知，m≥34或m≤－4，则实数m的取值范围是(－∞，－4]∪[34，＋∞).3．答案：AD解析：根据题意可

设直线n的方程为2x＋y＋λ＝0，则|λ＋1|5＝5，解得λ＝4或λ＝－6，所以直线n的方程为2x＋y＋4＝0或2x＋y－6＝0.故选AD.4．答案：ABD解析：若l1∥l2，则a3＝84≠－1112，∴a＝6，A正确；由A知，l2：6x＋8y－11＝0，直线l1的方程可化为6x＋8

y＋24＝0，故两条平行直线之间的距离为|11＋24|36＋64＝72，B正确；由l1⊥l2，则3a＋4×8＝0，∴a＝－323，C不正确；由A知a＝6时，l1∥l2，所以a≠6时，则直线l1、l2一定相交，

D正确．故选ABD.5．答案：x－4y＝0或x＋y－5＝0解析：当截距为0时，设直线方程为y＝kx，将A(4，1)代入，可得k＝14，所以直线方程为y＝14x，当截距不为0时，设直线方程为xa＋ya＝1，将A(4，1)代入，可得：a＝5，所以直线方程为x＋y－5＝0，综上

：直线方程为y＝14x或x＋y－5＝0.6．答案：(1，－4)或(277，－87)解析：设点P的坐标为(a，b)，线段AB的中点为M，∵A(4，－3)，B(2，－1)，∴线段AB的中点M的坐标为(3，－2)，且直线AB的斜率为kAB＝－1，∴线段AB的垂

直平分线方程为y＋2＝x－3，即x－y－5＝0，∵|PA|＝|PB|，∴点P(a，b)在直线x－y－5＝0上，∴a－b－5＝0①，∵点P到直线l的距离为2，∴|4a＋3b－2|42＋32＝2，即4a＋3b－2＝±10②，联立①②可解

得：a＝1b＝－4或a＝277b＝－87，故点P的坐标为(1，－4)或(277，－87).考点练80圆的方程1．答案：B解析：由方程x2＋y2－4x＋6y＋a＝0表示的图形是圆，可得16＋36－4a>0，即a<13；由a2－144≤0，得－12≤a

≤12，显然[－12，12](－∞，13)，所以“方程x2＋y2－4x＋6y＋a＝0表示的图形是圆”是“a2－144≤0”的必要不充分条件．故选B.2．答案：D解析：因为圆C的圆心M在y轴上，且圆C与x轴相切于原点O，|OM|＝4，所以圆心坐标为(0，±4)，半径r＝4，所以圆C的方程为x2

＋(y±4)2＝16.故选D.3．答案：C解析：依题意，设圆C的标准方程为：(x－a)2＋y2＝r2(a<0)，由圆又经过一点A(0，6)，故r2＝a2＋6，设圆心到直线y＝－x的距离为d，则d＝|a|2，

又直线y＝－x被圆C截得的弦长为42，则42＝2r2－d2＝2a2＋6－a22，解得a2＝4，又a<0，故a＝－2，于是圆C的方程为(x＋2)2＋y2＝10.故选C.4．答案：BCD解析：方程x2＋y2－4x＋8y＋2a＝0即(x－2)2＋(y＋4)2＝20－2a，当a＝10时，(x－2)2

＋(y＋4)2＝20－2a即(x－2)2＋(y＋4)2＝0，表示点(2，－4)，A错误；当a<10时，20－2a>0，(x－2)2＋(y＋4)2＝20－2a表示圆心为(2，－4)的圆，B正确；当a＝0时，(x－2)2＋(y＋4)2＝20表示的圆的半径为r＝20＝25，C正确；当a＝8时

，(x－2)2＋(y＋4)2＝4表示圆，半径为2，圆心(2，－4)到y轴距离等于半径，D正确．故选BCD.5．答案：(x－1)2＋y2＝9解析：设圆心为(a，0)，半径为R，则R2＝(a－4)2＝(a－1)2＋(0－3)2，解得a＝1，R2＝9，所以圆C的标准方程为(x－1)2＋y

2＝9.6．答案：x2＋y2＝4或(x＋1)2＋(y－1)2＝2或(x－1)2＋(y－1)2＝2.解析：如图，不妨设A(－2，0)，B(2，0)，C(0，2)，O(0，0)，由A，C，O三点组成的圆，圆心为(－1，1)，半径为r＝1＋1＝2

，故圆的方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝2；由B，C，O三点组成的圆，圆心为(1，1)，半径为r＝1＋1＝2，故圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2；由A，B，C三点组成的圆，圆心为(0，0)，半径为r＝2，故圆

的方程为x2＋y2＝4.考点练81直线与圆的位置关系1．答案：C解析：(x－a)2＋y2＝2圆心为(a，0)，半径为2，由题意得：|a＋1|1＋1≤2，解得a∈[－3，1].故选C.2．答案：C解析：C(1，0)，R＝2.取AB的中点M，连接CM，则CM⊥l且|CM|≤|CP|，而cos∠A

CB2＝|CM|2≤|CP|2，当且仅当CP⊥l时等号成立，故∠ACB最小时，CP⊥l，此时kCP＝1－012－1＝－2，故直线l的斜率为12，故直线l的方程为y＝12(x－12)＋1，即2x－4y＋3＝0.故选C.3．答案：BD解析：当k＝1时，直

线l的方程为：x－y－1＝0，即y＝x－1，由直线的斜截式方程可知，直线l在y轴上的截距为－1，故A错误；由kx－y－4k＋3＝0，得y－3＝k(x－4)，直线l恒过定点P(4，3)，所以O到直线l的距离的最大值就是点O与定点P的连线的距离，|OP|＝（0－4）

2＋（0－3）2＝5，故B正确；由x2＋y2－6x－8y＋21＝0，得(x－3)2＋(y－4)2＝4，所以圆C的圆心坐标为C(3，4)，半径为r＝2，因为直线l过定点P(4，3)，所以(4－3)2＋(3

－4)2＝2<4，所以P在圆C内，所以直线l与圆C相交，故C错误；当k＝1时，直线l的方程为：x－y－1＝0，即y＝x－1，由直线l恒过定点P(4，3)，又x2＋y2－6x－8y＋21＝0，得(x－3

)2＋(y－4)2＝4，所以圆C的圆心坐标为C(3，4)，半径为r＝2，kCP＝4－33－4＝－1，所以kCP·kl＝1×(－1)＝－1，所以l⊥CP，所以当k＝1时，直线l被圆C截得的弦长最短，故D正确．故选BD.4．答案：ABD解析：对A，点O到直线l：xsinα－ycos

α－1＝0的距离d＝|0－0－1|sin2α＋cos2α＝1，为定值，所以|AB|＝2r2－d2为定值，所以S△AOB＝12|AB|·d为定值，故正确；对B，由A知，cos12∠AOB＝dr＝16，所以cos∠AOB＝

2cos212∠AOB－1＝－23，故正确；对C，因为圆的半径r＝6，圆心到直线的距离d＝1，所以r－d＝6－1<2，故圆上到直线的距离为2的点只有2个，故错误；对D，设线段AB中点P(x，y)，由圆的几何性质知|OP|＝d＝1，所以P点的轨迹方程为x

2＋y2＝1，即x2＋y2＝1，故正确．故选ABD.5．答案：4解析：由已知圆C：(x＋1)2＋(y－2)2＝2，圆心(－1，2)，半径2，作出圆的图象如下：根据图象观察可得：存在4条直线与圆C相切，且在x轴、y轴上的截距相等，其中l1，l2是过坐标原点的直线

，l3，l4是斜率为－1的直线．6．答案：y＝x＋2解析：由题意，在直线l中，l过A(1，3)，设l：y－3＝k(x－1)，在圆C：x2＋(y－4)2＝4中，圆心C(0，4)，半径r＝2，∵l与圆C相交于P、Q两点，若点A为弦PQ的中点，∴直线CA垂直

平分PQ，即直线CA垂直直线l，∴kCA·k＝－1，∵kCA＝yc－yaxc－xa＝3－41－0＝－1，∴k＝1，∴l：y－3＝1·(x－1)，即l：y＝x＋2.考点练82圆与圆的位置关系1．答案：D解析：因为圆C1：(x－3)2＋(y＋4)2＝1与C2：(x－a)2＋(y

－a＋3)2＝9恰好有4条公切线，所以圆C1与C2外离，所以（a－3）2＋（a－3＋4）2>4，解得a>3或a<－1，即实数a的取值范围是(－∞，－1)∪(3，＋∞).故选D.2．答案：A解析：圆C1：x2

＋y2－kx＋2y＝0与圆C2：x2＋y2＋2ky－1＝0的公共弦所在直线为－kx＋2y－2ky＋1＝0，即k(x＋2y)－2y－1＝0，故x＋2y＝0，－2y－1＝0，解得x＝1y＝－12，故直线过定点(1，－12).故选A.3．答案：B解析

：设点P(x，y)，则x2＋y2＝4，且AP→＝(x＋3，y)，BP→＝(x，y－4)，由AP⊥BP，得AP→·BP→＝x(x＋3)＋y(y－4)＝x2＋y2＋3x－4y＝0，即(x＋32)2＋(y－2)2＝254，故点P的轨迹为一个圆心为(－32，2)、半径为52的圆，则两圆的圆

心距为52，半径和为52＋2＝92，半径差为52－2＝12，有12<52<92，所以两圆相交，满足这样的点P有2个．故选B.4．答案：BC解析：圆C：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0，化为(x＋1)2＋(y

－2)2＝4，则圆C：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的圆心C(－1，2)，半径r＝2，对于A，圆心为(－2，－2)，半径为3，圆心距为（－1＋2）2＋（2＋2）2＝17，因为1<17<5，所以两圆相交，故A不符合题意；对于B，圆心为(2，－2)，半径为3，圆心距为（

－1－2）2＋（2＋2）2＝5＝2＋3，所以两圆外切，故B符合题意；对于C，圆心为(2，2)，半径为5，圆心距为（－1－2）2＋（2－2）2＝3＝5－2，所以两圆内切，故C符合题意；对于D，圆心为(2，－2)，半径为2，圆心距为（－1－2）2＋（2＋2）2＝5>2＋

2，所以两圆外离，故D不符合题意．故选BC.5．答案：BD解析：由题设，将两圆方程相减，可得直线AB：x－y＝0，联立圆O1并整理可得x(x－1)＝0，所以x＝0或x＝1，可令A(0，0)，B(1，1)，故|AB|＝2，A错误；又圆O1：(x－1)2＋y2＝1，圆O2：

(x＋1)2＋(y－2)2＝5，则O1(1，0)、O2(－1，2)且半径分别为r1＝1，r2＝5，所以|O1O2|＝22，要使|PQ|最大，即为|O1O2|＋r1＋r2＝22＋5＋1，B正确；由点O2到直线AB

：x－y＝0的距离为d2＝322，而r2－d2＝5－322＝20－182<22，所以圆O2上到直线AB距离等于22的点有2个，C错误；由O1到直线AB：x－y＝0的距离为d1＝22，则P到直线AB距离的最大值为r1＋d1＝1＋22，D正确．故选BD.6．答案：(x－2)2＋y2＝1(答案

不唯一)解析：由题意，圆O：x2＋y2＝1，圆O1：(x－2)2＋(y－2)2＝1，可得O(0，0)，O1(2，2)，则OO1的中点坐标为(1，1)，根据对称性知，与圆O和圆O1都相切的圆O′的圆心O′在直线x＋y－2＝0

上，设O′(2，0)，则圆O′：(x－2)2＋y2＝r2，例如当r＝1，圆O′：(x－2)2＋y2＝1，此时圆O′与圆O和圆O1都相切，满足题意．考点练83有关对称问题1．答案：B解析：设P(x，y)为所求直线上任一点，则P(x，

y)关于y轴对称的点为(－x，y)，由题意可得点(－x，y)在直线3x－y＋1＝0上，所以－3x－y＋1＝0，即3x＋y－1＝0，所以与直线3x－y＋1＝0关于y轴对称的直线的方程为3x＋y－1＝0.故选B.2．答案：D解析：设A关于直线l的对称点为A′(m，n)，由反射的性质

，可知点P，A′，B三点共线．由对称轴为l，得nm＋1＝－12且2·m－12－n2＋3＝0，解得m＝－95，n＝25，即A′(－95，25)，所以反射光线PB所在的直线方程为x＋7y－1＝0，故反射光线PB所在的直线在y轴上的截距为17.故选D.3．答案：C解析：如图

，设M(1，0)关于河岸线所在直线l：x＋y－5＝0的对称点N为(a，b)，根据题意，设军营所在区域为以圆心为C，半径r＝1的圆上和圆内所有点，|NC|－1为最短距离，先求出N的坐标，MN的中点为(a＋12，b2)，直线MN的斜率为1，则ba－1

·（－1）＝－1a＋12＋b2－5＝0，解得a＝5b＝4，∴N(5，4)，又C(－1，1)，所以|NC|－1＝62＋32－1＝35－1.故选C.4．答案：ABC解析：圆x2＋y2－4x－1＝0即(x

－2)2＋y2＝5，所以圆心为(2，0)，A选项，(2，0)为圆心，所以圆关于点(2，0)对称，A正确．直线y＝0，直线x＋3y－2＝0过圆心(2，0)，所以圆关于直线y＝0、直线x＋3y－2＝0对称，BC选项正确．直线x－y＋2＝0不过圆心(2，0)，所以

D选项错误．故选ABC.5．答案：x2＋y2＝2解析：因为x2＋y2－4x－2y＋3＝0⇒(x－2)2＋(y－1)2＝2，设圆C的圆心为C(a，b)，又因为圆C与圆D关于直线4x＋2y－5＝0对称，即圆心D(2，1)与C(a，b)关于直线4x＋2y－5＝0对称，所以b－1a

－2·（－2）＝－14·a＋22＋2·b＋12－5＝0，解得a＝0b＝0，所以，圆C的方程为x2＋y2＝2.6．答案：y＝－13x＋13解析：设N(x0，y0)，则y0－3x0＝11－x02＝x0＋32，解得

x0＝－2y0＝1，即N(－2，1)，则|MN|＝（－2）2＋（1－3）2＝22，因为S△PMN＝4，故点P到直线MN的距离为2×422＝22，又kMN＝3－10－（－2）＝1，直线MN为y＝x＋3，设P(a，1－a)，则d＝|a＋3－（1－a）|

12＋（－1）2＝22，解得a＝1或a＝－3，所以P1(1，0)或P2(－3，4)，因为直线l2的倾斜角大于l1的倾斜角，所以P(1，0)，所以直线l2的斜率kPN＝－13，所以直线l2为y＝－13(x－1)，即直线l2的斜截式方程为y＝－13x＋13

.考点练84与圆有关的最值问题1．答案：A解析：根据题意，圆C：(x＋1)2＋(y＋2)2＝4的圆心C(－1，－2)，半径r＝2，过直线l：x＋2y－1＝0上任意一点P向圆引切线PA，切点为A，则|PA|＝|PC|2－r2＝|PC|2－4，

当|PC|取得最小值时，|PA|取得最小值，又由|PC|的最小值即点C到直线l的距离d＝|－1＋2×（－2）－1|12＋22＝65，|PA|取得最小值为455.故选A.2．答案：B解析：由题意，AC为直径，所以|PA→＋P

B→＋PC→|＝|2PO→＋PB→|≤4＋|PB→|≤4＋3＝7，当且仅当点B为(－1，0)时，|PA→＋PB→＋PC→|取得最大值7.故选B.3．答案：D解析：由2y－y2＝－x⇒－x≥0x2＋y2－2y＝0⇒x2＋(y－1)2＝1(x≤0)，如图所示，显然当P运动到坐标原点时，|P

Q|有最小值，最小值为原点到直线x－y－1＝0的距离，即|PQ|min＝|－1|12＋（－1）2＝22.故选D.4．答案：D解析：因为M(－2，3)关于y轴的对称点为M′(2，3)，则|PM|＝|PM′|，所以|PN|－|PM|＝|PN|－|PM′|≤|NM′|，当且仅当P、M′、N三点共线(

且M′在P与N之间)时取等号，由圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝9的圆心为C(3，4)，半径r＝3，因为|M′C|＝（3－2）2＋（4－3）2＝2，所以|NM′|＝2＋3，即|PN|－|PM|的最大值为3＋2.故选D.5．答案：ABC解析

：根据题意，方程x2＋y2－4x＋1＝0，即(x－2)2＋y2＝3，表示圆心为(2，0)，半径为3的圆，由此分析选项：对于A，设y－x＝z，即x－y＋z＝0，直线x－y＋z＝0与圆(x－2)2＋y2＝3有公共点，所以|2＋z|1＋1≤3，解得－6－2≤z≤6－2，则z＝y－x的

最大值为6－2，故A正确；对于B，设t＝x2＋y2，其几何意义为圆(x－2)2＋y2＝3上的点到原点的距离，所以t的最大值为2＋3，故x2＋y2的最大值为t2＝(2＋3)2＝7＋43，故B正确；对于C，设k＝yx，则kx－y＝0，直线kx－y＝0与圆(x－2)2＋y2＝3

有公共点，则|2k|1＋k2≤3，解得－3≤k≤3，即yx的最大值为3，故C正确；对于D，设m＝x＋y，则x＋y－m＝0，直线x＋y－m＝0与圆(x－2)2＋y2＝3有公共点，则有|2－m|1＋1≤3，解得：－6＋2≤m≤6＋2，即x＋y的最大值为6＋2，故D错误．故选ABC.6．答案：16解析

：设点N(－3，4)，因此(a＋3)2＋(b－4)2表示|MN|2，由OA→·OB→＝－2⇒2×2·cos∠AOB＝－2⇒cos∠AOB＝－12，因为∠AOB∈[0，π]，所以∠AOB＝2π3，因为M(a，b)是弦AB的中点，所以AB⊥OM，所以|OM|＝2×cos(12×2π3)＝1，当点M(a

，b)在线段ON上时，|MN|最小，最小值为|ON|－|OM|＝（－3）2＋42－1＝4，所以(a＋3)2＋(b－4)2的最小值为42＝16.考点过关检测14直线与圆1．答案：C解析：由题意可得过点(－1，2)和点

(0，3)的直线方程为y－32－3＝x－0－1－0，即x－y＋3＝0，令y＝0，则x＝－3，即过点(－1，2)和点(0，3)的直线在x轴上的截距为－3.故选C.2．答案：A解析：由题可知圆心为(a，0

)，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即2a＋0－1＝0，解得a＝12.故选A.3．答案：C解析：已知直线l与x轴相交于点(1，0)，且直线l向上的方向与x轴负半轴的夹角为120°，所以直线l向上的方

向与x轴正半轴的夹角为60°，则斜率为k＝tan60°＝3.故选C.4．答案：D解析：根据题意可设圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝r2(r>0)，因为圆C过点(0，0)，所以(0－2)2＋(0＋3)2＝

r2，解得r2＝13，所以圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝13.故选D.5．答案：D解析：因为两直线垂直，所以(3a＋2)×(5a－2)＋(1－4a)(a＋4)＝0，解得a＝0或1.故选D.6．答案：D解析：直线y＝kx－k＋2＝k(x－1)＋2，所以直线恒过A(1，2)

，因为(2－1)2＋(1－2)2<4，故该点在圆内，设圆心为B(2，1)，由圆的几何性质知，当直线y＝kx－k＋2与直线AB垂直时，弦PQ最短，此时，直线AB的斜率为kAB＝2－11－2＝－1，∴kPQ＝1，∴弦PQ最短时所在的直线方程

是y－2＝x－1，即x－y＋1＝0.故选D.7．答案：D解析：当直线l的斜率不存在时，由直线l与圆x2＋(y－3)2＝1相切可得直线l的方程为x＝±1，此时直线l与圆x2＋y2＝12相离，故不满足；当直线

l的斜率存在时，设其方程为y＝kx＋m，即kx－y＋m＝0，因为直线l与圆x2＋(y－3)2＝1相切，所以|m－3|1＋k2＝1，①因为直线l与圆x2＋y2＝12相交于M，N两点，OM→·ON→＝0，所以OM⊥ON，所以圆心O到直线l的距离为12，即

|m|1＋k2＝12，②由①②可解得m＝－3或m＝1，k＝±35或k＝±3.故选D.8．答案：C解析：由题意可得|AB|为圆C1的直径，要使圆C2上存在点P使得∠APB＝90°，只需两个圆有交点即可得，由题意圆心距|C1C2|＝32＋42＝5，而

圆C1的半径r1＝2，r2＝a，所以|r1－r2|≤5≤r1＋r2，即|2－a|≤5≤2＋a，可得3≤a≤7，可得9≤a≤49.故选C.9．答案：ACD解析：由x2＋y2－6x＝0，得(x－3)2＋y2＝9，则圆心C(3，0)，半径r1＝3，所以A正确

，对于B，因为点(1，22)到圆心的距离为（3－1）2＋（0－22）2＝23>3，所以点(1，22)在圆C的外部，所以B错误，对于C，因为圆心C(3，0)到直线l：x＋3y＋3＝0的距离为d＝|3＋3|12＋（3）2＝3＝r1，所以直线l：x＋3

y＋3＝0与圆C相切，所以C正确，对于D，圆C′：(x＋1)2＋y2＝4的圆心为C′(－1，0)，半径r2＝2，因为|CC′|＝（3＋1）2＝4，r1－r2<4<r1＋r2，所以圆C′：(x＋1)2＋y2＝4与圆C相交，所以D正确．故选AC

D.10．答案：ABD解析：对于A，若点A(0，0)和点B(－1，1)关于直线x－y＋1＝0对称，则A、B的中点(－12，12)在直线x－y＋1＝0上，且AB与直线x－y＋1＝0垂直，所以A正确；对于B，设与直线l平行且与直线l之间的距离为1的直线的方程为x－y＋c＝0，则

|c－2|2＝1，解得c＝0或22，所以圆x2＋y2＝4上的点到直线l：x－y＋2＝0的距离等于1的点的个数即为直线x－y＋22＝0、x－y＝0与圆的公共点的个数之和，圆的圆心为O(0，0)，半径为2，圆心到直线x－y＝0的距离为

d1＝0<2，圆心到直线x－y＋22＝0的距离为d2＝222＝2，所以直线x－y＝0与圆x2＋y2＝4相交，直线x－y＋22＝0与圆x2＋y2＝4相切，故圆x2＋y2＝4上有且仅有3个点到直线l：x－y＋2＝0的距离都等于1，B正确；对于C，直

线x－2y＋3＝0关于原点对称的直线为m，在直线m上任取一点P(x，y)，则点P关于原点的对称点P′(－x，－y)在直线x－2y＋3＝0上，则有－x＋2y＋3＝0，即x－2y－3＝0，因此直线x－2y＋3＝0关于原点对称的直线方程为x－2y－3＝0，C不

正确；对于D，若所求直线过原点，可设所求直线的方程为y＝kx，则k＝1，此时所求直线的方程为x－y＝0，若所求直线不过原点，可设所求直线的方程为x－y＝a(a≠0)，则a＝1－1＝0，此时不满足题意．综上所述，经过点(1，1)且在x轴和y轴上的截距互为相反数的直线方程为y＝x，D

正确．故选ABD.11．答案：ABD解析：圆心C(0，0)到直线l的距离d＝r2a2＋b2，若点A(a，b)在圆C上，则a2＋b2＝r2，所以d＝r2a2＋b2＝|r|，则直线l与圆C相切，故A正确；若点A(a，b)在圆C内，

则a2＋b2<r2，所以d＝r2a2＋b2>|r|，则直线l与圆C相离，故B正确；若点A(a，b)在圆C外，则a2＋b2>r2，所以d＝r2a2＋b2<|r|，则直线l与圆C相交，故C错误；若点A(a，b)在直线l上，则a2＋b2－r2＝0即a2＋b2＝r2

，所以d＝r2a2＋b2＝|r|，直线l与圆C相切，故D正确．故选ABD.12．答案：ACD解析：圆(x－5)2＋(y－5)2＝16的圆心为M(5，5)，半径为4，直线AB的方程为x4＋y2＝1，即x＋2y－4＝0，圆心M到直线A

B的距离为|5＋2×5－4|12＋22＝115＝1155>4，所以点P到直线AB的距离的最小值为1155－4<2，最大值为1155＋4<10，A选项正确，B选项错误；如图所示：当∠PBA最大或最小时，PB与圆M相切，连接M

P、BM，可知PM⊥PB，|BM|＝（0－5）2＋（2－5）2＝34，|MP|＝4，由勾股定理可得|BP|＝|BM|2－|MP|2＝32，CD选项正确．故选ACD.13．答案：(x－1)2＋(y＋1)2＝5解析：∵点M在直线2x＋y

－1＝0上，∴设点M为(a，1－2a)，又因为点(3，0)和(0，1)均在⊙M上，∴点M到两点的距离相等且为半径R，∴（a－3）2＋（1－2a）2＝a2＋（－2a）2＝R，a2－6a＋9＋4a2－4a＋1＝5a2，解得a＝1，∴M(1，－1)，R＝5，⊙M的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝

5.14．答案：(x－2)2＋(y－3)2＝13或(x－2)2＋(y－1)2＝5或(x－43)2＋(y－73)2＝659或(x－85)2＋(y－1)2＝16925解析：依题意设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，若过(0，0)，(4，0)，(－1，1)，则F＝016＋4D＋F＝

01＋1－D＋E＋F＝0，解得F＝0D＝－4E＝－6，所以圆的方程为x2＋y2－4x－6y＝0，即(x－2)2＋(y－3)2＝13；若过(0，0)，(4，0)，(4，2)，则F＝016＋4D＋F＝016＋4＋4D＋2

E＋F＝0，解得F＝0D＝－4E＝－2，所以圆的方程为x2＋y2－4x－2y＝0，即(x－2)2＋(y－1)2＝5；若过(0，0)，(4，2)，(－1，1)，则F＝01＋1－D＋E＋F＝016＋4＋4D＋2E＋F＝0，解得F＝0D＝－83E＝－143，所以

圆的方程为x2＋y2－83x－143y＝0，即(x－43)2＋(y－73)2＝659.若过(－1，1)，(4，0)，(4，2)，则1＋1－D＋E＋F＝016＋4D＋F＝016＋4＋4D＋2E＋F＝0，解得F＝－

165D＝－165E＝－2，所以圆的方程为x2＋y2－165x－2y－165＝0，即(x－85)2＋(y－1)2＝16925.15．答案：y＝－34x＋54或y＝724x－2524或x＝－1解析：圆x2＋y2＝1的圆心为O(0，0)，半径为1，圆(x－3)2＋(y－4)2＝16的圆心O1为(3

，4)，半径为4，两圆圆心距为32＋42＝5，等于两圆半径之和，故两圆外切，如图，当切线为l时，因为𝑘𝑂𝑂1＝43，所以kl＝－34，设方程为y＝－34x＋t(t>0)，O到l的距离d＝|t|1＋916＝1，解得t＝5

4，所以l的方程为y＝－34x＋54，当切线为m时，设直线方程为kx＋y＋p＝0，其中p>0，k<0，由题意|p|1＋k2＝1|3k＋4＋p|1＋k2＝4，解得k＝－724p＝2524，y＝724x－2524，当切线为n时，易知切线方程为x＝－1.16．答案：[13，32]

解析：A(－2，3)关于y＝a对称的点的坐标为A′(－2，2a－3)，B(0，a)在直线y＝a上，所以A′B所在直线即为直线l，所以直线l为y＝a－3－2x＋a，即(a－3)x＋2y－2a＝0；圆C：(x＋3)2＋(y＋2)2＝1，圆心C(－3，－2)，半径r＝1，依题意圆心到直线

l的距离d＝|－3（a－3）－4－2a|（a－3）2＋22≤1，即(5－5a)2≤(a－3)2＋22，解得13≤a≤32，即a∈[13，32].考点练85椭圆的定义及标准方程1．答案：D解析：因为方程x2a2＋y2a＋6＝1表示焦

点在y轴上的椭圆，所以0<a2<a＋6，即(a＋2)(a－3)<0且a≠0，解得－2<a<3且a≠0.故选D.2．答案：B解析：因为离心率e＝ca＝1－b2a2＝13，解得b2a2＝89，b2＝89a2，A1，A2分别为C的左、右顶点，

则A1(－a，0)，A2(a，0)，B为上顶点，所以B(0，b).所以BA1→＝(－a，－b)，BA2→＝(a，－b)，因为BA1→·BA2→＝－1，所以－a2＋b2＝－1，将b2＝89a2代入，解得a2＝9，b2＝8，故椭圆的方程为x29＋y28＝1.故选B.3．答案

：ACD解析：因为△F1MF2是等边三角形，则点M为椭圆短轴上的顶点，所以b2a2＝34，椭圆C的焦点可以在x轴或y轴上，x28＋y26＝1，x23＋y24＝1，x212＋y29＝1，满足条件．故选ACD.4．答案：AB解析：设椭圆的右焦点为F1，由椭圆的标准方程可知：a＝10，b＝8，可得c＝

a2－b2＝100－64＝6，所以F(－6，0)，F1(6，0)，由椭圆的定义可知：|PF1|＋|PF|＝2a＝20，|PQ|＋|PF|＝|PQ|＋20－|PF1|≤20＋|QF1|＝20＋（3－6）2＋42＝25，当且仅当Q、F

1、P三点依次共线，|PQ|＋|PF|＝|PQ|＋20－|PF1|＝20－(|PF1|－|PQ|)≥20－|QF1|＝20－（3－6）2＋42＝15，当且仅当P、Q、F1三点依次共线．故选AB.5．答案：x26＋y23＝1解析：设|PF1|＝m，

|PF2|＝n，由椭圆的定义可得m＋n＝2a，由余弦定理可得4c2＝|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos60°＝m2＋n2－mn＝(m＋n)2－3mn＝4a2－3mn

，所以mn＝4（a2－c2）3＝4b23，则𝑆△𝐹1𝑃𝐹2＝12mnsin60°＝34×4b23＝33b2＝3，所以b2＝3，又因为e＝ca＝c2a2＝a2－b2a2＝1－3a2＝22，可得a2＝6.因此椭圆C的方程为x2

6＋y23＝1.6．答案：13解析：由题意知e＝ca＝12，所以a＝2c，b＝3c，所以△AF1F2是等边三角形，所以DE垂直平分AF2，所以|AD|＝|DF2|，|AE|＝|EF2|，所以△ADE的周长为|DE|＋|AD|＋|AE|＝|DE|＋|DF2|＋|EF2|.

由椭圆的定义，可知|DE|＋|DF2|＋|EF2|＝4a＝8c.因为直线DE的斜率k＝tan30°＝33，所以直线DE的方程为y＝33(x＋c)，即x＝3y－c.由椭圆方程x24c2＋y23c2＝1，得3x2＋4y2＝12c2.将x＝3y－c代入并整理，得13y2－63

cy－9c2＝0.设D(x1，y1)，E(x2，y2)，则y1＋y2＝63c13，y1y2＝－9c213，所以|DE|＝1＋1k2（y1＋y2）2－4y1y2＝1＋3·108c2169＋36c213＝12133c2＋13c2＝4813c＝6，解得c＝138.所以△ADE的周长是8c＝

13.考点练86椭圆的性质及其应用1．答案：B解析：因为椭圆x2k＋8＋y29＝1(k>－8)的离心率为e＝12，当k＋8>9时，椭圆焦点在x轴上，可得a＝k＋8，b＝3，∴c＝a2－b2＝k－1，∴e＝k－1k＋8＝12，解得k＝4，当0<k＋8<9时，椭圆焦点

在y轴上，可得a＝3，b＝k＋8，∴c＝a2－b2＝1－k，∴e＝ca＝1－k3＝12，解得k＝－54.∴k＝4或k＝－54.故选B.2．答案：B解析：当F1为直角顶点时，根据椭圆的对称性，可得满足的点P有2个；当F2为直角顶点

时，根据椭圆的对称性，可得满足的点P有2个；设椭圆C的上顶点为B，由椭圆C：x225＋y216＝1，可得a2＝25，b2＝16，可得a＝5，b＝4，c＝a2－b2＝3，则|BF1|＝|BF2|＝5，|F1F2|＝2c＝6，所以cos∠F1BF2＝52＋52－622

×5×5>0，故∠F1BF2∈(0，π2)，所以不存在以P为直角顶点的△PF1F2，故满足本题条件的点P共有4个．故选B.3．答案：BC解析：由椭圆方程知：椭圆焦点在y轴上，a＝2，b＝3，∴c＝a2－b2＝1；对于A，焦点坐标为(0，－1)，(0，1)，A错误；对于B，长轴长2a＝4，B正确

；对于C，离心率e＝ca＝12，C正确；对于D，由x23＋y24＝12x－y－3＝0得16x2－36x＋15＝0，则Δ＝362－4×16×15＝336>0，∴直线2x－y－3＝0与C交于两点，D错误．故选BC.4．

答案：BC解析：∵F1，F2是半椭圆C2：x2c2＋y2d2＝1(x<0)的焦点，∴F1，F2关于原点对称，且|F0F1|＝|F0F2|，又∵∠F1F0F2＝60°，∴△F1F0F2为正三角形，|OF0|＝3|OF1|，∵F1，F2在

x2＋y2＝4上，∴|OF1|＝2，∴|OF0|＝3|OF1|＝23.又∵半椭圆C1：x2a2＋y2b2＝1(x≥0)的短轴与半椭圆C2：x2c2＋y2d2＝1(x<0)的长轴相等，即d＝b，对于半椭圆C1：x2a2＋y2b2＝1(x

≥0)，a2－b2＝|OF0|2＝(23)2＝12，对于半椭圆C2：x2c2＋y2d2＝1(x<0)，d2－c2＝|OF1|2＝4，∴d＝ba2－b2＝12d2－c2＝4，∴d＝ba2－b2＝12b2－c2＝4，∴a2－c

2＝16，∴b2＝d2＝16，∴c2＝12，a2＝28，∴半椭圆C1的方程为x228＋y216＝1(x≥0)，半椭圆C2的方程为x212＋y216＝1(x<0).对于A选项：椭圆C1的离心率为e＝28－16a＝2327＝217，故A选项不正确；对于B选项：椭圆C1上的点到F0的距离最小值为

27－23，故B选项正确；对于C选项：椭圆C2的焦距为|F1F2|＝4，故C选项正确；对于D选项：椭圆C1的长短轴之比为2a2b＝274＝72，椭圆C2的长短轴之比为2d2c＝423＝233，∵(233)2＝43≈1.3·<(72)2＝74＝1.75，∴233<72，∴椭圆C2的长短轴之比小于椭

圆C1的长短轴之比，故D选项错误．故选BC.5．答案：2或2解析：当椭圆的焦点在x轴上时，则a＝k，b＝3，此时c＝a2－b2＝k2－3＝1，∵k>0，解得k＝2；当椭圆的焦点在y轴上时，则a＝3，b＝k，此时c＝a2－b2＝3

－k2＝1，∵k>0，解得k＝2.综上所述，k＝2或2.6．答案：(74，1)解析：设点P(x，y)，由|PB|＝2|PA|得（x＋6）2＋y2＝2（x＋32）2＋y2，化简得x2＋y2＝9，依题意得圆x2＋y2＝9与椭圆C：x216＋y2b2＝1(0<b<4)有四个交点

，所以b<3，即b2<9，即a2－c2<9，所以7<c<4，所以ca＝c4∈(74，1).考点练87双曲线的定义及标准方程1．答案：D解析：如图，设动圆C的半径为R，则|CC1|＝3＋R，|CC2|＝R－3，则|CC1|－|CC2|＝6<8＝|C1C2|，所以动圆圆

心C的轨迹是以C1，C2为焦点，以6为实轴长的双曲线的右支．因为2a＝6，2c＝8，所以a＝3，c＝4，b2＝c2－a2＝7.故动圆圆心C的轨迹方程为x29－y27＝1(x≥3).故选D.2．答案：C

解析：由已知焦距为4，所以c＝2，a2＋b2＝c2＝4，又双曲线方程的渐近线方程为y＝±bax，而直线的斜率k＝13，且直线与一条渐近线垂直，所以－ba×13＝－1，即b＝3a，由a2＋b2＝4b＝3a解得a＝1b＝3，所以双曲线方程为x2－y23＝1.故选C.3．答

案：AD解析：∵在椭圆x29＋y24＝1中，c＝9－4＝5，∴焦距|F1F2|＝2c＝25，∵双曲线C与椭圆x29＋y24＝1有相同的焦距，一条渐近线方程为x－2y＝0，∴设双曲线的方程为x24－y2＝λ(λ≠

0)，即x24λ－y2λ＝1，当λ>0时，c＝4λ＋λ＝5，解得λ＝1，∴双曲线的方程为x24－y2＝1；当λ＜0时，c＝－λ－4λ＝5，解得λ＝－1，∴双曲线的方程为y2－x24＝1；综上，双曲线的方程可能为x24－

y2＝1或y2－x24＝1.故选AD.4．答案：BC解析：设点P(xP，yP).因为双曲线C：x216－y29＝1，所以c＝16＋9＝5.又𝑆△P𝐹1𝐹2＝12×2c|yP|＝12×10×|yP|＝20，所以|yP|＝4，故A错误．将|yP|＝4代入x216－y29＝1得

x2P16－429＝1，得|xP|＝203.由双曲线的对称性，不妨取点P的坐标为(203，4)，得|PF2|＝（203－5）2＋42＝133.由双曲线的定义得|PF1|＝|PF2|＋2a＝133＋8＝373，所以|PF1|＋|PF2|＝373＋1

33＝503，故B正确．在△PF1F2中，|PF1|＝373＞2c＝10＞|PF2|＝133，且cos∠PF2F1＝|PF2|2＋|F1F2|2－|PF1|22|PF2|·|F1F2|＝－513＜0，则∠PF2F1为钝角，

所以△PF1F2为钝角三角形，故C正确．由余弦定理得cos∠F1PF2＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|22|PF1|·|PF2|＝319481≠12，所以∠F1PF2≠π3，故D错误．故选BC.5．答案：x285－y24

＝1解析：设双曲线的右焦点为(c，0)，一条渐近线为bx－ay＝0.根据点到直线的距离公式|bc|a2＋b2＝b＝2，故可知：b＝2（2）2a2－12b2＝1.∴a2＝85，b＝2，所以双曲线的标准方

程为x285－y24＝1.6．答案：x22－y2＝λ(λ≠0)(λ可以取具体的数值)解析：若双曲线C的焦点在x轴上，则ba＝22，此时a2＝2b2，则双曲线的方程为x22b2－y2b2＝1，此时双曲线C的方程可表示为x22－y2＝λ(λ＞0)；若双曲线C的焦

点在y轴上，则ab＝22，此时b2＝2a2，则双曲线的方程为y2a2－x22a2＝1，此时双曲线C的方程可表示为x22－y2＝λ(λ＜0).综上所述，双曲线C的方程可表示为x22－y2＝λ(λ≠0).考点练88双曲线的性质及其应用1．答案：B解析：因为AB⊥x轴，且AB经过双曲线C的焦点F

，所以弦AB是双曲线的通径，故AB＝2b2a，又弦AB的长恰好与双曲线的虚半轴长相等，所以b＝2b2a，所以ba＝12，所以双曲线的渐近线方程为y＝±12x.故选B.2．答案：D解析：由题意得渐近线方程的斜率为±3，又渐近线方

程为y＝±bax，所以ba＝3，所以C的离心率为e＝1＋b2a2＝2.故选D.3．答案：BCD解析：由曲线C：x22－y2＝λ(λ＜0)，整理可得y2－λ－x2－2λ＝1(λ＜0)，所以曲线表示焦点在y轴上的双曲线

，且a2＝－λ(λ<0)，不是定值，所以A不正确，B正确；离心率e＝ca＝1＋b2a2＝1＋2＝3为定值，所以C正确；渐近线的方程为x22＝y2，即y＝±22x，所以D正确．故选BCD.4．答案：BD解析：因为双曲线C：x2t－7－y2t＝1的一条渐近线方

程为4x－3y＝0，所以tt－7＝169，解得t＝16，故A错误；双曲线方程为x29－y216＝1，故a＝3，b＝4，c＝9＋16＝5，所以该双曲线的离心率e＝53，故B正确；点(5，0)为双曲线的右焦点，当x＝5时，y＝±163，当A，B两点都在双曲线的右支上时，|A

B|≥323，因为|AB|＝323，所以这种情况的直线AB只有一条，且AB与x轴垂直，当A，B在双曲线的左右两支上时，可得|AB|≥2a＝6，而323＞6，可得这样的直线有两条，综上所述，满足|AB|＝323的直线l有3条，故C错误；

双曲线的渐近线方程为y＝±43x，要使A和B分别在双曲线左、右两支上，则直线l的斜率的取值范围是(－43，43)，故D正确．故选BD.5．答案：5(答案不唯一)解析：双曲线C的一条渐近线与C没有公共点，所以可令ba＝

2，则e＝1＋（ba）2＝5.6．答案：(1，233)解析：由题意，双曲线的渐近线方程为y＝±bax，要使该双曲线右支上存在两点A，B，使△ABM为正三角形，则需过右顶点M，且斜率为33的直线与双曲线有两个不同的交点，也只需其斜率大于渐近线y＝bax的斜率．∴33＞ba，即b＜33a，

即b2＜13a2，∴c2＜a2＋13a2，即c＜233a，又0＜e＜1，所以1＜e＜233.考点练89抛物线的定义及标准方程1．答案：A解析：由题意，抛物线的准线方程为y＝－p2，由抛物线的定义可知|AF|＝1＋p2＝2，∴p＝2.故选A.2．答案：B解析：如图，设A(x1，y1)，以A为圆心的

圆与y轴相切，则|AB|＝|AC|＝x1，由|AC|＝3|CF|可知|CF|＝13x1，由抛物线的定义可知|AF|＝x1＋p2＝x1＋13x1，所以x1＝32p.过A作AD⊥x轴于点D，因为|FO|＝

p2，所以|FD|＝p，又|AF|＝2p，所以∠DAF＝30°，所以∠BAF＝60°，则△ABC为等边三角形，所以32p＝1，则p＝23，所以E的准线方程为x＝－p2＝－13.故选B.3．答案：AD解析：由题意得p

＝4，则焦点F(2，0)，准线l的方程是x＝－p2＝－2，故A正确；|ME|－|MF|≤|EF|＝（3－2）2＋（1－0）2＝2，当点M在线段EF的延长线上时等号成立，∴|ME|－|MF|的最大值为2，故B错误；

如图所示，过点M，E分别作准线l的垂线，垂足分别为A，B，则|ME|＋|MF|＝|ME|＋|MA|≥|EB|＝5，当点M在线段EB上时等号成立，∴|ME|＋|MF|的最小值为5，故C不正确；设点M(x0，y0)，线段MF的中点为D，则xD＝x0＋2

2＝|MF|2，∴以线段MF为直径的圆与y轴相切，D正确．故选AD.4．答案：AD解析：点M(4，4)在抛物线y2＝2px(p＞0)上，∴42＝2p×4⇒p＝2，∴y2＝4x，焦点为(1，0)，准线为x＝－1，A对；因为M(4，4)，

故kMF＝4－04－1＝43，故直线MF为y＝43(x－1)，联立y2＝4xy＝43（x－1）⇒169(x－1)2＝4x⇒x＝14或x＝4，∴N(14，－1)，x＝4舍∴|MF|＝4＋p2＝5，|NF|＝14＋p2＝

54，∴|MN|＝5＋54＝254，B错；|MF|＋|NF|＝|MN|＝254＝|MF|·|NF|，D对；△OMN的面积为12|OF|·(yM－yN)＝12×1×5＝52.故C错．故选AD.5．答案：9解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，由抛物线方程为y＝14x2，所以焦

点F(0，1)，由△ABC的重心为F(0，1)知y1＋y2＋y3＝3，由抛物线定义可得|FA|＋|FB|＋|FC|＝y1＋1＋y2＋1＋y3＋1＝6，由重心的性质可知，中线的长度和为32(|FA|＋|FB|＋|FC|)＝9.6．答案：y2＝8x解析：由题可知，抛物线的准线l的方程为x

＝－p2，则焦点F(p2，0)到准线的距离为p，已知|OP|＝|PF|，所以P在线段OF的中垂线上，如图，设P(xP，yP)，Q(－p2，yQ)，则xP＝14p，|yP|＝22p，可知tan∠OFP＝|yP|14p＝|yQ|p，即22p14p＝|yQ|p，∴|y

Q|＝22p，∴S△OFQ＝12·|OF|·|yQ|＝12·p2·22p＝82，解得p＝4，所以抛物线C的方程是y2＝8x.考点练90抛物线焦点弦的二级结论的应用1．答案：B解析：根据抛物线的定义可知，|AF|＝|AK|，又

∠AFx＝π3，AK⊥l，故△AKF是等边三角形，又△AFK的面积是43，故可得|AF|＝|AK|＝4，故2|OF|＝p＝2.故选B.2．答案：B解析：由抛物线的方程可得F(1，0)，准线方程为x＝－1，设P(x1，y1)，Q(x2，y2

)，则由PF→＝3FQ→可得(1－x1，－y1)＝3(x2－1，y2)，所以1－x1＝3(x2－1)－y1＝3y2y21＝4x1y22＝4x2，解得x1＝3，x2＝13，则M到y轴的距离为12(x1＋x2)＝53.故选B.3．答案：BCD解析：抛物

线y＝2x2，即x2＝12y，对于A，由抛物线方程知其焦点在y轴上，焦点为F(0，18)，故A错误；对于B，依题意，直线MN斜率存在，设其方程为y＝kx＋18，由x2＝12yy＝kx＋18，消去y整理得x2－12kx－116＝0，∴x1x2＝－116，x1＋x2＝12k，

故B正确；对于C，若MF→＝λNF→，则直线MN过焦点，所以|MN|＝|MF|＋|NF|＝y1＋18＋y2＋18＝kx1＋18＋kx2＋18＋14＝12k2＋12，所以当k＝0时|MN|min＝12，∴|MN|的最小值为抛物线的通径长

12，故C正确；对于D，∵|MF|＋|NF|＝y1＋18＋y2＋18＝32，∴y1＋y2＝54，即P点纵坐标为y1＋y22＝58，∴P到x轴的距离为58，故D正确．故选BCD.4．答案：ACD解析：由|

AF|＝|AM|，可知xA＝xF＋xM2＝34p.代入y2＝2px，得yA＝62p(负值已舍去).kAB＝yAxA－p2＝26，直线AB的方程为y＝26x－6p.联立y＝26x－6p，y2＝2px

，得24x2－26px＋6p2＝0，则xAxB＝p24，得xB＝p3，则yB＝－63p.故A(34p，62p)，B(p3，－63p)，F(p2，0)，M(p，0).选项A，kAF＝62p34p－p2＝26＝kAB，故正确．选项B，|OB|＝x2

B＋y2B＝73p≠p2，故错误．选项C，|AB|＝xA＋xB＋p＝2512p>2p＝4|OF|，故正确．选项D，易得OA→＝(34p，62p)，OB→＝(p3，－63p)，MA→＝(－p4，62p)，

MB→＝(－23p，－63p).因为OA→·OB→＝p24－p2＝－34p2<0，所以∠AOB为钝角．因为MA→·MB→＝p26－p2＝－56p2<0，所以∠AMB为钝角，所以∠OAM＋∠OBM<180°，故正确．选ACD.5．答案：163

解析：由题意得直线方程为y＝3(x－1)，联立方程，得y＝3（x－1），y2＝4x，得3x2－10x＋3＝0，∴xA＋xB＝103，故|AB|＝1＋xA＋1＋xB＝2＋103＝163.6．答案：52解析：如图所示，设C的准线为l，分

别过A，B作l的垂线，垂足分别为D，E，过A作AP⊥BE于点P.由抛物线的定义可知|AD|＝|FA|＝5，|BE|＝|FB|＝13，所以|BP|＝13－5＝8.又因为FA⊥AB，|AB|＝132－52＝12，所以|AP|＝122－82＝45，所以直线AB的斜率kAB＝t

an∠ABP＝|AP||BP|＝52.考点练91圆锥曲线的中点弦问题1．答案：A解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，过点F(3，0)的直线交椭圆于A，B两点，若AB的中点坐标为(2，－1)，所以直线AB的斜率kAB＝0

－（－1）3－2＝1，A(x1，y1)，B(x2，y2)代入椭圆方程得x21a2＋y21b2＝1，x22a2＋y22b2＝1，两式相减得（x1＋x2）（x1－x2）a2＋（y1＋y2）（y1－y2）b2＝0.即（y1－y2）

（y1＋y2）（x1－x2）（x1＋x2）＝－b2a2，也即y1－y2x1－x2＝－b2（x1＋x2）a2（y1＋y2）＝－b2×4a2×（－2）＝2b2a2＝1，所以a2＝2b2，又c2＝a2－b2＝b2＝9，所以a2＝18，

所求的椭圆方程为x218＋y29＝1.故选A.2．答案：A解析：设A(x1，y1)、B(x2，y2)、P(x0，y0)，则x21a2－y21b2＝1x22a2－y22b2＝1，两式相减得x21－x22a2＝y21－

y22b2，所以y1－y2x1－x2＝b2a2·x1＋x2y1＋y2.因为x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，所以y1－y2x1－x2＝b2a2·x0y0.因为kAB＝y1－y2x1－x2＝1，kOP＝y0x0＝2，所以b22a2＝1，故b2a2＝2，故e＝ca＝c2a2＝a2＋

b2a2＝1＋b2a2＝3.故选A.3．答案：ACD解析：因为焦点F到准线的距离为4，根据抛物线的定义可知p＝4，故A正确，故抛物线的方程为y2＝8x，焦点F(2，0)，故B错误，则y21＝8x1，y22＝8x2.又M(m，2)是AB的中点，则y1＋y2＝4，所

以y21－y22＝8x1－8x2，即y1－y2x1－x2＝8y1＋y2＝2，所以直线l的方程为y＝2x－4.故C正确，由y1＋y2＝2(x1＋x2)－8＝4⇒x1＋x2＝6，得|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋4＝10.故D正确．故选ACD.4．答案：ACD解析：因为椭圆

的离心率e2＝c2a2＝(22)2＝12，所以c2＝12a2，因为b2＝a2－c2＝12a2，所以a2∶b2＝2∶1，故选项A正确；设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)，则x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，所以x21a2＋y21b2＝1，x22a2＋y22b2＝1

，两式相减可得x21－x22a2＋y21－y22b2＝0，即2x0（x1－x2）a2＋2y0（y1－y2）b2＝0，所以x0（x1－x2）a2＝－y0（y1－y2）b2，k1·kOD＝y1－y2x1－x2·y0x0＝－b2a2＝－1

2，故选项B不正确；由选项B同理可得k2·kOE＝－b2a2＝－12，故选项C正确；由选项B同理可知k1·kOD＝k2·kOE＝k3·kOF＝－b2a2＝－12，可得kOD＝－12k1，kOE＝－12k2，kOF＝－1

2k3.由已知可得kOD＋kOE＋kOF＝1，即－12(1k1＋1k2＋1k3)＝1，所以1k1＋1k2＋1k3＝－2，故选项D正确．故选ACD.5．答案：y＝±62x解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x，y)，则x1＋x2

＝2x，y1＋y2＝2y，可得M(x1＋x22，y1＋y22)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)分别为双曲线的渐近线方程y＝－bax，y＝bax上的点，所以有y1＝－bax1，y2＝bax2，从而有y21＝(ba)2x21，y2

2＝(ba)2x22⇒y21－y22x21－x22＝(ba)2，又k1＝y1－y2x1－x2，k2＝y1＋y22x1＋x22＝y1＋y2x1＋x2，所以k1k2＝y1－y2x1－x2×y1＋y2x1＋x2＝y21－y22x21－x2

2＝(ba)2＝32，则ba＝62，所以渐近线方程为y＝±62x.6．答案：x＋2y－22＝0解析：方法一取线段AB的中点E，连接OE(O为坐标原点).因为|MA|＝|NB|，所以|ME|＝|NE|.设A(x1，y1)，B(x2，y2).由题意可得y1＋y2x1＋x

2×y1－y2x1－x2＝y21－y22x21－x22＝3－x212－（3－x222）x21－x22＝－12，即kOE·kAB＝－12.设直线AB的方程为y＝kx＋m，k<0，m>0.令x＝0，则y＝m.令y＝0，则x＝－mk.所以点E的坐标为(－m2k，m2

)，所以k×m－mk＝－k2＝－12，解得k＝－22，所以m2＋2m2＝12，解得m＝2，所以直线AB的方程为y＝－22x＋2，即x＋2y－22＝0.方法二设线段AB的中点为E.由|MA|＝|NB|，得E为线段MN的中点．设直线AB的方程为y＝kx＋m，k<0，

m>0，则M(－mk，0)，N(0，m)，E(－m2k，m2).将y＝kx＋m代入x26＋y23＝1中并整理，得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－6＝0.由Δ＝6k2－m2＋3>0，得m2<6k2

＋3.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－4km1＋2k2＝2·(－m2k)，解得k＝－22.又因为|MN|＝mk2＋m2＝23，所以m＝2，符合题意，所以直线AB的方程为x＋2y－22＝0.考点过关检测15圆锥曲线1．答案：C解析：双曲线C：x

2m2－y2＝1(m＞0)的渐近线方程为y＝±xm，因为m＞0，所以1m＝12，所以m＝2.故选C.2．答案：B解析：由已知条件，易知抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1.又B(3，0)，则|AF|＝|BF|＝2.不妨设点A在第一象限，则A(x0，2x0).根据抛物线的

定义可知x0－(－1)＝2，所以x0＝1，所以A(1，2)，所以|AB|＝（1－3）2＋（2－0）2＝22.故选B.3．答案：A解析：依题意可得1a2＋34＝1a2－b2a2＝12，解得a2＝4b2＝3，故C的方程是x24＋y23＝1.故选A.4．答案：C解析：因为点

P在抛物线C：y2＝4x上，故设P(y204，y0)，由抛物线C：y2＝4x可得焦点F(1，0)，准线为x＝－1，故准线与x轴的交点A(－1，0)，因为PA⊥PF，所以PA→⊥PF→，因为PA→＝(－1－y204，－y0)，PF→＝(1－y204，－y0)，所以

PA→·PF→＝y4016－1＋y20＝0，解得y20＝45－8，所以P的横坐标为5－2，由抛物线的定义可得|PF|＝5－2＋1＝5－1.故选C.5．答案：C解析：因为椭圆C的左焦点为F(－3，0)，所以c＝3，又AF垂直于x轴，A在椭圆C上，故可设A(－c，y1)，所以

（－c）2a2＋y21b2＝1，又a2＝b2＋c2，所以|y1|＝b2a，又tan∠AOF＝32，所以b23a＝32，又a2＝b2＋3，解得a＝23b＝3，从而2a＝43.故选C.6．答案：D解析：设A(x

1，y1)、B(x2，y2)，则x214－y21b2＝1，x224－y22b2＝1，两式相减可得14(x1－x2)(x1＋x2)－1b2(y1－y2)(y1＋y2)＝0，∵P为线段AB的中点，∴2xP＝x1＋x2，2yP

＝y1＋y2，∴y1－y2x1－x2·y1＋y2x1＋x2＝b24，又y1－y2x1－x2＝kAB＝2，y1＋y2x1＋x2＝14，∴12＝b24，即b2＝2，∴b＝2.故选D.7．答案：C解析：如图所示：由抛物线的定义得当P，Q，F共线时

，P(x0，y0)到y轴的距离与到点Q(0，4)的距离之和最小，因为点P(x0，y0)到y轴的距离与到点Q(0，4)的距离之和的最小值为2，所以|QF|＝2＋p2，即（p2）2＋42＝2＋p2，解得p＝6.故选C.8．答

案：B解析：由双曲线的对称性可知四边形MF1NF2是平行四边形．如图，不妨设M在第三象限，由题意可知F2，O分别为线段MM′，F1F2的中点，则|M′N|＝2|OF1|＝2c.因为|M′N|＝|MN|，所以

|MN|＝|F1F2|＝2c，则平行四边形MF1NF2是矩形．设|MF1|＝m，|MF2|＝n，则n－m＝2anm＝8a2n2＋m2＝（2c）2，整理得c2＝5a2，即c2a2＝5，故双曲线C的离心率e＝5.故选B.9．

答案：ACD解析：对于选项A，∵m>n>0，∴0<1m<1n，方程mx2＋ny2＝1可变形为x21m＋y21n＝1，∴该方程表示焦点在y轴上的椭圆，正确；对于选项B，∵m＝n>0，∴方程mx2＋ny2＝1可变形为x2＋y2＝1n，该方程表示半径为1n

的圆，错误；对于选项C，∵mn<0，∴该方程表示双曲线，令mx2＋ny2＝0⇒y＝±－mnx，正确；对于选项D，∵m＝0，n>0，∴方程mx2＋ny2＝1变形为ny2＝1⇒y＝±1n，该方程表示两条直线，正确．综

上选ACD.10．答案：ABD解析：由双曲线方程知：b＝3，离心率为e＝ca＝a2＋3a＝2，解得a＝1，故C：x2－y23＝1，实半轴长为1，实轴长为2a＝2，A正确；因为可求得双曲线渐近线方程为y＝±3x，故一条渐近线方程为y＝3x，B正

确；由于P可能在C的不同分支上，则有||PF1|－|PF2||＝2，C错误；焦距为2c＝2a2＋b2＝4，D正确．故选ABD.11．答案：BCD解析：将点A(1，1)的坐标代入x2＝2py(p＞0)，解得p＝12.所以抛物线C：x2＝y，其准线方程为y＝－14，所以A错误．由y＝x

2，得y′＝2x.当x＝1时，y′＝2，所以抛物线在点A(1，1)处的切线方程为y＝2x－1.令x＝0，得y＝－1，即切线y＝2x－1过点B，所以B正确．设直线PQ：y＝kx－1，P(x1，x21)，Q(x2，x22).将PQ：y＝kx－1与C：x2＝y联立，得x2－kx＋1＝0，所以Δ

＝k2－4＞0，x1＋x2＝k，x1x2＝1，所以|OP|·|OQ|＝x21＋x41·x22＋x42＝|x1x2|1＋x21·1＋x22＝2＋x21＋x22＞2＋2|x1x2|＝2＝|OA|2，所以C正确．因为|BP|·|BQ|＝1＋k2|x1|·1＋k2|

x2|＝1＋k2＞5＝|BA|2，所以D正确．故选BCD.12．答案：ACD解析：根据题意：可得c＝3，|AB|的最小值为1，所以|AB|＝2b2a＝1，又c2＝a2－b2，所以a＝2，b＝1，c＝3，所以椭圆方程为x24＋y2＝1，当点P为该椭圆的上顶点时

，tan∠OPF2＝3，所以∠OPF2＝60°，此时∠F1PF2＝120°，所以存在点P，使得∠F1PF2＝90°，所以选项A正确；当点P在椭圆的上、下顶点时，满足△F1PF2为等腰三角形，又因为2－3≤|PF2|≤2＋3，|F1F2|＝23，∴满足|PF2|＝|F1F2|

的点P有两个，同理满足|PF1|＝|F1F2|的点P有两个，所以选项B不正确；若∠F1PF2＝60°，|PF1|＋|PF2|＝4，|F1F2|＝23，由余弦定理|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2，即|PF1|2＋

|PF2|2－|PF1|·|PF2|＝12，又|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝16，所以|PF1|·|PF2|＝43，所以𝑆△𝐹1𝑃𝐹2＝12|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2＝33，所以选项C正确；对于选项D，|PF1|－|PF2|＝|P

F1|－(2a－|PF1|)＝2|PF1|－4，分析可得|PF1|∈[2－3，2＋3]，|PF1|－|PF2|∈[－23，23]，所以选项D正确．故选ACD.13．答案：－3解析：双曲线y2＋x2m＝1的标准方程为y21－x2－m＝1，其渐近线方程为y1±x－m

＝0，即y＝±x－m，∴1－m＝33，∴m＝－3.14．答案：3－1解析：设右焦点为F′，连接AF′，BF′.因为2|OF|＝|AB|＝2c，即|FF′|＝|AB|，可得四边形AFBF′为矩形．在Rt△ABF

中，|AF|＝2c·cos∠BAF＝2c·32＝3c，|BF|＝2c·sin∠BAF＝2c·12＝c.由椭圆的定义可得|AF|＋|AF′|＝2a，所以2a＝(3＋1)c，所以离心率e＝ca＝23＋1＝3－1.15．答案：x＝－32解析：不妨设Pp2，p，

∴Q6＋p2，0，PQ→＝(6，－p)，因为PQ⊥OP，所以p2×6－p2＝0，∵p>0，∴p＝3，∴C的准线方程为x＝－32.16．答案：32解析：设椭圆C1对应a1，b1，c，双曲线C2对应a2，b2，c，|PF1|＝m，|

PF2|＝n，所以m＋n＝2a1，两边平方得m2＋n2＋2mn＝4a21，①|m－n|＝2a2，两边平方得m2＋n2－2mn＝4a22，②①＋②并整理得m2＋n2＝2a21＋2a22；①－②并整理得mn＝a21－a22.由余弦定理得cos60°＝m2＋n2－4c22mn＝12，整理得m2＋n2－

4c2＝mn，所以2a21＋2a22－4c2＝a21－a22，a21＋3a22＝4c2，所以e1·e2＝ca1·ca2，＝c2a1a2＝14·a21＋3a22a1a2＝14(a1a2＋3a2a1)≥14×2a1a2·3a

2a1＝32，当且仅当a1a2＝3a2a1，a1＝3a2＝2c时等号成立．考点练92圆锥曲线的定点问题1．解析：(1)因为|MF1|－|MF2|＝±2，所以||MF1|－|MF2||＝2＜23＝|F2F2|.由双曲线定义可知，M的轨迹为

双曲线，其中c＝3，a＝1，所以b＝c2－a2＝2，所以曲线C的方程为x2－y22＝1.(2)若直线PQ垂直于x轴，易知此时直线AP的方程为y＝±(x－1)，联立x2－y22＝1求解可得x＝－3，直线PQ过点(－3，0).当直线PQ斜率存在时，设直线

PQ方程为y＝kx＋m，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，代入x2－y22＝1，整理得(k2－2)x2＋2kmx＋m2＋2＝0，则x1＋x2＝2km2－k2，x1x2＝m2＋2k2－2.因为AP⊥AQ，所以AP→·AQ→＝(x1－1，y1)·(x2

－1，y2)＝(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝(k2＋1)x1x2＋(km－1)(x1＋x2)＋m2＋1＝（k2＋1）（m2＋2）k2－2＋2k2m2－2km2－k2＋m2＋1＝0，整理得3k2＋2km－m2＝(

3k－m)(k＋m)＝0，解得m＝3k或m＝－k.因为点P和Q都异于点A，所以m＝－k不满足题意．故m＝3k，代入y＝kx＋m，得y＝k(x＋3)，过定点(－3，0).综上，直线PQ过定点(－3，0).2．解析

：(1)由题意得A1(－1，0)，A2(1，0)，设A(x0，y0)，B(x0，－y0)(y0≠0)，P(x，y)，则𝑘𝑃𝐴1＝𝑘𝐴𝐴1，𝑘𝑃𝐴2＝𝑘𝐵𝐴2，即yx＋1＝y0x0＋1，yx－1＝－y0

x0－1，得y2x2－1＝－y20x20－1，又∵点(x0，y0)在C上，即x20－1＝－y203，得y2x2－1＝3，∴x2－y23＝1(y≠0).(2)∵𝑘𝑁𝐴1＝－13𝑘𝑀𝐴2，设直线NA1方程为x＝－3my－1，(m≠0)，则MA2方程为x＝my＋1，联立x

＝－3my－1x2－y23＝1，得(27m2－1)y2＋18my＝0(27m2－1≠0且Δ＞0)，设N(xN，yN)，得xN＝54m227m2－1－1，yN＝－18m27m2－1，同理设M(xM，yM)，得xM＝－6m23m2－1＋1，yM＝－6m3m2－1

，𝑘𝑀𝐴1＝yMxM＋1＝－6m－6m2＋2（3m2－1）＝3m，𝑘𝑁𝐴1＝yNxN＋1＝－18m54m2＝－13m，∴𝑘𝑀𝐴1·𝑘𝑁𝐴1＝－1，即MA1⊥NA1，∴以MN为直径的圆一定过C的左顶点．考点练93圆锥曲线的定值问题1．解析：(1)将P(2，22)代入E：

y2＝2px，解得p＝2，E：y2＝4x的准线方程为x＝－1.(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l：x＝ny－2，M(0，y3)，N(0，y4)，联立y2＝4xx＝ny－2，整理得y2－4ny＋8＝0，由题意，Δ＝(4n)2－4×8＞0，即n＞2或n＜－2，且

y1＋y2＝4n，y1y2＝8，因为P，A，M三点共线，由y1－22x1－2＝y3－220－2，整理得y3＝22y1y1＋22，同理得y4＝22y2y2＋22，k1＋k2＝y32＋y42＝22[y1y2＋2（y1＋y2）y1y2＋22（y1＋y2）＋8]＝2.2．解析：(1)设椭圆C

的焦距为2c，根据题意，有ca＝1212×2c×b＝3a2＝b2＋c2，解得a2＝4，b2＝3，c2＝1.所以C的方程是x24＋y23＝1.(2)证明：当直线l1，l2的斜率存在且都不为0时，不妨设直线l1的方程为y＝

k(x＋1)，则直线l2的方程为y＝－1k(x＋1)，A(x1，y1)，B(x2，y2).联立x24＋y23＝1y＝k（x＋1）得(3＋4k2)x2＋8k2x＋4k2－12＝0.因为F1在椭圆

C的内部，所以Δ＞0恒成立，所以x1＋x2＝－8k23＋4k2，x1x2＝4k2－123＋4k2，所以|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2（x1＋x2）2－4x1x2＝1＋k2（－8k23＋4k2）2－4×4k2－123＋4k2＝12（k2＋1）3＋4k2，同理，将k换成－1k，得|DE

|＝12[（－1k）2＋1]3＋4（－1k）2＝12（k2＋1）3k2＋4，所以1|AB|＋1|DE|＝3＋4k212（k2＋1）＋3k2＋412（k2＋1）＝7（k2＋1）12（k2＋1）＝712.当直线l1，l2中一条直线斜率为0，一条直线斜率不存在时，不妨设直线l1的斜率为

0，则|AB|＝2a＝4，|DE|＝2b2a＝3，此时1|AB|＋1|DE|＝14＋13＝712.综上所述，1|AB|＋1|DE|为定值712.考点练94圆锥曲线的最值问题1．解析：(1)由题意可知直线AM的方程为y－3＝12(x－2)，即x－2y＝－4.当y＝0时，解得x＝－4，所以a

＝4，椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)过点M(2，3)，可得416＋9b2＝1，解得b2＝12.所以C的方程为x216＋y212＝1.(2)设与直线AM平行的直线方程为x－2y＝m，如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM距离比较远的直线与椭圆的切点

为N，此时△AMN的面积取得最大值．联立直线方程x－2y＝m与椭圆方程x216＋y212＝1，可得3(m＋2y)2＋4y2＝48，化简可得16y2＋12my＋3m2－48＝0，所以Δ＝144m2－4×16(3m

2－48)＝0，即m2＝64，解得m＝±8，与AM距离比较远的直线方程：x－2y＝8，直线AM方程为x－2y＝－4，点N到直线AM的距离即两平行线之间的距离，利用平行线之间的距离公式可得d＝8＋41＋4＝1255，由两点之间距离公式可得|AM|＝（2＋4）

2＋32＝35.所以△AMN的面积的最大值12×35×1255＝18.2．解析：(1)方法一由题意可知，当x＝p时，y2＝2p2.设M点位于第一象限，则点M的纵坐标为2p，|MD|＝2p，|FD|＝p2.在Rt△MFD中，|FD|2＋|MD|2＝|FM|2，即p22＋(2p)2＝9，解得

p＝2.所以C的方程为y2＝4x.方法二抛物线的准线方程为x＝－p2.当MD与x轴垂直时，点M的横坐标为p.此时|MF|＝p＋p2＝3，所以p＝2.所以抛物线C的方程为y2＝4x.(2)设直线MN的斜率为k1，直

线AB的斜率为k2，则k1＝tanα，k2＝tanβ.由题意可得k1≠0，k2≠0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，y1＞0，y2＜0，A(x3，y3)，B(x4，y4)，y3＜0，y4＞0.设直线AB的方程为y＝k2

(x－m)，m为直线AB与x轴交点的横坐标，直线MN的方程为y＝k1(x－1)，直线MD的方程为y＝k3(x－2)，直线ND的方程为y＝k4(x－2).联立得方程组y＝k1（x－1），y2＝4x，所以k21x2－(2k21＋4)x＋k21＝0，则x1x2＝1.联立得

方程组y＝k2（x－m），y2＝4x，所以k22x2－(2mk22＋4)x＋k22m2＝0，则x3x4＝m2.联立得方程组y＝k3（x－2），y2＝4x，所以k23x2－(4k23＋4)x＋4k23＝0，则

x1x3＝4.联立得方程组y＝k4（x－2），y2＝4x，所以k24x2－(4k24＋4)x＋4k24＝0，则x2x4＝4.所以M(x1，2x1)，N(1x1，－2x1)，A(4x1，－4x1)，B(4x1，4x1).所以

k1＝2x1x1－1，k2＝x1x1－1，k1＝2k2，所以tan(α－β)＝tanα－tanβ1＋tanαtanβ＝k1－k21＋k1k2＝k21＋2k22＝11k2＋2k2.因为k1＝2k2，所以k1与k2同号，所以α与β同为锐角或钝角．当α－β取

最大值时，tan(α－β)取得最大值．所以k2＞0，且当1k2＝2k2，即k2＝22时，α－β取得最大值．易得x3x4＝16x1x2＝m2，又易知m＞0，所以m＝4.所以直线AB的方程为x－2y－4＝0.考点练95圆锥曲线的范围问题1．解析：(1)因为过点(23，0)作垂直于x轴的直

线截双曲线C所得弦长为23，所以点(23，±3)在双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)上，由题意，得c2＝a2＋b2ca＝23312a2－3b2＝1，解得c＝2，a＝3，b＝1，即双曲线的标准方程为x23－y2＝1.(2)联立

y＝kx＋mx23－y2＝1，得(3k2－1)x2＋6kmx＋3(m2＋1)＝0，因为直线y＝kx＋m与该双曲线C交于不同的两点，所以3k2－1≠0且Δ＝36k2m2－12(3k2－1)(m2＋1)＞0，即3k2

－1≠0且m2＞3k2－1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，则x0＝x1＋x22＝－3km3k2－1，y0＝kx0＋m＝－m3k2－1，因为A，B两点都在以点P(0，－1)为圆心的同一圆上，所以AB⊥PM，即AB→·PM→＝

0，因为AB→＝(1，k)，PM→＝(－3km3k2－1，－m3k2－1＋1)，所以－3km3k2－1＋－km3k2－1＋k＝0，即3k2＝4m＋1，将3k2＝4m＋1代入3k2－1≠0m2＞3k2－1，得4m≠0m2－4m＞0，解得m＜0或m＞4，又3k2＝4m＋1>0

，所以m>－14，即m的取值范围为－14<m＜0或m＞4.2．解析：(1)由对称性可知：P3，P4都在椭圆C上，对于椭圆在第一象限的图象上的点(x，y)，易知y随x的增大而减小，故P1，P2中只有P2符合．所以P2，P3，P4三点在椭圆上

，故b＝1，将P3代入椭圆方程得a＝2，所以椭圆方程为x22＋y2＝1.(2)由已知直线l斜率不为0，故设方程为x＝my＋2.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由x＝my＋2x22＋y2＝1联立方程得(m2

＋2)y2＋4my＋2＝0，∴Δ＝16m2－8(m2＋2)＝8(m2－2)＞0，即m2＞2，y1＋y2＝－4mm2＋2；y1y2＝2m2＋2；S△OMN＝12·2·|y1－y2|＝|y1－y2|＝16m2（m2＋2）2－8m2＋

2＝22m2－2m2＋2；令m2－2＝t＞0，则m2＝t2＋2.令S△OMN＝22tt2＋4＝22t＋4t≤222t·4t＝22，当且仅当t＝2，m2＝6时取等号，∴△OMN面积的取值范围为(0，22].考点练

96圆锥曲线的证明问题1．解析：(1)因双曲线C的渐近线方程为x±3y＝0，则设双曲线方程为x2－3y2＝λ(λ≠0)，又双曲线过点(3，2)，则λ＝9－3×2＝3，所以双曲线C的方程为x2－3y2＝3，即x23－y2＝1.(2)证明：由(1)知

F(2，0)，l的斜率存在且不为0，设l的方程为y＝k(x－2)，由y＝k（x－2）x23－y2＝1消去y并整理得(1－3k2)x2＋12k2x－12k2－3＝0，显然1－3k2≠0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－12

k21－3k2，x1x2＝－12k2－31－3k2，则kAQ＋kBQ＝y1x1－32＋y2x2－32＝k（x1－2）x1－32＋k（x2－2）x2－32＝k[2x1x2－72（x1＋x2）＋6]x1x2－32（x1＋x2）＋94＝k[2（－12k

2－3）＋72×12k2＋6（1－3k2）]－12k2－3＋32×12k2＋94（1－3k`2）＝0，所以∠AQF＝∠BQF成立．2．解析：(1)由题意，椭圆半焦距c＝2且e＝ca＝63，所以a＝3，又b2＝a2－c2＝1，所以椭圆方程为x23＋y2＝1.(2)由(1)得，曲

线为x2＋y2＝1(x>0)，当直线MN的斜率不存在时，直线MN：x＝1，不合题意；当直线MN的斜率存在时，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，必要性：若M，N，F三点共线，可设直线MN：y＝k(x－2)即kx－y－2k＝0，由直线MN与曲线x2＋y2＝1(x>0)相

切可得|2k|k2＋1＝1，解得k＝±1，联立y＝±（x－2）x23＋y2＝1可得4x2－62x＋3＝0，所以x1＋x2＝322，x1·x2＝34，所以|MN|＝1＋1·（x1＋x2）2－4x1x2

＝3，所以必要性成立；充分性：设直线MN：y＝kx＋b，(kb<0)即kx－y＋b＝0，由直线MN与曲线x2＋y2＝1(x>0)相切可得|b|k2＋1＝1，所以b2＝k2＋1，联立y＝kx＋bx23＋y2＝1可得(1＋3k2)

x2＋6kbx＋3b2－3＝0，所以x1＋x2＝－6kb1＋3k2，x1·x2＝3b2－31＋3k2，所以|MN|＝1＋k2·（x1＋x2）2－4x1·x2＝1＋k2·－6kb1＋3k22－4·3b

2－31＋3k2＝1＋k2·24k21＋3k2＝3，化简得3(k2－1)2＝0，所以k＝±1，所以k＝1b＝－2或k＝－1b＝2，所以直线MN：y＝x－2或y＝－x＋2，所以直线MN过点F(2，0)，M，N，F三点共线，充分性成立

；所以M，N，F三点共线的充要条件是|MN|＝3.考点练97圆锥曲线的探索问题1．解析：(1)设抛物线C的焦点为F(0，p2)，根据抛物线的定义得d＝|PF|，|PA|＋d＝|PA|＋|PF|≥|AF|＝42＋（－1－p2）2＝5，由于p＞0，解得p＝4，则拋物线C的方程为x2＝8y.(

2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，将y＝kx＋1代入抛物线C的方程，整理得x2－8kx－8＝0，所以x1＋x2＝8k，x1·x2＝－8，1k1＝x1－4y1＋1＝x1－4kx1＋2，同理1k2＝x2－4kx2＋2，则1k1＋1k2＝x1－4kx1＋2＋x2－4kx2＋2＝2kx1x

2＋（2－4k）（x1＋x2）－16k2x1x2＋2k（x1＋x2）＋4＝－32k2－168k2＋4＝－4，1k3＝0－42＝－2，所以λ＝2.2．解析：(1)由题可知：F1(－2，0)，F2(2，0)，所以c＝2，因为△

PF1F2的周长为4＋22，所以|PF1|＋|PF2|＝4＋22－22＝4，即2a＝4⇒a＝2，所以b2＝a2－c2＝2，所以椭圆的方程为x24＋y22＝1.(2)依题可知：直线的斜率存在，设方程为y＝k(x＋4)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以y＝k

（x＋4）x24＋y22＝1⇒(1＋2k2)x2＋16k2x＋32k2－4＝0，所以Δ＝(16k2)2－4×(1＋2k2)×(32k2－4)＝16(1－6k2)＞0，x1x2＝32k2－41＋2k2，x1＋x2＝－16k21＋2k2，由AQ→＝λQB→⇒－4－x1＝λ(x2＋4

)⇒λ＝－4＋x1x2＋4，设R(x0，y0)，由AR→＝(－λ)RB→⇒x0－x1＝－λ(x2－x0)，所以x0＝x1－λx21－λ＝x1＋4＋x1x2＋4x21＋4＋x1x2＋4＝2x1x2＋4（x1＋x2）x1

＋x2＋8，所以x0＝2×32k2－41＋2k2＋4×（－16k21＋2k2）－16k21＋2k2＋8＝－1.所以点R是在直线x＝－1上运动．考点练98解析几何与数学文化1．答案：D解析：设动点P(x，y)，

由|PA|＝2|PO|，得(x－3)2＋y2＝4x2＋4y2，整理得(x＋1)2＋y2＝4，即点P轨迹方程为(x＋1)2＋y2＝4，表示圆，又点P是圆C：(x－2)2＋y2＝r2(r＞0)上有且仅有的一点，所以两圆相切，圆(x＋

1)2＋y2＝4的圆心坐标为(－1，0)，半径为2，圆C：(x－2)2＋y2＝r2(r＞0)的圆心坐标为(2，0)，半径为r，两圆的圆心距为3，当两圆外切时，r＋2＝3，得r＝1，当两圆内切时，|r－2|＝3，r＞0，得r＝5.故选D.2．答案：C解析：椭圆C的蒙日圆的半径为a2＋b2＝a2＋1

6.因为MP⊥MQ，所以PQ为蒙日圆的直径，所以|PQ|＝2a2＋16，所以|MP|2＋|MQ|2＝|PQ|2＝4(a2＋16).因为|MP|·|MQ|≤|MP|2＋|MQ|22＝2(a2＋16)，当|MP|＝|MQ|＝2·a2＋16时，等号成立，所以△MPQ面积的最大值为12|

MP|·|MQ|＝a2＋16.由△MPQ面积的最大值为34，得a2＋16＝34，得a＝32，故椭圆C的长轴长为62.故选C.3．答案：BC解析：sin(60°＋45°)＝sin60°cos45°＋cos60°sin45°＝6＋24，如图，A，B分别是椭圆的左、右

顶点，F1是椭圆的左焦点，BC是圆的直径，D为该圆的圆心．因为|BD|＝|DF1|＝1，DF1⊥BC，所以|BF1|＝2，设椭圆的长轴长为2a，焦距为2c，则a＋c＝2.因为∠A＝60°，∠B＝45°，

|BC|＝2，|AB|＝2a，由正弦定理得2sin60°＝2asin（60°＋45°），解得a＝32＋66，所以c＝2－a＝32－66，所以ca＝32－632＋6＝2－3，2c＝32－63.故选BC.4．答案：ABD解析：由题意可得M(533，4)，N(393，－2)，

所以（533）2a2－16b2＝1（393）2a2－4b2＝1，即253a2－16b2＝1133a2－4b2＝1，解得a2＝3，b2＝9，所以双曲线方程为x23－y29＝1，所以A正确；双曲线x23－y29＝1的渐近线方程为y＝±3x，双曲线y23－x2＝1的渐近线方程为y＝±3

x，所以B正确；由双曲线的性质可知，过平面内的任意一点的直线与双曲线的渐近线平行时，只与双曲线有一个交点，所以不存在一点，使过该点的任意直线与双曲线C有两个交点，所以C错误；由题意得D(－3，0)，E(3，0)，设P(x0，y0)(x0≠±3)为双

曲线上任意一点，则x203－y209＝1，y20＝3x20－9，所以kPD·kPE＝y0x0＋3·y0x0－3＝y20x20－3＝3（x20－3）x20－3＝3，所以双曲线C上存在无数个点，使它与D，E两点的连线的斜率之积为3

，所以D正确．故选ABD.5．答案：6解析：因为点P是直线l：2x＋y－15＝0上的动点，要使|OP|最小，则OP⊥l，此时k1＝－2，所以kPO＝12，由方程组2x＋y－15＝0y＝12x，解得x＝6，y＝3，所以P，O两点之间的切比雪夫距离为

6.6．答案：y2＝3x解析：由题意可知，|AB|＝3，|BC|＝33，可得|AC|＝32＋（33）2＝6，所以∠CAB＝60°，由抛物线的定义得|AB|＝|AF|，所以△ABF是等边三角形，所以∠ABF＝60°，所以∠BFO＝60°且l⊥x轴，所以|FO|＝p2－(－p2

)＝p＝12|BF|＝12×3＝32，所以抛物线的方程是y2＝3x.考点过关检测16直线与圆锥曲线1．解析：(1)由右焦点为F(2，0)，可得c＝2，又离心率为63，∴a＝6，b2＝a2－c2＝6－4＝2，∴椭圆C的标准方程为x26＋y22＝1.

(2)由题可知kPF＝m3－2＝m，∴kAB＝－1m，故直线AB为y＝－1m(x－2)，即x＝－my＋2，由x26＋y22＝1x＝－my＋2，可得(3＋m2)y2－4my－2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4m3＋m2，y1y2＝－23＋m2，∴

|y1－y2|＝（y1＋y2）2－4y1y2＝（4m3＋m2）2－4·－23＋m2＝261＋m23＋m2，∴△OAB面积为S＝12×|OF|×|y1－y2|＝261＋m23＋m2，令t＝1＋m2＞1，∴S＝26t2＋t2＝262t＋t≤2622＝3，当且仅当2t＝t，即t＝2，

m＝1时取等号，∴△OAB面积的最大值为3.2．解析：(1)∵平面直角坐标系xOy中，抛物线C的顶点是原点，以x轴为对称轴，设抛物线C：y2＝mx(m≠0)，因为经过点P(1，－2)，所以m＝4，故抛物线的方程为y2＝

4x.(2)如图所示：由y2＝4xy＝－x＋m可得y2＋4y－4m＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵Δ＝16＋16m＞0，∴m＞－1，且y1·y2＝－4m，y1＋y2＝－4.设抛物线C上存

在点Q(x0，y0)，使得直线QA，QB分别与y轴交于M，N两点，且|QM|＝|QN|，则y20＝4x0，kQM＋kQN＝0.kQM＋kQN＝kQA＋kQB＝y1－y0x1－x0＋y2－y0x2－x0＝4y1＋y0＋4y2＋

y0＝4（y1＋y2）＋8y0（y1＋y0）（y2＋y0）＝0，∴4(y1＋y2)＋8y0＝0，即y0＝y1＋y2－2＝2，x0＝224＝1，故存在点Q(1，2)，使得|QM|＝|QN|成立．3．解析：(1)设点P(x，y)，由题意kPA·kPB＝yx－

22·yx＋22＝－78，整理得x28＋y27＝1(y≠0).(2)由题意，直线l斜率不为0.设l：x＝ty＋2，设C(x1，y1)，D(x2，y2)，由x＝ty＋2x28＋y27＝1得(7t2＋8)y2＋28ty－28＝0，

则y1＋y2＝－28t7t2＋8，y1y2＝－287t2＋8，所以y1＋y2＝ty1y2.m＝k1k2＝y1x1＋22y2x2－22＝y1（x2－22）y2（x1＋22）＝y1（ty2＋2－22）y2（ty1＋2＋22）＝ty1y2

＋（2－22）y1ty1y2＋（2＋22）y2＝y1＋y2＋（2－22）y1y1＋y2＋（2＋22）y2＝（3－22）y1＋y2y1＋（3＋22）y2＝（3－22）（y1＋13－22y2）y1＋（3＋22）y2＝（3－22）[y1＋（3＋

22）y2]y1＋（3＋22）y2＝3－22，所以m为定值3－22.4．解析：(1)由题意可得ba＝3，a2＋b2＝2，解得a＝1，b＝3．所以C的方程为x2－y23＝1.(2)当

直线PQ斜率不存在时，x1＝x2，但x1>x2>0，所以直线PQ斜率存在，所以设直线PQ的方程为y＝kx＋b(k≠0).联立得方程组y＝kx＋b，x2－y23＝1.消去y并整理，得(3－k2)x2－2kbx－b2－3＝0.则x1＋x2＝2kb3－k2，x1x2＝b2＋3k2－3，x

1－x2＝（x1＋x2）2－4x1x2＝23（b2＋3－k2）|3－k2|.因为x1>x2>0，所以x1x2＝b2＋3k2－3>0，即k2>3.所以x1－x2＝23（b2＋3－k2）k2－3.设点M的坐标为(xM，yM)，则yM－y2＝3(xM－x2)，yM－y1＝－3(xM－x1)，两式相

减，得y1－y2＝23xM－3(x1＋x2).因为y1－y2＝(kx1＋b)－(kx2＋b)＝k(x1－x2)，所以23xM＝k(x1－x2)＋3(x1＋x2)，解得xM＝kb2＋3－k2－kbk2－3.两式相加，得2y

M－(y1＋y2)＝3(x1－x2).因为y1＋y2＝(kx1＋b)＋(kx2＋b)＝k(x1＋x2)＋2b，所以2yM＝k(x1＋x2)＋3(x1－x2)＋2b，解得yM＝3b2＋3－k2－3bk2－3＝3kxM.所以点M的轨迹为直线y

＝3kx，其中k为直线PQ的斜率．选择①②.因为PQ∥AB，所以kAB＝k.设直线AB的方程为y＝k(x－2)，并设点A的坐标为(xA，yA)，点B的坐标为(xB，yB)，则yA＝k（xA－2），yA＝3xA，解得xA＝2kk－3，yA＝23

kk－3.同理可得xB＝2kk＋3，yB＝－23kk＋3.此时xA＋xB＝4k2k2－3，yA＋yB＝12kk2－3.因为点M在AB上，且其轨迹为直线y＝3kx，所以yM＝k（xM－2），yM＝3kxM.解得xM＝2k2k2－3＝xA＋xB2，yM＝6kk2－3＝yA＋yB

2，所以点M为AB的中点，即|MA|＝|MB|.选择①③.当直线AB的斜率不存在时，点M即为点F(2，0)，此时点M不在直线y＝3kx上，与题设矛盾，故直线AB的斜率存在．当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝m(x－2)(m≠0)，并设点A的坐标为(xA，

yA)，点B的坐标为(xB，yB)，则yA＝m（xA－2），yA＝3xA，解得xA＝2mm－3，yA＝23mm－3.同理可得xB＝2mm＋3，yB＝－23mm＋3.此时xM＝xA＋xB2＝2m2m2－3，yM＝yA＋yB2＝6mm

2－3.由于点M同时在直线y＝3kx上，故6m＝3k·2m2，解得k＝m，因此PQ∥AB.选择②③.因为PQ∥AB，所以kAB＝k.设直线AB的方程为y＝k(x－2)，并设点A的坐标为(xA，yA)，点B的坐标为(xB，yB)，则yA＝k（xA－2

），yA＝3xA，解得xA＝2kk－3，yA＝23kk－3.同理可得xB＝2kk＋3，yB＝－23kk＋3.设AB的中点为C(xC，yC)，则xC＝xA＋xB2＝2k2k2－3，yC＝yA＋yB2＝6kk2－3.因为|MA|＝|MB|，所以点M在AB的垂直平

分线上，即点M在直线y－yC＝－1k(x－xC)上．将该直线方程与y＝3kx联立，解得xM＝2k2k2－3＝xC，yM＝6kk2－3＝yC，即点M恰为AB的中点，所以点M在直线AB上．单元过关检测八解析几何

1．答案：A解析：设与直线x－2y＋3＝0平行的直线是x－2y＋c＝0(c≠3)，代入点(－1，3)得－1－6＋c＝0，得c＝7，所以直线方程是x－2y＋7＝0.故选A.2．答案：B解析：抛物线的焦点坐标为

p2，0，其到直线x－y＋1＝0的距离：d＝p2－0＋11＋1＝2，解得p＝2(p＝－6舍去).故选B.3．答案：D解析：由题意可知，双曲线C的渐近线方程为y＝±bax，P(1，2)在一条渐近线上，所以ba＝

2，进而可得c＝5a，由|PF|＝b，可得（1－c）2＋22＝b.∴(1－c)2＋4＝b2，∴1＋c2－2c＋4＝b2＝45c2，∴c2－10c＋25＝0，解得c＝5，2c＝10.故选D.4．答案：A解析：∵圆的圆心在直线y＝－x上，∴设圆心为(a，－a)，∵圆过A(1，－3)，

∴半径r＝（a－1）2＋（－a＋3）2＝2a2－8a＋10，又∵圆与x＋y－2＝0相切，∴半径r＝|a－a－2|2＝2，则2a2－8a＋10＝2，解得a＝2，故圆心为(2，－2)，半径为2，故方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝2.

故选：A.5．答案：C解析：由题，a2＝9，b2＝4，则||MF1＋||MF2＝2a＝6，所以||MF1·||MF2≤||MF1＋||MF222＝9(当且仅当||MF1＝||MF2＝3时，等号成立).故选C.6．答案：C解析：因为C1：

(x－1)2＋(y－3)2＝11，C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4，对于A，若圆C2与x轴相切，则圆心到x轴的距离等于半径，所以|m|＝2，故A正确；对于B，当m＝－3时，|C1C2|＝（1＋1）2＋（3＋3）2＝210＞6＞2＋11，两圆相离，故B正确；对于C，由两圆有公共弦，

两圆的方程相减可得公共弦所在直线方程4x＋(6－2m)y＋m2－2＝0，故C错误；对于D，直线kx－y－2k＋1＝0变形为y－1＝k(x－2)，过定点(2，1)，因为(2－1)2＋(1－3)2＝5＜11，故点(2，1)在圆C1

：(x－1)2＋(y－3)2＝11内部，所以直线kx－y－2k＋1＝0与圆C1始终有两个交点，故D正确．故选C.7．答案：D解析：抛物线C：y2＝4x的焦点为F(1，0)，准线l：x＝－1，由于|AF|＝4，根据抛物线的

定义可知，A点的横坐标为3，由y2＝4×3＝12⇒y＝±23，不妨设A(3，23)，A关于l的对称点为A1(－5，23)，|PA|＝|PA1|，所以|PA|＋|PF|的最小值为|A1F|＝62＋（23）2＝43.故选D.8．答案：B解析：因为直线FA

交直线bx－ay＝0于点B，直线FA与圆x2＋y2＝a2切于点A，所以OA⊥FA，|OA|＝a，|OF|＝c，因为a2＋b2＝c2，所以|FA|＝b，在Rt△FAO中，sin∠OFA＝ac，tan∠OFA＝ab，所以直线FA的方程为y＝ab(x＋c)，由

y＝ab（x＋c）bx－ay＝0，得x＝acb·abb2－a2＝a2cb2－a2即点B的横坐标为a2cb2－a2，在Rt△FAO中，根据等面积可得yA＝abc，因为BA→＝2AF→，所以yB＝3yA＝3abc，因为yB＝baxB＝ba×a

2cb2－a2＝abcb2－a2，所以abcb2－a2＝3abc，所以c2＝3b2－3a2，所以a2＋b2＝3b2－3a2，所以4a2＝2b2，所以2a＝2b，所以ba＝2，所以渐近线方程为y＝±bax＝±2x.故选B.9．答

案：ABD解析：圆C：x2＋y2＋4x－6y－3＝0，化为(x＋2)2＋(y－3)2＝16，则圆心C(－2，3)，半径r＝4，圆心C到直线l的距离d＝|－6－12＋3|9＋16＝3＜4，所以直线l与圆C相交，故A正确；因为4－3＝1，所以到直线l的距离为

1的点有3个，故B正确；点P到直线l距离的最小值为0，所以|PQ|的最小值是0，故C错误；点P到直线l距离的最大值为4＋3＝7，故D正确．故选ABD.10．答案：ABD解析：因为椭圆C：x2m＋y29＝1的焦点在y轴上

，所以a2＝9，b2＝m，又因为2a＝3×2b，故a2＝9b2，即9＝9m，故m＝1，对于A，由a2＝9得a＝3，故椭圆C的长轴长为2a＝6，故A正确；对于B，由b2＝m＝1得b＝1，故椭圆C的短轴长为2b＝2，故B正确；对于C，因为c2＝a2－b

2＝9－1＝8，所以c＝22，故椭圆C的焦距为2c＝42，故C错误；对于D，易知椭圆C的离心率为ca＝223，故D正确．故选ABD.11．答案：BD解析：如图所示，因为|PM|＝|MF1|，即M为PF1的中点，O

为F1F2的中点，所以OM∥PF2，因为OM⊥F1F2，所以PF2⊥F1F2，所以∠PF2F1＝π2，|MF2|＝12|PF1|，A错误，B正确；由PF2⊥F1F2知c2a2－|PF2|2b2＝1，所以|PF2|＝b2a，又|F1F2|＝2c，∠PF1F2＝30°，所以3b2a＝2c，即3(c

2－a2)＝2ac，所以3e2－2e－3＝0，解得e＝3，C错误；所以e＝ca＝3，所以c2＝3a2，所以b2＝c2－a2＝2a2，所以ba＝2，所以E的渐近线方程为y＝±2x，D正确．故选BD.12．答案：AD解析：将A(1，－4)代入C中得p＝8，则C为y2＝16x，所以C的准

线方程是x＝－4，故A正确；当过C的焦点且与x轴垂直时弦长最短，此时弦长为16，故B不正确；设M(y2116，y1)，N(y2216，y2)，直线MN为x＝my＋n，联立抛物线得：y2－16my－16n＝0，所以y1＋y2＝16m，y1y2＝－16n，又AM⊥AN，所以AM

→·AN→＝(y2116－1，y1＋4)·(y2216－1，y2＋4)＝（y21－16）（y22－16）256＋(y1＋4)(y2＋4)＝0.因为y1≠－4，y2≠－4，即(y1＋4)(y2＋4)≠0，所以（y1－4）（y2－4）256＋1＝0，整理得y1y2－4(y1＋y2)＋272＝

0，故－16n－64m＋272＝0，得n＝－4m＋17，所以直线MN为x＝m(y－4)＋17，所以直线MN过定点P(17，4)，故C不正确；当MN⊥AP时A到直线MN的距离最大，此时直线MN为2x＋y－38＝0，故D正确．故选AD.13．答案：y2

＝32x(答案不唯一)解析：由①②可知C的方程为抛物线的标准方程，由③可知，p＝34，所以抛物线C的方程可以为y2＝32x.14．答案：y＝±3x解析：因为双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的离心率为2，所以e＝c2a2＝a2

＋b2a2＝2，所以b2a2＝3，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±bax＝±3x.15．答案：x＝0或3x＋4y－12＝0解析：当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，由x＝0x2＋y2－2x－2y－2＝0，得x＝0y＝1－3或

x＝0y＝1＋3，此时|AB|＝23，符合题意．当直线l的斜率存在时，设直线l：y＝kx＋3，因为圆x2＋y2－2x－2y－2＝0的圆心C(1，1)，半径r＝2，所以圆心C到直线l的距离d＝|k－1＋3

|k2＋1＝|k＋2|k2＋1.因为d2＋(|AB|2)2＝r2，所以|k＋2|2k2＋1＋3＝4，解得k＝－34，所以直线l的方程为y＝－34x＋3，即3x＋4y－12＝0.综上，直线l的方程为x＝0或3x＋4y－12＝0.16．答案：53－2解析：∵P为AF2的中点，

O为F1F2的中点，∴|OP|＝12|AF1|＝b，且OP⊥AF2，∴|AF1|＝2b，|AF2|＝2|PF2|＝2c2－b2，由椭圆的定义知2b＋2c2－b2＝2a，化简得ba＝23，∴e＝ca＝1－b2a2＝53，tan∠OF2P＝OPP

F2＝bc2－b2＝2，∴直线l的斜率为－2.17．解析：(1)由题可知，圆心C(a，2a－1)，r＝2，由勾股定理有MC2＝MA2＋r2，则(a＋1)2＋(2a－3)2＝(21)2＋22＝25，即5a2－10a－15＝0，解得a＝3或a

＝－1，所以圆C的标准方程为(x－3)2＋(y－5)2＝4或(x＋1)2＋(y＋3)2＝4.(2)设直线l的方程为y－2＝1(x＋1)，即x－y＋3＝0，由题，只需圆心C到直线l的距离小于1即可，所以d＝|a－2a＋4|2＜1，所以|a－4|＜2，解得4－

2＜a＜4＋2，所以a的取值范围为(4－2，4＋2).18．解析：(1)设圆心M(x，y)，根据题意可得点M到点(0，1)的距离与到直线y＝－1的距离相等．即圆心M的轨迹C为以(0，1)为焦点，y＝－1为准线的抛物线，∴圆心M的轨迹方程为x2＝4y.(2)根据题

意可知：直线PQ的斜率存在且不为0.设直线PQ：y＝kx＋2(k≠0)，P(x1，x214)，Q(x2，x224)，则R(－x1，x214)，联立方程y＝kx＋2x2＝4y消去y得x2－4kx－8＝0，则Δ＝16k2＋32＞0，x1＋x2＝4k，x1x

2＝－8.直线QR的斜率为kQR＝x224－x214x2＋x1＝x2－x14，直线QR的方程为y－x224＝x2－x14(x－x2)，整理得y＝x2－x14x＋x1x24，即直线QR的方程为y＝x2－x14x－2，则直线QR经过定点(0，－2).19．解析：(1)由e＝223，

得c2a2＝a2－b2a2＝89，所以a2＝9b2，①又椭圆过点M(32，2)，则18a2＋2b2＝1，②由①②解得a＝6，b＝2，所以椭圆的标准方程为x236＋y24＝1.(2)设直线MA的斜率为k，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为

∠AMB的平分线与y轴平行，所以直线MA与MB的斜率互为相反数，则直线MB的斜率为－k.联立直线MA与椭圆方程，得y＝kx＋2－32kx236＋y24＝1，整理，得(9k2＋1)x2＋182k(1－3k)x＋162k2－108k－18＝0，所以x1＝

182（3k2－k）9k2＋1－32，同理可得x2＝182（3k2＋k）9k2＋1－32，所以x2－x1＝362k9k2＋1，x2＋x1＝1082k29k2＋1－62.又y2－y1＝－kx2＋2＋32k－(kx1＋2－32k)＝－k(x2＋x1)

＋62k＝－1082k39k2＋1＋122k＝122k9k2＋1，所以kAB＝y2－y1x2－x1＝122k9k2＋1362k9k2＋1＝13为定值．20．解析：(1)∵点A(2，1)在双曲线C：x2a2－y2a2－1＝1(a>1)上，∴4a2－1a2－1

＝1，解得a2＝2.∴双曲线C的方程为x22－y2＝1.显然直线l的斜率存在，可设其方程为y＝kx＋m.联立得方程组y＝kx＋m，x22－y2＝1.消去y并整理，得(1－2k2)x2－4kmx－2m2－2＝0.Δ＝16k2m2＋4(1－2k2)(2m2＋2)＝m2

＋1－2k2>0.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝4km1－2k2，x1x2＝－2m2－21－2k2.由kAP＋kAQ＝0，得y1－1x1－2＋y2－1x2－2＝0，即(x2－2)(kx1＋m－1)＋(x

1－2)(kx2＋m－1)＝0.整理，得2kx1x2＋(m－1－2k)(x1＋x2)－4(m－1)＝0，即2k·－2m2－21－2k2＋(m－1－2k)·4km1－2k2－4(m－1)＝0，即(k＋1)(m＋2k－1)＝0.故k＝－1或

m＝1－2k，当m＝1－2k时，直线l：y＝kx＋m＝k(x－2)＋1过点A(2，1).∵直线l不过点A，∴k＝－1.(2)设∠PAQ＝2α，0<α<π2，则tan2α＝22，∴2tanα1－tan2α＝22，解得tanα＝22(负值已舍去).由(1)得k＝－1，则x1x2＝2m2＋

2>0，∴P，Q只能同在双曲线左支或同在右支．当P，Q同在左支时，tanα即为直线AP或AQ的斜率．设kAP＝22.∵22为双曲线一条渐近线的斜率，∴直线AP与双曲线只有一个交点，不成立．当P，Q同在右支时，tan(π2－α)＝1tanα

即为直线AP或AQ的斜率．设kAP＝122＝2，则kAQ＝－2，∴直线AP的方程为y－1＝2(x－2)，即y＝2x－22＋1.联立得方程组y＝2x－22＋1，x22－y2＝1.消去y并整理，得3x2

－(16－42)x＋20－82＝0，则xP·2＝20－823，解得xP＝10－423.∴|xA－xP|＝|2－10－423|＝4（2－1）3.同理可得|xA－xQ|＝4（2＋1）3.∵tan2α＝22，0<2α<π，∴sin2α＝22

3，∴S△PAQ＝12|AP|·|AQ|·sin2α＝12×3×|xA－xP|×3×|xA－xQ|×sin2α＝12×3×169×223＝1629.21．解析：(1)由题意，得b＝1，2c＝23，a2＝b2＋c2，解得a＝2，b＝1，c＝3，∴

椭圆E的方程为x24＋y2＝1.(2)由题意可设直线BC的方程为y－1＝k(x＋2).联立得方程组x24＋y2＝1，y－1＝k（x＋2）.消去y并整理，得(4k2＋1)x2＋(16k2＋8k)x＋16k2＋16k＝0，

则Δ＝(16k2＋8k)2－4(4k2＋1)(16k2＋16k)>0，解得k<0.设B(x1，y1)，C(x2，y2)，∴x1＋x2＝－16k2＋8k4k2＋1，x1x2＝16k2＋16k4k2＋1.①∴直线AB的方程为y＝y1－1x1x＋1，则直线AB与x轴交点M的坐标为(－x1kx1

＋2k，0).同理得点N的坐标为(－x2kx2＋2k，0).∵|MN|＝2，∴|－x2k（x2＋2）－－x1k（x1＋2）|＝2，∴|x1－x2|＝|k[x1x2＋2(x1＋x2)＋4]|，∴（x1＋x2）2－4x1x2＝|k[x1x2＋2(x

1＋x2)＋4]|.②将①代入②，得(－16k2＋8k4k2＋1)2－4（16k2＋16k）4k2＋1＝k2[16k2＋16k4k2＋1－2（16k2＋8k）4k2＋1＋4]2.整理，得k2＋4k＝0.又k<0，∴k

＝－4.22．解析：(1)设动圆圆心M(x，y)，半径为r，依题意，|MN|＝r－12，r＝y＋1，于是得x2＋（y－12）2＝y＋12，化简得x2＝2y，所以曲线C的方程为x2＝2y.(2)依题意，直线l的斜率存在，设l的方程为y＝kx＋1，A(x1，12x21)，B(x2，12x22)

，由x2＝2yy＝kx＋1消去y并整理得，x2－2kx－2＝0，则有x1＋x2＝2k，x1x2＝－2，直线l1的斜率存在，设直线l1的方程为y－12x21＝m(x－x1)，由y－12x21＝m（x－x1）x2

＝2y消去y并整理得，x2－2mx＋2mx1－x21＝0，则有Δ＝4m2－4(2mx1－x21)＝0，解得m＝x1，切线l1的方程为y＝x1x－12x21，同理可得，切线l2的方程为y＝x2x－12x22，由y＝x1x－12x21y＝x2x－12x22，解得x＝x1＋x22

y＝x1x22，即点P(x1＋x22，x1x22)，则AB→＝(x2－x1，12x22－12x21)，AP→＝(x2－x12，x1（x2－x1）2)，PB→＝(x2－x12，x2（x2－x1）2)，因(AB→＋AP

→)·PB→＝0，即AB→·PB→＋AP→·PB→＝0，即（x2－x1）22＋x2（x1＋x2）（x2－x1）24＋（x2－x1）24＋x1x2（x2－x1）24＝0，化简得，3＋2x1x2＋x22＝0，因此x22＝1，于是得点B(1，12)或B(－1，12)，直线

l的斜率k＝±12，所以直线l的方程为x－2y＋2＝0或x＋2y－2＝0.滚动过关检测七第一章～第八章1．答案：D解析：(3－2i)(2－i)＝4－7i.2．答案：C解析：因为A∩B有4个元素，所以A∩B的真子集的个数为24－1＝1

5.3．答案：B解析：由x2－3x＜10，得－2＜x＜5，则14＜2x＜32.故“x2－3x＜10”是14＜2x＜31”的必要不充分条件．4．答案：C解析：当瓶内装满水并喝完一半，且水瓶正立放置时，圆锥上半部分占圆锥

体积的一半．设上半部分小圆锥的半径为rdm.易得小圆锥的高为2rdm，则13πr2·2r＝12×13π×42×8，解得r3＝32，即r＝234≈3.18dm，2r≈6.36dm，则剩余的水的高度为8－2r≈1.64dm.5．答案：D解析：因为f(x)

＝1＋2sin(2x＋π3)，所以f(x)的最大值为3，A错误；因为sin(－2×π12＋π3)≠±1，所以B错误；易知C错误；令π2＋2kπ≤2x＋π3≤3π2＋2kπ.k∈Z.解得π12＋kπ≤x≤7π12＋kπ，k∈Z.所以f(x)的单调递减区间为[π12＋kπ，7π12＋kπ]，k∈Z，所

以D正确．6．答案：B解析：因为2＜m＜8，所以e1＝1－2m，e2＝1－m8.所以e1·e2＝（1－2m）（1－m8）＝1＋14－（2m＋m8）≤54－22m·m8＝12.当且仅当m＝4时，等号成立，故e1·e2的最大值为12，e1·e2无最小值．7．答案：A解析：

函数g(x)＝f(x)－a有3个零点等价于y＝f(x)的图象与直线y＝a有3个不同的交点．如图，画出f(x)的大致图象，由图可知a∈(0，1).8．答案：A解析：由y＝－18x2，得x2＝－8y.如图，设点P的坐标为(m，n)，准线y＝2与y轴的交点为A

，则|PF|＝|PH|＝2－n，|FH|＝|AF|2＋|AH|2＝42＋m2＝16－8n，所以△PFH的周长为16－8n＋2(2－n)＝6＋26.设函数f(n)＝16－8n＋2(2－n)(n≤0)，则f(n)为减函数，因为f(－1)＝6＋26，所以n＝－1.9．答案：BCD解析：p是全称量词命题

，A错误．因为cos(10－10)＝lg10＝1，所以B正确．q的否定为“∀x∈R，(x－2)4≥x4－8x3＋24x2－32x＋15”，C正确．因为(x－2)4＝x4－8x3＋24x2－32x＋16，所以q是假命

题，D正确．10.答案：ABD解析：因为AC∥平面PDE，AC⊂平面ABC，平面ABC∩平面PDE＝DE，所以AC∥DE，因为D为AB的中点，所以E为BC的中点，则PE→＝12(PB→＋PC→)＝12(PD→＋12AB→＋PC→)＝14AB→＋12PC→＋1

2PD→，A正确．因为PA，AB，AC两两垂直，所以可证AC⊥平面PAB，又AC∥DE，所以DE⊥平面PAB，从而可证平面PDE⊥平面PAB，所以点A到平面PDE的距离即点A到PD的距离，通过计算可以求得A到PD的距离为2，D正确．依题意可得PC与平面ABC所成的角为∠PC

A＝45°，B正确．三棱锥P­ABC可补形得到一个长方体，所以三棱锥P­ABC外接球的半径r＝22＋22＋422＝6，所以三棱锥P­ABC外接球的表面积为4πr2＝24π，C错误．11．答案：AC解析：因为(1－cosA)b＝acosB，所以sinB＝sinAcos

B＋sinBcosA＝sin(A＋B)＝sinC，所以b＝c.设AD＝m，则b＝3m，在△ACD中，由余弦定理可得cosA＝（3m）2＋m2－422×3m2＝5m2－83m2，则sinA＝1－（5m2－83m2）2＝4－m4＋5m2－43m2，故△ABC的面积S＝12bcsi

nA＝12×9m2×4－m4＋5m2－43m2＝6－（m2－52）2＋94≤9，当且仅当m2＝52时，△ABC的面积取得最大值9，△ABC的面积无最小值．12．答案：ABD解析：由f′(x)－f(x)＝x2ex，可得f′（x）－f（x）ex＝x2，设g(x)＝f（x

）ex，则g′(x)＝x2，g(x)＝f（x）ex＝13x3＋k，k是常数，所以f(x)＝13x3ex＋kex.又因为f(1)＝e3，所以k＝0，f(x)＝13x3ex.又由g′(x)＝f′（x）－f（x）ex＝x2≥0.可得g(x)在R上是

单调递增函数，所以g(0)＜g(1)，g(1)＜g(2)，即f（0）e0＜f（1）e，f（1）e＜f（2）e2，所以ef(0)＜f(1)，ef(1)＜f(2)，故A正确，B正确．由f(x)＝13x3ex，可得f′(x)＝13x2(x＋3)ex，所以f(x)在(－∞，－3)

上是单调递减函数，在(－3，＋∞)上是单调递增函数，f(x)≥－9e3.如图，由图可知当f(x)－b＝0有两个根时，－9e3＜b＜0，所以D正确．f(x)只有极小值没有极大值，所以C错误．13．答案：36解析：由题意可得a＋

3b＝(m－3，11)，则(a＋3b)·b＝－(m－3)＋33＝0，解得m＝36.14．答案：－5，6解析：依题意可得二次方程x2＋ax＋b＝0的一个根为2，设另一个根为m.若m＜2，则f(x)的极大值点为m.若m＝2，f(x)为增函数，无极值点．若m＞2，当x≤1时，f′(x)≥0，当1＜x

＜2时，f′(x)＞0，当2＜x＜m时，f′(x)＜0，当x＞m时，f′(x)＞0，所以f(x)的极大值点为2，所以22＋2a＋b＝0，且由根与系数的关系易知－a＞4，b＞4，即2a＋b＝－4(a＜－4，b＞4).15．答案：5880解析：将3个0捆绑在一起，视为1个

数字，与其他7个数字(含重复数字1)排成一排，其中3个0不能排在首位，故3个0连在一起的十位数共有C17C37A44＝5880个．16．答案：(4n＋2)×3n136解析：当n＝1时，S1＝32a1－32，得a1＝18.当n≥2时，Sn－1＝32an－1－3

n.则Sn－Sn－1＝an＝32an－32an－1－2×3n，得an＝3an－1＋4×3n，所以an3n－an－13n－1＝4.又因为a131＝6，所以{an3n}是以6为首项，4为公差的等差数列，所以an3n＝4n＋2，即an＝(4n＋2)×3n.因为对任意n∈N＋，an≥2n

2＋nk，所以(4n＋2)×3n≥2n2＋nk，即2×3nn≥1k.记bn＝2×3nn，bn＋1bn＝3nn＋1＞1，所以{bn}是递增数列，从而bn≥b1＝6.所以1k≤6，解得k≥136，则k的最小值为136.17．解析：(1)因为a1，a2＋2，a3成等差

数列，所以a1＋a3＝2(a2＋2)，又因为a1＋a2＝4，则a3＝3a2，得{an}的公比为q＝3，所以a1＋3a1＝4，解得a1＝1，故an＝3n－1.(2)由bn＞0，b2n＋1－b2n＝2(bn＋1＋bn)，得bn＋1－bn＝2，则{bn}是等差数列，因为b1＝1，所以

bn＝2n－1，则cn＝2bn－an＝22n－1－3n－1，则Tn＝(21－30)＋(23－31)＋(25－32)＋…＋(22n－1－3n－1)＝(21＋23＋25＋…＋22n－1)－(30＋31＋32＋…＋3n－1)＝2（1－4n）1－4－1－3n1－3＝4n＋1－3n＋1－

16.18．解析：(1)在△ABD中，BD＝AB2＋AD2＝27，sin∠ABD＝ADBD＝27，cos∠ABD＝ABBD＝37，cos∠DBC＝cos(60°－∠ABD)＝cos60°cos∠ABD＋sin60°sin∠ABD＝32114.(2)BC＝BD·cos∠DBC＝33.A

C＝AB2＋BC2－2AB·BCcos∠ABC＝21.19．解析：(1)y′＝3ax2，则当x＝1时，y′＝3a，所以曲线y＝ax3在点(1，a)处的切线方程为y－a＝3a(x－1)，即3ax－y－2a＝0.依题意可知圆C的圆心为C(53，2)，圆C的半径为1，则圆心C(53，2)到

直线3ax－y－2a＝0的距离d＝|3a－2|（3a）2＋（－1）2＝1.解得a＝14.(2)由(1＋2m)x＋(1－m)y－3＝0，得x＋y－3＋m(2x－y)＝0.令2x－y＝0，且x＋y－3＝0，解得x＝1，y＝2，所以直线l过定点P(1，2).易知P(1，2)在圆C的内部，所以当

PC垂直于直线l时，|AB|取最小值，且最小值为21－|PC|2＝21－（23）2＝253.20．解析：(1)证明：由直三棱柱的定义可知AA1⊥平面ABC.因为CD⊂平面ABC，所以AA1⊥CD.因为AC＝BC，且D是棱AB的中点，所

以CD⊥AB.因为AB，AA1⊂平面ABB1A1，且AB∩AA1＝A，所以CD⊥平面ABB1A1因为CD⊂平面A1CD，所以平面A1CD⊥平面ABB1A1.(2)分别取AC，A1C1的中点O，E，连接OB，OE，易证OB，OC，OE两两垂直．以O为原点，分别以OB→，OC→，OE→的方向

为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．设AA1＝m(2≤m≤4)，则A1(0，－2，m)，C(0，2，0)，D(3，－1，0)，则A1C→＝(0，4，－m)，CD→＝(3，－3，0).设平面A1CD的法向量为n＝(x，y，z)，令z＝4，得n＝(3m，m，4).平面CC1

A1的一个法向量为m＝(1，0，0).设二面角D­A1C­C1为θ.由图可知，θ为钝角，则cosθ＝－|cos〈n，m〉|＝－|n·m||n||m|＝－3m4m2＋16＝－321＋4m2.因为2≤m≤4，所以1＋4m2∈[54，2]，故cosθ的取值范围是[－155，－

64].21．解析：(1)设C(x，y)，因为直线AC与直线BC的斜率乘积为3，所以yx＋1×yx－1＝3，所以x2－y23＝1(x≠±1)，故E的方程为x2－y23＝1(x≠±1).(2)易知直线l1的斜率存在且不为0.设直线l1：x＝ty＋2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，联立方程组

x＝ty＋2，x2－y23＝1，得(3t2－1)y2＋12ty＋9＝0.则y1＋y2＝－12t3t2－1，y1y2＝93t2－1.因为P，Q在y轴的两侧，所以y1y2＞0，所以3t2－1＞0.所以|PQ|＝1＋t2|y1－y2|

＝1＋t2·（y1＋y2）2－4y1y2＝6（t2＋1）3t2－1.因为l2∥l1，所以l2的方程为x＝ty.设M(x0，y0)，则N(－x0，－y0)，联立方程组x＝tyx2－y23＝1得(3t2－1)y2＝3.所以y20＝33t2－1，x20＝3t23t2－1，所以|MN|

2＝4(x20＋y20)＝12（1＋t2）3t2－1，所以|MN|2|PQ|＝12（1＋t2）3t2－1·3t2－16（t2＋1）＝2，即|MN|2|PQ|为定值2.22．解析：(1)f′(x)＝(x＋1)ex＋2ax，设

f″(x)为f′(x)的导函数，则f″(x)＝(x＋2)ex＋2a.设m(x)＝f″(x)，则m′(x)＝(x＋3)ex，当x＜－3时，m′(x)＜0；当x＞－3时，m(x)＞0.所以m(x)在(－∞，－3)上是单调递减函数，在(－3，＋∞)上是单调递增函数，所以m(x)min＝－1

e3＋2a，因为f(x)为R上的凹函数，所以－1e3＋2a≥0，解得a≥12e3，故a的取值范围是[12e3，＋∞).(2)证明：设函数h(x)＝ex－12x2－x－1，则h′(x)＝ex－x－1，则h′(x)的导函数h″(x)＝ex－1，若x＞0，则h″(x)＞0；若x

＜0，则h″(x)＜0.所以h′(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，所以h′(x)的最小值为h′(0)＝0，则h′(x)≥0，h(x)为单调递增函数，又h(0)＝0，所以当x＞0时，h

(x)＞0，当x＜0时，h(x)＜0，所以xh(x)＝xex－12x3－x2－x≥0，即xex≥12x3＋x2＋x所以f(x)＝xex＋ax2＋a≥12x3＋(a＋1)x2＋x＋a.由(1)知，a≥12e3，因为2.

7＜e＜2.8，所以a＞12×2.83＝143.904＞144，所以12x3＋(a＋1)x2＋x＋a＞12x3＋(144＋1)x2＋x＋144，故f(x)＞12x3＋4544x2＋x＋144.第九章统计、计数原理、概率、离散型随机变量及其分布考点练99抽样方法1

．答案：C解析：设样本量为n，则n200＋300＋500＝60300，解得n＝200.故选C.2．答案：D解析：由题意，从一、二、三车间抽取的冰墩墩数分别为a、b、c且a、b、c构成等差数列，可得a＋c＝2b，则第二车间生产的冰墩墩数为ba＋b

＋c×450＝b3b×450＝150.故选D.3．答案：BC解析：对于A，此为分层抽样；对于B，此为随机数表法；对于C，此为简单随机抽样；对于D，此为系统抽样．故选BC.4．答案：480解析：由抽取样本50人中，男生比女生多10人，可得样本中男生30人，女

生20人，男女生比例为3∶2，所以该校高一学生中女生的人数为1200×25＝480.5．答案：068解析：根据随机数表法最先检测的3袋牛奶编号为331、572、455、068.考点练100统计图表的应用1．答案：A

解析：依题意样本中服务时长超过32小时的个体频率为1－4×(0.005＋0.04＋0.09)＝0.46；由样本估计总体，可得总体中服务时长超过32小时的个体数为7.2×0.46＝3.312≈3.3(万人).故选A.2．答案：A解析：A.由于2015年移动电话普及率比2014年

的普及率低，所以近十年以来移动电话普及率逐年递增是错误的，所以该选项错误；B.近十年以来固定电话普及率逐年递减，所以该选项正确；C.2021年移动电话普及率为116.3部/百人，2020年移动电话普及率为112.9部/百人，所以2021比上年末提高3.4部/百人，

所以该选项正确；D.2021年固定电话普及率为12.8部/百人，2020年固定电话普及率为12.9部/百人，2021年比上年末降低0.7个百分点，所以该选项正确．故选A.3．答案：AD解析：2020年全年的销售额为3000.3＝1000万元，故第四季度的销售额为1000×28%＝280万

元，A正确；2020年上半年的总销售额为160＋260＝420万元，B错误；2020年2月份的销售额为1000×5%＝50万元，C错误；3、4、12三个月的月销售额均为60万元，D正确．故选AD.4．答案：BD解析：对于A，2008年～2012年连续4年下降，2012年～2021年连续9年上

升，A正确；对于B，2008年至2021年，江西省普通高考报名人数的中位数为2014年和2015年的平均数，约为34万人，B不正确；对于C，2021年江西省普通高考报名人数约为49万，2012年约为27万，增长大于80%，C正确；对于D，由表中的数据可知较上一年增长幅度最

大的是2014年，D错误．故选BD.5．答案：0.050解析：由(0.020＋0.025＋0.030＋0.035＋0.040＋a)×5＝1，解得a＝0.050.考点练101频率分布直方图与样本的数字特征1．答案：A解析：众数是一组数

据中出现次数最多的数，在这一组数据中8小时出现的次数最多，故众数是8；而将这组数据从小到大的顺序排列后，处于中间位置的那个数是第20，21个数的平均数，这组数据的中位数是9＋92＝9.故选A.2．答案：D解析：对于A

，设x－＝1ni＝1nxi，则y－＝1ni＝1nyi＝1ni＝1n(xi＋1)＝1ni＝1nxi＋1＝x－＋1，所以y－≠x－，A选项错误；对于B，因为yi＝xi＋1(i＝1，2，…，n)，所以y1，y2，…，yn的中位

数是x1，x2，…，xn的中位数加1，B选项错误；对于C，若x1，x2，…，xn的众数为xm，因为yi＝xi＋1(i＝1，2，…，n)，所以y1，y2，…，yn的众数为ym＝xm＋1，C选项错误；对于D，设

s21＝1ni＝1n(xi－x－)2，s22＝1ni＝1n(yi－y－)2，则s22＝1ni＝1n(xi＋1－x－－1)2＝1ni＝1n(xi－x－)2＝s21，D选项正确．故选D.3．答案：BCD解析：根据甲组

的样本数据的频率分布直方图可知为单峰的，直方图在右边“拖尾”，所以甲组的平均数大于中位数，且都小于7，同理可得乙组的平均数小于中位数，且都大于7，故甲组数据中位数小于乙组数据中位数，故A错误；甲组数据平均数小

于乙组数据平均数，故B正确；甲组数据平均数大于甲组数据中位数，故C正确；乙组数据平均数小于乙组数据中位数，故D正确．故选BCD.4．答案：BCD解析：在骑车时间频率分布直方图中，设骑车时间的中位数为a1，所以有0.1×2＋0.2×(a1－20)＝0.5⇒a1＝21.

5，因此选项A不正确；骑车时间的众数的估计值为21分钟，因此选项B正确；设骑车时间的平均数为b1，b1＝(19×0.1＋21×0.2＋23×0.15＋25×0.05)×2＝21.6；在公交时间频率分布直方图中，设坐公交时

间的中位数为a2，因为(0.025＋0.05＋0.075＋0.1)×2＝0.5，所以a2＝20，因此选项C正确；设坐公交时间的平均数为b2，b2＝(13×0.025＋15×0.05＋17×0.075＋19×0.1＋21×0.1＋23×0.075＋25×0.05＋27×

0.025)×2＝20，因为b1>b2，所以选项D正确．故选BCD.5．答案：x－2<x－<x－1解析：由题中表格中的数据可知，x－1＝96＋95＋96＋89＋97＋986≈95.由题中频率直方图可知，x－2＝75×0.2＋85×0.3

＋95×0.5＝88，则x－1>x－2，x－为所有嘉宾与场内外观众的共同评分，所以x－2<x－<x－1.考点练102总体百分位数的估计1．答案：D解析：题干中共10个数，因为10×0.3＝3，所以所求的30%分位数为2

＋32＝2.5.故选D.2．答案：C解析：20×75%＝15，样本中，第15个、第16个数据分别为235，249，所以样本数据的第75百分位数为235＋2492＝242.故选C.3．答案：AD解析：将已知的6个数从

小到大排序为45，49，53，57，61，79.若x≤57，则这组数据的第80百分位数与第60百分位数分别为61和57，他们的差为4，不符合条件；若x≥79，则这组数据的第80百分位数与第60百分位数分别为79和61，它们的差为18，不符合条件；若57<x<79，则这组数

据的第80百分位数与第60百分位数分别为x和61(或61和x)，则|x－61|＝3，解得x＝58或x＝64.故选AD.4．答案：BCD解析：由题意(0.01×2＋a×2＋0.02＋0.03)×10＝1，所以a＝0.015，故A

错误；优秀学生人数为0.1×100＝10，不及格学生人数0.25×100＝25，优秀学生人数比不及格学生人数少15人，故B正确；平均分＝45×0.1＋55×0.15＋65×0.2＋75×0.3＋85×0.15＋95×0.1＝

70.5，故C正确；设百分位数为x，则有0.1＋0.15＋0.2＋(x－70)×0.03＝0.69，所以x＝78，故D正确．故选BCD.5．答案：7(8，9，10)解析：因为八个数字的下四分位数就是第二个数和第三个数的平均值，而七个数的下四分位数就是第二位的数，去掉

m后，从小往大排列分别是6，7，…，也就是说，第2个数和第3个数都是7，所以只要m≥7，就是排在第四个数往后，不管是8，9，10都不会影响．所以整数m的值可以是7，或8，或9，或10.考点练103成对数据的相关性与一元线性回归模型1．

答案：A解析：因为∑8i＝1xi＝12，所以x－＝32，因为∑8i＝1yi＝16，所以y－＝2.因为线性回归直线经过样本中心点，所以2＝－2×32＋a^，解得a^＝5.故选A.2．答案：ABC解析：由表中的数据，得x－＝10＋20＋30＋40＋505

＝30，y－＝62＋68＋75＋81＋895＝75，将x－，y－代入y^＝b^x＋54.9，得b^＝0.67，选项A，B均正确，10，20，30，40，50的中位数是30，选项C正确；当x＝60时，y^＝0.67×60＋54.9＝95.1，所以加工时间约是95.1min，而非一定是95.1

min，选项D错误．故选ABC.3．答案：4.5解析：因为样本(4，3)处的残差为－0.15，即y－y^＝3－(0.7×4＋a^)＝－0.15，所以a^＝0.35，所以回归方程为y^＝0.7x＋0.35，因为x－＝3＋4＋5＋64＝4.5，y－＝2.5＋3＋4＋m4＝9.

5＋m4，因为样本中心点(x－，y－)在回归直线上，所以9.5＋m4＝0.7×4.5＋0.35，解得m＝4.5.4．解析：(1)根据散点图判断，y＝cdx适合作为销量y与月份x的回归方程类型．(2)对y＝cdx两边同时取常用对数得lgy＝lgc＋xlgd，设lgy＝v，则v＝

lgc＋xlgd，因为x－＝4，v－＝1.54，i＝17x2i＝140，所以lgd^＝0.25，把样本中心点(4，1.54)代入v＝lgc＋xlgd，得lgc＝0.54，所以v^＝0.54＋0.25x，即l

gy^＝0.54＋0.25x，所以y关于x的回归方程为y^＝100.54＋0.25x＝100.54×100.25x＝3.47×100.25x，把x＝8代入上式，得y^＝3.47×102＝347，所以预测2022年8月份的销量为347百件(34700件).(3)由题意得Q＝yP＝3.47×10－

0.05x2＋0.85x(x∈N且1≤x≤12)，构造函数f(x)＝－0.05x2＋0.85x(x>0)，所以当x＝8或9时，f(x)取最大值，即2022年8月份或9月份利润最大．考点练104列联表与独立性检验1．答案：A解析：因为χ2≈10.9

21，即χ2>10.828，所以在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“药物有效”或有99.9%以上的把握认为“药物有效”．故选A.2．答案：ACD解析：补充完整列联表如下：该市一天中，空气中PM2.

5浓度不超过75μg/m3，且SO2浓度不超过150μg/m3的概率估计值为64100＝0.64，故A正确；χ2＝n（ad－bc）2（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）＝1000×（640×100－160×100）2800×200×740×260≈74.844≠7.4844，故B不

正确；因为7.4844>6.635，根据临界值表可知，在犯错的概率不超过1%的条件下，即有超过99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关，故C，D均正确．故选ACD.3．答案：46解析：由题意可得χ2＝100[a（a－30）－（50－

a）（80－a）]250×50×80×20≥6.635，整理得(100a－4000)2≥502×42×6.635，所以100a－4000≥200×6.635≈200×2.58＝516或100a－4000≤－200×6.635≈－200×2.58＝－516，解得a≥4

5.16或a≤34.84，又因为a≥40且a∈N*，所以a≥46，所以a的最小值为46.4．解析：(1)由频率分布直方图知，(0.005＋0.010＋0.020＋0.030＋a＋0.010)×10＝1，解得a＝0.025，所以a的值是0.025.(2)由(1)知a＝0

.025，则比赛成绩不低于80分的频率为(0.025＋0.010)×10＝0.35，所以从参加冬奥知识竞赛活动的学生中随机抽取一名学生，该学生的比赛成绩不低于80分的概率约为0.35.(3)由(2)知，在抽取的100名学生中，比赛成绩优秀的有100×0.35＝35人，由此可得完整的2×2列

联表：优秀非优秀合计男生104050女生252550合计3565100零假设H0：比赛成绩优秀与性别无关，根据表中的数据，计算得到χ2＝100×（10×25－25×40）235×65×50×50＝90091≈9.890<10.828＝x0.001，依据小概率值

α＝0.001的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，因此可以认为H0成立，即没有99.9%的把握认为比赛成绩优秀与性别有关．考点过关检测17统计与成对数据的统计分析1．答案：B解析：依题意，该田径队运动员的平均身高为177

.5×47＋168.4×37＝173.6cm.故选B.2．答案：B解析：由统计图可知，讲座前这10位社区居民问卷答题的正确率分别为65%，60%，70%，60%，65%，75%，90%，85%，80%，9

5%.对于A项，将这10个数据从小到大排列为60%，60%，65%，65%，70%，75%，80%，85%，90%，95%，因此这10个数据的中位数是第5个与第6个数的平均数，为70%＋75%2＝72.5%＞70%，A错误．对于B项，由统计图可知，讲座后

这10位社区居民问卷答题的正确率分别为90%，85%，80%，90%，85%，85%，95%，100%，85%，100%，所以讲座后这10位社区居民问卷答题的正确率的平均数为110×(90%＋85%＋80%＋90%＋85%＋85%＋95%

＋100%＋85%＋100%)＝89.5%＞85%，B正确．对于C项，讲座后这10位社区居民问卷答题的正确率的方差s2后＝110×[(90%－89.5%)2＋(85%－89.5%)2＋…＋(85%－89.5%)2＋(100%－89.5%)2]＝42.2510000，所以标准差s

后＝6.5%.讲座前这10位社区居民问卷答题的正确率的平均数为110×(60%＋60%＋65%＋65%＋70%＋75%＋80%＋85%＋90%＋95%)＝74.5%，所以讲座前这10位社区居民问卷答题的正确率的方差为s2前＝110×[(60%－74.5%)2＋(60%－74.

5%)2＋…＋(90%－74.5%)2＋(95%－74.5%)2]＝142.2510000，所以标准差s前≈11.93%.所以s前＞s后，C错误．对于D项，讲座前问卷答题的正确率的极差为95%－60%＝35%，讲座后问卷答

题的正确率的极差为100%－80%＝20%，D错误．故选B.3．答案：B解析：在频率分布直方图中，各小矩形面积和为1，即20×(0.002＋0.0095＋0.011＋0.0125＋x＋0.005＋0.0025)＝1，

解得x＝0.0075.故选B.4．答案：C解析：因为∑100i＝1xi＝3000，∑100i＝1yi＝7900，所以x－＝3000100＝30，y－＝7900100＝79，所以79＝0.3×30＋a，则a＝

70.当x＝2×60＝120时，y＝0.3×120＋70＝106.故选C.5．答案：C解析：设2020年5种系列产品年总收入为m，则2021年5种系列产品年总收入为2m，2020年甲系列产品收入为0.4m，2021年甲系列产品收入为0.4m，A正确；

2021年乙和丙系列产品收入之和为1.1m，B正确；2020年丁系列产品收入为0.15m，2021年丁系列产品收入为0.1m，是2020年丁系列产品收入的23，C不正确；2020年戊系列产品收入为0.15m，2021年戊系列产品收入为0.4m，

比2020年戊系列产品收入的2倍还多，D正确．故选C.6．答案：D解析：对于A，中位数为4，众数为4，则这5个数可以为4，4，4，4，4，故A不符题意；对于B，中位数为3，极差为4，则这5个数可以是1，1，3，4，

5，故B不符题意；对于C，平均数为3，方差为2，设这5个数分别为x1，x2，x3，x4，x5，则x1＋x2＋x3＋x4＋x5＝15，15[(x1－3)2＋(x2－3)2＋(x3－3)2＋(x4－3)2＋(x5－3)2]＝2，若

取x1＝6，则x2＋x3＋x4＋x5＝9，则(x2－3)2＋(x3－3)2＋(x4－3)2＋(x5－3)2＝1，所以(x2－3)2≤1，(x3－3)2≤1，(x4－3)2≤1，(x5－3)2≤1，所以x2，x3，x4，x5这四

个数可以为4，3，3，3与2，3，3，3，这与x2＋x3＋x4＋x5＝9矛盾，所以6不存在，故C不符题意；对于D，按从小到大的顺序设这5个数为a，b，c，d，e，因为5×25%＝1.25，所以第25百分位数为5个数中从小到大排列的第二个数，又第

25百分位数为2，所以a＝1，b＝2，因为平均数为4，所以a＋b＋c＋d＋e＝20，则c＋d＋e＝17，若c，d，e三个数都不是6，则c＋d＋e≤15，这与c＋d＋e＝17矛盾，故c，d，e三个数一定会出现6，故D符合题意．故选D.7．答案：CD解析：A：E(y)＝E(x＋c)＝E(x)＋c

且c≠0，故平均数不相同，错误；B：若第一组中位数为xi，则第二组的中位数为yi＝xi＋c，显然不相同，错误；C：D(y)＝D(x)＋D(c)＝D(x)，故方差相同，正确．D：由极差的定义知：若第一组的极差为xmax－xmin，则第二

组的极差为ymax－ymin＝(xmax＋c)－(xmin＋c)＝xmax－xmin，故极差相同，正确．故选CD.8．答案：AC解析：由标准差的定义可知，标准差考查的是数据的离散程度；由中位数的定义可知，中位数考查的是数据的集中趋势；由极差的定

义可知，极差考查的是数据的离散程度；由平均数的定义可知，平均数考查的是数据的集中趋势．9．答案：ABC解析：因为x－＝15×(1＋2＋3＋4＋5)＝3，y－＝15×(4.9＋5.1＋5.5＋5.7＋5.8)＝5.4，所以5.4＝0.24×3＋a^，得a^＝4.68

，所以A正确，因为5×75%＝3.75，所以借阅量4.9，5.1，5.5，5.7，5.8的75%分位数为5.7，所以B正确，因为0.24>0，所以y与x的线性相关系数r>0，所以C正确，由选项A可知经验回归方程为y^＝0.24x＋4.68，当x＝6时，y^＝0.24×6＋4

.68＝6.12，所以2023年的借阅量约为6.12万册，所以D错误．故选ABC.10．答案：BC解析：由(0.05＋0.075＋0.075＋m＋0.200)×2＝1，解得m＝0.1，故A错误；由频率分布直方图可知，女观众收看时长在[3，5)的频率为0.1×2＝0.2，在[5，7)的频率为0

.2×2＝0.4，所以女观众收看时长的中位数落在[5，7)中，不妨设为x，则0.2＋0.2×(x－5)＝0.5，解得x＝6.5，则女观众收看时长的中位数为5＋34×2＝6.5，故B正确；男性观众收看节目的平均时长为0.1×4＋0.15×6＋0.4×8＋0

.2×10＋12×0.15＝8.3小时，女性观众收看节目的平均时长为0.2×4＋0.4×6＋0.3×8＋0.1×10＝6.6小时，故C正确；由频率直方图可知，男性观众收看达到9小时人数为200×60%×(0.2＋0.15)＝42人，女性观众

收看达到9小时人数为200×40%×0.1＝8人，故D错误．故选BC.11．答案：15解析：根据等高条形图可知：喜欢徒步的男生人数为0.6×500＝300，喜欢徒步的女生人数为0.4×400＝160，所以喜欢徒步的总人数

为300＋160＝460，按分层抽样的方法抽取23人，则抽取的男生人数为300460×23＝15人．12．答案：5.75解析：解不等式组x－3≥05－x<0得x>5，因为x是整数，数据3，6，8，x的中位数是x，所以x＝6.这组数据的平

均数是14(3＋6＋6＋8)＝5.75.13．答案：8解析：因为10×30%＝3，甲组数据的第30百分位数为第三个数和第四个数的平均数，乙组数据的中位数为第四个和第五个数的平均数，根据题意可得37＋a2＝b＋452，解得a－b＝8.14

．答案：78解析：由图可知，从左到右矩形的面积为0.2，0.4，0.25，因为0.2＋0.4＋0.25＝0.85>0.8，所以80%分位数位于第3个矩形，设80%分位数为x，所以x＝80－0.050.025＝78.15．解析：(1)该林区这种树木平均一棵的根部

横截面积x－＝0.610＝0.06(m2)，平均一棵的材积量y－＝3.910＝0.39(m3).(2)由题意，得∑10i＝1(xi－x－)2＝∑10i＝1x2i－10x－2＝0.038－10×0.062

＝0.002，∑10i＝1(yi－y－)2＝∑10i＝1y2i－10y－2＝1.6158－10×0.392＝0.0948，∑10i＝1(xi－x－)(yi－y－)＝∑10i＝1xiyi－10x－y－＝0.2474－10×0.0

6×0.39＝0.0134，所以相关系数r＝0.01340.002×0.0948＝0.01341.896×0.0001≈0.01340.01377≈0.97.(3)因为树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，所以比例系数k＝y－x－＝0.390.06＝6.

5，所以该林区这种树木的总材积量的估计值为186×6.5＝1209(m3).16．解析：(1)因为从参与调查的男性中随机选取1名，抽到“了解冰雪运动”的概率为23，所以m＝60×23＝40，所以n＝20，p＝30，q＝30.(2)能；理由如下：由题意知，χ2＝120×（40×30－20×30

）260×60×70×50＝247≈3.429>2.706，所以能在犯错误概率不超过0.1的前提下认为该市居民了解冰雪运动与性别有关．考点练105排列、组合1．答案：C解析：若选一男两女共有C12C24A33＝72；若选两男一女共有C22C14A33＝24；因此共有96种

．故选C.2．答案：A解析：由题可知把7名工作人员分别分为(1，1，5)，(2，2，3)，(3，3，1)三种情况，把7名工作人员分为1，1，5三组，则不同的安排方式共有C17C16C55A22·A33＝126种，把7名工作人员分为2，2，3三组，不同的安排

方式共有C27C25C33A22·A33＝630种，把7名工作人员分为3，3，1三组，不同的安排方式共有C37C34C11A22·A33＝420种，综上，不同的安排方式共有126＋630＋420＝1176种．故选A.3．答案：ABC解析：对于A，若任意选择三门课程

，选法总数为C37种，可判断A正确；对于B，若物理和化学选一门，有C12种方法，其余两门从剩余的5门中选2门，有C25种选法，若物理和化学选两门，有C22种选法，剩下一门从剩余的5门中选1门，有C15种选法，由分步乘法计数原理知，总数为C12C25＋C22C15种选法，故B正确；对于C，

若物理和历史不能同时选，选法总数为C37－C22C15＝C37－C15种，故C正确；对于D，若物理和化学至少选一门，有3种情况，①只选物理有且物理和历史不同时选，有C11C24种选法；②选化学，不选物

理，有C11C25种选法；③物理与化学都选，有C22C14种选法，故总数为C11C24＋C11C25＋C22C14＝6＋10＋4＝20种，故D错误．故选ABC.4．答案：ABD解析：6个人全排列有A66种方法，A、C、D全排列

有A33种方法，所以A、C、D从左到右按高到矮的排列有A66A33＝120种方法，故A正确；先排列除A与C外的4个人，有A44种方法，4个人排列共有5个空，利用插空法将A和C插入5个空，有A25种方法，所以共有A44A25种方法，

故B正确；A、C、D必须排在一起且A在C、D中间的排法有2种，将这3人捆绑在一起，与其余3人全排列，有A44种方法，所以共有2A44＝48种方法，故C错误；6个人全排列有A66种方法，当A在排头时，有A55种方

法，当C在排尾时，有A55种方法，当A在排头且C在排尾时，有A44种方法，所以A在排头，C在排尾的情况共有A66－2A55＋A44种，故D正确．故选ABD.5．答案：20解析：根据题意，分两种情况．若A与C之间为B，即B在A，C中间且三人相邻，共有

A22＝2种情况，将三人看成一个整体，与D，E两人全排列，共有A33＝6种情况，则此时有2×6＝12种排法，若A与C之间不是B，先从D，E中选取1人，安排在A，C之间，有C12＝2种选法，此时B在A的另一侧，将四人

看成一个整体，考虑之前的顺序，有A22＝2种情况，将这个整体与剩下的1人全排列，有A22＝2种情况，此时有2×2×2＝8种排法，所以总共有12＋8＝20种情况符合题意．6．答案：66解析：当选择两种颜色时，因为橄榄绿与薄荷绿不

涂在相邻的区域内，所以共有C24－1＝5种选法，因此不同的涂色方法有5×2＝10种，当选择三种颜色且橄榄绿与薄荷绿都被选中，则有2种涂法，因此不同的涂色方法有2×2×2＝8种，当选择三种颜色且橄榄绿与薄荷绿只有一个被选中，则有2种涂法，因此不同的涂色方法有2×3×2×(2＋1)＝36种，当选择四

种颜色时，不同的涂色方法有2×2×2＋2×2＝12种，所以共有10＋8＋36＋12＝66种不同的涂色方法．考点练106二项式定理1．答案：C解析：(x－1x)10的展开式通项公式为Tk＋1＝Ck10(x)10－k(

－1x)k＝(－1)kCk10x5－k，令5－k＝2得k＝3，故x2项的系数是(－1)3C310＝－120.故选C.2．答案：A解析：(x－2x－1)5＝(x－2x－1)(x－2x－1)(x－2x－1)(x－2x－1

)(x－2x－1)，所以展开式中的常数项为(－1)5＋C15C14×(－2)×(－1)3＋C25C23×(－2)2×(－1)＝－81.故选A.3．答案：ABD解析：(x2－1x)6的通项为Tk＋1＝Ck6(－1)kx12－3k，令12－3k＝0⇒k＝4，常数项为C46(－1)

4＝15，A正确；(x2－1x)6中令x＝1可得展开式中各项系数之和是0，B正确；二项式系数最大值为中间项的二项式系数C36＝20，C不正确；令12－3k＝4⇒k＝83，不是整数，即f(x)＝(x2－1x)6不含x4的项，D正确．故选ABD.

4．答案：AD解析：因为(x－2)8＝a8x8＋a7x7＋…＋a1x＋a0，令x＝0，则a0＝28，故A正确；令x＝1，则a0＋a1＋a2＋…＋a8＝(2－1)8＝1，所以a1＋a2＋…＋a8＝1－28，故B错误；令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋…＋a8＝38，所以a

0＋a2＋a4…＋a8＝38＋12，a1＋a3＋…＋a7＝1－382，a0＝28，所以|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a8|＝38－28，故C错误；对(x－2)8＝a8x8＋a7x7＋…＋a1x＋a0两边对x取导得8(x－2)7＝a1＋2a2x

＋3a3x2＋…＋8a8x7，再令x＝1得a1＋2a2＋3a3＋…＋8a8＝－8，故D正确．故选AD.5．答案：1解析：(1＋x)4＝1＋4x＋6x2＋4x3＋x4，(2－ax)(1＋x)4展开式中x3的系数为2，所以8－6a＝2，解得a＝1.6．答案：－1解析：令x＝0，

得a0＝1，令x＝12，得a0＋a12＋a222＋…＋a202322023＝0，所以a12＋a222＋…＋a202322023＝－1.考点练107古典概型1．答案：B解析：不超过18的素数有2，3，5，7，11，13，17，随机选取两个不同的数有C27＝21种，和等于16的有3＋

13＝16，5＋11＝16共2种，所以和等于16的概率是221.故选B.2．答案：C解析：分别用a1，a2，b1，b2，c1，c2表示6只鞋，则可能发生的情况有15种，如下所示：(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)

，(a1，c1)·(a1，c2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，c1)，(a2，c2)，(b1，b2)，(b1，c1)，(b1，c2)，(b2，c1)，(b2，c2)，(c1，c2)，取出的鞋子是一只左脚一只右脚，

但不是一双的事件有6种，即(a1，b2)，(a1，c2)，(a2，b1)，(a2，c1)，(b1，c2)，(b2，c1)，∴P＝615＝25.故选C.3．答案：A解析：除甲、乙、丙余下的两个人全排列，把甲、乙捆绑在一起和丙一起作为两个人插空，可得符合条件

的基本事件的个数，所以所求概率为A22A22A23A55＝24120＝15.故选A.4．答案：ABC解析：甲同学仅随机选一个选项，共有4个基本事件，分别为{A}，{B}，{C}，{D}，随机事件“若能得5分”中有基本事件{C}，{

D}，故“能得5分”的概率为12，故A正确；乙同学仅随机选两个选项，共有6个基本事件，分别为{A，B}，{A，C}，{A，D}，{B，C}，{B，D}，{C，D}，随机事件“能得10分”中有基本事件{C，D}，故“能得10分”的概率

为16，故B正确；丙同学随机选择选项(丙至少选择一项)，由A、B中的分析可知共有基本事件15种，分别为选择一项：{A}，{B}，{C}，{D}；选择两项：{A，B}，{A，C}，{A，D}，{B，C}，{B，D}，{C，D}；选择三项或全选

：{A，B，C}，{A，B，D}，{A，C，D}，{B，C，D}，{A，B，C，D}，随机事件“能得分”中有基本事件{C}，{D}，{C，D}，故“能得分”的概率为315＝15，故C正确；丁同学随机至少选择两个选项，由C的分析可知：共有基本事件

11个，随机事件“能得分”中有基本事件{C，D}，故“能得分”的概率为111，故D错．故选ABC.5．答案：BCD解析：从8个顶点中的任取3个顶点构成的直角三角形共有6C34＋12×2＝48个，其中等腰直角三角形有24个，所以一个K­三角形在它是直角三角形的条件下

，它又是等腰直角三角形的概率P＝2448＝12，A错．从8个顶点中任取3个顶点构成的等腰三角形共有C38－12×2＝32，其中的等边三角形有8个，一个K­三角形在它是等腰三角形的条件下，它又是等边三角形的概率P＝832＝14，B正确．相互平行的棱

对有3C24＝18对，其中距离为2的棱对有6对，一组棱对中两条棱所在直线在互相平行的条件下，它们的距离为2的概率P＝13，C正确．相互垂直的棱对有12×4＝48对，其中相互异面的棱对有12×2＝24对，故

一组棱对中两条棱所在直线在互相垂直的条件下，它们异面的概率P＝12，D正确．故选BCD.6．答案：3135解析：从4名男医生和3名女医生中选出3名医生的所有组合有C37种，再求出选出的3名医生中，全是男医生的组合有C34种，所以至少有1名女医生的概率P＝1－

C34C37＝3135.考点练108和事件、积事件及其概率1．答案：D解析：记甲是通过飞沫传播被感染为事件A，乙是通过飞沫传播被感染为事件B，P(A)＝P(B)＝23，甲、乙两患者至少有一人是通过飞沫传播被感染的概率为P＝1－P(

AB)＝1－P(A)P(B)＝1－1－23×1－23＝89.故选D.2．答案：AC解析：由题意可得P(M)＝24＝12，故A正确；当两次抛掷的点数为(1，4)时，事件M与事件N同时发生，所以事件M与事件N不互斥，故B错误；事件M与事件N同时发生

的情况有(1，2)，(1，4)，(2，1)，(2，3)共4种，所以P(MN)＝416＝14，又P(N)＝816＝12，所以P(MN)＝P(M)·P(N)，故事件M与事件N相互独立，故C正确；P(M＋N)＝P(M)＋P(N)－P

(MN)＝12＋12－14＝34，故D错误．故选AC.3．答案：8解析：设某射手射击n次，则目标被击中的概率P＝1－(1－0.6)n＝1－0.4n，∴令1－0.4n≥0.999，0.4n≤0.001，∴lg0.4n≤lg0.001，∴n≥－3lg0.4＝－32lg2－1≈

7.5，(n∈N*)，故nmin＝8.4．解析：(1)设甲停车付费a元，乙停车付费b元，其中a，b∈{0，3，6}．所以甲、乙两人停车付费(a，b)的所有可能情况为(0，0)，(0，3)，(0，6)，(3，0

)，(3，3)，(3，6)，(6，0)，(6，3)，(6，6)，共9种．其中事件“甲、乙两人停车付费之和为6元”包含(0，6)，(3，3)，(6，0)，共3种情况，故甲、乙两人停车付费之和为6元的概率为39＝13.(2)设甲停车的时长不超过半小时、乙停车的时长不超过半小时分别

为事件A1，B1，甲停车的时长在半小时以上且不超过1.5小时、乙停车的时长在半小时以上且不超过1.5小时分别为事件A2，B2，甲停车的时长为1.5小时以上且不超过2.5小时、乙停车的时长在1.5小时以上且不超过

2.5小时分别为事件A3，B3，则P(A1)＝1－P(A2)－P(A3)＝1－14－512＝13，P(B1)＝1－P(B2)－P(B3)＝1－13－16＝12，所以甲、乙两人临时停车付费相同的概率为P(A1B1＋A

2B2＋A3B3)＝P(A1B1)＋P(A2B2)＋P(A3B3)＝P(A1)P(B1)＋P(A2)P(B2)＋P(A3)P(B3)＝13×12＋14×13＋512×16＝2372.所以甲、乙两人临时停车

付费不相同的概率为1－2372＝4972.考点练109条件概率和全概率公式1．答案：C解析：设A为事件甲同学报的项目其他同学不报，B为事件4位同学所报项目各不相同，由题得n(A)＝4×3×3×3，n(AB)＝4×3×2×1，所以P(B|A)＝n（AB）n（A）

＝4×3×2×14×3×3×3＝29.故选C.2．答案：AC解析：由题意分析可知：P(M|A)＝P（AM）P（A）＝26×4726＝47，故C正确；P(M|B)＝P（BM）P（B）＝46×3746＝37，故D错误；所以P(M)＝P(AM)＋P(BM)＝P(M|A)·P(A)＋P(M|B)P(B)＝

26×47＋46×37＝1021.故A正确，B错误．故选AC.3．答案：0.625解析：设“考生答对题目”为事件A，“考生知道正确答案”为事件B，则P(B)＝0.5，P(A|B)＝1，P(A|B)＝0.25，∴P(A)＝P(A∩B)＋P(A∩B)＝P(A|

B)P(B)＋P(A|B)P(B)＝1×0.5＋0.25×0.5＝0.625.4．解析：(1)设事件B1，B2，B3分别表示取出的工件是甲、乙、丙车间生产的，A表示“取到的是次品”．易知B1，B2，B3两两互斥，根据全概率公式，可得P(A)＝i＝13P(Bi)P(A|Bi)＝0.25×0.05＋

0.35×0.04＋0.4×0.02＝0.0345.故取到次品的概率为0.0345.(2)P(B1|A)＝P（AB1）P（A）＝P（B1）P（A|B1）P（A）＝0.25×0.050.0345≈0.36.故已知取到的是次品，它是甲车间生产的概率为0.

36.考点过关检测18计数原理、概率1．答案：D解析：方法一从2，3，4，5，6，7，8中随机取2个不同的数有C27＝21(种)结果，其中这2个数互质的结果有(2，3)，(2，5)，(2，7)，(3，4)，(3，5)，(3，7)，(3，8)，(4，5)，(4，7)，(5，6)，(5，7)，(5，8

)，(6，7)，(7，8)，共14种，所以所求概率为1421＝23.故选D.方法二从2，3，4，5，6，7，8中随机取2个不同的数有C27＝21(种)结果，其中这2个数不互质的结果有(2，4)，(2，6

)，(2，8)，(3，6)，(4，6)，(4，8)，(6，8)，共7种，所以所求概率为21－721＝23.故选D.2．答案：B解析：先利用捆绑法排乙、丙、丁、戊四人，再用插空法选甲的位置，共有A22A33C12＝24(种)不

同的排列方式．故选B.3．答案：A解析：从这种铅笔中任取一件抽到甲的概率为0.6，抽到乙的概率是0.4，抽到甲车间次品的概率P1＝0.6×0.1＝0.06，抽到乙车间次品的概率P2＝0.4×0.05＝0.02，任取一件抽

到次品的概率P＝P1＋P2＝0.06＋0.02＝0.08.故选A.4．答案：B解析：方法一当x＝1时，1＝a4＋a3＋a2＋a1＋a0①；当x＝－1时，81＝a4－a3＋a2－a1＋a0②.(①＋②)÷2，得a4＋a2

＋a0＝1＋812＝41.故选B.方法二由二项式定理可得(2x－1)4＝C04(2x)4·(－1)0＋C14(2x)3(－1)1＋C24(2x)2(－1)2＋C34(2x)·(－1)3＋C44(2x)0(－1)4＝16x4－32

x3＋24x2－8x＋1，所以a4＝16，a2＝24，a0＝1，所以a0＋a2＋a4＝41.故选B.5．答案：C解析：C16C25C33＝60.故选C.6．答案：B解析：P(甲)＝16，P(乙)＝16，P(丙)＝536，P(丁)＝636＝16，P(甲丙)＝0≠P(甲)P

(丙)，P(甲丁)＝136＝P(甲)P(丁)，P(乙丙)＝136≠P(乙)P(丙)，P(丙丁)＝0≠P(丙)P(丁).故选B.7．答案：B解析：设A1，A2分别表示取得的这块芯片是由甲厂、乙厂生产的，B表示取得

的芯片为次品，甲厂生产该芯片的次品率为p，则P(A1)＝1220＝35，P(A2)＝25，P(B|A1)＝p，P(B|A2)＝120，则由全概率公式得P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝35×p＋25×120＝0.08，解得p＝110.故选B

.8．答案：D解析：设第二盘与甲比赛，则p甲＝2[p2p1(1－p3)＋(1－p2)p1p3]＝2p1(p2＋p3－2p2p3).设第二盘与乙比赛，则p乙＝2[p2p1(1－p3)＋(1－p1)p2p3]＝2p2(p1＋p3－2p1p3).设第二盘与丙比赛，则p丙＝2[p3p1(

1－p2)＋(1－p1)p2p3]＝2p3(p1＋p2－2p1p2).p甲－p乙＝2p3(p1－p2)<0，p甲－p丙＝2p2(p1－p3)<0，p乙－p丙＝2p1(p2－p3)<0，故p丙>p乙>p甲．故选D.9．答案：ABC解析：若A，B互为对立事件，P(A)＝1，则A为必

然事件，故B为不可能事件，则P(B)＝0，故A正确；若事件A，B，C两两互斥，则事件A，B，C不能同时发生，则事件A与B∪C也不可能同时发生，则事件A与B∪C互斥，故B正确；若事件A与B对立，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝1，故C正确；若

事件A，B互斥但不对立，则它们的对立事件不互斥，故D错误．故选ABC.10．答案：CD解析：(x＋2x)6展开式的总项数是7，A不正确；(x＋2x)6展开式的常数项为C36x6－3(2x)3＝160，B不正确；取x＝1得(x＋2x)6

展开式的所有项的系数之和为36＝729，C正确；由二项式系数的性质得(x＋2x)6展开式的所有项的二项式系数之和为26＝64，D正确．故选CD.11．答案：BD解析：对于A，若朝上一面的点数为1，则事件A，B同时发生，∴事件A，B不互斥，A错误；对于B，∵事件A不影响事件B的

发生，∴事件A，B相互独立，B正确；对于C，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝36＋26－16＝23，C错误；对于D，∵P(AB)＝16，P(A)＝36＝12，∴P(B|A)＝P（AB）P（A）＝1612＝13，D正确．故选BD.12．答案：310解析：从5名同学中随机选3

名参加社区服务工作，共有C35＝10(种)选法，甲、乙都入选有C13＝3(种)选法．根据古典概型的概率计算公式，甲、乙都入选的概率p＝310.13．答案：－28解析：(1－yx)(x＋y)8＝(x＋y)8－yx(x＋y)8

，由二项式定理可知其展开式中x2y6的系数为C68－C58＝－28.14．答案：2173135解析：记全是男志愿者为事件A，至少有一名男志愿者为事件B，则P(AB)＝P(A)＝C34C37＝435，P(B)＝1－C33C37＝3435，故P(A|B)＝P（A

B）P（B）＝4353435＝217，记至少有一名是女志愿者为事件C，则事件C与事件A互为对立事件，则P(C)＝1－P(A)＝3135.15．解析：(1)记“小陈同学前3轮比赛答对至少2题”为事件A，第1轮答错时没有损失奖金风险，故前2轮必答；前3

轮比赛答对至少2题包含两种情况：前2轮全对或前2轮1对1错且小陈同学选择参加第三轮作答且答对，故P(A)＝(13)2＋C12×13×(1－13)×12×13＝527.(2)记小陈同学参加比赛获得的奖金为X(单位：元)，在有损失奖金风险时：小陈同学选择继续作答且

答对的可能性为16，选择继续作答且答错的可能性为13，选择停止作答的可能性为12，P(X＝500)＝23×13×16×12＝154，P(X＝600)＋P(X＝1000)＝(13)3＝127，P(X＝700)＝(13)2

×23×16＝181，P(X＝800)＝13×23×(16)2＝1162，P(X＝900)＝23×13×(16)2＝1162，故P(X≥499)＝154＋127＋181＋1162＋1162＝13162.16．解析：(1)由题意，得K2＝200×（40×90－

60×10）2100×100×50×150＝24>6.635，∴有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异．(2)(ⅰ)证明：∵P（B|A）P（B|A）P（B|A）P（B|A）＝P（B|A）P（B|A）·P（B|A）P（B|A）＝P（AB）P（A

）·P（A）P（AB）·P（AB）P（A）·P（A）P（AB）＝P（AB）P（AB）·P（AB）P（AB），P（A|B）P（A|B）·P（A|B）P（A|B）＝P（AB）P（B）·P（B）P（AB）·P（AB）P（B）·P（B）P（AB）＝P（AB）P（AB）·P（AB）P（AB）＝P（AB）

P（AB）·P（AB）P（AB），∴R＝P（A|B）P（A|B）·P（A|B）P（A|B）.(ⅱ)由表格中的数据，得P(A|B)＝40100＝25，P(A|B)＝10100＝110，∴P(A|B)＝1－P(A|B)＝35，P(A|B)＝1－P(A|

B)＝910，∴R＝P（A|B）P（A|B）·P（A|B）P（A|B）＝2535×910110＝6.考点练110超几何分布1．答案：B解析：用X表示这3个旅游景区中5A级景区的个数，则X服从超几何分布，且P(X＝0)＝C03C34C37＝435，P(X＝1)＝C13C24C37

＝1835，P(X＝2)＝C23C14C37＝1235，P(X＝3)＝C33C04C37＝135，所以P(X＝1)＋P(X＝2)＝67，即有1个或2个5A级景区的概率为67.故选B.2．答案：BD解析：A：取出白球个数X可能为0、1、2、3、4，则P(X＝0)＝C46C04C410＝1

14，P(X＝1)＝C36C14C410＝821，P(X＝2)＝C26C24C410＝37，P(X＝3)＝C16C34C410＝435，P(X＝4)＝C06C44C410＝1210，所以P(X＝n)＝C4－n6Cn4C410，即取出的白球个数X服从超几何分布，错误；B：同A，取出黑球个数Y

可能为0、1、2、3、4，易得P(Y＝n)＝Cn6C4－n4C410，即取出的黑球个数Y服从超几何分布，正确；C：由A知取出2个白球的概率为37，错误；D：总得分最大，即取出的都是黑球，由A知：概率为114

，正确．故选BD.3．答案：47245解析：设抽取的2件产品中次品的件数为X，则P(X＝k)＝Ck50C2－k45C250(k＝0，1，2).所以P(X>0)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝C15C145C

250＋C25C250＝47245.4．解析：(1)由题意知共有n＋4个集团，取出2个集团的方法总数是C2n＋4，其中全是小集团的情况有C24，故全是小集团的概率是C24C2n＋4＝12（n＋4）（n＋3）＝16，整理得到(n＋3)(n＋4)＝72，即n

2＋7n－60＝0，解得n＝5.若2个全是大集团，共有C25＝10种情况；若2个全是小集团，共有C24＝6种情况；故在取出的2个集团是同一类集团的情况下，全为大集团的概率为1010＋6＝1016＝58.(2)由题意知，随机变量X的可能取值为0，1，2，3，计算P(X＝0)＝C04C35C

39＝1084＝542，P(X＝1)＝C14C25C39＝4084＝1021，P(X＝2)＝C24C15C39＝3084＝514，P(X＝3)＝C34C05C39＝484＝121，故X的分布列为X0123P5421021514121数学期望为E(X)＝0×542＋1×1021＋2×

514＋3×121＝43.考点练111二项分布1．答案：A解析：由题意知，有3名学生且每位学生选择互不影响，从这15项“世界互联网领先科技成果”中分别任选1项，5项成果均属于芯片领域，则：芯片领域被选的概率

为515＝13；不被选的概率为1－13＝23；而选择芯片领域的人数X＝{0，1，2，3}，∴X服从二项分布X～B(3，13)，P(X＝n)＝Cn3(23)3－n(13)n，那么恰好有1名学生选择“芯片领域”的概率为P(X＝1

)＝C13(23)213＝49.故选A.2．答案：ABD解析：设Y＝X－1，依题意，Y～B(4，12)，所以P(X＝1)＝P(X＝5)＝P(Y＝0)＝P(Y＝4)＝C04(12)4＝116，故A正确；P(X＝2)＝P(X＝4)＝P(Y＝1)＝P(Y＝3)＝C14(12)4＝1

4，P(X＝3)＝P(Y＝2)＝C24(12)4＝38，则P(X＝k)≤P(X＝3)(k＝1，2，3，4，5)成立，故B成立，E(X)＝E(Y)＝0×116＋1×14＋2×38＋3×14＋4×116＝2，故C不正确；D(X)＝D(Y)＝4×(12)2＝1，故D正确．故选A

BD.3．答案：43解析：由题意知：C23p2(1－p)·p＝827，所以p＝23，所以每局比赛甲胜的概率为23，乙胜的概率为13，由题意知：随机变量X～B(6，23)，所以D(X)＝6×23×13＝43.4．解析：(1)从男生中抽取1名学生，喜欢书法兴趣班的概率为P1＝4060＝23

，从女生中抽取1名学生，喜欢书法兴趣班的概率为P2＝3040＝34，恰有一人喜欢书法兴趣班分为男生喜欢女生不喜欢和男生不喜欢女生喜欢两类，所以所求概率为P＝23×(1－34)＋(1－23)×34＝51

2.(2)从女生中抽取1名学生，喜欢书法兴趣班的概率为P2＝3040＝34，由题意X的值分别为0，1，2，3，4，X～B(4，34)，P(X＝0)＝C04(34)0(1－34)4＝1256，P(X＝1)＝C14(34)1(1－34)3

＝364，P(X＝2)＝C24(34)2(1－34)2＝27128，P(X＝3)＝C34(34)3(1－34)1＝2764，P(X＝4)＝C44(34)4(1－34)0＝81256，X的分布列为X01234P125636427128276481256E(X)＝

4×34＝3.考点练112正态分布1．答案：B解析：正态分布N(100，32)中，μ＝100，σ＝3，所以P(97<ξ<103)＝P(100－3<ξ<100＋3)≈68.26%，P(94<ξ<106)＝P(100－2×3<ξ<100＋2×3)≈95.44%，所以P(103<ξ<106)

＝P（94<ξ<106）－P（97<ξ<103）2≈13.59%.故选B.2．答案：ABD解析：由题意可知，正态分布的μ＝0.9372，σ＝0.0139.因为0.9<μ，所以P(X≤0.9)<P(X≤μ)＝0.5，故A正确；因为P(X>0.9789)＝P(X>μ＋3σ)，

且P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.9973，所以P(X>0.9789)＝1－0.99732＝0.00135，故B正确；因为|μ－0.4|<|1.5－μ|，0.4<μ<1.5，所以P(X<0.4)>P(X>1.5)，故C

错误；因为一只口罩过滤率小于等于μ＋2σ的概率为0.9545＋1－0.95452＝0.97725，又因为P(Y≥1)＝1－P(Y＝0)＝1－0.9772550≈0.6836，故D正确．故选ABD.3．答案：0.00135解析：由X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X

≤μ＋σ)＝0.6827，随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，且P(X2－4X＋3≤0)＝0.6827，即P(1≤X≤3)＝0.6827，所以2－σ＝1，即σ＝1，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)＝0.9973，即P(－1≤X≤5)＝0.9973，所以P(－1≤X≤2)＝0.4

9865，所以P(X<－1)＝0.5－0.49865＝0.00135.4．解析：(1)μ＝110×(87＋87＋88＋92＋95＋97＋98＋99＋103＋104)＝95，σ2＝110×(64＋64＋49＋9＋0＋4＋9＋16＋64＋81)＝36，则σ

＝6.(2)①∵Z服从正态分布N(95，36)，∴P(Z>107)＝P(Z>μ＋2σ)≈0.5－0.95442＝0.0228，则X～B(10，0.0228)，∴D(X)＝10×0.0228×(1－0.0228)＝0.2228016，∴D(2X＋1)＝4D(X)≈0.89121.②∵Z服从正态分

布N(95，36)，∴P(77≤Z≤113)＝P(μ－3σ≤Z≤μ＋3σ)≈0.9974，∴5个零件的内径中恰有一个不在[μ－3σ，μ＋3σ]内的概率为C15×0.99744×(1－0.9974)＝0.01

287.∵76∉[77，113]，∴试生产的5个零件的内径就出现了1个不在[μ－3σ，μ＋3σ]内，出现的频率是0.01287的15倍多，∴根据3σ原则，需要进一步调试．考点练113离散型随机变量的均

值与方差1．解析：(1)分别记“甲租用时间不超过30分钟、30～40分钟、40～50分钟”为事件A1，A2，A3，它们彼此互斥，则P(A1)＝0.4，P(A2)＝p，P(A3)＝q，且p＋q＝0.6①；分别记“乙租用

时间不超过30分钟、30～40分钟、40～50分钟”为事件B1，B2，B3，则P(B1)＝0.5，P(B2)＝0.2，P(B3)＝0.3，且A1，A2，A3与B1，B2，B3相互独立．记“甲、乙租用时间相同”为事件C，则P(C)

＝P(A1B1＋A2B2＋A3B3)＝P(A1)P(B1)＋P(A2)P(B2)＋P(A3)P(B3)＝0.4×0.5＋0.2p＋0.3q＝0.35⇒2p＋3q＝1.5.②由①②解得p＝q＝0.3.(2)X可能取值为4，6，

8，10，12，P(X＝4)＝0.4×0.5＝0.2，P(X＝6)＝0.4×0.2＋0.3×0.5＝0.23，P(X＝8)＝0.4×0.3＋0.5×0.3＋0.3×0.2＝0.33，P(X＝10)＝0.3×0.3＋0.3×0.2＝0.15，P(X＝12)＝0.3×

0.3＝0.09．所以X的分列表如下：X4681012P0.20.230.330.150.09所以E(X)＝4×0.2＋6×0.23＋8×0.33＋10×0.15＋12×0.09＝7.4．2．解析：(1)连续取3个球有A36种方法，从中连续取3个球，红，白，黑各取一个有C12×C1

2×C12×A33种方法，故恰好取到3种颜色球的概率P＝C12×C12×C12×A33A36＝25.(2)由题意可得，随机变量ξ所有可能取值为4，5，6，7，8，当ξ＝4时，两个红球和一个白球，则P(ξ＝4)＝C22C12C36＝110，当ξ＝5时，两个红球和一个黑球或两个白球和一个红球，则

P(ξ＝5)＝C22C12＋C22C12C36＝15，当ξ＝6时，一个红球和一个白球和一个黑球，则P(ξ＝6)＝C12C12C12C36＝25，当ξ＝7时，一个红球和两个黑球或两个白球和一个黑球，则P(ξ＝7)＝C

22C12＋C22C12C36＝15，当ξ＝8时，两个黑球和一个白球，则P(ξ＝8)＝C22C12C36＝110，故随机变量ξ的分布列为ξ45678P110152515110数学期望E(ξ)＝4×110＋5×15＋6×25＋7×15＋8×110＝6.考点练114概

率中的决策问题1．解析：(1)P(X＝0)＝25＋35×12×25＝1325，P(X＝500)＝35×12＝310，P(X＝1000)＝35×12×35＝950，所以某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金X(元)的分布列为X0500

1000P1325310950(2)由(1)可知，选择方案甲进行抽奖所获得奖金X的均值E(X)＝500×310＋1000×950＝330，若选择方案乙进行抽奖中奖次数Y～B(3，15)，则E(Y)＝3×15＝

35，抽奖所获奖金X的均值E(X)＝E(500Y)＝500E(Y)＝300.故选择方案甲更划算．综上，方案甲更划算．2．解析：(1)3人都没通过初赛的概率为P0＝(1－13)×(1－13)×(1－12)＝29，所以这三人中至少有1人通过初赛的概率P1＝1－P0＝79.(2)设事件B表

示“甲参加市共青团史知识竞赛”，事件C表示“乙参加市共青团史知识竞赛”，事件D表示“丙参加市共青团史知识竞赛”，则P(B)＝P(C)＝13×12＝16，P(D)＝12×12＝14，3人都不能参加市共青团史知识竞赛的事件为BCD，所以这3人中至少有1人参加市共青团史知识竞赛的概率P2＝1－P(BC

D)＝1－P(B)P(C)P(D)＝1－(1－16)2×(1－14)＝2348.(3)方案一：设三人中奖人数为X，所获奖金总额为Y元，则Y＝1000X，且X～B(3，12)，所以E(Y)＝1000E(X)＝1000×3×12＝1500元，方案二：

记甲、乙、丙三人获得奖金之和为Z元，则Z的所有可能取值为900，1600，2300，3000，P(Z＝900)＝23×23×12＝29，P(Z＝1600)＝2×23×13×12＋23×23×12＝49，P(Z＝2300)＝13×13×12＋2×23×

13×12＝518，P(Z＝3000)＝13×13×12＝118，所以Z的分布列为Z900160023003000P2949518118则E(Z)＝900×29＋1600×49＋2300×518＋3000×118＝51503，

因为E(Z)>E(Y)，所以从三人奖金总额的数学期望的角度分析，品牌商选择方案二更好．考点练115概率与统计的综合问题1．解析：(1)由题可知ξ的可能取值为0，1，2，则P(ξ＝0)＝C22C25＝110，P(ξ＝1

)＝C12C13C25＝610，P(ξ＝2)＝C23C25＝310，所以ξ的分布列为ξ012P0.10.60.3即E(ξ)＝1.2.(2)由已知得x－＝18＋19＋20＋21＋225＝20，y－＝0.62＋0.69＋0.71＋0.72＋0.765＝0.7，所以b^＝（－2

）×（－0.08）＋（－1）×（－0.01）＋0×0.01＋1×0.02＋2×0.064＋1＋0＋1＋4＝0.031，a^＝0.7－0.031×20＝0.08，即y^＝0.08＋0.031x，当第6次实验，即x＝21时，y^＝0.08＋0.031×21＝0.731，所以根据回归

方程估计这次实验中该种子的发芽率为73.1%.2．解析：(1)由题意可得2×2列联表为甲有机肥料乙有机肥料合计质量优等603090质量非优等4070110合计100100200则χ2＝n（ad－bc）2（a＋b）（c＋d）（a＋

c）（b＋d）＝200×（4200－1200）2100×100×110×90＝20011≈18.182>10.828.所以有99.9%的把握认为“质量优等”与使用不同的肥料有关．(2)由频率分布直方图可得“质量优等”有30个，区间[40，45]中含有10个，随机变量X的可能取值有0，1，2

，P(X＝0)＝C010C220C230＝190435＝3887，P(X＝1)＝C110C120C230＝200435＝4087，P(X＝2)＝C210C230＝45435＝987，随机变量X的分布列如下：X012P38874087987E(X)＝0×3887＋1×4087＋2

×987＝23.考点练116概率与数学文化1．答案：D解析：在大于4且不超过16的偶数中6＝3＋3，8＝3＋5，10＝3＋7＝5＋5，12＝5＋7，14＝3＋11＝7＋7，16＝3＋13＝5＋11，其中可以有两种方法表示为两个素数的和的偶数有10，14，16.从大于4且不超过16的偶数中，随机选

取两个不同的偶数的所有情况有(6，8)，(6，10)，(6，12)，(6，14)，(6，16)，(8，10)，(8，12)，(8，14)，(8，16)，(10，12)，(10，14)，(10，16)，(12，14)，(12，16)，(14，16)，共15种

．其中两个偶数都可以有两种方法表示为两个素数的和的情况有(10，14)，(10，16)，(14，16)，共3种．所以由古典概型得两个偶数都可以有两种方法表示为两个素数的和的概率为P＝315＝15.故选D.2．答案：C解析：由题意得数字4，9属性为金，3，8属性为木，1，6属性为水，2，

7属性为火，5，10属性为土，从这十个数中随机抽取3个数，这3个数字的属性互不相克，包含的基本事件个数n＝C15(C12C22＋C22C12)＝20，这3个数字的属性互不相克的条件下，取到属性为土的数字包含的基本事件个数为：m＝C12(C12C22＋C22C12)＝8，∴这3个数字的属性互不相克

的条件下，取到属性为土的数字的概率p＝mn＝820＝25.故选C.3．答案：A解析：由题，n＝10000≥20，p＝0.0003≤0.05，此时Poisson分布满足二项分布的近似的条件，此时λ＝10000×0.0003＝3，故不致死的概率为P(X＝0)＝300！e－3

＝e－3，故致死的概率为1－P(X＝0)＝1－e－3.故选A.4．答案：ACD解析：只拨动一粒珠子至梁上，因此数字只表示1或5，四位数的个数是24＝16，能被3整除的数字1和5各出现2个，因此满足条件的四位数和个数是C24＝6，所以P(A)＝61

6＝38，能被5整除的四位数个数为23＝8，P(B)＝816＝12，能被5整除的且能被3整除的四位数的个数是5，因此满足这个条件的四位数的个数是C13＝3，概率为P(AB)＝316，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)

－P(AB)＝38＋12－316＝1116.故选ACD.5．答案：ACD解析：由题意知，随机变量X服从超几何分布，故B错误，C正确；P(X＝2)＝C24C26C410＝37，P(X＝3)＝C34C16C4

10＝435，所以P(1<X<4)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝37＋435＝1935，故AD正确．故选ACD.6．答案：67解析：在1到20中与12互质的有1，5，7，11，13，17，19，即A＝{1，5，7，11，13，17，19}；由二次剩余的定义，假设a是12的二次非剩

余，则存在一个x，使得x2＝12·k＋a，(k∈N)，x2÷12＝k…a，(k∈N)，当x＝1时，a＝1；当x＝2时，a＝4；当x＝3时，a＝9；当x＝4时，a＝4；当x＝5时，a＝1；当x＝6时，a＝0；当x＝7时，a＝1；当x＝8时，a＝4；当x＝9时，a＝

9；当x＝10时，a＝4；当x＝11时，a＝1；当x＝12时，a＝0；当x＝13时，a＝1；当x＝14时，a＝4；当x＝15时，a＝9；当x＝16时，a＝4；当x＝17时，a＝1；当x＝18时，a＝0；根据这一规律，则

12的二次剩余有1，4，9，0，即B＝{2，3，5，6，7，8，10，11，12，13，14，15，16，17，18，19，20}，由事件A中有7种情况，事件A∩B有6种情况，则P(B|A)＝67.考点过关检测19离散型随机变量及其分布1．解析：(1)设三

个项目比赛中甲学校获胜分别为事件A，B，C，易知事件A，B，C相互独立．甲学校获得冠军，对应事件A，B，C同时发生，或事件A，B，C中有两个发生，故甲学校获得冠军的概率为p＝P(ABC＋ABC＋ABC＋ABC)＝P(ABC)＋P(A

BC)＋P(ABC)＋P(ABC)＝0.5×0.4×0.8＋(1－0.5)×0.4×0.8＋0.5×(1－0.4)×0.8＋0.5×0.4×(1－0.8)＝0.16＋0.16＋0.24＋0.04＝0.6.(2)由题意得，X的所有可能取值为0，10，20，30.易

知乙学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.6，0.2，则P(X＝0)＝(1－0.5)×(1－0.6)×(1－0.2)＝0.16，P(X＝10)＝0.5×(1－0.6)×(1－0.2)＋(1－0.5)×0.6×(1－0.2)＋(1－0.5)×(1－0.6)×0.2

＝0.44，P(X＝20)＝0.5×0.6×(1－0.2)＋0.5×(1－0.6)×0.2＋(1－0.5)×0.6×0.2＝0.34，P(X＝30)＝0.5×0.6×0.2＝0.06，所以X的分布列为X0102030P0.160.440.340.

06则E(X)＝0×0.16＋10×0.44＋20×0.34＋30×0.06＝13.2．解析：(1)由题可知，X的所有可能取值为0，20，100.P()X＝0＝1－0.8＝0.2；P()X＝20＝0.8()1－0.6＝0.32；P()X＝100＝0.8×0.6＝0.48.所以X

的分布列为X020100P0.20.320.48(2)由(1)知，E()X＝0×0.2＋20×0.32＋100×0.48＝54.4.若小明先回答B问题，记Y为小明的累计得分，则Y的所有可能取值为0，80，100.P()Y＝0＝1－0.6＝0.4；P()Y

＝80＝0.6()1－0.8＝0.12；P()X＝100＝0.8×0.6＝0.48.所以E()Y＝0×0.4＋80×0.12＋100×0.48＝57.6.因为54.4<57.6，所以小明应选择先回答B类问题．3．解析：(1

)设前三个小组的频率分别为p1，p2，p3，由条件得p2＝32p1p3＝2p1p1＋p2＋p3＝1－（0.005＋0.020）×10，解得p1＝16，p2＝14，p3＝13，由p2＝14＝15n⇒n＝60.(2)由(1)知一个高中生身高超过160厘米的概率为p＝p3＋(0.0

05＋0.020)×10＝712，X可取0，1，2，3，P(X＝0)＝C0371205123＝1251728，P(X＝1)＝C13712·5122＝175576，P(X＝2)＝C237122·512＝245576，P(X＝3)＝C337123＝

3431728，故分布列为X0123P12517281755762455763431728E(X)＝0×1251728＋1×175576＋2×245576＋3×3431728＝74.(3)χ2＝50×（18×15－8×9）226×24×27×23≈5.059>5.024，查表知P(χ2≥5.02

4)＝0.025，即说明在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为喜欢玩游戏与作业量的多少有关系．4．解析：(1)由题意知，X的取值为0，1，2.P(X＝0)＝C02C48C410＝13，P(X＝1)＝C12C38C410＝815，P(X＝2)＝

C22C28C410＝215.所以顾客检查的前4件商品中不合格品件数X的分布列为X015P13815215(2)记“顾客购买的n件商品中，至少有两件合格产品”为事件A，则P(A)＝1－0.2n－C1n×0.2n－1×0.8＝1－(1＋4n)·0.2n，由题意，1－(1＋4n)·0.2n≥0.

9984，所以(1＋4n)·0.2n≤0.0016，即(1＋4n)·0.2n－4≤1，设f(n)＝(1＋4n)·0.2n－4，则f(n＋1)－f(n)＝(5＋4n)·0.2n－3－(1＋4n)·0.2n－4＝－16n·0.2n－3<0，所以f(n＋1)<f(n)，则f(n)递减，因为f(5)＝21

×0.2＝4.2>1，f(6)＝25×0.04＝1，所以当n≥6时，f(n)≤1成立，故n的最小值为6.单元过关检测九统计、计数原理、概率、离散型随机变量及其分布1．答案：D解析：由分层抽样原则可知：高三年级应抽取60×12001000＋800＋1200＝24人

．故选D.2．答案：B解析：由题意可知，10组随机数中，表示“3名饱和潜水员中都不成功”的有659，845，946，共3个，所以估计“3名饱和潜水员中至少有1人成功”的概率为1－310＝0.7.故选B.3．答案：D解析：设A方面占比m，B方面占比n

，则有12(m－n)＝0.48⇒m－n＝0.04，由图可知，只有其它方面比育儿方面多4%.故选D.4．答案：D解析：对于A，σ2为数据的方差，所以σ越小，数据在μ＝10附近越集中，所以测量结果落在(9.9，10.1)内的概率越大，故A正确；对于B，由正态分布密

度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为0.5，故B正确；对于C，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等，故C正确；对于D，因为该物理量一次测量结果落在(9.9，10.0)的概率与落在(10.2，10.3)的概率不

同，所以一次测量结果落在(9.9，10.2)的概率与落在(10，10.3)的概率不同，故D错误．故选D.5．答案：D解析：依题意可得不同的分配方法种数为C24C25A44＝6×10×24＝1440.故选D

.6．答案：C解析：根据题意可知：一共5根算筹，十位和个位上可用的算筹可以分为4＋1，3＋2，2＋3，1＋4一共四类情况；第一类：4＋1，即十位用4根算筹，个位用1根算筹，那十位可能是4或者8，个位为1，则两位数为41

或者81；第二类：3＋2，即十位用3根算筹，个位用2根算筹，那十位可能是3或者7，个位可能为2或者6，故两位数可能为32，36，72，76；第三类：2＋3，即十位用2根算筹，个位用3根算筹，那么十位可能是2或者6，个位可能为3或者7，故两位数可能是23，27，63，67；第四类：1＋4，即十位用

1根算筹，个位用4根算筹，那么十位为1，个位可能为4或者8，则该两位数为14或者18，综上可知：所有的两位数有14，18，23，27，32，36，41，63，67，72，76，81共计12个，则大于30的有32，36，41，63，67

，72，76，81共计8个，故概率为812＝23.故选C.7．答案：C解析：(x－1x)4的第k＋1项Tk＋1＝Ck4x4－k(－x－1)k＝Ck4(－1)kx4－2k，令4－2k＝2，则k＝1，Ck4(－1)k＝－4，令4－2k＝0，则k＝2，Ck4(－1)k＝6，则(1＋x2)(x－1x)4的

展开式中x2的系数为1×(－4)＋1×6＝2.故选C.8．答案：B解析：由题意得，X的所有可能取值为1，2，3，P(X＝1)＝p，P(X＝2)＝(1－p)p，P(X＝3)＝1－p－(1－p)p＝(1－p)2，所以E(X)＝1×p＋2×(1－p)p＋3×(1－p

)2＝p2－3p＋3，令E(X)＝p2－3p＋3>1.39，解得p<0.7或p>2.3，又因为0<p<1，所以0<p<0.7，即p的取值范围是(0，0.7).故选B.9．答案：AD解析：由图表知无症状感染者的极差大于400，故A正确；由图表知无症状感染者的波动幅

度明显大于确诊病例的波动幅度，故B错误；由图表数据计算实际新增感染者的平均数为471.2，故C错误；14×0.8＝11.2，故实际新增感染者的第80百分位数为641，故D正确．故选AD.10．答案：BCD解析：依题意，第一枚骰子出现的点数小于3与

第二枚骰子出现的点数不小于3可以同时发生，即事件A与事件B不互斥，则事件A与事件B不是对立事件，A不正确；显然有P(A)＝26＝13，P(B)＝46＝23，抛掷两枚质地均匀的骰子的试验的所有结果：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，

1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5

，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，共36个，它们等可能，事件AB所含的结果有：(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，共8个，则有P(AB)＝836＝13×23

＝P(A)P(B)，即事件A与事件B相互独立，B正确；显然P(B)＝23＝2P(A)，P(A)＋P(B)＝13＋23＝1，C，D都正确．故选BCD.11．答案：AD解析：由题意|C12n＋1×（－2）C22n＋1×（－2）2|＝18，则2（2n＋1）4×（2n＋1）×2n

2！＝18，∴n＝4，A正确；∴(1x－2x)2n＋1＝(1x－2x)9，令x＝1，则所有项系数之和为－1，B错误；二项式系数之和为29，C错误；Tk＋1＝Ck9·1x9－k·(－2x)k＝C

k9·(－2)kx2k－9，若Tk＋1为常数项，则有2k－9＝0，k＝92，k是分数，所以不存在常数项，D正确．故选AD．12．答案：BC解析：因为E(X)＝np，E(Y)＝n(1－p)，即A错误；因为D(X)＝np(1－p)，D(Y)＝n(1－p)p，即B正确；因为A，B独立，

所以P(AB)＝p(1－p)，所以E(Z)＝np(1－p)＝D(X)，即C正确；因为n·D(Z)＝n2p(1－p)[1－p(1－p)]，D(X)·D(Y)＝n2p2(1－p)2，即D错误．故选BC.13．

答案：635解析：从正方体的8个顶点中任选4个，所有的取法有C48＝70(种)，4个点共面的取法共有12种(表面有6个四边形，对角线可构成6个长方形，所以共有12种)，所以4个点在同一个平面的概率为1270＝635.14．答案：0.14解析：由题意可

知P(X>2)＝0.5，所以P(X>2.5)＝P(X>2)－P(2<X≤2.5)＝0.5－0.36＝0.14.15．答案：[－13，13]解析：由题意知p2＝p1＋d，p3＝p1＋2d，∴p1＋p2＋p3＝3p1＋3d＝1，∴p1＝13－d

.又0≤p1≤1，∴0≤13－d≤1，∴－23≤d≤13.同理，由0≤p3≤1，p3＝d＋13，∴－13≤d≤23，∴－13≤d≤13，即公差d的取值范围是[－13，13].16．答案：35910解析：P(B|A)＝P

（AB）P（A）＝35×3535＝35，设取得黑球的个数为X，则X可取0，1，2，又P(X＝0)＝35×24＝310，P(X＝2)＝25×24＝15，P(X＝1)＝35×24＋25×24＝12，故X的分布列为X012P3101215故E(X)＝0×310＋1×12

＋2×15＝910.17．解析：(1)设3名男生分别为A1，A2，A3，3名女生分别为B1，B2，B3.这个试验的样本空间可记为Ω＝{(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，A3)

，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)}，共包含15个样本点．设事件A＝“参加比赛的学生中恰有1名男生”，则A＝{(A1，B1)，(A1，B2)，

(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)}，共包含9个样本点，所以P(A)＝915＝35.(2)设“参加比赛的学生中至少有1名女生”为事件B，则B＝{(A1，B1)，(A1，B2)，(A1

，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)}，共包含12个样本点，所以P(B)＝1215＝45.18．解析：(

1)令假设为H0：居民的核酸检测地点与性别无关系，根据2×2列联表得，χ2＝80×（10×10－10×50）260×20×20×60＝809≈8.889>6.635＝x0.01，根据小概率值α＝0.01的χ2独立性检验，我们推断H0

不成立，即认为“居民的核酸检测地点与性别有关系”，此推断认为犯错误的概率不超过0.01.(2)由题意得，X～B(3，56)，且P(X＝k)＝Ck356k163－k，k＝0，1，2，3，故E(X)＝np＝3×56＝5

2，D(X)＝np(1－p)＝3×56×16＝512.19．解析：(1)x－＝5＋7＋8＋10＋11＋136＝9，y－＝11＋15＋16＋22＋25＋316＝20，b^＝i＝16xiyi－6x－y－i＝16x2i－6x－2＝1186－1080528－

486≈2.52，a^＝－2.68，则y＝2.52x－2.68，当x＝15，则y＝35.12，所以当投入15千万元，收益大约为35.12亿元．(2)①设“某位代表去甲城市参加活动”为事件A，则P(A)＝23，所以A公司派出的代表去甲城市参加活动的概率为23，②设“6位代表中去甲城市参加活动的人数少

于去乙城市参加活动的人数”为事件B，P(B)＝C06230136＋C16231135＋C26232134＝73729.20．解析：(1)平均年龄x－＝(5×0.001＋15×0.002＋25×0.012＋35×0.017

＋45×0.023＋55×0.020＋65×0.012＋75×0.006＋85×0.002)×10＝44.65(岁).(2)设A＝{一人患这种疾病的年龄在区间[20，70)}，所以P(A)＝1－P(A－)＝1－(0.001＋0.002＋0.006＋0.002)×

10＝1－0.01＝0.89.(3)设B＝{任选一人年龄位于区间[40，50)}，C＝{任选一人患这种疾病}，则由条件概率公式可得P(C|B)＝P（BC）P（B）＝0.1%×0.023×1016%＝0.001×0.230.16＝0.0014375≈0.0014.21．

解析：(1)由题意知，甲以往比赛10次，其中成绩在9.50m以上(包括9.50m)共有4次，所以估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率p1＝410＝25.(2)由题意知，乙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率p2＝36＝12，丙在校运动会铅球比

赛中获得优秀奖的概率p3＝24＝12.设甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖分别为事件A，B，C，并且A，B，C两两相互独立，则X的可能取值为0，1，2，3.P(X＝0)＝P(ABC)＝(1－25)×(1－12)×(1－

12)＝320，P(X＝1)＝P(ABC)＋P(ABC)＋P(ABC)＝25×(1－12)×(1－12)＋(1－25)×12×(1－12)＋(1－25)×(1－12)×12＝25，P(X＝2)＝P(ABC)＋P(ABC)＋P(ABC)＝25×12×(1－1

2)＋(1－25)×12×12＋25×(1－12)×12＝720，P(X＝3)＝P(ABC)＝25×12×12＝110.所以X的分布列为X0123P32025720110所以X的数学期望EX＝0×320＋1×25＋2×720＋3×110＝1.4.(

3)丙．理由如下：由题意可得，甲、乙、丙三人参赛的结果共有10×6×4＝240(种).丙获得冠军的结果有10×6＋8×5＝100(种)，乙获得冠军的结果有9×3＋8×2＋6×2＋3×2＋2×2＝65(种)，甲获得冠军的结果有240－100－65＝75(种)，所以丙获得冠

军的概率估计值最大．22．解析：(1)由频率分布直方图的性质可得，(0.004＋m＋0.022＋0.03＋0.028＋0.004)×10＝1，解得m＝0.012，设中位数为n，0.004×10＋0.022×10＋(n－60)×0.3＝0.5，解得n＝68.(2

)∵[70，80)，[80，90)，[90，100]的三组频率之比为0.28∶0.12∶0.04＝7∶3∶1，∴从[70，80)，[80，90)，[90，100]中分别抽取7人，3人，1人，ξ所有可能取值为0，1，2，3，P(ξ＝0)＝C3

8C311＝56165，P(ξ＝1)＝C28C13C311＝2855，P(ξ＝2)＝C18C23C311＝855，P(ξ＝3)＝C33C311＝1165，故ξ的分布列为ξ0123P56165285585

51165故E(ξ)＝0×56165＋1×2855＋2×855＋3×1165＝911.(3)B等级的概率为(0.028＋0.012)×10＝0.4，P(η＝k)＝Ck100(0.4)k(0.6)100－k，k＝0，1，2，…，100，令Ck100(0.4)k(0.6

)100－k≥Ck＋1100(0.4)k＋1(0.6)99－k①，Ck100(0.4)k(0.6)100－k≥Ck－1100(0.4)k－1(0.6)101－k②，由①可得，0.6100－k≥0.4k＋1，解得k≥39.4，由②可得，0.4k≥0.6（101－k），解得

k≤40.4，故k＝40时，P(η＝k)最大．滚动过关检测八第一章～第九章1．答案：D解析：因为A＝{x∈N|x2＋x－6<0}＝{x∈N|－3<x<2}＝{0，1}，B＝(－2，2)，因此，A∩B＝{0，1}．故选D.2．

答案：A解析：双曲线C：x2－2y2＝1得x2－y212＝1，则其渐近线方程为x2－y212＝0，整理得x±2y＝0.故选A.3．答案：B解析：因为P(X>100)＝0.5－0.62＝0.2，所以本班在100分以上

的人数约为60×0.2＝12.故选B.4．答案：C解析：根据题意，a∥b等价于(m＋2)(m＋5)＝4，解得m＝－1或－6；又{－1}是{－1，－6}的真子集，故“m＝－1”是“a∥b”的充分不必要条件．故选C.5．答案：

A解析：由已知可得，n＝12.根据二项式定理，知展开式的通项为Tr＋1＝Cr12(2x)12－r1xr＝Cr12212－rx12－32r，显然当r是偶数时，该项为有理项，r＝0时，T1＝C012212x12＝4096x12；r＝2时，T3＝C212210x

9＝67584x9；r＝4时，T5＝C41228x6＝126720x6；r＝6时，T7＝C61226x3＝59136x3；r＝8时，T9＝C81224＝7920；r＝10时，T11＝C101222x－3＝

264x－3；r＝12时，T13＝C121220x－6＝x－6.经比较可得，r＝4，即k＝5时系数最大，即展开式的有理项中第5项的系数最大．故选A.6．答案：B解析：结合抛物线及椭圆的定义可得P(c，b2a)在抛物线上，故2pc＝b2a2，且p＝2c，∴4c2＝b

4a2⇒2c＝b2a⇒a2－c2＝2ac⇒e2＋2e－1＝0⇒e＝2－1.故选B.7．答案：A解析：因为函数f(x)是定义在R上的偶函数，所以不等式f(log2x)>0等价为f(|log2x|)>0，因为函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，且f(1)

＝0，所以f(|log2x|)>f(1)，即|log2x|>1，即log2x>1或log2x<1，解得0<x<12或x＞2.故选A.8．答案：D解析：取BC的中点H，连接AH交BG于O，连接MO，PH，如图所

示．因为H为BC中点，G为AC中点，AH交BG于O，则O为△ABC的重心．即：AO→＝23AH→.因为PH＝22－2322＝1，又因为AM→＝2MP→，即AM→＝23AP→，所以MO∥PH，MO＝23PH＝23.cos∠BAC＝22＋22－（23）22×2×2＝－12，BG＝22＋12

－2×2×1×－12＝7，即BO＝23BG＝273.因为PB＝PC，H为BC中点，所以PH⊥BC，因为AB＝AC，H为BC中点，所以AH⊥BC，所以∠AHP为二面角A­BC­P的平面角，即∠AHP＝θ，θ∈(0，π2].因为直线BG与直线BM的所成角为∠MBO，当MO⊥B

O时，tan∠MBO取得最大值，当MO⊥BO时，即PH⊥BO，PH⊥平面ABC，即θ＝π2.所以直线BG与直线BM所成角的正切值最大为23273＝77.故选D.9．答案：ABC解析：对于A：∵x－y＋3＝0，∴

y＝x＋3，∴k＝1＝tanα，∴α＝45°，故A正确；对于B：m＝0时符合题意，故B正确；对于C：化简(λ＋2)x＋(1－2λ)y＋4－3λ＝0得λ(x－2y－3)＋2x＋y＋4＝0，∴x－2y－3＝02x＋y＋4＝0，解得

x＝－1，y＝－2，∴直线l过定点(－1，－2)，又∵(－1＋2)2＋(－2)2＝5<8，∴该定点在圆内，∴直线l与圆相交，故C正确；对于D：当a＝0，b＝1，c＝－1此时直线为y＝1，经过第一象限，此时ab＝0，bc＝－1<0，故D错误．故选ABC.10．答案：AD解析：对A，若M在A1D上，此

时必有CM⊥AD1，证明如下：CD⊥平面ADD1A1，所以CD⊥AD1，又A1D⊥AD1，所以AD1⊥平面A1DC，所以AD1⊥CM，所以A正确；对B，如图，旋转平面ADD1A1使之与平面BB1D1D共面，连接A′B1交DD1于

M，此时|MA|＋|MB1|最短为A′B1，大小为4＋22，故B错误；对C，如图，当M在A1D和AD1交点处时，此时直线B1M与CD所成的角即直线B1M与A1B1所成角，此时此异面直线所成角最小，其正切值为22，即最小角大于30°，故不存在，即C错误；对D，在平

面ADD1A1上建立直角坐标系，设D(－12，0)，D1(12，0)，设M(x，y)，由|MD|＝2|MD1|整理可得x2＋y2－53x＋14＝0，根据解析式可得M的轨迹是圆的一部分，故D正确．故选AD.11．答案：BD解析：依题意

知ωx＋π4∈[π4，2πω＋π4]，由于f(x)在[0，2π]有且仅有4个零点，结合图象及单调性可得7π2≤2ωπ＋π4<9π2，∴138≤ω<178，故D对；令t＝ωx＋π4∈[π4，2πω＋π4]，g(t)＝cost，∵g(t)有1或2个极大值点，结合复合函数的单

调性知f(x)也有1或2个极大值点，故A错；同理g(t)有2个极小值点，所以f(x)有2个极小值点，故B对；当x∈(0，π8)时，t∈(π4，πω8＋π4)，∵138≤ω<178，∴29π64≤πω8＋π4<33π64<π，∴g(t)递减，根据复合函数单调

性得f(x)单调递减，故C错．故选BD.12．答案：ACD解析：因为∀m∈R＋，∀n∈R＋，不等式2lnm＋ln(2n)≥12m2＋4n－2恒成立，所以∀m∈R＋，∀n∈R＋，不等式lnm22＋ln(4n)≥12m2＋4n－2恒成立，即∀m

∈R＋，∀n∈R＋，不等式lnm22－12m2＋1＋ln(4n)－4n＋1≥0恒成立①，令g(x)＝lnx－x＋1，x>0，则g′(x)＝1x－1＝1－xx，x>0，所以当x∈(0，1)，g′(x)>0，g(

x)单调递增；当x∈(1，＋∞)，g′(x)<0，g(x)单调递减；所以g(x)≤g(1)＝0，即lnx≤x－1，所以lnm22－m22＋1≤0，ln(4n)－4n＋1≤0，lnm22－12m2＋1＋ln(4n)－4n＋1≤0，即gm22＋g(4n)≤0，因为

①式等价于gm22＋g(4n)≥0，所以gm22＝0，g(4n)＝0，即m22＝14n＝1，解得m2＝2n＝14.所以m2＋n＝94，m2－n2<2，m＋n<2.故选ACD.13

．答案：21012解析：由(1＋i)z＝2，得z＝21＋i＝2（1－i）（1＋i）（1－i）＝1－i，所以z2＝(1－i)2＝－2i，则z4＝(－2i)2＝－4，所以z2024＝(z4)506＝(－4)506＝21012．14．答案：6解析：3a＝4b＝m，故a＝log3

m，b＝log4m，1a＋12b＝logm3＋logm2＝logm6＝2，m＝6.15．答案：5解析：连接BD，如图所示．在△BCD中，由余弦定理BD2＝BC2＋CD2－2BC×CD×cos∠BCD，可得BD

2＝16＋25－2×4×5×35＝17，故可得BD＝17，则cos∠DBC＝BD2＋BC2－CD22BD×BC＝17＋16－252×17×4＝1717，又∠DBC∈(0，π)，故sin∠DBC＝41717；又cos∠ABC＝－1010，又

∠ABC∈(0，π)，故可得sin∠ABC＝31010；则cos∠ABD＝cos(∠ABC－∠DBC)＝cos∠ABCcos∠DBC＋sin∠ABCsin∠DBC＝－1010×1717＋31010×41717＝11170170，在△

ABD中，由余弦定理可得AD2＝AB2＋BD2－2AB×BD×cos∠ABD，即AD2＝10＋17－2×10×17×11170170＝5，故AD＝5.16．答案：20232023解析：不妨取c＝(1，0)，设a＝(x1

，y1)，故(a－c)·c＝(x1－1，y1)·(1，0)＝x1－1＝0，故x1＝1；设b＝(x2，y2)，则2023b＝a＋2022c，即(2023x2，2023y2)＝(1，y1)＋(2022，0)＝(2023，y1)，故x2＝1，y1＝2023y2，设a与b的夹角为θ，则θ＝∠AOC

－∠AOB，不妨取y1，y2>0，则tanθ＝y1－y21＋y1y2＝2022y21＋2023y22＝20221y2＋2023y2≤202221y2·2023y2＝101120232023，当1y2＝2023y2，即y2＝2

0232023时等号成立，此时夹角最大，|b－c|＝（1－1）2＋y22＝|y2|＝20232023.17．解析：(1)由题得f(x)＝1＋cos2x2－32sin2x＝cos(2x＋π3)＋12，令2kπ－π≤2x＋π3≤2kπ，k∈Z，∴kπ－2π3≤x≤kπ－π6，

k∈Z.∴函数f(x)单调递增区间为[－2π3＋kπ，－π6＋kπ]，k∈Z.(2)∵f(A)＝0，∴cos(2A＋π3)＋12＝0，∴cos(2A＋π3)＝－12，∵0<A<π2，∴π3<2A＋π3<4π3，∴2A＋π3＝2π3，∴A＝π6，由正弦定理得bsinB＝csinC

＝1sinπ6＝2，∴b＝2sinB，c＝2sinC.∴c－3b＝2sinC－23sinB＝2sin(B＋π6)－23sinB＝cosB－3sinB＝2cos(B＋π3)，∵三角形是锐角三角形，∴0<B<π20<C＝5π6－B<π2，∴π3<B

<π2.∴2π3<B＋π3<5π6，∴－32<cos(B＋π3)<－12，∴－3<2cos(B＋π3)<－1.∴c－3b的取值范围为(－3，－1).18．解析：(1)χ2＝40×（2×8－8×22）210×30×16×24＝809≈8.889，∵8.889>6.635，∴根据小概率值

α＝0.010的独立性检验，可推断喜欢打羽毛球与性别有关．(2)若从40名员工中按比例分层抽样选取8人，则选取的8人中共有男员工人数为1040×8＝2(人)，女员工人数为3040×8＝6(人)，∴X的所有可能取值为0，1，

2，P(X＝0)＝C02C36C38＝514，P(X＝1)＝C12C26C38＝1528，P(X＝2)＝C22C16C38＝328，∴X的分布列为X012P5141528328数学期望E(X)＝0×514＋1×1528＋2×328＝34.19．解析：(1)证明：如

图，连接AM，DM.已知2PC＝3DC，不妨设|DC|＝2，|PC|＝3．已知点P在底面的投影落在AC中点，所以四棱锥P­ABCD为正四棱锥，即|PA|＝|PB|＝|PC|＝|PD|＝3，∵底面ABCD为正方形，∴|AM|2＝|AB|2＋|BM|2＝4＋1＝5，得|AM|＝5，同理得|DM|＝

5，∵M为BC的中点，∴PM⊥BC，∴|PM|2＝|PB|2－|BM|2＝3－1＝2，得|PM|＝2，∵|AM|2＝|PA|2＋|PM|2，∴PM⊥PA，同理可得PM⊥PD，∵PA⊂平面PAD，PD⊂平面

PAD，且PA∩PD＝P，∴PM⊥平面PAD.(2)如图，过P点做底面垂线，垂足为AC的中点O.以OM所在直线为x轴，以过O点且与BC平行的直线为y轴，以OP所在直线为z轴如图建立空间直角坐标系．不妨假设底面正方形ABCD的边长为2，|OP|＝t.因此得P(0，

0，t)，A(－1，－1，0)，B(1，－1，0)，C(1，1，0)，D(－1，1，0)，M(1，0，0).PA→＝(－1，－1，－t)，PB→＝(1，－1，－t)，PC→＝(1，1，－t)，PD→＝(－1，1，－t)，设平面PAB的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，由P

A→·n1＝0PB→·n1＝0，得－x1－y1－tz1＝0x1－y1－tz1＝0，解得x1＝0，y1＝t，z1＝－1，故n1＝(0，t，－1)；设平面PCD的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，由PC→·n

2＝0PD→·n2＝0，得x2＋y2－tz2＝0－x2＋y2－tz2＝0，解得x1＝0，y1＝t，z1＝1，故n2＝(0，t，1)；由平面PAB与平面PCD所成的锐二面角为π3，得cos〈n1，n2〉＝cosπ3＝n1·n2|n1|·|n2|＝t2－1

t2＋1·t2＋1＝t2－1t2＋1＝12，解得t＝3或t＝－3(舍).得PM→＝(1，0，－3)，n2＝(0，3，1)，设直线PM与平面PCD所成角为θ，则sinθ＝|cos〈PM→，n2〉|＝|PM→·n2||PM→|·|n2|＝|－3|12＋（－3）2·（3）2

＋12＝34.故直线PM与平面PCD所成角的正弦值为34.20．解析：(1)因为an＋1＝anan＋1，n∈N*，所以1an＋1＝1＋1an，即1an＋1－1an＝1，又a1＝1，所以1a1＝1，所以数列1an为首项为1，公差为1的等差数列，所以1an＝1＋(n－

1)×1＝n，故an＝1n，所以数列{an}的通项公式为an＝1n.(2)证明：因为当n∈N*时，1n2≥1n4，所以bn＝1＋3n2－1n2≥1＋2n2＋1n4－1n2＝1，所以Tn≥n，又当n≥2，且n∈N*时，bn＝1＋3n2－1n2<1＋1＋3n22－1n2＝1＋12·1

n2<1＋12·1（n－1）n＝1＋12(1n－1－1n)，所以当n＝1，T1＝b1＝1<1＋12，当n≥2，且n∈N*时，Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝1＋1＋12(11－12)＋1＋12(12－13)＋…＋1＋12(1n－1－1n)，所以Tn＝n＋12(11－12

＋12－13＋…＋1n－1－1n)＝n＋12(11－1n)<n＋12，所以对于任意的n∈N*，Tn<n＋12，综上所述，对于任意的n∈N*，n≤Tn<n＋12.21．解析：(1)设直线AB的方程为x＝my＋p2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由

x＝my＋p2y2＝2px得y2－2pmy－p2＝0，则y1＋y2＝2pm，y1y2＝－p2，x1x2＝(my1＋p2)(my2＋p2)＝m2y1y2＋m·p2(y1＋y2)＋p24＝p24，x1＋x2＝(m

y1＋p2)＋(my2＋p2)＝m·(y1＋y2)＋p＝2pm2＋p，又OA→·OB→＝x1x2＋y1y2＝p24－p2＝－3p24＝－3，所以p2＝4，又p>0，所以p＝2，所以抛物线方程为y2＝4x.(2)由(1)可知：F(1，0)，|FA|＝x1＋1，|F

B|＝x2＋1，所以|FA|·|FB|＝(x1＋1)·(x2＋1)＝x1x2＋x1＋x2＋1＝p24＋2pm2＋p＋1＝4(m2＋1)，设C(x3，y3)，D(x4，y4)，由x＝my＋1x2＋a2y2＝a2得(m2＋a2)y2＋

2my＋1－a2＝0，则y3＋y4＝－2mm2＋a2，y3y4＝1－a2m2＋a2，所以|CD|2＝(1＋m2)[(y3＋y4)2－4y3y4]＝(1＋m2)[(－2mm2＋a2)2－4×1－a2m2＋a2]，若|CD|是|FA|与|FB|的等比中项，则|

CD|2＝|FA|·|FB|，即4(m2＋1)＝(1＋m2)[(－2mm2＋a2)2－4×1－a2m2＋a]，所以1＝m2（m2＋a2）2－1－a2m2＋a2，即1＋m2m2＋a2＝m2（m2＋a2）2，所以m4＋m2a2＋a2＝0，因为m4≥0，m2≥0，a2≥1，所以m4＋m2a2＋a2≥1

，所以方程m4＋m2a2＋a2＝0无解，所以不存在直线AB，使得|CD|是|FA|与|FB|的等比中项．22．证明：(1)当a＝1时，f(x)＝ln(x＋1)，令G(x)＝f(x)－g(x)，所以G(x)

＝ln(x＋1)＋12x2－x，所以G′(x)＝1x＋1＋x－1＝x2x＋1，因为x>0，所以G′(x)>0，所以G(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以G(x)>G(0)＝ln(0＋1)＋12×02－0＝0，所以对于任意x∈(0，＋∞)，f(x)>g(x).(2)由F(x)＝f(x)－|

g（x）x|＝ln(x＋a)－－12x2＋xx＝ln(x＋a)－|12x－1|，当12x－1≥0⇒x≥2时，F(x)＝ln(x＋a)－12x＋1，当12x－1<0⇒x<2，x≠0时，F(x)＝ln(x＋a)＋12x－1，所以F(x)＝l

n（x＋a）＋12x－1，x<2，x≠0ln（x＋a）－12x＋1，x≥2依题F(x)有且仅有2个零点，当x<2，x≠0，不满足题意，所以F(x)在两段上各有一个零点或者在第二段上有两个零点．要证：x1＋x2>4，即

证：x1>4－x2，即证：h(x1)<h(4－x2)，即证：②若x1，x2均在同一段：F(x)＝ln(x＋a)－12x＋1上，则必有x1>2，x2>2，显然有x1＋x2>4成立，所以对于任意满足题意的a，x1＋x2>4.第二部分仿真模拟冲刺仿真模拟冲刺(一)1．答案：B

解析：∵iz＝－2＋i，∴z＝－2＋ii＝（－2＋i）ii2＝1＋2i，故选B.2．答案：C解析：因为A＝{x|－5<x<4}，B＝{x|x2＋3x－18<0}＝{x|(x＋6)(x－3)<0}＝{x|－6<x<3

}，所以A∩B＝{x|－5<x<3}．故选C.3．答案：D解析：连接AF，由抛物线的方程可知F(12，0)，由抛物线的定义可知|PF|＝|PA|，又∠FPA＝π3，∴△FPA为等边三角形，又F到准线的距离为1，∴△FPA的边长为2，∴|PF|＝

2，故选D.4．答案：D解析：由题意知，圆台的母线长l＝3，设圆台的上底面圆的半径为r，下底面圆的半径为R，由2πr＝2π3×3，得r＝1，由2πR＝2π3×6，得R＝2.所以圆台的高h＝32－（2－1）2＝22，所以圆台的体积V＝1

3πh(R2＋Rr＋r2)＝13π×22×(22＋2×1＋12)＝142π3.故选D.5．答案：A解析：如图，因为点M是BC的中点，所以AD→＝45AM→＝45×12(AB→＋AC→)＝25(AB→＋AC→).因为N，D，C三点共线，所以AD→＝μAC→＋(1－μ)AN→，又AN→＝λAB→，

所以25(AB→＋AC→)＝μAC→＋(1－μ)λAB→，由平面向量基本定理可知25＝μ25＝（1－μ）λ，解得μ＝25λ＝23，故选A.6．答案：C解析：由题意可得f(x)＝2sin(ωx＋π4)，由2kπ＋π2≤

ωx＋π4≤2kπ＋3π2，k∈Z，得2kπ＋π4≤ωx≤2kπ＋5π4，k∈Z，得2kπ＋π4ω≤x≤2kπ＋5π4ω，k∈Z，∴函数f(x)的单调递减区间为[2kπ＋π4ω，2kπ＋5π4ω]，k∈Z

.记函数f(x)的最小正周期为T，∵f(x)在区间(π2，π)上单调递减，∴T2≥π－π2＝π2，即T≥π，∴2πω≥π，得0<ω≤2.由2kπ＋π4ω≤π22kπ＋5π4ω≥π，k∈Z，得4k＋12≤ω≤2k＋54，k∈Z，结合0<ω≤

2可得，当k＝0时，12≤ω≤54，故选C.7．答案：C解析：∵四面体ABCD的所有棱长都是3，AM＝2MB，AN＝12ND，CP＝2PD，∴AM＝2，BM＝1，AN＝1，ND＝2，CP＝2，PD＝1.如图，延长NM，交DB的延长线于点T，连接TP，则TP与BC的交点即为点Q.过点N作NE∥

BD，交AB于点E，易得△AEN是边长为1的等边三角形，且M为EB的中点，∴△ENM≌△BTM，∴EN＝BT＝1，∴DT＝BT＋BD＝4.过点P作PF∥BC，交BD于点F，易得△PDF是边长为1的等边三角形，∴PF＝DF＝1，∴TF＝3，由PF∥BC，可

得BTTF＝BQPF，即13＝BQ1，得BQ＝13.故选C.8．答案：A解析：由双曲线C的离心率e＝ca＝2，c2＝a2＋b2，得c＝2a，3a2＝b2.∵𝑆△𝑃𝐹1𝐹2＝12·2c|yP|＝15，∴|yP|＝15c＝152a，则|xP|＝（y2Pb2＋1）·a2＝54a2＋a2

.∵𝑘𝐴1𝑃＋𝑘𝐴2𝑃＝6155>0，∴结合双曲线(如图)知点P在第一象限或第三象限，不妨设点P在第一象限，则P(54a2＋a2，152a)，∵A1(－a，0)，A2(a，0)，∴𝑘𝐴1𝑃＋𝑘𝐴2𝑃＝152a54a2＋a2

＋a＋152a54a2＋a2－a＝152a（54a2＋a2－a＋54a2＋a2＋a）（54a2＋a2＋a）（54a2＋a2－a）＝15a·54a2＋a254a2＋a2－a2＝415a5·54a2＋a2＝6155，∴2a54a2＋a2＝3，得a4＝1，∴a＝1.故选A.9．答案

：AD解析：在等差数列{an}中，因为S11<S10<S12，所以a11＝S11－S10<0，a12＝S12－S11>0，所以d＝a12－a11>0，故选项A正确；a1＝a11－10d<0，故选项B错误；因为a12＋a1

1＝S12－S10>0，所以S22＝22（a1＋a22）2＝11(a11＋a12)>0，故选项C错误；S21＝21（a1＋a21）2＝21a11<0，故选项D正确．故选AD.10．答案：AC解析：对于A，因

为X～B(n，p)，E(X)＝30，D(X)＝20，所以np＝30np（1－p）＝20，得p＝13，故A正确；对于B，(12x－2y)5展开式的通项公式为Tk＋1＝Ck512x5－k(－2y)k＝Ck51

25－k·(－2)k·x5－k·yk，k＝0，1，…，5，当k＝3时，得C35122·(－2)3＝－20，故B不正确；对于C，用χ2独立性检验进行检验时，χ2的值越大，零假设H0成立的可能性越小，说明有更大的把握认为两事件有关联，故C正确；对于D，|r|越接近1，成对样本数据的线性

相关程度越强，故D错误．故选AC.11．答案：ABD解析：①当x≥0时，f(x)＝2x－1＋21－x－2，设函数g(x)＝2x＋2－x－2，则有g(－x)＝g(x)，g(0)＝0，又g(x)＝2x＋2－x－2≥22x×2－x－2＝0，当且仅当x＝0时，等号成立，∴g(x)

为偶函数且g(x)min＝0.当x≥0时，g′(x)＝2xln2－2－xln2＝(2x－2－x)ln2≥0，∴g(x)在(0，＋∞)上单调递增，又g(x)为偶函数，∴g(x)在(－∞，0)上单调递减．把g(x)的图象向右平移一个单位长度，得y＝2x－

1＋21－x－2的图象，且其关于直线x＝1对称．②当x<0时，f(x)＝x2＋2x＋12，设h(x)＝x2＋2x＋12，易知其图象的对称轴为直线x＝－1，且h(x)min＝h(－1)＝－12.综上，可作函数f(x

)的大致图象如图所示，令f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)＝a，则a∈(0，12).A选项，∵当x<0时，f(x)＝x2＋2x＋12，∴结合图象及以上分析可知x1＋x2＝－2，故A正确．B选项，

由图可知，0<x3<1，x4>1.由f(x4)＝a<12，即f(x4)＝2𝑥4－1＋21－𝑥4－2<12，结合图象易得x4<2，∴0<x3<1<x4<2，故B正确．C选项，∵当x≥0时，f(x)＝2x－1＋21－x－2，∴结合图象及以上分析可知x3＋x4＝2，由不等式x3

x4<x3＋x422得x3x4<1，故C不正确．D选项，∵x1＋x2＝－2，x3＋x4＝2，∴x1＋x2＋x3＋x4＝0，故D正确．综上，选ABD.12．答案：ACD解析：如图1，连接OA，OB，OC，∵A1O⊥平面ABC，O为△ABC的外心，∴OA＝OB＝OC，∴A1A＝A1

B＝A1C＝AC＝AB.在图1中，延长AO交BC于点D，连接A1D，则AD⊥BC，A1D⊥BC，又AD∩A1D＝D，AD，A1D⊂平面A1AD，∴BC⊥平面A1AD，∵A1A⊂平面A1AD，∴BC⊥A1A，又B1B∥A1A，∴BC⊥BB1，∴平行四边形B1BCC1为

矩形．在图1中，取A1A的中点为E，连接BE，CE，易知△BAA1≌△CAA1，且△BAA1，△CAA1均为正三角形，∴BE⊥AA1，CE⊥AA1，CE＝BE，∴∠CEB为二面角B­AA1­C的平面角，∠CEB＝π3，∴△BCE为正三角形，又BC＝

3，∴BE＝CE＝3，∴AB＝AA1＝AC＝2，∴三棱柱的侧面积为2×2×sinπ3×2＋2×3＝63，故A正确．如图1，连接AC1交A1C于点F，连接DF，∵D，F分别为CB，A1C的中点，∴DF綊12

A1B，DF＝1，∴∠AFD或其补角为异面直线AC1与A1B所成的角，又AD＝AB2－BC22＝132，AF＝3，∴cos∠AFD＝（3）2＋12－13222×3×1＝38，故B不正确．如图2，连接BC1，设点A1到平面BCC1B

1的距离为d，易得𝑆△𝐵𝐵1𝐶1＝12×3×2＝3，𝑆△𝐴1𝐵1𝐶1＝12×3×132＝394，∴𝑉𝐴1­𝐵𝐵1𝐶1＝𝑉𝐵­𝐴1𝐵1𝐶1，∴13𝑆△𝐵𝐵1𝐶1·d＝13

𝑆△𝐴1𝐵1𝐶1×A1O，∴3d＝394×A1O.设△ABC的外接圆半径为r，∵sin∠ABC＝ADAB＝134，∴由正弦定理ACsin∠ABC＝2r，得r＝413，∴r＝AO＝413，∴A1O＝AA21－A

O2＝613，∴3d＝394×613，∴d＝32，故C正确．如图2，过A1作平面B1BCC1的垂线，垂足记为O1，则A1O1＝d＝32，由以上分析易知，A1C＝A1B＝A1B1＝A1C1，故O1为矩形B1BCC1的中心，O1为BC1的中点，故四棱锥A1­B1BCC1的外接球球

心O2在直线A1O1上，又A1B＝2，∴BO1＝A1B2－A1O21＝72，设四棱锥A1­B1BCC1的外接球的半径为R，如图2，连接BO2，则BO21＋O1O22＝BO22＝R2，O2O1＝|32－R|，∴722＋|32－R|

2＝R2，∴R＝43，故D正确．综上，选ACD.13．答案：3解析：∵1＋cosθsinθ＝2cos2θ22sinθ2cosθ2＝cosθ2sinθ2＝33，∴tanθ2＝3.14．答案：3142解析：甲、乙、丙每个人选择任意一个项目都

是有可能的，故共有73种可能情况，因为事件B表示“甲、乙、丙分别是三个不同项目的志愿者”，所以P(B)＝A3773＝3049，事件AB表示“甲、乙、丙分别是三个不同项目的志愿者，且甲不是雪车项目的志愿者

，乙不是雪橇项目的志愿者”，则事件AB共有A37－2A26＋A15＝155(种)情况，故P(AB)＝15573，则P(A|B)＝P（AB）P（B）＝3142.15．答案：223解析：设M(x，y)，A

(x1，y1)，B(x2，y2)，因为A，B均在直线x－y－4＝0上，所以y1＝x1－4，y2＝x2－4，所以A(x1，x1－4)，B(x2，x2－4)，所以MA→＝(x1－x，x1－4－y)，MB→＝(x2－x，x2－4－y)，因为|AB|＝2

2，所以(x1－x2)2＋[x1－4－(x2－4)]2＝8，即|x1－x2|＝2，因为|MA|＝2|MB|，所以(x1－x)2＋(x1－4－y)2＝4[(x2－x)2＋(x2－4－y)2]，整理得，(x－4x2－x13)2＋(y－4x2－x1－123)2＝329，所以

点M在以D(4x2－x13，4x2－x1－123)为圆心，r＝423为半径的圆上，且易知圆心D在直线x－y－4＝0上，又点O(0，0)到直线x－y－4＝0的距离d＝|0－0－4|12＋（－1）2＝22，所以|OM|min＝d－r＝2

2－423＝223.16．答案：－12e3解析：设直线y＝kx＋b与曲线y＝lnxx的切点为(x1，y1)，与曲线y＝2x的切点为(x2，y2)，由y＝lnxx的导函数为y′＝1－lnxx2，得曲线y＝lnxx在x＝x

1处的切线斜率为1－lnx1x21，故切线方程为y－lnx1x1＝1－lnx1x21(x－x1)，即y＝1－lnx1x21x＋－1＋2lnx1x1.由y＝2x的导函数为y′＝－2x2，得曲线y＝2x在x＝x2处的切线

斜率为－2x22，故切线方程为y－2x2＝－2x22(x－x2)，即y＝－2x22x＋4x2.∵直线y＝kx＋b是曲线y＝lnxx与曲线y＝2x的公切线，∴直线y＝1－lnx1x21x＋－1＋2lnx1x1与直线y＝－2x22x＋4x2是同一条直线，∴1－lnx1

x21＝－2x22－1＋2lnx1x1＝4x2，①②2得，1－lnx1（－1＋2lnx1）2＝－18，解得lnx1＝32，∴x1＝e32，∴k＝1－lnx1x21＝－12e3.17．解析：(1)1a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n－1①，当n＝1时

，1a1＝21－1，得a1＝1.当n≥2时，1a1＋2a2＋3a3＋…＋n－1an－1＝2n－1－1②，①－②得nan＝2n－1，an＝n2n－1，n≥2.经检验a1＝1满足上式，故an＝n2n－1.(2)bn＝2n22n－1，令Sn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝2

×12＋4×123＋6×125＋…＋2n×122n－1③，则14Sn＝2×123＋4×125＋6×127＋…＋(2n－2)×122n－1＋2n×122n＋1④，③－④得34Sn＝2×12－2n×122n＋1＋2[1

23＋125＋…＋122n－1]，34Sn＝2×12－2n×122n＋1＋2×123[1－14n－1]1－14，得Sn＝(－43n－169)×14n＋169.18．解析：(1)由2s

in(A＋π6)＝a＋bc及正弦定理得，2sin(A＋π6)＝sinA＋sinBsinC，2sin(A＋π6)sinC＝sinA＋sinB，所以(3sinA＋cosA)sinC＝sinA＋sin(A＋C)，所以3sin

AsinC＋cosAsinC＝sinA＋sinAcosC＋cosAsinC，由sinA≠0，得sin(C－π6)＝12，则在△ABC中，C＝π3.(2)解法一由△ABC内切圆的面积为3π，得△ABC内切圆的半径为3，所以S△ABC＝34ab＝12(a＋b＋c)3，得a＋b＋

c＝12ab①.由余弦定理得a2＋b2－c2＝ab②.已知b＝a＋3③.由①②③得a4－2a3－15a2＝0，即a2(a2－2a－15)＝0，又a>0，所以a＝5，则b＝8，c＝7，所以△ABC的周长为20.解法二由△ABC内切圆的面

积为3π，得△ABC内切圆的半径为3，所以S△ABC＝34ab＝12(a＋b＋c)3，所以a＋b＋c＝12ab①.由余弦定理得a2＋b2－c2＝ab，即(a＋b)2－c2＝3ab，(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab②.把①代入②得，a＋b－c＝6③，由①③得，4(a＋

b)＝12＋ab，又b＝a＋3，所以a2－5a＝0，又a>0，所以a＝5，则b＝8，c＝7，所以△ABC的周长为20.19．解析：(1)根据题中频率分布直方图可知，得分在[80，100]内的频率为(0.025＋0.010)×10＝0.35，得分在[90，100]内的频率为

0.010×10＝0.1，0.1小于0.2，因此获奖党员的最低得分应该在[80，90)内．设获奖党员的最低得分为x，则x∈[80，90)，得分在[x，100]内的概率为0.2，即(90－x)×0.025

＋0.010×10＝0.2，可得x＝86，所以获奖党员的最低得分约为86.(2)根据题意应从得分在[80，90)和[90，100]的两组内分别抽取5名党员和2名党员，则ξ的所有可能取值为0，1，2，P(ξ＝0)＝C35C

02C37＝1035＝27，P(ξ＝1)＝C25C12C37＝2035＝47，P(ξ＝2)＝C15C22C37＝535＝17，ξ的分布列为ξ012P274717数学期望E(ξ)＝0×27＋1×47＋2×17＝67.20．解析：(1)设AD的中点为G，如图，连接EG，FG，则FG∥PD，GE∥

CD.∵FG∥PDFG⊄平面PCDPD⊂平面PCD，∴FG∥平面PCD，同理可得GE∥平面PCD，∵FG∩EG＝G，FG，EG⊂平面EFG，∴平面EFG∥平面PCD，又EF⊂平面EFG，∴EF∥平面PCD.(2)∵点P在以AB为直径的半圆上，∴PA⊥PB.设

AD＝DC＝12AB＝2，则AB＝4，∵PB＝3PA，∴PA＝2，PB＝23，∴∠PAB＝60°.∵AD⊥DC，AB∥CD，∴AD⊥AB.∵平面ABP⊥平面ABCD，平面ABP∩平面ABCD＝AB，AD⊂平面ABCD，∴AD⊥平面PAB.以A为坐标原点，AB，A

D所在直线分别为y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(0，4，0)，C(0，2，2)，E(0，3，1)，P(3，1，0)，F(32，12，0)，EF→＝(32，－52，－1)，BP→＝(3，－3，0)，B

C→＝(0，－2，2).设平面PBC的法向量n＝(x，y，z)，则n·BP→＝0n·BC→＝0，即3x－3y＝0－2y＋2z＝0，取y＝1，得x＝3，z＝1，则n＝(3，1，1).设θ为直线EF与平面PBC所成

的角，则sinθ＝|cos〈EF→，n〉|＝|EF→·n||EF→|·|n|＝|32－52－1|8×5＝1010，∴直线EF与平面PBC所成角的正弦值为1010.21．解析：(1)由题意可得4a2＋3b2＝1①.离心率为32，所以ca＝32，可得ba＝12

，那么a＝2b②，由①②得a＝4，b＝2，所以椭圆C的标准方程为x216＋y24＝1.(2)因为坐标原点O到直线l的距离为2，所以|m|1＋k2＝2，得m2＝4(k2＋1).设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立y＝kx＋mx216＋y24＝1，可得(

1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－16＝0，其判别式Δ＝64k2m2－4(4k2＋1)(4m2－16)＝16(16k2＋4－m2)＝192k2>0，可知k≠0.由根与系数的关系可得，x1＋x2＝－8km1＋4k2，x1x2＝4m2－161＋4k2，那么|AB|＝1

＋k2|x1－x2|＝1＋k2－8km1＋4k22－44m2－161＋4k2＝83|k|1＋k21＋4k2，所以△ABO的面积S＝12×2×83|k|1＋k21＋4k2＝8×3|k|1＋k21＋4k2≤8×3k2＋1＋k221＋4k2＝4，当且仅当k＝±22时等号成立，所以△ABO

的面积的最大值为4.22．解析：(1)由题意，F(x)＝sinx－mx，则F(0)＝0，F′(x)＝cosx－m，当m≥1时，可知F′(x)＝cosx－m≤0，所以F(x)单调递减，则当x∈[0，＋∞)时，F(x)≤F(0)＝0恒成立，符合题意；当m≤－1时，F′(x)＝cosx－m≥0，所以

F(x)单调递增，则当x∈[0，＋∞)时，F(x)≥F(0)＝0，不符合题意；当－1<m<1时，F′(x)在[0，π]上单调递减，F′(0)＝1－m>0，F′(π)＝－1－m<0，所以F′(x)在(0，π)上存在

唯一零点x0，即F′(x0)＝0，当x∈(0，x0)时，F′(x)>0，F(x)单调递增，则此时F(x)>0，不符合题意．综上，实数m的取值范围为[1，＋∞).(2)G(x)＝23sinx＋x－53alnx

＋2，那么G(x1)＝G(x2)，即23sinx1＋x1－53alnx1＋2＝23sinx2＋x2－53alnx2＋2，整理可得，53a(lnx2－lnx1)＝23(sinx2－sinx1)＋x2－x1.不妨设x2>x1>0，由

(1)可知，当m＝1时，F(x)在R上单调递减，则当x2>x1时，F(x2)<F(x1)，即sinx2－x2<sinx1－x1，整理可得sinx2－sinx1<x2－x1，所以53a(lnx2－lnx1)＝23(sinx2－sinx1)＋x2－x1<23(x2－x1)＋x2

－x1＝53(x2－x1)，那么a<x2－x1lnx2－lnx1.要证：x1＋x2>2a，即证x1＋x22>x2－x1lnx2－lnx1，即证lnx2x1>2（x2x1－1）x2x1＋1，设x2x1＝t>1，h(t)＝lnt－2（t－1）t＋

1(t>1)，则h′(t)＝（t－1）2t（t＋1）2>0，所以h(t)＝lnt－2（t－1）t＋1在(1，＋∞)上单调递增，则h(t)＝lnt－2（t－1）t＋1>ln1－2×（1－1）1＋1＝0，所以lnt>2（t－1）t＋1，所以x1＋x2>2a得证．仿真模拟冲刺(二)1．答案：

D解析：易求得B＝{x|x≤－2或x≥3}，∴A∪B＝{x|x≤－2或x≥2}．故选D.2．答案：B解析：解法一∵(1－i)z＝－2i＝(1－i)2，∴z＝1－i，∴|z|＝12＋（－1）2＝2.故选B.解法二∵(1－i)z＝－2i，∴z＝－2i1－i＝－2i（1＋i）（1－

i）（1＋i）＝－i－i2＝1－i，∴|z|＝12＋（－1）2＝2.故选B.解法三∵(1－i)z＝－2i，∴|1－i||z|＝|－2i|，即2|z|＝2，∴|z|＝2.故选B.3．答案：C解析：将f(x)的图象向左平移π6个单位长度，得到g(x)＝f(x＋π6)＝sin[2(x＋π6)－π6

]＝sin(2x＋π6)的图象．故选C.4．答案：B解析：2023用了2个2，1个0，1个3，还余下1个2，1个3，故将2023视作一个整体与余下的1个2，1个3全排列，有A33＝6(种)不同的排法．故选B.5

．答案：A解析：设正四面体的棱长为a，则正四面体的表面积为4×34a2＝83，解得a＝22.解法一将正四面体放入正方体内，则正四面体的棱为正方体的面对角线，故正方体的棱长x满足2x＝a，解得x＝2.易知正四面体

的外接球即正方体的外接球，设外接球的半径为R，则R满足2R＝3x，故R＝3，∴外接球的体积为4π3R3＝43π.故选A.解法二易求得正四面体的高h＝a2－（23×32a）2＝43，设正四面体的外接球半径为R，则R＝34h

＝3，∴外接球的体积为4π3R3＝43π.故选A.解法三易求得正四面体的高h＝a2－（23×32a）2＝43，设正四面体的外接球半径为R，则R2＝(h－R)2＋(23×32a)2，解得R＝3，∴外接球的体积为4π3R3＝

43π.故选A.6．答案：D解析：由AB→|AB→|·AC→|AC→|＝12，得cosA＝12，又0<A<π，∴A＝π3.由AB→·BC→|AB→|＝AC→·CB→|AC→|，得(AB→|AB→|＋AC→|AC→|)·BC→＝0，∴角A的角平分线垂直于BC，∴AB＝AC，∴△ABC是等边

三角形．故选D.7．答案：D解析：由分布列知识得a1＋a2＋a3＋a4＝1，即4a1＋6d＝1，a1＝14－32d，又0<a1<1，0<a2<1，0<a3<1，0<a4<1，所以0<14－32d<1，0<14－12d<1，0<14＋12

d<1，0<14＋32d<1，得－16<d<16.故选D.8．答案：C解析：设t＝f(x)，则得关于t的方程t2－2(a＋1)t＋a(a＋2)＝0，解得t＝a或t＝a＋2.易求得f′(x)＝lnx－1e（lnx）2，则由f′(x)>0得x

>e，由f′(x)<0得0<x<1或1<x<e，∴f(x)在(0，1)，(1，e)上单调递减，在(e，＋∞)上单调递增，故f(x)在x＝e处取得极小值1.作出f(x)的大致图象如图，由图知，要使关于x的方程[f(x)]2－2(a＋1)f(x)＋a2＋2a＝0至

少有三个互不相等的实数解，需a<0a＋2>1，或a≥1a＋2>1，解得－1<a<0或a≥1.故选C.9．答案：BD解析：x－＝1n(x1＋x2＋…＋xn)，新的样本数据的平均数x－新＝1n＋1(x1

＋x2＋…＋xn＋xn＋1)＝1n＋1(nx－＋xn＋1)<1n＋1(nx－＋x－)＝x－，故A错误．新增的数据xn＋1可能等于原样本数据的众数，故B正确．当xn＋1比最小的数据还小时，会改变极差，且极差变大；当xn＋1不比最

小的数据小时，就不会改变极差．故C错误.20%n≠20%(n＋1)，因此，第20百分位数可能会变大，故D正确．故选BD.10．答案：BCD解析：易求得f′(x)＝3x2－a，则f′(x)＝0有两个不等根x1，x2，所

以a>0且x1x2＝－a3<0，故A错误，B正确；易知x1＋x2＝0，又x1<x2，所以f(x1)－f(x2)＝x31－x32－ax1＋ax2＝a3x1－a3x2－ax1＋ax2＝2a3(x2－x1)＝2a3·（x1＋x2）2－4x1x2＝4a33a>0，故C正确

(另解：易知f(x)在(x1，x2)上单调递减，又x1<x2，所以f(x1)>f(x2)，故C正确)；由f(x)＋f(－x)＝4得，f(x)的图象关于点(0，2)中心对称，故D正确．故选BCD.11．答案：ACD解析：

如图，连接AD1，CD1，易知AD1＝CD1，又O为AC的中点，故D1O⊥AC，故A正确．延长D1O，与B1B的延长线交于点E，则D1O∩平面BCC1B1＝E，故在平面BCC1B1内不存在直线与D1O平行，故B错误．连接D1P，DP，AP，VA­D1DP＝VP­D1DA＝13×2×12

×2×2＝43，故C正确．取CB的中点为M，连接OM，C1M，OP，则OM∥DC，又DC∥D1C1，所以OM∥D1C1，所以O，M，C1，D1四点共面．取BB1的中点为N，连接CN，ON，易知OM⊥平面BCC1B1，又CN⊂平面BCC1B1，所以OM⊥CN，根据正方体的

性质易知，CN⊥C1M，又OM∩C1M＝M，OM，C1M⊂平面OMC1D1，所以CN⊥平面OMC1D1，从而D1O⊥CN，又CN∩AC＝C，CN，AC⊂平面OCN，故D1O⊥平面OCN，故PO在平面OC

N内，又点P为侧面BB1C1C内(不含边界)的动点，平面OCN∩平面BB1C1C＝CN，故P在线段CN上(不含C，N两点)，由于D1C1＝2，为定值，D1C1⊥C1P，故当C1P最小时，△C1D1P的面积最小，此时C1P⊥CN，即C1M∩CN＝P，设PM＝x，易求得C1M

＝5，D1O＝6，所以D1P2＝4＋(5－x)2＝6＋1＋x2，解得x＝15，此时△C1D1P的面积最小，最小值为12×D1C1×C1P＝455.故D正确．故选ACD.12．答案：ABD解析：由题意知，长半轴长a＝2，短半轴长b＝3，半焦距c＝1，∴F1(－1，0)，F

2(1，0).由椭圆的定义得|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，易得|HF1|＝|HF2|＝12＋122＝52，∴四边形HF1PF2的周长为4＋5，故A正确．由常用二级结论知𝑘𝐴1𝑃×𝑘𝐴2𝑃＝－b2a2＝－34，(椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>

0)上一动点(不与长轴两个顶点重合)与长轴上两个顶点的连线的斜率乘积为－b2a2)故B正确．设P(x0，y0)，则x204＋y203＝1，0<x0<2，0<y0<3，则PF1：y＝y0x0＋1(x＋1)，即y0

x－(x0＋1)y＋y0＝0，同理可得PF2：y0x－(x0－1)y－y0＝0.∵PH是∠F1PF2的角平分线，∴点H到PF1的距离与点H到PF2的距离相等，∴|12（x0＋1）＋y0|y20＋（x0＋1）2＝|12（x0－1）－y0|y20＋（x

0－1）2，易知12(x0＋1)＋y0与12(x0－1)－y0必一正一负，又y20＋（x0＋1）2＝3－34x20＋（x0＋1）2＝12(x0＋4)，同理得y20＋（x0－1）2＝12(4－x0)，∴x0＋1＋2y

0x0＋4＝－x0－1－2y04－x0，整理得y0＝32，∴x0＝1，∴四边形HF1PF2的面积为12×|F1F2|×(12＋y0)＝2，故D正确．kPH＝32－－121－0＝2，PH：y＋12＝2x，即y＝2x－12，令y＝0

，得x＝14，故G(14，0)，∴|F1G|＝14－(－1)＝54，|F2G|＝1－14＝34，∴|F1G|∶|F2G|＝5∶3，故C错误．故选ABD.13．答案：π3解析：∵b2＋c2＝a2＋bc，∴由余弦定理得cosA＝b2＋c

2－a22bc＝12，又0<A<π，∴A＝π3.14．答案：2解析：对y＝2lnx－x求导，得y′＝2x－1，故曲线y＝2lnx－x在x＝1处的切线斜率为2－1＝1，又当x＝1时，y＝－1，∴切线方程为y－(－1)＝1×(x－1)，即y＝x－2，令x＝0得y＝－2，

令y＝0得x＝2，∴切线与两坐标轴围成的三角形的面积为12×2×2＝2.15．答案：715解析：P(取到红球)＝12×610＋12×26＝715.16．答案：x2＋y2＝2(注：满足圆心C不在直线x＋y－2＝0上，且到该直线的距离等于半径即可)解析：f(x)＝ex－e2－x＝e2x－e

2ex，∴由f(a)＋f(b)＝0，得e2a－e2ea＋e2b－e2eb＝0，整理得(ea＋b－e2)(ea＋eb)＝0，∴ea＋b－e2＝0，a＋b＝2，依题意知，直线x＋y＝2与圆C相切，可取圆C的圆心为坐标原点(0，0)，则圆C的半径r＝22＝

2，故圆C的方程为x2＋y2＝2.(注：答案不唯一．只要圆心C不在直线x＋y＝2上，且直线x＋y＝2是圆C的切线即可)17．解析：(1)依题意，批次甲芯片的次品率为1－(1－150)×(1－149)×(1－148)＝1－4050×48

49×4748＝350.(2)零假设为H0：芯片批次与用户对开机速度满意无关．2×2列联表如下：批次是否满意合计满意不满意甲301040乙55560合计,85,15,100所以χ2＝100×（30×5－10×55）240×

60×85×15≈5.229.因为5.229>3.841＝x0.05，所以依据小概率值α＝0.05的独立性检验，我们推断H0不成立，所以认为芯片批次与用户对开机速度满意有关，此推断犯错误的概率不大于0.05.18．解析：(1)因为an＋3＝－11＋an＋2，且an＋2＝－1

1＋an＋1，所以an＋3＝－11－11＋an＋1＝－1＋an＋11＋an＋1－1＝－1－1an＋1＝－1－1－11＋an＝an，所以数列{an}为“3型数列”．(2)由(1)及a1＝1可得，a1＝a4＝a7＝a10＝a13＝1，a

2＝a5＝a8＝a11＝a14＝－12，a3＝a6＝a9＝a12＝a15＝－2.因为bn＝2n－1，所以b1＝1，b2＝3，b3＝5，b13＝25，b14＝27，b15＝29.所以S15＝1×(b1＋b4＋…＋b13)＋－12×(b2＋b5＋…＋b14)＋(－2)×(b3＋b6＋…＋b1

5)＝（1＋25）×52＋－12×（3＋27）×52＋(－2)×（5＋29）×52＝－2852.19．解析：因为2sinA＋11－2cosA＝sin2C1＋cos2C＝2sinCcosC1＋2cos2C－1＝sinCcosC，所以cosC≠0cosA≠22，即C≠π2A

≠π4，所以2sinAcosC＋cosC＝sinC－2cosAsinC，即2sin(A＋C)＝sinC－cosC，又A＋B＋C＝π，所以2sinB＝2sin(C－π4)，所以B＝C－π4或B＋C－π4＝π(舍去)，当B

＝π6时，C＝5π12.(2)由(1)结合正弦定理，得cb＝sinCsinB＝sin（B＋π4）sinB＝22（sinB＋cosB）sinB＝22(1＋1tanB)，因为B∈[π6，π4)，所以tanB∈[33，1)，因为函数y＝22(1＋1x

)在[33，1)上单调递减，所以cb的取值范围为(2，6＋22].20．解析：(1)因为平面AA1B1B⊥平面ABC，平面AA1B1B∩平面ABC＝AB，AC⊥AB，AC⊂平面ABC，所以AC⊥平面AA1B1B.又A1B⊂平面AA1B1B，所以AC⊥A1B.因为四边形AA1B1B是菱形，所以AB

1⊥A1B.又AC∩AB1＝A，AC，AB1⊂平面AB1C，所以A1B⊥平面AB1C.又B1C⊂平面AB1C，所以A1B⊥B1C.(2)如图，取A1B1的中点D，连接AD，则AB⊥AD.由(1)知，AC⊥平面AA1B1B，则AC⊥AB，AC⊥AD.以A为坐标原点

，AB，AD，AC所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，0，2)，A1(－1，3，0)，B1(1，3，0)，A1B→＝(3，－3，0)，AB→＝(2，0，0).因为AC∥A1C

1，AC⊄平面A1B1C1，A1C1⊂平面A1B1C1，所以AC∥平面A1B1C1.因为平面A1B1C1∩平面AB1C＝l，AC⊂平面AB1C，所以AC∥l.设P(1，3，t)，则AP→＝(1，3，t).设平面ABP的法向量为n＝(x，y，z)，则

n·AP→＝0n·AB→＝0，即x＋3y＋tz＝02x＝0，解得x＝03y＋tz＝0，令z＝－3，则y＝t，所以n＝(0，t，－3).若直线A1B与平面ABP所成角的正弦值为14，即|－3t|23×t2＋3＝14，解得t2＝1，t＝±1，因此，存在点

P满足题意，且线段B1P的长度为1.21．解析：(1)设动点M的坐标为(x，y)，则根据题意（x－2）2＋y2＝2|x－12|，整理得x2－y23＝1，所以曲线E的方程为x2－y23＝1.(2)设点P(x0，y0)，曲线E在点P处的切线斜率为k，则

曲线E在点P处的切线方程为y－y0＝k(x－x0)，联立得y－y0＝k（x－x0）x2－y23＝1，整理得(3－k2)x2－2k(y0－kx0)x－(y0－kx0)2－3＝0.因为双曲线的渐近线方程为y＝±3x，所以k2≠3.Δ＝4k2(y0－kx0)2＋4(3－k2)[(y0－

kx0)2＋3]，令Δ＝0，得k2(x20－1)－2kx0y0＋y20＋3＝0.因为点P(x0，y0)在双曲线E上，所以x20－1＝y203，y20＋3＝3x20，所以k2y20－6kx0y0＋9x20＝0，解得k＝3x0y0.所以曲线E在

点P处的切线方程为y－y0＝3x0y0(x－x0)，即x0x－y0y3＝1.因为P(x0，y0)，PQ⊥l，所以Q(12，y0)，所以线段PQ的垂直平分线CD的方程为x＝x0＋122，即x＝2x0＋14.因为A(2，0)，Q(12，y

0)，所以直线AQ的斜率kAQ＝－2y03.记线段AQ的中点为B，则B(54，y02)，又线段AQ的垂直平分线BF的斜率为kBF＝32y0，所以线段AQ的垂直平分线BF的方程为y－y02＝32y0(x－54).联立直线CD与直线BF的方程，得x＝2x0＋14y－y02＝3

2y0（x－54），得△PQA的外心坐标为(2x0＋14，3x0－6＋2y204y0).将△PQA的外心横坐标x＝2x0＋14代入曲线E在点P处的切线方程x0x－y0y3＝1，得y＝3x0－6＋2y204y0，与△PQA的外心的纵坐标相等

．所以曲线E在点P处的切线过△PQA的外心．22．解析：(1)当a＝1时，f′(x)＝2－xex－1＋1x，x∈(0，＋∞)，可得f′(x)>0在[1，2]上恒成立，所以f(x)在[1，2]上单调递增，所以函数f(x)

在[1，2]上的最小值f(x)min＝f(1)＝0.(2)(ⅰ)若a≥0，当x>1时，x－1ex－1>0，lnx>0，所以当a≥0，x>1时，f(x)>0，f(x)在(1，＋∞)上没有零点，舍去．若a<0，f′(x)＝aex－1－x2＋2xxex－1，x∈(0，＋∞).令g(x)＝aex－1－x2

＋2x，则当a<0时，g′(x)＝aex－1－2(x－1)<0在(1，＋∞)上恒成立，所以当a<0时，g(x)在(1，＋∞)上单调递减，且g(1)＝a＋1.①若1＋a>0，即－1<a<0，因为g(2)＝

ae<0，所以存在m∈(1，2)，使g(m)＝0，f′(m)＝0，可得f(x)在(1，m)上单调递增，在(m，＋∞)上单调递减，且f(m)>f(1)＝0.当x>m时，易得f(x)＝x－1ex－1＋alnx<x－1x＋alnx＝1－1x＋alnx<1＋alnx，令1＋alnx＝0，得

x＝e－1a，易得e－1a>m，fe－1a<0，故存在唯一x1∈(m，e－1a)，使得f(x1)＝0，满足条件．②若1＋a≤0，即a∈(－∞，－1]，易得此时g(x)<0在(1，＋∞)上恒成立，

即f′(x)<0在(1，＋∞)上恒成立，所以f(x)在(1，＋∞)上单调递减，又f(1)＝0，所以f(x)<0，舍去．综上，a的取值范围为(－1，0).(ⅱ)由(ⅰ)可得，f(x)在[1，＋∞)上共有2个零点1，x1.下面探寻f(x)在(0，1)上的零点个数．

当－1<a<0时，令h(x)＝g′(x)＝aex－1－2(x－1)，则h′(x)＝aex－1－2<0，故g′(x)在(0，1)上单调递减，又g′(0)＝ae＋2>0，g′(1)＝a<0，所以存在t∈(0，1)，使得g′(t)＝0，且当x∈(0

，t)时，g′(x)>0，当x∈(t，1)时，g′(x)<0，故g(x)在(0，t)上单调递增，在(t，1)上单调递减．又g(0)＝ae<0，g(t)>g(1)＝1＋a>0，故一定存在s∈(0，t)，使得f′(s)＝0，

所以当x∈(0，s)时，f′(x)<0，当x∈(s，1)时，f′(x)>0，故f(x)在(0，s)上单调递减，在(s，1)上单调递增．又f(s)<f(1)＝0，当x→0时，f(x)→＋∞，故存在唯一x2∈(0，s)，使得f(x2)＝0，故f(x)在(0，1)上

有1个零点．综上，f(x)在(0，＋∞)上共有3个零点．仿真模拟冲刺(三)1．答案：C解析：因为A＝{x∈N*|x是4与10的公倍数}＝{x∈N*|x＝20k，k∈N*}＝{20，40，60，…}，B＝{x∈R|x2≤1000}

，20`2＝400≤1000，402＝1600＞1000，所以A∩B＝{20}，故选C.2．答案：D解析：解法一由(z－3)(z－5)＋2＝0，得z2－8z＋17＝0，设z＝a＋bi(a，b∈R)，则(a＋bi)2－8(a＋bi)＋17＝0，即a2－b2－8a＋1

7＝02ab－8b＝0，可得a＝4b2＝1，所以z·z－＝|z|2＝a2＋b2＝42＋1＝17，故选D.解法二由(z－3)(z－5)＋2＝0，得z2－8z＋17＝0，Δ＝(－8)2－4×17＝－4＜0，所以z，z－是方程z2－8z＋17＝0的两个复数根，所以z

·z－＝17.故选D.3．答案：D解析：因为tanα＝12，所以cosαcos（α＋π4）＝cosα22（cosα－sinα）＝21－tanα＝21－12＝22，故选D.4．答案：B解析：左边半球部分的体积V1＝12×43πR3＝23πR3，

中间圆柱部分的体积V2＝πR2·3R＝3πR3，右边圆锥部分的体积V3＝13πR2·R＝13πR3，故这块红薯的体积为23πR3＋3πR3＋13πR3＝4πR3，若将这块红薯分成体积相等的两部分，则应在乙和丙之间且靠近乙的13处掰开，故在乙处将红薯掰成两块，两块的

体积最接近．故选B.5．答案：C解析：因为在△ABC中点M满足BM→＝2MA→，所以AM→＝－13BA→，AC→＝BC→－BA→，又AB＝2，BC＝1，∠ABC＝π3，所以BA→·BC→＝|BA→|·|BC→|cos∠ABC＝2×1×12＝1，所以AM

→·AC→＝－13BA→·(BC→－BA→)＝－13BA→·BC→＋13BA→2＝－13＋43＝1，故选C.6．答案：A解析：解法一令f(x)＝ln(1＋x)－x，x＞－1，则f′(x)＝11＋x－1＝－x1＋x，令f′(x)＝0，得x＝0，当－1＜x＜0时，f′(x

)＞0，当x＞0时，f′(x)＜0，所以函数f(x)在(－1，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，所以f(x)≤f(0)＝0，即ln(1＋x)≤x，当且仅当x＝0时等号成立．所以b＝10e211·ln1110＝10e211·ln(1＋110)＜10e211×110＝e2

11＜e＝c，即b＜c.令h(x)＝ex－ex，x∈R，则h′(x)＝ex－e，令h′(x)＝0，得x＝1，当x＜1时，h′(x)＜0，当x＞1时，h′(x)＞0，所以函数h(x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以h(x

)≥h(1)＝0，即ex≥ex，当且仅当x＝1时等号成立．所以a＝1011·e1110＞1011×e×1110＝e＝c，即a＞c.综上b＜c＜a，故选A.解法二令g(x)＝lnx－1ex，x＞0，则g′(x)＝1x－1e＝e－xex，令g′(x)＝0，得x＝e，当0＜x＜e时，g′(x)

＞0，当x＞e时，g′(x)＜0，所以函数g(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，所以g(x)≤g(e)＝0，即lnx≤1ex，当且仅当x＝e时等号成立．所以b＝10e211·ln1110＜10e211×1e×1110＝e＝c，即b＜c.下同解法一．7．答案

：D解析：因为0＜P(A)＜1，所以事件A与不可能事件∅是互斥的，即在一次试验中不可能同时发生，所以选项A的说法是正确的；因为P(Ω)＝1，且AΩ＝A，所以P(AΩ)＝P(A)＝P(A)P(Ω)，所以必然事件Ω与事件A是相互独立的，所以选项B的说法是正确

的；因为A＝AB＋AB－，所以A|C＝(AB＋AB－)|C，所以事件AB与事件AB－互斥，所以P(A|C)＝P((AB＋AB－)|C)＝P(AB|C)＋P(AB－|C)，所以选项C的说法是正确的；对于选项D，举反例：掷一枚质地均匀的

骰子，设事件A为向上的点数不超过4，事件B为向上的点数为4或5，即A＝{1，2，3，4}，B＝{4，5}，A－＝{5，6}，所以P(A|B)＝12，P(A－|B)＝12，但P(A)＝23，P(A－)＝13，所以P(A)＝P(A－)＝12是错误的，即选项D错误．故选D.8．答案：B解析：由

已知，得A(0，b)，直线AB的斜率存在且不为0，所以可设直线AB的方程为y＝kx＋b，不妨设k＞0，与椭圆方程x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)联立，得y＝kx＋bb2x2＋a2y2＝a2b2，消去y，得b2x2＋a2(kx＋b)2＝a2b2，

即(b2＋a2k2)x2＋2a2bkx＝0，设B(x1，y1)，则x1＝－2a2bkb2＋a2k2.所以|AB|＝1＋k2|x1－0|＝1＋k2|2a2bkb2＋a2k2|＝1＋k2·2a2bkb2＋a2k2，直线AC的方程为y＝－1kx＋b，所以|AC|＝1＋（－1k）2|2a2b（－1

k）b2＋a2（－1k）2－0|＝1＋k2k·2a2bkb2k2＋a2.因为△ABC是以A为直角顶点的等腰直角三角形，所以|AB|＝|AC|，即1＋k2·2a2bkb2＋a2k2＝1＋k2k·2a2bkb2k2＋a2，化简得b2＋a2k2＝k(b2k2＋a2)＝b2k3＋

a2k，即b2(k3－1)－a2k(k－1)＝0，即b2(k－1)(k2＋k＋1)－a2k(k－1)＝0，即(k－1)[b2(k2＋k＋1)－a2k]＝0，若满足条件的△ABC有且仅有1个，则关于k的方程(k－1)[b2(k2＋k＋1)－a2k]＝0有且仅有一个根，即关于k的方程b2

(k2＋k＋1)－a2k＝0没有实根或有实根且实根为k＝1，由b2(k2＋k＋1)－a2k＝0得a2b2＝k2＋k＋1k＝k＋1k＋1，因为k＞0，所以k＋1k＋1≥2k·1k＋1＝3，当且仅当k＝1时等号成立，所以要使b2(

k2＋k＋1)－a2k＝0没有实根，则需a2b2＜3，又b2(k2＋k＋1)－a2k＝0的根为k＝1时，a2b2＝3，所以必有a2b2≤3，又a＞b＞0，所以13≤b2a2＜1.则椭圆离心率e满足e2＝c2a2＝1－b2a2∈(0，23]，所以e∈(0，63]，故选

B.9．答案：ABC解析：因为Sn＝(12)n－1，所以Sn＋1－Sn＝(12)n＋1－(12)n＝－12n＋1＜0，即Sn＋1＜Sn，所以数列{Sn}是递减数列，所以选项A正确．当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(12)n－(12)n－1＝－(12)n，当n＝1时，a1＝S1＝－12

也满足上式，所以an＝－(12)n.所以an＋1an＝－（12）n＋1－（12）n＝12，所以数列{an}是等比数列，所以选项B正确．an＝－(12)n＜0，所以选项C正确．Sn＋an＝(12)n－1－(12)n＝－1，所以选项D错误．

综上，选ABC.10．答案：AB解析：对于A，因为B1C∥平面ADD1A1，点F在线段B1C上，所以点F到平面ADD1A1的距离为定值，即正方体的棱长．又△ADD1的面积也为定值，𝑉三棱锥𝐷1­𝐴𝐷𝐹＝𝑉三棱锥�

�­𝐴𝐷𝐷1，所以三棱锥D1­ADF的体积为定值，所以选项A正确．对于B，连接CA，由题意可知E为BD的中点，所以E在线段CA上，且E为AC的中点，若直线EF∥平面AB1D1，因为EF⊂平面AB1C，平面AB1C∩平面A

B1D1＝AB1，所以EF∥AB1，因为E为AC的中点，所以F为B1C的中点，即CF＝12CB1，所以选项B正确．对于C，点F与点C重合时，平面DEF即平面ABCD，因为平面ABCD⊥平面BB1C1C，所以选项C错误．对于D，当点F与点B1重合时，EF与平面ABCD所成的角最大，此时∠B1

EB为EF与平面ABCD所成的角，设正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，则BE＝2，所以tan∠B1EB＝BB1BE＝22＝2＜3，即∠B1EB＜π3，所以不存在点F，使直线EF与平面ABCD所成的角为π3，所以选项D错误．综上，选AB.11．答案：ACD解

析：因为坐标原点O的坐标(0，0)满足曲线C的方程x2＋y2＝|x|＋|y|，所以坐标原点O在曲线C上，所以选项A正确．曲线C的方程为x2＋y2＝|x|＋|y|，将方程中的x换成－x，方程不变，所以曲线C关于y轴对称；将方

程中的y换成－y，方程不变，所以曲线C关于x轴对称；将方程中的x，y同时换成－x，－y，方程不变，所以曲线C关于坐标原点对称．根据对称性，作出曲线C，先考虑x≥0，y≥0时，此时曲线C的方程为x2＋y2＝x＋y，即(x－12)2＋(y－12)2＝12，且x≥0，

y≥0，即以C1(12，12)为圆心，半径r＝22的半圆，再把这部分曲线关于x轴，y轴，坐标原点对称的曲线作出来，即得到曲线C，如图所示．其中A(1，0)，B(0，1)，且A，B，C1三点共线．则曲线C在第一象限

的部分与x轴和y轴围成的图形的面积为S△AOB＋12𝑆圆𝐶1＝12×1×1＋12×π×(22)2＝12＋π4，所以曲线C围成的图形的面积为4×(12＋π4)＝π＋2，所以选项B错误．过点Q(0，3)的直

线可以分别与曲线C在第一象限、第二象限、第三象限、第四象限都相切，如图，所以过点Q(0，3)至多可以作4条直线与曲线C相切，所以选项C正确．设与直线y＝x＋3的距离为322的点的轨迹方程为y＝x＋b，则有|b－3|2＝322，解得b＝0或b＝6，即与

直线y＝x＋3的距离为322的点的轨迹方程为y＝x或y＝x＋6.直线y＝x与曲线C有3个交点，直线y＝x＋6与曲线C无交点，所以曲线C上到直线y＝x＋3的距离为322的点有3个，所以选项D正确．综上，选ACD.12．答案：ACD解析：因为函数y＝12sin2x的最小正周

期为π，函数y＝14sin4x的最小正周期为π2，函数y＝16sin6x的最小正周期为π3，且π是π2的2倍，π是π3的3倍，所以函数f(x)＝12sin2x＋14sin4x＋16sin6x的最小正周期为π，所以选项A正确．因为fπ2＝12sinπ＋

14sin2π＋16sin3π＝0，f－π4＝12sin(－π2)＋14sin(－π)＋16sin(－32π)＝－12＋0＋16＝－13<0，所以fπ2不是函数f(x)的最小值，所以选项B错误．因为f(kπ)

＝12sin2kπ＋14sin4kπ＋16sin6kπ＝0，所以x＝kπ(k∈Z)是函数f(x)的零点，所以选项C正确．由已知，得f′(x)＝cos2x＋cos4x＋cos6x＝cos(4x－2x)＋cos4x＋co

s(4x＋2x)＝2cos4xcos2x＋cos4x＝cos4x·(2cos2x＋1)，当x∈(3π4，π)时，2x∈(3π2，2π)，所以cos2x>0，即2cos2x＋1>1，令f′(x)＝0，则cos4x＝0，又4x∈(3π，4π)，所以4x＝

7π2，即x＝7π8，当3π4<x<7π8时，f′(x)<0，当7π8<x<π时，f′(x)>0，所以当x＝7π8时函数f(x)取得极小值，所以函数f(x)在(3π4，π)上存在极值，所以选项D正确．综上，选ACD.13．答案：21解析：

由题意可知每两条直线即有一个交点，所以7条直线相交共有C27＝21(个)交点．14．答案：(－∞，－210)∪(210，＋∞)解析：设圆C1：x2＋y2＋6x＝0，即(x＋3)2＋y2＝9，所以圆心C1(－3，0)，半径r1＝3；圆C2：

x2＋y2－2my＋m2－16＝0，即x2＋(y－m)2＝16，所以圆心C2(0，m)，半径r2＝4.因为圆C1和圆C2外离，所以|C1C2|>r1＋r2，即32＋m2>7，解得m<－210或m>210，所以

实数m的取值范围是(－∞，－210)∪(210，＋∞).15．答案：14或23解析：因为(1＋x)n的展开式中第9项、第10项、第11项的二项式系数成等差数列，即C8n，C9n，C10n成等差数列，所以2C9n＝C8n＋C10n，即2·n！9！（n－9）！＝n！8！（n－8）！＋n！10

！（n－10）！，化简得29（n－9）＝1（n－8）（n－9）＋19×10，即29（n－9）－1（n－8）（n－9）＝2n－259（n－8）（n－9）＝19×10，即10(2n－25)＝(n－8)(n－9)，即n2－37n＋322＝0，解得n＝14

或n＝23，由题意可知，n≥10，所以n＝14或n＝23均符合题意．16．答案：146解析：设高一、高二、高三年级的样本平均数分别为x－，y－，z－，则x－＝167，y－＝170，z－＝173.记总的样本平均数为X－，则X－＝100x－＋100y－＋100z－3

00＝167＋170＋1733＝170.设样本中100名高一年级学生的身高分别为x1，x2，x3，…，x100，100名高二年级学生的身高分别为y1，y2，y3，…，y100，100名高三年级学生的身高分别为z1，z2，z3，…

，z100，高一、高二、高三年级的样本方差分别为s21，s22，s23，由题意可知，s21＝120，s22＝150，s23＝150，设总的样本方差为s2.(x1－170)2＋(x2－170)2＋(x3－170)2＋…＋(x100－170)2＝[(x1－167)

－3]2＋[(x2－167)－3]2＋[(x3－167)－3]2＋…＋[(x100－167)－3]2＝(x1－167)2＋(x2－167)2＋(x3－167)2＋…＋(x100－167)2＋32×100－6[(x1－167)＋(x2－1

67)＋(x3－167)＋…＋(x100－167)]＝100s21＋(170－167)2×100；同理：(y1－170)2＋(y2－170)2＋(y3－170)2＋…＋(y100－170)2＝100s22＋(170－170)2

×100＝100s22；(z1－170)2＋(z2－170)2＋(z3－170)2＋…＋(z100－170)2＝100s23＋(170－173)2×100.所以s2＝100s21＋900＋100s22＋100s23＋900300＝146.17．解析：(1)由正弦定理得cosC

＋3sinC＝sinB＋sinCsinA，故sinAcosC＋3sinAsinC＝sinB＋sinC，由B＝π－A－C，得sinB＝sin(π－A－C)＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC，代入上式，化简得3sinAsinC＝cosAsinC＋sinC，

由C∈(0，π)，得sinC≠0，从而上式消去sinC，得3sinA＝cosA＋1，于是2sin(A－π6)＝1，即sin(A－π6)＝12，故A－π6＝π6＋2kπ或A－π6＝5π6＋2kπ，k∈Z，结合A∈(0，π)，得A＝π3.(2)由

△ABC的面积为3得12bcsinA＝3，将A＝π3代入上式，得bc＝4①，由a＝2，bc＝4，A＝π3，结合余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得b2＋c2＝8②，由①②解得b＝c＝2.18．解析：(1)由题意，知an－an－1＝an－2，

an－1－an－2＝an－3，an－2－an－3＝an－4，…，a3－a2＝a1，以上各式相加，得an－a2＝an－2＋an－3＋an－4＋…＋a1＝Sn－2，于是an＝Sn－2＋a2＝Sn－2＋1.(2)由a1＝a2＝1，an＝an－2＋an－1，得对任意的n

∈N*，an＝an－2＋an－1>0，进而an－an－1＝an－2>0，故数列{an}单调递增，由(1)可知an＝Sn－2＋1，故akSk－2－1＝1Sk－2＝1ak－1>0，于是只需求使得1ak－1≥1100成立

的最大正整数k，从而只需求使得ak≤101成立的最大正整数k，由a1＝a2＝1，an＝an－2＋an－1列举得a1＝1，a2＝1，a3＝2，a4＝3，a5＝5，a6＝8，a7＝13，a8＝21，a9＝34，a10＝55，a11＝

89，a12＝144，结合数列{an}单调递增，于是使得ak≤101成立的最大正整数k的值为11.19．解析：(1)用女性拍照的频率估计概率，每位女性拍照的概率p＝3040＝34，因为女性是否拍照互相之间不影响，所以

4名女性在“惟楚有材”牌坊下拍照相互独立，于是拍照的女性可能有2名、3名、4名，当拍照的女性有2名时，概率为C24342142＝54256，当拍照的女性有3名时，概率为C34343141＝108256，当拍照的女性

有4名时，概率为C44344＝81256，由加法原理，可得至少有2名女性在“惟楚有才”牌坊下拍照的概率为54256＋108256＋81256＝243256.(2)列出列联表：男性女性合计拍照203050不拍照401050合计6040100零假设H0：游客在“惟楚有材”牌

坊下拍照与性别无关．χ2＝100×（20×10－30×40）260×40×50×50＝503≈16.667>10.828.根据小概率值α＝0.001的独立性检验．可推断H0不成立，因此游客在“惟楚有材”牌坊下拍照与性别有关．20．解析：(1)在平面ABC内过点C作CD⊥AC，使得点D与点

B在AC同侧，由PC⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，AC⊂平面ABC，得PC⊥AC，PC⊥CD，结合CD⊥AC，可知PC，AC，CD两两垂直．以C为坐标原点，分别以CA→，CD→，CP→的方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标

系，如图，则C(0，0，0)，A(1，0，0)，P(0，0，1).由AB＝AC＝22BC得AB2＋AC2＝BC2，故AB⊥AC，△ABC为等腰直角三角形．同理，△APC为等腰直角三角形．于是B(1，1，0).当x＝22时，PM＝12AP，CN＝12CB，故M，N分别是

AP，CB的中点，M(12，0，12)，N(12，12，0)，MN→＝(0，12，－12)，CA→＝(1，0，0)，MN→·CA→＝0×1＋12×0－12×0＝0，故MN→⊥CA→，即MN⊥AC.(2)由(1)可得A(1，0，0)，P(0，0，1)，B(1，1，0)，△ABC，△APC均为等腰直

角三角形，故M(22x，0，1－22x)，N(22x，22x，0)，MN2＝(22x－22x)2＋(0－22x)2＋(1－22x)2＝x2－2x＋1，当x＝22时，MN2取得最小值，MN也最小，此时M，N分别是AP，CB的中点，于是M(12，0，12)，N(12，12，

0)，CM→＝(12，0，12)，CN→＝(12，12，0)，AM→＝(－12，0，12)，AN→＝(－12，12，0)，设平面CMN的法向量为α＝(x1，y1，z1)，平面AMN的法向量为β＝(x2，y2，z2)，则α·CM→＝0α·CN→＝0，即12x1＋12z1＝012x1

＋12y1＝0，即x1＋z1＝0x1＋y1＝0，取x1＝－1，可得平面CMN的一个法向量为α＝(－1，1，1)，β·AM→＝0β·AN→＝0，即－12x2＋12z2＝0－12x2＋12y2＝0，即－x2＋z2＝0－x2＋y2

＝0，取x2＝1，可得平面AMN的一个法向量为β＝(1，1，1).设二面角A­MN­C的平面角大小为θ，由图可知θ为锐角，则cosθ＝|α·β||α|·|β|＝|－1＋1＋1|3×3＝13，故二面角A­MN­C的余弦值为13.21．解析：(1)由直线

l的斜率为2，可设直线l：x＝12y＋m，M(x1，y1)，N(x2，y2)(x1<x2)，联立，得y2＝2pxx＝12y＋m，消去x，得y2－py－2pm＝0，Δ＝p2＋8pm>0，则m>－p8，由根与系数的关系，得y1＋

y2＝py1y2＝－2pm.由直线AM，AN的倾斜角互补且M，N为不同两点，可知直线AM，AN的斜率均存在，分别记为kAM，kAN，则kAM＋kAN＝y1＋1x1－a＋y2＋1x2－a＝y1＋112y1＋m－a＋y2＋11

2y2＋m－a＝0，即y1＋112y1＋m－a＝－y2＋112y2＋m－a，整理得y1y2＋(y1＋y2)(m－a＋12)＋2m－2a＝0，将y1＋y2＝py1y2＝－2pm代入上式，得－2pm＋

pm－pa＋12p＋2m－2a＝0，即(2－p)m＋12p－2a－pa＝0.由点A(a，－1)是抛物线C：y2＝2px(p>0)上一点，得2pa＝1，则a＝12p，代入(2－p)m＋12p－2a－pa＝0，消去a

，得(2－p)m＋12p－1p－12＝0，整理得(2－p)(m－p＋12p)＝0，因为直线l不过点A，所以m－p＋12p≠0，故p＝2，则a＝14，即A(14，－1)，故抛物线C的方程为y2＝4x.(2)

由(1)可得y1＋y2＝2y1y2＝－4m，故|MN|＝（x1－x2）2＋（y1－y2）2＝[1＋122][（y1＋y2）2－4y1y2]＝（1＋14）（4＋16m）＝5，解得m＝0，满足Δ>0，于是M(0，0)，N(1，2)，AM→＝(－14，1)，AN

→＝34，3，cos∠MAN＝AM→·AN→|AM→|·|AN→|＝－316＋3116＋1×916＋9＝1517，故sin∠MAN＝1－cos2∠MAN＝817.22．解析：(1)由题可知g(

1)＝0，g′(x)＝1xlna，故g′(1)＝1lna，于是曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝1lna(x－1).(2)h(x)＝f(x)－g(x)恰有两个零点，即方程ax＝logax恰有两正根．若a>1，则ax＝logax>1，于是x>1，

由ax＝logax＝lnxlna，得ax·lna＝lnx，ax·x·lna＝x·lnx，于是ax·lnax＝x·lnx.设m(x)＝xlnx(x>1)，则m′(x)＝lnx＋1>0，于是函数m(x)在(1，＋∞)上单调递增，由m(ax)＝m(x)可得ax

＝x，即方程ax＝x有两根，等价于方程lna＝lnxx有两正根，设l(x)＝lnxx(x>1)，则l′(x)＝1－lnxx2，由l′(x)>0得1<x<e，由l′(x)<0得x>e，故l(x)在(1，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，结合当x→1时，l(x)→0，当

x→＋∞时，l(x)→0，且x∈(1，＋∞)时，l(x)＝lnxx>0，画出l(x)的图象，如图，由方程lna＝lnxx有两正根并结合l(x)的图象，得0<lna<1e，从而1<a<e1e，故a∈(1，e1e).

仿真模拟冲刺(四)1．答案：C解析：由题意，得A＝{x|－1≤x－2≤1}＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|x≥2}，所以∁UB＝{x|x<2}，所以A∩(∁UB)＝{x|1≤x<2}，故选C.2．答案：D解析：由题意，得z＝i20232－i＝i4×505＋32－

i＝－i2－i＝－i（2＋i）（2－i）（2＋i）＝15－25i，所以z－＝15＋25i，故选D.3．答案：B解析：因为sinπ6＝12，所以π6>sinπ6，所以f(π6)＝sinπ6＝12，故选B.4．答案：A解

析：设样本数据x1，x2，…，xn的平均数为x－，则x－＝10，所以样本数据2x1＋4，2x2＋4，…，2xn＋4的平均数为2x1＋4＋2x2＋4＋…＋2xn＋4n＝2（x1＋x2＋…＋xn）＋4nn＝2×n×x－＋4nn＝2x－＋4＝24，所以将两组样

本数据合并为一组样本数据后的平均数为x1＋x2＋…＋xn＋2x1＋4＋2x2＋4＋…＋2xn＋42n＝10n＋24n2n＝17.又样本数据2x1＋4，2x2＋4，…，2xn＋4的方差为1n{[2x1＋4－(2x－＋4)]2＋[2x2＋4－(2x－＋4)

]2＋…＋[2xn＋4－(2x－＋4)]2}＝4n[(x1－x－)2＋(x2－x－)2＋…＋(xn－x－)2]＝8，所以1n[(x1－x－)2＋(x2－x－)2＋…＋(xn－x－)2]＝2，即样本数据

x1，x2，…，xn的方差为2，所以将两组样本数据合并为一组样本数据后的方差为12×[2＋(17－10)2]＋12×[8＋(17－24)2]＝54，故选A.5．答案：B解析：设堆垛从上至下每层的圆球个数构成数列{an}，则由题意，得a1

＝1，a2＝3，a3＝6，a4＝10，又1＝1×（1＋1）2，3＝2×（2＋1）2，6＝3×（3＋1）2，10＝4×（4＋1）2，由此可猜想an＝n（n＋1）2，所以a5＝5×62＝15，所以当n＝5时，圆球总个数为20＋15＝35，故选B.6．答案：C解析：如

图1，取AC的中点为G，连接PG，BG，则PG⊥AC，BG⊥AC.因为PG∩BG＝G，PG，BG⊂平面PBG，所以AC⊥平面PBG.因为PB⊂平面PBG，所以AC⊥PB.因为EF∥PB，所以EF⊥AC.因为∠AEF＝90°，所以AE⊥EF.因为AE

∩AC＝A，AE，AC⊂平面PAC，所以EF⊥平面PAC.所以PB⊥平面PAC，所以正三棱锥P­ABC为正方体的一部分．如图2所示，将正三棱锥P­ABC放入正方体中，因为M为三棱锥P­ABC外接球球面上的动点，所以当M位于正方体的如图2所示的顶点处时，点M到平面

ABC的距离最大，设为h，则VM­ABC＝13×S△ABC×h＝13×34×(6)2×h＝32h.又VM­ABC＝V正方体­4VB­PAC＝(3)3－4×13×12×3×3×3＝3，所以32h＝3，所以h＝2，故选C.7．答案：B解析：解法一设直线OA：y＝kx(k≠0)，则直线OB：y＝

－1kx，由y＝kxy2＝4x，得A(4k2，4k)，同理得B(4k2，－4k).当k≠±1时，kAB＝4k＋4k4k2－4k2＝k1－k2，所以直线AB：y＋4k＝k1－k2(x－4k2)，即y＝k1－k2(x－

4)①.所以直线OH：y＝－1－k2kx②.因为H为直线AB与OH的交点，所以联立①②消去k得点H的轨迹方程为x2＋y2－4x＝0(x≠0).当k＝±1时，容易验证点H的坐标仍适合上述方程，所以点H的轨迹方程为(x－2

)2＋y2＝4(x≠0)，所以圆心(2，0)到点H的距离为定值2，故选B.解法二由题意，知直线AB的斜率不为0，故可设直线AB的方程为x＝ty＋s，A(x1，y1)，B(x2，y2).联立得y2＝4xx＝ty＋s，消去x，得y2－4ty－4s＝0，Δ

＝16t2＋16s>0，所以y1＋y2＝4t，y1y2＝－4s，所以x1x2＝(ty1＋s)(ty2＋s)＝t2y1y2＋ts(y1＋y2)＋s2＝s2.因为OA⊥OB，所以OA→·OB→＝0，所以x1x2＋y1y2＝0，

即s2－4s＝0，解得s＝0或s＝4.若s＝0，则直线AB过原点O，不符合题意，则s＝4，此时直线AB的方程为x＝ty＋4，所以直线AB过定点T(4，0).又OH⊥AB，所以OH⊥HT，所以点H在以OT为直径的圆上，即H的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝

4(x≠0)，所以圆心(2，0)到点H的距离为定值2，故选B.8．答案：A解析：解法一在f(xy＋1)＝f(x)f(y)－f(y)－x＋2中，令x＝y＝0，得f(1)＝f(0)·f(0)－f(0)－0＋2＝2.令y＝

0，得f(1)＝f(x)·f(0)－f(0)－x＋2＝f(x)－x＋1，所以f(x)＝x＋1.所以1f（x）f（x＋1）＝1（x＋1）（x＋2）＝1x＋1－1x＋2，所以∑2023i＝11f（i）f（i＋1）＝12－13＋13－14＋…＋12024－12025＝12－12

025＝20234050，故选A.解法二在f(xy＋1)＝f(x)·f(y)－f(y)－x＋2①中交换x，y的位置，得f(yx＋1)＝f(y)·f(x)－f(x)－y＋2②.①－②，得f(x)－f(y)＋y－x＝0，令y＝0，得f(x)－f(0)＋0－x＝0

，即f(x)－1－x＝0，所以f(x)＝x＋1.下同解法一．9．答案：BCD解析：对于A，因为X～B(n，p)，所以E(X)＝np＝30①，D(X)＝np(1－p)＝20②，联立①②解得p＝13，故A不正确；对于B，将所给数据按照

从小到大的顺序排列为64，72，75，76，78，79，85，86，91，92，因为10×45%＝4.5D∈/Z，所以45%分位数为第5个数78，故B正确；对于C，因为ξ～N(0，1)，所以该正态曲线关于直线x＝0对称，所以P(

－1≤ξ≤0)＝1－2P（ξ>1）2＝12－p，故C正确；对于D，因为40020＝20，所以从高二抽取的人数为36020＝18，所以应从高三抽取57－20－18＝19(人)，故D正确．综上所述，选BCD.10．答案：AB解析：对于A，如图a，连接BC1，A1B，由正方体的性质可得AD1∥BC1

，所以∠BC1A1为异面直线AD1与A1C1所成的角．又由正方体的性质知△A1BC1为等边三角形，所以∠BC1A1＝60°，故A正确，对于B，由正方体的性质知平面AA1D1D∥平面BB1C1C.因为AD1⊂平面AA1D1D，所以AD1∥平面BB1C1C.又AB⊥平面BB1C1C，

所以点P到平面BB1C1C的距离为AB＝1.又𝑆△𝐵1𝐵𝐶1＝12×1×1＝12，所以𝑉𝐵1­𝑃𝐵𝐶1＝𝑉𝑃­𝐵𝐵1𝐶1＝13×12×1＝16，故B正确．对于C，如图b，当P为AD1的中点时，DP⊥AD1.由正方体的性质得C

D⊥平面AA1D1D，又AD1⊂平面AA1D1D，所以CD⊥AD1.因为CD∩PD＝D，CD，PD⊂平面PDC，所以AD1⊥平面PDC，故C不正确．对于D，当点P与点A重合时，PB＋PC＝1＋2<3＋6，故D不

正确．综上所述，选AB.11．答案：ACD解析：由题意，知函数f(x)的定义域为[－2，6].对于A，因为f(4－x)＝a－（4－x＋2）（4－x－6）4－x＋2＋6－（4－x）＝a－（x＋2）（x－6）6－x＋x＋2＝f(

x)，所以f(x)的图象关于直线x＝2对称，所以A正确；对于B，设g(x)＝－（x＋2）（x－6）x＋2＋6－x，则g(－2)＝0，g(2)＝1，则g(－2)<g(2)，若a<0，则f(－2)>f(2)，所以函数f(x)在区间[－2，

2]上不单调递增，所以B不正确；对于C，若a＝1，则f(x)＝（x＋2）（6－x）x＋2＋6－x，当x∈(－2，6)时，f(x)＝116－x＋1x＋2，令h(x)＝16－x＋1x＋2，x∈(－2，6)，则h′(x)＝12（6－x）3－12（x＋2）3＝（x＋2）

3－（6－x）32（6－x）3·（x＋2）3，所以由h′(x)<0，得－2<x<2，函数h(x)单调递减，由h′(x)>0，得2<x<6，函数h(x)单调递增，所以h(x)极小值＝h(2)＝1，所以f

(x)的极大值为1，所以C正确；对于D，结合选项C知，在g(x)＝－（x＋2）（x－6）x＋2＋6－x中，g(－2)＝0，g(6)＝0，g(x)在(－2，2)上单调递增，在(2，6)上单调递减，所以函数g(x)的最大值为g(2)＝1，则当a<0时，函数f(x)的最小值为a，所

以D正确．综上所述，选ACD.12．答案：BCD解析：对于A，若数列{an}的前3项为1，4，5，则4－12＝72，5－42＝3<72，不符合“差半递增”数列的定义，故A不正确．对于B，因为an＝qn(q>1)，所以an－12an－1＝qn－12qn－1，an＋1

－12an＝qn＋1－12qn，若an－12an－1≥an＋1－12an，即qn－12qn－1≥qn＋1－12qn，整理，得2q2－3q＋1≤0，解得12≤q≤1，所以当q>1时，an－12an－1<an＋1－12an，所以数列{an}为“差半递增”数列，故B正确．对于C，因为数列

{an}的公差d>0，an＝a1＋(n－1)d，an－1＝a1＋(n－2)d，an＋1＝a1＋nd，所以an－12an－1＝12a1＋n2d，an＋1－12an＝12a1＋n2d＋d2，所以an－12an－1<an＋1－1

2an，所以数列{an}为“差半递增”数列，故C正确．对于D，因为Sn＝2an－2n＋1－t①，所以a1＝2a1－4－t，所以a1＝4＋t.又当n≥2时，Sn－1＝2an－1－2n－t②，所以①－②，得an＝2an－2n＋1－2an－1＋2n，即an－2an－1＝

2n，所以an2n－an－12n－1＝1，所以数列an2n是公差为1的等差数列，所以an2n＝4＋t2＋n－1＝1＋t2＋n，所以an＝2n(1＋t2＋n)，则由an－12an－1<an＋1－12an，即2n(1＋t

2＋n)－12·2n－11＋t2＋n－1<2n＋11＋t2＋n＋1－12·2n1＋t2＋n，解得t>－2（3n＋10）3.因为n∈N*且n≥2，所以t>－2×（6＋10）3＝－323，故D正确．综上所述

，选BCD.13．答案：12π2解析：由题图知，A(π2，1)，B(3π2，－1)，C(5π2，1)，D(7π2，－1)，所以OA→＝(π2，1)，BO→＝(3π2，－1)，OC→＝(5π2，1)，OD→＝

(7π2，－1)，所以OA→＋OB→＝(2π，0)，OC→＋OD→＝(6π，0)，所以(OA→＋OB→)·(OC→＋OD→)＝2π×6π＋0×0＝12π2.14．答案：3解析：因为f(x)＝3sinx＋4cosx＝5sin(x＋φ)，其中cosφ＝35，sinφ＝45，则sin(θ＋φ

)＝1，所以θ＋φ＝π2＋2kπ(k∈Z)，所以θ＝π2－φ＋2kπ(k∈Z)，所以sinθ＝sin(π2－φ)＝cosφ＝35，同理cosθ＝45，所以tanθ＝m4＝sinθcosθ＝34，所以m＝3.15．答案：x(x＋1)(x－1)(答案不唯一)

解析：取函数f(x)＝x(x＋1)(x－1)＝x3－x，则f(－x)＝(－x)3－(－x)＝－x3＋x＝－(x3－x)＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，满足条件①.由f(x)＝0，得x＝0或x＝±1，满足条件③.又f′(x)＝3x2－1，则当x∈(－33，33)时

，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，当x∈(－∞，－33)∪(33，＋∞)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，满足条件②.16．答案：153解析：因为A(a，0)，所以直线PQ的方程为y＝2(

x－a).则由y＝2（x－a）y＝bax，得P(2a22a－b，2ab2a－b).由y＝2（x－a）y＝－bax，得Q(2a22a＋b，－2ab2a＋b)，所以M(4a34a2－b2，

2ab24a2－b2)，所以|AM|2＝(a－4a34a2－b2)2＋(0－2ab24a2－b2)2＝(55a)2，整理，得3b4＋a2b2－2a4＝0，即(3b2－2a2)(b2＋a2)＝0，所以3b2－2a2＝0，所以b2a2＝23，所以e＝ca＝1＋（ba）2＝1＋23＝153.

17．解析：(1)因为an＋1(an＋2)＝2a2n＋5an＋2＝(2an＋1)(an＋2)，an>0，所以an＋1＝2an＋1，所以an＋1＋1＝2(an＋1)，所以数列{an＋1}是首项为a1＋1＝2，公比为2的等

比数列．所以an＋1＝2n，即an＝2n－1.(2)结合(1)知bn＝(－1)nlog42n＝(－1)n·n2，所以当n为偶数时，Tn＝(－12＋22)＋(－32＋42)＋…＋(－n－12＋n2)＝12·1

2n＝14n.当n为奇数时，Tn＝Tn＋1－bn＋1＝n＋14－n＋12＝－n＋14.所以数列{bn}的前n项和Tn＝－n－14，n为奇数n4，n为偶数.18．解析：(1)由已知得cosC(sinA

cosB－cosAsinB)＝cosB(sinCcosA－cosCsinA)，又sin(B＋C)＝sinA，所以整理得2cosCsinAcosB＝cosAsinA，因为sinA>0，所以2cosCcosB

＝cosA.又cosA＝－cos(B＋C)＝－cosBcosC＋sinBsinC，所以sinBsinC＝3cosCcosB，即tanBtanC＝3.tanA＝－tan(B＋C)＝tanB＋tanCtanBtanC－1＝t

anB＋tanC2≥tanBtanC＝3，当且仅当tanB＝tanC＝3时等号成立，故tanA的最小值为3.(2)因为tanA＝2，所以tanB＋tanC＝4，又tanBtanC＝3，所以tanC＝1或tanC＝3，当tanC＝1时，sinC＝22，由正弦定理得c＝a

sinAsinC＝52，当tanC＝3时，sinC＝31010，由正弦定理得c＝asinAsinC＝310．综上，c＝52或310.19．解析：(1)记事件A表示“抽取一个小球且为红球”，B1表示“箱子中小球为两红两白”，B2表示“箱子中小球为三红一白

”，则P(A)＝P(B1)·P(A|B1)＋P(B2)·P(A|B2)＝23×12＋13×34＝712.(2)由题意得X的取值可以为－2，0，1，3，4，6，P(X＝－2)＝23×34×16＝112，P(X＝0)＝23×14×12＝112

，P(X＝1)＝23×34×23＋13×34×12＝1124，P(X＝3)＝23×14×12＋13×14×34＝748，P(X＝4)＝23×34×16＋13×34×12＝524，P(X＝6)＝13×14×14＝148.随机变量X的分布列为X－201346P112112112474

8524148数学期望E(X)＝(－2)×112＋0×112＋1×1124＋3×748＋4×524＋6×148＝2716.20．解析：(1)如图，取线段AB的中点G，连接A1G，EG，B1G，易得DA1∥EG，所以E，G，A1

，D四点共面．因为AB1⊥A1C1，A1C1∥AC，所以AB1⊥AC，又AA1⊥底面ABC，AC⊂底面ABC，所以AA1⊥AC，因为AB1∩AA1＝A，所以AC⊥平面AA1B1B.因为E，G分别是BC，BA的中点，所以EG∥AC，所以EG⊥平面AA1B1B，

因为AB1⊂平面AA1B1B，所以AB1⊥EG.因为AA1＝A1B1＝AG＝1，A1B1∥AG，AA1⊥AG，所以四边形AA1B1G是正方形，所以AB1⊥A1G.又EG∩A1G＝G，所以AB1⊥平面A1DEG，因为DE⊂平面A1DE

G，所以AB1⊥DE.(2)延长EF，与C1B1的延长线相交于点Q，连接DQ，则DQ与A1B1的交点即M.由F，E分别为BB1，BC的中点知M为线段A1B1的三等分点，且A1M＝23，连接AM，MC，由(1)知AC⊥

AB，所以AC，AB，AA1两两垂直，以点A为坐标原点，AC所在的直线为x轴，AB所在的直线为y轴，AA1所在的直线为z轴建立空间直角坐标系A­xyz.则A(0，0，0)，C(2，0，0)，M(0，23，1)，AC→＝(2，0，0)，AM→＝0，23，1，设平面MAC的法向量为n1＝(a，

b，c)，则2a＝023b＋c＝0，取b＝－3，则n1＝(0，－3，2).易得平面ABC的一个法向量为n2＝(0，0，1)，由图知二面角M­AC­B为锐角，设二面角M­AC­B的大小为θ，则cosθ＝|n1·n2||n1|·|

n2|＝213＝21313，所以二面角M­AC­B的余弦值为21313.21．解析：(1)由题意知c＝3，所以a2＝b2＋3.将点Q3，－12代入x2b2＋3＋y2b2＝1中，得b＝1，所以椭圆C的方程为x24＋y2＝1.设点P(x，y)，则PF1→·PF2→＝

(－3－x，－y)·(3－x，－y)＝x2－3＋y2＝34x2－2.又x∈[－2，2]，所以PF1→·PF2→的取值范围是[－2，1].(2)依题意可设直线l的方程为x＝my＋3，M(x1，y1)，N(x2，y2)．联立得

x＝my＋3x24＋y2＝1，得(14m2＋1)y2＋32my－14＝0，Δ＝m2＋1>0，所以y1＋y2＝－23mm2＋4，y1y2＝－1m2＋4，所以𝑆△𝐹1𝑀𝑁＝12×23·|y1－y2|

＝312m2（m2＋4）2＋4m2＋4＝43m2＋1（m2＋4）2.又m2＋1（m2＋4）2＝m2＋1（m2＋1）2＋6（m2＋1）＋9＝1（m2＋1）＋9m2＋1＋6≤112，当且仅当m＝±2时等号成立．所以S△F1MN≤43×112＝2.又三角形内切圆半径r满足r＝2𝑆△𝐹1

𝑀𝑁4𝑎≤48＝12，所以△F1MN的内切圆面积的最大值为π4.22．解析：(1)因为a＝1，所以f(x)＝ex－x2－cosx－ln(x＋1)，f(0)＝0，f′(x)＝ex－2x＋sinx－1x＋1，所以f′(0)＝0，所以在(0，f(0))处的切线方

程为y＝0，所以函数f(x)的图象与x轴相切于坐标原点．(2)f′(x)＝ex－2ax＋sinx－1x＋1，令g(x)＝f′(x)，则g′(x)＝ex－2a＋cosx＋1（x＋1）2，令h(x)＝g′(x)，则h′(x)＝ex－sinx－2（x＋1）3，当x∈(－

1，0)时，h′(x)＝ex－sinx－2（x＋1）3<1－sinx－2＝－sinx－1<0，故h(x)在(－1，0)上单调递减，因为h(0)＝3－2a，所以当3－2a≥0，即a≤32时，h(x)≥0，此时g(x)单调递增，故g(x)<g(0)＝0在x∈

(－1，0)时恒成立，所以f(x)在(－1，0)上单调递减，故函数f(x)在x∈(－1，0)时无极值点．当a>32，x∈(－1，0)时，因为g′(x)在(－1，0)上单调递减，g′(0)＝3－2a<0，g

′(－1＋12a)＝e－1＋12a－2a＋cos(－1＋12a)＋2a＝e－1＋12a＋cos(－1＋12a)>0，故必存在x0∈(－1，0)，使得g′(x0)＝0，当x∈(－1，x0)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，当x∈(x0，0)时，g

′(x)<0，g(x)单调递减，而f′(0)＝0，故f′(x0)>0，又f′(－1＋1e2a)＝e−1+1e2𝑎＋2a－2ae2a＋sin(－1＋1e2a)－e2a＝(2a－e2a)＋e−1+1e2𝑎－2ae2a＋

sin(－1＋1e2a)<－1＋e−1+1e2𝑎－2ae2a＋sin(－1＋1e2a)<0，所以必存在m∈(－1，x0)，使得f′(m)＝0，且当x∈(－1，m)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x∈(m，0)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，故f(x)在区间(－1，0)上恰有一个

极小值点m.令t(x)＝h′(x)，则t′(x)＝ex－cosx＋6（x＋1）4>0在(0，＋∞)上恒成立，所以h′(x)在(0，＋∞)上单调递增，又h′(0)<0，h′(1)>0，所以总存在x1∈(0，1)，使得h′(x1)＝0，且当x∈(0，x1)时，h′(x)<0，h(x)单调

递减，当x∈(x1，1)时，h′(x)>0，h(x)单调递增，当x∈(0，＋∞)时，h(0)＝3－2a<0，且h(2a)＝e2a－2a＋cos2a＋1（2a＋1）2>1＋cos2a＋1（2a＋1）2>0，故必存在x2∈(0，＋∞)，使得g′(x

2)＝0，当x∈(0，x2)时，g′(x)<0，f′(x)单调递减，当x∈(x2，＋∞)时，g′(x)>0，f′(x)单调递增，因为f′(0)＝0，所以当x∈(0，x2)时，f′(x)<0，所以f′(x2)<0，又f′(4a)＝e4a－8a2＋sin4a－14a＋1>(a＋1)4－8a

2＋sin4a－14a＋1＝a4－2a2＋4a3＋4a＋1＋sin4a－14a＋1>0，故存在n∈(x2，＋∞)，使得f′(n)＝0，且当x∈(0，n)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x∈(n，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，故f

(x)在区间(0，＋∞)上恰有一个极小值点n.所以若函数f(x)在区间(－1，0)，(0，＋∞)上各恰有一个极值点，则a>32，即实数a的取值范围为(32，＋∞).