【文档说明】2025届高考数学一轮复习专练15 函数模型及其应用.docx，共(9)页，67.779 KB，由小赞的店铺上传

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温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。十五函数模型及其应用(时间:45分钟分值:85分)【基础落实练】1.(5分)已知

正方形ABCD的边长为4,动点P从B点开始沿折线BCDA向A点运动.设点P运动的路程为x,△ABP的面积为S,则函数S=f(x)的图象是()【解析】选D.依题意知,当0≤x≤4时,f(x)=2x;当4<x≤8时,f(x)=8;当8<x≤12

时,f(x)=24-2x,观察四个选项知D项符合要求.2.(5分)在某种新型材料的研制中,实验人员获得了下列一组实验数据,现准备用下列四个函数中的一个近似表示这些数据的规律,其中最接近的一个是()x1.992345.156.126y1.5174.

04187.51218.01A.y=2x-2B.y=12(x2-1)C.y=log2xD.y=log12x【解析】选B.由题中表格可知函数在(0,+∞)上是增函数,且y的变化随x的增大而增大得越来越快,分析选项可知B符合.3

.(5分)(2023·重庆模拟)生物学家为了了解抗生素对生态环境的影响,常通过检测水中生物体内抗生素的残留量来进行判断.已知水中某生物体内抗生素的残留量y(单位:mg)与时间t(单位:年)近似满足关系式y=λ(1-3-λt)(λ≠0),其中λ为抗生素的残留系

数,当t=8时,y=89λ,则λ=()A.12B.13C.23D.14【解析】选D.因为抗生素的残留量y(单位:mg)与时间t(单位:年)近似满足关系式y=λ(1-3-λt)(λ≠0),当t=8时,y=89λ,所以89λ=λ(1-3-8λ)

,所以3-8λ=19=3-2,即-8λ=-2,解得λ=14.4.(5分)(多选题)甲同学家到乙同学家的途中有一座公园,甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2km.如图所示表示甲同学从家出发到

乙同学家经过的路程y(km)与时间x(min)的关系,下列结论正确的是()A.甲同学从家出发到乙同学家走了60minB.甲从家到公园的时间是30minC.甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度快D.当0≤x≤30时,y与x的关系式为y=

115x【解析】选BD.在A中,甲在公园休息的时间是10min,所以只走了50min,A错误;由题中图象知,B正确;甲从家到公园所用的时间比从公园到乙同学家所用的时间长,而距离相等,所以甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度慢,C错误;当0≤x≤30时,

设y=kx(k≠0),则2=30k,解得k=115,D正确.5.(5分)大气压强p=压力受力面积,它的单位是“帕斯卡”(Pa,1Pa=1N/m2),大气压强p(Pa)随海拔h(m)的变化规律是p=p0e-kh(k=0.000126m-1),p0是海

平面大气压强.已知在某高山A1,A2两处测得的大气压强分别为p1,p2,𝑝1𝑝2=13,那么A1,A2两处的海拔的差约为()(参考数据:ln3≈1.099)A.660mB.2340mC.6600mD.8722m【解析】选D.设A1,A2两处

的海拔分别为h1,h2,则𝑝1𝑝2=13=𝑝0e-0.000126ℎ1𝑝0e-0.000126ℎ2=e0.000126(ℎ2-ℎ1),所以0.000126(h2-h1)=ln13=-ln3≈-1.099,得h2-h1=-1.0990.000126≈-8722

(m).所以A1,A2两处的海拔的差约为8722m.6.(5分)深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法,它是以神经网络为出发点的,在神经网络优化中,指数衰减的学习率模型为L=L0𝐷𝐺𝐺0,其中L表示每一轮优化时使用的学习率,L0表示初始学习率,D表示

衰减系数,G表示训练迭代轮数,G0表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.8,衰减速度为12,且当训练迭代轮数为12时,学习率衰减为0.5.则学习率衰减到0.4以下(不含0.4)所需的训练迭代轮数至少为(参考数据:lg2≈0.3010)()A.16B.17C.18D.19【解

析】选C.由题意知,初始学习率L0=0.8,衰减速度G0=12,所以L=0.8𝐷𝐺12,因为当训练迭代轮数为12时,学习率衰减为0.5,可得0.5=0.8𝐷1212,解得D=58,所以L=0.8×(58)𝐺12,令0.8×(58)𝐺12<0.4,可得(58

)𝐺12<12,则𝐺12lg58<lg12,可得G>12lg12lg58=-12lg2lg5-3lg2≈-12×0.3010(1-0.3010)-3×0.3010≈17.7,所以至少所需的训练迭代轮数为18.7.(5分)“好酒也怕巷子深”,许多著名品牌是通

过广告宣传进入消费者视线的.已知某品牌商品广告销售的收入R与广告费A之间满足关系R=a√𝐴(a为常数),广告效应为D=a√𝐴-A.那么精明的商人为了取得最大的广告效应,投入的广告费应为________(用常数a表示).【解析】令t=√𝐴(t≥0),则A=t2,所以D=at-t2=

-(t-12a)2+14a2,所以当t=12a,即A=14a2时,D取得最大值.答案:14a28.(5分)里氏震级M的计算公式为M=lgA-lgA0,其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅,A0是相应的标准地震的振幅.假设在一次地震中,测震仪记录的最大振幅是1000,此时标准地震的振

幅为0.001,则此次地震的震级为__________级;9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍.【解析】M=lg1000-lg0.001=3-(-3)=6.设9级地震的最大振幅和5级地震的最大振幅分别为

A1,A2,则9=lgA1-lgA0=lg𝐴1𝐴0,则𝐴1𝐴0=109,5=lgA2-lgA0=lg𝐴2𝐴0,则𝐴2𝐴0=105,所以𝐴1𝐴2=104.即9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的10000倍.答案:6100009.(10分)国庆期间,某旅行社组团去风景区旅

游,若每团人数在30或30以下,飞机票每张收费900元;若每团人数多于30,则给予优惠:每多1人,机票每张减少10元,直到达到规定人数75为止.每团乘飞机,旅行社需付给航空公司包机费15000元.(1)写出飞机票的价格关于人数的函

数;(2)每团人数为多少时,旅行社可获得最大利润?【解析】设该旅行团的人数为x,由题意得0<x≤75(x∈N*),飞机票的价格为y元.旅行社可获得的利润为w元.(1)①当0<x≤30时,y=900,②当30<x≤75时,y=900-10(x-30)=-10x+1200,综上,有y={9

00,0<𝑥≤30,-10𝑥+1200,30<𝑥≤75.(2)当0<x≤30时,w=900x-15000,当x=30时,wmax=900×30-15000=12000(元);当30<x≤75时,w=(-10x+1200)·x-15000=-10x2+1200x-15000=-10(x-6

0)2+21000,当x=60时,w最大为21000元,所以每团人数为60时,旅行社可获得最大利润.【能力提升练】10.(5分)某地制定的标准规定氨氮含量允许排放的最高浓度为15mg/L.某企业生产废水中的氨氮

含量为450mg/L,现通过循环过滤设备对生产废水的氨氮进行过滤,每循环一次可使氨氮含量减少13,要使废水中的氨氮含量达到排放标准,至少要进行循环的次数为(参考数据:lg2≈0.3010,lg3≈0.477

1)()A.3B.4C.8D.9【解析】选D.由题意,设至少循环n(n∈N*)次才能达到排放标准,则15=450·(1-13)n,即130=(23)n,两边同时取对数,可得lg130=nlg23,所以n=lg130lg23=-l

g3-1lg2-lg3≈-1.47710.3010-0.4771≈8.4,所以至少要进行9次循环.11.(5分)心理学家有时使用函数L(t)=A(1-e-𝑘𝑡)来测定在时间tmin内能够记忆的量L,其中A表示需要记忆的量,k表示记忆率.假设一个学生有200个单词要记忆

,心理学家测定在5min内该学生记忆20个单词,则记忆率k所在区间为()A.(0,120)B.(120,115)C.(115,110)D.(110,1)【解析】选A.将A=200,t=5,L=20代入L(t)=A(1-e-kt),解

得e-5𝑘=910,其中y=e-5x在R上单调递减,而(e-14)-4=e,(910)-4=100006561<e,y=x-4在(0,+∞)上单调递减,所以e-5×120=e-14<910,结合y=ex的单调性可知e-

12<e-13<e-14<910,即e-5×110<e-5×115<e-5×120<910,而e-5×0=e0=1>910,其中y=e-5x为连续函数,故记忆率k所在区间为(0,120).12.(5分)(多选题)已知一容器中有A,B两种菌,且在任何时刻A,B两种菌的个数

乘积均为定值1010,为了简单起见,科学家用PA=lgnA来记录A种菌个数的资料,其中nA为A种菌的个数.现有以下几种说法,其中正确的是()A.PA≥1B.PA≤10C.若今天的PA值比昨天的PA值增加1,则今天的

A种菌个数比昨天的A种菌个数多10D.假设科学家将B种菌的个数控制为5万,则此时5<PA<5.5(注:lg2≈0.3)【解析】选BD.当nA=1时,PA=0,故A错误;又nA·nB=1010且nA,nB∈N*,所以nA≤1010,所以PA≤lg1010

=10,故B正确;若PA=1,则nA=10;若PA=2,则nA=100,故C错误;设B种菌的个数为nB=5×104,所以nA=10105×104=2×105,则PA=lgnA=5+lg2.又lg2≈0.3,所以5<PA<5.5,D正确.13.(5分)“

百日冲刺”是各个学校针对高三学生进行的高考前的激情教育,它能在短时间内最大限度地激发一个人的潜能,使成绩在原来的基础上有不同程度的提高,以便在高考中取得令人满意的成绩,特别对于成绩在中等偏下的学生来讲,其增加分数

的空间尤其大.现有某班主任老师根据历年成绩在中等偏下的学生经历“百日冲刺”之后的成绩变化,构造了一个经过时间t(30≤t≤100)(单位:天),增加总分数f(t)(单位:分)的函数模型:f(t)=𝑘𝑃1+lg(𝑡+

1),k为增分转化系数,P为“百日冲刺”前的最后一次模考总分,且f(60)=16P.现有某学生在高考前100天的最后一次模考总分为400分,依据此模型估计此学生在高考中可能取得的总分为________.(保留到个位)(l

g61≈1.79)【解析】由题意得,f(60)=𝑘𝑃1+lg61≈𝑘𝑃2.79=16P,所以k≈2.796=0.465,所以f(100)=0.465×4001+lg101=1861+lg100+lg1.01≈1863=62,所以该学生在高考中可能取得的总分约为40

0+62=462.答案:46214.(10分)已知某公司生产某产品的年固定成本为100万元,每生产1千件需另投入27万元,设该公司一年内生产该产品x千件(0<x≤25)并全部销售完,每千件的销售收入为R(x)(单位:万

元),且R(x)={108-13𝑥2,0<𝑥≤10,-𝑥+175𝑥+57,10<𝑥≤25.(1)写出年利润f(x)(单位:万元)关于年产量x(单位:千件)的函数解析式;(2)当年产量为多少千件时,该公司在这一产品的生产中所获年利润最大?(注:年利润=年销售收入-年总成本)【解析】(

1)当0<x≤10时,f(x)=xR(x)-(100+27x)=81x-𝑥33-100;当10<x≤25时,f(x)=xR(x)-(100+27x)=-x2+30x+75.故f(x)={81𝑥-𝑥33-100,0<𝑥≤10,-𝑥2+30𝑥+7

5,10<𝑥≤25.(2)当0<x≤10时,由f'(x)=81-x2=-(x+9)(x-9),得当x∈(0,9)时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当x∈(9,10)时,f'(x)<0,f(x)单调递减.故f(x)max=f(9)=81×9-13×93-100=386

.当10<x≤25时,f(x)=-x2+30x+75=-(x-15)2+300≤300.综上,当x=9时,年利润取最大值386.所以当年产量为9千件时,该公司在这一产品的生产中所获年利润最大.【素养创新练】15.(5分)(多选题

)甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一方向运动,它们的路程fi(x)(i=1,2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)=2x-1,f2(x)=x2,f3(x)=x,f4(x)=log2(x+

1),则下列结论正确的是()A.当x>1时,甲走在最前面B.当x>1时,乙走在最前面C.当0<x<1时,丁走在最前面,当x>1时,丁走在最后面D.如果它们一直运动下去,最终走在最前面的是甲【解析】选CD.甲、乙、丙、丁的路程fi(x)(i=1,2,3,4)关于时间x(x≥0

)的函数关系式分别为f1(x)=2x-1,f2(x)=x2,f3(x)=x,f4(x)=log2(x+1),它们对应的函数模型分别为指数型函数模型、二次函数模型、一次函数模型、对数型函数模型.当x=2时,f1(2

)=3,f2(2)=4,所以A不正确;当x=5时,f1(5)=31,f2(5)=25,所以B不正确;根据四种函数的变化特点,对数型函数的增长速度是先快后慢,又当x=1时,甲、乙、丙、丁四个物体走过的路程相等,从而可知,当0<x<1时,丁走在

最前面,当x>1时,丁走在最后面,所以C正确;指数型函数的增长速度是先慢后快,当运动的时间足够长时,最前面的物体一定是按照指数型函数模型运动的物体,即一定是甲物体,所以D正确.