【文档说明】安徽涡阳县育萃中学2020-2021学年高二第一学期第二次月考数学试卷 含答案.docx，共(14)页，298.550 KB，由小赞的店铺上传

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高二年级月考数学试卷1命题“∃x>0，x2−x≤0”的否定是()A.∃x>0，x2−x>0B.∃x≤0，x2−x>0C.∀x>0，x2−x>0D.∀x≤0，x2−x>02.一个水平放置的三角形的直观图是一个边长为1的正三角形，则原三角形的面积为：A.√64B.√34C.

√32D.√623.方程＝10化简结果是（）A．B．C．D．4.已知两条平行线l1：3x+4y−4=0与l2：ax+8y+2=0之间的距离是()A.1B.2C.3D.45.设直线l1，l2的斜率和倾斜角分别为k1，k2和θ1，θ2，则“k1>k2”是“θ1>θ2”的()A.必要不充分条件B

.充分不必要条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6．已知直线l过点P（1，0）且与线段y＝2（﹣2≤x≤2）有交点，设直线l的斜率为k，则k的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣）∪（2，+∞）B．[﹣，2]C．（﹣

∞，﹣]∪[2，+∞）D．（﹣，2）7．设m，n是空间两条不同的直线，α，β是空间两个不同的平面．给出下列四个命题：①若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥n；②若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α；③若m⊥n，m⊥α，α∥β，则n∥β；④若α⊥β，α

∩β＝l，m∥α，m⊥l，则m⊥β．其中正确的是（）8.下列命题中正确的个数是()①有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥③若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱④圆台所有的轴截面是全等

的等腰梯形A.1个B.2个C.3个D.4个9．如果对于任意实数,xx表示不超过x的最大整数，那么“=xy”是“1xy−成立”的()．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条

件10．椭圆x225+y216=1的左、右焦点分别为F1，F2，弦AB过F1，若△ABF2的内切圆周长为π，A，B两点的坐标分别为(x1,y1)，(x2,y2)，则|y1−y2|的值为()A.53B.103C.203D.√5311．已知椭圆，，，点是椭圆上的一动点，则的最小

值为（）A．B．C．D．12．已知椭圆+＝1，若此椭圆上存在不同的两点A，B关于直线y＝4x+m对称，则实数m的取值范围是（）A．（﹣，）B．（﹣，）C．（﹣，）D．（﹣，）13.已知两条直线l1:ax+y+1=0与l2:x+ay+1=0互相平行，则a=_________.a=−

114．椭圆，点，点为椭圆上一动点，则的最大值为__________.15．某几何体的三视图如图所示，体积为__________．16．已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>𝑏>0)的左右焦点分别为F1、F2，

过点F1的直线与椭圆交于P，Q两点.若△PF2Q的内切圆与线段PF2在其中点处相切，与PQ相切于点F1，则椭圆的离心率为___________．2212516xy+=()3,0A()2,1B−MMAMB+

62−102−112−122−221129xy+=10,2APPA17.已知命题：“11xxx−，都有不等式2xxm−−成立”是真命题.（1）求实数m的取值集合B；（2）设不等式

(3)(2)0xaxa−−−的解集为A，若xA是xB的充分不必要条件，求实数a的取值范围.18.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，D为AC中点，AB=BC，A1D⊥AC1.求证：(1)B1C//平面A1BD；(2)平面A1BD⊥平面AB1C1．19.在四棱锥

P−ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60⬚∘，PA⊥平面ABCD，PA=2，E、F分别为CD、PB的中点．(I)求证：EF//平面PAD；(II)求二面角F−DC−A的大小．20.已知圆M：(x−a)2+y2=5与两条坐

标轴都相交，且与直线x+2y−5=0相切．(1)求圆M的方程；(2)若动点A在直线x=5上，过A引圆M的两条切线AB，AC，切点分别为B，C，求证：直线BC恒过定点．21.已知点A(−3,0)，B(3

,0)，动点P满足|PA|=2|PB|．(1)若点P的轨迹为曲线C，求曲线C的方程；(2)若点Q在直线l1：x+y+3=0上，直线l2经过点Q且与曲线C只有一个公共点M，当|QM|取最小值时，求直线QM的方程．22．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>𝑏

>0)的两个焦点分别为F1，F2，离心率为12，过F1的直线l与椭圆C交于M，N两点，且△MNF2的周长为8．(1)求椭圆C的方程；(2)若一条直线与椭圆C分别交于A，B两点，且OA⊥OB，试问点O到直线AB的距离是否为定值，证明你的结论．1命题“∃x>0，x2−x≤0”的否定是

()A.∃x>0，x2−x>0B.∃x≤0，x2−x>0C.∀x>0，x2−x>0D.∀x≤0，x2−x>0解：∵命题“∃x>0，x2−x≤0”是特称命题∴否定命题为：∀x>0，x2−x>0．故选C．2.一个水平放置的三角形的直观图是一个边长为1的正三角形，则原三角形的面积为：A.√

64B.√34C.√32D.√62解：由已知可得S直观图=√34×12=√34，所以由S直观图S原图=√24得S原图=√34×4√2=√62．故选D．4.方程＝10化简结果是（）A．B．C．D．解：方程＝10表示动

点M（x，y）到两个定点（±2，0）的距离之和为定值10＝2a，且10＞2+2，由题意的定义可得：动点M的轨迹是椭圆，且b2＝a2﹣c2＝52﹣22＝21．可得椭圆的方程为：．故选：B．4.已知两条平行线l1：3x+4y−4=0与l2：a

x+8y+2=0之间的距离是()A.1B.2C.3D.4解：由4a−3×8=0，解得a=6．∴l2的方程6x+8y+2=0化为：3x+4y+1=0．∴两条平行线之间的距离d=|−4−1|√32+42=1．故选：A．5.设直线l1，l2的斜率和倾斜角分别为k1，k2和θ1，θ2

，则“k1>k2”是“θ1>θ2”的()A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解：∵直线l1，l2的斜率和倾斜角分别为k1，k2和θ1，θ2，当倾斜角均为锐角时，和

均为钝角时，若“k1>k2”则“θ1>θ2”，若“θ1>θ2”则“k1>k2”，当倾斜角一个为锐角一个为钝角时，若“k1>k2”则“θ1与θ2”的大小不能确定，若“θ1>θ2”则“k1与k2”的大小也不能确定，故则“k1>k2”是“θ1>θ2”的既不充

分也不必要条件，故选：D6．已知直线l过点P（1，0）且与线段y＝2（﹣2≤x≤2）有交点，设直线l的斜率为k，则k的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣）∪（2，+∞）B．[﹣，2]C．（﹣∞，﹣]∪[2，+∞）D．（

﹣，2）解：如图，，，由于直线l与线段y＝2（﹣2≤x≤2）有交点，故k≥2，或k≤﹣，故选：C．7．设m，n是空间两条不同的直线，α，β是空间两个不同的平面．给出下列四个命题：①若m∥α，n∥β，α∥β

，则m∥n；②若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α；③若m⊥n，m⊥α，α∥β，则n∥β；④若α⊥β，α∩β＝l，m∥α，m⊥l，则m⊥β．其中正确的是（）A．①②B．②③C．②④D．③④解：由m，n是空间两条

不同的直线，α，β是空间两个不同的平面．知：在①中，若m∥α，n∥β，α∥β，则m与n相交、平行或异面，故①错误；在②中，若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则由线面垂直的性质定理得m∥α，故②正确；在③中，若m⊥n，m⊥α，α∥β，则n与β平行或n⊂β，故③错误；在④中，若α⊥β，α∩β

＝l，m∥α，m⊥l，则由线面垂直的判定定理得m⊥β，故④正确．故选：C．8.下列命题中正确的个数是()①有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥

③若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱④圆台所有的轴截面是全等的等腰梯形A.1个B.2个C.3个D.4个解：如图，面ABC//面A1B1C1，但图中的几何体每相邻两个四边形的公共边并不都互相平行，故不是棱

柱.①不正确；棱锥是有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形即必须有一个公共顶点的几何体.如图，每个面都是三角形但形成的几何体不是棱锥.②不正确；若有两个侧面垂直于底面，这两个侧面可鞥是平行的侧面，则该四棱柱不一定为直四棱柱，故③错误；④是正

确的．故选A．9．如果对于任意实数,xx表示不超过x的最大整数，那么“=xy”是“1xy−成立”的()．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：若“xy=”，设xayaxabyac===+=+，，，其中[01bc，，）1x

ybcxy−=−−＜即“xy=”成立能推出“1xy−”成立反之，例如1.22.1xy==，满足1xy−但12xy==，，即1xy−成立，推不出xy=故“xy=”是“|x-y|＜1”成立的充分不必要条件故选A10．椭圆x225+y216=1的

左、右焦点分别为F1，F2，弦AB过F1，若△ABF2的内切圆周长为π，A，B两点的坐标分别为(x1,y1)，(x2,y2)，则|y1−y2|的值为()A.53B.103C.203D.√53【解析】解：椭圆：x225+y216=1，a=5，b=4，∴c=3，左、右焦点F1(−3,0

)、F2(3,0)，△ABF2的内切圆周长为π，则内切圆的半径为r=12，而△ABF2的面积=△AF1F2的面积+△BF1F2的面积=12×|y1|×|F1F2|+12×|y2|×|F1F2|=12×(|

y1|+|y2|)×|F1F2|=3|y2−y1|(A、B在x轴的上下两侧)又△ABF2的面积=12×r(|AB|+|BF2|+|F2A|)=12×12(2a+2a)=a=5．所以3|y2−y1|=5，|y2−y1|=53．故选A11．已知椭圆，，，点是椭圆上的一动点，则的

最小值为（）A．B．C．D．解：由题意知为椭圆的右焦点，设左焦点为，由椭圆的定义知，所以.又，2212516xy+=()3,0A()2,1B−MMAMB+62−102−112−122−A1F110MFMA+=110MAMBMBMF+=+−1

1MBMFBF−如图，设直线交椭圆于，两点.当为点时，最小，最小值为.故选：B12．已知椭圆+＝1，若此椭圆上存在不同的两点A，B关于直线y＝4x+m对称，则实数m的取值范围是（）A．（﹣，）B．（﹣，）C．（﹣，）D．（﹣，）解：椭圆+＝1，即：3x2+4y2﹣12＝0，设椭圆上

两点A（x1，y1）、B（x2，y2）关于直线y＝4x+m对称，AB中点为M（x0，y0），则3x12+4y12﹣12＝0，①3x22+4y22﹣12＝0②①﹣②得：3（x1+x2）（x1﹣x2）+4（y1+y2）（y1

﹣y2）＝0，即3•2x0•（x1﹣x2）+4•2y0•（y1﹣y2）＝0，∴＝﹣•＝﹣．∴y0＝3x0，代入直线方程y＝4x+m得x0＝﹣m，y0＝﹣3m；因为（x0，y0）在椭圆内部，∴3m2+4•（﹣3m）2＜12，即3m2+36m2＜1

2，解得﹣＜m＜．故选：B．13.已知两条直线l1:ax+y+1=0与l2:x+ay+1=0互相平行，则a=_________.a=−1解：因为直线l1:ax+y+1=0与l2:x+ay+1=0的斜率存在，又∵l1//l2，∴a1=1a，∴a=−1

或a=1，两条直线在y轴是的截距不相等，a=1舍去，所以a=−1满足两条直线平行．故答案为：a=−114．椭圆，点，点为椭圆上一动点，则的最大值为__________.解：由椭圆，设点P（），所以当且仅当：时，取等号，因此最大值故答案为：1BF1M2MM1M1MBMF−10

2−221129xy+=10,2APPA221129xy+=23cos,3sin22221491||12cos(3sin)3sin3sin133(sin)13242PA=+−=−−+=−+1sin2=−131315．某几何体的三视图如图所示，体积

为__________．解：几何体是组合体，上部是个半径为1的球，下部是正方体的一半的三棱柱，正方体的棱长为1，如图：几何体的体积为：＝；故答案为：．16．已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>𝑏>0)的左右焦点分别为F1、F2

，过点F1的直线与椭圆交于P，Q两点.若△PF2Q的内切圆与线段PF2在其中点处相切，与PQ相切于点F1，则椭圆的离心率为___________．解：可设△PF2Q的内切圆的圆心为I，M为切点，且为中点．可得三角

形△PF2Q为等腰三角形，|QP|=|QF2|，如图所示：设|PF1|=m，则根据圆的切线性质可知|PM|=m，∵M为PF2中点，则|MF2|=m，根据椭圆定义有m+2m=2a，则m=2a3，根据椭圆定义有|PQ|+|QF2|+|

PF2|=4a，又|PQ|=|QF2|，|PF2|=4a3，∴|PQ|=|QF2|=4a3，|QF1|=2a3，∴△PQF2为边长为4a3的等边三角形，F1F2=2c为该等边三角形的一条中线，∴2c=√32·4a3，即e=ca=√33，故答案为：√

33．17.已知命题：“11xxx−，都有不等式2xxm−−成立”是真命题.（1）求实数m的取值集合B；（2）设不等式(3)(2)0xaxa−−−的解集为A，若xA是xB的充分不必要条件，求实数a的取值范围.【答案

】（1）(2,)+；（2）2[,)3+.【解析】（1）命题：“11xxx−，都有不等式2xxm−−成立”是真命题，得2xxm−−在11x−时恒成立，∴2max()mxx−，得2m

，即2(2,)Bmm==+.（2）不等式(3)(2)0xaxa−−−，①当32aa+，即1a时，解集23Axaxa=+，若xA是xB的充分不必要条件，则A是B的真子集，∴22a+，此时1a；②当32aa

=+，即1a=时，解集A=，满足题设条件；③当32aa+，即1a时，解集32Axaxa=+，若xA是xB的充分不必要条件，则A是B的真子集，32a，此时213a.综上①②③可得2[,)3a+18.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中

，D为AC中点，AB=BC，A1D⊥AC1.求证：(1)B1C//平面A1BD；(2)平面A1BD⊥平面AB1C1．【答案】证明：(1)设A1B与AB1交于点O，连接OD，如图所示；在平行四边形ABB1A1中，O为AB1中点，D为AC中点，所以OD为△AB1C的中位线，所以OD//B1C

，又OD⊂平面A1BD，B1C⊄平面A1BD，所以B1C//平面A1BD；(2)因为AB=BC，D为AC的中点，所以BD为△ABC的底边上的中线，BD⊥AC；在直三棱柱ABC−A1B1C1中，C1C⊥平面ABC，BD⊂平

面ABC，所以BD⊥C1C，又BD⊥AC，AC⊂平面ACC1A1，C1C⊂平面ACC1A1，AC∩C1C=C，所以BD⊥平面ACC1A1；又AC1⊂平面ACC1A1，所以BD⊥AC1；又A1D⊥AC1，BD

⊂平面A1BD，A1D⊂平面A1BD，A1D∩BD=D，所以AC1⊥面A1BD；又AC1⊂平面AB1C1，所以平面A1BD⊥平面AB1C1．19.在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，

∠ABC=60⬚∘，PA⊥平面ABCD，PA=2，E、F分别为CD、PB的中点．(I)求证：EF//平面PAD；(II)求二面角F−DC−A的大小．【答案】(1)证明：取PA中点M，连结FM、DM，则FM//AB，且FM=12AB，由DE=12DC，∵底面ABCD是菱形，∴

AB//DC，AB=DC，∴FM//AB，且FM=AB，∴FEDM是平行四边形，∴EF//DM，DM⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，∴EF//平面PAD．(2)解：取AB中点N，连结FN、NC、FC，在▵BNC中，BN=1

，BC=2，∠ABC=60⬚∘，∴NC=√3，BN2+NC2=BC2，∴▵BNC是直角三角形，∴BN⊥NC，DC⊥NC，又F、N分别为PB、AB的中点，∴FN//PA，又PA⊥平面ABCD，∴FN⊥平面ABCD，∴FN⊥DC，平面FNC∴FC⊥DC，∴∠FCN是二面角F−DC−A的平面角，tan

∠FCN=FNNC=1√3=√33，∴∠FCN=30⬚∘，即二面角F−DC−A的大小为030．20.已知圆M：(x−a)2+y2=5与两条坐标轴都相交，且与直线x+2y−5=0相切．(1)求圆M的方程；(2)若动点A在直线x=5上，过A引圆M的两条切线AB，A

C，切点分别为B，C，求证：直线BC恒过定点．【答案】解：(1)圆M：(x−a)2+y2=5的圆心坐标为(a,0)，半径为√5，∵圆M与直线x+2y−5=0相切，∴|a−5|√5=√5，即a=0或a=10．又圆M与两条坐标轴都相交，∴a=

0．则圆M的方程为：x2+y2=5；证明：(2)设A(5,m)，则A，B，O，C四点共圆，AO的中点为(52,m2)，|AO|=√25+m2，则以AO为直径的圆的方程为(x−52)2+(y−m2)2=14(25+m2)，整理得：x2

+y2−5x−my=0．又圆M：x2+y2=5，两圆联立可得公共弦BC所在直线方程为5x+my−5=0．∴直线BC恒过定点(1,0)．21.已知点A(−3,0)，B(3,0)，动点P满足|PA|=2|PB|．(1)若点P的轨迹为曲线C，求曲线C

的方程；(2)若点Q在直线l1：x+y+3=0上，直线l2经过点Q且与曲线C只有一个公共点M，当|QM|取最小值时，求直线QM的方程．【答案】解：(1)设P点的坐标为(x,y)，因为两定点A(−3,0)，B(3,0)，动点P满足|PA|

=2|PB|，所以(x+3)2+y2=4[(x−3)2+y2]，即(x−5)2+y2=16．所以此曲线的方程为(x−5)2+y2=16．(2)因为(x−5)2+y2=16的圆心坐标为C(5,0)，半径

为4，则圆心M到直线l1的距离为|5+3|√2=4√2，因为点Q在直线l1：x+y+3=0上，过点Q的直线l2与曲线C：(x−5)2+y2=16只有一个公共点M，所以|QM|的最小值为√(4√2)2−42=4．直线CQ的方程为x−y−5=0，联立直线l1：x

+y+3=0，可得Q(1,−4)，设切线方程为y+4=k(x−1)，即kx−y−k−4=0，故圆心到切线的距离d=|4k−4|√k2+1=4，得k=0，切线方程为y=−4；当切线斜率不存在时，切线方程为x=1，因此直线QM的方程x=1或y=−4．22．已知

椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>𝑏>0)的两个焦点分别为F1，F2，离心率为12，过F1的直线l与椭圆C交于M，N两点，且△MNF2的周长为8．(1)求椭圆C的方程；(2)若一条直线与椭圆C分别交于A，B两点，且OA⊥OB，试问点O到直线AB的距离是否为定值

，证明你的结论．【答案】解：(1)由题意知，4a=8，则a=2，由椭圆离心率e=ca=√1−b2a2=12，则b2=3．∴椭圆C的方程x24+y23=1;(2)由题意，当直线AB的斜率不存在时，此时不妨设A(

x0,x0)，B(x0,−x0).又A，B两点在椭圆C上，∴x024+x023=1,x02=127，∴点O到直线AB的距离d=√127=2√217．当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+m.设A

(x1,y1)，B(x2,y2)，联立方程{y=kx+mx24+y23=1，消去y得(3+4k2)x2+8kmx+4m2−12=0．由已知△>0，x1+x2=−8km3+4k2，x1x2=4m2−123+4k2，由OA⊥OB，则OA⃗⃗⃗⃗⃗·OB⃗⃗⃗⃗⃗=x1x2+y1

y2=0，即x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=0，整理得：(k2+1)x1x2+km(x1+x2)+m2=0，∴(k2+1)4m2−123+4k2−8k2m23+4k2+m2=0．∴7m2=12(k2+1)，满足△>0．∴点O到直线AB的距离d=丨m丨√1+k2=√

127=2√217为定值．综上可知：点O到直线AB的距离d=2√217为定值．1-5CDBAD6-10CCAAA11-12BB13.a=−11415.16.√3313