【文档说明】江苏省南京市、盐城市2022-2023学年高三下学期2月开学摸底考试 数学 含答案.docx，共(11)页，258.223 KB，由小赞的店铺上传

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2022～2023学年高三年级模拟试卷数学(满分：150分考试时间：120分钟)2023．2一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中只有一个选项符合要求．1.“a3＋a9＝2a6”是“数列{an}为等差

数列”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.若复数z满足|z－1|≤2，则复数z在复平面内对应点组成图形的面积为()A.πB.2πC.3πD.4π3.已知集合A＝{x|x－1x－a<0}，若A∩N*＝∅，则实数a的取值范

围是()A.{1}B.(－∞，1)C.[1，2]D.(－∞，2]4.把5个相同的小球分给3个小朋友，使每个小朋友都能分到小球的分法有()A.4种B.6种C.21种D.35种5.某研究性学习小组发现，由双曲线C：x2a2－y2b2＝1(

a>0，b>0)的两渐近线所成的角可求离心率e的大小，联想到反比例函数y＝kx(k≠0)的图象也是双曲线，据此可进一步推断双曲线y＝5x的离心率为()A.2B.2C.5D.56.在△ABC中，AH为边BC上的高且BH→＝3HC→，动点P

满足AP→·BC→＝－14BC→2，则点P的轨迹一定过△ABC的()A.外心B.内心C.垂心D.重心7.若函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d满足f(1－x)＋f(1＋x)＝0对一切实数x恒成立，则不等式f

′(2x＋3)<f′(x－1)的解集为()A.(0，＋∞)B.(－∞，－4)C.(－4，0)D.(－∞，－4)∪(0，＋∞)8.已知四边形ABCD是矩形，AB＝3AD，E，F分别是AB，CD的中点，将四边形AEFD绕EF旋转至与四边形BCFE重合，

则直线ED，BF所成角α在旋转过程中()A.逐步变大B.逐步变小C.先变小后变大D.先变大后变小二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得

5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.若X～N(μ，σ2)，则下列说法正确的是()A.P(X<μ＋σ)＝P(X>μ－σ)B.P(μ－2σ<X<μ＋σ)<P(μ－σ<X<μ＋2σ)C.P(X<μ＋σ)不随μ

，σ的变化而变化D.P(μ－2σ<X<μ＋σ)随μ，σ的变化而变化10.已知函数f(x)＝3sinx－4cosx，若f(α)，f(β)分别为f(x)的极大值与极小值，则()A.tanα＝－tanβB.tanα＝tanβC.sinα＝－sinβD.cosα

＝－cosβ11.已知直线l的方程为(a2－1)x－2ay＋2a2＋2＝0，a∈R，O为原点，则()A.若OP≤2，则点P一定不在直线l上B.若点P在直线l上，则OP≥2C.直线l上存在定点PD.存在无数个点P总不在直线l上12.如图，圆柱OO′的底面半径为

1，高为2，矩形ABCD是其轴截面，过点A的平面α与圆柱底面所成的锐二面角为θ，平面α截圆柱侧面所得的曲线为椭圆Ω，截母线EF得点P，则()A.椭圆Ω的短轴长为2B.tanθ的最大值为2C.椭圆Ω的离心率的最大值为22D.EP＝(1－cos∠AOE)tanθ三、填空题：本

题共4小题，每小题5分，共20分．13.(2x＋1x)5展开式中x3的系数为________．14.设函数f(x)＝sin(ωx＋π3)(ω>0)，则使f(x)在(－π2，π2)上为增函数的ω的值可以为___

_____(写出一个即可).15.在概率论中常用散度描述两个概率分布的差异．若离散型随机变量X，Y的取值集合均为{0，1，2，3，…，n}(n∈N*)，则X，Y的散度D(X‖Y)＝P(X＝i)lnP（X＝i）

P（Y＝i）.若X，Y的概率分布如下表所示，其中0<p<1，则D(X‖Y)的取值范围是________．X01P1212Y01P1－pp16.已知数列{an}，{bn}满足bn＝an＋12，n＝2k－1，an＋

1，n＝2k，其中k∈N*，{bn}是公比为q的等比数列，则an＋1an＝________(用q表示)；若a2＋b2＝24，则a5＝________．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17.(本小题满分10分)已知数

列{an}满足a1＝3，an＋1＝3an－4n，n∈N*.(1)试判断数列{an－2n－1}是否是等比数列，并求{an}的通项公式；(2)若bn＝（2n－1）2nanan＋1，求数列{bn}的前n项和Sn.18.(本小题满分

12分)在△ABC中，已知AC＝2，∠BAC＝π3，P为△ABC内的一点，满足AP⊥CP，∠APB＝2π3.(1)若AP＝PC，求△ABC的面积；(2)若BC＝7，求AP.19.(本小题满分12分)某校从2022年起积极推进劳动课程改革，先后开设了具

有地方特色的家政、烹饪、手工、园艺、非物质文化遗产等劳动实践类校本课程．为调研学生对新开设劳动课程的满意度并不断改进劳动教育，该校从2022年1月到10月每两个月从全校3000名学生中随机抽取150名学生进行问卷调查，统计数据如下表：月份x246810满意人数y8095100105120

(1)由表中看出，可用线性回归模型拟合满意人数y与月份x之间的关系，求y关于x的回归直线方程y＝bx＋a，并预测12月份该校全体学生中对劳动课程的满意人数．(2)10月份时，该校为进一步深化劳动教育改革，了解不同性别的学生对劳动课程是否满意，经调研得如下统计表：满意不满意合计男生6510

75女生552075合计12030150请根据上表判断是否有95%的把握认为该校的学生性别与对劳动课程是否满意有关？参考公式和数据：K2＝n（ad－bc）2（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d），其中n＝a＋b＋c＋d.P(K2≥k)0.100.0

50.0250.0100.005k2.7063.8415.0246.6357.87920.(本小题满分12分)如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，平面PAC⊥平面PBD，AB＝AD＝AP＝2，四棱锥PAB

CD的体积为4.(1)求证：BD⊥PC；(2)求平面PAD与平面PCD所成锐二面角的余弦值．21.(本小题满分12分)如图，已知椭圆x24＋y2＝1的左、右顶点分别为A，B，点C是椭圆上异于A，B的动点，过原点O平行于AC的直线与椭圆交于点M

，N，AC的中点为点D，直线OD与椭圆交于点P，Q，点P，C，M在x轴的上方．(1)当AC＝5时，求cos∠POM；(2)求PQ·MN的最大值．22.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x＋1ex.(1)当x>－1时，求函数g

(x)＝f(x)＋x2－1的最小值；(2)已知x1≠x2，f(x1)＝f(x2)＝t，求证：|x1－x2|>21－t.2022～2023学年高三年级模拟试卷(南京、盐城)数学参考答案及评分标准1.B2.D3.D4.B5.A6.A7.C8.D

9.AC10.BCD11.BD12.ACD13.8014.13(答案不唯一，满足0<ω≤13即可)15.[0，＋∞)16.q2102417.解：(1)因为a1＝3，所以a1－2×1－1＝0，所以数列{an－2n－1}不是等比数列．(2分)由an＋1＝3an－4n，得an＋1－2(n＋

1)－1＝3(an－2n－1)，因为a1－2×1－1＝0，所以an－2n－1＝0，即an＝2n＋1.(5分)(2)因为bn＝（2n－1）·2n（2n＋1）（2n＋3）＝2n＋12n＋3－2n2n＋1，(7分)所以Sn＝(2n＋12n＋3－2n2n＋1)＋(2n2n＋1－2n－12n－1)＋…

＋(225－213)＝2n＋12n＋3－23.(10分)18.解：(1)因为AP⊥CP，且AP＝CP，所以∠CAP＝π4，又∠BAC＝π3，所以∠BAP＝π12，因为∠APB＝2π3，所以∠ABP＝π4.由AC＝2，所以

AP＝2，在△ABP中，由正弦定理，得ABsin2π3＝2sinπ4，解得AB＝3，所以S△ABC＝12×AC×ABsin∠BAC＝12×3×2×32＝32.(5分)(2)在△ABC中，由余弦定理，得7＝4＋AB2－2AB，所以AB＝3.(7分)令∠CAP＝α，则∠

BAP＝π3－α，∠ABP＝α，在△APC中，AP＝2cosα.(9分)在△ABP中，由正弦定理，得3sin2π3＝2cosαsinα，所以tanα＝33，(11分)因为α∈(0，π3)，所以α＝π6，所以AP＝2×32＝3.(

12分)19.解：(1)x＝15(2＋4＋6＋8＋10)＝6，y＝15(80＋95＋100＋105＋120)＝100，i＝15(xi－x)(yi－y)＝(2－6)(80－100)＋(4－6)(95－100)＋(6－6)(100－100)＋(8－6)(105－100)＋(

10－6)(120－100)＝80＋10＋0＋10＋80＝180，错误!错误!＝错误!＝错误!，(2分)a＝100－92×6＝73，(3分)得y关于x的回归直线方程为y＝92x＋73，(4分)令x＝12，得y＝127，(5分)据

此预测12月份该校全体学生中对劳动课程的满意人数为3000×127150＝2540(人).(6分)(2)提出假设H0：该校的学生性别与对劳动课程是否满意无关．(8分)则K2＝n（ad－bc）2（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）＝150（65×20－55×10）2

120×30×75×75＝256≈4.17，(10分)因为P(K2≥3.841)＝0.05，而4.17>3.841，故有95%的把握认为该校的学生性别与对劳动课程是否满意有关．(12分)20.(1)证明：设AC∩BD＝O，在平面PA

C内过点A作AH⊥PO，垂足为H，因为平面PAC⊥平面PBD，平面PAC∩平面PBD＝PO，所以AH⊥平面PBD.(3分)又BD⊂平面PBD，所以BD⊥AH.因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以BD⊥PA.因为BD⊥AH，PA∩AH＝A，PA⊂

平面PAC，AH⊂平面PAC，所以BD⊥平面PAC，又因为PC⊂平面PAC，所以BD⊥PC.(6分)(2)解：由AB＝AD＝2，AB⊥AD知BD＝22，由(1)知BD⊥AC，所以VPABCD＝13S四边形ABCD×PA＝13×12

×22×AC×2＝4，所以AC＝32.(8分)以{AB→，AD→，AP→}为基底建立如图所示空间直角坐标系Axyz，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，D(0，2，0)，C(3，3，0)，P(0，0，2)，易知平面PAD的一个法向量为n1＝(1，0，0)，设平面PCD

的法向量为n2＝(x，y，z)，又PD→＝(0，2，－2)，PC→＝(3，3，－2)，得2y－2z＝0，3x＋3y－2z＝0，取z＝3，则x＝－1，y＝3，则n2＝(－1，3，3)，(10分)所以cos〈n1，n2〉＝－11＋9＋9＝－1919，(11分)所以平面PAD

与平面PCD所成锐二面角的余弦值为1919.(12分)21.解：(1)由AC＝5知点C(0，1)，因为D为AC的中点，且A(－2，0)，所以D(－1，12)，所以kAC＝12，kOP＝－12，(2分)(解法1)直线MN的方程为y＝12

x，联立方程y＝12x，x24＋y2＝1，得yM＝22，所以M(2，22)，同理P(－2，22)，所以cos∠POM＝－2＋122＋12×2＋12＝－35.(4分)(解法2)由kOM＝12，kOP＝－12知∠POM＝π

－2∠MOB，由kOM＝12知tan∠BOM＝12，所以cos∠BOM＝255，所以cos∠POM＝cos(π－2∠MOB)＝－35.(4分)(解法3)由∠POM＝〈OP→，OM→〉＝〈OP→，AC→〉＝〈OD→，AC→〉求解．(2)设点

C(x0，y0)，由A(－2，0)知D(x0－22，y02)，则kAC＝kOM＝y0x0＋2，kOP＝kOD＝y0x0－2，kOM·kOP＝y0x0＋2·y0x0－2＝y20x20－4＝1－x204x20－4＝－14，(6分)设直线OM的方程为y＝kx，联立

方程y＝kx，x24＋y2＝1，得x2＝41＋4k2，y2＝4k21＋4k2，则OM2＝4＋4k21＋4k2，(8分)由kOM·kOP＝－14，知OP2＝1＋16k21＋4k2，(解法1)OM2·OP2＝4＋4k21＋4k2·

1＋16k21＋4k2，(10分)令1＋4k2＝t，t>1，则OM2·OP2＝（t＋3）（4t－3）t2＝－9(1t)2＋9t＋4≤254(当t＝2时取等号)，所以PQ·MN的最大值为10.(12分)(解法2)由OM2＋OP2＝4＋4k21＋4k2＋1＋16k2

1＋4k2＝5，知OM·OP≤OM2＋OP22＝52，当且仅当OM＝OP＝102时取等号，所以PQ·MN的最大值为10.(12分)22.(1)解：当x>－1时，g′(x)＝2xex(ex－12)，(1分)令g

′(x)＝0，可得x1＝－ln2>－1，x2＝0，列表分析如下：x(－1，－ln2)－ln2(－ln2，0)0(0，＋∞)g′(x)＋0－0＋g(x)增极大值减极小值增可知g(x)min＝g(－1)＝g(0)＝0，故函数的最小值为0.(5分)(2)证明：由(1)可知，当x>－1时，

g(x)≥0，即x＋1ex≥1－x2(当且仅当x＝0时取等号)，不妨取h(x)＝1－x2，则在区间(－1，0)和(0，＋∞)上，都有f(x)>h(x)，且h(x)在(－1，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递

减，又由f′(x)＝－xex可知f(x)在(－1，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，且f(x)>0在(－1，0)和(0，＋∞)上恒成立．(8分)由x1≠x2，f(x1)＝f(x2)＝t，得0<t<1，不妨设－1<x1<0<x2，设h(x3)＝h(x4)＝t且x3<0<x4，则f

(x1)＝h(x3)<f(x3)，所以－1<x1<x3<0，同理0<x4<x2，故|x1－x2|>|x3－x4|，其中x3，x4为方程h(x)＝t的两个实根，而x3，4＝±1－t，所以|x1－x2|>21－t成立．(12分)