【文档说明】河北省石家庄市2022-2023高二上学期期末数学试题 答案.docx，共(20)页，1.042 MB，由小赞的店铺上传

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石家庄市2022~2023学年度第一学期期末教学质量检测高二数学第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．1.已知直线l的方程310xy+−=，则直线l的倾斜角为（）A.π6B.π

3C.5π6D.2π3【答案】C【解析】【分析】求出直线l的斜率，结合直线倾斜角的取值范围可求得直线l的倾斜角.【详解】设直线l的倾斜角为，则13tan33=−=−，又因为0π，因此，5π6=.故选：C2.用火柴

棒按下图的方法搭三角形，前4个图形分别如下，按图示的规律搭下去，第10个图形需要用多少根火柴（）A.20B.21C.22D.23【答案】B【解析】【分析】根据图形可知：第一个图形需要3根火柴棒，后面每多

一个图形，则多用2根火柴棒，根据此规律即可计算求解.【详解】结合图形，发现：搭第n个图形，需要32(1)21nn+−=+，则搭第10个图形需要21根火柴棒，故选：B.3.已知圆的圆心为（-2,1），其一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上，则这个圆的方程是.A.22

4250xyxy++−−=B.224250xyxy+−+−=C.22420xyxy++−=D.22420xyxy+−+=【答案】C【解析】【详解】设直径的两个端点分别A（a，0）、B（0，b），圆心C为点（-2，1），由中点坐标公式得

002,122ab++=−=解得a=-4，b=2．∴半径r=()()2224105−++−=∴圆的方程是：（x+2）2+（y-1）2=5，即x2+y2+4x-2y=0．故选C．4.已知空间四边形ABCD中，G为CD的中点，则()12ABBDBC++等于（）A.AGB.CGC.BCD.12

BC【答案】A【解析】【分析】利用向量平行四边形法则、三角形法则即可得出．【详解】解：如图：由平行四边形法则可得：1()2BGBDBC=+，1()2ABBDBCABBGAG++=+=．故选：A．5.已知圆22:40Cxyx+−=与直线l切于点()1,3P，则直线l的方程为（）A.

320xy−+=B.340xy−+=C.340xy+−=D.320xy+−=【答案】A【解析】【分析】由圆心和切点求得切线的斜率后可得切线方程．【详解】圆22:40Cxyx+−=可化为()2224xy−+=，所以点P与圆心连线所在直线的

斜率为03321−=−−，则所求直线的斜率为33，由点斜式方程，可得()3313yx−=−，整理得320xy−+=.故选：A.6.设12,FF是双曲线22:13yCx−=的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且

||2OP=，则12PFF△的面积为（）A.72B.3C.52D.2【答案】B【解析】【分析】由12FFP是以P为直角直角三角形得到2212||||16PFPF+=，再利用双曲线定义得到12||||2P

FPF−=，联立即可得到12||||PFPF，代入12FFPS=△121||||2PFPF中计算即可.【详解】由已知，不妨设12(2,0),(2,0)FF−，则1,2ac==，因为12122OPFF==，所以点P在以12FF为直径的圆上，即12FFP是以P为直角顶点

的直角三角形，故2221212||||||PFPFFF+=，即2212||||16PFPF+=，又12||||22PFPFa−==，所以2124||||PFPF=−=2212||||2PFPF+−12||

||162PFPF=−12||||PFPF，解得12||||6PFPF=，所以12FFPS=△121||||32PFPF=故选：B的【点晴】本题考查双曲线中焦点三角形面积的计算问题，涉及到双曲线的定义，考查学生的数学运算能力，是一道中档题.7.如图，在

棱长为a的正方体1111ABCDABCD−中，P为11AD的中点，Q为11AB上任意一点，E，F为CD上两个动点，且EF的长为定值，则点Q到平面PEF的距离（）A.等于55aB.和EF的长度有关C.等于23aD.和点Q的位置有关【答案】A【解

析】【分析】取11BC中点G，连接,,PGCGDP，利用线面平行判断出选项B,D错误；建立空间直角坐标系，利用平面的法向量结合空间向量数量积公式求得点到面的距离，从而得出结论.【详解】取11BC的中点G，连接,,PGCGDP，则//PGCD，所以点Q到平面PEF的

距离即点Q到平面PGCD的距离，与EF的长度无关，B错．又11//AB平面PGCD，所以点1A到平面PGCD的距离即点Q到平面PGCD的距离，即点Q到平面PEF的距离，与点Q的位置无关，D错．如图，以点D为原点，

建立空间直角坐标系，则1(0,,0),(0,0,0),(,0,),,0,2aCaDAaaPa，∴(0,,0)DCa=，1(,0,)DAaa=，,0,2aDPa=，设(,,)nx

yz=是平面PGCD的法向量，则由0,0,nDPnDC==得0,20,axazay+==令1z=，则2,0xy=−=，所以(2,0,1)n=−是平面PGCD的一个法向量．的设点Q到

平面PEF的距离为d，则1255||5DAnaaadn−+===，A对，C错．故选：A．【点睛】本题主要考查点到直线的距离，意在考查学生的数学抽象的学科素养，属中档题.8.已知1F，2F为椭圆()221112211:10x

yCabab+=与双曲线()222222222:10,0xyCabab−=的公共焦点，M是它们的一个公共点，且12π3FMF=，1e，2e分别为曲线1C，2C的离心率，则12ee的最小值为（）A.

32B.3C.1D.12【答案】A【解析】【分析】由题可得112212MFaaMFaa=+=−，在12MFF△中，由余弦定理得2221212122cos3FFMFMFMFMF=+−，结合基本不等式得2

2212124323caaaa=+，即可解决.【详解】由题知，1F，2F为椭圆()221112211:10xyCabab+=与双曲线()222222222:10,0xyCabab−=的公共焦点，M是它们的一个公共点，且123FMF=，1e，2e分别为

曲线1C，2C的离心率，假设12MFMF，所以由椭圆，双曲线定义得12112222MFMFaMFMFa+=−=，解得112212MFaaMFaa=+=−，所以在12MFF△中，122FFc=，由余弦定理得2221

21212π2cos3FFMFMFMFMF=+−，即()()()()22212121212π42cos3caaaaaaaa=++−−+−，化简得2221243=+caa，因为22212124323caaaa=+，所以21223342caa

=，即1232ee，当且仅当123aa=时，取等号，故选：A二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知等差数列na的前n项和为67,nSSS，且78SS，则（）A.在数列

na中，1a最大B.在数列na中，3a或4a最大C.310SS=D.当8n时，0na【答案】AD【解析】【分析】根据67SS，且78SS，可推出70a，8780aaa，，故0d，可判断AD正确，B错误，结合等差数列的性质

可判断103770SSa−=，判断C.【详解】na为等差数列，∵67SS，且78SS，∴7678787800SSaSSaaa−=−=，，，即0d，∴{an}是递减等差数列，1a最大，当7n时，0na

，当8n时，0na，故AD正确，B错误，10310987654770SSaaaaaaaa++++=++−=，则103SS，故C错误，故选：AD．10.已知直线l：()2110aaxy++−+=，其中Ra，下列说法

正确的是（）A.当1a=−时，直线l与直线0xy+=垂直B.若直线l与直线0xy−=平行，则0a=C.直线l过定点()0,1D.当0a=时，直线l在两坐标轴上的截距相等【答案】AC【解析】【分析】对于A，代入1a=−，利用斜率之积为1−得知直线l与直线0xy+=垂直；对于B，由两平行线

的一般式有111222ABCABC=求得a，从而可判断正误；对于C，求定点只需令参数的系数为0即可，故直线l过定点()0,1；对于D，代入0a=，分别求得直线l在两坐标轴上的截距即可判断正误.【详解】对于A，当1a=−时，直线l的方程为10xy−+=，故l的斜

率为1，直线0xy+=的斜率为1−，因为1(1)1−=−，所以两直线垂直，所以A正确；对于B，若直线l与直线0xy−=平行，则2110111aa−=++−，解得0a=或1a=−，所以B错误；对于C，当

0x=时，则1y=，所以直线过定点()0,1，所以C正确；对于D，当0a=时，直线l的方程为10xy−+=，易得在x轴、y轴上的截距分别是1,1−，所以D错误.故选：AC.11.已知直线:330lxy−−=过抛物线2:2Cypx=的焦点F，且与抛物线C交于A，B两点，

过A，B两点分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为M，N，则下列说法正确的是（）A.抛物线的方程为24yx=B.线段AB的中点到y轴的距离为83C.线段AB的长度为163D.90MFN=【答案】ACD【解析】【分析】根据给定条件，求出焦点F的坐标判断A；联立

直线l与抛物线C的方程，利用韦达定理，结合抛物线定义、向量垂直的坐标表示判断BCD作答.【详解】显然抛物线2:2Cypx=的焦点F在x轴上，直线:330lxy−−=与x轴交于点(1,0)，即(1,0)F，则12p=，解得2p=，抛物线C的方程为24yx=，准线方程为=1x−，A正确；由2330

4xyyx−−==消去y并整理得：231030xx−+=，设1122(,),(,)AxyBxy，则有1212110,3xxxx+==，线段AB的中点横坐标为53，因此线段AB的中点到y轴的距离为53，B错误；121016||||||11233ABAFBFxx=+=+++=+=，因此线段

AB的长度为163，C正确；显然点12(1,),(1,)MyNy−−，12(2,),(2,)FMyFNy=−=−，则1211121210443(1)(1)733()731303FMFNyyxxxxxx=+=+−−=+−+=+−=，即FMFN⊥，因此90MF

N=，D正确.故选：ACD12.数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念，公式符号，推理论证，思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美．平面直角坐标系中，曲线22:||||Cxyxy+=+就是一条形状优美

的曲线，对于此曲线，给出如下结论，其中结论正确的有（）A.曲线C围成的图形的面积是2π+B.曲线C围成的图形的周长是22πC.曲线C上的任意两点间的距离不超过2D.若(,)Pmn是曲线C上任意一点，则|3412|mn+−的最小值是17522−【答案】

ABD【解析】【分析】根据方程分析曲线C的性质以及图象，根据曲线C的性质和图象结合直线与圆的相关知识逐项分析判断.【详解】对于曲线22:||||Cxyxy+=+上任一点(),Pmn，则22||||mnmn+=+，点(),Pmn关于y轴对称的点为()

1,Pmn−，则()2222||||||||mnmnmnmn−+=+=+=−+，即点()1,Pmn−在曲线C上，故曲线C关于y轴对称；点(),Pmn关于x轴对称的点为()2,Pmn−，则()2222||||||||mnmnmnmn+−=+=+=+−，即点()2,Pmn−在曲线C上

，故曲线C关于x轴对称；点(),Pmn关于原点对称的点为()3,Pmn−−，则()()2222||||||||mnmnmnmn−+−=+=+=−+−，即点()3,Pmn−−在曲线C上，故曲线C关于原点对称；综上所述：曲线C关于坐标轴和原点对称.对于方程22||||x

yxyxy+=+=+，令0y=，则2||xx=，解得0x=或1x=，即曲线C与x轴的交点坐标为()()()1,0,0,0,1,0AOC−，同理可得：曲线C与y轴的交点坐标为()()()0,1,0,0,0,1BOD−，当0,0xy时，则22||||

xyxyxy+=+=+，整理得22111222xy−+−=，且90AOB=，故曲线C在第一象限内为以111,22O为圆心，半径22r=的半圆，由对称性可得曲线C为四个半圆外加坐

标原点，对A：曲线C围成的图形的面积2112411π2π222S=+=+，A正确；对B：曲线C围成的图形的周长是1242π22π22L==，B正确；对C：联立方程22111222xyyx−+−==，解得00xy=

=或11xy==，即曲线C与直线yx=在第一象限内的交点坐标为()1,1M，由对称可知曲线C与直线yx=在第三象限内的交点坐标为()1,1N−−，则()()221111222MN=+++=，C错误；对D：由图结合对称性可知：当(,)Pmn在第一象限时，点(,)Pmn到直线

:34120lxy+−=的距离22|3412||3412|534mnmnd+−+−==+相对较小，∵111,22O到直线:34120lxy+−=的距离111|3412|1722510d+−==，则点(,)Pmn到直线:34120lxy+−=的距离1172102dd

r−=−，∴|3412|517522mnd+−=−故|3412|mn+−的最小值是17522−，D正确.故选：ABD.【点睛】方法点睛：（1）通过方程研究曲线的对称性时，往往通过点的对称证明曲线的对称性；（2）研究直线与圆的位置关系主要通过圆心

到直线的距离和半径的比较实现，两个圆的位置关系的判断依据是两圆心距离与两半径差与和的比较．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.抛物线24yx=的焦点到双曲线2213yx−=的

渐近线的距离是_____．【答案】32【解析】【详解】双曲线2213yx−=的渐近线为30xy−=2=4yx的焦点(10)，到渐近线距离为32.14.设,xyR，向量()()()3,2,1,1,,1,,4,2abx

cy===，且,abac⊥∥，则bc+=___________．【答案】62【解析】【分析】根据空间向量的垂直及平行的坐标表示求出,xy，再由向量的坐标运算及模的坐标表示求解．【详解】因为ab⊥，所以3210x++=，解得2x=−，

则()1,2,1b=−．因ac∥，所以42321y==，解得6y=，则()6,4,2c=．()7,2,3,62bcbc+=+=．故答案为:62.15.已知各项不为0的等差数列na满足26780aaa−+=，数列nb是等比数列，且77ba

=，则3810bbb=______．【答案】8【解析】【分析】首先根据题意得到772ab==，在利用等比数列的性质求解即可.【详解】因为26780aaa−+=，所以()()27770adaad−−++=，即27720aa−+=，因为0na，所以72a=，则72b=.337381

077748bbbbbqbqbq===.故答案为：816.已知AB为圆()22:11Cxy−+=的直径，点P为直线20xy−+=上的任意一点，则PAPB的最小值为______．【答案】72【解析】【分析】分析可得21PAPBPC=−，可知当PC与直线20xy−+=垂直时，PC取

最小值，利用点到为直线的距离公式可求得PAPB的最小值.【详解】圆心()1,0C，半径为1，且点C为线段AB的中点，()()()()2221PAPBPCCAPCCBPCCAPCCAPCCAPC=++=+−=−=−，圆心C到直线20xy−+=的距离为33222d==，当PC与直线20xy−

+=垂直时，PC取最小值，即21PAPBPC=−取最小值，且()()22minmin7112PAPBPCd=−=−=.故答案为：72.四、解答题：本大题共6道小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.设等差数列na的前

n项和为nS，225+=−aS，515=−S.（1）求数列na的通项公式；（2）若()1nnnba=−，求数列nb的前20项和20T.【答案】（1）nan=−（2）10−【解析】【分析】（1）根据

等差数列通项公式及前n项和公式，可得1,ad的方程组，解方程组即可确定数列na的通项公式；（2）根据数列na的通项公式，代入数列nb，利用分组求和法即可求得数列nb的前20项和20T.【详解】（1

）设等差数列na的公差为d，由221325+=+=−aSad，5151015=+=−Sad，即123+=−ad，所以1132523adad+=−+=−，解得111ad=−=−，所以()11=−−−=−nann.（2）因为()1n

nnba=−，所以2012341920...Tbbbbbb=++++++()()()12341920...aaaaaa=−++−+++−+...ddd=+++()1010110d==−=−.【点睛】本题

考查了等差数列通项公式及前n项和公式的简单应用，分组求和法的应用，属于基础题.18.在平面直角坐标系中，曲线261yxx=−+与坐标轴的交点都在圆C上．（1）求圆C的方程；（2）若圆C与圆()()22:434Dxy−+−=相交

于A、B两点，求AB弦长．【答案】（1）22(3)(1)9xy−+−=（2）4【解析】【分析】（1）写出曲线与坐标轴的交点坐标，利用圆心的几何特征设出圆心坐标，构造关于圆心坐标的方程，通过解方程确定出圆心坐标，进而算出半

径，写出圆的方程；（2）根据圆与圆相交得相交直线所在方程，利用直线与圆求相交弦长即可.【小问1详解】曲线261yxx=−+与y轴的交点为(0,1)，与x轴的交点为(322+,0)，(322−,0)．可知圆心在直线3x=上，故可设该圆的圆心C为(3,)t，则有22223(1

)(22)tt+−=+，解得1t=，故圆C的半径为223(1)3rt=+−=，所以圆C的方程为22(3)(1)9xy−+−=；【小问2详解】C的方程为22(3)(1)9xy−+−=．即226210xyxy+−−+=圆D：22(4)(3)4xy−+−=，即

2286210xyxy+−−+=两圆方程相减，得相交弦AB所在直线方程为2100xy+−=圆C的圆心(3,1)到直线2100xy+−=距离为321055d+−==，所以2222954ABrd=−=−=.19.

如图，四棱锥PABCD−的底面为菱形且60BAD=，PA⊥底面ABCD，AB=2，23PA=，E为PC的中点．（1）求直线DE与平面PAC所成角的大小；（2）求二面角EADC−−平面角的正切值．【答案】（1）30（2）2【解析】【分析】（1）建系，利用空间向量求线面夹

角；（2）利用空间向量求二面角.【小问1详解】连结对角线AC、BD相交于点O，连结DE、OE，∵,OE分别为,ACPC的中点，则EOPA，132EOPA==，且PA⊥平面ABCD，则EO⊥平面ABCD，∵底面是菱形ABCD，60BAD=，A

B=2，23PA=，则BD=2，23AC=，以O为原点，OA、OB、OE所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则有(0,0,0)O，()3,0,0A，()3,0,0C−，(0,1,0)D−，()0,0,3E，可得()0,1,3

DE=，()3,1,0AD=−−．∵平面PAC的法向量为()0,1,0OD=−uuur，11cos,122ODDEODDEODDE−===，设直线DE与平面PAC所成的角0,90，则1sin2=，故直线DE与平面PAC所成的角为30.【

小问2详解】设二面角EADC−−的平面角为()0,90，平面ADC的法向量为()0,0,3OE=，设平面EAD的法向量为(,,)nxyz=，则3030ADnxyDEnyz=−−==+=，令1x=，则3,1yz=−=，

得到()1,3,1n=−，∴35cos,535OEnnOEnOE===uuurruuurruuurr，即5cos5=，则225sin1cos5=−=，∴tan2=，故二面角EADC−−的平面角的正切值是2．20.已知O为坐标原点，点(2,0)G−和点(2,0)H，动点P满

足||||2PGPH−=.（1）求动点P轨迹曲线W的方程并说明W是何种曲线；（2）若抛物线2:2Zypx=（0p）的焦点F恰为曲线W的顶点，过点F的直线l与抛物线Z交于M，N两点，||8MN=，求直线l的方程.

【答案】（1）曲线W的方程为221(1)3yxx−=…，它是焦点为(2,0),(2,0)−的双曲线的右支.（2）10xy−−=或10xy+−=．【解析】【分析】（1）由动点P满足：||||2PGPH−=可得到轨迹曲线为双曲线的右支；（2）由（1）可得F的坐标，然后再求出抛物线的方程，设出直线的

方程为1xmy=+，后根据弦长公式得到关于m的方程，解出即可．的【小问1详解】解：动点P满足||||2||PGPHGH−=，点P的轨迹曲线W为双曲线的一支，由双曲线的定义有1a=，2c=，3b=，曲线W的方程

为221(1)3yxx−=…；【小问2详解】解：由（1）可知曲线W的顶点(1,0)F，12p=，2p=，所以抛物线Z的方程为24yx=．由题意，直线l的倾斜角不能为0，设直线l的方程为1xmy=+，设1(Mx，1)y，2(Nx，2)y，代入到24yx=消去x得：2440ymy−−=，216

160m=+，124yym+=，124yy=−，222212121212||()()1()4MNxxyymyyyy=−+−=++−22211616448mmm=++=+=，1m=或1m=−，直线l的方程为10xy−−=或10

xy+−=．21.已知数列na满足()1122nnnaana+=+N，11a=．（1）证明：数列1na为等差数列，并求数列na的通项公式；（2）若记nb为满足不等式()11122nnkan−N的正整数k

的个数，数列nnba的前n项和为nS，求关于n的不等式2023nS的最大正整数解．【答案】（1）证明见解析，21nan=+（2）7【解析】【分析】（1）在等式1122nnnaaa+=+两边取倒数，结合等差数列的定义可证得数列1

na为等差数列，确定该数列的公差，可求得数列na的通项公式；（2）解不等式()11122nnkan−N可得到满足条件的正整数k的个数，可得出nb的通项公式，利用错位相减法可求得nS，再利用数列的单调性可求得满足题意的最大正整数n的值.

【小问1详解】解：由1122nnnaaa+=+取倒数得11221112nnnnnaaaaa+++==+，即11112nnaa+−=，所以1na为公差为12的等差数列，则1111122nnnaa−+=+=，所以，21nan=+.【小问2详解】解：当11122nnka−

时，1112221212nnnnkk−++−−，所以，满足条件的整数k的个数为()()121212nnn+−−−=，即2nnb=，所以，()1012nnnbna−=+，故数列nS单调递增，所以，()012

122324212nnSn−=+++++，则()12122232212nnnSnn−=+++++，上式−下式得()()()()112121222221221212nnnnnSnn−−−−=++++−+=+−+−2nn=−，所以，2nnSn=，

因为7772896S==，88822048S==，则782023SS，因此，满足2023nS的最大正整数n的值为7.22.已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的离心率为32，且经过点3(1,)2−．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点(3，0)作直线l与椭圆C交于不同的两点A，

B，试问在x轴上是否存在定点Q，使得直线QA与直线QB恰关于x轴对称？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）2214xy+=；（2）存在，43,03Q.【解析】【分析】（Ⅰ）运用椭圆

的离心率公式和点满足椭圆方程，列出方程求出a，b，由此能求出椭圆C的方程；（Ⅱ）假设存在点(,0)Qt满足题设条件，分AB与x轴重合和PQ与x轴不重合两种情况分类讨论，利用韦达定理化简计算能求出结果．【详解】解：（Ⅰ）由题意可得32c

a=，221314ab+=，又222acb−=，解得24a=，21b=，所以，椭圆的方程为2214xy+=．（Ⅱ）存在x轴上在定点Q，使得直线QA与直线QB恰关于x轴对称，设直线l的方程为30xmy+−=，与椭圆联立可得22(4)2310mymy+−−=．设1(Ax，1)y，2(Bx，2)

y，假设在x轴上存在定点(,0)Qt．122234mxxm+=+，12214xxm−=+．PN与QN关于x轴对称，0AQQBkk+=，即121221120()()0yyyxtyxtxtxt+=−+−=−−，1221(3)(3)0ymytymyt−−+−−=，121

2(3)()20tyymyy−+−=，432(43)03mtt−==．在x轴上存在定点43(3Q，0)．使得直线QA与直线QB恰关于x轴对称．特别地，当直线l是x轴时，点43(3Q，0)．也使得直线QA与直线QB恰关于x轴对称．综上，在x轴上存在定点43(3Q，0)．使得直线QA与直线QB

恰关于x轴对称．【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程及直线与椭圆的位置关系，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．