【文档说明】安徽省庐巢七校联盟2020届高三第五次联考数学（理）试题【精准解析】.doc，共(20)页，1.261 MB，由小赞的店铺上传

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2020届庐巢“七校联盟”高三第5次联考（数学理）一、选择题（每小题5分，共12小题60分）1.设i为虚数单位，如果复数(1)3iai的实部和虚部互为相反数，那么实数a等于（）.A.13B.-1C.13D.1【答案】B【解析】【分析】先对复数进行化简，然后根据条件列出等式，即

可得到a值.【详解】3i（1-ai）=133ai复数的实部和虚部互为相反数，则1033a，解得a=-1．故选B．【点睛】本题考查复数的乘法运算以及复数的实部及虚部的概念，属于简单题.2.已知命题p：“∀x∈R，x2+1≥1”

的否定是“20011xRx，”；命题q：在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”的充要条件．则下列命题是真命题的是（）A.p∧qB.￢p∧qC.p∧￢qD.￢p∧￢q【答案】B【解析】【分析】先判断命题p、q的真假，然后利用复合命

题的真假判断各选项中命题的真假，由此可得出结论.【详解】因为“∀x∈R，x2+1≥1”的否定是“20011xRx，”；所以命题p为假命题；因为在ABC中，sinsinABabAB，则“AB”是“sinsinAB”的充要条件，

所以命题q为真命题；pq为假，pq为真，pq为假，pq为假，故选：B.【点睛】此题考查命题的真假，关键点先判断每个命题的真假，属于简单题目.3.在等差数列{}na中，351024aaa，则此数列的前13项的和等于（）A.16B.26C.

8D.13【答案】D【解析】【详解】试题分析：∵351024aaa，∴410224aa，∴4102aa，∴1134101313()13()1322aaaaS，故选D.考点：等差数列的通项公式、前n项和公式.4.若正实数,xy满足

xy1，则41x1y的最小值为()A.447B.275C.143D.92【答案】D【解析】【分析】将1xy变成12xy，可得41141121xyxyxy，展开后利用基本不等式求解即可．【详解】0x>，0y，1

xy，12xy，4114114119145241212122xyyxxyxyxy(当且仅当13x，23y取等号)，故选D．【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于中档题.利用基本不等式求最值时，

一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时

参数是否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.5.设m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，给出下列四个命题：①若m⊥α，n⊥α，则m∥n；②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；③若m∥α，n∥α，则m∥n；④若m⊥α，m

∥β，则α⊥β．其中正确命题的个数是（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】（1）两线垂直同一平面，所以两条线平行；（2）根据线面垂直和面面平行的传递性可判断；（3）两线都平行于一个平面，两条

线可以相交或者异面；（4）根据面面垂直定理易得.【详解】（1）两直线垂直同一平面，所以两条线平行，正确；（2）三个面相互平行，那么垂直一个平面的线也垂直另外两个平面，正确；（3）两条线都平行于同一平面，平面外两条直线的这两条直线可以是相交或异面，不正确；（4）过直线m作平面，使得b，则//

bm，m，则b，bQ，，（4）正确.故选：C【点睛】此题考查空间中的线，面关系，关键点头脑中能构想出空间图形，属于简单题目.6.已知3log2a，9log5b，0.13c，则,,abc的大小关系为（）A.abcB.bacC.

acbD.bca【答案】A【解析】【分析】利用对数的性质，比较a,b的大小，将b,c与1进行比较，即可得出答案．【详解】令9logyx,结合对数函数性质,单调递减,399log2log4log51ab，0.131c，abc.【点睛】本道题考查了对数、指数比较大小问

题，结合相应性质，即可得出答案．7.三视图如图所示的几何体的表面积是（）A.22B.12C.23D.13【答案】A【解析】【分析】先根据三视图还原成四棱锥，则该几何体表面由底面正方形，两个等腰直角三角形，两

个直角三角形组成，根据边长关系易得面积.【详解】由三视图知几何体是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个边长为1的正方形,一条侧棱与底面垂直,且侧棱的长是1,四棱锥的表面积是：11112112122222故选：A【点睛】此题考查由三视图

计算几何体的表面积，关键点通过正侧俯还原三视图，属于简单题目.8.函数cos03fxx在0,上的值域为1,12，则的取值范围是（）A.12,33B.20,3C.2,13D.1,13【答案】A

【解析】【分析】由x范围得到333x，结合余弦函数图象可得033，解不等式求得结果.【详解】0x333x函数fx在0,上的值域为1

,12，又10cos32f结合余弦函数图象可知：0331233本题正确选项：A【点睛】本题考查根据余弦型函数在某一区间的值域求解参数范围问题，关键是能够结合余弦函数图象确定角的范围.9.在ABC

中，G为ABC的重心，M为AC上一点，且满足3MCAM，则（）A.11312GMABACB.11312GMABACC.17312GMABACD.17312GMABAC【答案】B【解析】【分析】根据三角形重心的性

质，结合向量的加法和减法即可判断结论．【详解】由题意，画出几何图形如下图所示：根据向量加法运算可得GMGAAM因为G为△ABC的重心，M满足3MCAM所以211()()323AGABACABAC，14AMAC所以111334GMAB

ACAC11312ABAC所以选B【点睛】本题考查了三角形重心的性质，向量的线性运算，属于基础题．10.用数学归纳法证明不等式11114121232521nnNnnnnn＜，…的过程中由n＝k递推到n＝k+1时不等式左边应添加的项为（）A

.122kB.112122kkC.11121221kkkD.1111212212kkkk【答案】C【解析】【分析】将nk和1nk时不等式的左边分别写出，相减即可求得.【详解】当nk时，不等式左边11111232kkk

k当1nk时，，不等式左边1111112342212(1)kkkkkk两式相减11121221kkk故选：C【点睛】此题考查数学归纳法中从nk到1nk时的多出来的项，只需进行相减即可求得，属于较易题目.11.已知fx是

奇函数fx的导函数，10f，当0x时，0xfxfx，则使得0fx成立的x的取值范围是（）A.1,01,B.,10,1C.1,00,1UD.,11,

U【答案】A【解析】【分析】根据条件构造函数g（x）()fxx，求函数导数，判断函数单调性和奇偶性，将不等式进行转化求解即可．【详解】设g（x）()fxx，则g′（x）＝2xf(x)f(x)x，∵当x＞0时，

xf′（x）﹣f（x）>0，∴当x＞0时，g′（x）>0，此时函数g（x）为增函数，∵f（x）是奇函数，∴g（x）()fxx是偶函数，即当x＜0时，g（x）为减函数．∵f（﹣1）＝0，∴g（﹣1）＝g（1）＝0，当x＞0时，f（x）>0等

价为g（x）()fxx>0，即g（x）>g（1），此时x＞1，当x＜0时，f（x）>0等价为g（x）()fxx<0，即g（x）<g（﹣1），此时﹣1＜x＜0，综上不等式的解集为（﹣1，0）∪（1，+∞），故选A．【点睛】本题考查不等式的求解，根据条件构

造函数，利用导数研究函数的单调性，以及将不等式进行转化是解决本题的关键．12.已知函数22,0,,0xxxfxex若1212fxfxxx，则12xx的最大值为（）A.22B.2ln22C.

3ln22D.ln21【答案】C【解析】【分析】根据fx在每一段上的单调性可知120xx，利用换元的方式可将问题转化为求解ln12tgttt的最大值的问题，通过导数求解出gt最

大值即可.【详解】设12xx当0x时，22fxx，fx单调递减，不存在120xx，使得12fxfx当0x时，xfxe，fx单调递增，不存在120xx，使得12fxfx120xx

令2212xxet，1t，则12tx，2lnxt12ln2txxt设ln12tgttt，则124244tgtttt令0gt，解得：8t当1,8t时，0gt；当8,t时，0gt则gt在1,8上单

调递增，在8,上单调递减max8ln843ln22gtg本题正确选项：C【点睛】本题考查利用导数求解函数的最值问题，关键是能够通过换元的方式构造出新的函数，需要注意的是换元后新的

自变量的取值范围.二、填空题（每小题5分，共4小题20分）13.12021xxdx________【答案】14【解析】因11122000(21)(2)1xxdxxdxxdx，而1220(2)101xdx，12222200001111)cos(1cos2)s

in2|22224xdxtdttdtt，应填答案14．14.已知实数,xy满足约束条件11yxxyy，则目标函数2zxy的最大值为______.【答案】3【解析】【分析】画不等式组表示的平面区域，利用线

性规划求范围即可【详解】不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线y=-2x．平移该直线，当经过点B时，z取得最大值，由11yxy，得12yx，即B(2,-1)，所以max22(1)3z.故答案为3【点睛】本题考查线性规划，考查数形结合思想，准确

计算是关键，是基础题15.某传媒大学的甲、乙、丙、丁四位同学分别从影视配音、广播电视、公共演讲、播音主持四门课程中选修一门，且这四位同学选修的课程互不相同．下面是关于他们选课的一些信息：①甲同学和丙同

学均不选播音主持，也不选广播电视；②乙同学不选广播电视，也不选公共演讲；③如果甲同学不选公共演讲，那么丁同学就不选广播电视．若这些信息都是正确的，依据以上信息可推断丙同学选修的课程是_______（填影视配音、广播电视、公共演讲、播音

主持）【答案】影视配音【解析】【分析】首先推导出甲、乙、丙均不选广播电视，故丁选广播电视，接着可得甲选公共演讲，丙选影视配音．【详解】由①知甲和丙均不选播音主持，也不选广播电视；由②知乙不选广播电视，也不选公共演讲；由③知如果甲不选公共演讲，那么丁就不选广播电视，综上得甲、乙、丙均不选广播电视，

故丁选广播电视，从而甲选公共演讲，丙选影视配音，故答案为影视配音.【点睛】本题考查简单的合理推理，考查推理论证能力等基础知识，考查运用求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．16.已知nS是等比数列na的前n项和，若存在*mN，满足228mmSS，22212mma

mam，则数列na的公比为______．【答案】3【解析】【分析】根据等比数列前n项和公式和通项公式化简已知式，可得221272mm，解出m，进而根据27mq求得结果.【详解】由228mmSS得：2111

111128111mmmmmmaqqqqqaqqq27mq由22212mmamam得：2121112212mmmmmaaqmqaaqm则221272mm3m327q则3q本题正确结果：3【点睛】本题考查等比数列通项公式和前n项和公式求解

基本量的问题，关键是能够将已知关系式化成关于q和m的形式，构成方程组，解方程组求得结果.三、解答题（共6小题70分）17.已知数列{an}满足a1＝3，an﹣an﹣1﹣3n＝0，n≥2．（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设bn1na，求数列{bn}的前n项和Sn．【答案】（1）an32n232n；（2）231nn．【解析】【分析】（1）通过累加法进行求解通项；（2）通过裂项相消求解数列求和.【详解】（1）数列{an}满足a1＝3，an﹣an﹣1﹣3n＝0，n≥2，即an﹣

an﹣1＝3n，可得an＝a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+…+（an﹣an﹣1）＝3+6+9+…+3n12n（3+3n）32n232n；（2）bn123na•2123nn（111nn），前n项和Sn23（1111

112231nn）23（111n）231nn．【点睛】此题考查数列的累加法和裂项相消，认准题型特点，属于简单题目.18.已知函数f（x）＝lnx+ax2+ax．（1）若曲线y＝f（x）在点P（1，f（1））处的切线与直线y＝4x+1平行，求实数a

的值；（2）若14a时，关于x的方程74fxxb在（0，2]上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围．【答案】（1）a＝1．（2）[ln2﹣5，54）．【解析】【分析】（1）求导后'14f，进行求解a；

（2）分离参数通过画出新函数图象，根据直线和函数图象有两个交点求出实数b的取值范围.【详解】（1）由题意，f′（x）1x2ax+a，x＞0．根据题意，有f′（1）＝3a+1＝4，解得a＝1．（2）由题意，f（x）

＝lnx14x214x，则lnx14x214x74x+b，即b＝lnx14x232x，令g（x）＝lnx14x232x，x＞0．则g′（x）112xx212332222xxxxxx．令g′（x）＝0，

解得x＝1，或x＝2；令g′（x）＞0，解得0＜x＜1，或x＞2；令g′（x）＜0，解得1＜x＜2．∴函数g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，2）上单调递减，在x＝1处取得极大值g（1）54，在x＝2处取得极小值g（2）

＝ln2﹣5．故函数g（x）在（0，2]上大致图象如下：根据题意及图，可知实数b的取值范围为：[ln2﹣5，54）．【点睛】曲线在点处的导数值等于此点处切线方程的斜率，分离参数求解参数的取值范围，属于一

般性题目.19.已知函数()sin()(,0,0)2fxAxxR的部分图象如图所示.（1）求函数()fx的解析式；（2）求函数()()()1212gxfxfx的单调递增区间.【答案】(1)()2sin(2)6fxx.(2)5[,],1

212kkkZ.【解析】【分析】试题分析：（1）观察图象可知，周期1152T221212（），，根据点5012（，）在函数图象上，得到5Asin2012（），结合02＜＜，求得6；再根

据点（0，1）在函数图象上，求得A2，即得所求.（2）首先将gx（）化简为2sin2x3（），利用“复合函数单调性”，由2k2x2kkz232，，得5kxk1212，得出函数g(x)=f(x-)-f(x+)1212的单调递增区间

为5[k,k],1212kz.【详解】（1）由图象可知，周期1152T221212（），，∵点5012（，）在函数图象上，∴5Asin2012（），∴5sin06（

），解得52k2kkz66，，，∵02＜＜，∴6；∵点（0，1）在函数图象上，∴Asin1A26，，∴函数fx（）的解析式为fx2sin2x6（）（）.（2）gx2sin[2x2

sin2x]126126（）（）（）2sin2x2sin2x3（）=132sin2x2sin2xcos2x22（）=sin2x3cos2x2sin2x3（），由2k2x

2kkz232，，得5kxk1212，∴函数g(x)=f(x-)-f(x+)1212的单调递增区间为5[k,k],1212kz20.如图，直三棱柱ABC﹣A′B′C′，∠BAC＝9

0°，AB＝AC＝λAA′，点M，N分别为A′B和B′C′的中点．（1）证明：MN∥平面A′ACC′；（2）若二面角A′﹣MN﹣C为直二面角，求λ的值．【答案】（1）见解析（2）λ2．【解析】【分析】（1）法一：连接AB′、AC′，根据M为AB′中点

，N为B′C′的中点，在''ABC中可知MN∥AC′，又MN⊄平面A′ACC′，所以MN∥平面A′ACC′；法二：取A′B′的中点P，连接MP、NP，根据两条相交中位线易证明平面MPN∥平面A′ACC′，从而MN∥平面A′ACC′；（2）以A为坐标原点，分别以直线AB、AC、AA′为x

，y，z轴，建立直角坐标系，写出点的坐标即可求解.【详解】（1）证明：法一：连接AB′、AC′，由已知∠BAC＝90°，AB＝AC，三棱柱ABC﹣A′B′C′为直三棱柱，所以M为AB′中点，又因为N为

B′C′的中点，所以MN∥AC′，又MN⊄平面A′ACC′，AC平面AACC，因此MN∥平面A′ACC′；法二：取A′B′的中点P，连接MP、NP，M、N分别为A′B、B′C′的中点，所以MP∥AA′，MPQ平面AACC，AA平面AACC，所以MP∥平

面A′ACC′，同理可得PN∥平面A′ACC′，又MP∩NP＝P，因此平面MPN∥平面A′ACC′，而MN⊂平面MPN，因此MN∥平面A′ACC′．（2）以A为坐标原点，分别以直线AB、AC、AA′为x，y，z轴，建立直角坐标系，如图，设AA′＝1，

则AB＝AC＝λ，于是A（0，0，0），B（λ，0，0），C（0，λ，0），A′（0，0，1），B′（λ，0，1），C′（0，λ，1）．所以M（1022，，），N（122，，），设m（x1，y1，z1）是平面A′MN的

法向量，1,0,22AM，10,,22MN，由00mAMmMN，得111110221022xzyz，可取11m，，，设n（x2，y2，z2）是平面MNC的法向量，,,122NC

，由00nNCnMN，得222220221022xyzyz，可取31n，，，因为二面角A'﹣MN﹣C为直二面角，所以0mn，即﹣3+（﹣1）×（﹣1）+λ2＝0，解得λ2．【点睛】此题考查立体几何线面平行

证明和求二面角，线面平行可先证线线平行或者面面平行从而线面平行，二面角一般通过建系的方法找到点的坐标代入求解，属于较易题目.21.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2acosB＝2c﹣b．（1）求∠A的大小；（2）若△ABC的外接圆的半径为23，面积为43，求△ABC的周长．【

答案】（1）A3．（2）6+221．【解析】【分析】（1）先由正弦定理化简求解∠A；（2）通过外接圆半径和∠A大小通过正弦定理求得a的值，再用∠A余弦定理和面积联立求解b+c，即可求得△ABC的周长.【详

解】（1）∵2acosB＝2c﹣b，∴由正弦定理可得：2sinAcosB＝2sinC﹣sinB，可得：2sinAcosB＝2sinAcosB+2sinBcosA﹣sinB，∴2sinBcosA＝sinB，∵sinB≠0，∴cosA12，又0＜A＜π，∴

A3．（2）∵A3，∴由正弦定理可得：a＝2RsinA＝6，∵S12bcsinA1322bc43，解得bc＝16，∴由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccosA，可得：36＝b2+c2﹣bc＝（b+c）2﹣3bc＝（b+c）2﹣48，∴解得b+c＝221，∴△

ABC的周长a+b+c＝6+221．【点睛】此题考查解三角形，注意正弦定理的使用形式和余弦定理和面积公式结合使用，属于较易题目.22.已知函数f（x）=2sinx－xcosx－x，f′（x）为f（x）的导数．（1）证明：f′（x）在区间（0，π）存在唯一零点；（2）若x∈[0，π]时，f（x）≥

ax，求a的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）,0a.【解析】【分析】（1）求导得到导函数后，设为gx进行再次求导，可判断出当0,2x时，0gx，当,2x时，0gx，从而得到gx单调性，由零点存在定理可判断出唯一零点所处的

位置，证得结论；（2）构造函数hxfxax，通过二次求导可判断出min2hxha，max222hxha；分别在2a，20a≤，202a和22a的情况

下根据导函数的符号判断hx单调性，从而确定0hx恒成立时a的取值范围.【详解】（1）2coscossin1cossin1fxxxxxxxx令cossin1gxxxx，则sinsincoscosgxxx

xxxx当0,x时，令0gx，解得：2x当0,2x时，0gx；当,2x时，0gxgx在0,2上单调递增；在,2ππ上单调递减又01

10g，1022g，112g即当0,2x时，0gx，此时gx无零点，即fx无零点02gg0,2x，使得00gx

又gx在,2ππ上单调递减0xx为gx，即fx在,2ππ上的唯一零点综上所述：fx在区间0,存在唯一零点（2）若0,x时，fxax，即0fxax恒成立令2sincos1hx

fxaxxxxax则cossin1hxxxxa，coshxxxgx由（1）可知，hx在0,2上单调递增；在,2ππ上单调递减且0ha，222ha，2ha

min2hxha，max222hxha①当2a时，min20hxha，即0hx在0,上恒成立hx在0,上单调递增00hxh，即0fxax

，此时fxax恒成立②当20a≤时，00h，02h，0h1,2x，使得10hxhx在10,x上单调递增，在1,x上单调递

减又00h，2sincos10haa0hx在0,上恒成立，即fxax恒成立③当202a时，00h，2022ha

20,2x，使得20hxhx在20,x上单调递减，在2,2x上单调递增20,xx时，00hxh，可知fxax不恒成立④当22a

时，max2022hxhahx在0,2上单调递减()()00hxh\<=可知fxax不恒成立综上所述：,0a【点睛】本题考查利用导数讨论函数零点个数、根据恒成立的

不等式求解参数范围的问题.对于此类端点值恰为恒成立不等式取等的值的问题，通常采用构造函数的方式，将问题转变成函数最值与零之间的比较，进而通过导函数的正负来确定所构造函数的单调性，从而得到最值.