【文档说明】【精准解析】百师联盟2020届高三练习题二（全国卷）数学（理）试题.doc，共(22)页，2.069 MB，由小赞的店铺上传

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-1-百师联盟2020届高三练习题二（全国卷II）理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡上2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动

，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.考试时间120分钟，满分150分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.1.已知实数集R，集合2|230Axxx=−−，则A=Rð（）A.3(,1),2−−+B.31,2−C.31,2−D.3(,1],2−−+

【答案】C【解析】【分析】先解不等式2230xx−−得32x或1x−，从而得到集合A，由此可得集合A的补集.【详解】()()3231012Axxxxxx=−+=−或，则3{|1}2Axx=−Rð，故选：C．【点睛】此题考查一元二次不等式的解法、集合的补集运算，

属于基础题.2.已知函数()fx的导函数为()fx，且满足2()ln(1)fxxxfx=++，则(2)f=（）A.132−B.132C.152D.152−【答案】A-2-【解析】【分析】先求出()()121+1fxfxx=+，然后令1x=求出()1f

，然后即可求出()2f【详解】因为2()ln(1)fxxxfx=++所以()()121+1fxfxx=+令1x=时有()()1121+1ff=+，所以()12f=−所以()14+1fxxx=−所以()1

1328+122f=−=−故选：A【点睛】本题考查的是导数的运算，较简单.3.如图是某校高三某班甲、乙两位同学前六次模拟考试的数学成绩，则下列判断正确的是（）A.xx甲乙，甲比乙成绩稳定B.xx甲乙，乙比甲成绩稳定C.xx=甲乙，甲比乙成绩稳定

D.xx=甲乙，乙比甲成绩稳定【答案】D【解析】【分析】分别计算甲、乙两人成绩的平均数与方差，即可得出正确的结论.【详解】126x=甲，126x=乙，27486S=甲，23186S=乙，因为22SS甲乙，所

以乙比甲成绩稳定，故选：D．【点睛】此题考查利用茎叶图中的数据计算平均数与方差，属于基础题.-3-4.设221log(1),1()21,1xxxfxx+−=−，则((1))ff的值为（）A.

2B.3C.4D.5【答案】B【解析】【分析】先求出()1f，然后即可求出((1))ff【详解】因为221log(1),1()21,1xxxfxx+−=−所以()21213f=−=所以()2((1))3log83fff=

==故选：B【点睛】本题考查的是分段函数的知识，较简单.5.设表示平面，,mn是两条不同的直线，给出下列四个命题，其中正确命题的序号是（）①若m，//nm，则//n②若m⊥，//nm，则n⊥③若m⊥，//n，则mn⊥④若//m，//n，则//mnA.①②B.②③C

.③④D.①④【答案】B【解析】【分析】根据空间中直线与平面的相关定理逐一判断即可【详解】若m，//nm，则//n或n，故①错误若m⊥，//nm，则n⊥，故②正确若m⊥，//n，则mn⊥，故③正确若//m，//n，则,

mn可以相交、平行、异面，故④错误故选：B【点睛】本题考查的是运用空间中直线与平面的相关定理判断命题的真假，较简单.-4-6.某居民小区要建一个容积为38m，高为2m的无盖长方体蓄水池，已知该蓄水池的底面造价师每平方米200元，当最低

造价为3200元时，则侧面每平方米的造价为（）A.110元B.130元C.150元D.170元【答案】C【解析】【分析】设长方体容器的长为xm，宽为ym，侧面每平方米的造价为a元，则可得到4xy=，然后该容器的造价为：()()20022228004z

xyxxyyaxya=++++=++，用基本不等式求出最小值，然后即可解出a【详解】设长方体容器的长为xm，宽为ym，侧面每平方米的造价为a元则28xy=，即4xy=则该容器的造价为：()()20022228004zxyxxyyaxya=++++=++

8002480016xyaa+=+当且仅当2xy==时取得最小值所以800163200a+=，解得150a=故选：C【点睛】本题考查的是利用基本不等式求解实际问题中的最值问题，较简单.7.已知1sincos3+=，(,0)2−，则2cos()4sin2

+=（）A.3178−B.3178C.3174−D.3174【答案】A【解析】【分析】由条件先算出8sin29=−，然后再求出()2cossin−即可【详解】因为1sincos3+=，所以()21sincos9+=-5-即112sinco

s9+=，即11sin29+=，所以8sin29=−所以()217cossin1sin29−=−=因为(,0)2−，所以cossin0−所以17cossin3−=所以172cos()cossin317348sin2sin289+−===−−

故选：A【点睛】要熟悉sincos与sincos的关系，即()2sincos12sincos1sin2==.8.已知向量(1,2)AB=−，(4,1)BC=−，则向量AC在向量BA方向上的投影为（）A.

255−B.55−C.55D.255【答案】C【解析】【分析】先算出AC和BA的坐标，然后即可求出答案.【详解】因为(1,2)AB=−，(4,1)BC=−所以()()3,1,1,2ACABBCBA=+==−所以向量AC在

向量BA方向上的投影为()31125514ACBABA+−==+故选：C【点睛】本题考查的是坐标形式下向量的相关计算，较简单.9.函数()2lnfxxx=的图象大致是（）-6-A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据函数()2lnfxxx=为偶函数，可排除,BD选项，再根据函数

值的情况排除C,得到答案.【详解】由()22()lnln()fxxxxxfx−=−−==，即函数()fx为偶函数，其图像关于y轴对称,可排除,BD选项.又当x→+时，()fx→+，可排除C.故选：A【点睛】本题考查根据表达式选择图像，这类题主要从

函数的定义域、值域、对称性(奇偶性)、单调性、特殊点处的函数值等方面着手分析,属于中档题.10.《乌鸦喝水》是《伊索寓言》中一个寓言故事。通过讲述一只乌鸦喝水的故事，告诉人们遇到困难要运用智慧、认真思考才能让问题迎刃而解的道理。如图2所示，乌鸦想喝水，发现有一个锥形瓶，上面部分是圆柱体，下

面部分是圆台，瓶口直径为3厘米，瓶底直径为9厘米，瓶口距瓶颈为23厘米，瓶颈到水位线距离和水位线到瓶底距离均为332厘米现将1颗石子投入瓶中，发现水位线上移32厘米，若只有当水位线到达瓶口时，乌鸦才能喝到水，则乌鸦共需要投入的石子数量至少是？（石子体积均视为一致）圆台体积公式

：()2213VhRrRr=++圆台，其中，h为圆台高，R为圆台下底面半径，r-7-为圆台上底面半径（）A.2颗B.3颗C.4颗D.5颗【答案】C【解析】【分析】先利用圆台的体积公式求出一颗石子的体积，再求出锥形瓶的体积，然后用锥形瓶的体

积除以一颗石子的体积，就得乌鸦共需要投入的石子数量.【详解】如图1所示，9cmAB=，3cmEFGH==，33cmLO=，所以60A=．原水位线直径6cmCD=，投入石子后，水位线直径5cmIJ=，则由圆台公式得到，()2231913cm324VMN

CNIMCNIM=++=石子．同理，空瓶体积是由空瓶圆台加圆柱体得到，即()22213VVVLNCNELCNELELKL=+=+++空瓶空圆台圆柱体3633363993cm888=+=，则需要石子的个数VV

=空瓶石子，即()993992429783,48919191324==，则至少需要4颗石子．故选：C．-8-【点睛】此题考查圆台、圆柱的体积计算，属于基础题.11.已知函数2()xfxxe=+，对)1,x+，都有()2fxkx+，则实数k的取值范围是

（）A.)21,e−+B.()21,e−+C.()2,1e−−D.(2,e1−−【答案】D【解析】【分析】由)()2,1,fxkxx++得221xekx−+，然后利用导数求出右边的最小值即可.【详解】由)()2,1,fxkxx++得

221xekx−+令22()1xegxx−=+，则22222()xxexegxx−+=令22()22xxhxexe=−+，则2222()42240xxxxhxexeeex=+−=所以()hx在)1,+上单调递增所以()222()12220hxheee=−+=+，

所以()0gx所以()gx在)1,+上单调递增所以()()211gxge=−，所以21ke−故选：D【点睛】恒成立问题或者存在性问题，首选的方法是分离变量法，通过分离变量然后转化为最值问题.-9-12.已知数列na的前n项和为nS，且1232,5,10aaa===，又当2n

时，112330nnnnSSSSm+−−−+−+=恒成立，则使得231111117...222230kkaaaa−++++−−−−成立的正整数k的最小值为（）A.4B.5C.6D.7【答案】B【解析】【分析】由112330nnnnSSSSm+−−−+−+=得211330nnnnSS

SSm++−−+−+=，两式相减得2+113+30nnnnaaaa+−−−=，即()()()2+111+2nnnnnnaaaaaa+−+−−=−，然后得121nnaan+−=+，然后得21nan=+，然后23111111111...12222221kkaaaakk−++++=+−−−−−−

+，然后解出不等式即可.【详解】因为当2n时，112330nnnnSSSSm+−−−+−+=所以当1n时，211330nnnnSSSSm++−−+−+=两式相减得：2+113+30nnnnaaaa+−−−=所以()()()2+111+2nnnnnnaaaaaa+−+

−−=−所以1nnaa+−是等差数列因为1232,5,10aaa===，所以21323,5aaaa−=−=所以()131221nnaann+−=+−=+所以2121321235211nnnaaaaaaaann−=+−+−++−=++++−=+所以()222223111111111.

.....22222131111kkaaaakk−++++=++++−−−−−−−−−11111111111117112324351122130kkkk=−+−+−++−=+−−−++-10-所以1111130kk++

解得5k或611k−（舍）所以正整数k的最小值为5故选：B【点睛】本题考查的知识点有：数列na与nS的关系，累加法求通项公式、裂项相消法求和，属于比较综合的题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知数列na，nS是数列的前n项和，满足22nSnn=+

，通过计算123,,aaa，可以猜想na=__________.【答案】41n−【解析】【分析】由22nSnn=+算出123,,aaa即可猜想出答案【详解】因为22nSnn=+所以113aS==，2121037SaS==−=−，332211011SaS==−

=−所以猜想41nan=−故答案为：41n−【点睛】本题考查数列na与nS的关系，较简单.14.已知圆22:(1)(2)5Cxy−++=，过圆C外一点()3,4P作圆的两条切线PA，PB切点分别为A，B，则直线AB的方程为_______．【答案】2

650xy++=．【解析】【分析】先写出圆上以A，B为切点的切线方程，由于点()3,4P在这两条切线上，可得出直线AB的方程.-11-【详解】设()11,Axy，()22,Bxy，则切线PA的方程为()()()()1111225

xxyy−−+++=，因为点()3,4P在切线PA上，所以切线PA的方程为11265xy+=−，即112650xy++=①，同理，切线PB的方程为222650xy++=②，由①②得，直线AB的方程为2650xy++=．故答案为：2650xy++=．【点睛】此题考查圆的切

线的有关知识，属于基础题.15.下列五个命题：（1）2",210"xRxx+−的否定是2000",210"xRxx+−；（2）函数sin(2)3yx=+的图象可以由sin(2)4yx=+的

图象向左24平移个单位而得到；（3）若0ab，则a与b的夹角为钝角；（4）若(1,)x+，则函数1()fxxx=+的最小值为2；（5）"5"x是"3"x的充分不必要条件；其中正确命题的序号是(只填序号)__________.【答案】（1）（2）（5）【解析】【分

析】利用相关知识逐一判断即可.【详解】根据全称命题的否定是特称命题知（1）正确函数sin(2)3yx=+的图象可以由sin(2)4yx=+的图象向左24平移个单位而得到；故（2）正确若0ab，

则a与b的夹角为钝角或，故（3）错误1()2fxxx=+，当且仅当1x=时等号成立，故（4）错误"5"x是"3"x的充分不必要条件，故（5）正确故答案为：（1）（2）（5）【点睛】本题考查的知识点有：全称命题的否定，三角函数图象的平移变换，向量的数量积，基

本不等式及充分不必要条件的判断，属于综合题.-12-16.已知函数2()2sincos23cos3fxxxxa=−++(0，xR，a是常数)的图象的一条对称轴方程为512x=，与其相邻的一个对称中心为2(,1

)3−，则函数()fx的单调区间递减区间为__________.【答案】511,()1212kkkZ++【解析】【分析】由条件可得出2543124T=−=，然后即可得到1=，由

图象过点2(,1)3−可得1a=−，然后解出不等式3222,232kxkkZ+−+即可【详解】2()2sincos23cos3fxxxxa=−++sin23cos22sin23xxaxa=−+=−+因为图象的一条对称轴方程为

512x=，与其相邻的一个对称中心为2(,1)3−所以2543124T=−=，所以T=，即22=，所以1=所以()2sin23fxxa=−+因为图象过点2(,1)3−，所以42sin133a−+=−所以1a=−所以()2sin213fx

x=−−由3222,232kxkkZ+−+得5111212kxk++所以函数()fx的单调区间递减区间为511,()1212kkkZ++故答案为：511,()1212kkkZ++-13-【点睛】本

题考查的是三角函数的图象及其性质，较为综合.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列na满足2nnaSn=+，nS为数列na的前n项和（1）求证：1na+是等比数列，并求数列na的通项公式；（2）设12nnnnbaa+

=，求数列nb的前n项和nS【答案】（1）证明见解析，21nna=−.（2）11121nnS+=−−【解析】【分析】（1）由2nnaSn=+得1121nnaSn++=++，两式相减得121nna

a+=+，然后即可证明1na+是等比数列，并求出na的通项公式,（2）()()111221121212121nnnnnnnnnbaa+++===−−−−−，然后即可算出nS.【详解】（1）当1

n=时，111211aSa=+=+，所以11a=因为2nnaSn=+①，1121nnaSn++=++②，②-①得121nnaa+=+得()1121nnaa++=+所以1121nnaa++=+所以数列1na+是以112a+=为首项，2为公比的等比数列所以11222nnna−+==

所以21nna=−（2）()()111221121212121nnnnnnnnnbaa+++===−−−−−所以-14-121223111111111121212121212121nnnnnSbbb++

=+++=−+−+−=−−−−−−−−【点睛】常见数列的求和方法：公式法（等差等比数列）、分组求和法、裂项相消法、错位相减法.18.在某公司的一次招聘初试笔试中，随机抽取了50名应聘者的成绩(单位：分)，并把所得数据列成了如下表所示的频数分布表：组别

)40,50)50,60)60,70)70,80)80,90)90,100频数39141383（1）求抽取的样本平均数x(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；（2）已知样本中成绩在)8

0,90中的8名考生中，有5名男生，3名女生，现从中选4人进行谈话，记选出的男生人数为，求的分布列与期望()E.【答案】（1）69.6.（2）分布列答案见解析，()2.5E=【解析】【分析】（1）由频数分布表直接算出答案即可；（2）的可能取值为1,2,3,4，然后求出对应

的概率即可.【详解】（1）由频数分布表，得样本平均数为450.06550.18650.28750.26850.16950.0669.6x=+++++=（2）由已知得的可能取值为1,2,3,4(

)1353481114CCPC===，()225348327CCPC===()315348337CCPC===，()4053481414CCPC===-15-所以的分布列为1234p1143737114()123112342.5147714E=+++=【点睛】本题考查的

是离散型随机变量的分布列及期望，把每个概率算正确是解题的关键.19.在ABC中，角、、ABC的对边分别为abc、、，且coscos2cosaCcAbB+=（1）求角B；（2）若1b=，求ABC周长的取值范围.【答案】（1）3

.（2）(2,3]【解析】【分析】（1）由coscos2cosaCcAbB+=得sincoscossin2sincosACACBB+=，然后变形推出1cos2B=即可（2）由正弦定理，12sinsinsin332abcABC====，然后利用()222sinsin1sinsin12si

n13633abcACAAA++=++=+−+=++求出范围即可.【详解】（1）由coscos2cosaCcAbB+=，由正弦定理得，sincoscossin2sincosACACBB+=所以()sin2sincosACBB+=因为ACB+=−所以sin2

sincosBBB=因为0B所以sin0B-16-所以1cos2B=所以3B=（2）由正弦定理，12sinsinsin332abcABC====所以2sin3aA=，2sin3cC=所()222sinsin1sinsin12sin13633abcACAAA++=++=+−

+=++因为203A所以5666A+所以1sin,162A+所以(2sin1,26A+所以(2,3abc++【点睛】本题考查的是利用正弦定理进行边角互化和利用三角函数求三角形周长的范围，属于典型题.

20.已知函数32()31xxaafxbx+−=++是定义在R上的奇函数，a，bR（1）判断函数()fx的单调性；（2）若对任意的kR，不等式22(2)(1)0fktfktt−+++恒成立，求实t数的取值范围.【答案】（1）()fx是R上的增函数.（2）2,

[2,)3−+【解析】【分析】（1）由()fx是上R的奇函数求出1a=，0b=，然后()3131221313131xxxxxfx−+−===−+++，-17-即可判断出其单调性（2）由()()22210fkt

fktt−+++得()()()222211fktfkttfktt−−++=−−−，然后得出2221ktktt−−−−即可【详解】（1）因为()fx是上R的奇函数所以()00f=所以2031aa+−=+，所以1a=所以()3131xxfxbx−=++

又()()11ff−=−所以111131313131bb−−−−=−+++所以0b=所以()3131−=+xxfx因为()3131221313131xxxxxfx−+−===−+++所以()fx是R上的增函数（2）因为()fx是R上的增函数且是奇函数，由

()()22210fktfktt−+++所以()()()222211fktfkttfktt−−++=−−−所以2221ktktt−−−−即22210kkttt++−+对任意kR恒成立只需()224210ttt=−−

+，所以23840tt−+解之得2t，或23t所以实数t的取值范围是)2,2,3−+【点睛】解抽象函数的不等式时，怎么利用函数的单调性和奇偶性将f去掉是解题的关键.-18-21.已知动点P到直线:2ly=−的距离比到点(0,1)F的距离大1（1

）求动点P的轨迹M的方程；（2）AB、为M上两点，O为坐标原点，12OAOBkk=−，过AB、分别作M的两条切线，相交于点C，求ABC面积的最小值.【答案】（1）轨迹M为抛物线，其方程为24xy=.（2）82【解析】【分析】（1）设点P的坐标为(),xy，根据条件列出方程()

22121xyy+−=+−，然后化简即可；（2）设直线AB的方程为ykxb=+，()()1122,,,AxyBxy，联立直线与抛物线的方程得出12124,4xxkxxb+==−，然后用k表示出AB和点C到直线AB的距离d，然后可得到32242ABCSk=+，即可

求出其最小值.【详解】（1）设点P的坐标为(),xy因为动点P到定直线:2ly=−的距离比到点()0,1F的距离大1所以2y−，且()22121xyy+−=+−，化简得24xy=所以轨迹M为抛物线，其方程为24xy=（2）依题意，

设直线AB的方程为ykxb=+由24ykxbxy=+=，得2440xkxb−−=因为直线AB与抛物线M交于两点所以216160kb=+设()()11221212,,,,4,4AxyBxyxxkxxb+==−，又因为12OAOBkk=−所以121212x

xyy=−-19-所以121442xx=−所以128xx=−所以48b−=−所以2b=()22222212121411632412ABkxxxxkkkk=++−=++=++由224,,42xxxyyy===过点A的切线方程为()1112xyyxx−=−

，即21124xxxy=−①过点B的切线方程为()2222xyyxx−=−，即22224xxxy=−②由①②得1222xxxk+==，122111222244xxxxxxy+=−==−，所以过AB、的两条抛物线的切线相交于点()2,2Ck−所以

点C到直线AB的距离22241kdk+=+232222222241141242242221ABCkSABdkkkkkk+==++=++=++当0k=时，ABC的面积最小，最小值为37242282==【点睛】涉及抛物线的弦长、中点、距离等相

关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体带入”等解法.22.已知函数2()2(1)xfxxeax=−+.（1）若()fx在1x=时取得极小值，求()fx的解析式；（2）当10ae时，判断函数()fx在(,1)−

上的零点个数.【答案】（1）2()2(1)xfxxeex=−+；（2）一个零点.【解析】【分析】-20-（1）由()fx在1x=时取得极小值，得()'10f=，求出ae=，再进行检验；（2）()()()'21xfxxea=+−，令()'0fx=，得1x=−或lnxa=.分0a=和10ae

两种情况讨论函数()fx在(,1)−上的零点个数.【详解】（1）定义域为R，()()()'21xfxxea=+−.()fx在1x=时取得极小值，所以()'10f=，解得ae=.()()()21xfxxee=+−.由()'0fx，得1x−或1x；()'0fx，得11x

−.()fx在()11−，上单调递减，在(),1−−，()1+，上单调递增，()fx在1x=时取得极小值.ae=，2()2(1)xfxxeex=−+.（2）由()()()'210xfxxea=+−=，解得1x=−或lnxa=.

当0a=时，()2xfxxe=，令()0fx=得0x=，当0x时，()0fx；当0x时，()0fx，此时()fx在()1−，上有且只有一个零点；当10ae时，ln1a−，由()'0fx，得lnxa或1x−；(

)'0fx，得ln1ax−，()fx在()lna−，，()11−，上单调递增，在()ln,1a−上单调递减，又()1120fe−−=−，()1240fea=−，()()2lnln0faaaa=−−，此时(

)fx在()1−，上有且只有一个零点.综上所述，当10ae时，()fx在()1−，上有一个零点.【点睛】本题考查利用导数求函数的解析式，考查利用导数研究函数的零点，属于难题.-21--22-