【文档说明】专题18 幂函数分层训练（解析版）-【教育机构专用】2021年暑假初升高数学精品讲义（全国通用）.docx，共(16)页，626.798 KB，由管理员店铺上传

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专题18幂函数A组基础巩固1．（2021·宁夏长庆高级中学高二期末（文））已知幂函数过点()2,4，则解析式为（）A．2yx=B．2xy=C．2yx=D．2yx-=【答案】C【分析】设所求幂函数解析式为ayx=，将点()2,4的坐标代入函数解析式，求出实数a的值，即

可得出幂函数的解析式.【详解】设所求幂函数解析式为ayx=，由已知条件可得24a=，可得2a=，因此，所求幂函数的解析式为2yx=.故选：C.2．（2021·宁夏银川二中高二期末（理））已知幂函数()fxkx=的图象经过点(3,3)，则k+等于（）

A．32B．12C．2D．3【答案】A【分析】由于函数为幂函数，所以1k=，再将点(3,3)代入解析式中可求出的值，从而可求出k+【详解】解：因为()fxkx=为幂函数，所以1k=，所以()fxx=，因为幂函数的图像过点(3,3)，所以33=，解得12=，所以13122k+=

+=，故选：A3．（2021·安徽高二月考（理））已知幂函数()()2133mfxmmx+=−+的图象关于原点对称，则满足()()132mmaa+−成立的实数a的取值范围为（）A．22,33−

B．22,3−−C．22,3−D．2,43【答案】D【分析】由于函数为幂函数，所以2331mm−+=，求出1m=或2m=，由于幂函数的图像关于原点对称，所以2m=，然后解不等式22(1)(32)aa+−即可得答案

【详解】由题意得：2331mm−+=，得1m=或2m=当1m=时，2()fxx=图象关于y轴对称，不成立；当2m=时，3()fxx=是奇函数，成立；所以不等式转化为22(1)(32)aa+−，即231480aa−+，解得243a.故选：D4．（2021·宁

夏吴忠中学高二期末（文））下列函数中是增函数的为（）A．()fxx=−B．()23xfx=C．()2fxx=D．()3fxx=【答案】D【分析】根据基本初等函数的性质逐项判断后可得正确的选项.【详解】对于A，()fxx=−为R上的减函数，不合题意，舍.对于B，()23xfx=

为R上的减函数，不合题意，舍.对于C，()2fxx=在(),0−为减函数，不合题意，舍.对于D，()3fxx=为R上的增函数，符合题意，故选：D.5．（【新东方】高中数学20210513-002【2021】【高二下】）若幂函数()223()22mmfxmmx−++=

−−在(0,)+上是减函数，则实数m的值是（）A．1−或3B．3C．1−D．0【答案】B【分析】由题意可得2222130mmmm−−=−++，从而可求出实数m的值【详解】解：因为幂函数()223()22mmfxmmx−++=−

−在(0,)+上是减函数，所以2222130mmmm−−=−++，由2221mm−−=，得1m=−或3m=，当1m=−时，2311310mm−++=−−+=，所以1m=−舍去，当3m=时，2393330mm−++=−++=−，所以3m=，故选

：B6．（2021·天津南开区·南开中学高三）设x，y，z为正实数，且235logloglog1xyz==，则2x，3y，5z的大小关系是（）A．532zyxB．235xyzC．325yxzD．235xyz==【答案】B【分析】,,xy

z为正实数，且235logloglog1xyzk===，可得：22,33,55kkkxyz===,然后变形，构造函数，利用幂函数的单调性即可得出．【详解】,,xyz为正实数，且235logloglog1xyzk===，可得22,33,55kkkxyz===．∴11121,

31,51235kkkxyz−−−===，令()1kfxx−=，又()fx在()0+，上单调递增，∴()()()532fff，即532zyx，故选：B．【点睛】关键点睛：本题的关键是指数式与对数式的互化、构造幂函数并运用其的单调性．7．（6.2.1指数函数

的概念、图象与性质（练习）-2020-2021学年上学期高一数学同步精品课堂（新教材苏教版必修第一册））若0.50.60.30.6,0.5,1.2abc===，则a，b，c的大小关系是（）A．abcB．cabC．acbD．bca【答案】B【分析】利用0.6xy=和0.6yx=的

单调性即可判断01ba，再判断1c可得解.【详解】函数0.6xy=在R上是减函数，0.60.5000.60.60.61=，又幂函数0.6yx=在()0+，上单调递增，0.50.6<，0.60.600

.50.6，所以01ba，而函数1.2xy=是R上增函数，0.301.21.21ccab==，.故选：B.8．（2021·沈阳市第三十一中学高三月考）若幂函数()23()32mfxmmx=−的图象不经过坐标原点，则实数m的取值为（）A．

13B．13−C．-1D．1【答案】B【分析】根据幂函数的定义，解出1m=或13−，，分别验证1m=和13m=−时图像是否经过原点，即可得到答案.【详解】由题意有2321mm−=，解得1m=或13−，①当1m=时，3()fxx=，函数图象过原点，不合题意

；②当13m=−时，()1fxx−=，函数图象不过原点，合题意.故13m=−.故选：B9．（2021·广西高一期末）幂函数()fxx=的图象过点(9,3)，那么函数()fx的单调递增区间是（）A．(2,)−+B．[1,)−+C．[0,)+D．(,2)−−

【答案】C【分析】首先根据函数过点(9,3)求出函数解析式，结合幂函数的性质判断可得；【详解】解：因为幂函数过点(9,3)，所以()993f==，解得12=，所以()fxx=，那么可知函数的增区间为[0,)+．故选：C10

．（2021·吴县中学高一月考）有四个幂函数：①()2fxx−=；②()1fxx−=；③()3fxx=；④()3fxx=，某向学研究了其中的一个函数，并给出这个函数的三个性质：（1）()fx为偶函数；（2）()fx的值域为()(),00,−+；（3）()fx在(),0−上是增函数.如

果给出的三个性质中，有两个正确，一个错误，则他研究的函数是（）A．①B．②C．③D．④【答案】A【分析】分析四个幂函数的奇偶性、值域以及在(),0−上的单调性，结合题意可得出合适的选项.【详解】对于①，函数(

)2fxx−=为偶函数，且()2210fxxx−==，该函数的值域为()0,+，函数()2fxx−=在()0,+上为减函数，该函数在(),0−上为增函数，①满足条件；对于②，函数()11xxfx−==为奇函数，且()10fxx=

，该函数的值域为()(),00,−+，函数()fx在(),0−上为减函数，②不满足条件；对于③，函数()3fxx=的定义域为R，且()()33fxxxfx−=−=−=−，该函数为奇函数，当0x时，()30fxx=；当0x时，()30fxx=，则函数()

fx的值域为R，函数()3fxx=在()0,+上为增函数，该函数在(),0−上也为增函数，③不满足条件；对于④，函数()3fxx=为奇函数，且函数()3fxx=的值域为R，该函数在(),0−上为

增函数，④不满足条件.故选：A.11．（2020·重庆八中高一期中）下列各式比较大小正确的是（）A．2.531.71.7B．120.60.6−C．0.50.50.81.25D．0.33.11.70.9【

答案】D【分析】利用指数函数单调性即可判断选项A、B、D，利用幂函数单调性即可判断C.【详解】解：因为指数函数1.7xy=在R上单调递增，又2.53，所以2.531.71.7，所以选项A错误；因为指数函数0.6xy=在R上单调递减，又12−，所以120.60.6−，

所以选项B错误；因为幂函数0.5yx=在)0,+上单调递增，又0.81.25，所以0.50.50.81.25，所以选项C错误；因为指数函数1.7xy=在R上单调递增，0.9xy=在R上单调递减，所以0.301.71.71=，3.100.90.91=

，所以0.33.11.70.9，所以选项D正确；故选：D.12．（2021·重庆高三三模）已知幂函数()233mymmx=−−在()0,+上单调递减，则m=___________.【答案】1−【分析】由系数为1解出m的值，再由单调性确定结论．【详解】由题意2331m

m−−=，解得1m=−或4m=，若4m=，则函数为4yx=，在(0,)+上递增，不合题意．若1m=−，则函数为1yx=，满足题意．故答案为：1−．13．（2021·上海市控江中学高三三模）幂函数223()mmyxmN+−=在区间(0,)+上是减函数，则m

=__________.【答案】0【分析】由幂函数在(0,)+上的单调性，可得幂指数正负的不等式，求出m的范围即可得解.【详解】因幂函数223mmyx+−=在区间(0,)+上是减函数，则2230mm+−，解得31m−，而mN，则m=0.故答案为：014．（2018·湖北高

一期中）已知幂函数()226113385aayaax−+=−+在(0,)+上单调递减，则实数a的值为__________．【答案】23【分析】由题知幂函数的系数为1,且261130aa−+即可求得答案.【详解】因为幂

函数()226113385aayaax−+=−+在(0,)+上单调递减，所以22385161130aaaa−+=−+，解得23a=故答案为：2315．（2020·天津市第七中学）已知幂函数()fx的图像经过点1273，，则此幂函数的解析式为____

_；关于a的不等式()()13222aaff+−的解集为_____.【答案】13()=fxx−2(,)3+【分析】（1）设幂函数的解析式为()mfxx=，解方程1273m=即得解；（2）由题得函数13()=fxx−的定义域为{|0}xx，在(0,)+是减函数，解不等式13222aa+

−即得解集.【详解】（1）设幂函数的解析式为1311(),27,33,31,33mmmfxxmm−====−=−，所以函数的解析式为13()=fxx−；（2）由题得函数13()=fxx−的定义域为{|0}xx，在(0,)+是减函数，因为1322

0,20aa+−，所以132222132,3aaaaa+−+−，.所以不等式的解集为2(,)3+.故答案为：13()=fxx−；2(,)3+.【点睛】本题主要考查幂函数的解析式的求法，考查幂函数的性质的应用，意在考查学生

对这些知识的理解掌握水平.16．（第三章函数的概念与性质（基础过关）-2020-2021学年高一数学单元测试定心卷（人教A版2019必修第一册））已知幂函数()()2157mfxmmx−−=−+()mR为偶函数．（1）1()2f的值为________；（2）若()(21)faf

a+=，则实数a的值为________．【答案】161−或13−【分析】（1）首先根据幂函数的定义得到2m=或3m=，根据奇偶性即可得到m的值，再计算1()2f即可.（2）首先根据题意得到21aa+=，再解方程即可.【详解】（1）由257

1mm−+=，得2m=或3m=.当2m=时，()3fxx−=是奇函数，不满足题意，舍去；当3m=时，()4fxx−=是偶函数，满足题意，所以()4fxx−=，4111622f−==（2）由()4fxx−=为偶函数及

()(21)fafa+=，可得21aa+=，即21aa+=或21aa+=−，解得：1a=−或13a=−.故答案为：16；1−或13−【点睛】本题主要考查幂函数的定义，同时考查幂函数的奇偶性，属于简单题.17．（2019·浙江）函数()22fxxx=−

的单调递减区间为___________；值域为___________．【答案】1,20,1【分析】首先求出定义域02xx，由复合函数的单调性求法即可求出函数的单调区间；由定义域和函数的单调性可求值域.【详解】函数()22fxxx=−有意义，则220xx−，解得函数的定义域

为02xx，令2()2uxxx=−，对称轴为1x=，开口向下，所以()ux在0,1上为增函数，在1,2为减函数，又yu=在定义域内为增函数，所以()22fxxx=−的单调递减区间为1,2；由2()2uxxx=−，02x，所以2021xx−

，即0()1ux，所以()220,1fxxx=−.故答案为1,2；0,1B组能力提升18．（2021·湖南高一月考）已知幂函数()()2144mfxmmx+=+−在区间()0,+?上单调递增.（1）求()fx的解析式；（2）用定义法证明函数()()()43mgxfxx+

=+在区间()0,2上单调递减.【答案】（1）()2fxx=；（2）证明见解析.【分析】（1）由幂函数的系数为1得2441+−=mm，再根据函数为()0,+?增函数得1m=；（2）由（1）得()216gxxx=+，再根据函数单调性的定义证明

即可.【详解】（1）解：由题可知：2441+−=mm，解得1m=或5m=−.若1m=，则()2fxx=在区间()0,+?上单调递增，符合条件；若5m=−，则()4fxx−=在区间()0,+?上单调递减，不符合条件.故()2fxx=.（2）证明：由（1）可知，()216gxxx=+.任取1x，

()20,2x，且12xx，则()()()()22121212121212161616gxgxxxxxxxxxxx−=+−−=−+−.因为1202xx，所以120xx−，124xx+，12

164xx，所以()()121212160xxxxxx−+−，即()()12gxgx，故()gx在区间()0,2上单调递减.【点睛】本题考查幂函数的解析式，定义法证明函数的单调性，解题的关键在于幂函数的系数为1，且

()0yx=在在区间()0,+?上单调递增，考查运算求解能力，是中档题.19．（2021·河北秦皇岛一中高一期末）已知幂函数()()2351mfxmmx+=−+，其中mR，且()fx为奇函数.（1）求m的值；（2）若不等式()

()212230xftft+−+对任意的xR恒成立，求t的取值范围.（3）求函数()()2212loglog2yfxfx=−，1,22x的最值，并求出取得最值时的x的值（其中()()()2222loglogfxfx=.【答案】（1）0m=；（2）(,1

)(2,)−+；（3）162x−=有最小值min34y=，2x=有最大值max13y=.【分析】（1）利用函数为幂函数有2511mm−+=，结合()fx为奇函数有3m+为奇数，即可求m的值；（2）由

（1）结合题设有221()(32)xftft+−，根据()fx的单调性列不等式，则有21223xtt+−对任意的xR恒成立，即可求t的范围.（3）令2log[1,1]mx=−，则2931ymm=++，根据二次函数的性质求该区间内取最大最小值时的x值即可

.【详解】（1）由()fx为幂函数，则2511mm−+=，解得0m=或5m=，又()fx为奇函数，即3()()()mfxxfx+−=−=−，则3m+为奇数，综上，有0m=.（2）由（1）知：3()fxx=，则22211()(23)(32

)xxftftft++−−=−，又()fx单调递增，∴21232xtt+−，则21223xtt+−对任意的xR恒成立，由211x+，则2122x+，∴223tt−，即(1)(2)0tt−−，∴t(,1

)(2,)−+.（3）由题意，2221222log()log[2()]9log3log1yfxfxxx=−=++，1,22x，∴令2log[1,1]mx=−，则22139319()64

ymmm=++=++，∴当16m=−，即162x−=时，min34y=；当1m=，即2x=时，13y=；当1m=−，即12x=时，7y=；综上，162x−=时min34y=，2x=时max13y=.20．（2020·重庆市

杨家坪中学高一月考）已知幂函数()()2133mfxmmx+=−+为偶函数.一次函数()ygx=满足()11g=，()23g=.（1）求()yfx=和()ygx=的解析式；（2）求函数()()()11fxhxfx−=+在区间1,2上的最大值和最小值.【答案】（1）()2fxx=，

()21gxx=−；（2）最小值为0，最大值为35.【分析】（1）根据幂函数的定义以及幂函数的性质可得1m=，从而求出()yfx=；利用待定系数法求出()ygx=.（2）令21xt+=，且2,5t，21yt−=

+，利用函数的单调性即可求解.【详解】（1）因为函数()()2133mfxmmx+=−+为幂函数，所以2331mm−+=，即2320mm−+=，解得：1m=或2m=.当1m=时，()2fxx=为偶函数，满足题意；当2m=时，()3fxx=为奇函数，不满足题意；所以，()2fxx=.

因为()ygx=为一次函数，所以，设()()0gxkxbk=+，由()11g=，()23g=，得：123kbkb+=+=，解得：21kb==−.所以()21gxx=−..（2）()()()2221121111fx

xhxfxxx−−−===++++，令21xt+=，因为1,2x，所以2,5t，而21yt−=+在3,5t上单调递增，所以，当2t=，即1x=时，()fx取得最小值0.当5t=，即2x=时，()fx取得最大值35.所以，函数()yfx=在区间1,2上的最小值为0

，最大值为35.21．（2020·秦皇岛市抚宁区第一中学高一期中）已知幂函数()()22122mfxmmx+=+−在()0,+上是增函数.（1）求()fx的解析式；（2）若()()21fafa−−，求4ay=的最大值.【答案

】（1）3()fxx=；（2）最大值为16.【分析】(1)根据题意可知2221mm+−=且210m+，求出m即可得到()fx的解析式；(2)根据()fx的解析式与()()21fafa−−，求出a的范围，结合指数函数的单调性即可求解.【详解】(1

)因为()()22122mfxmmx+=+−是幂函数，所以2221mm+−=，即32m=−或1m=，因为()fx在()0,+上是增函数，所以210m+，即12m−，则1m=，故3()fxx=.(2)因为()fx为R上的增函数，所以201021aaaa−−−−，解得

322a.故4ay=的取值范围为(8,16，所以y的最大值为16.22．（2021·四川高一期末）已知幂函数()afxx=过点()2,8A.（1）求函数()fx的解析式.（2）求22121log()log[2()],,22yfxfxx=+的值域.

【答案】（1）3()fxx=；（2）5,114−.【分析】（1）代入已知点坐标可求得参数值，得函数解析式；（2）代入()fx求得函数解析式，令2logtx=，并求出t的范围，函数转化为二次函数在区间上的值域问题

，由二次函数性质可得结论．【详解】（1）幂函数()fxx=过点(2,8)A所以28,3==3()fxx=（2）因为3()fxx=，所以()()()2233212229loglog2log13log=+−−=yxxxx，令2logt

x=，因为1,22x，所以[1,1]t−，所以22159319,64yttt=−−=−−所以2193−=−ytt在11,6−t上单调递减，在1,16上单调递增，因此min54=−

y；又当1t=−时，11931−==+y；当1t=时，3591=−−=y；因此max11y=，所求函数值域为：5,114−．【点睛】关键点点睛：本题考查求幂函数解析式，考查求对数型复合函数的值域．解题方法是换元法，设2lo

gtx=，函数转化为关于t的二次函数，利用二次函数性质求得其在某个区间的值域即得结论．