【文档说明】云南省昆明市2024-2025学年高三上学期12月大联考试题 数学 Word版含解析.docx，共(19)页，1.496 MB，由envi的店铺上传

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绝密★启用前2025届高三12月大联考（新课标卷）数学本卷满分150分，考试时间120分钟。注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题

答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的。1．已知集合25Axx=Z∣，{1,0,2,3}B=−，则AB=（）A．{1,0}−B．{0,2}C．{0,2,3}D．{1,0,2}−2．已知复数1z与24zi=−在复平面内对应的点关于实轴对称，则11i

z=−（）A．13i+B．13i−+C．3i−D．3i+3．苏州荻溪仓始建于明代，曾作为古代官方桹仓，圆筒桹仓简约美观、储存容量大，在粮食储存方面优势明显，如图（1）．某校模型制作小组设计圆筒粮仓模型时，将粮仓的屋顶近

似看成一个圆锥，如图（2）．若该圆锥的侧面展开图为半圆，底面圆的直径为2a，则该圆锥的体积为（）A．333aB．33aC．3433aD．343a4．已知0,2，且满足3sin65−=−，则sin12

+=（）A．210B．325C．7210D．4255．已知向量(,2)axx=−，4,byy=，则||ab−的最小值为（）A．1B．2C．2D．46．下列函数，满足“对于定

义域内任意两个实数1x，()212xxx，都有()()121222fxfxxx++”的是（）A．()sinfxxx=+B．3()4fxxx=−C．()2ln(1)fxx=+D．()||fxxx=7．已知函数()

2sin()0,||2fxx=+，若()fx在区间(0,1)上单调，在1x=处取得最大值，且1(1)02ff−+=．将曲线()yfx=向左平移1个单位长度，得到曲线()ygx=，则函数21()4yxgxx=−−在区间[

3,3]−上的零点个数为（）A．4B．5C．6D．78．已知函数ln()xfxx=，((4))aff=，((ln3))bff=，12ecff=，则a，b，c的大小关系是（）A．acbB．bcaC．bacD．cab二、选择题：本题共3小题，每小题6

分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．下列说法正确的是（）A．数据5，8，10，12，13的第40百分位数是9B．若随机变量X服从正态分布()2,

N，(2)(4)0.14PXPX−==，则(21)0.35PX−C．20张彩票中只有2张能中奖，现从中一次性抽取n张，若其中至少有一张中奖的概率大于0．5，则n的最小值为6D．已知数据1x，2x，，6x的平均数为6，方差为10，现加入5和7两个数，则这8个数的方差2

8s10．已知函数321()(R)2fxaxxxa=+−在12x=处取得极值，则下列说法正确的是（）A．若()fx在(3,1)tt+上单调递增，则实数t的取值范围是11(,2],63−−B．()fx有3个零点C．()fx在[2,1]−上的最小值为43−D．3(1)

2fxfx+−在R上恒成立11．如图，已知圆22:(1)1Cxy−+=，过原点O作射线OT交圆C于点A（异于O点），交直线2x=于点B（异于点A），再以O为圆心、线段AB的长为半径作圆与射线OT交

于点M，记点M的轨迹为曲线E．设||OMr=，TOC=，则下列说法正确的是（）A．曲线E上所有点的横坐标的取值范围是(0,2)B．22sincosr=C．曲线E的方程为222xyx=−D．过点M且与OM垂直的直线必与抛物线28yx=−相切三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．1

2．函数()(1)exfxx=+的图象在点(0,(0))f处的切线与坐标轴围成的三角形面积为_______．13．甲、乙两人进行某项比赛，已知每局比赛甲获胜的概率均为23，没有平局，各局比赛的结果互不影响．约定当一方胜的局数比另一方多两局时即可获胜，比赛结束．设最终比赛局数为X，则(6)PX==_

______．14．过双曲线22221(0,0)xyabab−=的左焦点1(,0)Fc−作x轴的垂线l，P为l上一动点，已知2,0aMc−，2,0aNc，若sinMPN的最大值为23，则双曲

线的离心率为______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）记ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知22223bcabc+−=，3sin4co

sAB=．（1）求B；（2）若ABC的周长为422+，求ABC的面积．16．（15分）如图，椭圆的中心在原点，左、右焦点分别为1F，2F，点A，C为椭圆上两点（均位于x轴上方），且满足12//AFCF，12AFF面积的最大值为2，椭圆的离心率小于12，且椭圆的四个顶点围

成的四边形周长为12．（1）求椭圆的标准方程；（2）求证：1211AFCF+为定值．17．（15分）已知函数2()2ln(1)1fxxtx=+−+．（1）若12t=，求证：()1fx；（2）若tZ且()20fxtx+在(0,)+上恒成立，求t的最大值．18．（17分）如图，在三棱

锥PABC−中，AP⊥平面ABC，D，M分别是BC，PB的中点，2APAC==，22AB=，3AD=．延长AD至点E，使得2AEAD=，连接ME．（1）证明：MEBC⊥；（2）求二面角BAME−−的余弦值；（3）若点N，Q分别是直线AE，

PC上的动点，求NQ的最小值．19．（17分）设数列na是一个无限数列，若对于一个给定的正整数k，不等式2nknknaaa−++对每一个大于k的正整数n都成立，则称na是k阶友好数列．（1）若23(1)n

nann=++−，证明：na是2阶友好数列，但不是1阶友好数列．（2）若na是1阶友好数列，nS为数列na的前n项和．证明：①2121nnaaaa++−−；②()122(2)2nnnaaS++

++．2025届高三12月大联考（新课标卷）数学・全解全析及评分标准阅卷注意事项：1．阅卷前请各学科教研组长，组织本学科改卷老师开会，强调改卷纪律，统一标准。2．请老师改卷前务必先做一遍试题，了解自己所改试题的答案、评分细则、答题角度后，再开始改卷。3．请

老师认真批阅，不可出现漏改、错改现象，如果不小心漏改或错改了，可以点击回评按钮重评。4．成绩发布后，如果有学校反馈错评乱评，平台定位阅卷老师，进行通报批评。5．解答题要在学生的答案中找寻有用的文字说明、证明过程或演算步骤，合理即可给分。6．解答题不要只看结

果，结果正确，但中间的文字说明、证明过程或演算步骤无法建立有效衔接的，不能给满分；同样，结果错误，但正确写出相应的文字说明、证明过程或演算步骤应给分，因第（1）问中结果算错，使后面最终结果出错（过程列式正确），不宜重复扣分。7．阅卷平台出现的相关问题，如果刷新页面重新登录未能解决

，请将问题反馈给学校负责技术的老师（或考试负责人），由其统一在技术QQ群里反馈问题并协助解决。1234567891011DBACBCAAACDBCABD一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．D【解析】因为

2555{2,1,0,1,2}Axxxx==−=−−ZZ∣∣，{1,0,2,3}B=−，所以{1,0,2}AB=−．故选D．2．B【解析】因为1z与24iz=−在复平面内对应的点关于实轴对称，24iz=−在

复平面内对应的点为()2,4−，所以1z在复平面内对应的点为()2,4，所以124iz=+，所以()()()()124i1i24i13i1i1i1i1iz+++===−+−−−+．故选B．3．A【解析】由题意，知该圆锥底面圆的半径为a，设该圆锥的母线长为l，高为h

．由2al=，得2la=，3ha=，所以该圆锥的体积2313333Vaaa==．故选A．4．C【解析】因为0,2，所以,636−−．又3sin65−=−，所以4cos65−=

，所以242372sinsinsincoscossin12464646252510+=−−=−−−=−−=

．故选C．5．B【解析】设(),2OPaxx==−，4,OQbyy==，得点P在直线2yx=−上运动，点Q在函数4yx=的图象上运动．作出直线2yx=−与函数4yx=的图象，如图，知当()1,1a=，()2,2b=时，min2ab−=．故选B．6．C【解析】对于A，令1x=

−，22x=−，则()()123fxfx+=−，12226xx+=−，不满足条件，舍去；对于B，令120,1xx==，则()()123fxfx+=，12222xx+=，不满足条件，舍去；对于C，因为()()2ln12fxxx=+，所以()()

121222fxfxxx++，满足条件；对于D，令10x=，23x=，则()()12129,226fxfxxx+=+=，不满足条件，舍去．故选C．7．A【解析】设函数()fx的最小正周期为T，由题意，得

32222T===，所以23=．又()()212sin2sin23f=+=+=，所以()2232kk+=+Z，()26kk=−Z．又2，所以6=−，()22sin36fxx=−

，所以()()()22212sin12sin2cos36323gxfxxxx=+=+−=+=．求函数()214yxgxx=−−在区间3,3−上的零点个数，当0x=时，0y；当0x时，

问题转化为求曲线()ygx=与曲线14yxx=+的交点个数．当(0,3]x时，取12x=，得12cos123g==，111114242yxx=+=+=，所以曲线()ygx=与曲线14yxx=+在区间()0,2上有2个交点，区间2,3上无交点；当[3,0)x−时，取32x

=−，得()313152cos2,23242342gyxx−=−=−=+=−+=−−−，结合图象，知曲线()ygx=与曲线14yxx=+在[3,0)−上有2个交点，所以函数()

214yxgxx=−−在区间3,3−上的零点个数为4．故选A．8．A【解析】由函数()lnxfxx=，得当1x时，()lnxfxx=，()21lnxfxx−=，所以()fx在()1e,上单调递增，在()e,+上单调递

减，所以()fx在()1,+上的最大值为()1eef=．当01x时，()lnxfxx=−，()2ln1xfxx−=，所以()fx在()0,1上单调递减．又()()ln4ln24242ff===，()1

2eeff=，31ln3e22，所以()()()()10ln3e24effff=，所以acb．故选A．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9

．ACD【解析】对于A，由540%2=，知数据5，8，10，12，13的第40百分位数为81092+=，故A正确；对于B，由正态曲线的对称性，知1=，所以()120.14210.360.352PX

−−==，故B错误；对于C，由021820CC10.5Cnn−，得()()2019190nn−−．又n为正整数，计算得n的最小值为6，故C正确；对于D，易知新数据的平均数仍为6，由方差公式22

211niisxxn==−，得622111066iix==−，解得621276iix==，则新数据的方差()2222131276576884s=++−=，故D正确．故选ACD．10．BC【解析】由()3212fxaxxx=+−，得()231fxaxx

=+−．由102f=，得23a=，经检验，满足题意，所以()322132fxxxx=+−，()()()221211fxxxxx=+−=−+，所以()fx在(),1−−和1,2+

上单调递增，在11,2−上单调递减．对于A，由11,31ttt+−+或13,231,ttt+得2t−或1162t，故A错误；对于B，令()0fx=，得10x=，231058x−−=，331058x−+=，故B正

确；对于C，结合()fx的单调性及()423f−=−，17224f=−，得当2,1x−时，()min43fx=−，故C正确；对于D，由()322132fxxxx=+−，得()322111111326f=+−=，32323133232222f

−=−+−−−=38，所以()312ff−，不满足()312fxfx+−在R上恒成立，故D错误．故选BC．11．ABD【解析】对于A，当射线OT与x轴非负半轴重合时，M点与原点重合，此时0Mx=

，但A，B两点不重合，所以等号取不到．当射线OT的倾斜角从0逐渐趋近于2时，M点位于直线2x=左侧且无限趋近于该直线，即()0,2Mx，故A正确；对于B，由题图，知2cosOA=，2cosOB=，所以222sin2coscos

cosrOBOA=−=−=，故B正确；对于C，设(),Mxy，则sinyr=，cosxr=，代入22sincosr=，得222xry=．又222rxy=+，代入整理，得322xyx=−，故C错误；对于D，设()00

,Mxy，()00,2x，则320002xyx=−①，设过点M且与直线OM垂直的直线方程为()0000xyyxxy−=−−，即()0000xyxxyy=−−+，与28yx=−联立，得2220000008yxyyyxx+−+=，结合①，得()()3

302300222000000022200002220222xxxyxxyxyxxxxx−−−−+−=−===，所以过点M且与OM垂直的直线必与抛物线28yx=−相切，故D正确．故选ABD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．

14【解析】由()()1exfxx=+，得()()2exfxx=+，则()02f=．又()01f=，所以所求切线方程为21yx=+．又切线与x轴、y轴分别交于点1,02−，()0,1，所以所求的三角形面积1111224S==．故填14．13．807

29【解析】由题意，得若比赛局数为6，最终比分为4：2，则前两局双方各胜一局，第3，4局双方各胜一局，最后两局甲全胜或乙全胜，所以()222121221211806443333333333729PX==

+=，所以()806729PX==．故填80729．14．62【解析】由题意及()max2sin3MPN=，得()max25tan5MPN=．经计算，得21bMFc=，221acNFc+=．设

(),Pcy−，由对称性，不妨设0y，则21tanbMPFcy=，221tanacNPFcy+=，()()22221122222222tantan1acbaccycyMPNNPFMPFacbbaccycycyy+−=−==++++()222222

2222acabaccbac=++，当且仅当22bacyc+=时等号成立，所以222255abac=+，所以()()4222254acaca=−+，即4494ac=，解得494e=，所以62e=．故填62．说明：1．第12题填0.25，也给5

分．2．第14题若填32，不给分．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）【解析】（1）由题意及余弦定理，得222213cos223bcbcaAbcbc+−===，（2分）所以22sin3A=．（3分）由3sin4cosAB=，得32cossi

n42BA==．（5分）又()0,B，所以4B=．（6分）（2）由（1），得()2221242sinsinsincoscossin32326CABABAB+=+=+=+=，（8分）所以22242::sin:sin:s

in::326abcABC+==．又422abc++=+，所以22a=，322b=，222c=+，（11分）所以ABC的面积12sin222SabC==+．（13分）说明：第（1）问：1．写出余弦定理给1分，写出

1cos3A=给1分．2．3分段指写出22sin3A=．3．5分段指写出2cos2B=．4．6分段指写出4B=．第（2）问：1．8分段指写出42sin6C+=．2．11分段指写出22a=，322b=，222c=+．3．13分段指写出ABC的面积12sin222SabC==+．16．

（15分）【解析】（1）由题意，得22222412,122,2,1,2abcbabcca+===+（3分）解得5,2,1,abc===（4分）所以椭圆的标准方程为22154xy+=．（5分

）（2）由（1），知()11,0F−，延长1AF交椭圆于点B，由12//AFCF及对称性，知12BFCF=，（6分）所以1211111111ABAFCFAFBFAFBF+=+=．（7分）当直线AB的斜率不存在

时，易得11455AFBF==，则121152AFCF+=．（8分）当直线AB的斜率存在且不为零时，设其方程为()1ykx=+，由()221,1,54ykxxy=++=得()222254105200kxkxk+++−=，()()()()22

2221045452032010kkkk=−+−=+，（9分）设()11,Axy，()22,Bxy，根据根与系数的关系，得2122212210,54520,54kxxkkxxk+=−+−=+（10分）所以2121ABkxx=+−（11分）()()22

2222224520851101545454kkkkkkk−+=+−−=+++，（12分）()()222211121212216111111154kAFBFkxkxkxxxxk+=++++=++++=+，（1

3分）所以()()2221211285111554216154kABkAFCFAFBFkk+++===++．（14分）综上，1211AFCF+为定值52．（15分）说明：第（1）问：1．3分段指列出关于a，b，c的方程组与不等关系．2．4分段指求出a，b，c的值．3．5分段指写出椭

圆的标准方程为22154xy+=．第（2）问：1．6分段指写出12BFCF=．2．7分段指写出等式1211111111ABAFCFAFBFAFBF+=+=．3．8分段指当直线AB的斜率不存在时，求出121152AFCF+=．4．9分段指当直线AB的斜率存在且不为零时，

得到()222254105200kxkxk+++−=，0．5．10分段指根据根与系数的关系写出2122212210,54520.54kxxkkxxk+=−+−=+6．11分段指写出2121ABkxx=+−．7．12分段指写出

()2285154kABk+=+．8．13分段指写出()211216154kAFBFk+=+．9．14分段指当直线AB的斜率存在且不为零时，写出121152AFCF+=．10．15分段指写出综上，1211AFCF+为定值52．17

．（15分）【解析】（1）()fx的定义域为()0,+，（1分）当12t=时，()212ln12fxxx=−+，()22xfxx−=（2分）易得()fx在()0,2上单调递增，在()2,+上单调递减，（3分）所以()()2ln21fxf=．（4分）（2）令()()()2

22ln121gxfxtxxtxtx=+=+−++，则()0gx在()0,+上恒成立．求导，得()()()2111xtxgxx+−+=，（6分）当1t时，()0gx在()0,+上恒成立，所以()gx在()0,+

上单调递增．又()130gt=，不符合题意，舍去．（8分）当1t时，()gx在10,1t−上单调递增，在1,1t+−上单调递减，所以()()max111212ln12ln1111111tg

xgtttttt==+++=−−+−−−−−−，（10分）只需()12ln1101tt−−+−−即可．（11分）设()()()12ln1111hxxxx=−−+−−，则()()221011h

xxx=+−−，（12分）所以()hx在(),1−上单调递增．又()00h=，所以当0x时，()0hx恒成立，所以0t．（14分）又tZ，所以t的最大值为-1．（15分）说明：第（1）问：1．1分段指写出()fx的定义域为()0,+．2．2分段

指写出()22xfxx−=．3．3分段指写出()fx在()0,2上单调递增，在()2,+上单调递减．4．4分段指写出()()2ln21fxf=．第（2）问：1．6分段指构造函数()gx并正确求导，同时对分子因

式分解，若求导正确但没有因式分解也给1分．2．8分段指写出当1t时不符合题意的情形．3．10分段指写出当1t时，求出()()max12ln111gxtt=−−+−−．4．11分段指写出只需()12ln1101tt−−+−−

即可．5．12分段指构造函数()()()12ln1111hxxxx=−−+−−并正确求导，同时得到导函数的符号．6．14分段指根据函数()hx的单调性得到0t．7．15分段指根据tZ得到t的最大值为-1．18．（17分）【解析】因为2AC=，22AB=，3AD=

，D是BC的中点，所以2ADABAC=+，（1分）两边平方，得22242ADABACABAC=++，即12842ABAC=++，得0ABAC=，所以ABAC⊥．（2分）又AP⊥平面ABC，所以AB，AC，AP两

两垂直．如图，以A为原点，AB，AC，AP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0A，()22,0,0B，()0,2,0C，()0,0,2P，()22,2,0E，()2,0,1

M．（3分）（1）易得()2,2,1ME=−，()22,2,0BC=−，所以()()22222100MEBC=−++−=，（4分）所以MEBC⊥．（5分）（2）由题意，知平面AMB的一个法向量是()0,1,0m=．（6分）易得()22,2,0AE=，

()2,0,1AM=．设平面AME的法向量是(),,nxyz=，则0,0,nAEnAM==即2220,20,xyxz+=+=（7分）令1x=，得2yz==−，所以平面AME的一个法向量是()1,2,2n=−−，（8分）所以210cos,515mn−==−，（9分）

由图，知二面角BAME−−为锐角，所以二面角BAME−−的余弦值为105．（10分）（3）因为点N，Q分别是直线AE，PC上的动点，设()ANkAEk=R，(),,NNNNxyz，则()(),,22

,2,0NNNxyzk=，所以()22,2,0Nkk．（12分）设()PQtPCt=R，(),,QQQQxyz，则()(),,20,2,2QQQxyzt−=−，所以()0,2,22Qtt−，（14分）所以()()()222222222038222222128884123355tNQkkttkk

tttkt=+−+−=−+−+=−+−+，（16分）所以当15k=，35t=时，NQ取得最小值，为2105．（17分）说明：第（1）问：1．1分段指写出2ADABAC=+．2．2分段指写出ABAC⊥．3．3

分段指建立空间直角坐标系并正确写出相关点的坐标．4．4分段指写出0MEBC=．5．5分段指写出MEBC⊥．第（2）问：1．6分段指写出平面AMB的一个法向量是()0,1,0m=．2．7分段指写出0,0,nAEnAM==即2220,20

.xyxz+=+=3．8分段指写出平面AME的一个法向量是()1,2,2n=−−．4．9分段指写出10cos,5mn=−．5．10分段指写出二面角BAME−−的余弦值为105．第（3）问：1．12分段指写出()22

,2,0Nkk．2．14分段指写出()0,2,22Qtt−．3．16分段指写出222222038128884123355tNQkktttkt=−+−+=−+−+，若没有正确配方给1分．4．17分段指写出NQ取得最小值为2105．19．（

17分）【解析】（1）因为()231nnann=++−，所以要证na是2阶友好数列，只需证不等式222nnnaaa−++对每一个大于2的正整数n都成立，（1分）只需证()()()()()()()2222

223212321231nnnnnnnnn−+−+−+−+++++−++−对每一个大于2的正整数n都成立，（2分）只需证()()222222nnn−++，即80对每一个大于2的正整数n都成立，（4分）

这是显然成立的，所以na是2阶友好数列．（5分）又13a=，211a=，317a=，所以1322aaa+，所以na不是1阶友好数列．（6分）（2）因为na是1阶友好数列，所以112nnnaaa−

++对每一个大于1的正整数n都成立，即11nnnnaaaa+−−−对每一个大于1的正整数n都成立．（10分）令1nnndaa+=−．①由上述过程，知1nndd−，所以1121nnnddddd+−

，所以2121nnaaaa++−−．（11分）②要证()()12222nnnaaS++++，只需证()()()()11121122222nnnanadddaaa++++++++++++，只需证()()()

()()111211111121222nnnanadddaadaddd+++++++++++++++++，即证()()()1123242nnndndndndnd++−+−++−（*）．（12分）当n为奇数时，即证()()()()()11231132240nnnnnnddnd

dndddd+−++−+−−+−−++−，由1nndd−，得110ndd+−，20ndd−，310ndd−−，13220nndd++−，此时（*）式显然成立．（14分）当n为偶数时，即证()()()()()112312222420nnnnnnddnddndddd+−+

−+−−+−−++−，由1nndd−，得110ndd+−，20ndd−，310ndd−−，2220nndd+−，此时（*）式也显然成立，（16分）所以()()12222nnna

aS++++．（17分）说明：第（1）问：1．1分段指写出将要证结论转化为只需证不等式222nnnaaa−++对每一个大于2的正整数n都成立．2．2分段指将na，2na−，2na+代入上式．3．4分段指写出只需证()()222222

nnn−++，即80对每一个大于2的正整数n都成立．4．5分段指写出na是2阶友好数列．5．6分段指给出反例证明na不是1阶友好数列．第（2）问：1．10分段指写出11nnnnaaaa+−

−−对每一个大于1的正整数n都成立．2．11分段指根据累加法得到2121nnaaaa++−−．3．12分段指写出()()()1123242nnndndndndnd++−+−++−（*）．4．14分段指写出当n为奇数时（*）式成立，若只写出两两分组给1分．5．

16分段指写出当n为偶数时（*）式成立，若只写出两两分组给1分．6．17分段指写出()()12222nnnaaS++++．