【文档说明】湖南省长沙市名校2022届高三上学期第一次月考数学试题 含答案.docx，共(14)页，872.517 KB，由管理员店铺上传

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长沙市名校2022届高三上学期第一次月考数学本试卷共8页．时量120分钟．满分150分．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合1,0,1,2A

=−，集合128|xBx=，则AB=（）A．1,1−B．1,2C．0,1,2D．1,2,3★2．设复数z满足21izi=−+则z=（）A．1B．2C．12D．22★3．对具有线性相

关关系的变量x，y，测得一组数据如下：x24568y2040607080根据上表，利用最小二乘法得它们的回归直线方程为ˆ105yxa=+．，据此模型预测当20x=时，y的估计值为（）A．210.5B．211C．211.5D．2124．过抛物线，22(0)ypxp=的焦点F作斜率大

于0的直线l交抛物线于A，B两点（A在B的上方），且l与准线交于点C，若4CBBF=，则||||AFBF=（）A．2B．3C．53D．525．公元前3世纪，古希腊欧几里得在《几何原本》里提出：“球的体积（V）与它的直径（D）的立方成正比”，此即3VkD=，欧几里得未给出k

的值．17世纪日本数学家们对球的体积的方法还不了解，他们将体积公式3VkD=中的常数k称为“立圆率”或“玉积率”．类似地，对于等边圆柱（轴截面是正方形的圆柱），正方体也可利用公式3VkD=求体积（在等边圆柱中，D表示底面圆的直径；在正方体中，D表示棱长）．假设运用此体积公式求得球奖（直径为a），

等边圆柱（底面圆的直径为a），正方体（棱长为a）的“玉积率”分别为123kkk、、，那么123:kkk=:（）A．::232B．::264C．::132D．::1646．已知(0,)2a且212cos7sin240+−=，若()tan3+=，则ta

n=（）A．113−或7−B．711−或1C．1D．113−7．某电视台的夏日水上闯关节目一共有三天，第一关与第二关的过关率分别为23,34只有通过前一关才能进入下一关，每一关都有两次闯关机会，且通过每关相互独立．一选手参加该节目，则该选手能进人第三关的概

率为（）A．12B．56C．89D．1516★8．已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=的左，右焦点分别为1F、2F，过点2F作倾斜角为的直线l交双曲线C的右支于A，B两点，其中点A在第一象限，若1ABAF=，且双曲线C的离心率为2．则cos=（

）A．14B．13C．23D．12二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．已知函数()3cos(2)13fxx=++，则下列关于()f

x的说法正确的是（）A．最大值为4B．在5(,)412上单调递减C．(,1)6是它的一个对称中心D．6x=−是它的一条对称轴10．已知不等式20(0)xaxba++的解集是|xxd，则下列四个结论中正确的是（）A．24ab=B．214ab+C．若

不等式20xaxb+−的解集为()12,xx，则120xxD．若不等式2xaxbc++的解集为()12,xx，且124xx−=，则4c=11．如图已知P是半径为2，圆心角为3的一段圆弧AB上的一

点，若2ABBC=，则PCPA的值可以是（参考数据1336.60）（）A．2−B．1−C．0D．112．如图所示，在矩形ABCD中，2,1ABBC==，E为CD上一动点，现将BEC沿BE折起至BEF，在平面FBA内作FGAB⊥，G为垂足．设,CEsBGt==，则下列说

法正确的是（）A．若BF⊥平面AEF，则12t=B．若AF⊥平面BEF，则23s=C．若平面BEF⊥平面ABED，且1s=，则12t=D．若平面AFB⊥平面ABED，且32s=，则34t=三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若

()()ln1xfxekx=++是偶函数，则k=_________．14，已知直线:30lmxy+−=与圆22(1)(2)4xy−+−=交于A，B两点，过A，B分别做l的垂线与x轴交于C，D两点，若4AB=，则CD=_________．15．设函数ln()xfxaxx=−，若曲线(

)yfx=在1x=处的切线经过点()2,1−．则实数a的值为＿＿＿＿；()fx在1,ee（e为自然对数的底数，271828e=．）上的最小值为_________．16．在数列na中，对任意*,nnNak=，当且仅当122,kknkN+，若满足24816+5

2mmmmmaaaaa+++，则m的最小值为_________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）在ABC中内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知2,7ab==，面积3cos2SacB=，求cosC的值．★1

8．（本小题满分12分）比知数列na满足：1320,8nnaaa+−==（1）求数列na的通项公式；（2）设nnnba=数列nb的前n项和为nT．若22021nTm−对*nN恒成立．求正整数m的最大值．1

9．（本小题满分12分）设甲、乙两位同学在高中年级上学期间，甲同学每天6：30之前到校的概率均为23，乙同学每天6：30之前到校的概率均为34，假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立．（1）设A为事件“上学期间的五天中，甲同学在6：30之前到校的天数

为3天”，B为事件“上学期间的五天中，甲同学有且只有一次连续两天在6：30之前到校”，求在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，（2）甲、乙同学组成了学习互助小组后，若某天至少有一位同学在6：30之后到校，则之后的一天甲，乙同学必然同时在6：30之前到校，在

上学期间的五天，随机变量Y表示甲、乙同学同时在6：30之前到校的天数，求Y的分布列与数学期望．20．（本小题满分12分）如图，在ABC中，2,120ACBCACB===．O为ABC的外心，PO⊥平面ABC，且6PO=．（1）求证：//BO平面PAC；（2）设平面PAO

平面PBCl=；若点M在线段PC上运动，且PMPC=，当直线l与平面ABM所成角取最大值时，求的值21．（本小题满分12分）设椭圆22:195xyC+=长轴的左，右顶点分别为A，B．（1）若P、Q是椭圆上关于x轴对

称的两点，直线,APBQ的斜率分别为()1212,0kkkk，求12kk+的最小值；（2）已知过点()0,3D−的直线l交椭圆C于M、N两个不同的点，直线,AMAN分别交y轴于点S、T，记,DSDODTDO==（O为坐标原点），当直线1的倾斜角为锐角时，求+的取值

范围．22．（本小题满分12分）已知函数221()22xxfxxxe=+−（271.828e=是自然对数的底数）．（1）设0,4x，求()fx的最小值；（2）讨论关于x的方程211()2||()l2nxfxxxaaRexx−++=的根的个数，长沙市名校20

22届高三上学期第一次月考数学参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．题号12345678答案CBCCDDBA1．C【解析】由函数2xy=单调递增，不等式03222x解得03x，即集合

03|Bxx=，则0,1,2AB=．故选C．2．B【解析】因为2i2i(i1)1i1i(i1)(i1)z+===−−+−+，所||2z=．故选B3．C【解析】2456820406070805,5455xy

++++++++====，将5,54xy==代入105yxa=+．得5452515a=−=．．，则ˆ10515yx=+．．，当20x=时，10520152115y=+=．．．，应选答案C4．C【解析】分别过A，B作准线的垂

线，垂足分别为11,AB，设,BFxAFy==，则11||||||||||BBAABFBCBCAC==，144yyxx=++，|||53|AFyBFx==故选C．5．D【解析】由题意得球的体积为3331144()33266aVa

Rk====；等边圆柱的体积为22322()244aVaaRka====；正方体的体积3331Vak==，所以123::::164kkk=，故选D．6．D【解析】由212cos7sin240+−=，得224cos7sincos2sin0

+−=，所以22tan7tan40−−=，求得tan12=−（舍），tan4=．又tan()tan3tantantan()1tan()tan13tana+−−=+−==+++，将tan4=的值代入上式可得：1tan13=−．故选D

．7．B【解析】该选手闯过第一关的概率为121283339P=+=，闯过第二关的概率为23131544416P=+=，所以该选手能进入第三关的概率为81559166P==．故选B8．A【解析】由双

曲线的定义知，122AFAFa−=，∵1ABAF=，∴121AFBFAF+=，即1222AFAFBFa−==，∴1224BFBFaa=+=，在12BFF中，由余弦定理知，2222121212||||||cos2||||BFFFBFBFFF+−=，2222244163cos2222

acacaacac+−−==∵4312,cos44cea−====，故选A．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分

选对的得2分．题号9101112答案ADABDABCAC9．AD【解析】由()3cos(2)13fxx=++，∴()fx的最大值为4，所以A正确；因为当5(,)412x时，572(,)366x+，()fx不是单调函数，所以B错误；因为(,1)6不在()yfx=图

象上，所以不是其对称中心，所以C错误；因为()46f−=为函数的最大值，所以6x=−对称轴，所以D正确，故选AD．10．ABD【解析】由题意．240ab=−=，∴24ab=，所以A正确；对于B：2222214424aa

abaa+=+=等号当且仅当224aa=，即2a=时成立，所以B正确；对于C：由韦达定理，知21204axxb=−=−，所以C错误；对于D：由韦达定理，知21212,4axxaxxbcc+=−=−=−，则222121212||()44()

244axxxxxxacc−=+−=−−==，解得4c=，所以D正确；故选ABD．11．ABC【解析】以圆心为原点，平行AB的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则(1,3),(2,3)AC−设2(2cos2sin),33,P，则(22cos,32s

in)(12cos,32sin)PCPA=−−−−−=52cos43sin5213sin()−−=−+，且330tan,0636=，536+，∵sin()y=+在(,32]递增，

在[5,)26递减，∴当2=−时，PCPA最小值为5213−，当23=时，PCPA的最大值为2252cos43sin033−−=，则5213,0PCPA−所以ABC正确，D错误，故选ABC12

．AC【解析】对于A，若BF⊥平面AEF，则BFAF⊥，在RtBGF中，2,1ABBFBC===，则,360AFABF==，FG是三角形的高，则1cos602tBGBF===所以A正确；对于B，若AF⊥平面BEF，则有,AFBFAFEF⊥⊥，则3

AF=，在RtAEF中，22222AFEFAEADDE+==+，即2222(3)(2)1ss+=−+，解得12s=，所以B错误；对于C，若平面BEF⊥平面ABED，作FHBE⊥，垂足为H，因为平面BEF平面ABEDBE=，所以FH⊥平面ABED，从而FHA

B⊥，又ABFG⊥，所以AB⊥平面FHG，从而ABHG⊥，因为1s=，所以在等腰直角三角形FEB中，22BH=，所以在等腰直角三角形BGH中，12tBG==，所以C正确；对于D，若平面AFB⊥平面ABED，平面AFB平面ABEDAB=，又ABFG⊥，故FG⊥平面ABED，所以FGBE⊥

，作FHBE⊥，垂足为H，从而有BE⊥平面FGH，从而BEHG⊥，从而有C，H，G三点共线，则90CGBGCB+=，又90EBCGCB+=，故CGBEBC=，又90GBCBCE==，所以~RtCBGRtECB，故BGCBCBEC=，因为31,2CBsEC===，所以23t

BG==，所以D错误；故选AC．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．12−【解析】∵()fx是偶函数，∴1(1)(1),ln(1)ln(1)ffkeke−=+−=++，12k=−经检验12k=−符合题意，故答案为12−．14．42【解析】

圆22(1)(2)4xy−+−=，圆心()1,2，半径2r=，∵4AB=，∴直线:30lmxy+−=过圆心()1,2，∴230m+−=，∴1m=，∴直线:30lxy+−=，倾斜角为135，∵过A，B分别做l的垂

线与x轴交于C，D两点，∴442sin4522ABCD===．15．11ee−−【解析】函数ln()xfxaxx=−，则()fx定义域为()0,+，22ln1()xaxfxx−−=．由题设(1)(1)(1)12ff−−=−，解得1a=．从而22(1)()ln

xfxxx−−=；当01x时，()0,1fxx时，()0fx．可知()fx在1,1e单调递增．在1,e上单调递减．又111()()feefeeee=−=−−，所以()fx在1,ee上的最

小值为11()feee=−−．16．512【解析】不妨设1*22,,kkmkNmN+，由题意可得，mak=，因为12222,kkmkN++，所以21mak=+，同理可得，48162,3,

4mmmakakak=+=+=+，…所以()()()()248161234510mmmmmaaaaakkkkkk++++=++++++++=+，因为2481652mmmmmaaaaa++++，所以51052k+，解得425k

，又kN，所以k的最小值整数解为9，故m的最小值为92512=．故答案为：512．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．【解析】由三角形面积公式1sincos322BBacac=，则tan3B=，∵()0,B，∴60B=4分（法一）由正弦

定理sinsinabAB=得，sinsin3221277abBA===．又由27ab==得AB，所以227cos1sin7AA=−=，8分所以()coscoscoscossinsinCABABAB=−+=−+2712137727214=−+=10分（法二）由余弦定理得222

2222222cos60(7)cosBbacaccc=+−=+−=，即2230cc−−=，解得1c=−（舍）或3c=，8分由余弦定理得4797cos14227C+−==．10分18．【解析】（1）因为数列na满足：1320,8nnaaa+−==，所以12nnaa+=，

设na的公比为q，可得2q=，4分又38a=，即148a=，解得12a=，4分所以2nna=；5分（2）2nnnnnba==，6分231232222nnnT=++++，2341112322222nnnT+=++++，7分上面两式相

减可得231111122222nnnnT+=++++−111(1)221212nnn+−=−−，8分化简可222nnnT+=−，9分因为111321220222xnnnnnnnTT++++++−=−−+=，10分所以nT递增，1T最小，且为12所以1220212m

−，11分解得2022m，则m的最大值为2021．12分19．【解析】（1）事件AB包含6种情况；甲同学第1、2、4天6：30之前到校；甲同学第1、2、5天6：30之前到校；甲同学第2、3，、5天6：30之前到校；甲同学第1、3、4天6：30之前到校；甲同学第1、

4、5天6：30之前到校；甲同学第2、4、5天6：30之前到校，故322116()6()()3381PAB==，又33252180()()()33243PAC==，所以()3(|)()5PABPBAPA==．5分（2）随机变量

Y的所有可能取值为2、3、4、5．则33411119(2)(),(3)3()3()282216PYPY=====+=，45511911(4)4()(),(5)()2232232PYY==+====.10分则随机变量Y的分布列为：Y234

5P1891693213211分则1991103()2345816323232EY=+++=12分20．【解析】（1）如图，连接OC，交AB于点D，O为ABC的外心，2,ACBCOAOBOC====，所以OACOBC≌，所

以1602ACOBCOACB===故OAC和OBC都为等边三角形，3分即四边形OACB为菱形，所以//OBAC又AC平面PAC，OB平面PAC，所以//BO平面PAC．5分（2）由（1）同理可知因为//BO平面POA，BC平面PBC，

平面PAO平面PBCl=，所以//BCl．6分如图所示：以点D为原点，,DADC，垂直平面ABC的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．则(3,0,0),,(3,0,0),(0,1,0),(0,1,6),(3,

1,0)ABCPBC−−=．设PMPC=所以(3,21,6(1)),(23,0,0)BMBPPMBA=+=−−=设平面ABM的法向量为,,)(nxyz=．2303(21)6(1)0BAxBMxyznn===+−+−=，得0(21)6(1)0x

yz=−+−=令6y=得21(0,6,)1n−=−．9分所以直线l与平面ABM所成角的正弦值为：22261sincos,21(3)16(2)1nBC==++−−，11分即当12=即点M是线段PC的中

点时，直线l与平面ABM所成角取最大值．12分21．【解析】（1）设点()00,Pxy，由椭圆的对称性知()00,Qxy，不妨令00y，由已知()()3,0,3,0AB−，则001200,33yykkxx−==

+−，显然有033x-，2分则0001220006339yyykkxxx+=+=+−−，22220000919955xyyx+=−=，则120103kky+=，4分因005y，所以120102533kky+=，当且仅当05y=时等号成立，即12kk+的最小值

为253．5分（2）当直线l的倾斜角为锐角时，设()()1122,,MxyNxy、，设直线():3,0lykxk=−，由223195ykxxy=−+=得22(59)54360kxkx+−+=，从而22(54)436(

59)0kk=−+，又0k，得23k，所以1212225436,9595kxxxxkk+==++，6分又直线AM的方程是：()1133yyxx=++，令0x=，解得1133yyx=+，所以点

S为1130,3yx+；直线AN的方程是：()22333yyxx=++，同理点T为2230,3yx+·所以()1212330,3,0,3,0,333yyDSDTDOxx=+=+=

++，因为,DSDODTDO==，所以12123333,3333yyxx+=+=++，8分所以()()()12121212121212122311833222333339kxxkxxyykxkxxxxxxxxx

+−+−−−+=++=++=++++++++()222223654231181019595223654921399595kkkkkkkkkkk+−−+++=+=−+++++++()()211010122

9911kkk+=−+=−+++11分∵23k，∴4,23+，综上，所以+，的范围是4,23．12分22．【解析】（1）由题意可求得()()()2222xxxxexxxfxxee−−−=+−=，1分因为1,0

,4xexxx+，当()0,2x时，()0fx，所以()fx在()0,2上单调递减，当()2,4x时，()0fx，所以()fx在()2,4上单调递增，3分所以0,4x时，()fx的最小值为()2422fe=−．4分（2）设221()|ln|()2|ln|,

(0,1)2xxxhxxfxxxaxaxxee=−−+−=−−+，令2xxye=，则212xxye−=，所以2xxye=在1(0,)2上递增，在1(,)2+递减．5分（i）当()1,x+时，ln0x，则2()lnxxhxxae=−−，所以22()(21)xxeh

xexx−=+−．因为2210,0xexx−，所以()'0hx，因此()hx在()1,+上单调递增．7分（ⅱ）当()0,1x时，ln0x，则2l(n)xxxhxae=−−−，则22()(21)xxehxexx−=−+−．因为2222

(1,),1,01,1xxxeeeexx，即21xex−−，又211x−，所以22()(21)0xxehxexx−=−+−，因此()hx在()0,1上单调递减．综合（i）（ⅱ）可知

，当()0,x+时，21()(1)hxaeh=−−，5分当2(1)0hea−=−−，即21ae−时，)(hx）没有零点，故关于x的方程根的个数为0，当2(1)0hea−=−−=，即21ae=−时，)(hx只有一个零点，故关于x的方程根个数为1，7分当2

(1)0hea−=−−，即21ae−时，①当()1,x+时，22lnln1()(n1l)xxhxaaaeexxx=−−−+−−，要使()0hx，可令ln10xa−−，即()1,axe++；9分②当()0,1x

时，121()lnln()ln12xxhxxaxeaxae−=−−−−−+−−−，要使()0hx，可令ln10xa−−−，即()10,axe−−，所以当21ae−时，()hx有两个零点，故关于x的方程根的个数为2，11分综上所述：当21ae−时，关于x的方程根的个数为0，当

21ae=−时，关于x的方程根的个数为1，当21ae−时，关于x的方程根的个数为2．12分