【文档说明】2021苏教版数学必修第二册课时分层作业：9.4　向量应用 .docx，共(10)页，216.418 KB，由小赞的店铺上传

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课时分层作业(十)向量应用(建议用时：40分钟)一、选择题1．若A(1，2)，B(2，3)，C(－2，5)，则△ABC的形状为()A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形C[AB→＝(1，1)，AC→＝(－3，3)，AB→·AC→＝0，即AB→⊥A

C→，故△ABC为直角三角形．]2．河水的流速为2m/s，一艘小船以垂直于河岸方向10m/s的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为()A．10m/sB．226m/sC．46m/sD．12m/sB[由

题意知|v水|＝2m/s，|v船|＝10m/s，作出示意图如图．所以小船在静水中的速度大小|v|＝102＋22＝104＝226(m/s)．]3．用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个物体，如图，已知物体重力大小

为10N，则每根绳子的拉力大小是()A．5NB．8NC．10ND．12NC[因绳子等长，所以每根绳子上的拉力和合力所成的角都等于60°，故每根绳子的拉力大小都是10N．]4．点O是三角形ABC所在平面

内的一点，满足OA→·OB→＝OB→·OC→＝OC→·OA→，则点O是△ABC的()A．重心B．外心C．内心D．垂心D[由OA→·OB→＝OB→·OC→＝OC→·OA→，可得OA→·OB→－OB→·OC→＝0，(OA→－OC→)·OB→＝0，即CA→·OB→＝0，CA→⊥OB

→，同理可证OC→⊥AB→，OA→⊥BC→.所以O是△ABC的垂心，即三条高的交点．]5．等腰直角三角形ABC中，C＝90°，且A(－1，2)，C(1，1)，则B的坐标为()A．(2，－1)B．(0，－1)C．(2，3)D．(0，－1)或(2，3)D[设B的坐标为(x，y)，则CB→＝

(x－1，y－1)，又AC→＝(2，－1)．由题意知|CB→|＝|AC→|，且CB→·AC→＝0，∴(x－1)2＋(y－1)2＝5，2(x－1)－(y－1)＝0，解得x＝0，y＝－1或

x＝2，y＝3.]二、填空题6．△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，AO→＝12(AB→＋AC→)，且|OA→|＝|AB→|，则BA→·BC→＝________.1[设BC的中点是D，如图所示，则AB→＋AC→＝2AD→，则AD→＝AO→，所以O和D重合，所以BC

是圆O的直径，所以∠BAC＝90°.又|OA→|＝|AB→|，则|BA→|＝1，|BC→|＝2，所以∠ABC＝60°，所以BA→·BC→＝|BA→||BC→|cos60°＝1×2×12＝1.]7．如图，平行四边形ABCD中，已知AD＝1，AB＝2，对角线BD＝

2，则对角线AC的长为________．6[∵AC→＝AB→＋AD→，∴AC→2＝AB→2＋AD→2＋2AB→·AD→，①又BD→＝AD→－AB→，∴BD→2＝AD→2＋AB→2－2AD→·AB→，②∴①＋②得AC→

2＋BD→2＝2(AB→2＋AD→2)．又AD＝1，AB＝2，BD＝2，∴AC＝6.]8．当两人提起重量为|G|的旅行包时，夹角为θ，两人用力大小都为|F|，若|F|＝|G|，则θ的值为________．120°[如图，|F1|＝|F2|＝|G

|2cosθ2.∵|F1|＝|F2|＝|G|，∴2cosθ2＝1，∴θ＝120°.]三、解答题9．如图在正方形ABCD中，P为对角线AC上任一点，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为E，F，连接DP，EF.求证：DP⊥EF.[证明]设正方形ABCD的边长为1，AE＝a(0<

a<1)，则EP＝AE＝a，PF＝EB＝1－a，AP＝2a.于是DP→·EF→＝(DA→＋AP→)·(EP→＋PF→)＝DA→·EP→＋DA→·PF→＋AP→·EP→＋AP→·PF→＝1×a×cos180°＋1×(1－a)×c

os90°＋2a×a×cos45°＋2a×(1－a)×cos45°＝－a＋a2＋a(1－a)＝0.所以DP→⊥EF→，所以DP⊥EF.10．已知四边形ABCD为平行四边形，点A的坐标为(－1，2)，点C在第二象限，AB→＝(2，2)，且AB→与AC→的夹角为π4，AB→·AC→＝2.(1

)求点D的坐标；(2)当m为何值时，AC→＋mAB→与BC→垂直．[解](1)设C(x，y)，D(a，b)，则AC→＝(x＋1，y－2)．∵AB→与AC→的夹角为π4，AB→·AC→＝2，∴AB→·AC

→|AB→||AC→|＝222＋22(x＋1)2＋(y－2)2＝22，化为(x＋1)2＋(y－2)2＝1.①又AB→·AC→＝2(x＋1)＋2(y－2)＝2，化为x＋y＝2.②联立①②解得x＝－1，y＝3或

x＝0，y＝2.又点C在第二象限，∴C(－1，3)．又CD→＝BA→，∴(a＋1，b－3)＝(－2，－2)，解得a＝－3，b＝1.∴D(－3，1)．(2)由(1)可知AC→＝(0，1)，∴AC→＋mAB→＝(2m，2m＋1)，BC→＝

AC→－AB→＝(－2，－1)．∵AC→＋mAB→与BC→垂直，∴(AC→＋mAB→)·BC→＝－4m－(2m＋1)＝0，解得m＝－16.1．在四边形ABCD中，若AB→＝DC→，且|AB→＋AD→|＝|AB→－AD→|，则四边形ABCD的形

状是()A．正方形B．菱形C．矩形D．梯形C[AB→＝DC→，∴AB→∥DC→，且|AB→|＝|DC→|，∴四边形ABCD是平行四边形，|AB→＋AD→|＝|AC→|，|AB→－AD→|＝|DB→|，∴|AC→|＝|DB→|，∴平行四边形是矩形．]2．已知BC是圆

O的直径，H是圆O的弦AB上一动点，BC＝10，AB＝8，则HB→·HC→的最小值为()A．－4B．－25C．－9D．－16D[以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，设点H(x，y)，则B(－5，0)，C(5，0)，所以HB→＝(

－5－x，－y)，HC→＝(5－x，－y)，则HB→·HC→＝(－5－x，－y)·(5－x，－y)＝x2＋y2－25，又因为AB＝8，且H为弦AB上一动点，所以9≤x2＋y2≤25，其中当取AB的中点时取得最小值，所以HB→·HC→＝9－25＝－16，故选D．]3．如图2，“

六芒星”由两个全等正三角形组成，中心重合于点O且三组对边分别平行．点A，B是“六芒星”(如图1)的两个顶点，动点P在“六芒星”上(内部以及边界)，若OP→＝xOA→＋yOB→，则x＋y的取值范围是()图1图2A．[－4，4]B．[－21，21]C．[－5，5]D．[－6，6]

C[如图建立平面直角坐标系，令正三角形边长为3，则OB→＝i，OA→＝－32i＋32j，可得i＝OB→，j＝233OA→＋3OB→，由图知当点P在点C时，有OP→＝3j＝2OA→＋3OB→，此时x＋y有最大值5，同理当点P在与C相对的下顶点时有OP→＝－3j＝－

2OA→－3OB→，此时x＋y有最小值－5.故选C．]4．已知△ABC中，AB＝AC＝3，D为边BC上一点，AB→·AD→＝6，AC→·AD→＝152，则AB→·AC→的值为________．92[以A为原点，以AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，设D(x，y)，则AD→＝(x，

y)，∵AB＝AC＝3，记∠BAC＝θ，∴A(0，0)，B(3，0)，C(3cosθ，3sinθ)，则AB→＝(3，0)，AC→＝(3cosθ，3sinθ)，∵AB→·AD→＝6，AC→·AD→＝152，∴3x＝6，3x

cosθ＋3ysinθ＝152，∴x＝2，2cosθ＋ysinθ＝52，又D为边BC上一点，∴BD→∥BC→，则()3cosθ－3y＋3sinθ＝0，即sinθ＝y(1－cosθ)，又θ∈(0，π)，∴y＝sinθ1－co

sθ，∴2cosθ＋sin2θ1－cosθ＝2cosθ＋1＋cosθ＝52，解得cosθ＝12，∴AB→·AC→＝9cosθ＝92.]5．在三角形ABC中，AB＝2，AC＝1，∠ACB＝π2，D是线段BC上一点，且BD→＝12DC→，f为线段AB上一点．(1)设AB→＝a，AC→＝b，设A

D→＝xa＋yb，求x－y；(2)求CF→·FA→的取值范围；(3)若F为线段AB的中点，直线CF与AD相交于点M，求CM→·AB→.[解](1)∵AD→＝AC→＋23CB→＝AC→＋23AB→－AC→＝23AB→＋13AC→＝23a＋13b，而AD→＝xa＋yb∴x＝23，y＝13∴x－

y＝13.(2)∵在三角形ABC中，AB＝2，AC＝1，∠ACB＝π2，∴∠CAB＝π3，BC＝3，∴CF→·FA→＝CA→＋AF→·FA→＝CA→·FA→＋AF→·FA→，①不妨设|AF→|＝x，x∈[]0，2.∴①式＝1×x×cosπ3－x2＝－x2＋12x，

x∈[]0，2，∴CF→·FA→∈－3，116.(3)∵f为线段AB的中点，∴CF→＝CA→＋12AB→＝12CA→＋12CB→，不妨设CM→＝λCF→，∴CM→＝λ2CA→＋λ2CB→，

∴AM→＝CM→－CA→＝λ2－1CA→＋λ2CB→，AD→＝23CB→－CA→.∵A，M，D三点共线．，∴AM→＝μAD→，即λ2－1CA→＋λ2CB→＝μ23CB→－CA→，∴λ2－1＝－μ，λ2＝23μ，∴λ＝45∴CM→＝25CA→＋2

5CB→.∴CM→·AB→＝25CA→＋25CB→·CB→－CA→＝25CB→2－25CA→2＝45.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com