【文档说明】辽宁省葫芦岛市2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题【精准解析】.doc，共(22)页，2.066 MB，由小赞的店铺上传

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葫芦岛市普通高中2019~2020学年第一学期高二数学一、单项选择题1.过点()3,2，斜率是23的直线方程是（）A.243yx=+B.223yx=+C.230xy−=D.320xy−=【答案】C【解析】【分析】直接由直线方程的点斜式写出直线方程，化为一般式得答案.【详解】解：∵

直线过点()3,2且斜率为23，由直线方程的点斜式得：22(3)3yx−=−，整理得：230xy−=.故选：C.【点睛】本题考查了直线的点斜式方程，考查了点斜式和一般式的互化，是基础题.2.下列可作为数列1，2，1，2，1，2，…的通项公式的是（）A

.()1112nna−+−=B.()312nna+−=C.2sin2nna=−D.()2cos1nan=−−【答案】B【解析】【分析】将232,1aa==代入排除可得结果.【详解】解：当2n=时，A，20a=；B，

22a=；C，22a=；D，23a=，故排除AD；当3n=时，B，31a=；C，33a=，故排除C；故选：B.【点睛】本题考查观察法求数列的通项公式，利用排除法可准确得到答案，是基础题.3.已知直线460xmy

+−=与直线()5180xmy−−+=垂直，则实数m的值为（）A.－4或5B.－4C.5D.4或－5【答案】A【解析】【分析】由两条直线互相垂直的条件，建立关于m的方程，解之即可得到实数m的值.【详解】解

：因为直线460xmy+−=与直线()5180xmy−−+=垂直，()4510mm+−−=，解得：5m=或4m=−，故选：A.【点睛】本题给出含有字母参数m的直线方程，在它们相互垂直的情况下求参数m的值.着重考查了两条直线相互垂直的充要条件，属于基础题.4.设1111ABCDA

BCD−是棱长为a的正方体，1AC与1BD相交于点O，则有（）A.2112ABACa=B.21ABACa=C.12ABAOa=D.21BCDAa=【答案】B【解析】【分析】将向量1,,ABADAA看成基底，然后用基底计算即可，注意它们的模长、夹角.【详解】解：在正方体1111ABCD

ABCD−中.对于A.2211()ABACABABADABABADa=+=+=，故A错误；对于B.222111()ABACABABADAAABABADABAAABa=++=++==，故B正确

；对于C.211111222ABAOABACABACa===，故C错误；对于D.22111()BCDAADAAADADAAADa=−=−=−，所以D错误.故选：B.【点睛】本题考查了空间向量的计算问题，突出基底

意识，即利用基底将涉及到的向量表示出来，然后进行计算.5.已知等差数列na的公差为()0dd，且568101140aaaaa++++=，若8ma=，则m的值为（）A.2B.4C.6D.8【答案】D【解析】【分析】根据5681011aaaaa+++

+中各项下标的特点，发现有51161028+=+=，优先考虑等差数列的性质去解.【详解】解：568101140aaaaa++++=，即()()511610840aaaaa++++=，根据等差数列的性质51161082aaaaa+==+得8540a=，88a=，∴8m

=故选：D.【点睛】本题考查了等差数列的性质.掌握等差数列的有关性质，在计算时能够减少运算量，是基础题.6.双曲线22221xyab−=（0a，0b）与抛物线28yx=有一个公共焦点F，双曲线上过点F且垂直实轴的弦长为22，则双曲线的离心率等于（）A.233B.32

2C.2D.3【答案】C【解析】【分析】先求出抛物线的焦点，可得双曲线的一个焦点坐标，再利用过点F且垂直于实轴的弦长为22，求出a，即可求得双曲线的离心率.【详解】解：抛物线28yx=的焦点坐标为()2,0，∴双曲线的一个焦点为()2,0.令2x=，代入双

曲线，可得22241yab−=，∴2bya=.∵过点F且垂直于实轴的弦长为22，2242,2baaa−==，0,2aa=，222eca===.故选：C.【点睛】本题考查抛物线的几何性质，考查双曲线的离心率，考查学生的计算能力，正确求弦长是关键.7.直线l：30kx

yk−−+=与圆228xy+=交于A，B两点，且||42AB=，过点A，B分别作l的垂线与x轴交于点M，N，则MN等于（）A.4B.42C.8D.82【答案】D【解析】【分析】根据直线与圆相交，圆228xy+=

可知：22r=，弦长为||422ABr==，说明直线过圆心，求解k的值.得到直线AB的倾斜角，根据三角形AOM和三角形BON是两个全等的直角三角形，22OAOB==，即可求出,OMON.即可得到MN的长度.【详解】解：由圆的方程228xy+=可知：圆心为()0,0，半径22r=，∵弦长为||

422ABr==，说明，直线过圆心，则有：30k−+=，解得3k=，直线AB的方程为：3yx=，则直线AB的倾斜角为60，三角形AOM和三角形BON是两个全等的直角三角形RtAOM中：||2||41

cos22602OAMO===，那么：||2|82|MNMO==，故选：D.【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系的运用，弦长的问题，是中档题.8.点M(5,3)到抛物线y＝ax2(a≠0)的准线的距离为6，那么抛物线的方程是（）A.

y＝12x2B.y＝12x2或y＝－36x2C.y＝－36x2D.y＝112x2或y＝－136x2【答案】D【解析】【分析】化简得到x2＝1ay(a≠0)，讨论a＞0和a＜0两种情况，利用点到准线的距离计算得到答案.【详解】抛物线标准方程为x2＝1ay(a≠0)当

a＞0时，开口向上，准线方程为y＝－14a则点M到准线的距离为3＋14a＝6，解得a＝112，则抛物线方程为y＝112x2；当a＜0时，开口向下，准线方程为y＝－14a，则点M到准线的距离为－14a－3＝6，解得a＝－136，则抛物线方程为y＝－136x2.综上所述：y＝1

12x2或y＝－136x2故选：D【点睛】本题考查了抛物线的标准方程，漏解是容易发生的错误.二、多项选择题9.若()1,,2a=−−，()2,1,1b=−，a与b的夹角为120，则的值为（）A.17B.－17C.－1D.1【答案】AC【解析】【分析】求出

ab，以及,ab，代入夹角公式cos,ababab=即可求出.【详解】解：由已知224ab=−−−=−−，22145,4116ab=++=+=++=，241cos120256abab−−===−

+，解得17=或1=−，故选：AC.【点睛】本题考查向量夹角公式的应用，是基础题.10.若P是圆C：()()22331xy++−=上任一点，则点P到直线1ykx=−距离的值可以为（）A.4B.6C.321+D.8【答案】ABC【解析】【分析】由题意画出图形，

求出圆心到直线1ykx=−距离的最大值，加半径可得点P到直线1ykx=−距离的最大值，观察选项大小得答案.【详解】解：如图，圆C：()()22331xy++−=的圆心坐标为()3,3−，半径为1，直线1ykx=−过定点()0,1−，由图可知，圆心

C到直线1ykx=−距离的最大值为22(30)(31)5−−++=，则点P到直线1ykx=−距离的最大值为516+=.ABC中的值均不大于6，只有D不符合.故选：ABC.【点睛】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查数形结合的解题思

想方法，是中档题.11.椭圆2251162xy+=上的一点P到椭圆焦点的距离的乘积为m，当m取最大值时，点P的坐标不可能为（）A.()4,0B.()0,5C.()4,0−D.()0,5−【答案】BD【解析】【分析】根据21212||||2PFP

FPFPF+，当12PFPF=时m最大，进而求出点P的坐标.【详解】解：记椭圆的两个焦点分别为12,FF，有12210PFPFa+==，则知21212||||252PFPFPFPFm+==，当且仅当125PFPF==，即点P位于椭圆的短轴

的顶点处时，m取得最大值25，∴点P的坐标为()4,0−或()4,0，故选：BD.【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程的性质，灵活运用椭圆的定义是解这道题的关键.12.已知数列na中，11a=，1111nnaann+−=+，*nN.若对于任意的1,2t，不等式()222

12natataan−−++−+恒成立，则实数a可能为（）A.－4B.－2C.0D.2【答案】AB【解析】【分析】变形条件可得11111nnaannnn+−=−++，利用累加法可求得122nann=−，将原不等式恒成立转化为()()210tata−−+

对于任意的1,2t恒成立，将ABCD选项中的数值代入验证即可得结果.【详解】解：111nnnaann++−=，11111(1)1nnaannnnnn+−==−+++，则11111nnaannnn−−=−−−，12111221nnaannnn−−−=−−−−−，，2111122a

a−=−，上述式子累加可得：111naann−=−，122nann=−，()222122tataa−−++−+对于任意的1,2t恒成立，整理得()()210tata−−+对于任意的

1,2t恒成立，对A，当4a=−时，不等式()()2540tt+−，解集5,42−，包含1,2，故A正确；对B，当2a=−时，不等式()()2320tt+−，解集3,22−，包含1,

2，故B正确；对C，当0a=时，不等式()210tt+，解集1,02−，不包含1,2，故C错误；对D，当2a=时，不等式()()2120tt−+，解集12,2−，不包含1,2，故D错误，故选：AB.【点睛】本题考查累加法求数列通项公式以及

不等式恒成立问题，将选项逐一代入验证可得准确得到答案，避免分类讨论，是中档题.三、填空题13.过点()3,5作圆C：()2221xyr−+=的切线有且只有一条，则圆C的半径为______.【答案】3【解析】【分析】根据题意说明点在圆上，代入点的坐标列方程求解即可.【详解】

解：由已知得点()3,5在圆C：()2221xyr−+=上，得()22315r−+=，3r=，故答案为：3.【点睛】本题考查直线和圆的位置关系，推出点在圆上是关键，是基础题.14.已知直三棱柱111ABCABC−中，1

20ABC=，2AB=，11BCCC==，则异面直线1AB与1BC所成角的正弦值为______.【答案】155【解析】【分析】先求出1AB、1BC的长度以及11ABBC，再利用公式111111cs,oABBCABBCABBC=求得夹角的余弦值，

进而可得正弦值.【详解】如图，由已知得2112215112,ABBC+=+===，()()1111ABBABBBBCCCC=++1111ABBCABCCBBBCBBCC=+++21cos6012=

+=，11111110,52cos52ABBCABBCABBC===，211sin11015,55ABBC=−=，故答案为：155.【点睛】本题考查异面直线的夹角问题，利用向量法可方便求出，关键是要将目标向量用知道夹角和

模的向量来表示出来，是中档题.15.在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线2214yx−=右支上的一个动点.若点P到直线250xy−+=的距离大于m恒成立，则实数m的最大值为______.【答案】5【解析】【分析】双曲线2214yx−=的渐近线方程为20xy

=，m的最大值为直线250xy−+=与直线20xy−=的距离.【详解】解：由题意，双曲线2214yx−=的渐近线方程为20xy=，由点P到直线250xy−+=的距离大于m恒成立，∴m的最大值为直线250xy−+=与渐近

线20xy−=的距离22|5|125d==+.故答案为：5.【点睛】本题考查双曲线的性质，考查两平行线之间的距离公式，考查学生的计算能力，属于中等题.16.“垛积术”（隙积术）是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一

类数列求和方法，有茭草垛、方垛、刍童垛、三角垛等等.某仓库中部分货物堆放成如图所示的“茭草垛”：自上而下，第一层1件，以后每一层比上一层多1件，最后一层是n件.已知第一层货物单价1万元，从第二层起，货物的单价是上一层单价的78，第n层的货物的价格为______，若这堆货物总价是764112

8n−万元，则n的值为______.【答案】(1).178nn−(2).6【解析】【分析】由题意可得第n层的货物的价格为178nnan−=，根据错位相减法求和即可求出.【详解】解：

由题意可得第n层的货物的价格为178nnan−=，设这堆货物总价是012177771238888nnSn−=++++，①，则12377777S123

88888nnn=++++，②，由①−②可得12311777771888888nnnSn−=+++++−717788(8)78818nnnnn−=−=−

+−，7648(8)8nnSn=−+，∵这堆货物总价是7641128n−万元，()88112,6nn+==，故答案为：178nn−；6.【点睛】本题考查了错位相减法求

和，考查了运算能力，以及分析问题和解决问题的能力，属于中档题.四、解答题17.知数列na是公差d不为0的等差数列，首项11a=，且248,,aaa成等比数列.（1）求数列na的通项公式；（2）设数列nb满足122nann

ba−=−，求数列nb的前n项和nT.【答案】（1）nan=（2）()121nnTnn=+−+【解析】【分析】（1）利用等差数列的通项公式列方程求出公差，进而可得通项公式.（2）利用分组法求出数列的和.【详解】（1）11a=，且248,,aaa成等比数列得()()()213

117ddd+=++，∴1d=nan=；（2）根据题意：122nnbn−=−，()()()011224222nnTn−=−+−++−()()0112462222nn−=++++−+++，()121nnTnn=+−+.【点睛】本题考查的

知识要点：数列的通项公式的求法及应用，利用分组法求出数列的和，是基础题.18.已知圆C：2240xyx++=，直线l：20axya+−=.（1）直线恒过点P，求点P的坐标；（2）当a为何值时，直线l与圆C相切；（3）当直线l与圆C相交于A，B两点，且||22AB=时，求直线l的方程.【答案】（1

）()2,0P（2）33a=（3）720xy+−=或720xy−−=【解析】【分析】（1）直l：20axya+−=的方程可化为()20axy−+=，可得直线l过定点P；（2）利用圆心到直线的距离等于半径，列方程求解；（3）根据弦长和半

径求出弦心距，然后利用点到直线的距离公式构建关于a的方程.【详解】（1）直线l：20axya+−=，可化为l：()20axy−+=，所以直线l恒过点()2,0P；（2）将圆C的方程2240xyx++=化成

标准方程为()2224xy++=，则此圆的圆心为()2,0−，半径为2.若直线l与圆C相切，则有220221aaa−+−=+，解得33a=；（3）直线l与圆C相交于A，B两点，且||22AB=，圆的圆心C()2,0−到直线的距

离22021aaa−+−+，222202221aaABa−+−−=+，解得77a=，故所求直线方程为720xy+−=或720xy−−=.【点睛】本题考查直线和圆的位置关系，第一问的关键是要a的系数为零；第二三问关键都是利用圆心到直线的距

离来解决问题，是基础题.19.已知椭圆C：()222210xyabab+=与双曲线M：2212xy−=有相同左右焦点1F，2F，且椭圆上一点P的坐标为13,2−.（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l过()0,2M且与椭圆C交于A，B两点，若0

OAOB，求直线l的斜率取值范围.【答案】（1）2214xy+=（2）332,,222−−【解析】【分析】（1）由已知可得焦点坐标，可得方程223ab−=，在利用点在曲线上可得(

)22221321ab−+=，解方程组即可；（2）设()11,Axy、()22,Bxy，l：2ykx=+，与2214xy+=联立，利用判别式和韦达定理，计算1212OAOBxxyy=+，列不等式求解k的取值范围.【详解】（1）因为椭圆C：(

)222210xyabab+=与双曲线M：2212xy−=有相同左、右焦点1F，2F，且椭圆上一点P的坐标为13,2−，所以()13,0F，()23,0F−故223ab−=，()22221321ab−

+=，解得24a=，21b=，所以椭圆C方程为2214xy+=；（2）由题意得直线l的斜率存在且不为0，设l：2ykx=+代入2214xy+=整理，得()221416120kxkx+++=，()()221641412kk

−=+()223164304kk=−①设()11,Axy，()22,Bxy，∴1221614kxxk+=−+，1221214xxk=+，12120OAOBxxyy=+，又()()()2121212122224yykxkxkxxkxx=++=

+++，∴()()212121212124xxyykxxkxx+=++++()()222224412161240141414kkkkkkk−=++−+=+++，∴24k②，由①、②得2344k，∴k的取值范围是332,,222

−−.【点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系，关键是韦达定理的应用，注意不要忽略判别式，是中档题.20.如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD是梯形，且//BCAD，2ADBC=，点Q是线段AD的中点，过BQ的平

面BQMN交平面PCD于MN，且PQAB⊥，APPD=，且120APD=，24BDAB==，30ADB=.（1）求证：//BQMN；（2）求直线PA与平面PCD所成角的余弦值.【答案】（1）证明见解

析（2）13319【解析】【分析】（1）先证明四边形BCDQ是平行四边形，可得//BQCD，则可证明//BQ平面PCD，再利用线面平行的性质定理证明//BQMN；（2）先证明QA，QC，QP两两垂直，则可建立

如图所示的空间直角坐标系Qxyz−，求出AP，再求出平面PCD的一个法向量，可得直线PA与平面PCD所成角的正弦值，进一步求解余弦值.【详解】（1）证明：因为//BCDQ且BCDQ=，所以四边形BCDQ是平行四边形，所以//BQCD，BQ平面PCD，CD平面PCD，所以//BQ平面PCD，B

Q平面BQMN，平面BQMN平面PCDMN=，所以//BQMN；（2）在ABD中，因为24BDAB==，30ADB=，所以由正弦定理sinsinABBDADBBAD=，即24sin30sinBAD=，所以sin1BAD=，∴90BAD=，∴

在RtBAD中tan30ABAD=所以23AD=，因为APD是等腰三角形，且120APD=，点Q是线段AD的中点，得3AQQD==，2PAPD==，tan301PQDQ==，在PAD中，PAPD=，Q为AD中点，所以PQAD⊥，又由已知PQAB⊥且ADAB

A=，故PQ⊥平面ABCD，又QC平面ABCD，所以PQQC⊥；在ABD中，由24BDAB==，30ADB=，可知ABAD⊥，易知四边形ABCQ为平行四边形，所以QCAD⊥，故QA，QC，QP两两垂直；所以建立如图所示的空间直角坐标系Qxyz−，则()3,0,0A，()0,2,

0C，()3,0,0D−，()0,0,1P，设平面PCD的一个法向量为(),,nxyz=，又()3,0,1DP=，()3,2,0CD=−−，所以00DPnCDn==，即30320xzxy+=−−=,令33x=−，解得12y=，1z=，所以31,,132n=−

为平面PCD的一个法向量，因为()3,0,1AP=−，设直线PA与平面PCD所成的角为，则()222223sin193113132APnAPn===−++−+，∴22237133cos1sin1191919=−=−==，故直线PA与平面PCD所

成角的余弦值为13319.【点睛】本题考查直线与直线平行的判定，空间直线与平面所成的角的计算，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解线面角，是中档题.21.已知数列na为等差数列，且满足20a=，612a=，数列nb的前n项和为nS，且11

b=，121nnbS+=+.（1）求数列na的通项公式；（2）证明：nb是等比数列，并求nb的通项公式；（3）若对任意的*nN，不等式12nnkSa+恒成立，求实数k的取值范围.【答案】（1）36na

n=−（2）证明见解析，13nnb−=，（3）2,9+【解析】【分析】（1）列方程求出数列na的公差，进而可直接求出其通项公式.（2）利用()112nnnnbbSS+−−=−，可得nb是等比数列，进而可求其通项公式；（3）代入nS和na，将12nnkSa

+恒成立，转化为()623nnk−对*nN恒成立，求出()623nn−的最大值，即可得实数k的取值范围.【详解】（1）设等差数列na的公差为d，∵62412aad−==，∴3d=，∴()22naand=+−，即36nan=−；（2）∵121nnbS+

=+，∴()1212nnbSn−=+，∴()112nnnnbbSS+−−=−，∴()132nnbbn+=，13nnbb+=（常数）又21213bS=+=，213bb=也成立，∴nb是以1为首项，3为公比的等比数列，∴13nnb−=；（3）1331132nnn

S−−==−，∴3113622nkn−+−对*nN恒成立，即()623nnk−对*nN恒成立，令23nnnc−=，112327333nnnnnnnncc−−−−−+−=−=，当3n时，1nncc−，当4n时，1nncc−，

∴()3max127ncc==，故3269kc=，即k的取值范围为2,9+.【点睛】本题考查数列的通项公式的求法及应用，等比数列的前n项和公式的应用，恒成立问题的求解，主要考查学生的运算能力和转换

能力及思维能力，属于中档题.22.已知点()2,0A−，()2,0B，动点(),Mxy满足直线AM与BM的斜率之积为12−，记M的轨迹曲线为E.（1）求E的方程，并说明E是什么曲线；（2）设过定点()2,0M−的直线l与曲线E相交于P，Q两点，若MPMQ=

，当11,32时，求OPQ面积S的取值范围.【答案】（1）()221||22xyx+=，E为中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆，不含左右顶点；（2）142,83【解析】【分析】（1）根据斜率之积为12−，设点坐标，表示出斜率，列式整理可得结果

；（2）设l：2xty=−，联立22212xtyxy=−+=，利用韦达定理和MPMQ=，可求出t的取值范围，利用121||2OMQOMPSSSOMyy=−=−求出面积表达式，利用单调性求其范围.【详解】（1）由题设得1222yyxx=−−

+，化简得()221||22xyx+=，所以E为中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆，不含左右顶点；（2）依题意，可设l：2xty=−，联立22212xtyxy=−+=得()222420tyty+−+=，设()11,Pxy，()22,Qxy，由，解得22t，且12242ty

yt+=+，12222yyt=+，且易知()2,0M−，由MPMQ=可得12yy=，∴()2222241222tytyt+=+=+，则221822tλλt++=+，∵11,32，∴9162

,231λλ++，∴229816223tt+，∴21847t，满足，∴121||2OMQOMPSSSOMyy=−=−()22121212222242tyyyyyyt−=−=+−=+，设22mt=−，则27,27m，∴222tm=+

，∴2222244mSmmm==++，∵4mm+在27,27m递减，故S关于m递增，∴142,83S.【点睛】本题考查轨迹方程的求解以及直线和椭圆的位置关系，考查了椭圆中三角形面积范围的问题，关键是要将面积用变量表示出来，是一道中档题

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