【文档说明】专题17—解三角形（4）—范围、最值问题-近8年高考真题分类汇编—2023届高三数学一轮复习含解析【高考】.doc，共(14)页，1.931 MB，由小赞的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-268d54941b8a3eb278cdcb738c12ca8a.html

以下为本文档部分文字说明：

1专题17—解三角形（4）—范围、最值问题考试说明：1、掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。2、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何有关的实际问题高频考点：1、边角的求解；2、判断三角形的形状；3、求与面积

、范围有关的问题；4、解决平面几何图形问题；5、解决实际问题。高考中，利用正弦、余弦定理解三角形问题是必考的，题型较多，有基础题，比如直接利用定理解三角形，也有难题，比如求范围的问题，出题比较灵活，一些同学总是掌握的不是很好，下面就近几年高考题，给大家分类整理各种题

型，希望对大家有所帮助。一、典例分析题型四：范围、最值问题1．（2018•江苏）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，120ABC=，ABC的平分线交AC于点D，且1BD=，则4ac+的最小值为．2．（2014•重庆）已知A

BC的内角A，B，C满足1sin2sin()sin()2AABCCAB+−+=−−+，面积S满足12S剟，记a，b，c分别为A，B，C所对的边，在下列不等式一定成立的是()A．()8bcbc+B．()162abab+C．612abc

剟D．1224abc剟3．（2014•浙江）如图，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练，已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面上的射线CM移动，此人为了准确瞄准目2标点P，需计算由点A观察点P的仰角的大小（仰角为直线AP与平

面ABC所成的角）．若15ABm=，25ACm=，30BCM=，则tan的最大值是()A．305B．3010C．439D．5394．（2014•江苏）若ABC的内角满足sin2sin2sinABC+=，则cosC的最小值是．5．（2020•浙江）在锐角ABC中，角A，

B，C所对的边分别为a，b，c．已知2sin30bAa−=．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）求coscoscosABC++的取值范围．6．（2020•新课标Ⅱ）ABC中，222sinsinsinsinsinABCBC−−=．（1）求A；（2）若3BC=，求ABC周长的最大值．3二、

真题集训1．（2016•北京）在ABC中，2222acbac+=+．（Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）求2coscosAC+的最大值．2．（2015•湖南）设ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，ta

nabA=，且B为钝角．（Ⅰ）证明：2BA−=；（Ⅱ）求sinsinAC+的取值范围．3．（2013•江西）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos(cos3sin)cos0CAAB+−=．（1）求角B的大小；（2）若1a

c+=，求b的取值范围．44．（2013•重庆）在ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，且2223abcbc=++．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）设3a=，S为ABC的面积，求3coscosSBC+的最大值，并指出此时B的值．5．（2013•福建）如图，在等腰直角OPQ中，90P

OQ=，22OP=，点M在线段PQ上，（Ⅰ）若5OM=，求PM的长；（Ⅱ）若点N在线段MQ上，且30MON=，问：当POM取何值时，OMN的面积最小？并求出面积的最小值．6．（2013•新课标Ⅱ）ABC在内角A、B、C的对边分别为a，b，

c，已知cossinabCcB=+．（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若2b=，求ABC面积的最大值．5典例分析答案题型四：范围、最值问题1．（2018•江苏）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，120ABC=，ABC的平分

线交AC于点D，且1BD=，则4ac+的最小值为．分析：根据面积关系建立方程关系，结合基本不等式1的代换进行求解即可．解答：解：由题意得111sin120sin60sin60222acac=+，即acac=+，得111ac+=，得11444(4)()525459cacaacacaca

cac+=++=+++=+=…，当且仅当4caac=，即2ca=时，取等号，故答案为：9．点评：本题主要考查基本不等式的应用，利用1的代换结合基本不等式是解决本题的关键．2．（2014•重庆）已知ABC的内角A，B，C满足1sin2sin()sin()2AABCCAB+−+=−−+，面积S满足

12S剟，记a，b，c分别为A，B，C所对的边，在下列不等式一定成立的是()A．()8bcbc+B．()162abab+C．612abc剟D．1224abc剟分析：根据正弦定理和三角形的面积公式，利用不等式

的性质进行证明即可得到结论．解答：解：ABC的内角A，B，C满足1sin2sin()sin()2AABCCAB+−+=−−+，1sin2sin2sin22ABC+=−+，1sin2sin2sin22ABC++=，12sincos2sin()co

s()2AABCBC++−=，12sin(cos()cos())2ABCBC−−+=，化为12sin[2sinsin()]2ABC−−=，1sinsinsin8ABC=．设外接圆的半径为R，6由正弦定理可得：2sinsinsinabcRABC===，由

1sin2SabC=，及正弦定理得21sinsinsin28SABCR==，即24RS=，面积S满足12S剟，248R剟，即222R剟，由1sinsinsin8ABC=可得8162abc剟，显然选项C，D不一定正确，A．()8bcbcabc+…，即()8bcbc+，正确，B．()8a

bababc+…，即()8abab+，但()162abab+，不一定正确，故选：A．点评：本题考查了两角和差化积公式、正弦定理、三角形的面积计算公式、基本不等式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．3．（2014•浙江）如图，某人在垂直于水平地

面ABC的墙面前的点A处进行射击训练，已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面上的射线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角的大小（仰角为直线AP与平面ABC所成的角）

．若15ABm=，25ACm=，30BCM=，则tan的最大值是()A．305B．3010C．439D．539分析：在直角三角形ABC中，由AB与AC的长，利用勾股定理求出BC的长，过P作PPBC⊥，交BC于点

P，连接AP，利用锐角三角函数定义表示出tanPPAP=，设BPm=，则20CPm=−，利用锐角三角函数定义表示出PP，利用勾股定理表示出AP，表示出tan，即可确定出tan的值．解

答：解：15ABcm=，25ACcm=，90ABC=，20BCcm=，7过P作PPBC⊥，交BC于P，连接AP，则tanPPAP=，设BPx=，则20CPx=−，由30BCM=，得3t

an30(20)3PPCPx==−，在直角ABP中，2225APx=+，2320tan3225xx−=+，令220225xyx−=+，则函数在[0x，20]单调递减，0x=时，取得最大值为20343459=，若P在CB的延

长线上，3tan30(20)3PPCPx==+，在直角ABP中，2225APx=+，2320tan3225xx+=+，令22(20)225xyx+=+，则0y=可得454x=时，函数取得最大值539，则tan的最大值是53

9．故选：D．点评：此题考查了正弦定理，锐角三角函数定义，以及解三角形的实际应用，弄清题意是解本题的关键．4．（2014•江苏）若ABC的内角满足sin2sin2sinABC+=，则cosC的最小值是624−．分析：根据正弦定理和余弦定理，利用基本

不等式即可得到结论．8解答：解：由正弦定理得22abc+=，得1(2)2cab=+，由余弦定理得222222221312(2)4422cos222abababababcCababab+−++−+−===2231322

2262422224244abababab+−=−−=…，当且仅当3222ab=时，取等号，故62cos14C−„，故cosC的最小值是624−．故答案为：624−．点评：本题主要考查正弦定理和

余弦定理的应用，结合基本不等式的性质是解决本题的关键．5．（2020•浙江）在锐角ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知2sin30bAa−=．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）求coscoscosABC++的取值范围．分析：（Ⅰ）根据正弦定

理可得3sin2B=，结合角的范围，即可求出，（Ⅱ）根据两角和差的余弦公式，以及利用正弦函数的性质即可求出．解答：解：（Ⅰ）2sin3bAa=，2sinsin3sinBAA=，sin0A，3sin2B=，ABC为锐角三角形，3B=，（Ⅱ）ABC

为锐角三角形，3B=，23CA=−，21311311coscoscoscoscos()coscoscossincossinsin()3322222262ABCAAAAAAAA++=+−+=−++=++=++，9ABC为锐角三角形，02A

，02C，解得62A，2363A+，3sin()126A+„，3113sin()22622A+++„，coscoscosABC++的取值范围为31(2+，3]2．点评：本题考查了正弦定理，三角函数的化

简，三角函数的性质，考查了运算求解能力和转化与化归能力，属于中档题．6．（2020•新课标Ⅱ）ABC中，222sinsinsinsinsinABCBC−−=．（1）求A；（2）若3BC=，求ABC周长的最大值．分析：

（1）运用余弦定理和特殊角的三角函数值，可得所求角；（2）方法一、运用正弦定理和三角函数的和差公式，结合余弦函数的图象和性质，可得所求最大值．方法二、运用余弦定理和基本不等式，即可得到所求最大值．解答：解：（1）设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，因为222sinsins

insinsinABCBC−−=，由正弦定理可得222abcbc−−=，即为222bcabc+−=−，由余弦定理可得2221cos222bcabcAbcbc+−==−=−，由0A，可得23A=；（2）由题意可得3a=，又

3BC+=，可设6Bd=−，6Cd=+，66d−，由正弦定理可得3232sinsinsin3bcBC===，可得23sin()6bd=−，23sin()6cd=+，10则ABC周长为1313323[sin()sin()]323(cossincossi

n)662222abcdddddd++=+−++=+−++，323cosd=+，当0d=，即6BC==时，ABC的周长取得最大值323+．另解：3a=，23A=，又2222cosabcbcA=+−

，2222219()()()4bcbcbcbcbcbc=++=+−+−+…，由3bc+，则23bc+„（当且仅当bc=时，“=”成立），则ABC周长的最大值为323+．点评：本题考查三角形的正弦定理和余弦定理的运用，考查三角函数的恒等变换和图象与

性质，考查方程思想和化简运算能力，属于中档题．真题集训答案1．（2016•北京）在ABC中，2222acbac+=+．（Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）求2coscosAC+的最大值．解：（Ⅰ）在ABC中，2222acbac+=+．2222acbac+−

=．22222cos222acbacBacac+−===，4B=（Ⅱ）由()I得：34CA=−，32coscos2coscos()4ACAA+=+−222coscossin22AAA=−+22cossin22AA=+sin()4A=+．113(0,)4A，(44

A+，)，故当42A+=时，sin()4A+取最大值1，即2coscosAC+的最大值为1．2．（2015•湖南）设ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，tanabA=，且B为钝角．（Ⅰ）证明：2BA−=；（Ⅱ）求sinsinAC+的取值范围．解：（Ⅰ）由ta

nabA=和正弦定理可得sinsincossinAaAAbB==，sincosBA=，即sinsin()2BA=+又B为钝角，(22A+，)，2BA=+，2BA−=；（Ⅱ）由（Ⅰ）知()()2022CABAAA=−+=−++=−，

(0,)4A，sinsinsinsin(2)2ACAA+=+−2sincos2sin12sinAAAA=+=+−2192(sin)48A=−−+，(0,)4A，20sin2A，由二次函数可知221992(sin)2488A−−

+„sinsinAC+的取值范围为2(2，9]83．（2013•江西）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos(cos3sin)cos0CAAB+−=．（1）求角B的大小；（2）若1ac+=，求b的取值范围．解：（1）由已知得

：cos()coscos3sincos0ABABAB−++−=，12即sinsin3sincos0ABAB−=，sin0A，sin3cos0BB−=，即tan3B=，又B为三角形的内角，则3B=；（2）方法一：1ac+=，即1ca=

−，1cos2B=，由余弦定理，得2222cosbacacB=+−，即2222211()313(1)3()24bacacacacaaa=+−=+−=−−=−+，01a，2114b„，则112b„．b的取值范围为1[2，1)．方法二：1ac+=，即1ca=−，1cos2B

=，由余弦定理，得2222cosbacacB=+−，即2222()313bacacacacac=+−=+−=−23113()1244ac+−=−=…，12b…，又1bac+=，112b„，b的取值范围

为1[2，1)．4．（2013•重庆）在ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，且2223abcbc=++．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）设3a=，S为ABC的面积，求3coscosSBC+的最大值，并指出此时B的值．解：（Ⅰ）由余弦定理得：22233cos

222bcabcAbcbc+−−===−，A为三角形的内角，56A=；（Ⅱ）由（Ⅰ）得1sin2A=，由正弦定理得：sinsinaBbA=，sinsincAaC=及3a=得：11sinsinsin3sinsin22s

inaBSbcAaCBCA===，则3coscos3(sinsincoscos)3cos()SBCBCBCBC+=+=−，则当0BC−=，即212ABC−===时，3coscosSBC+取最大值3．135．（2013•福建）

如图，在等腰直角OPQ中，90POQ=，22OP=，点M在线段PQ上，（Ⅰ）若5OM=，求PM的长；（Ⅱ）若点N在线段MQ上，且30MON=，问：当POM取何值时，OMN的面积最小？并求出面积的最小值．解：（Ⅰ）在OMP中，45OPM=，5OM=，22OP=，由余弦定理可得，

2222cos45OMOPMPOPMP=+−，解得PM的长为1或3；（Ⅱ）设POM=，060剟，在OMP中，由正弦定理可得：sinsinOMOPOPMOMP=，sin45sin(45

)OPOM=+，同理，sin45sin45sin(75)sin(75)OQOPON==++，故1sin2OMNSOMONMON=221454sin(45)sin(75)OPsin=++1sin(45)sin(453

0)=+++131sin(45)[sin(45)cos(45)]22=++++2131(45)sin(45)cos(45)22sin=++++1331sin2cos2444

=++131sin(230)42=++因为060剟，所以30230150+剟，14所以当30=时，sin(230)+的最大值为1，此时，OMN的面积最小，面积的最小值843−．6．（2013•

新课标Ⅱ）ABC在内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知cossinabCcB=+．（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若2b=，求ABC面积的最大值．解：（Ⅰ）由已知及正弦定理得：sinsincossinsinABCBC=+①，sinsin()sincoscossinABCBCBC=+=+②，

sincosBB=，即tan1B=，B为三角形的内角，4B=；（Ⅱ）12sin24ABCSacBac==，由已知及余弦定理得：22242cos2242acacacac=+−−…，整理得：422ac−„，当且仅当ac=时，等号成立，则ABC面积的最大值为12412(

22)2122222=+=+−．