【文档说明】山西省大同市2022-2023学年高二上学期11月期中考试 数学 含答案.docx，共(11)页，832.747 KB，由管理员店铺上传

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大同市2022-2023年度高二期中测试题（卷）数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知平面和平面的法向量分别为(3,1,5)m=−，(6,2,10)n=−−，则（）A．⊥B．∥C．与相交但

不垂直D．以上都不对2．椭圆22221xyab+=和2222(0)xyab+=具有（）A．相同的离心率B．相同的焦点C．相同的顶点D．相同的长、短轴3．直线34xyb+=与圆222210xyxy+−−+=相切，则b的值是（）A．2−或12B．2或12−C．2−或12−D．2

或124．已知点(1,3)A，(2,1)B−−，若过点(2,1)P的直线l与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（）A．12kB．2k−C．12k或2k−D．122k−5．在空间四边形OABC中，OAa

=，OBb=，OCc=，点M在OA上，且2OMMA=，N为BC中点，则MN=（）A．121232abc−+B．211322abc−++C．112223abc+−D．221332abc+−6．设抛物线22ypx=上的三个点12,3Ay，()21,By

，33,2Cy到该抛物线的焦点的距离分别为1d，2d，3d，若1d，2d，3d的最大值为3，则p的值为（）A．32B．2C．3D．1437．设1F和2F为双曲线22221(0,0)xyabab−=的两个焦点，若点(0,2)P

b，1F，2F是等腰直角三角形的三个顶点，则双曲线的渐近线方程是（）A．3yx=B．217yx=C．33yx=D．213yx=8．鳖臑是指四个面都是直角三角形的三棱锥．如图，在鳖臑PABC−中，PA⊥平面ABC，2ABBCPA===，D，E分别是棱AB，PC的中点，点F是线段

DE的中点，则点F到直线AC的距离是（）A．38B．64C．118D．224二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9

．设0r，圆22(1)(3)zxyr−++=与圆2216xy+=的位置关系不可能是（）A．内切B．相交C．外切D．外离10．若方程22131xytt+=−−所表示的曲线为C，则下面四个命题错误的是（）A．若C为椭圆，

则13tB．若C为双曲线，则3t或1tC．曲线C可能是圆D．若C为椭圆，且长轴在y轴上，则12t11．若实数x，y满足2220xyx++=，则（）A．1yx−的最大值为3B．1yx−的最小值为3−C．1yx−的最大值为33D．1yx−的

最小值为33−12．已知P是椭圆22194xy+=上一点，椭圆的左、右焦点分别为1F，2F，且121cos3FPF=，则（）A．12PFF△的周长为12B．1222PFFS=△C．点P到x轴的距离为2105D．122PFPF=三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．直线

1l，2l的斜率1k，2k是关于k的方程2240kkm−+=的两根，若12ll⊥，则m=______．14．已知(1,0,1)a=，(2,1,1)b=−−，(3,1,0)c=，则2abc−+等于______．15．已知双曲线22142xy−=被直线截得的弦AB，弦的中

点为(4,2)M，则直线AB的斜率为______．16．如图，在梯形ABCD中，ADBC∥，1ADAB==，ADAB⊥，45BCD=，将ABD△沿对角线BD折起，设折起后点A的位置为A，并且平面ABD⊥平面BCD．则下面四个命题中正确的是______．（把正确命题

的序号都填上）①BADC⊥；②三棱锥ABCD−的体积为22；③BACA⊥；④平面ABC⊥平面ADC．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知(1,0)A−，(1,0)B，C为平面内的一个动点，且满足2ACBC=

．（1）求点C的轨迹方程；（2）若直线l为10xy+−=，求直线l被曲线C截得的弦的长度．18．（12分）如图，在正方体1111ABCDABCD−中，E为1DD的中点．（1）求证：1BD∥平面ACE；（2）求直线A

D与平面ACE所成角的正弦值．19．（12分）已知点()0,2A−，椭圆2222:1(0,0)xyEabab+=的离心率为22，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为2，O为坐标原点．（1）求E的方程；（2）设过点(0,3)P−且斜率为k的直线l与椭圆E交

于不同的两点M、N，且827MN=，求k的值．20．（12分）如图，在三棱锥PABC−中，侧面PAC是等边三角形，ABBC⊥，PAPB=．（1）证明：平面PAC⊥平面ABC；（2）若AC=2AB，则在棱PC上是否存在动点M，使得平面MAB与平面ABC所成二面角的

大小为45°．21．（12分）已知抛物线2:2(0)Cypxp=上的一点(2,)Mm到它的焦点的距离为21+．（1）求p的值；（2）过点(2,)()NttR−作抛物线C的切线，切点分别为P，Q，求证：直线PQ过定点．22．（12分）已知双曲线22221(0,0)xyabab−=的左、右焦点

分别为1F，2F，离心率为62，且过点(42,22)P（1）求双曲线C的方程；（2）过1F的两条相互垂直的直线分别交双曲线于点A，B和点C，D，M、N分别为AB、CD的中点，连接MN，过坐标原点O作MN的垂线，垂足为H，问：是否存在定点G，使得GH为定值？

若存在，求定点G的坐标；若不存在，请说明理由．大同市2022-2023年度高二期中测试题（数学）参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1．B2．A3．D4．D5．B6．C7．C8．

B二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．CD10．AD11．CD12．BCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13

．-214．31015．116．③④四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）解：（1）由题意可设点C的坐标为(,)xy，由2ACBC=及两点间的距离公式可得22

(1)(0)xy++−=222(1)(0)xy−+−，整理得22610xyx+−+=．（5分）（2）圆心()3,0到直线:10lxy+−=的距离002230122AxByCdAB+++−===+，所以弦的长度22226rd−=．（10分）18．（1

2分）解：（1）证明：连接BD交AC于点F，连接EF，则1EFBD∥，∵1BD平面ACE，EF平面ACE，∴1BD∥平面ACE．（6分）（2）以D为原点，DA、DC、1DD所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则(0,0,0)D，(0,1,

0)C，(1,0,0)A，10,0,2E，所以(1,0,0)DA=，11,0,2EA=−，10,1,2EC=−设(,,)nxyz=为平面ACE的法向量，所以0,0,nEAnEC==即10,210,2xzyz−

=−=令2z=，则1x=，1y=，所以(1,1,2)n=，所以cos,DAn=166114DAnDAn==++，所以直线AD与平面ACE所成角的正弦值为66．（12分）19．（12分）解：（1）由离心率22cea==

，得2ac=，直线AF的斜率为0(2)20c−−=−，解得1c=，∴2a=，2221bac=−=，∴椭圆E的方程为2212xy+=．（4分）（2）[答案]设直线:3lykx=−，()11,Mxy，()22

,Nxy，则223,1,2ykxxy=−+=整理得()22124340kxkx+−+=，∵M、N是不同的两点，∴判别式()22(43)44120kk=−−+，得21k，∴1224312kxxk

+=+，122412xxk=+，∴()()()22222121212241182114127kkMNkxxkxxxxk+−=+−=++−==+，整理得421732kk−−570=，解得23k=或21917k=−（舍去），∴3k=．（12分）20．（12分

）解：（1）证明：取AC的中点O，连接PO，BO，因为PAC△为等边三角形，所以POAC⊥，在RtABC△中，有OAOBOC==，又因为PAPBPC==，所以POAPOBPOC≌≌△△△，所以90POBPOA==，即POOB⊥，

又因为POAC⊥，ACOBO=，所以PO⊥平面ABC，又因为PO平面PAC，所以平面PAC⊥平面ABC．（6分）（2）不妨设4PA=，在RtABC△中，1cos2ABCABAC==，所以60CAB=，在底面ABC内作ODAC⊥于点O，则OD

，OC，OP两两垂直，以点O为原点，OD所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，OP所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：则(0,2,0)A−，(3,1,0)B−，(0,2,0)C，(0,0,23)P

所以(3,1,0)AB=，(0,4,0)AC=，(0,2,23)AP=，(0,2,23)PC=−，设(0,2,23)(01)PMPC==−，则(0,22,2323)AMAPPM=+=+−，设平面MAB的法向量为(,,)mxyz=，所以30(22)(2323)

0mABxymAMyz=+==++−=，令1x=−，可得33y=−，1z=−−，所以(1,33,1)m=−−−−，易知平面ABC的一个法向量为(0,0,1)n=，所以22212cos45|cos,|2(1)(33)(1)mnmnmn

+====−+−++，整理可得231030−+=，即(31)(3)0−−=，解得13=或3=（舍去）．所以13PMPC=，所以当13PMPC=时，二面角MABC−−的大小为45°．（12分）21．（12分）解：（1）∵抛物线上的点到焦点的距离

等于它到准线的距离，∴2212p+=+，∴12p=，∴2p=．（2）证明：由题意得，过点N的抛物线的切线的斜率存在，故可设切线方程为(2)ytkx−=+，代入24yx=得，24480kyytk−++=．∵直线与拋物线C相切，∴0,

0,k=得164(48)0ktk−+=，即2210ktk+−=．∴12tkk=−，代入24480kyytk−++=并化简得220yk−=，解得2yk=，设直线NP，NQ的斜率分别为1k，

2k，则1212kk=−．∴21112,Pkk，22212,Qkk，当12kk时，直线PQ的方程为122112212222111kkyxkkkk−−=−−，整理得，1222112112122111kkyxxkkkkkkk−−=−=−++

，即()()()()21121222121211121211212112211211kkkkyxxxkkkkkkkkkkkkkkkk++−−−=++=+=+++++++121212121(2)xxkkkkkk−=+=−−+++．∴直线PQ过定点(2,0)．当1222k

k==时，直线PQ的方程为2x=，过点(2,0)．综上可得，直线PQ过定点(2,0)．（12分）22．（12分）解：（1）由题可知，222222226,216,3281,8,24,ceaababccab===−====+所以双曲线C

的方程是221168xy−=．（4分）（2）[答案]存在定点(26,0)G−，使得GH为定值．由题意可知，若直线AB和CD其中一条没有斜率，则H点的坐标为(0,0)，直线MN的方程为0y=．当直线AB和CD的斜率

都存在时，因为点1(26,0)F−，所以设直线AB的方程为(26)(0)ykxk=+，则直线CD的方程为1(26)yxk=−+，设(),AAAxy，(),BBBxy，(),MMMxy，联立22(26),1168ykxxy=+−=得()()2222128616310kxkxk−−−+=，

所以228612ABkxxk+=−，()22163112ABkxxk−+=−，故224612Mkxk=−，22462612Mkykk=+−．设(),CCCxy，(),DDDxy，(),NNNxy，同理可得

2862CDxxk+=−，()221632CDkxxk−+=−，故2462Nxk=−，2146262Nykk=−+−所以MNMNMNyykxx−=−()222222246146262612246462112

2kkkkkkkkkk+++−−==−−−−−，所以直线MN的方程为()22222464626121221kkkykxkkk−+=−−−−−，化简得()2(46)21kyxk=−+−，可知直线MN过定点(

46,0)R−．又OHMN⊥，所以点H的运动轨迹是以点(26,0)−为圆心，46OR=为直径的圆，所以存在定点(26,0)G−，使得GH为定值26．（12分）获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com