【文档说明】湖北省红安县第一中学2022-2023学年高二下学期3月月考试题 数学 含解析.docx，共(15)页，906.946 KB，由小赞的店铺上传

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红安一中2023年3月份高二数学考试卷一、单选题1．设函数()cosfxx=，则'π3f=（）A．32−B．32C．12D．02．已知()(1)(2)(100)fxxxx=−−−，若方程()0fx

=有99个实数根(1,2,99)iai=，则9911,2,,991ijjiijaa==−的值为（）A．5050B．1C．0D．1003．已知一个圆柱形空杯，其底面直径为8cm，高为20cm，现向杯中注入溶液，已知注入溶液的体

积V（单位：ml）关于时间t（单位：s）的函数为()()32π2π0Vtttt=+，不考虑注液过程中溶液的流失，则当4st=时杯中溶液上升高度的瞬时变化率为（）A．2cm/sB．4cm/sC．6cm/sD．8cm/s4．已知数列na满足：()()1131Nnnnaann++

−=−.则na的前60项的和为（）A．1240B．1830C．2520D．27605．如果自然数n是一个三位数，而且十位与个位、百位的差的绝对值均不超过1，我们就把自然数n叫做“集中数”．那么，“集中数”一共有（）个．

A．65B．70C．75D．806．已知1sin3a=，0.913b=，271log92c=，则（）A．acbB．abcC．bacD．cab7．设()ln1fxaxx=−+有三个不同的零点，则a的

取值范围是（）A．()0,eB．()20,eC．10,eD．210,e8．已知na是离n最近的整数，则数列na的前2021项和是（）A．60544B．60585C．60612D．606

25二、多选题9．已知椭圆E：221164xy+=，1F，2F分别为它的左右焦点，A，B分别为它的左右顶点，点P是椭圆E上异于A，B的一个动点．下列结论中，正确的有（）A．椭圆E的长轴长为8B．满足12FPF△的面积为4的点P恰有2

个C．12PFPF的的最大值为16D．直线PA与直线PB斜率乘积为定值1410．已知数列na的前n项和为nS，且1211,2,3+==+=nnaaaan，则（）A．34a=B．数列na为等差数列C．数列2na为等差数列D．n为奇数时，214nnS

+=11．已知函数()fx是定义在R上的奇函数，当0x时，()()e1xfxx−=−，则（）A．当0x时，()()e1xfxx=−+B．xR，都有()()1,1fx−C．()0fx的解集为))1,01,−+D．()fx的单调递增区间是()2,0−，()0,212．

已知函数()323910fxxxx=+−−，下列结论中正确的是（）A．1x=是()fx的极小值点B．()fx有三个零点C．曲线()yfx=与直线1211yx=−−只有一个公共点D．函数()1yfx=−为奇函数三、填空题13．已知集合1,2,3,4,5A=，集合0,1,2B=，则以集

合A为定义城，集合B为值域的函数的个数为____________．（用数字作答）14．如图，养殖公司欲在某湖边依托互相垂直的湖岸线CA、CB围成一个三角形养殖区ACB.为了便于管理，在线段AB之间有一观察站点M，M到直线BC，CA的距离分别为8百米、1百米，则观察点M到点A、B距离之和的最小

值为______________百米.15．已知函数()eexxfx−=−所有满足()()10fmfn+−=的点(),mn中，有且只有一个在圆C上，则圆C的方程可以是__________.（写出一个满足条件的圆的方程即可）16

．对于数列na，定义11222−=+++nnnAaaa为数列na的“加权和”，已知某数列na的“加权和”12nnAn+=，记数列+napn的前n项和为nT，若5nTT对任意的*Nn恒成立，则实数p的取值范围为______．四、解答题17．用0，1，2，3，4，5组成无重复数

字的四位数，求：(1)能被5整除的概率；(2)是偶数的概率；(3)千位大于百位大于十位大于个位的概率．18．已知数列na的前n项和为nS，且对任意正整数n，都有2048nnaS+=．(1)求数列na的通项公式；(2)设2lognnba=，数列nb的前n项和

为nT，求nT的最大值．19．某家具制造公司，欲将如图所示的一块不规则的名贵木板裁制成一个矩形桌面板，已知ABAD⊥，//ABDC，且22ADDCAB===米，曲线段BC是以点B为顶点且开口向上的抛物线的一段，如果要使矩形桌面板的相邻两边分别落在AD、DC上，且一个顶点落在曲线段BC上，问应

如何精准设计才能使矩形桌面板的面积最大？并求出最大的面积．20．已知数列na满足11a=，112nnnaana+=+．(1)求数列na的通项公式；(2)记nS为数列na的前n项和，证明：12nS．21．已知双曲

线2222:1(0,0)xyCabab−=的离心率2e=，1P，2P分别为其两条渐近线上的点，若满足12PPPP=的点P在双曲线上，且12OPP的面积为8，其中O为坐标原点．(1)求双曲线C的方程；(2)过双曲线C的右焦点2F的动直线

与双曲线相交于A，B两点，在x轴上是否存在定点M，使MAMB为常数？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．22．已知函数()()21exfxxax=−+．(1)若12a−，求()fx的单调区

间；(2)若关于x的不等式()32e43xfxxaa++在)0,+上恒成立，求实数a的取值范围．参考答案：1．D【详解】因为ππcos33f=为常数，所以'π03f=.故选：D.2．C【详解】根据题

意，有99999911,2,,9911,2,,9911,2,,991110ijijijjijijiijijijaaaaaa=======+=−−−．故选：C.3．B【详解】由题意杯子的底面面积16πS=，则杯中溶液上

升高度()()3223110161πππ826VthttttSt===++，则231164htt=+，当4t=时，311644164h=+=，即当4st=时杯中溶液上升高度的瞬时变化率为4cm/s.故选：B.4．D【详解

】由()1131nnnaan++−=−，故212aa−=，325aa+=，438aa−=，5411aa+=，….故133aa+=，573aa+=，793aa+=，….从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于3

；2413aa+=，6837aa+=，81061aa+=，….从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以13为首项，以24为公差的等差数列.故60151431513152427602S=++=.故选：D.5．C【详解】解：自然数n

是一个三位数，而且十位与个位、百位的差的绝对值均不超过1，我们就把自然数n叫做“集中数”．则3个数，相等或相邻，十位数为0时，有100，或101，共2个；十位数为1时，有110，111，112，210，211，212共6个；十位数为2时，有121，123，122，222，221

，223，321，322，323，共9个；十位数为3，4，5，6，7，8时，与十位数是2时，相同各有9个；十位数为9时，有，899，898，998，999共4个．综上共有：2679475+++=个．故选：C．6．

A【详解】2711lg912lg31log922lg2723lg33c====.设()sin,0,2πfxxxx=−，则有()cos10fxx=−，()fx单调递减，从而()(0)0fxf=，所以sin,0,2πxxx，故11sin33，即

ac，而0.91133bc==，故有acb．故选：A．7．D【详解】如图，由()ln1fxaxx=−+有三个不同的零点，可得1|ln|axx+=有三个不同的零点，画出函数|ln|yx=的图象，直线1yax=+过定点(0,1)，当1x时，设过(0,1)的直线与lnyx=的切

点为0(x,0ln)x，由lnyx=，得1yx=，001|xxyx==，故切线方程为0001ln()yxxxx−=−，把定点(0,1)代入得：01ln1x−=−，即20ex=．021|exxy==，即直

线1yax=+的斜率为21ea=．则使()|ln|1fxaxx=−+有三个不同的零点的a的取值范围是210,e．故选：D8．B【详解】显然12nk+，其中kN，因此222211122nakknkkknkk=−+−++，因此取值为k的项有2k个，

考虑到224444198020214545+=+，于是数列na的前2021项和20214411(2)45(20211980)60585nnkakk===+−=．故选：B.9．AC【详解】由椭圆方程221164xy+=可得：4,2ab==.对于A，因为椭圆的长轴长28a=，故

选项A正确；对于B，因为4,2ab==，则2223cab=−=，21121342PFFPPSFFyy===，所以4323Py=，所以这样的点P不存在，故选项B错误；对于C，由椭圆的定义可得：1212822aPFPFPFPF==+当且仅当12PFPF=等号成立，则1216PFPF，

所以12PFPF的的最大值为16，故选项C正确；对于D，设点00(,)Pxy，则22001164xy+=，则有2200144yx=−，又因为(4,0),(4,0)AB−，所以22000022000014144416164APBPxyy

ykkxxxx−====−+−−−，故选项D错误，故选：AC.10．AC【详解】对于A，因为1211,2,3+==+=nnaaaan，所以326+=aa，则34a=，故A正确；对于B，因为322aa−=，211aa−=，所以na不是等差数

列，故B错误；对于C，因为13++=nnaan，所以222121263,6++++=++=nnnnaanaan，两式相减，得2223+−=nnaa，所以2na为等差数列，故C正确；对于D，因为13++=nnaan，所以2122216,63nn

nnaanaan+−+=+=−，两式相减，得21213nnaa+−−=，所以数列na的奇数项为等差数列，公差为3，又由选项C知，na的偶数项也为等差数列，公差为3，121,2aa==，当n为奇数时，()()132241−−=++++++++nnnnSaaaaaaa21111111

1312222132322224++−−−−+−+=+++=nnnnnnn，故D错误.11．BD【详解】对于A，当0x时，0x−，则()()e1xfxx−=−−，函数()fx在其定义域上是奇函数，则

()()()e1xfxfxx=−−=+，故A错误；对于B，当0x时，()()e1xfxx−=−，()()()e1ee2xxxfxxx−−−=−−+=−，当()0,2x时，()0fx¢>，()f

x单调递增；当()2,x+时，()0fx，()fx单调递减，故()()()22max2e21e1fxf−−==−=，当()0,1x时，0ee1x−=，10x−，则()0e111xxx−−−−；当()1,x+

时，e0x−，10x−，则()e10xx−−，综上，当0x时，()()(()2e11,e1,1xfxx−−=−−−，因为函数()fx是奇函数，所以()00f=，当0x时，()()()1,1fxfx=−−−，故B正确；对于

C，由B可知，当()0,1x时，0ee1x−=，10x−，则()0e111xxx−−−−；当()1,x+时，e0x−，10x−，则()e10xx−−，因为函数()fx是奇函数，所以当(),1x−时，()0fx

；当()1,0x−时，()0fx，因为函数()fx是奇函数，所以()00f=，综上，不等式()0fx，其解集为)1,01,−+，故C错误；对于D，由B可知，当()0,2x时，()fx单调递增；当()2,x+时，()fx单调递减，因为函数()

fx是奇函数，所以当(),2x−−时，()fx单调递减；当()2,0x−时，()fx单调递增，故D正确.故选：BD.12．ABC【详解】由函数()323910fxxxx=+−−，则求导可得()()()2369331fxxxxx=+−=+−，令()0fx=，解得3x=−或1，可得下表：x(

),3−−3−()3,1−1()1,+()fx+0−0+()fx极大值极小值则1x=是()fx的极小值点，故A正确；()()()()()323333931017fxf=−=−+−−−−=极大，()()321

131911015fxf==+−−=−极小，由()()()()325535951015f−=−+−−−−=−，()323333931017f=+−−=，显然函数()fx在()()()5,3,3,

1,1,3−−−分别存在一个零点，即函数()fx存在三个零点，故B正确；联立3239101211yxxxyx=+−−=−−，消去y可得323310xxx+++=，化简可得()310x+=，则该方程组存在唯一实根=1x−，故C正确；令()()(

)()()3211319110gxfxxxx=−=−+−−−−3121xx=−+，()()3121gxxxgx−=−++−，故D错误.故选：ABC.13．150【详解】分以下两种情况讨论：①集合A中的元素分

三组为{3,1,1}与集合B分别对应时，满足条件的函数个数132352CCA60=；②集合A中的元素分三组为{2,2,1}与集合B分别对应时，满足条件的函数个数22335322CCA90A=.由分类加法计数原理可知，满足条件的同函数的个数为6090150+=.故答案为：150.14．55【

详解】以C为原点，CA,CB所在直线分别作为,xy轴，建立平面直角坐标系，则(8,1)M.设直线18:()ABykx−=−，即18ykxk=+−，则18,0,(0,18)kABkk−−−，所以180180kkk−−−，所以0k

，22218(18)()(0)kABkfkkk−=−+−=，则221()(18)1(0)fkkkk=−+，则22311()2(18)(8)1(18)(2)fkkkkk=−−+

+−−()()()33322(18)812(18)21421kkkkkkkk−−−+−−++==，当1,2x−−时，()0fx，则()fx单调递减，当1,02x−时，()0fx，则()fx单调递增，所以

当12k=−时，AB最短，此时55AB=.故答案为：5515．2212xy+=(答案不唯一，与直线1xy+=相切即可)【详解】解：因为()()eexxxfxf−−==−−，xR，所以()fx为奇函数，因为()ee0xxfx−=+，所以()fx在R上单调递增，因为()()10

fmfn+−=，即()()1fmfn=−−，即()()1fmfn=−，因为()fx单调，所以有1mn=−，即1mn+=，所以(),mn在直线1xy+=上，因为直线1xy+=与圆C有且只有一个共同的点，只需直线1xy+=与圆C相切即可，若圆C的圆心为()0,0，

则12211r==+，此时圆的方程为2212xy+=故答案为：2212xy+=(答案不唯一，与直线1xy+=相切即可)16．127,53−−【详解】由题意可得2111212...222nnnnnaa

aan−−+−++++=，∴2n时，2121)22(12nnnaaan−−+++=−，两式相减可得：1122(1)2nnnnann−+=−−，化为22nan=+，1n=时，2124a==，满足上式，故22,Nnann=+故12(422)(1)(1)(

12)(3)222nnnnnnnnTaaapnpnnp++++=+++++++=+=++，∵5nTT对任意的*Nn恒成立，∴4565TTTT，即2810401554214015pppp++++，解得12753p−

−，即127,53p−−，故答案为：127,53−−17．(1)925；(2)1325；(3)120.【详解】（1）用0，1，2，3，4，5组成无重复数字的四位数的个数是：135

5AA5543300==，能被5整除的四位数，个位数字是0的四位数有35A个，个位数字是5的四位数有1244AA个，因此能被5整除的四位数的总个数是：312544AAA543443108+=+=，所以能被5整除的概率是110893

0025P==.（2）组成的四位偶数中，个位数字是0的有35A，个位数字是2，4之一的有112244AAA个，因此组成的四位偶数总个数是：31125244AAAA5432443156+=+=，所以是偶数的概率21561330025P==.

（3）千位大于百位大于十位大于个位的四位数个数是：466543C154321==，所以千位大于百位大于十位大于个位的概率315130020P==.18．(1)1112nna−=(2)55【详解】（1）解：当1n=时，11122048aSa+==

，所以11024a=，当2n时，由2048nnaS+=可得112048nnaS−−+=，上述两个等式作差可得120nnaa−−=，则112nnaa−=，所以na是以1024为首项，12为公比的等比数列，所以11111102422nnna−−=

=．（2）解：21log1nnbna==−，所以，()()1111111nnbbnn+−=−+−−=−，所以，数列nb为等差数列，所以()()2121212222nnnnnnTbbn−=+==−+，所以当10n=或11时，nT取得最大值55．19．

把桌面板设计成长为43米，宽为169米的矩形时，矩形桌面板的面积最大，最大面积为6427平方米．【详解】解：以B为原点，AB所在直线为x轴建立如下图所示的平面直角坐标系，依题意可设抛物线方程为()220xpyp=，且()1,2C，所以41p=，即14p=，故

点P所在曲线段BC的方程为()2201yxx=，设()()2,201Pxxx是曲线段BC上的任意一点，则在矩形PMDN中，222PMx=−，1PNx=+，所以，桌面板的面积为()()()()()22221211SxPMPNxxxx==−+=+−，()()()()()()24112

12113Sxxxxxx=+−−+=+−，当103x时，()0Sx，此时函数()Sx单调递增，当113x时，()0Sx，此时函数()Sx单调递减，所以当13x=时，()Sx有最大值，此时169PM=，43PN=，此时，164327S=.答：把桌面板设计成长为43米，宽

为169米的矩形时，矩形桌面板的面积最大，最大面积为6427平方米．20．(1)()111nann=−+(2)证明见解析【详解】（1）由题意知0na，所以1112nnnaa+=+，即1112nnnaa+−=从而1122111

1111111nnnnnaaaaaaaa−−−=−+−++−+，()()()121222111nnnnna=−+−+++=−+，则()111nann=−+．显然11a=满足上式，所以()1

11nann=−+（2）由（1）知0na，11120nnnaa+=+所以1nnaa+，所以11nSa=．又因为()()()111121111nannnnnnn==−−+−−，所以121111

1111222231nnSaaannn=++++−+−++−=−−，所以12nS．21．(1)22188xy−=(2)存在，(2,0)【详解】（1）由离心率2c

ea==，得222caab==+，所以ab=，则双曲线的渐近线方程为yx=，因为1P，2P分别为其两条渐近线上的点，所以12OPOP⊥，不妨设()1,Pmm，()2,Pnn−，由于12PPPP=，则点P为12PP的中点，所以,22mnmnP+−，又点P在双曲线上，所以(

)()2222144mnmnaa+−−=，整理得：2mna=因为12OPP的面积为8，所以12121122822OPPSOPOPmnmn====，则228ab==，故双曲线C的方程为22188xy−=；（2）由

（1）可得4c=，所以2F为()4,0当直线AB的斜率存在时，设AB方程为：()4ykx=−，()()1122,,,AxyBxy，则()224188ykxxy=−−=，所以()2222181680kxkxk−+−−=，则21k()()()22222Δ

84116832320kkkk=−−−−=+恒成立，所以221212228168,11kkxxxxkk++=−=−−−，假设在x轴上是否存在定点M，设(),0Mt，则()()()()()()221122121212121211,,44MAMBxtyxtyxxtxx

tyyxxtxxtkxkx=−−=−+++=−+++−−()()()()()()()()2222222222212122221168161814164111kkktkkkxxtkxxkttkkkk+++−=+−++++=−+++−−−()()

22228881tttkk−−−+=−要使得MAMB为常数，则2288811ttt−−+=，解得2t=,定点()2,0M，4MAMB=−；又当直线AB的斜率不存在时，直线AB的方程为4x=，代入双曲线221

88xy−=可得22y=，不妨取()()4,22,4,22AB−，若()2,0M，则()()()2,222,22484MAMB=−=+−=−，符合上述结论；综上，在x轴上存在定点M，使MAMB为常数4−，且()2,0M.22．(1)单调递增区

间为(,0)−和(ln(2),)a−+，单调递减区间为(0,ln(2))a−；(2)15a−.【详解】（1）()e(1)e2xxfxxax=+−+()e2xxa=+，21a−，令()0fx=，得0x=或ln(2)0xa=−，令()0fx，得0x或ln(2)xa−

，令()0fx，得0ln(2)xa−，所以函数()fx的单调递增区间为(,0)−和(ln(2),)a−+，单调递减区间为(0,ln(2))a−.（2）关于x的不等式()32e43xfxxaa++在)0

,+上恒成立，即232(1)ee403xxxaxxaa−+−−−在)0,+上恒成立，当0x=时，得150a−−，即15a−，令()gx=232(1)ee43xxxaxxaa−+−−−，2()e(1)e22exxxgxxaxxa=+−+−−()

(e2)xxax=−−，因为10,5xa−，所以0xa−，设()e2xhxx=−，则()e2xhx=−，令()0hx，得ln2x,令()0hx，得ln2x，所以()e2xhxx=−在(,ln2)−上为减

函数，在(ln2,)+上为增函数，所以ln2()(ln2)e2ln222ln20hxh=−=−，即e20xx−，所以()0gx，所以()gx在)0,+上为增函数，所以(0)150ga=−−，即15a−.