【文档说明】概率与统计 06 概统中的数列、函数思想 突破专项训练-2022届高三数学一轮复习解答题.docx，共(14)页，1003.760 KB，由管理员店铺上传

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临澧一中2022届高三数学解答题突破专项训练概率与统计06（概统中的数列、函数思想）1．2019年第十三届女排世界杯共12支参赛球队，比赛赛制采取单循环方式，即每支球队进行11场比赛，最后靠积分选出最后冠军．积分规则如下（比赛采取5局3胜制）：比赛中以30−或31−

取胜的球队积3分，负队积0分；而在比赛中以32−取胜的球队积2分，负队积1分．9轮过后，积分榜上的前2名分别为中国队和美国队，中国队积26分，美国队积22分．第10轮中国队对抗塞尔维亚队，设每局比赛中国队取胜的概率为(01)pp．（1）第10轮比赛中，记中国队31

−取胜的概率为()fp，求()fp的最大值点0p．（2）以（1）中的0p作为p的值．（ⅰ）在第10轮比赛中，中国队所得积分为，求的分布列；（ⅱ）已知第10轮美国队积3分，判断中国队能否提前一轮夺得冠军（第10轮过后，无论最后一轮即第11轮结果如何，中国队积分最多）？若能，求出相应

的概率；若不能，请说明理由．2．2020年初，新型冠状病毒(2019)nCoV−肆虐，全民开启防疫防控．新型冠状病毒的传染主要是人与人之间进行传播，感染人群年龄大多数是40岁以上人群．该病毒进入人体后有潜伏期，潜伏期是指病原体侵入人体至最早出现临床症状的这段时间．潜伏期越长，

感染到他人的可能性越高，现对200个病例的潜伏期（单位：天）进行调查，统计发现潜伏期平均数为7.1，方差为22.25．如果认为超过8天的潜伏期属于“长潜伏期”，按照年龄统计样本，得到右面的列联表：（1）根据小概率值0.05

=的独立性检验，分析“长期潜伏”与年龄是否有关；（2）设潜伏期X服从正态分布2(,)N，其中近似为样本平均数x，2近似为样本方差2s．（ⅰ）现在我国对入境旅客一律要求隔离14天，请用概率的知识解释其合理性；（ⅱ

）以题目中的样本频率估计概率，设1000个病例中恰有(*)kkN个属于“长期潜伏”的概率是()gk，当k为何值时，()gk取得最大值．附：22()()()()()nadbcXabcdacad−=++++．若2~(,)N，则

()0.6826P−+=，(22)0.9544P−+=，(33)0.9974P−+=．20()PXx…0.10.050.0100x2.7063.8416.6353．2

021年5月，“共和国勋章”获得者、“杂交水稻之父”袁隆平先生辞世，他的功绩将永远被人们铭记：在他和几代科学家的共同努力下，中国用全世界7%的耕地，养活了全世界22%的人口．目前，我国年人均粮食占有量已经稳定在470千克以

上，远高于国际公认的400千克粮食安全线．某校数学建模小组的同学想研究假如没有杂交水稻的推广，没有合理的人口、土地政策，仅以新中国成立时的自然条件为前提，我国年人均粮食占有量会如何变化？根据英国经济学家马尔萨斯《人口论》的观点“人口呈几何级数增长，而生活资料呈直线型增长”，该小组同学

做了以下研究．根据马尔萨斯的理论，自然状态下人口增长模型为0rtyye=①（其中t表示经过的时间，0y表示0t=时的人口数，r表示人口的年平均增长率，y表示t年后的人口数，单位：万人）．根据国家统计局网站的数据，我国1950年末、1959年末的人口总数分别为55196万和6

7207万．该小组同学根据这两个数据，以1950年末的数据作为0t=时的人口数，求得①式人口增长模型．经检验，1950~1959年的实际人口数与此模型基本吻合，如图．（1）若你是该小组成员，请求出①式的人口增长模

型，并以该模型计算从1950年末开始，大约多少年后我国人口达到13亿？（年数取不小于t的最小整数）（2）根据马尔萨斯的理论，该小组同学把自然状态下粮食增长模型近似看作直线型模型，通过查阅我国1950年末至1959年末粮食产量，得到粮食增长模型

近似为60013600yt=+（其中t表示经过的时间，y表示第t年的粮食年产量，单位：万吨）．060013600()()rttfttNye+=表示从1950年末开始第t年的年人均粮食占有量，单位：吨/人．（ⅰ）求满足()1(1)

fkfk−的正整数k的最小值；（ⅱ）按此模型，我国年人均粮食占有量能达到400千克吗？试说明理由．参考数据：672075519690.02188lnln−，1300005519639.150.02188lnl

n−，0.021881.022e，23551961.02291050．4．在党中央的正确领导下，通过全国人民的齐心协力，特别是全体一线医护人员的奋力救治，二月份“新冠肺炎”疫情得到了控制．甲、乙两个地区采取防护措施后，统计了从2月7日到2月13日一周的新增“新冠肺

炎”确诊人数，绘制成如图折线图：（1）根据图中甲、乙两个地区折线图的信息，写出你认为最重要的两个统计结论；（2）新冠病毒在进入人体后有一段时间的潜伏期，此期间为病毒传播的最佳时期，我们把与病毒感染者有过密切接触的人群称为密切

接触者，假设每位密切接触者不再接触其他病毒感染者，10天内所有人不知情且生活照常．（ⅰ）在不加任何防护措施的前提下，假设每位密切接触者被感染的概率均为(01)pp．第一天，若某位感染者产生()aaN名密切接触者则第二天新增感染者平均人数为

ap；第二天，若每位感染者都产生a名密切接触者，则第三天新增感染者平均人数为(1)apap+；以此类推，记由一名感染者引发的病毒传播的第n天新增感染者平均人数为(210)Enn剟．写出4E，nE；（ⅱ）在（ⅰ）的条件下，若所有人都配戴口罩后，假设每位密切接触者被感染的概率均为p，且满足关系

2(1)3plnpp=+−，此时，记由一名感染者引发的病毒传播的第n天新增感染者平均人数为(210)nEn剟．当p最大，且10a=时，根据6E和6E的值说明戴口罩的必要性．(p精确到0.1)参考公式：函数(1)ylnx=+的导函数11yx=+，；参考数据：31.1ln，20.7l

n，461296=．5．元旦将至，学校文学社拟举办“品诗词雅韵，看俊采星驰”的古诗词挑战赛．初赛阶段有个人晋级赛和团体对决赛．个人晋级赛为“信息连线”题，每位参赛者只有一次挑战机会．比赛规则为；电脑随机给出错乱排列的五句古诗

词和五条相关的诗词背景（如诗词题名、诗词作者等），要求参赛者将它们一一配对，有三对或三对以上配对正确即可晋级．团体对决赛为“诗词问答”题，为了比赛的广泛性，要求以班级为单位，各班级团队的参赛人数不少于30人

，且参赛人数为偶数．为了避免答题先后的干扰，当一个班级团队全体参赛者都答题完毕后，电脑会依次显示各人的答题是否正确，并按比赛规则裁定该班级团队是否挑战成功．参赛方式有如下两种，各班可自主选择其中之一参赛．方式一：将班级团队

选派的2n个人平均分成n组，每组2人．电脑随机分配给同一组两个人一道相同试题，两人同时独立答题，若这两人中至少有一人回答正确，则该小组闯关成功．若这n个小组都闯关成功，则该班级团队挑战成功．方式二：将班级团队选派的2n个人平均分成2组，每组n人．电脑随机分配

给同一组n个人一道相同试题，各人同时独立答题，若这n个人都回答正确，则该小组闯关成功．若这2个小组至少有一个小组闯关成功．则该班级团队挑战成功．（1）甲同学参加个人晋级赛，他对电脑给出的五组信息有且只有一组能正确配对，其余四组都只能随机配对求甲同学能晋级的概率；（2）在团体对决赛中

，假设你班每位参赛同学对给出的试题回答正确的概率均为常数(01)pp，为使本班团队挑战成功的可能性更大，应选择哪种参赛方式？说明你的理由．6．2021年11月4日，第四届中国国际进口博览会在上海开幕，共计

2900多家参展商参展，420多项新产品，新技术，新服务在本届进博会上亮相．某投资公司现从中选出20种新产品进行投资．为给下一年度投资提供决策依据，需了解年研发经费对年销售额的影响，该公司甲，乙两部门分别从这20种新产品中随机地选取10种产品，每种产品被甲，乙两部门是否选中相互独立．（1）

求20种新产品中产品A被甲部门或乙部门选中的概率；（2）甲部门对选取的10种产品的年研发经费ix（单位：万元）和年销售额(1iyi=，2，，10)（单位：十万元）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．101iix=101iiy=1021(3)iix=

−1041(3)iix=−1021(3)iiixy=−657520587732016根据散点图现拟定y关于x的回归方程为2ˆˆˆ(3)ybxa=−+．求ˆˆ,ab的值（结果精确到0.1)；（3）甲，乙两部门同时选中了新产品A，现用掷骰子的方式确定投资金额

．若每次掷骰子点数大于2，则甲部门增加投资1万元，乙部门不增加投资；若点数小于3，则乙部门增加投资2万元，甲部门不增加投资，求两部门投资资金总和恰好为100万元的概率．附：对于一组数据1(，1)u，2(，2)u，，(n，)nu，其回归直线u=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为12

1()()ˆˆˆ,,()niiiniiuuub==−−==−−参考数据：20162057.529877320520.5277−=−，2016657.510198773656.55567−=−．7．11月，2019全国美丽乡村篮球大赛在中国农村

改革的发源地−安徽凤阳举办，其间甲、乙两人轮流进行篮球定点投篮比赛（每人各投一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲乙两人或在同一位置，甲先投，每人投一次球，两人有1人命中，命中者得1分，未命中者得1−分；两人都命中或都未命中，两人均得0分，设甲每次投球命中的概率为12，乙

每次投球命中的概率为23，且各次投球互不影响．（1）经过1轮投球，记甲的得分为X，求X的分布列；（2）若经过n轮投球，用ip表示经过第i轮投球，累计得分，甲的得分高于乙的得分的概率．①求1p，2p，3p；②规定00p=，经过计算机计算可估计得11(1)iii

ipapbpcpb+−=++，请根据①中1p，2p，3p的值分别写出a，c关于b的表达式，并由此求出数列{}np的通项公式．8．2019年7月1日至3日，世界新能源汽车大会在海南博鳖召开，以“新时代、新变革、新产业”为主题，突出电动化、智能化、共享化融合发展特色．某汽车公司顺应时代潮流，新研发了

一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程（理论上是指新能源汽车所装载的燃料或电池所能够提供给车行驶的最远里程）的测试．现对测试数据进行分析，得到如图所示的频率分布直方图．（1）估计这100辆汽车的单次最大续航里程

的平均值x（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）根据大量的汽车测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程X近似地服从正态分布2(,)N，用样本平均数x作为的近似值，用样本标准差s作为的估计值，经计算样本标准差s的近似值为

50，现任取一辆汽车，求它的单次最大续航里程恰在250千米到400千米之间的概率．（3）某汽车销售公司为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动，客户可根据抛掷硬币的结果，操控微型遥控

车在方格图上行进，若遥控车最终停在“胜利大本营”，则可获得购车优惠券．已知硬币出现正反面的概率都是12，方格图上标有第0格、第1格、第2格、、第50格．遥控车开始在第0格，客户每掷一次硬币，遥控车向前移动一次，若掷出正面，遥控车向前移动一格（从k到1)

k+，若掷出反面，遥控车向前移动两格（从k到2)k+，直到遥控车移到第49格（胜利大本营）或第50格（失败大本营）时，游戏结束．设遥控车移到第n格的概率为nP，试说明1{}nnPP−−是等比数列，并解释此方案能否成功吸引顾客购买该

款新能源汽车．参考数据：若随机变量服从正态分布2(,)N，则()0.6827P−+„，(22)0.9545P−+„，(33)0.9973P−+„．参考答案1．（1）

5局：胜3，平1，输1，333345()(1)10(1)1010fpCpppppp=−=−=−，232()304010(34)fppppp=−=−，令()0fp=，解得34p=．当3(0,)4p时，()0

fp，()fp在3(0,)4上为增函数；当3(,1)4p时，()0fp，()fp在3(,1)4上为减函数．所以()fp的最大值点034p=．（2）由（1）知34p=．（ⅰ）的可能取值为3，2，1，03233

333189.(3)()()(1)444256PC==+−=，23243381(2)()(1)44512PC==−=，23243327(1)(1)()44512PC==−=，323333313(0)(1)(1)444256PC==−+−=．所以的分布列为（ⅱ）若

3=，则中国队10轮后的总积分为29分，美国队即便第10轮和第11轮都积3分，则11轮过后的总积分是28分，2928，所以，中国队如果第10轮积3分，则可提前一轮夺得冠军，其概率为：189(3)256PP===．32

10P1892568151227512132562．（1）22200(304011020)3.1753.8415015014060X−=，依据小概率值0.05=的独立性检验，分析“长期潜伏”与年龄无关．（2）（ⅰ）潜伏期X服从正态分布(7.1N，22.25)

，10.9974(13.85)0.00132PX−==…，由于P的值很小，故对入境旅客要求隔离14天合理．（ⅱ）以样本频率估计概率，则任意抽取一个病例，属于“长期潜伏”的概率为5012004=，100010013()()()44kkkgkC−=，

若()gk最大，则()(1)()(1)gkgkgkgk−+……，故1000111001100010001313()()()()4444kkkkkkCC−−−−…且10001199910001000

1313()()()()4444kkkkkkCC−++−…，解得997100144k剟，*kN，250k=，故当250k=时，()gk取得最大值．3．（1）由题意可知，055196y=，当9t=时，67207y=，所以96720755196re=，两边同时取对数

可得，67207551969lnlnr−=，解得0.02188r，所以0.0218855196tye=，令130000y=，可得0.0218855196130000te=，即130000551960.02188lnlnt−=，解得39.15t，取40t=，所以从1950年

末开始，大约40年后我国人口达到13亿；（2）（ⅰ）由题意，0.021886001360060013600()55196551961.022kkkkfke++==，则160013600()60013600551961.02

2600(1)13600(1)1.022(60013000)551961.022kkkfkkkfkk−++==−+−+，令()1(1)fkfk−，解得23.79k，所以正整数k的最小值为24；（ⅱ）由（

ⅰ）可知，当23k„时，年人均粮食占有量逐年增加，从第24年起，年人均粮食占有量逐年下降，当23t=时，年人均粮食占有量最大，该最大值为236002313600274000.301551961.02291050+吨301=千克，因为301400，所以按此模型我国年人均粮食占有量不

能达到400千克．4．（1）甲地区比乙地区新增人数的平均数低，甲地区比乙地区的方差大，（2）（ⅰ）24(1)Eapap=+，2(1)nnEapap−=+，210n剟，nN+，（ⅱ）令2()(1)3fplnpp=+−，则1221()133(1)pfppp−+=

−=++，当()0fp时，102p，()fp递增；当()0fp时，112p，()fp递减；故1311()()321.10.70.30.12233maxfpflnlnln==−=−−−−=，所以当0

.5p=时，p取得最大值0.1，此时446100.5(1100.5)566480E=+==，4100.1(1100.1)16E=+=，66EE，戴口罩很有必要．5．（1）设甲同学正确

配对3对为事件A，正确配对5对为事件B，甲同学能晋级为事件C，则CAB=+，且A，B互斥，甲同学只有一组能正确配对，其余四组都随机配对，则P（A）244414CA==，P（B）441124A==，甲同学

能晋级的概率11742424P=+=．（2）设选择方式一、二的班级团队挑战成功的概率分别为1P，2P，当选择方式一时，因为两人都回答错误的概率为2(1)p−，则两人中至少有一人回答正确的概率为：21(1)p−−，21[1(

1)](2)nnnpppp=−−=−．当选择方式二时，因为一个小组闯关成功的概率为np，则一个小组闯关不成功的概率为1np−，221(1)(2)nnnpppp=−−=−，12(2)(2)[(2)2]nnnnnnnppppppppp−=−−−

=−+−，设()(2)2nnfnpp=−+−，则11(1)()(2)(2)nnnnfnfnpppp+++−=−+−−−(2)(1)(1)nnpppp=−−+−(1)[(2)]nnppp=−−−，01p，则10p−，21p−，从而(2)1np−，1

np，(1)()0fnfn+−，即(1)()fnfn+，()fn单调递增，f（2）2222(2)22422(1)0ppppp=−+−=−+=−，则当15n…时，()0fn，从而120pp−，即12pp，为使本班挑战成功的可能性更大，应选择方式一参赛．6．（1）20种新产品

中产品A没有被甲部门和乙部门同时选中的概率：1010191910102020111224CCPCC===，所以产品A被甲部门或乙部门选中的概率为13144−=，（2）令2(3)tx=−，由题中数据101021111(3)20.5,7.51010iiiitxyy===−===，101

010102241111(3)2016,(3)8773iiiiiiiiiityxytx=====−==−=，101102211020162057.529ˆ877320520.527710iiiiitytybtt==−−===−−，29ˆˆ7.52

0.55.4277aybx=−=−，（3）由题意知，掷骰子时甲部门增加投资1万元发生的概率为23，乙部门增加投资2元发生的概率为13，设投资资金总和恰好为n万元的概率为nP，则投资资金总和恰好为(1)n+万元的概率为112133nnnPPP+−=+，所有111211()(2)333nnnnnn

nPPPPPPPn+−−−=+−=−−…，因为122121227721,,33339939PPPP==+=−=−=，所以数列1{}nnPP+−是首项为19，公比为13−的等比数列，所以1111()93nnnPP−+−=−，所以1001213299810099()()()()PPP

PPPPPPP=+−+−++−+−29821111111()()()39939393=++−+−++−910011[1()]231193()134431()3−−=+=+−−，所有投资资金总和恰好为100万元的概率为100311()443+．7．（1）X的可能取值为1−，0

，1，且121(1)(1)233PX=−=−=，12121(0)(1)(1)23232PX==+−−=，121(1)(1)236PX==−=，X的分布列为：（2）①由（1）知116p=，经过两轮投球甲的累计得分高有两种情况：一是两轮甲各得

1分，二是两轮中有一轮甲得0分，有一轮甲得1分，12211117()()662636pC=+=．经过三轮投球，甲的累计得分高有四种情况：一是三轮甲各得1分，二是三轮中有两轮甲各得1分，一轮得0分，三是三轮中有一轮甲得1分，两轮各

得0分，四是两轮各得1分，1轮得1−分，32212223333111111143()()()()()()()6626263216pCCC=+++=．②00p=，11(1)iiiipapbpcpb+−=++，1111iiiacpppbb+−=+−−，将012317430,,,63

6216pppp====代入，解得617ab=−，117cb=−，61(1),(1)77abcb=−=−，116177iiippp+−=+，117166iiippp+−=−，111()6iiiipppp+−−=−，1016pp−=，1{}nnpp−−是首项与公比都是16的等比

数列，116nnnpp−−=，01021111(1)1166()()()(1)15616nnnnnpppppppp−−=+−+−++−==−−．X1−01P1312168．（1）0.002502050.004502550.009503050.0

04503550.00150405x=++++300=（千米）．（2）由~(300XN，250)．0.95450.6827(250400)0.95450.81862PX−=−=„．（3）遥控车开始在第0格为必然事件，0

1P=．第一次掷硬币出现正面，遥控车移到第一格，其概率为12，即112P=．遥控车移到第(249)nn剟格的情况是下面两种，而且只有两种：①遥控车先到第2n−格，又掷出反面，其概率为212nP−．②遥控车先到第1n−格，又掷出正面，其概率为112nP−．211122

nnnPPP−−=+．1121()2nnnnPPPP−−−−=−−．149n剟时，数列1{}nnPP−−是等比数列，首项为1012PP−=−，公比为12−的等比数列．1112P−=−，2211()2PP−=−，3321()2P

P−=−，，11()2nnnPP−−=−．112100()()()nnnnnPPPPPPPP−−−=−+−++−+，1111()()1222nn−=−+−+−+1111()212[1()]1321()2nn++−−==−−−−(0n=，

1，，49)．遥控车停在“胜利大本营”的概率504921[1()]32P=−−，遥控车停在“失败大本营”的概率49495048112111[1()][1()]223232PP==−−=+．504948

4950211111[1()][1()][1()]0323232PP−=−−−+=−．遥控车停在“胜利大本营”的概率大．此方案能成功吸引顾客购买该款新能源汽车．