【文档说明】安徽省联考2022届高三（理科）数学教育教学质量监控试卷 含答案.docx，共(21)页，325.060 KB，由小赞的店铺上传

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2022届高三数学安徽省名校联考教育教学质量监控试卷（理科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合𝐴={(𝑥,𝑦)|𝑥+𝑦=6},𝐵={(𝑥,𝑦)|𝑦=𝑥2},则𝐴∩𝐵=()A.{(2,4)}B.{(−3,9)}C.{(2,4)

,(−3,9)}D.2.复数𝑧=21+𝑖(𝑖是虚数单位)的虚部是()A.−1B.1C.−𝑖D.𝑖3.为促进精准扶贫，某县计划引进一批果树树苗免费提供给贫困户种植.为了解果树树苗的生长情况，现从甲、乙两个品种中各随机抽取了100株，进行高度测量，并将高度数据制作成了如图

所示的频率分布直方图.由频率分布直方图求得甲、乙两个品种高度的平均值都是66.5，用样本估计总体，则下列描述正确的是()A.甲品种的平均高度高于乙品种，且乙品种比甲品种长的整齐B.乙品种的平均高度高于甲品种，且甲品种比乙品种长的整齐C.甲、乙品种的平均高度差不多，且

甲品种比乙品种长的整齐D.甲、乙品种的平均高度差不多，且乙品种比甲品种长的整齐4.与椭圆𝐶：𝑦216+𝑥212=1共焦点且过点(1,√3)的双曲线的标准方程为()A.𝑥2−𝑦23=1B.𝑦2−2𝑥2=1C.𝑦22−𝑥22=1D

.𝑦23−𝑥2=15.已知𝑎=log27，𝑏=log38，𝑐=0.30.2，则𝑎，𝑏，𝑐的大小关系为()A.𝑐<𝑏<𝑎B.𝑎<𝑏<𝑐C.𝑏<𝑐<𝑎D.𝑐<𝑎<𝑏6.甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师成语竞赛的成绩．老师说：你们

四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则()A.乙可以知道四人的成绩B.丁可以知道四人的成绩C.乙、丁可以知道对方的成绩

D.乙、丁可以知道自己的成绩7.函数𝑓(𝑥)=𝑒|𝑥+1|−𝑥2−2𝑥−2的图象可能是()A.B.C.D.8.(1−2𝑥)5展开式中的𝑥3系数为()A.40B.−40C.80D.−809.已知直三棱柱𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1的顶点都在球𝑂上，且𝐴𝐵=4，𝐴

𝐴1=6，∠𝐴𝐶𝐵=30⬚∘，则此直三棱柱的外接球𝑂的表面积是()A.25𝜋B.50𝜋C.100𝜋D.500𝜋310.希波克拉底是古希腊医学家，他被西方尊为“医学之父”，除了医学，他

也研究数学.特别是与“月牙形”有关的问题.如图所示.阴影郭分的月牙形的边缘都是圆弧，两段圆弧分别是△𝐴𝐵𝐶的外接圆和以𝐴𝐵为直径的圆的一部分，若∠𝐴𝐶𝐵=2𝜋3，𝐴𝐶=𝐵𝐶=1

，则该月牙形的面积为()A.√34+𝜋24B.√34−𝜋24C.14+𝜋24D.14−𝜋2411.在等差数列{𝑎𝑛}中，𝑎1=−9，𝑎5=−1.记𝑇𝑛=𝑎1𝑎2…𝑎𝑛(𝑛=1,2,…)，则数列{𝑇𝑛}()A.有最大项，有最

小项B.有最大项，无最小项C.无最大项，有最小项D.无最大项，无最小项12.已知定义在𝑅上的偶函数𝑓(𝑥)=𝑒|𝑥−𝑘|−𝑐𝑜𝑠𝑥(其中𝑒为自然对数的底数)，记𝑎=𝑓(0.32)，𝑏=𝑓(20

.3)，𝑐=𝑓(𝑘+log32)，则𝑎，𝑏，𝑐的大小关系是()A.𝑎<𝑐<𝑏B.𝑐<𝑎<𝑏C.𝑏<𝑐<𝑎D.𝑏<𝑎<𝑐二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.给出下列命题

：①若𝑎⃗⃗，𝑏⃗同向，则有|𝑏⃗+𝑎⃗⃗|=|𝑏⃗|+|𝑎⃗⃗|；②𝑎⃗⃗+𝑏⃗与|𝑎⃗⃗|+|𝑏⃗|表示的意义相同；③若𝑎⃗⃗，𝑏⃗不共线，则有|𝑎⃗⃗+𝑏⃗|>|𝑎⃗⃗|+|𝑏⃗|；④|𝑎⃗⃗|<|𝑎⃗⃗|

+|𝑏⃗|恒成立；⑤对任意两个向量𝑎⃗⃗，𝑏⃗，总有|𝑎⃗⃗+𝑏⃗|≤|𝑎⃗⃗|+|𝑏⃗|；⑥若三向量𝑎⃗⃗，𝑏⃗，𝑐⃗满足𝑎⃗⃗+𝑏⃗+𝑐⃗=0⃗，则此三向量围成一个三角形．其中正确的命题是(填序号

)14.若tan(𝛼−𝜋4)=16.则𝑡𝑎𝑛𝛼=．15.𝑂为坐标原点，𝐹为抛物线𝐶：𝑦2=4√2𝑥的焦点，𝑃为𝐶上一点，若𝑃𝐹=4√2，则△𝑃𝑂𝐹的面积为________．16.如图，正方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1的棱长为1，𝐸，

𝐹分别是棱𝐴𝐴1，𝐶𝐶1的中点，过直线𝐸𝐹的平面分别与棱𝐵𝐵1，𝐷𝐷1交于𝑀，𝑁，设𝐵𝑀=𝑥，𝑥∈[0,1]，给出以下四个结论：①平面𝑀𝐸𝑁𝐹⊥平面𝐵𝐷𝐷1𝐵1；②当且仅当𝑥=12时，四边形𝑀𝐸𝑁𝐹的面积最小；③四边形𝑀𝐸𝑁𝐹的周

长𝐿=𝑓(𝑥)，𝑥∈[0,1]是单调函数；④四棱锥𝐶1−𝑀𝐸𝑁𝐹的体积𝑉=(𝑥)在[0,1]上先减后增．其中正确命题的序号是．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和为𝑆𝑛，且𝑆

𝑛=2𝑛2+𝑛，𝑛∈𝑁+，数列{𝑏𝑛}满足𝑎𝑛=4𝑙𝑜𝑔2𝑏𝑛+3，𝑛∈𝑁+．(1)求𝑎𝑛，𝑏𝑛；(2)求数列{𝑎𝑛𝑏𝑛}的前𝑛项和𝑇𝑛．18.如图，在

正四棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵=2，∠𝐴𝑃𝐶=𝜋3，𝑀为𝑃𝐵上的四等分点，即𝐵𝑀=14𝐵𝑃．(1)证明：平面𝐴𝑀𝐶⊥平面𝑃𝐵𝐶；(2)求平面𝑃𝐷𝐶与平面𝐴𝑀𝐶所成锐二面角的余弦值．19.已知双曲线𝐸：𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(�

�>0,𝑏>0)的右焦点为𝐹，离心率𝑒=2，直线𝑙：𝑥=𝑎2𝑐与𝐸的一条渐近线交于𝑄，与𝑥轴交于𝑃，且|𝐹𝑄|=√3．(1)求𝐸的方程；(2)过𝐹的直线交𝐸的右支于𝐴，𝐵两点，求证：𝑃𝐹平分∠𝐴𝑃𝐵．20.已知火龙

果的甜度一般在11∼20度之间，现某火龙果种植基地对在新、旧施肥方法下种植的火龙果的甜度作对比，从新、旧施肥方法下种植的火龙果中各随机抽取了100个火龙果，根据水果甜度(单位：度)进行分组，若按[11,12)，[12,13)，[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,1

7)，[17,18)，[18,19)，[19,20]分组，旧施肥方法下的火龙果的甜度的频率分布直方图与新施肥方法下的火龙果的甜度的频数分布表如下所示，若规定甜度不低于15度为“超甜果”，其他为“非超甜果”

．甜度[11,12)[12,13)[13,14)[14,15)[15,16)[16,17)[17,18)[18,19)[19,20]频数581210161418125新施肥方法下的火龙果的甜度的频数分布表如图：(1)设两种施肥方

法下的火龙果的甜度相互独立，记𝑀表示事件：“旧施肥方法下的火龙果的甜度低于15度，新施肥方法下的火龙果的甜度不低于15度”，以样本估计总体，求事件𝑀的概率(2)根据上述样本数据，列出2×2列联表，并旧施肥方法下的火龙果的甜度的频率分布直方图判

断是否有99.5%的把握认为是否为“超甜果”与施肥方法有关？(3)以样本估计总体，若从旧施肥方法下的100个火龙果中按“超甜果”与“非超甜果”的标准划分，采用分层抽样的方法抽取5个，再从这5个火龙果中随机抽取2个

，设“超甜果”的个数为𝑋，求随机变量𝑋的分布列及数学期望．附：𝑃(𝐾2≥𝑘0)0.0250.0100.005𝑘05.0246.6357.879𝐾2=𝑛(𝑎𝑑−𝑏𝑐)2(𝑎+𝑏)(𝑐+𝑑)(𝑎+𝑐)(𝑏+𝑑)，其中𝑛=𝑎+𝑏+𝑐+

𝑑．21.设函数𝑓(𝑥)=𝑥3−𝑎𝑥2+1．(1)若𝑓(𝑥)在𝑥=3处取得极值，求𝑎的值；(2)若𝑓(𝑥)在[−2,−1]上单调递减，求𝑎的取值范围．22.在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，曲线𝐶的参数方程为{𝑥=1

2+𝑐𝑜𝑠𝛼𝑦=√32+𝑠𝑖𝑛𝛼(𝛼为参数)，以原点𝑂为极点，𝑥轴的正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标．(1)求曲线𝐶的极坐标方程；(2)在极坐标系中，𝑀，𝑁是曲线𝐶上的两点，若∠𝑀𝑂𝑁=𝜋3，求|𝑂𝑀|+|𝑂�

�|的最大值．23.已知函数𝑓(𝑥)=2|𝑥+4|−𝑚𝑥．(1)若𝑚=−1，求不等式𝑓(𝑥)>0的解集；(2)若关于𝑥的不等式𝑓(𝑥)>|𝑥−1|−𝑥2在(1,+∞)上恒成立，求实数𝑚的取值范围．答案和解析1.【答

案】𝐶【解析】【分析】本题考查集合的交集运算，考查曲线的交点坐标的求法，属于基础题．联立方程组求出交点坐标，利用交集的定义即可求解．【解答】解：由{𝑥+𝑦=6𝑦=𝑥²可得𝑥=2，𝑦=4或𝑥=−3，𝑦=9，所以𝐴∩𝐵={(2,4),(−3,9

)}．故选C．2.【答案】𝐴【解析】【分析】本题考查了复数的运算法则以及复数的定义，属于基础题．利用复数的运算法则化简复数𝑧即可得出.【解答】解：复数21+𝑖=2(1−𝑖)(1+𝑖)(1−𝑖)=

2(1−𝑖)2=1−𝑖，∴虚部为−1．故选A．3.【答案】𝐷【解析】【分析】本题考查频率分布直方图的应用，属于基础题．根据平均数、方差的数字特征即可说明结果．【解答】解：甲、乙两个品种高度的平均值都

是66.5，说明甲、乙品种的平均高度差不多；从甲、乙两个品种的频率分布直方图来看，乙品种的频率分布直方图体现的果树树苗高度更为集中，说明乙品种比甲品种长的整齐．故选D．4.【答案】𝐶【解析】【分析】本题主要考查椭圆与双曲线的标准方程，是高考中常见的题型，属于基础题．先求出椭

圆的焦点，然后设出双曲线的标准方程，代入(1,√3)，即可求解．【解答】解：椭圆𝑦216+𝑥212=1的焦点坐标为(0,−2)，(0,2)，设双曲线的标准方程为𝑦2𝑚−𝑥2𝑛=1(𝑚>0,𝑛>0)，则{3𝑚−1𝑛=1,𝑚+𝑛=4,

解得𝑚=𝑛=2．所以双曲线的标准方程为𝑦22−𝑥22=1．故选C．5.【答案】𝐴【解析】【分析】本题主要考查对数式与指数式的大小比较，属基础题．本题可根据相应的对数式与指数式与整数1、2进行比较即

可得出结果．【解答】解：由题意，可知：𝑎=log27>log24=2，1=log33<𝑏=log38<log39=2，𝑐=0.30.2<1，∴𝑐<𝑏<𝑎．故选：𝐴．6.【答案】𝐷【解析】【分析】本题考

查了合情推理的问题，关键掌握四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，属于中档题．根据四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，继而可以推出正确答案．【解答】解：甲不知自己的成绩→乙丙必有一优一良，(若为两优，甲

会知道自己的成绩；若是两良，甲也会知道自己的成绩);→乙看到了丙的成绩，乙没有说不知道自已的成绩，假定丙是优，则乙是良，乙就知道自己成绩;→甲、丁也为一优一良，丁看到甲成绩，假定甲是优，则丁是良，丁肯定知道自已的成绩

了．故选D．7.【答案】𝐵【解析】【分析】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的对称性以及𝑓(0)的值进行排除是解决本题的关键，是基础题．根据条件判断函数关于𝑥=−1对称，利用𝑓(0)>0，进行判断即可．【解答

】解：𝑓(𝑥)=𝑒|𝑥+1|−𝑥2−2𝑥−2=𝑒|𝑥+1|−(𝑥+1)2−1，则函数𝑓(𝑥)关于𝑥=−1对称，排除𝐴，𝐶，𝑓(0)=𝑒−2>0，排除𝐷，故选：𝐵．8.【答案】

𝐷【解析】解：(1−2𝑥)5展开式的通项公式为𝐶5𝑟⋅(−2𝑥)𝑟，故令𝑟=3，可得其中的𝑥3系数为𝐶53⋅(−2)3=−80，故选：𝐷．在二项展开式的通项公式中，令𝑥的幂指数等于3，求出𝑟的值，即可求得展开式中的𝑥3系数．本题主要考查

二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．9.【答案】𝐶【解析】【分析】本题考查了棱柱的结构特征，球体的表面积求法，涉及正弦定理的运用，考查了空间想象能力，属于中档题．根据题意作出大

致图形，结合正弦定理求出直三棱柱𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1底面外接圆的半径，然后根据球心在上下底面外心连线的中点上，结合勾股定理求出球体半径即可得到答案．【解答】解：由题意，𝐴𝐵=4，，在△𝐴𝐵𝐶中由正弦定理得𝐴𝐵sin∠𝐴𝐶𝐵=412=8=2�

�(𝑟为△𝐴𝐵𝐶外接圆的半径)，则𝑟=4，设△𝐴𝐵𝐶和△𝐴1𝐵1𝐶1的外心分别为𝐷,𝐷1，连接𝐷𝐷1，则球心𝑂在𝐷𝐷1的中点上，又𝐷𝐷1=𝐴𝐴1=6，即𝑂�

�=𝐷𝐷12=3，设球体半径为𝑅，易知𝐶𝐷=𝑟=4，则𝑂𝐶=𝑅2=𝐶𝐷2+𝑂𝐷2=16+9=25，所以此直三棱柱的外接球𝑂的表面积．故选C．10.【答案】𝐴【解析】【分析】本题

考查三角形和圆的有关计算，扇形的面积公式，属于中档题．由题意可得𝐴𝐵=√3，△𝐴𝐵𝐶的外接圆半径为1，进一步进行求解即可．【解答】解：由余弦定理可得，𝐴𝐵2=𝐴𝐶2+𝐵𝐶2−2×𝐴𝐶×𝐵𝐶×cos2𝜋3=1+1−2×1×1×(−12)=3解得𝐴𝐵=

√3，设△𝐴𝐵𝐶的外接圆半径为𝑅，则由正弦定理得，𝐴𝐵sin2𝜋3=2𝑅，解得𝑅=1．由题意，内侧圆弧为的外接圆的一部分，且其对应的圆心角为2𝜋3，则弓形𝐴𝐵𝐶的面积为，外侧圆弧以𝐴𝐵为直径，所以外

侧半圆的面积为12×𝜋×(√32)2=3𝜋8，则月牙形的面积为3𝜋8−(𝜋3−√34)=√34+𝜋24．故选A．11.【答案】𝐵【解析】【分析】本题考查等差数列的通项公式，考查数列的函数特性，考查分析问题与解决问题的能力，是中档题．由已知

求出等差数列的通项公式，分析可知数列{𝑎𝑛}是单调递增数列，且前5项为负值，自第6项开始为正值，进一步分析得答案．【解答】解：设等差数列{𝑎𝑛}的公差为𝑑，由𝑎1=−9，𝑎5=−1，得𝑑=𝑎5−𝑎15−1=−1−(−9)4=2，∴𝑎𝑛=

−9+2(𝑛−1)=2𝑛−11．由𝑎𝑛=2𝑛−11=0，得𝑛=112，而𝑛∈𝑁∗，可知数列{𝑎𝑛}是单调递增数列，且前5项为负值，自第6项开始为正值．可知𝑇1=−9<0，𝑇2=63>0，𝑇3=−315<0，𝑇4=

945>0为最大项，自𝑇5起均小于0，且逐渐减小．∴数列{𝑇𝑛}有最大项，无最小项．故选：𝐵．12.【答案】𝐴【解析】解：定义在𝑅上的偶函数𝑓(𝑥)=𝑒|𝑥−𝑘|−𝑐𝑜𝑠𝑥(其中𝑒为自然对数的底数)，故：𝑘=0，所以：函数𝑓(𝑥)=𝑒|�

�|−𝑐𝑜𝑠𝑥在(0,𝜋2)上单调递增，在(−𝜋2,0)上单调递减．则：𝑐=𝑓(𝑘+log32)=𝑓(log32)，由于：0<0.32<𝑙𝑜𝑔32<20.3，所以：𝑎<𝑐<𝑏，故选：𝐴．直接利用函数的性质单调性和奇偶性的应用求出结果．本

题考查的知识要点：函数的性质的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．13.【答案】①⑤【解析】【分析】本题考查共线向量、向量的模的概念，考查向量的加法，属于基础题．根据向量的模、共线向量的基本概念以及向量加法的法则，

逐一分析即可．【解答】解：对于①，若𝑎⃗⃗，𝑏⃗同向，则𝑏⃗+𝑎⃗⃗与𝑎⃗⃗,𝑏⃗同向，所以|𝑏⃗+𝑎⃗⃗|=|𝑏⃗|+|𝑎⃗⃗|，故①正确；对于②，𝑎⃗⃗+𝑏⃗与|𝑎⃗⃗|+

|𝑏⃗|前者表示向量，后者表示向量模的和，表示的意义不相同，故②不正确；对于③，若𝑎⃗⃗，𝑏⃗不共线，则有|𝑎⃗⃗+𝑏⃗|<|𝑎⃗⃗|+|𝑏⃗|，故③不正确；对于④，若𝑏⃗=0⃗，则|𝑎⃗⃗|≤|𝑎⃗⃗|+|𝑏⃗|

，故④不正确；对于⑤，对任意两个向量𝑎⃗⃗，𝑏⃗，总有|𝑎⃗⃗+𝑏⃗|≤|𝑎⃗⃗|+|𝑏⃗|，故⑤正确；对于⑥，若三向量𝑎⃗⃗，𝑏⃗，𝑐⃗满足𝑎⃗⃗+𝑏⃗+𝑐⃗=0⃗，若𝑎⃗⃗，𝑏⃗，𝑐

⃗中有零向量，则此三向量不能围成一个三角形，故⑥不正确．故答案为①⑤．14.【答案】75【解析】【分析】本题考查了两角差的正切公式，属于基础题．直接根据两角差的正切公式展开得到关于𝑡𝑎𝑛𝛼的方程，求解即可．【解答】解：∵tan(𝛼−𝜋4)=𝑡𝑎𝑛𝛼−tan𝜋41+𝑡𝑎�

�𝛼𝑡𝑎𝑛𝜋4=𝑡𝑎𝑛𝛼−1tan𝛼+1=16∴6𝑡𝑎𝑛𝛼−6=𝑡𝑎𝑛𝛼+1，解得𝑡𝑎𝑛𝛼=75，故答案为75．15.【答案】2√3【解析】【分析】本题主要考查抛物线的性质及几何意义，属于基础题，由题意得到𝑃点坐标

后进行求解即可．【解答】解：设点𝑃的坐标为(𝑥0,𝑦0)，由𝑃𝐹=𝑥0+√2=4√2，得𝑥0=3√2，代入抛物线方程得，𝑦02=4√2×3√2=24，所以|𝑦0|=2√6，所以𝑆△𝑃𝑂𝐹=12𝑂𝐹⋅|�

�0|=12×√2×2√6=2√3．故答案为2√3．16.【答案】①②【解析】【分析】本题考查空间中的面面垂直关系、椎体的体积公式，以及函数单调性的应用，综合性较强，设计巧妙，对学生的解题能力要求较高，属于难题．①连接�

�𝐹，𝐵𝐷，𝐵1𝐷1，则𝐸𝐹⊥平面𝐵𝐷𝐷1𝐵1，由面面垂直的判定定理可得平面𝑀𝐸𝑁𝐹⊥平面𝐵𝐷𝐷1𝐵1，即可判断①是否正确；②四边形𝑀𝐸𝑁𝐹的对角线𝐸𝐹是固定的，所以要使面积最小，则只需�

�𝑁的长度最小即可；③𝐸𝐹⊥𝑀𝑁，当𝑥∈[0,12]时，𝐸𝑁的长度由大变小，当𝑥∈[12,1]时，𝐸𝑀的长度由小变大，则函数𝐿=𝑓(𝑥)，𝑥∈[0,1]不单调，即可判断③是否正确；④连接

𝐶1𝐸，𝐶1𝑀，𝐶1𝑁，则四棱锥分割为两个小三棱锥，四棱锥𝐶1−𝑀𝐸𝑁𝐹的体积𝑉=ℎ(𝑥)为常值函数，即可判断④是否正确．【解答】解：对于①：连接𝐸𝐹，𝐵𝐷，𝐵1𝐷1

，则正方体的性质可知，𝐸𝐹⊥平面𝐵𝐷𝐷1𝐵1，所以平面𝑀𝐸𝑁𝐹⊥平面𝐵𝐷𝐷1𝐵1，所以①正确；对于②：连接𝑀𝑁，因为𝐸𝐹⊥平面𝐵𝐷𝐷1𝐵1，所以𝐸𝐹⊥𝑀𝑁，因为四边形𝑀𝐸𝑁𝐹的对角线𝐸𝐹是固定的，且|𝑀𝑁|=√(1−2𝑥)2

+2，所以当且仅当𝑥=12时，四边形𝑀𝐸𝑁𝐹的面积最小，故②正确；对于③：因为𝐸𝐹⊥𝑀𝑁，所以四边形𝑀𝐸𝑁𝐹是菱形，当𝑥∈[0,12]时，𝐸𝑀的长度由大变小，当𝑥∈[12,1]时

，𝐸𝑀的长度由小变大，所以函数𝐿=𝑓(𝑥)，𝑥∈[0,1]不单调，故③错误；对于④：四棱锥分割为两个小三棱锥，它们以𝐶1𝐸𝐹为底，以𝑀，𝑁分别为顶点的两个小棱锥𝑀−𝐶1𝐸𝐹，�

�−𝐶1𝐸𝐹，因为三角形𝐶1𝐸𝐹的面积是个常数，𝑀，𝑁到平面𝐶1𝐸𝐹的距离是个常数，所以四棱锥𝐶1−𝑀𝐸𝑁𝐹的体积𝑉=ℎ(𝑥)为常值函数，故④错误．故答案为：①②．17.【答案】解：(1)由𝑆𝑛=2𝑛2+𝑛可得

，当𝑛=1时，𝑎1=𝑆1=3，当𝑛≥2时，𝑎𝑛=𝑆𝑛−𝑆𝑛−1=2𝑛2+𝑛−2(𝑛−1)2−(𝑛−1)=4𝑛−1，而𝑛=1，𝑎1=4−1=3适合上式，故𝑎𝑛=4𝑛−1，又∵𝑎𝑛=4𝑙𝑜�

�2𝑏𝑛+3=4𝑛−1，∴𝑏𝑛=2𝑛−1；(2)由(1)知𝑎𝑛𝑏𝑛=(4𝑛−1)2𝑛−1，𝑇𝑛=3×20+7×2+⋯+(4𝑛−1)⋅2𝑛−1，2𝑇𝑛=3×2+7×22+⋯+(4𝑛−5)⋅2𝑛−1+(4

𝑛−1)⋅2𝑛，∴𝑇𝑛=(4𝑛−1)⋅2𝑛−[3+4(2+22+⋯+2𝑛−1)]=(4𝑛−1)⋅2𝑛−[3+4⋅2(1−2𝑛−1)1−2]=(4𝑛−1)⋅2𝑛−[3+4(2𝑛−2)]=(4𝑛−5)⋅2𝑛+5．【解析】(1)利用数列的和，

直接求解数列𝑎𝑛，利用递推关系式求解𝑏𝑛；(2)利用错位相减法求解数列{𝑎𝑛𝑏𝑛}的前𝑛项和𝑇𝑛．本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，考查计算能力．属中档题．18.【答案】解：(1

)由𝐴𝐵=2，可知𝐴𝐶=√22+22=2√2，由∠𝐴𝑃𝐶=𝜋3，可知𝑃𝐴=𝑃𝐶=𝐴𝐶=2√2，∵𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷是正四棱锥，∴𝑃𝐵=𝑃𝐷=𝑃𝐴=𝑃𝐶=2

√2，∴𝐵𝑀=√22,𝑃𝑀=3√22，在△𝑃𝐴𝐵中，设∠𝐴𝑃𝐵=𝜃，由余弦定理有，𝑐𝑜𝑠𝜃=𝑃𝐴2+𝑃𝐵2−𝐴𝐵22𝑃𝐴⋅𝑃𝐵=34，在△𝑃𝐴𝑀中，由余弦定理有，

𝐴𝑀2=𝑃𝐴2+𝑃𝑀2−2𝑃𝐴⋅𝑃𝑀𝑐𝑜𝑠𝜃=72，∴𝐴𝑀2+𝑀𝐵2=4=𝐴𝐵2，∴𝐴𝑀⊥𝑃𝐵，同理𝐶𝑀⊥𝑃𝐵，𝐴𝑀∩𝐶𝑀=𝑀，且𝐴𝑀，𝐶𝑀都在平面𝐴𝐶

𝑀内，故𝑃𝐵⊥平面𝐴𝐶𝑀，又𝑃𝐵⊂平面𝑃𝐵𝐶，∴平面𝐴𝑀𝐶⊥平面𝑃𝐵𝐶；(2)以底面中心𝑂为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则𝑂(0,0,0),𝐶(−1,1,0),𝐴(1,−1,0),𝑃(0,0,√6),𝐵(1,1,0)，𝐷(−

1,−1,0)设平面𝑃𝐷𝐶的法向量为𝑚⃗⃗⃗=(𝑥,𝑦,𝑧)，𝐷𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=(1,1,√6),𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=(0,2,0)，故{𝑚⃗⃗⃗⋅𝐷𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=𝑥+𝑦+√6𝑧=0𝑚⃗⃗⃗⋅𝐷�

�⃗⃗⃗⃗⃗=2𝑦=0，可取𝑚⃗⃗⃗=(2√6,0,−2)，设平面𝐴𝑀𝐶的法向量为𝑛⃗⃗=(𝑎,𝑏,𝑐)，则可取𝑛⃗⃗=𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(−1,−1,√6)，设平面𝑃𝐷𝐶与平面𝐴𝑀𝐶所成

锐二面角为𝜃，则cos𝜃=|𝑚⃗⃗⃗⋅𝑛⃗⃗|𝑚⃗⃗⃗||𝑛⃗⃗||=√217．【解析】本题考查面面垂直的判定以及利用空间向量求解二面角问题，考查推理论证及运算求解能力，属于常规题目．(1)由题中数据结合余弦定理，勾股定理可得𝐴𝑀⊥𝑃𝐵，𝐶𝑀⊥𝑃𝐵，由此即可证

得平面𝐴𝑀𝐶⊥平面𝑃𝐵𝐶；(2)建立空间直角坐标系，求出平面𝐴𝑀𝐶及平面𝑃𝐷𝐶的法向量，利用向量公式即可得解．19.【答案】解：(1)由{𝑥=𝑎2𝑐𝑦=𝑏𝑎𝑥得𝑦𝑄=𝑎𝑏𝑐，

又𝑃𝐹=𝑐−𝑎2𝑐=𝑏2𝑐，∴且|𝐹𝑄|2=(𝑎𝑏𝑐)2+(𝑏2𝑐)2=𝑏2=3，∴𝑏=√3，又离心率𝑒=2，∴𝑎2+𝑏2𝑎2=4，∴𝑎=1．∴𝐸的方程为：𝑥2−𝑦2

3=1．(2)设过点𝐹得直线方程为：𝑥=𝑚𝑦+2，𝐴(𝑥1,𝑦1)，𝐵(𝑥2,𝑦2).联立{𝑥=𝑚𝑦+23𝑥2−𝑦2=3，可得(3𝑚2−1)𝑦2+12𝑚𝑦+9=0，则：𝑦1+𝑦2=−1

2𝑚3𝑚2−1，𝑦1𝑦2=93𝑚2−1，∵过𝐹的直线交𝐸的右支于𝐴，𝐵两点，∴𝑦1𝑦2<0，可得−√33<𝑚<√33，又𝑃(12,0)，∴𝑘𝑃𝐴+𝑘𝑃𝐵=𝑦1𝑥1−12+𝑦2𝑥2

−12=𝑦1(𝑚𝑦2+32)+𝑦2(𝑚𝑦1+32)(𝑥1−12)(𝑥2−12)，∴𝑦1(𝑚𝑦2+32)+𝑦2(𝑚𝑦1+32)=2𝑚𝑦1𝑦2+32(𝑦1+𝑦2)=2𝑚⋅93𝑚2−1+32×−12𝑚3𝑚2−1=0．∴𝑘𝑃𝐴+𝑘𝑃𝐵=0，∴�

�𝐹平分∠𝐴𝑃𝐵．【解析】(1)由{𝑥=𝑎2𝑐𝑦=𝑏𝑎𝑥得𝑦𝑄=𝑎𝑏𝑐，利用|𝐹𝑄|2=(𝑎𝑏𝑐)2+(𝑏2𝑐)2=𝑏2，及离心率可得𝑎，𝑏的值，即可求解．(2)设过点𝐹得直线方程为：𝑥=𝑚𝑦+

2，联立{𝑥=𝑚𝑦+23𝑥2−𝑦2=3，利用韦达定理可得𝑘𝑃𝐴+𝑘𝑃𝐵=𝑦1𝑥1−12+𝑦2𝑥2−12=0，即可证明平分∠𝐴𝑃𝐵．本题考查了双曲线的性质，考查了直线与双曲线的位置关系，考查了运算能力，属于

中档题．20.【答案】解：(1)记𝐴表示事件：“旧施肥方法下的火龙果的甜度低于15度”，𝐵表示事件：“新施肥方法下的火龙果的甜度不低于15度”，则有𝑃(𝑀)=𝑃(𝐴𝐵)=𝑃(𝐴)𝑃(

𝐵)，由频率分布直方图可知，旧施肥方法下的火龙果的甜度低于15度的频率为(0.1+0.15×2+0.2)×1=0.6，由频数分布表可知，新施肥方法下的火龙果的甜度不低于15度的频率为16+14+18+12+5100=0.65，故事件𝑀的概率为0.65×0.6=0.39；(2)依题意可得到列联

表如下：非超甜果超甜果合计旧施肥方法6040100新施肥方法3565100合计95105200所以𝐾2=200×(60×65−35×40)295×105×100×100=5000399≈12.531>7.879，故有99.5%的把握认为是否为“超甜果”与施肥方法有关

；(3)旧施肥方法下的100个火龙果中，“非超甜果”为60个，“超甜果”为40个，按分层抽样的方法随机抽取5个，则抽取的“非超甜果”为3个，“超甜果”为2个，所以随机变量𝑋的所有可能取值为0，1，2，𝑃(𝑋=0)

=𝐶32𝐶20𝐶52=310，𝑃(𝑋=1)=𝐶31𝐶21𝐶52=35，𝑃(𝑋=2)=𝐶22𝐶52=110，故随机变量𝑋的分布列为：𝑋012𝑃31035110所以数学期望𝐸(𝑋)=0×310+1×35+2×110=45．【解

析】本题考查频率分布直方图的应用，相互独立事件的概率乘法公式的应用，列联表的应用以及独立性检验的应用，离散型随机变量及其分布列和离散型随机变量的期望，属于中档题．(1)分别求出旧施肥方法下和新施肥方法下的火龙

果的甜度低于15度的频率，然后由相互独立事件的概率乘法公式求解即可；(2)由列联表中的数据，计算𝐾2的值，对照临界表中的数据，比较即可得到答案；(3)先求出随机变量𝑋的可能取值，然后求出其对应的概率，列出分布列，由数学期望的计算公式求解即可．

21.【答案】解：(1)𝑓(𝑥)=𝑥3−𝑎𝑥2+1，则𝑓⬚′(𝑥)=3𝑥2−2𝑎𝑥，因为𝑓(𝑥)在𝑥=3处取得极值，所以𝑓′(3)=27−6𝑎=0，解得𝑎=92，经检验，当

𝑎=92时，𝑓(𝑥)在𝑥=3处取得极值;(2)因为𝑓(𝑥)在[−2,−1]上单调递减，所以𝑓′(𝑥)=3𝑥2−2𝑎𝑥≤0对𝑥∈[−2,−1]恒成立，则𝑎≤32𝑥对𝑥∈[−2,−1]恒成立，∵当𝑥∈[−2,−1]时，32𝑥∈[−3,−32]，∴𝑎≤−3，即𝑎的取

值范围为(−∞,−3]．【解析】本题主要考查利用函数的单调性与极值求参，属于基础题．(1)对𝑓(𝑥)求导，再根据题意有𝑓′(3)=0，据此列式求出𝑎;(2)由题可知𝑓′(𝑥)≤0对𝑥∈[−2,−1]恒成立，即𝑎≤32𝑥对𝑥∈[−2,−1]恒成立，

即可得出结论．22.【答案】解：(1)曲线𝐶的参数方程为{𝑥=12+𝑐𝑜𝑠𝛼𝑦=√32+𝑠𝑖𝑛𝛼(𝛼为参数)，转换为直角坐标方程为(𝑥−12)2+(𝑦−√32)2=1，根据{𝑥=𝜌𝑐𝑜𝑠𝜃𝑦=𝜌𝑠𝑖𝑛𝜃𝑥2+𝑦2=𝜌2

，整理得𝜌=𝑐𝑜𝑠𝜃+√3𝑠𝑖𝑛𝜃，转换为极坐标方程为𝜌=2𝑠𝑖𝑛(𝜃+𝜋6)．(2)设𝑀(𝜌1,𝜃)，𝑁(𝜌2,𝜃+𝜋3)，所以|𝑀𝑀|=𝜌1+𝜌2=2𝑠𝑖𝑛(𝜃+𝜋6)+2𝑠𝑖𝑛(𝜃+𝜋3+𝜋6)=2�

�𝑖𝑛(𝜃+𝜋6)+2𝑐𝑜𝑠𝜃=√3𝑠𝑖𝑛𝜃+3𝑐𝑜𝑠𝜃=2√3sin(𝜃+𝜋3)，当sin(𝜃+𝜋3)=1时，(|𝑂𝑀|+|𝑂𝑁|)𝑚𝑎𝑥=2√3．【解析】(1)直接利用转换关系，把参数方程、极坐标方程和直角坐标方

程之间进行转换．(2)利用三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应

用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.【答案】解：(1)依题意，2|𝑥+4|+𝑥>0，若𝑥<−4，原式化为−2𝑥−8+𝑥>0，解得𝑥<−8；若𝑥≥−4，原式化

为2𝑥+8+𝑥>0，解得𝑥>−83；综上所述，不等式𝑓(𝑥)>0的解集为(−∞,−8)∪(−83,+∞)；(2)依题意，2|𝑥+4|−𝑚𝑥>|𝑥−1|−𝑥2，由𝑥∈(1,+∞)，故上式化为2𝑥+8−𝑚𝑥>𝑥−1−𝑥2，故𝑚<𝑥+9𝑥+1，

而𝑥+9𝑥+1≥2√𝑥·9𝑥+1=7，当且仅当𝑥=3时等号成立，故𝑚<7，即实数𝑚的取值范围为(−∞,7)．【解析】本题考查不等式和绝对值不等式，基本不等式、不等式恒成立问题，考查分析与计算能力，属于中档题．(1)依题意，2|𝑥+4|+𝑥>0，分𝑥<−4，�

�≥−4两种情况讨论，计算求解即可；(2)依题意，2|𝑥+4|−𝑚𝑥>|𝑥−1|−𝑥2在(1,+∞)上恒成立，即上式化为2𝑥+8−𝑚𝑥>𝑥−1−𝑥2，分离参数，利用基本不等式求解即可．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xian

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