【文档说明】【精准解析】北师大版必修2一课三测：1.6.1.1直线与平面垂直的判定【高考】.docx，共(13)页，394.149 KB，由小赞的店铺上传

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以下为本文档部分文字说明：

6．1垂直关系的判定第一课时直线与平面垂直的判定填一填1.直线与平面垂直的定义如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么就称这条直线和这个平面垂直．2．直线和平面垂直的判定定理(1)文字语言：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平

面垂直．(2)图形语言：如图所示．(3)符号语言：aα，bα，a∩b＝A，l⊥a，l⊥b⇒l⊥α.判一判1.如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线垂直于这个平面．(×)2．如果一条直线不垂直于一个平面，那么这条直线不垂直于这个平面内的任意直线．(×)3

．两条直线和一个平面所成的角相等，则这两条直线一定平行．(×)4．若一条直线与平面内的无数条直线垂直，则该直线与这个平面垂直．(×)5．如果一条直线与一个平面垂直，则这条直线垂直于这个平面内的所有直线．(√)6．若直线l垂直于平面α，则l与平面α内的直线可能相交，可能异面，也可能平行．(×)7

．若a∥b，aα，l⊥α，则l⊥b.(√)8．若a⊥b，b⊥α，则a∥α.(×)想一想1.直线与平面垂直定义中的关键词“任意一条直线”是否可以换成“所有直线”“无数条直线”？提示：定义中的“任意一条直线”与“所有直线”是

等效的，但是不可说成“无数条直线”，因为一条直线与某平面内无数条平行直线垂直，该直线与这个平面不一定垂直．2．若把定理中“两条相交直线”改为“两条直线”，直线与平面一定垂直吗？提示：当这两条直线平行时，直线可与平

面相交，但不一定垂直．3．线线垂直的证明方法主要有哪些？提示：(1)由线面垂直的定义，即l⊥α，aα⇒l⊥a.(2)平面几何中的结论，如等腰三角形的底面的中线垂直于底边、菱形的对角线互相垂直、勾股定理等．4．证明线面垂直的方法有哪

些？提示：(1)线面垂直的定义(2)线面垂直的判定定理(3)如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．(4)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个

平面．思考感悟：练一练1.设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是()A．若l⊥α，l∥m，则m⊥αB．若l∥α，mα，则l∥mC．若l⊥m，mα，则l⊥αD．若l∥α，m∥α，则l∥m答案：A2．若三条直线AO，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于()A．平面OABB．平

面OCAC．平面OBCD．平面ABC答案：C3．已知直线l⊥平面α，则经过l且和α垂直的平面()A．有一个B．有两个C．有无数个D．不存在答案：C4．一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是()A．平行B．垂直C．相交不垂

直D．不确定答案：B5．如果一条直线垂直于一个平面内的①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边．则能保证该直线与平面垂直的是________．答案：①③知识点一直线与平面垂直关系的判断1.下列说

法中正确的个数是()①若直线l与平面α内一条直线垂直，则l⊥α；②若直线l与平面α内两条直线垂直，则l⊥α；③若直线l与平面α内两条相交直线垂直，则l⊥α；④若直线l与平面α内任意一条直线垂直，则l⊥α；⑤若直线l与平面α内无数条直线垂直，则l⊥α.A．1B．2C．3D．4解析：由直线与

平面垂直的判定定理和定义知正确的是③④，故选B.答案：B2．已知两条直线m，n，两个平面α，β，给出下列四个命题：①m∥n，m⊥α⇒n⊥α；②α∥β，mα，nβ⇒m∥n；③m∥n，m∥α⇒n∥α；④α

∥β，m∥n，m⊥α⇒n⊥β.其中正确命题的序号是()A．①③B．②④C．①④D．②③解析：①正确；对于②，分别位于两个平行平面内的两条直线必没有公共点，但它们不一定平行，也可能异面，因此②是错误的；对于③，直线n也可能位于平面α内，因此③是错误的；对于④，由m

⊥α且α∥β，得m⊥β，又m∥n，故n⊥β，因此④是正确的．答案：C知识点二直线与平面垂直的证明3.如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，SA⊥平面ABC，AD⊥SC于D，求证：AD⊥平面SBC.证明：因为∠ACB＝90°，所以BC⊥AC.又SA⊥平面ABC，BC平面ABC

，所以SA⊥BC.又AC∩SA＝A，所以BC⊥平面SAC.因为AD平面SAC，所以BC⊥AD.又SC⊥AD，SC∩BC＝C，所以AD⊥平面SBC.4．如图，在四棱锥S－ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB＝BC＝2，CD＝SD＝1.求证：SD

⊥平面SAB.证明：∵AB∥CD，BC⊥CD，AB＝BC＝2，CD＝1，∴底面ABCD为直角梯形，AD＝(2－1)2＋22＝5.∵侧面SAB为等边三角形，∴SA＝SB＝AB＝2.又SD＝1，∴AD2＝SA2＋SD2，∴SD⊥SA.连接BD，则BD＝22＋12＝5，

∴BD2＝SD2＋SB2，∴SD⊥SB.又SA∩SB＝S，∴SD⊥平面SAB.综合知识线面垂直判定的综合应用5.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，G为CC1的中点，O为底面ABCD的中心．求证：A1O⊥平面G

BD.证明：如图，连接GO，A1C1.∵DB⊥A1A，DB⊥AC，A1A∩AC＝A，∴DB⊥平面A1ACC1，而A1O平面A1ACC1，∴A1O⊥DB.在矩形A1ACC1中，设A1A＝1，∵tan∠AA1O＝22，tan∠GOC＝22，

∴∠AA1O＝∠GOC，则∠A1OA＋∠GOC＝90°，∴A1O⊥OG.∵OG∩DB＝O，∴A1O⊥平面GBD.6．如图，AB为⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，AN⊥PM，N为垂足．(1)求证：AN⊥平面PBM；(2)若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥P

B.证明：(1)因为AB为⊙O的直径，所以AM⊥BM.又PA⊥平面ABM，所以PA⊥BM.又因为PA∩AM＝A，所以BM⊥平面PAM.又AN平面PAM，所以BM⊥AN.又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，所以A

N⊥平面PBM.(2)由(1)知AN⊥平面PBM，PB平面PBM，所以AN⊥PB.又因为AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，所以PB⊥平面ANQ.又NQ平面ANQ，所以PB⊥NQ.基础达标一、选择题1．已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，

那么下面给出的条件中，一定能推出m⊥β的是()A．α∥β，且mαB．m∥n，且n⊥βC．m⊥n，且nβD．m⊥n，且n∥β解析：A中，由α∥β，且mα，知m∥β；B中，由n⊥β，知n垂直于平面β内的任意直线，再由m∥n，知m也垂直于β内的任意直线

，所以m⊥β，符合题意；C、D中，mβ或m∥β或m与β相交，不符合题意，故选B.答案：B2．下列表述正确的个数为()①若直线a∥平面α，直线a⊥b，则b⊥α；②若直线a平面α，bα，且a⊥b，则a⊥α；③若直线a平行于平面α内的两条直线，则

a∥α；④若直线a垂直于平面α内的两条直线，则a⊥α.A．0B．1C．2D．3解析：①中b与α还可能平行、在平面内或斜交；②同①；③中a还可能在平面α内；由直线与平面垂直的判定定理知④错误．答案：A3．直线l⊥平面α，直线mα，则l与m不可能()A．平行B．相交C．异面D

．垂直解析：∵直线l⊥平面α，∴l与α相交．又∵mα，∴l与m相交或异面．由直线与平面垂直的定义，可知l⊥m.故l与m不可能平行．答案：A4．已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是()A．若m∥α，n∥α，则m

∥nB．若m⊥α，m⊥n，则n∥αC．若m⊥α，nα，则m⊥nD．若m∥α，m⊥n，则n⊥α解析：对于选项A，若m∥α，n∥α，则m与n可能相交、平行或者异面；故A错误；对于B，若m⊥α，m⊥n，则n与α可能平行或者n在α内；故B错误；对于C，

若m⊥α，nα，则m⊥n；故C正确；对于D，若m∥α，m⊥n，则nα，n∥α或n与α相交；故D错误．故选C.答案：C5．如图，α∩β＝l，点A，C∈α，点B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，那么直线l与直线AC的关系是()

A．异面B．平行C．垂直D．不确定解析：∵BA⊥α，α∩β＝l，lα，∴BA⊥l.同理BC⊥l.又BA∩BC＝B，∴l⊥平面ABC.∵AC平面ABC，∴l⊥AC.答案：C6．如图，O为正方体ABCD－A1B1C1D1的底面A

BCD的中心，则下列直线中与B1O垂直的是()A．A1DB．AA1C．A1D1D．A1C1解析：由题易知，A1C1⊥平面BB1D1D，又OB1平面DD1B1B，∴A1C1⊥B1O.答案：D7．在△ABC中，

AB＝AC＝5，BC＝6，PA⊥平面ABC，PA＝8，则P到BC的距离是()A.5B．25C．35D．45解析：如图所示，作PD⊥BC于D，连接AD.因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥CD.所以CB⊥平面PAD，所以AD⊥BC.在△ACD中，AC＝5，CD＝3，所以AD

＝4.在Rt△PAD中，PA＝8，AD＝4，所以PD＝82＋42＝45.故选D.答案：D二、填空题8．已知PA垂直于平行四边形ABCD所在的平面，若PC⊥BD，则平行四边形一定是________．解析：如图所示，由PA⊥平面ABCD得PA⊥BD.又PC⊥BD，PA∩

PC＝P，∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥AC，∴平行四边形ABCD为菱形．答案：菱形9．在三棱锥P－ABC中，最多有________个直角三角形．解析：不妨设PA⊥AB，PA⊥AC，则△APB，△PAC为直角三角形，由线面垂直的判定定理，可

得PA⊥面ABC，由线面垂直的定义，可知PA⊥BC，若∠ABC＝90°，则BC⊥AB，∴BC⊥面PAB，即∠PBC＝90°，∴△ABC，△PBC为直角三角形，故直角三角形最多有4个．答案：410．有下列四种说法，正确的序号是________．①过空间一点有且只有一条直线与已知平面垂直；②已知

两条不重合的直线m，n和平面α，若m⊥n，m⊥α，则n∥α；③a，b，l表示三条不同的直线，α表示平面，若aα，bα，l⊥a，l⊥b，则l⊥α；④若直线a不平行于平面α，则直线a垂直于平面α.解析：①正确；对于②，若直线nα，也可满足m⊥n，m⊥α，故②不正确；对于③，注意a，

b需相交，才有l⊥α，所以③不正确；对于④，直线a不平行于平面α，直线a可以与平面α斜交或aα，故④不正确．答案：①11．已知点O为三棱锥P－ABC的顶点P在平面ABC内的射影，若PA＝PB＝PC，则O为△ABC的________心；若PA⊥BC，PB⊥AC，则O为△ABC的

________心；若P到三边AB，BC，CA的距离都相等且点O在△ABC的内部，则O为△ABC的________心．解析：当PA＝PB＝PC时，连接OA，OB，OC.∵PA＝PB＝PC∴PO⊥底面ABC∴PO⊥OA，PO

⊥OB，PO⊥OC又∵PA＝PB＝PC∴OA＝OB＝OC∴O为△ABC的外心．同理，当PA⊥BC，PB⊥AC时，AO⊥BC，BO⊥AC，∴O为△ABC的垂心．当P到三边AB，BC，CA的距离都相等，且点O在△ABC的内部时，有点O到三角形三边的距离相等，所以点O为△A

BC的内心．答案：外垂内12.如图，四棱锥S－ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，给出下列结论：①AC⊥SB；②AB∥平面SCD；③SA与平面ABD所成的角等于SC与平面ABD所成的角；④AC⊥SO.正确结论的序号是______

__．解析：连接SO，如图所示，因为四棱锥S－ABCD的底面为正方形，所以AC⊥BD.因为SD⊥底面ABCD，所以SD⊥AC，因为SD∩BD＝D，所以AC⊥平面SBD，因为SB平面SBD，所以AC⊥SB，则①正确；因为AB∥CD，AB平面SCD，CD平面SCD，所以AB∥平面S

CD，则②正确；因为SD⊥底面ABCD，所以∠SAD和∠SCD分别是SA与平面ABD所成的角、SC与平面ABD所成的角，因为AD＝CD，SD＝SD，所以∠SAD＝∠SCD，则③正确；因为AC⊥平面SBD，SO

平面SBD，所以AC⊥SO，则④正确．答案：①②③④三、解答题13．如图，在五面体ABCDEF中，点O是矩形ABCD对角线的交点，而△CDE是等边三角形，棱EF∥BC，且EF＝12BC，设BC＝3CD.求证：EO⊥平面CDF.证明：如图，取CD的中点M，连接EM，FM，OM，FO.∵四边形ABC

D为矩形，∴OM∥AD∥BC，且OM＝12AD＝12BC.又EF∥BC且EF＝12BC.∴四边形EFOM是平行四边形．又△CDE是等边三角形，CM＝DM.∴EM⊥CD，且EM＝32CD＝12CB＝EF，∴四边形EFOM为菱形，从而EO⊥FM.∵CD⊥OM，CD⊥EM，EM∩OM＝

M，∴CD⊥平面EOM，EO平面EOM，从而CD⊥EO.而FM∩CD＝M，∴EO⊥平面CDF.14.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，S是△ABC所在平面外一点，且SA＝SB＝SC.(1)求证：SD⊥平面ABC.(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SA

C.证明：(1)因为SA＝SC，D是AC的中点，所以SD⊥AC.在Rt△ABC中，AD＝BD，由已知SA＝SB，所以△ADS≌△BDS，所以∠SDA＝∠SDB，因为∠SDA＝90°，所以∠SDB＝90°，

所以SD⊥BD.又AC∩BD＝D，所以SD⊥平面ABC.(2)因为AB＝BC，D为AC的中点，所以BD⊥AC.由(1)知SD⊥BD，因为SD∩AC＝D，所以BD⊥平面SAC.能力提升15．如图所示，直三棱柱ABC－A1B1C1中(侧

棱与底面垂直的棱柱)，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，AA1＝2，D是A1B1的中点．(1)求证：C1D⊥平面AA1B1B；(2)若点F为BB1上的动点，则当点F在BB1上的什么位置时，会使得AB1⊥平面C1DF？并证明你的结论．证明：

(1)由题意知，A1C1＝B1C1＝1，且∠A1C1B1＝90°.∵D是A1B1的中点，∴C1D⊥A1B1.∵AA1⊥平面A1B1C1，C1D平面A1B1C1，∴AA1⊥C1D.∵AA1∩A1B1＝A1，∴C1D⊥平面AA1B1B.(2)点

F为BB1的中点时，AB1⊥平面C1DF.证明如下．∵C1D⊥平面AA1B1B，AB1平面AA1B1B，∴C1D⊥AB1.易知A1B1＝2，∵AA1＝2，∴四边形AA1B1B为正方形．又D为A1B1的中点，F为BB1的中点，∴AB

1⊥DF，又DF∩C1D＝D，∴AB1⊥平面C1DF.16．在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，过E点作EF⊥PB交PB于点F.求证：(1)EO

∥平面PAD；(2)PA∥平面DEB；(3)DE⊥平面PBC；(4)PB⊥平面DEF.证明：(1)连接AC，BD，交于O，连接EO.因为底面ABCD是正方形，所以点O是AC的中点．所以在△PAC中，EO是中位线，所以PA∥EO，因为EO平面PAD.PA平面PAD，所以EO∥平面PAD.(2

)由(1)知，PA∥EO，因为EO平面DEB，且PA平面DEB，所以PA∥平面DEB.(3)因为PD⊥底面ABCD，且BC底面ABCD，所以PD⊥BC.因为底面ABCD是正方形，所以DC⊥BC，可得BC⊥平面PDC.因为DE平面PDC

，所以BC⊥DE.又因为PD＝DC，E是PC的中点，所以DE⊥PC，又PC∩DE＝E.所以DE⊥平面PBC.(4)由(3)知DE⊥平面PBC，因为PB平面PBC，所以DE⊥PB.又因为EF⊥PB，且DE∩EF＝E，所以PB⊥平面DEF.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.

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