【文档说明】2021届高三数学文一轮跟踪检测：第9章　第8节 第2课时圆锥曲线中的范围、最值问题.docx，共(10)页，144.325 KB，由小赞的店铺上传

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第九章解析几何第八节直线与圆锥曲线的综合问题第2课时圆锥曲线中的范围、最值问题A级·基础过关|固根基|1.抛物线y＝x2上的点到直线x－y－2＝0的最短距离为()A.2B.728C．22D.526解析：选B设抛物

线上一点的坐标为(x，y)，则d＝|x－y－2|2＝|－x2＋x－2|2＝－x－122－742，∴当x＝12时，dmin＝728.2．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的直线交抛物线于A，B两点，且|AB|＝4，这样的直线可以作2条，则p的取值范围是()A．(0，4)

B．(0，4]C．(0，2]D．(0，2)解析：选D过抛物线y2＝2px(p>0)焦点的弦中最短的为通径，且通径长为2p，由已知得2p<4，所以p<2.又p>0，所以0<p<2.故选D.3．若点O和点F分别为椭圆x24＋y23＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一

点，则OP→·FP→的最大值为()A．2B．3C．6D．8解析：选C由题意得，F(－1，0)，设点P(x0，y0)，则y20＝31－x204(－2≤x0≤2)．则OP→·FP→＝x0(x0＋1)＋y20＝x20＋x

0＋y20＝x20＋x0＋31－x204＝14(x0＋2)2＋2.因为－2≤x0≤2，所以当x0＝2时，OP→·FP→取得最大值，最大值为6，故选C.4．过椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的右顶点A且斜率为

k的直线交椭圆C于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为左焦点F，若14<k<23，则椭圆离心率的取值范围为()A.13，34B.13，34C.0，34D.

13，1解析：选B由题意知，B－c，－b2a，所以k＝b2ac＋a＝a－ca＝1－e.又14<k<23，所以14<1－e<23，解得13<e<34.5．已知点P是双曲线C：x22－y2＝1右支上一点，直线l是双曲线C的一条渐近

线，P在l上的射影为Q，F1是双曲线C的左焦点，则|PF1|＋|PQ|的最小值为()A．1B．2＋155C．4＋155D．22＋1解析：选D设F2是双曲线C的右焦点，因为|PF1|－|PF2|＝22，所以|PF1|＋|PQ|＝22＋|

PF2|＋|PQ|，显然当F2，P，Q三点共线且P在F2，Q之间时，|PF2|＋|PQ|最小，且最小值为F2到l的距离．易知l的方程为y＝x2或y＝－x2，F2(3，0)，则F2到l的距离为d＝|3±0|3＝1，故|

PF1|＋|PQ|的最小值为22＋1.故选D.6．已知P(x0，y0)是椭圆C：x24＋y2＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若PF1→·PF2→<0，则x0的取值范围是________．解析：由题意可知，F1(－3，0)，F2(3，0)，则PF

1→·PF2→＝(x0＋3)(x0－3)＋y20＝x20＋y20－3<0.因为点P在椭圆上，所以y20＝1－x204.所以x20＋1－x204－3<0，解得－263<x0<263，即x0的取值范围是－263，26

3.答案：－263，2637．过双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的右顶点且斜率为2的直线，与该双曲线的右支交于两点，则此双曲线离心率的取值范围为________．解析：由过双曲线x2

a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的右顶点且斜率为2的直线，与该双曲线的右支交于两点，可得ba<2，∴e＝ca＝a2＋b2a2<1＋4＝5.∵e>1，∴1<e<5，∴此双曲线离心率的取值范围为(1，5)．答案：(1，5)8

．已知动点P(x，y)在椭圆x225＋y216＝1上，若A点的坐标为(3，0)，|AM→|＝1，且PM→·AM→＝0，则|PM→|的最小值是________．解析：∵PM→·AM→＝0，∴AM→⊥PM→，∴|PM→|2＝|AP→|2－|AM→|2＝

|AP→|2－1.∵椭圆右顶点到右焦点A的距离最小，故|AP→|min＝2，∴|PM→|min＝3.答案：39．已知椭圆M：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率为63，焦距为22.斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A，B.

(1)求椭圆M的方程；(2)若k＝1，求|AB|的最大值．解：(1)由题意得a2＝b2＋c2，ca＝63，2c＝22.解得a＝3，b＝1.所以椭圆M的方程为x23＋y2＝1.(2)设直线l的方程

为y＝x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)．由y＝x＋m，x23＋y2＝1得4x2＋6mx＋3m2－3＝0.所以x1＋x2＝－3m2，x1x2＝3m2－34.|AB|＝（x2－x1）2＋（y2－y1）2＝2[（x1＋x2）2－4x1

x2]＝12－3m22.当m＝0，即直线l过原点时，|AB|最大，最大值为6.10．如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2＝4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在抛物线C上．(1)设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；(2)若P是半椭圆x2＋y24＝1(x＜0)

上的动点，求△PAB面积的取值范围．解：(1)证明：设P(x0，y0)，A14y21，y1，B14y22，y2.因为PA，PB的中点在抛物线上，即x0＋14y212，y0＋y12在y2

＝4x上，所以有y0＋y122＝4×x0＋14y212，同理y0＋y222＝4×x0＋14y222.所以y1，y2为方程y＋y022＝4×14y2＋x02，即y2－2y0y

＋8x0－y20＝0的两个不同的实根．所以y1＋y2＝2y0，因此，PM垂直于y轴．(2)由(1)可知y1＋y2＝2y0，y1y2＝8x0－y20，所以|PM|＝18(y21＋y22)－x0＝34y20－3x0，|y1－y2|＝22（y20－4x0）.

因此，△PAB的面积为S△PAB＝12|PM|·|y1－y2|＝324(y20－4x0)32.因为x20＋y204＝1(x0＜0)，所以y20－4x0＝－4x20－4x0＋4∈[4，5]，因此，△PAB面积的取值范围是

62，15104.B级·素养提升|练能力|11.已知点P(0，1)，椭圆x24＋y2＝m(m>1)上两点A，B满足AP→＝2PB→，则当m＝________时，点B横坐标的绝对值最大．解析：设A(

x1，y1)，B(x2，y2)，由AP→＝2PB→，得－x1＝2x2，1－y1＝2（y2－1），即x1＝－2x2，y1＝3－2y2.因为点A，B在椭圆上，所以4x224＋（3－2y2）2＝m，x224＋y22＝m，得y2＝14m＋34，所以x22＝m－(3－2

y2)2＝－14m2＋52m－94＝－14(m－5)2＋4≤4，所以当m＝5时，点B横坐标的绝对值最大．答案：512.如图，已知抛物线x2＝y，点A－12，14，B32，94，抛物线上的点P(x，y)－12

<x<32.过点B作直线AP的垂线，垂足为Q.则直线AP斜率的取值范围为________，|PA|·|PQ|的最大值为________．解析：设直线AP的斜率为k，则k＝x2－14x＋12＝x－12.因为

－12<x<32，所以直线AP斜率的取值范围是(－1，1)．联立直线AP与BQ的方程kx－y＋12k＋14＝0，x＋ky－94k－32＝0，解得点Q的横坐标是xQ＝－k2＋4k＋32（k2＋1）.因为|PA|＝1＋k2x＋12

＝1＋k2(k＋1)，|PQ|＝1＋k2(xQ－x)＝－（k－1）（k＋1）2k2＋1，所以|PA|·|PQ|＝－(k－1)(k＋1)3.令f(k)＝－(k－1)(k＋1)3，k∈(－1，1)．因为f′(k)＝－(4k－2)(k＋1)2

，所以f(k)在区间－1，12上单调递增，12，1上单调递减，因此，当k＝12时，|PA|·|PQ|取得最大值2716.答案：(－1，1)271613．已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率为32，短轴长为2.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设直线

l：y＝kx＋m与椭圆C交于M，N两点，O为坐标原点，若kOM·kON＝54，求原点O到直线l的距离的取值范围．解：(1)由题知e＝ca＝32，2b＝2，又a2＝b2＋c2，∴b＝1，a＝2，∴椭圆C的标准方程为x24＋y2＝1.(2)设M(x1，y1)，N(x

2，y2)，联立方程y＝kx＋m，x24＋y2＝1，消去y得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，依题意，Δ＝(8km)2－4(4k2＋1)(4m2－4)>0，化简得m2<4k2＋1，①∴x1＋x2＝－8km4k2＋1，x1x2＝4m2－44k2＋1，∴y1y2＝

(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2.若kOM·kON＝54，则y1y2x1x2＝54，即4y1y2＝5x1x2.∴4k2x1x2＋4km(x1＋x2)＋4m2＝5x1x2，∴(4k2－5)·4（m2－1）4k2＋1＋4km·－8km4k2＋1＋4m

2＝0，即(4k2－5)(m2－1)－8k2m2＋m2(4k2＋1)＝0，化简得m2＋k2＝54，②由①②得0≤m2<65，120＜k2≤54.∵原点O到直线l的距离d＝|m|1＋k2，∴d2＝m21＋k2＝54－k21＋k2＝－1＋94（1＋k2）.又120＜k2≤54，∴0≤d

2＜87，∴原点O到直线l的距离的取值范围是0，2147.14．(2020届安徽省示范高中名校高三联考)已知抛物线E：y2＝2px(p>0)，过其焦点F的直线与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，满足y1y2＝－4.(1)求抛物线E的方程；(2)已

知点C的坐标为(－2，0)，记直线CA，CB的斜率分别为k1，k2，求1k21＋1k22的最小值．解：(1)因为直线AB过焦点，所以设直线AB的方程为x＝my＋p2，代入抛物线方程得y2－2pmy－p2＝0，则y1y2＝－p2＝－4，解得p＝2，所以抛物线E的方程为

y2＝4x.(2)由(1)知抛物线的焦点坐标为F(1，0)，则直线AB的方程为x＝my＋1，代入抛物线的方程有y2－4my－4＝0，所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4，则k1＝y1x1＋2＝y1my

1＋3，k2＝y2x2＋2＝y2my2＋3，所以1k1＝m＋3y1，1k2＝m＋3y2，因此1k21＋1k22＝m＋3y12＋m＋3y22＝2m2＋6m1y1＋1y

2＋91y21＋1y22＝2m2＋6m·y1＋y2y1y2＋9·（y1＋y2）2－2y1y2y21y22＝2m2＋6m·4m－4＋9·（4m）2＋816＝5m2＋92，所以当m＝0时，1k21＋1k22有最小值为92

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