【文档说明】湖南省长沙市雅礼教育集团2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题【精准解析】.doc，共(21)页，1.698 MB，由小赞的店铺上传

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雅礼教育集团2019-2020学年度第二学期期末考试试卷高一数学（时量：120分钟满分：150分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.等差数列na中，1510aa+=，47a=

，则数列na的公差为（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】【分析】设数列{}na的公差为d，则由题意可得12410ad+=，137ad+=，由此解得d的值．【详解】解：设数列{}na的公差为d，则由1510aa+=，47a=，可得12410ad+=，137a

d+=，解得2d=.故选：B．【点睛】本题考查等差数列的通项公式的应用，由已知条件求基本量．2.如果直线(2a+5)x+(a－2)y+4=0与直线(2－a)x+(a+3)y－1=0互相垂直，则a的值等于（）A.2

B.－2C.2,－2D.2,0,－2【答案】C【解析】(2a＋5)(2－a)＋(a－2)(a＋3)＝0，所以a＝2或a＝－2.3.在ABC中，1a=，2c=，120B=，则b边长为（）A.3B.4C.5D.

7【答案】D【解析】【分析】利用余弦定理可求得b边长.【详解】由余弦定理得2222cos7bacacB=+−=，因此，7b=.故选：D.【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，考查计算能力，属于基础题.4.《九章算术

》第三章“衰分”介绍比例分配问题：“衰分”是按比例递减分配的意思,通常称递减的比例(百分比)为“衰分比”．如：甲、乙、丙、丁“哀”得100,60,36,21.6个单位,递减的比例为40%,今共有粮(0)mm石,按甲、乙

、丙、丁的顺序进行“衰分”,已知丙衰分得80石,乙、丁衰分所得的和为164石,则“衰分比”与m的值分别为（）A.20%369B.80%369C.40%360D.60%365【答案】A【解析】【分析】设“衰分比”为a,甲衰分得b石,由题意

列出方程组,由此能求出结果．【详解】解：设“衰分比”为a,甲衰分得b石,由题意得23(1)80(1)(1)16480164babababm−=−+−=++=,解得125b=,20%a=,369m=．故选A．【点睛】本题考查等比数列在生产生活中的

实际应用,是基础题,解题时要认真审题,注意等比数列的性质的合理运用．5.如图所示，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为2，那么这个几何体的体积为（）A.43B.83C.4D.8【答案】A【解析】【分析】根据三视图还原原图，并根

据锥体体积公式，计算出几何体的体积.【详解】由三视图可知，该几何体为三棱锥，如下图所示，故体积为114222323=.故选：A【点睛】本小题主要考查根据三视图还原原图，考查几何体体积的求法，属于基础题.6.已知向量aba，b满足||5a=，|

|6b=，6ab=−，则cos,=aab+（）A.3135−B.1935−C.1735D.1935【答案】D【解析】【分析】计算出()aab+、ab+的值，利用平面向量数量积可计算出cos,aab+的值.【详解】5a=，6b=，6ab=−，()225619aabaab+=+=−

=.()22222526367ababaabb+=+=++=−+=，因此，()1919cos,5735aabaabaab++===+.故选：D.【点睛】本题考查平面向量夹角余弦值的计算，同时也考查了平面向量数量积的计算以及向量模的计算，考查

计算能力，属于中等题.7.下列命题中错误的是（）A.如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB.如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC.如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l，那么l⊥平面γD.如果平

面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β【答案】D【解析】由题意可知：A、结合实物：教室的门面与地面垂直，门面的上棱对应的直线就与地面平行，故此命题成立；B、假若平面α内存在直线垂直于平面β，根据面面

垂直的判定定理可知两平面垂直．故此命题成立；C、结合面面垂直的性质可以分别在α、β内作异于l的直线垂直于交线，再由线面垂直的性质定理可知所作的垂线平行，进而得到线面平行再由线面平行的性质可知所作的直线与l平行，又∵两条平行线中的一条垂直于平面那么另一条也垂直于平面，故命题成立；D、举反例：教

室内侧墙面与地面垂直，而侧墙面内有很多直线是不垂直与地面的．故此命题错误．故选D．8.若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230xy−−=的距离为（）A.55B.255C.355D.455【答案】B【解析】【分析】由题意可知圆心在第一象限，设

圆心的坐标为(),,0aaa，可得圆的半径为a，写出圆的标准方程，利用点()2,1在圆上，求得实数a的值，利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线230xy−−=的距离.【详解】由于圆上的点()2,1在第一象限，若圆心不

在第一象限，则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，设圆心的坐标为(),aa，则圆的半径为a，圆的标准方程为()()222xayaa−+−=.由题意可得()()22221aaa−+−=，可得2650aa−+=，解得1a=或5a=，所以圆心的坐标为()1,1

或()5,5，圆心到直线的距离均为121132555d−−==；圆心到直线的距离均为225532555d−−==圆心到直线230xy−−=的距离均为22555d−==；所以，圆心到直线230xy−−=的距离为255.故选：B.

【点睛】本题考查圆心到直线距离的计算，求出圆的方程是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.9.在ABC中，3a=，1b=，30B=，则A=（）A.60B.60或120C.120D.不存在【答案】B【解析】【分析】利用正弦

定理求得sinA的值，结合大边对大角定理以及A的取值范围可求得A的大小.【详解】由正弦定理sinsinabAB=，得13sin32sin12aBAb===，ab，则AB，且0180A，因此，60A=或120.故选：B.【点睛

】本题考查利用正弦定理解三角形，考查计算能力，属于基础题.10.数列na中，12a=，且112(2)nnnnnaanaa−−+=+−，则数列()211na−前2019项和为（）A.4036201

9B.20191010C.40372019D.40392020【答案】B【解析】【分析】由1122nnnnnaanaa（）−−+=+−，可得()22112nnnnaaaan−−−−−=，化为：()()22111nnaan−−−−=，利用“累加求和”方法可得()()2

112nnna+−=，再利用裂项求和法即可得解．【详解】解：∵1122nnnnnaanaa（）−−+=+−，∴()22112nnnnaaaan−−−−=﹣，整理得：()()22111nnaan−−−−=，∴()()()2211112naann−−−=+−++

，又12a=∴()()2112nnna+−=，可得：()()212112111nnnnna==−++−．则数列()211na−前2019项和为：111111201921212232019202020201010−+−++−=−=

．故选B．【点睛】本题主要考查了数列递推关系、“累加求和”方法、裂项求和，考查了推理能力、转化能力与计算能力，属于中档题．11.如图所示，平面四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝2，BD⊥CD，将其沿对角线BD折成四面体ABCD，使平面ABD⊥平面BCD，若四面体

ABCD的顶点在同一个球面上，则该球的体积为()A.32B.3πC.23D.2π【答案】A【解析】由题可知，球心在BC中点上，所以32R=，所以34332VR==，故选A．点睛：本题中三棱锥的外接球的球心，首先找到底面的外心，在BC中点上，再在过底面外心的中轴线的

一点，满足到各顶点的距离相等，则该点就是外接球球心，本题的BC中点恰好满足球心．外接球问题关键就是找到球心，求出半径．12.数列na满足()1121nnnaan++−=−，则na的前100项和为（）A.5020

B.5030C.5040D.5050【答案】D【解析】【分析】分2nk=和()21nkkN=−两种情况讨论，推导出21212kkaa+−+=。2228kkaak++=，由此可计算出数列na的前100项和.【详解】当()2nkkN=时，21241kkaak++=−；当()21nkk

N=−时，22143kkaak−−=−，可得222141kkaak++−=+，21212kkaa+−+=，2228kkaak++=，因此，数列na的前100项和为()()()()1001397992498100S

aaaaaaaa=+++++++++()88492522550502+=+=.故选：D.【点睛】本题考查分组求和，推导出21212kkaa+−+=，2228kkaak++=是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分

，共20分，把答案填在对应题号后的横线上.13.在正方体1111ABCDABCD−中，直线1AB与1AD所成角的大小为____________.【答案】60【解析】【分析】分别连接1,BCAC,可得11//ADBC，得到异面直线1AB与1AD所成角即为直线1AB与1BC所成角，

在1ABC中，即可求解.【详解】如图所示，在正方体1111ABCDABCD−中，分别连接1,BCAC,可得11//ADBC,所以异面直线1AB与1AD所成角即为直线1AB与1BC所成角，设1ABC=，在1ABC中，可得11ABBCAC==，所以60=，即异面直线

1AB与1AD所成角60.故答案为：60.【点睛】本题主要考查了异面直线所成角的求解，其中解答中熟记异面直线所成的求法是解答的关键，着重考查运算与求解能力，属于基础题.14.设a、b为单位向量，且22ab−=，则2ab+=____________.【答案】6

【解析】【分析】本题首先可以根据a、b为单位向量得出1ab==rr，然后根据22ab−=得出41ab=，最后通过计算22ab+rr的值即可得出结果.【详解】因为a、b为单位向量，所以1ab==rr，因为22ab−=，所以2222+44544abababab−=−=−=，41ab=，

则2222+44516ababab+=+=+=，26ab+=，故答案为6.【点睛】本题考查单位向量的相关性质以及向量的模的相关计算，若向量为单位向量，则向量的模长为1，考查计算能力，是简单题.15.若数列

{an}的前n项和为Sn＝23an＋13，则数列{an}的通项公式是an=______.【答案】1(2)nna−=−；【解析】【详解】试题分析：解：当n=1时，a1=S1=23a1+13，解得a1=1,当n≥2时，an=Sn-Sn-1=（2133n

a+）-（12133na−+）=23na-123na−整理可得13an＝−23an−1，即1nnaa−=-2，故数列{an}是以1为首项，-2为公比的等比数列，故an=1×（-2）n-1=（-2）n-1故答案为（-2

）n-1．考点:等比数列的通项公式．16.如图，在正方体1111ABCDABCD−中，点P在线段1BC上运动，则下列命题：①直线1BD⊥平面11ACD②三棱锥11PACD−的体积为定值③异面直线AP与

1AD所成角的取值范围是45,90④直线1CP与平面11ACD所成角的正弦值的最大值为63其中所有真命题的序号是____________.【答案】①②④【解析】【分析】对于①，利用线面垂直的判定定理及线面垂直的性质定理，即可进行判

断；对于②，利用线面平行的判定定理，得出1BC∥平面11ACD，再根据三棱锥的体积的计算方法，即可进行判断；对于③，利用异面直线所成角的计算方法，即可进行判断；对于④，通过建立空间直角坐标系，利用坐标法求出直线与平面所成角的正弦值，然后

借助二次函数，即可进行判断.【详解】对于①，连接11BD，1111ACBD⊥，111ACBB⊥，1111BDBBB=，11AC⊥平面11BBD，111ACBD⊥，同理，11DCBD⊥，1111ACDCC=，直线1BD⊥平面11ACD，故①正确；对于②

，1AD∥1BC，1AD平面11ACD，1BC平面11ACD，1BC∥平面11ACD，点P在线段1BC上运动，点P到平面11ACD的距离为定值，又11ACD的面积为定值，三棱锥11PACD−的体积为定值，故②正确；对于③，1A

D∥1BC，异面直线AP与1AD所成的角即为AP与1BC所成的角，当点P位于C点时，AP与1BC所成的角为60，当点P位于1BC的中点时，AB⊥平面11BCCB，1BPBC⊥，1APBC⊥，此时，AP与1BC所成的角为90，异面直线AP与1AD所成角的取值范围是60,90

，故③错误；对于④，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，1DD为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体1111ABCDABCD−的棱长为1，(),1,Paa，则()0,0,0D，()11,0,1A，()10,1,1C，()11,0,1DA=，()10,1,1DC=，()1,0,1CPaa=−，

设平面11ACD的法向量(),,nxyz=，则1100nDAnDC==，即00xyyz+=+=，令1x=，得()1,1,1n=-，所以，直线1CP与平面11ACD所成角的正弦值为：()122211113113222CPnCPnaaa==+−

−+，当12a=时，直线1CP与平面11ACD所成角的正弦值取得最大值，最大值为163132=，故④正确.故答案为：①②④.【点睛】本题考查线面垂直的判定定理、线面垂直的性质定理、线面平行的判定定理、三棱锥的体积的计算方法、异面直线所成角

的计算方法、利用向量法求解直线与平面所成角的正弦值，考查学生对这些知识的掌握能力，属于中档题.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.如图，在三棱锥PABC

−中，PAAB⊥，PABC⊥，ABBC=，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点.（1）求证：PABD⊥；（2）求证：平面BDE⊥平面PAC.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】

（1）先利用线面垂直的判定定理，证得PA⊥平面ABC，进而得到PABD⊥；（2）利用线面垂直的判定定理，证得BD⊥平面PAC，再结合面面垂直的判定，即可证得平面BDE⊥平面PAC；【详解】（1）由PAAB⊥，PABC⊥，且

ABÌ平面ABC，BC平面ABC，且ABBCB=，由线面垂直的判定定理，可得PA⊥平面ABC，又因为BD平面ABC，所以PABD⊥；（2）由ABBC=，D为AC的中点，可得BDAC⊥，又由PA⊥平面ABC，PA平面PAC，所以平面PAC⊥平面ABC，又因为平面P

AC平面,ABCACBD=平面ABC，且BDAC⊥，所以BD⊥平面PAC，因为BD平面BDE，所以平面BDE⊥平面PAC【点睛】本题主要考查了线面垂直的判定及性质，以及平面与平面垂直的判定与证明，其中解答中熟记线

面位置关系的判定定理和性质定理是解答的关键，着重考查推理与论证能力，属于基础题.18.设数列na满足123(21)2naanan+++−=.（1）求na的通项公式；（2）求数列21nan+的前n项和．【答案】(1)221nan=−；(2)221n

n+.【解析】【分析】（1）利用递推公式,作差后即可求得na的通项公式.（2）将na的通项公式代入,可得数列21nan+的表达式.利用裂项法即可求得前项和.【详解】（1）数列na满足()123212=naanan+++−2n时,()

()12132321naanan+++−−﹣＝∴()212nna−=∴221nan=−当1n=时,12a=,上式也成立∴221nan=−（2）21121(21)(21)2121nannnnn==−+−+−+∴数列21n

an+的前n项和1111113352121nn=−+−++−−+1212121nnn=−=++【点睛】本题考查了利用递推公式求通项公式,裂项法求和的简单应用,属于基础题.19.已知ABC的内角,,A

BC的对边分别是,,abc，且sin2sinbAaB=.（1）求A；（2）若2a=，ABC的面积为3，求ABC的周长.【答案】（1）3A=（2）6【解析】【分析】（1）根据sin2sinbAaB=，由二倍角正弦公式得到2sincossinbAAaB=，然后由正弦定

理求解.（2）根据2a=，利用余弦定理，得到224bcbc=+−，再根据ABC的面积为3，得到4bc=，两式联立求解.【详解】（1）由sin2sinbAaB=，得2sincossinbAAaB=，由正弦定理，得2sinsincossinsinBAAAB=，由于si

nsin0AB，所以1cos2A=.因为0A，所以3A=.（2）由余弦定理，得2222cosabcbcA=+−，又2a=，所以224bcbc=+−.①又ABC的面积为3，即1sin32bcA=，即1sin323bc=，即4bc=.②由①②得228bc+=，则2

22()28816bcbcbc+=++=+=，得4bc+=.所以ABC的周长为6.【点睛】本题主要考查等正弦定理，余弦定理的应用以及二倍角公式，还考查了运算求解的能力，属于中档题.20.如图所示，四棱锥PABC

D−中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，2PDAB==，E，F，G分别为PC、PD、BC的中点．（1）求证：//平面EFG；（2）求三棱锥PEFG−的体积．【答案】(1)见解析；(2)16.【解析】【详解】(1)取AD的中点H,连接FH,GH,由于

//,//EFCDCDHG,所以//EFHG,即EFHG四点共面.根据三角形的中位线得//PAFH,所以//PA平面EFG.(2)由于PD⊥平面ABCD,所以PDCB⊥,而BCCD⊥,所以BC⊥平面PCD,故111111326FPEGGPEFVV−−==

=.【点睛】本小题主要考查空间直线与平面平行的证明,考查空间几何体体积的求法,考查了平面延伸的方法.由于平面EFG范围较小,故需要将平面EFG扩展开来,扩展的方法就是构造线线平行来扩展,即利用//HGEF来扩展这个平面,再结合三角形的中位线即

可证得线面平行.21.已知点(2,2),(2,6),(4,2)ABC−−−−，点P在圆22:4Exy+=上运动.（1）求过点C且被圆E截得的弦长为22的直线方程；（2）求222||||||PAPBPC++的最值

.【答案】(1)7100xy++=或20xy+−=;(2)最大值为88,最小值为72.【解析】【分析】(1)依题意,直线的斜率存在,设出直线方程,结合点到直线距离公式,列出方程求解,即可得出结果.(2)由(2,2),(2,6),(4,2)ABC−−−−设P点坐标

为(),xy则224xy+=.代入化简可得222||||||804PAPBPCy++=−,由22y−≤≤,即可求得求222||||||PAPBPC++的最值.【详解】(1)依题意,直线的斜率存在,因为过点C

且被圆E截得的弦长为22,所以圆心到直线的距离为2,设直线方程为2(4)ykx+=−,即420kxyk−−−=,所以2|42|21kk−−=+,解得17k=−或1k=−所以直线方程为7100xy++=或20xy+−=.(2)设P点坐标为(),xy则224xy+=.222

222222||||||(2)(2)(2)(6)(4)(2)PAPBPCxyxyxy++=++++++−+−++()223468804xyyy=+−+=−因为22y−≤≤,所以7280488y−,即222||||||PAPBPC++的最大值为88,最小值为72.【点睛】本题主要考

查已知弦长求直线方程,考查圆上的点到定点的距离平方和的最值问题,熟记直线与圆的位置关系,以及点到直线距离公式即可,难度较易.22.已知数列na与nb满足()112nnnnaabb++−=−，nN.（1）若35nbn=+，且11a=，求数列na的通项公式；（2）设130

a=，nnb=()nN，求的取值范围，使得对任意m，nN，0na，且1,66mnaa.【答案】（1）*65,nannN=−；（2）1,04−.【解析】【分析】（1）由13nnbb+−=得到16nn

aa+−=，因此数列na是等差数列，然后根据首项和公差写出通项公式即可；（2）先用累加法求出数列na的通项公式，然后利用指数函数的单调性分别讨论出数列21na−和2na的单调性，从而求出数列na的最大值与最小值，

进而列出不等式求解即可.【详解】（1）35nbn=+，13nnbb+−=，()1126nnnnaabb++−=−=，又11a=，na是以1为首项，6为公差的等差数列，*65,nannN=−.（

2）nnb=，()111222nnnnnnaabb+++−=−=−，1122nnnnaa−−−=−，121222nnnnaa−−−−−=−，…22122aa−=−，上述等式累加可得，

122nnaa−=−，又13a=，*2,()nnanN=+，130a=，且对任意的*11,,66nanNa，0na，2212002a=+−，此时21212nna−−=−+，222nna=+，结合指数函数的单调

性可知，数列21na−是单调递增数列，数列2na是单调递减数列，na的最大值为2220a=+，最小值为130a=，mnaa的最大值为12233==2+2+1aa，最小值为212+1=3aa

，1,66mnaa，361210211436+−+,的取值范围为1,04−.【点睛】本题考查了定义法和累加法求数列通项，综合指数函数单调性考查了数列的单调性与最值问题，综合性较强，有一定难度.