【文档说明】八年级数学下册期末考点大串讲（人教版）专题15 平行四边形（强化-提高）-解析版.docx，共(30)页，989.934 KB，由管理员店铺上传

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1专题07平行四边形（强化-提高）一、单选题(共40分)1．(本题4分)（2021·宁夏银川市·九年级一模）如图，AC是平行四边形ABCD的对角线，点E在AC上，ADAEBE==，102D=，则BAC

的大小是（）A．24B．26C．28D．30°【答案】B【分析】根据平行四边形的性质得到∠ABC=∠D=102，AD=BC，根据等腰三角形的性质得到∠EAB=∠EBA，∠BEC=∠ECB，根据三角形外角的性质得到∠ACB=2∠CAB，由三角形的内

角和定理即可得到结论．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC=∠D=102，AD=BC，∵AD=AE=BE，∴BC=AE=BE，∴∠EAB=∠EBA，∠BEC=∠ECB，∵∠BEC=∠EAB+∠EBA=2∠EAB，∴∠ACB=2∠CAB，∴

∠CAB+∠ACB=3∠CAB=180-∠ABC=180-102，∴∠BAC=26，故答案为：26．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、三角形的内角和定理、三角形外角的性质，正确的识别图形找到角与角之间的关系是解题的关键

．22．(本题4分)（2021·贵州贵阳市·中考真题）如图，在ABCDY中，ABC的平分线交AD于点E，BCD的平分线交AD于点F，若3,4ABAD==，则EF的长是（）A．1B．2C．2.5D．3【答案】B【分析】根据平行四边形的性质证明DF＝CD，AE＝AB，进而可得AF

和ED的长，然后可得答案．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥CB，AB＝CD＝3，AD＝BC＝4，∴∠DFC＝∠FCB，又∵CF平分∠BCD，∴∠DCF＝∠FCB，∴∠DFC＝∠DCF，∴DF＝DC＝3，同

理可证：AE＝AB＝3，∵AD＝4，∴AF＝4−3＝1，DE＝4−3＝1，∴EF＝4−1−1＝2．故选：B．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可利用等腰三角形的性质解题．3．(本题4分)（2021·江苏苏州市·中考

真题）如图，在平行四边形ABCD中，将ABCV沿着AC所在的直线翻折得到ABCV，BC交AD于点E，连接BD，若60B=，45ACB=，6AC=，则BD的长是（）3A．1B．2C．3D．62【答案】B【分析】利用平行四边形的性质、翻折不变性可得△AEC为等腰直角三角形，根

据已知条件可得CE得长，进而得出ED的长，再根据勾股定理可得出BD；【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形∴AB=CD∠B=∠ADC=60°，∠ACB＝∠CAD由翻折可知：BA＝AB′＝DC，∠ACB＝∠ACB′=45°，∴△AEC为等腰直角三角形∴AE=CE∴Rt△AEB′≌

Rt△CDE∴EB′=DE∵在等腰Rt△AEC中，6AC=∴3CE=∵在Rt△DEC中，3CE=，∠ADC=60°∴∠DCE=30°∴DE=1在等腰Rt△DEB′中，EB′=DE=14∴BD=2故选：B【点睛】本题考查翻折变换、

等腰三角形的性质、勾股定理、平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．4．(本题4分)（2021·广西河池市·八年级期中）如图，在ABCDY中，BE垂直平分AD于点E，且45BCD=，4AB=，则AC的长为（）A．32B

．25C．35D．45【答案】D【分析】过点A作BC的垂线，与CB延长线交于F点，利用等腰直角三角形性质，根据勾股定理计算AC的值即可．【详解】过点A作BC的垂线，与CB延长线交于F点，∵BE垂直平分AD于点E，且∠BC

D=45°，AB=4，∴三角形AEB为等腰直角三角形，且AE=DE，∴AE=EB=ED=22,∴FC=62，∴()()2222226245ACAFFC=+=+=．故选：D．5【点睛】本题主要考查平行四边形性质，垂直平分线性质，以及勾股定理的

应用，熟知以上知识点是解决本题的关键．5．(本题4分)（2021·浙江杭州市·八年级期中）如图，已知ABCV的面积为24，点D在线段AC上，点F在线段BC的延长线上，且4BFCF=，四边形DCFE是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（）A．8B．6C．4D．3

【答案】A【分析】连接EC，过A作AM∥BC交FE的延长线于M，求出平行四边形ACFM，根据等底等高的三角形面积相等得出△BDE的面积和△CDE的面积相等，△ADE的面积和△AME的面积相等，推出阴影部分的面积等于平行四边形ACFM的面积的一半，求出CF×hC

F的值即可．【详解】解：连接EC，过A作//AMBC交FE的延长线于M，Q四边形CDEF是平行四边形，//DECF，//EFCD，////AMDECF，//ACFM，四边形ACFM是平行四边形，BDE∵边

DE上的高和CDE的边DE上的高相同，BDE的面积和CDE的面积相等，同理ADE的面积和AME的面积相等，即阴影部分的面积等于平行四边形ACFM的面积的一半，是12CFCFh，ABCQ的面

积是24，3BCCF=，1132422BCCFBChCFh==，616CFCFh=，阴影部分的面积是11682=，故选：A．【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，三角形的面积的应用，主要考查学生的推理能力和转化能力，题目比较好，但是有一定的难度．6．(本题4分)（202

1·湖南娄底市·中考真题）如图，点,EF在矩形ABCD的对角线BD所在的直线上，BEDF=，则四边形AECF是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形【答案】A【分析】利用三角形全等的性质得，对应边相

等及对应角相等，得出一组对边平行且相等，即可判断出形状．【详解】解：由题意：//,ADBCADBCBD=Q，FDAEBC=，又,ADBCBEDF==Q，7()ADFCBESASVV≌，AFEC=，,//AFDCEBAF

EC=，四边形AECF为平行四边形，故选：A．【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形全等的判定定理及性质、平行四边形的判定，解题的关键是：掌握平行四边形判定定理，利用三角形全等去得出相应条件．7．(本题4分)（2021·广东八年级专题练习）如图，直12ll//，点A、B固定

在直线2l上，点C是直线1l上一动点，若点E、F分别为CA、CB中点，对于下列各值：①线段EF的长；②CEF的周长；③CEF的面积；④ECF的度数，其中不随点C的移动而改变的是（）A．①②B．①③C．②④D．③④【答案】

B【分析】判断出AB长为定值，C到AB的距离为定值，再根据三角形的中位线与平行线的性质即可判断①③，根据运动得出CACB+不断发生变化、ACB的大小不断发生变化，即可判断②④．【详解】解：AQ、B为定点，AB长为定值，Q点E，F分别为CA，CB的中点，E

F是CAB的中位线，812EFAB=为定值，故①正确；Q点A，B为直线2l上定点，直线12ll//，C到2l的距离为定值，EFQ是CAB的中位线，12////EFll\，C到EF的距离为定值

，又EFQ为定值，CEF的面积为定值，故③正确；当C点移动时，CACB+的长发生变化，则CECF+的长发生变化，CEF的周长发生变化，故②错误；当C点移动时，ACB发生变化，则ECF发生变化，故④错误；故选：B．

【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形中位线定理、三角形面积等知识，熟练掌握三角形的中位线定理是解题的关键．8．(本题4分)（2021·黑龙江牡丹江市·八年级期中）下列命题为假命题的是（）A．对顶角相等B．两直线平行，同位角相等C．一组对边平行，另

一组对边相等的四边形是平行四边形D．81的算术平方根是3【答案】C【分析】根据真、假命题的定义进行判断即可得到结论．【详解】解：A.对顶角相等，是真命题，不符合题意；B.两直线平行，同位角相等，是真命题，不符合题意；C.一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，等腰梯形也成立，是假命

题，故此选项符合题意；9D.81=9,9的算术平方根是3，所以81的算术平方根是3，是真命题，不符合题意；故选：C【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解对顶角的性质、平行线的性质及平行四边形的判定以及算术平方根的意义，难度不大．9．(本题4分)（2021·浙江衢州市·

中考真题）如图，在ABCV中，4AB=，5AC=，6BC=，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，连结DE，EF，则四边形ADEF的周长为（）A．6B．9C．12D．15【答案】B【分析】根据中点的定义可得AD、AF的长，根据三角形中位线的性质

可得DE、EF的长，即可求出四边形ADEF的周长．【详解】∵4AB=，5AC=，6BC=，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，∴AD=12AB=2，AF=1522AC=，DE、EF为△ABC的中位线，∴EF=12AB=2，DE==1

522AC=，∴四边形ADEF的周长=2+2+5522+=9，故选：B．【点睛】本题主要考查三角形中位线的性质，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半；熟练掌握三角形中位线的性质是解题关键．10．(本题4分)（2021·河北中考真题）如图1，ABCDY中，ADAB，ABC为锐角．要在

对角线BD上找点N，M，使四边形ANCM为平行四边形，现有图2中的甲、乙、丙10三种方案，则正确的方案（）图2A．甲、乙、丙都是B．只有甲、乙才是C．只有甲、丙才是D．只有乙、丙才是【答案】A【分析】甲方案：利用对角线互相平分得证；乙方案：由ABNCDMVV≌，可得BNDM=,即可

得ONOM=，再利用对角线互相平分得证；丙方案:方法同乙方案．【详解】连接,ACBD交于点O甲方案：Q四边形ABCD是平行四边形,AOCOBODO==,BNNOOMMD==QONOM=四边形ANCM为平行四边形．乙方

案：Q四边形ABCD是平行四边形11ABCD=，//ABCD，,AOCOBODO==ABNCDM=又,ANBDCMBD⊥⊥QANBCMD=ABNCDM△≌△(AAS)BNDM=BODO=∵ONOM=四边形ANCM为平行四边形．丙方案:Q四边形ABCD是平行四边形ABCD=

，//ABCD，,AOCOBODO==，BADBCD=ABNCDM=又Q,ANCM分别平分,BADBCD1122BADBCD=，即BANDCN=ABNCDM△≌△（ASA）BNDM=BODO=∵ONOM=四边形ANCM为平行四边形．所以甲、

乙、丙三种方案都可以．故选A．【点睛】本题考查了平行四边的性质与判定，三角形全等的性质和判定，角平分线的概念等知识，能正确的利用全等三角的证明得到线段相等，结合平行四边形的判定是解题关键．二、填空题(共20分)1211．(本题5分

)（2021·广东阳江市·九年级二模）在探索数学名题“尺规三等分角”的过程中，有下面的问题：如图，AC是ABCDY的对角线，点E在AC上，ADAEBE==，108D=，则BAC的度数是______．【答案】24°

【分析】根据平行四边形的性质得到∠ABC＝∠D＝108°，AD＝BC，根据等腰三角形的性质得到∠EAB＝∠EBA，∠BEC＝∠ECB，根据三角形外角的性质得到∠ACB＝2∠CAB，由三角形的内角和定理即可得到结论．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠ABC＝∠D＝108°，AD＝BC，∵AD＝AE＝BE，∴BC＝AE＝BE，∴∠EAB＝∠EBA，∠BEC＝∠ECB，∵∠BEC＝∠EAB+∠EBA＝2∠EAB，∴∠ACB＝2∠CAB，∴∠CAB+∠ACB＝3∠CAB＝180°﹣∠ABC＝180°﹣108°，∴

∠BAC＝24°，故答案为：24°．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，正确的识别图形是解题的关键．12．(本题5分)（2021·江苏扬州市·中考真题）如图，在ABCDY中，点E在AD上，且

EC平分BED，若30EBC=，10BE=，则ABCDY的面积为________．13【答案】50【分析】过点E作EF⊥BC，垂足为F，利用直角三角形的性质求出EF，再根据平行线的性质和角平分线的定义得到∠BCE=∠BEC，可得BE=BC=10，最后利用平行四边形的面积公式计

算即可．【详解】解：过点E作EF⊥BC，垂足为F，∵∠EBC=30°，BE=10，∴EF=12BE=5，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DEC=∠BCE，又EC平分∠BED，即∠BEC=∠DEC，∴∠BCE=∠BEC，∴BE=BC=10

，∴四边形ABCD的面积=BCEF=105=50，故答案为：50．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，30度的直角三角形的性质，角平分线的定义，等角对等边，知识点较多，但难度不大，图形特征比较明显，作出辅助线构造直角三角形求出EF的长是解题的关键．1413．(本题5分)（2

021·广东八年级专题练习）我们知道，给出两边及其中一边的对角的三角形不一定是唯一的，例如△ABC中，∠A＝30°，AB＝8，BC＝6，我们可以作∠A＝30°，截取AB＝8，以B为圆心，6为半径作弧，与射线AE交于点C1，C2，则△ABC1和△ABC2均为满足条件的三角形．已知，平行四边

形ABCD中，AD＝15，BD＝13．AB边上的高为12，则平行四边形ABCD面积为____．【答案】168或48．【分析】分高DE在ABD△内外两种情形，利用勾股定理求出,AEBE的长，然后求出AB的长，再根据

平行四边形的面积公式分别求解即可．【详解】①如图，当DEAB⊥，E在AB延长线上时，在RtADE△中，222215129AEADDE=−=−=，在RtBDEV中，222213125BEBDDE=−=−=，∴954ABAEBE=−−==

，∴41248ABCDBSADE===平行四边形．②如图，当DEAB⊥，E在线段AB上时，9514ABAEBE=+=+=，15∴1412168ABCDSABDE===平行四边形，故答案为：48或168．【点睛】本题考查了勾股定理，解题的关键

是学会用分类讨论的思想思考问题．14．(本题5分)（2021·黑龙江九年级三模）如图，在等腰直角三角形ABC中，90ABC=，4AB=，分别连接AB，AC，BC的中点，得到第1个等腰直角三角形111

ABC；分别连接1AB，11AC，1BC的中点，得到第2个等腰直角三角形222ABC……以此规律作下去，得到等腰直角三角形202020202020ABC，则12020BB的长为______．【答案】201822

22−【分析】由题意，先求出12BB，13BB，14BB，然后找出变化的规律，即可得到答案．【详解】解：在等腰直角三角形ABC中，90ABC=，4ABBC==，∴224442AC=+=，∵1A、1B、1C是中点，∴11112ABBC==，∴1111422222AC

AC===，∴11122BBAC==，∴21212222BBBB===；16∴32322BBBB==，∴132222BB=−；同理可求：142224BB=−；152228BB=−；……∴122222nnBB−=−，∴1202020182222BB=−；故答案为：20182222

−．【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是遵循从特殊到一般的探究方法，寻找规律，利用规律即可解决问题．三、解答题(共90分)15．(本题8分)（2021·广东八年级专题练习）如图，点E在ABCDY内部，//AFBE，//DFCE．（1）

求证：BCEADFD@D；（2）设ABCDY的面积为6，求四边形AEDF面积．【答案】（1）见解析；（2）3【分析】17（1）利用平行四边形的性质结合ASA即可证明：△BCE≌△ADF；（2）根据点E在▱ABCD内部，可知：S△BEC+S△AED=12S

▱ABCD，再结合（1）可得结论．【详解】（1）证明：Q四边形ABCD是平行四边形，ADBC=，//ADBC，180ABCBAD+=，//AFBEQ，180EBABAF\???，CBEDAF\??，同理得BCEADF

=，在BCE和ADF中，CBEDAFBCADBCEADF===，()BCEADFASA\D@D；（2）解：Q点E在ABCDY内部，12BECAEDABCDSSS+=Y，由（1）知：BCEADFD

@D，BCEADFSS=，12ADFAEDBECAEDABCDAEDFSSSSSSDDDD\=+=+=Y四边形，ABCDQY的面积为6，四边形AEDF的面积为3．【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练利用三角

形和平行四边形边的关系得出面积关系是解题的关键．16．(本题8分)（2021·重庆九年级其他模拟）如图，在平行四边形ABCD中．（1）尺规作图：作BC的垂直平分线EF，交BC于点E，交AD与点F；（不写作法，保留作图痕迹）（2）连接DE并延长交AB的延长线于点G，求证：AB＝BG．

18【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据垂直平分线的作法作出图形即可；（2）由平行四边形的性质可推出,,ABCDGCDEGBEC===，进而证得BEGCEDVV≌，根据全等三角形的性质得到GB=DC，继而得到AB=BG．【详解】解：（1

）如图，EF就是BC的垂直平分线；（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，∴∠G=∠CDE，∠GBE=∠C，∵E为BC的中点，∴BE=CE，在△BGE和△CDE中，GCDEGBE

CBECE===∴△GBE≌△DCE（AAS），∴GB=DC，∵AB=CD，∴AB=BG．19【点睛】本题考查作图－基本作图，线段的垂直平分线的性质，全等三角形的性质和判定，平行四边形的性质，解题的关键是熟练

掌握尺规作图的基本方法．17．(本题8分)（2021·湖南株洲市·八年级期中）如图，平行四边形ABCD中，BD⊥AD，∠A＝45°，E、F分别是AB、CD上的点，且BE＝DF，连接EF交BD于O．（1）求证：O是BD的中点；（2）若EF⊥

AB，延长EF交AD的延长线于G，当FG＝2时，求AE的长．【答案】（1）见解析；（2）6【分析】（1）由平行四边形的性质和AAS证明△OBE≌△ODF，得出对应边相等即可；（2）证出AE=GE，再证明DG=DO，得出OF=F

G=2，即可得出结果．【详解】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC//AB，∴∠OBE=∠ODF．在△OBE与△ODF中，OBEODFBOEDOFBEDF===，∴△OBE≌△ODF（AAS

）．∴BO=DO，即O是BD的中点；（2）∵EF⊥AB，AB//DC，∴∠GEA=∠GFD=90°．∵∠A=45°，∴∠G=∠A=45°．∴AE=GE20∵BD⊥AD，∴∠ADB=∠GDO=90°．∴

∠GOD=∠G=45°．∴DG=DO，∴OF=FG=2，由（1）可知，OE=OF=2，∴GE=OE+OF+FG=6，∴AE=6．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题（1）的关键．18．(本题8

分)（2021·甘肃陇南市·九年级二模）点P是平行四边形ABCD的对角线AC所在直线上的一个动点（点P不与点A、C重合），分别过点A、C向直线BP作垂线，垂足分别为点E、F，点O为AC的中点．（1）如图

1所示，当点P与点O重合时，线段OE和OF的关系是________；（2）当点P运动到如图2所示的位置时，请在图中补全图形并通过证明判断（1）中的结论是否仍然成立？【答案】（1）OE=OF；（2）图形见解析，结论

仍然成立【分析】（1）由“AAS”可证△AEO≌△CFO，可得OE=OF；（2）由题意补全图形，由“ASA”可证△AOE≌△COG，可得OE=OG，由直角三角形的性质可得OG=OE=OF．【详解】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，21∴

AO=CO，又∵∠AEO=∠CFO=90°，∠AOE=∠COF，∴△AEO≌△CFO（AAS），∴OE=OF，故答案为：OE=OF；（2）补全图形如图所示，结论仍然成立，理由如下：延长EO交CF于点G，∵A

E⊥BP，CF⊥BP，∴AE∥CF，∴∠EAO=∠GCO，∵点O为AC的中点，∴AO=CO，又∵∠AOE=∠COG，∴△AOE≌△COG（ASA），∴OE=OG，∵∠GFE=90°，∴OE=OF．【点睛】本题是四边形

综合题，考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．19．(本题10分)（2021·黑龙江哈尔滨市·九年级二模）如图，ABCDY中，E、F在B、D上，且BEAB=，DFCD=，连接AF、CE．22（

1）求证：//AFCE；（2）若∠ABD=2∠DBC，在不添加辅助线的条件下请直接写出图形中的所有等腰三角形．【答案】（1）见解析；（2）符合条件的等腰三角形有ABFV、CDE△、AFDV、BEC△．【分析】（1）利用SAS证明ABFV≌CDE△，即可证明；（2）假设FD=FA，则

有∠AFB=2∠FDA=2∠FAD，由FD=FA=CD=AB，得到∠ABD=∠AFB=2∠FDA=2∠FAD，符合题意，同理，推出EC=EB=CD，即可写出图形中的所有等腰三角形．【详解】解：（1）∵四边形ABCD

为平行四边形，∴AB=CD，AB//CD，∴∠ABD=∠BDC，∵BE=AB，DF=CD，∴BE=DF，∴BF=DE，∴△ABF≌△CDE，∴∠AFB=∠CED，∴AF//CE；（2）假设FD=FA，则有∠AFB=2∠FDA=2∠FAD，∵FD=C

D，23∴FD=FA=CD=AB，∴∠ABD=∠AFB，∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠ADB=∠DBC，∵∠ABD=2∠DBC，∴∠ABD=2∠FDA=2∠FAD，∴假设符合题意，同理，推出EC=EB=CD

，∴符合条件的等腰三角形有ABFV、CDE△、AFDV、BEC△．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．20．(本题10分)（2021·山东济南市·九年级二模）如图，在▱ABCD中，点E是对角线BD上的一点，过点C作CF∥BD，且

CF＝DE．连接AE、BF．求证：AE＝BF．【答案】见解析【分析】先由平行四边形的性质得出AD∥BC，进而得出∠ADE=∠CBE，再由CF∥BD，进而得出∠ADE=∠BCF，最后证明△ADE和△BCF全等即可得到结论；【详解】证明：Q四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AD∥B

C，∴∠ADB=∠CBD，∵CF∥BD，∴∠BCF=∠CBD，∴∠ADB=∠BCF，∵CF=DE，24∴△AED≌△BFC(SAS)，∴AE=BF．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、三角形全等、平行线的性质等知识点，熟练掌握平

行四边形的性质及三角形全等的判定法则是解决此类题的关键；21．(本题12分)（2021·上海徐汇区·九年级二模）如图，在△ACB中，∠ABC＝90°，点D是斜边AC的中点，四边形CBDE是平行四边形．（1）如图1，延长ED交AB于点F，求证：EF垂直平分AB；（

2）如图2，联结BE、AE，如果BE平分∠ABC，求证：AB＝3BC．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）由平行四边形的性质得出DE∥BC，由平行线的性质得出DF⊥AB，由直角三角形的性质得出AD＝BD，则可得

出结论；（2）延长ED交AB于点F，由三角形中位线定理得出DF＝12BC，得出EF＝DF+DE＝32BC，由角平分线的定义证得BF＝EF，则可得出结论．【详解】（1）证明：∵四边形CBDE是平行四边形，∴DE∥BC，∵∠ABC＝90°，∴∠AFD

＝90°，∴DF⊥AB，又∵D为AC的中点，25∴AD＝BD，∴AF＝BF，即EF垂直平分AB；（2）证明：延长ED交AB于点F，由（1）知，EF垂直平分AB，∴DF＝12BC，∵四边形CBDE是平行四边形，∴BC＝DE，∴EF＝DF+DE＝32BC，∵BE平分∠ABC，∴∠

FBE＝45°，∴∠FBE＝∠FEB＝45°，∴BF＝EF，∴BF＝32BC，∴AB＝2BF＝3BC．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，垂直平分线的判定与性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，熟

练掌握平行四边形的性质是解题的关键．22．(本题12分)（2021·四川广元市·九年级一模）在ABCDY中，BE平分ABC交AD于点E．（1）如图①，若30D=，3AB=，求ABE△的面积；26（2

）如图②，过点A作AFDC⊥，交DC的延长线于点F，分别交BE，BC于点G，H，且ABAF=．求证：−=DEAGFC．【答案】（1）94；（2）证明见解析．【分析】（1）过点E作AB的垂线，交BA的延长线于点M，四边形ABCD是平行四边形，30D=，

//ADBC，30ABC=,进而进行求解；（2）过点A作BE的垂线，交BE于点K，交DF的延长线于点N，四边形ABCD是平行四边形，//ABCD，=BAGAFD，=BAKN，证明出()≌ABGFAN

ASA△△,进而得出结论．【详解】解：（1）过点E作AB的垂线，交BA的延长线于点M，如图①所示:①∵四边形ABCD是平行四边形，30D=，∴//ADBC，30ABC=,∴30MAE=,∵BE平分ABC，∴ABECBE=,由//ADBC，∴==AEBCEBABE,∴3AE

AB==,∴1322==MEAE,∴1139·32224===ABESABME△．27（2）过点A作BE的垂线，交BE于点K，交DF的延长线于点N，如图②所示:②∵四边形ABCD是平行四边形，∴//ABCD，∴=BAGAFD，=BAKN，∵AF

DC⊥，∴⊥AFBA．∵AKBE⊥，∴90===BKAAFDAFN,∴+=+ABGBAKNFAN,∴=ABGFAN,在ABG和FAN中，=ABGFAN，ABFA=，=BAGAFN，∴()≌ABG

FANASA△△,∴AGFN=，=AGBN,∵=+AGBGAEAEG，∴=+=AGBGAEKAGKAE,由（1）知ABAE=，∴=BAKKAE，∴=KAEN，∴DADN=，∵=−DEDAAE，=−=−=−CNDNDCDNABDNAE，∴==+=+DECNFCF

NFCAG，即−=DEAGFC．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键．2823．(本题14分)（2021·全国八年级专题练习）在平行四边

形ABCD中，E为BC边上一点，F为对角线AC上一点，连接DE、BF，若∠ADE与∠CBF的平分线DG、BG交于AC上一点G，连接EG．（1）如图1，点B、G、D在同一直线上，若∠CBF＝90°，CD＝3，EG＝2，求CE的长；（2）

如图2，若AG＝AB，∠DEG＝∠BCD，求证：AD＝BF+DE．【答案】（1）1CE=；（2）见详解．【分析】（1）由题意，先证明△BDE是等腰直角三角形，然后利用等腰三角形的性质和勾股定理，即可求出答案；（2）在AD上取一点M，使得DM=DE，连接MG，然后根据全等三角

形的判定和性质，得到AM=BF，即可得到答案．【详解】解：（1）如图，点B、G、D在同一直线上，∵DG、BG分别是∠ADE与∠CBF的角平分线，且∠CBF＝90°，∴∠CBD=45°，∵AD∥BC，∴∠ADB=∠CBD=45°，∴∠BDE=∠ADB

=45°，29∴∠BED=180454590−−=，∴三角形BDE是等腰直角三角形，90CED=，在平行四边形ABCD中，则BD=DG，∴线段EG是等腰直角三角形BDE的中线，∴EG⊥BD，∵2EG=，∴222DEEG==，在直角三角形CDE中，由勾股定理得

22223(22)1CECDDE=−=−=；（2）如图，在AD上取一点M，使得DM=DE，连接MG，在△DMG和△DEG中，有DMDEMDGEDGDGDG===，∴△DMG≌△DEG，∴∠DMG=∠DEG=∠BCD，∵∠BCD=∠BAD，∴∠DMG=∠BAD，∴MG∥AB，∴∠B

AF=∠AGM，∵AG＝AB，∴∠AGB=∠ABG，∵∠ABG=∠ABF+∠FBG，∠AGB=∠GBC+∠BCG，又∵∠FBG=∠GBC，∴∠ABF=∠BCG，30∵AD∥BC，∴∠BCG=∠MAG=∠ABF，在△AMG和△BFA中，有∴BAFAGMABAGMAGABF=

==，∴△AMG≌△BFA，∴AM=BF，∴AD=AM+MD=BF+DE．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，解题的关键是正确的作出辅助线，构造全等三角

形进行证明．