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第六章平面向量及其应用6.4平面向量的应用6.4.3余弦定理、正弦定理第4课时余弦定理、正弦定理应用举例课后篇巩固提升必备知识基础练1.如图,要测量某湖泊两侧A,B两点间的距离,若给出下列数据,则其中不能唯一确定A,B两点间的距

离的是()A.角A,B和边ACB.角A,B和边BCC.边BC,AC和角CD.边BC,AC和角A答案D解析根据正弦定理,可知当已知两边和其中一边的对角时,解三角形得出的结果不一定唯一,故选D.2.如图,在河岸一侧取A,B两点,在河岸另一侧取一点C,若AB=12m,借

助测角仪测得∠CAB=45°,∠CBA=60°,则C处河面宽CD为()A.6(3+√3)mB.6(3-√3)mC.6(3+2√3)mD.6(3-2√3)m答案B解析由{𝐶𝐷sin60°=𝐵𝐷sin(90°-60°),𝐶𝐷sin45°=𝐴𝐷sin(90

°-45°)⇒{𝐵𝐷=√33𝐶𝐷,𝐴𝐷=𝐶𝐷⇒AB=AD+BD=(1+√33)CD=12⇒CD=6(3-√3)m,故选B.3.如图,D,C,B三点在地面同一直线上,DC=a,从C,D两点测得点A的仰角

分别是β,α(α<β),则点A离地面的高度AB等于()A.𝑎sin𝛼sin𝛽sin(𝛽-𝛼)B.𝑎sin𝛼sin𝛽cos(𝛼-𝛽)C.𝑎sin𝛼cos𝛽sin(𝛽-𝛼)D.𝑎cos𝛼sin𝛽cos(𝛼-𝛽)答案A解析在△

ADC中,∠DAC=β-α.由正弦定理,得𝑎sin(𝛽-𝛼)=𝐴𝐶sin𝛼,∴AC=𝑎sin𝛼sin(𝛽-𝛼),∴AB=ACsinβ=𝑎sin𝛼sin𝛽sin(𝛽-𝛼).4.一艘船上午9:30在A处,测得灯塔S在它的北偏东30°的方向,且与它相距

8√2nmile,之后它继续沿正北方向匀速航行,上午10:00到达B处,此时又测得灯塔S在它的北偏东75°的方向,则此船的航速是()A.8(√6+√2)nmile/hB.8(√6−√2)nmile/hC.16(√6+√2)nmile/hD.

16(√6−√2)nmile/h答案D解析由题意,得在△SAB中,∠BAS=30°,∠SBA=180°-75°=105°,∠BSA=45°.由正弦定理,得𝑆𝐴sin105°=𝐴𝐵sin45°,即8√2sin105°=𝐴𝐵sin45°,解得A

B=8(√6−√2),故此船的航速为8(√6-√2)12=16(√6−√2)(nmile/h).5.如图所示,位于A处的信息中心获悉,在其正东方向相距40nmile的B处有一艘渔船遇险,在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°,相距20nmile的C处的乙船,现

乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB前往B处救援,则cosθ等于()A.√217B.√2114C.3√2114D.√2128答案B解析在△ABC中,AB=40,AC=20,∠BAC=120°.由余弦定理,得

BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos120°=2800,所以BC=20√7.由正弦定理,得sin∠ACB=𝐴𝐵𝐵𝐶·sin∠BAC=√217.由∠BAC=120°,得∠ACB为锐角,故cos∠ACB=2√77.故cosθ=co

s(∠ACB+30°)=cos∠ACBcos30°-sin∠ACBsin30°=√2114.6.某船在岸边A处向正东方向航行x海里后到达B处,然后朝南偏西60°方向航行3海里到达C处,若A处与C处的距离为√3nmile,则x的值为.答案√3或2√3解析在△ABC中,由余弦定理,得AC2=A

B2+BC2-2AB·BC·cosB,即x2+9-2·x·3cos30°=(√3)2,即x2-3√3x+6=0,解得x=2√3或x=√3.7.已知甲船在岛B的正南方A处,AB=10nmile,甲船以4

nmile/h的速度向正北方向的岛B航行,同时乙船自岛B出发以6nmile/h的速度向北偏东60°的方向航行,当甲、乙两船距离最近时,它们所航行的时间是h.答案514解析如图,设甲、乙两船距离最近时航行时间为th,距离为snmile,此时甲船到达C处,则甲船距离B岛

(10-4t)nmile,乙船距离B岛6tnmile,所以由余弦定理,得cos120°=(6𝑡)2+(10-4𝑡)2-𝑠22·6𝑡·(10-4𝑡)=-12,化简,得s2=28t2-20t+100,所以当t=202×28=514时,s2取最小值

,即当甲、乙两船距离最近时,它们所航行的时间是514h.8.某人见一建筑物A在正北方向,另一建筑物B在北偏西30°方向.此人沿北偏西70°方向行走了3km后到达C,则见A在其北偏东56°方向上,B在其北偏东74°方向上,试求这两个建筑物间的距离.解如图,在△BCO中,∠BOC=70°-30°

=40°,∠BCO=(180°-70°)-74°=36°,∴∠CBO=180°-40°-36°=104°.∵OC=3,由正弦定理,得𝐶𝑂sin104°=𝐵𝑂sin36°,则BO=3sin36°sin104°.在△ACO中,∠AOC=70°,∠CAO=56°,则∠ACO=54°.由正弦

定理,得𝐶𝑂sin56°=𝐴𝑂sin54°,则AO=3sin54°sin56°.在△ABO中,由余弦定理,得AB=√𝐴𝑂2+𝐵𝑂2-2𝐴𝑂·𝐵𝑂·cos30°≈1.630(km)=1630(m).故这两个建筑物间的距离约为1630m.关键能力

提升练9.如图所示,在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C相对于山坡的斜度为15°,向山顶前进100m到达B处,又测得C相对于山坡的斜度为45°,若CD=50m,山坡的坡角为θ,则cosθ=()A.√32B.√3-1C.2-√3D

.√22答案B解析在△ABC中,由正弦定理,得BC=𝐴𝐵sin∠𝐵𝐴𝐶sin∠𝐴𝐶𝐵=100sin15°sin(45°-15°)=50(√6−√2)(m).在△BCD中,由正弦定理,得sin∠BDC=𝐵𝐶sin∠𝐶𝐵𝐷𝐶𝐷=50(√6-√2)si

n45°50=√3-1.由题图知cosθ=sin∠ADE=sin∠BDC=√3-1,故选B.10.江岸边有一炮台高30m,江中有两条船,由炮台顶部测得两条船的俯角分别为45°与60°,且两条船与炮台底部的连线成30°角,则两条船之间的距离为m.答案10√3解析设炮台顶

部为A,两条船分别为B,C,炮台底部为D(如图),则∠BAD=45°,∠CAD=30°,∠BDC=30°,AD=30m.在Rt△ABD与Rt△ACD中,tan45°=𝐷𝐵𝐴𝐷,tan30°=𝐷𝐶𝐴𝐷,则DB=30m,DC=10√3m.在△DBC中,由余弦定理,得BC2=DB2+

DC2-2DB·DCcos30°,即BC2=302+(10√3)2-2×30×10√3×√32,解得BC=10√3m.11.某海上养殖基地A,接到气象部门预报,位于基地南偏东60°方向相距20(√3+1)nmile的海面上有一台风中心,影响半径为20nmile,正以10√2nmile

/h的速度沿某一方向匀速直线前进,预计台风中心将从基地东北方向刮过且(√3+1)h后开始影响基地持续2h.求台风移动的方向.解如图,设预报时台风中心为B,开始影响基地时台风中心为C,基地刚好不受影响时

台风中心为D,则B,C,D在一条直线上,且AD=20nmile,AC=20nmile.由题意,得AB=20(√3+1)nmile,DC=20√2nmile,BC=10√2(√3+1)nmile.在△ADC中,∵DC2=AD2+AC2

,∴∠DAC=90°,∠ADC=45°.在△ABC中,由余弦定理,得cos∠BAC=𝐴𝐶2+𝐴𝐵2-𝐵𝐶22𝐴𝐶·𝐴𝐵=√32.∴∠BAC=30°.∵B位于A的南偏东60°方向,且60°+30°+90°=180°,∴D位于A的正北方向.又∠ADC=45°,∴台风移动

的方向为向量𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗的方向,即北偏西45°方向.学科素养创新练12.如图,A,B,C,D都在同一个铅垂面内(与水平面垂直的平面),B,D为海岛上两座灯塔的塔顶.测量船于A处测得点B和点D的仰角分别为75°,30°,于C处测得点B和点D的仰角均为60°,AC

=1km,求点B,D间的距离.解(方法一)在△ACD中,∠ADC=60°-∠DAC=60°-30°=30°.由正弦定理,得AD=𝐴𝐶sin120°sin30°=√3.在△ABC中,∠ABC=75°-6

0°=15°,∠ACB=60°,由正弦定理,得AB=𝐴𝐶sin60°sin15°=3√2+√62.在△ADB中,∠BAD=180°-75°-30°=75°,由余弦定理,得BD=√𝐴𝐵2+𝐴𝐷2-2𝐴𝐵·𝐴𝐷cos7

5°=√(3√2+√62)2+3-2×3√2+√62×√3cos75°=3√2+√62.即点B,D间的距离为3√2+√62km.(方法二)如图,记AD与BC的交点为M.因为∠CDA=∠60°-∠DAC=60°-30°=30°,所以AC=DC.又易知∠MCD=∠MC

A=60°,所以△AMC≌△DMC,所以M为AD的中点,所以BA=BD.又AB=𝐴𝐶sin60°sin15°=3√2+√62,所以BD=3√2+√62.