【文档说明】【精准解析】专题76不等式选讲-（文理通用）【高考】.docx，共(33)页，1.536 MB，由小赞的店铺上传

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2020年领军高考数学一轮复习(文理通用)专题76不等式选讲最新考纲1.理解绝对值不等式的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)；|a－c|≤|a－b|

＋|b－c|(a，b∈R)．2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－a|＋|x－b|≥c.3.通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法.基础知识融会贯通1．绝对值不等式的解法(1

)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集不等式a>0a＝0a<0|x|<a(－a，a)∅∅|x|>a(－∞，－a)∪(a，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)R(2)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解

法①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法①利用绝对值不

等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．2．含有绝对值的不等式的性质(1)如果a，b是实数，则|a|－|b|≤|a±b|≤

|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．(2)如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．3．不等式证明的方法(1)比较法①作差比较法知道a>b⇔a－b>0，a<b⇔a－b<0，因

此要证明a>b，只要证明a－b>0即可，这种方法称为作差比较法．②作商比较法由a>b>0⇔ab>1且a>0，b>0，因此当a>0，b>0时，要证明a>b，只要证明ab>1即可，这种方法称为作商比较法．(2)综合法从已知条件出发，利用不等式的有关性质或定理，经过推理论证，最终推导出所要证明

的不等式成立，这种证明方法叫做综合法，即“由因导果”的方法．(3)分析法从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式(已知条件、定理等)，从而得出要证的不等式成立，这种证明方法叫做分析法，即“执果索因”的方法．

重点难点突破【题型一】绝对值不等式的解法【典型例题】已知函数f（x）＝|2x﹣1|+|x+a|，g（x）＝x+2．（1）当a＝﹣1时，求不等式f（x）＜g（x）的解集；（2）设，且当，求a的取值范围．【解答】解：（1）当a＝﹣1时，不等式f（x）＜g（x）化为|2x﹣1|+|x﹣1|﹣x﹣2＜

0，（i）当x时，不等式化为﹣（2x﹣1）﹣（x﹣1）﹣x﹣2＜0，解得0＜x．（ii）当x≤1时，不等式化为2x﹣1﹣（x﹣1）﹣x﹣2＜0，解得x≤1，（iii）当x＞1时，不等式化为2x﹣1+x﹣1﹣x﹣2＜0，解得1＜x＜2综上，原不等式的解集为（0，2）．（2）由﹣a≤x

，得﹣2a≤2x＜1，﹣2a﹣1≤2x﹣1＜0，又0≤x+aa，则f（x）＝﹣（2x﹣1）+x+a＝﹣x+a+1，∴不等式f（x）≤g（x）化为﹣x+a+1≤x+2，得a≤2x+1对x∈[﹣a，）都成立

，故a≤﹣2a+1，即a，又a，故a的取值范围是（，]．【再练一题】求不等式4﹣2|x+2|≤|x﹣1|的解集．【解答】解：①当x≤﹣2时，原不等式可化为4﹣2（x﹣2）≤1﹣x，解得x，此时x；②当﹣2＜x＜1时，原不等式可化为

4﹣2（x﹣2）≤1﹣x，解得x≥﹣1，此时﹣1≤x＜1；③当x≥1时，原不等式可化为4﹣2（x﹣2）≤x﹣1，解得x，此时x≥1．综上，原不等式的解集为（﹣∞，]∪[﹣1，+∞）．思维升华解绝对值不等式的基本方法(1)利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式．(2)当不等

式两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值符号的普通不等式．(3)利用绝对值的几何意义，数形结合求解．【题型二】利用绝对值不等式求最值【典型例题】已知函数f（x）＝|x+1|，g（x）＝2|x|+a．（1）当a＝﹣1时，解不等式f（x）≤g（x）；（2）若存在x

0∈R，使得f（x0）g（x0），求实数a的取值范围．【解答】解：（1）a＝﹣1时，由f（x）≤g（x）得，|x+1|≤2|x|﹣1；x≤﹣1时，﹣x﹣1≤﹣2x﹣1，解得：x≤﹣1；﹣1＜x≤0时，x+1≤﹣2x﹣1，解得：﹣1＜x；x＞0时

，x+1≤2x﹣1，解得：x≥2；∴不等式f（x）≤g（x）的解集为{x|x，或x≥2}；（2）存在x0∈R，使得f（x0）g（x0），即存在x0∈R，使得|x0+1|≤|x0|；即存在x0∈R，使得|x0+1|﹣|x0|；设h（x）＝|x+1|﹣|x|，则h（x）的最

小值为﹣1；∴1；即a≥﹣2；∴实数a的取值范围为：[﹣2，﹣∞）．【再练一题】已知函数f（x）＝|2x﹣4|+|x+1|，（Ⅰ）解不等式f（x）≤9；（Ⅱ）若不等式f（x）＜2x+a的解集为A，B＝{x|x

2﹣3x＜0}，且满足B⊆A，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f（x）≤9可化为|2x﹣4|+|x+1|≤9，故，或，或；…解得：2＜x≤4，或﹣1≤x≤2，或﹣2≤x＜﹣1；…不等式的解集为[﹣2，4]；…（Ⅱ）易知B＝（0，3）；…所以B⊆A，又|2x﹣4|+|x+1|＜2x+a在x∈

（0，3）恒成立；…⇒|2x﹣4|＜x+a﹣1在x∈（0，3）恒成立；…⇒﹣x﹣a+1＜2x﹣4＜x+a﹣1在x∈（0，3）恒成立；…故思维升华求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种(1)利用绝对值的几何意义．(2)利用绝对值三角不

等式，即|a|＋|b|≥|a±b|≥|a|－|b|.(3)利用零点分区间法．【题型三】绝对值不等式的综合应用【典型例题】已知不等式x+|x﹣a|≥1的解集为R．（1）求a的取值范围；（2）当a取得最小值时，请画出f（x）＝x+|x﹣a|的图象．【解答】解：（1）∵x+

|x﹣a|≥x﹣x+a＝a，∴不等式x+|x﹣a|≥1的解集为R等价于a≥1，a的取值范围是[1，+∞）（2）由（1）知a＝1，f（x）＝x+|x﹣1|，图象如下：【再练一题】设函数f（x）＝|2x﹣4|+1．（Ⅰ）求不等式f（x）≥x+3的解集；

（Ⅱ）关于x的不等式f（x）﹣2|x+2|≥a在实数范围内有解，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f（x）≥x+3，即|2x﹣4|+1≥x+3，则2|x﹣2|≥x+2，当x≥2时，解得x≥6，当x＜2，解得x，所以原不等式的解集为（﹣∞，）∪（6，+∞）（Ⅱ）由不等式

f（x）﹣2|x+2|≥a在实数范围内有解可得：a≤2|x﹣2|﹣2|x+2|+1在实数范围内有解，令g（x）＝2|x﹣2|﹣2|x+2|+1，则a≤g（x）nax，因为g（x）＝2|x﹣2|﹣2|x+2|+1≤2|（x﹣2）﹣（x+2）|+1＝9，所以a≤g（x）max＝9，即a∈（﹣

∞，9]．思维升华(1)解决与绝对值有关的综合问题的关键是去掉绝对值，化为分段函数来解决．(2)数形结合是解决与绝对值有关的综合问题的常用方法．【题型四】用综合法与分析法证明不等式【典型例题】用综合法或分析法证明：（1）求证2．（2）已知a+b+c＝1，a，b，c为正实数，证明8．【解答】证明（

1）要证2，只需证明（）2＞（）2，即证明22，也就是证明42＞40，上式显然成立，故原结论成立．（2）（分析法）要证明8，∵a+b+c＝1，只要证明••8，∵，，，∴相乘可得；（综合法）∵a，b，c为正实数，∴，，，∴••8，∵a+b+c＝1，∴8．【再练一题】已知函数f（x）

＝x3，x∈[0，1]．（1）用分析法证明：f（x）≥1﹣x+x2；（2）证明：．【解答】证明：（1）∵x∈[0，1]，∴x+1∈[1，2]．要证明：f（x）≥1﹣x+x2，只要证明：x3（x+1）+1≥（x+1）（1﹣x+x2），只要

证明：x4≥0，显然成立，∴f（x）≥1﹣x+x2；（2）∵1﹣x+x2＝（x）2，当且仅当x时取等号，∵f（），f（x）≥1﹣x+x2，∴f（x），（2）∵0≤x≤1，∴x3≤x，∴f（x）≤x，设

g（x）＝x，x∈[0，1]，∴g′（x）＝10，∴g（x）在[0，1]上单调递增，∴f（x）≤g（1），综上所述明．思维升华用综合法证明不等式是“由因导果”，用分析法证明不等式是“执果索因”，它们是两种思路截然相反的

证明方法．综合法往往是分析法的逆过程，表述简单、条理清楚，所以在实际应用时，往往用分析法找思路，用综合法写步骤，由此可见，分析法与综合法相互转化，互相渗透，互为前提，充分利用这一辩证关系，可以增加解题思路，开阔视野．所以(a＋b)3≤8，因此a＋b≤2.基础知识训练1．已知()()0fxx

aa=−．（1）若函数()()()2Fxfxfx=+的最小值为3，求实数a的值；（2）若2a=时，函数()()()gxfxfx=−−的最大值为k，且()230,0mnkmn+=．求123mn+的最小值．【答案】（1）6（2）2【解析】解：（1）0a，2aa，函

数()()3222232xaxaaFxxaxaxxaaaxx−=−+−=−当2ax=时，函数()Fx的最小值为322aaF==，6a=．（2）当2a=时，()2

2gxxx=−−+，()()22224xxxx−−+−−+=，4k=，所以234mn+=因为()121121341342344223434343nmnmmnmnmnmnmn+=++=+++=，所以当343nmmn=，即2323n=−，31m=−时，

123mn+最小值为22．选修4-5：不等式选讲已知正实数,ab满足2ab+=.(Ⅰ)求证：212123ab+++；(Ⅱ)若对任意正实数,ab，不等式|1||3|xxab+−−恒成立，求实数x的取值范围.【答

案】(Ⅰ)见解析.(Ⅱ)3[,)2+.【解析】(Ⅰ)2(2121)2()22212162()212abababab+++=++++++++=所以212123ab+++.(Ⅱ)对正实数,ab有2abab+…，所以22ab，解得1ab，当且仅当ab=时等号成立．因为对任意正实

数,ab，|1||3|xxab+−−恒成立，所以|1||3|1xx+−−恒成立．当1x−时，不等式化为1(3)1xx−−−−，整理得41−，所以不等式无解；当13x−时，不等式化为1(3)1xx+−−，解得332x；当3x

时，不等式化为1(3)1xx+−−，整理得41，不等式恒成立．综上可得x的取值范围是3[,)2+．3．已知函数()||,fxxxaaR=+．（1）若()()111ff+−，求a的取值范围；（2）若0a，对,(,]xya−−，不等式3(

2)4fxyya+++恒成立，求a的取值范围．【答案】（1）30.1/molLNaHCO；（2）)3,0−.【解析】（1）由()()111ff+−得111aa+−−，若1a−，则111aa−−+−，显然不成立；若11a−，则111aa++−，12a，即112a＜＜；若1a≥，

则111aa+−+，即21，显然成立，综上所述，a的取值范围是30.1/molLNaHCO．（2）由题意知，要使得不等式恒成立，只需3))42((maxminfxyay+++，当(,]xa−−时，()()fxxxa=−+，所以

2()24maxaafxf=−=；因为223344ayya+++−，所以23442aa−，解得31a−，结合0a，所以a的取值范围是)3,0−．4．已知函数()3fxx=−.（1）解不等式()241fxx−+；（

2）当()1fm，()22fn时，存在,mnR，使得42131mna−−−，求实数a的取值范围。【答案】（1）2,83−；（2）13,53−【解析】（1）由()3fxx=−，且()241fxx−+，得

：2341xx−−+得：()()43241xxx−−++或()()3423241xxx−−−+或()()322341xxx−−+解得：x或2332x−或382x综上所述：

2,83x−（2）由()1fm，()22fn得：31232mn−−241522mn8416m，521n−−−，则：242114mn−−由242114mn−−得：3114a−1353a−实数a

的取值范围是13,53−5．选修4-5：不等式选讲（1）已知,,abcR+，且1abc++=，证明1119abc++；（2）已知,,abcR+，且1abc=，证明111abcabc++++.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】

证明：（1）因为111abcabcabcabcabc++++++++=++111bcacabaabbcc=++++++++39babcacabcbca=++++++，当abc==时等号成立.（2）因为1111111111

2abcabacbc++=+++++11112222abacbc++，又因为1abc=，所以1cab=，1bac=，1abc=，∴()111cbaabc++++.当abc==时等号成立，即原不等式成立.6．已知函数()313fxxxk

=−++,2()41gxxx=−−.(1)当3k=−时,求不等式()4fx的解集；(2)若存在1,33kx−(1)k−使得()()fxgx成立,求k的取值范围【答案】（1）403xxx或（2）{|3

}kk【解析】解:（1）当3k=−时,故不等式()4fx可化为：1644xx−或11324x或13644xx−+解得：403xx或，所以解集为403xxx或.（2）当1[,](1)33kxk−−时，310x−,30

xk+，()1fxk=+于是原问题等价于存在1[,]33kx−使242kxx−−，即2420xxk−−−成立.设2()42hxxxk=−−−，1[,]33kx−,则max()0hx.因为2()42hxxxk=−−−为开口向上的抛物线，对称轴为2x=，所以()

hx在1[,](1)33kk−−单调递减，当3kx=−时，2max()()2393kkkhxh=−=+−.令22093kk+−，解得6k−或3k.又1k−，因此k的取值范围是{|3}kk.7．选修4-5：不等式选讲已知函数()3fxx=−（1）解不等式：()2

41fxx−+；（2）当()1fm，()22fn时，存在,mnR，使得42131mna−−−，求a的取值范围.【答案】（1）2,83x−；（2）13,53−【解析】（1）由()3fxx=−，且()241fxx−

+，得：2341xx−−+得：()()43241xxx−−++或()()3423241xxx−−−+或()()322341xxx−−+解得：x或2332x−或382x综上所述：2,83x

−（2）由()1fm，()22fn得：31232mn−−241522mn8416m，521n−−−，则：242114mn−−由242114mn−−得：3114a−1353a−

实数a的取值范围是13,53−8．已知函数1()||2afxxa=−−，aR．（1）若将函数()fx图象向左平移m个单位后，得到函数()gx，要使()()1gxfx−…恒成立，求实数

m的最大值；（2）当12a时，函数()()|21|hxfxx=+−存在零点，求实数a的取值范围．【答案】（1）1；（2）112a.【解析】（1）由函数()fx向左平移m个单位可知，函数1()||2agxxma=+−−，要使()()1gxfx−恒成立，

则()()1fxgx−，即||||1xaxma−−+−恒成立，因为|||||()|||xaxmaxaxmam−−+−−+−−+=，所以只需||1m，即实数m的最大值为1.（2）当12a时，函数1()|||21|2ahxxax=−+−−=1131,221

11,22131,2aaaxaxxaxaxaxa−+−++−−−−−若函数()hx存在零点，则满足函数min111()0222ahxha==−−，即121122aaa−，因为

函数1()2fxx=−与函数1()2xfx=的图像有且只有一个交点11,2，所以实数a的取值范围为112a.9．已知函数()fxxaxb=++−.（1）当1a=，1b=时，求不等式()4

fx的解集；（2）若0a，0b，()fx的最小值为2，求12ab+的最小值.【答案】（1）22xx−；（2）322+【解析】（1）当1a=，1b=时，()114fxxx=++−，得124xx−−或1124x−或124xx

，解得：22x−，∴不等式()4fx的解集为22xx−.（2）()()()fxxaxbxaxbab=++−+−−=+，∴2ab+=，∴()121121212333222222babaababababab+=++=+++=+

，当且仅当222a=−，422b=−时取等号.∴12ab+的最小值为322+.10．选修4-5：不等式选讲已知函数()21fxxax=−−+.（1）当1a=时，求不等式()1fx的解集；（2）若()20fxa−−恒

成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）(,0−；（2）1,1−.【解析】（1）当1a=时，()3,22112,123,1xfxxxxxx−=−−+=−−−，当2x时，31−，无解；当12x−

时，121x−，得0x，所以10x−≤≤；当1x−时，3≥1，符合.综上，不等式()1fx的解集为(,0−.（2）因为()20fxa−−恒成立等价于()max2fxa+，因为()212

121xaxxaxa−−+−−+=+，所以212121axaxa−+−−++.所以212aa++，所以2212aaa−−++，解得11a−.所以所求实数a的取值范围为1,1−.11．已知函数()|3|fxx=−.(1)若

()1fx，求x的取值范围；在（1）的条件下，求()2|2||4|gxxx=−+−的最大值.【答案】（1）[2,4]（2）10【解析】(1)由已知得，|3|1x−„，即131x−−剟，即24x剟，即x

的取值范围为[2,4]．(2)由24x可得()224gxxx=−+−由柯西不等式，得()(41)(24)10gxxx+−+−=.当且仅当2421xx−−=，即185x=时，()gx的最大值为1012．设函数()fxxmxn=−++，其

中0m，0n.（1）当1m=，1n=时，求关于x的不等式()4fx的解集；（2）若mnmn+=，证明：()4fx.【答案】（1）(),22,−−+（2）见解析【解析】解：（1）由1m=，1n=，得()2,1112

,112,1xxfxxxxxx−−=−++=−，所以()4fx的解集为(),22,−−+.（2）由mnmn+=，可得111mn+=，()fxxmxnmn=−+++，因为0m，0n，所以()()1124nmfxmnmnmnmn+=+

+=++，当且仅当2mn==时等号成立.所以()4fx.13．已知()()0fxaxba=−−，且()0fx的解集为37xx−.（1）求实数a，b的值；（2）若()fx的图像与直线0x=及()3

ymm=围成的四边形的面积不小于14，求实数m取值范围.【答案】（1）5a=，2b=；（2）(,1−【解析】（1）由()0fx得：xba−，baxba−+，即37baba−=−+=，解得5a=，2b=.（2）()7,2523,2xxfxx

xx−=−−=+的图像与直线0x=及ym=围成的四边形ABCD，()2,5A，()0,3B，()0,Cm，()7,Dmm−.过A点向ym=引垂线，垂足为()2,Em，则()()211352522ABCDABCEAEDSSSmmm=+=−+−+−14.化

简得：214130mm−+，13m（舍）或1m£.故m的取值范围为(,1−.14．已知函数()211fxxx=−−+．（1）解不等式()4fx；（2）记函数()31yfxx=++的最小值m，正实数a，b满足

3mab+=，求证：341log2ab+．【答案】（1）2,6−；（2）证明见解析.【解析】（1）()4fx等价于12114xxx−−+++或1122114xxx−−

+−−或122114xxx−−−，故21x−−或112x−或162x，综上()4fx解集为2,6−.（2）()()31212221223fxxxxxx++=−++−−+=当且仅当

()()21220xx−+取等号，3m=，1ab+=，()4141445529babaababababab+=++=+++=，当且仅当21,33ab==时等号成立，3341loglog92ab

+=．15．已知函数()()22Rfxxaxa=−+−．（1）当2a=时，求不等式()2fx的解集；（2）若2,1x−时不等式()32fxx−成立，求实数a的取值范围．【答案】（1）2{|3xx或()4cos(

2)6fxx=−；（2）空集.【解析】解：（1）不等式()2fx，即2222xx−+−.可得22222xxx−+−，或122222xxx−+−或12222xxx−−+，解得23x或2x，所以不等式的解集为2{|2}3xxx或.（2）当

[2,1]x−时，220x−，所以()22fxxax=−+−，由()32fxx−得1xa−，即11axa−+，则1211aa−−+，该不等式无解，所以实数a的取值范围是空集（或者）.16．已知()221fxxx=−++．（1）求不等式()6fx的解集；（2）设m、n

、p为正实数，且()3mnpf++=，求证：12mnnppm++．【答案】(1)()1,3−(2)见证明【解析】（1）①2x时，()24133fxxxx=−++=−，由()6fx，∴336x−，∴3x，即23x，②12x−时，()42

15fxxxx=−++=−，由()6fx，∴56x−，∴1x−，即12x−，③1x−时，()42133fxxxx=−−−=−，由()6fx，∴336x−，∴1x−，可知无解，综上，不等式()6fx的解集为()1,3−；（2）∵()221

fxxx=−++，∴()36f=，∴()36mnpf++==，且,,mnp为正实数∴()222222236mnpmnpmnmpnp++=+++++=，∵222mnmn+，222mpmp+，222npnp+，∴222mnpmnmpnp++++，∴()()2222222363mnp

mnpmnmpnpmnmpnp++=+++++=++又,,mnp为正实数，∴可以解得12mnnppm++．17．[选修4—5：不等式选讲]已知函数()|||2|(0)fxxmxmm=−−+.（1）当1m=，求不等式()1fx的解集；（2）对于

任意实数,xt，不等式()21fxtt++−恒成立，求实数m的取值范围.【答案】（1）113xx−−；（2）()0,2【解析】（1）当1m=时，()1fx为：1211xx−−+当1x时，不等式为：1211

xx−−−，解得：3x−，无解当112x−时，不等式为：1211xx−+−−，解得：13x−，此时1123x−−当12x−时，不等式为：1211xx−+++，解得：1x−≥，此时112x−−综上所述，不等式的解集为113xx−−（2）

对于任意实数x，t，不等式()21fxtt++−恒成立等价于()()maxmin|2||1|fxtt++−因为|2||1||(2)(1)|3tttt++−+−−=，当且仅当(2)(1)0tt+−时等号成立所以()min

|2||1|3tt++−=因为0m时，()2fxxmxm=−−+=2,23,22,mxmxmxxmxmxm+−−−−−，函数()fx单调递增区间为(,)2m−−，单调递减区间为(,)2m−+当2mx=−时，()max322mmfxf=−=332m

，又0m，解得：02m实数m的取值范围()0,218．设函数3()|21|,,[1,),|||1|2fxxxababmab=−−++++„.（Ⅰ）解不等式()2fx„；（Ⅱ）xR，证明：()1fxm−−….【答案】（Ⅰ）59,62−；（Ⅱ）证明见解

析.【解析】（Ⅰ）因为53,22131()3,22251,22xxfxxxxx−−=−−−−，，，剟根据题意，32522xx−−„或31221322xx−−−„„或12

522xx，，−„解之得5962x−剟，故解集为59,62−.（Ⅱ）当1,2x−时，函数()fx单调递减，当1,2x+时，函数()fx单调递增.所以当12x=时，函数min()2fx=−.由题知|||1|abmab+

+„，即1abmab++„，∵()(1)(1)(1)0ababab+−+=−−„，则1abab++„，所以11abab++„.∴1m…，∴12m−−−„，所以()1fxm−−….19．选修4-5不等式选讲已知关于x的不等式20xmx−+的

解集为{|2}xx−，其中0m.（1）求m的值；（2）若正数a，b，c满足abcm++=，求证：2222bcaabc++.【答案】（1）2m=（2）见证明【解析】（1）由题意知：20xmx−+即20xmxmx−+或20xmmxx−+化简得：3xmmx

或xmxm−0m不等式组的解集为xxm−2m−=−，解得：2m=（2）由（1）可知，2abc++=由基本不等式有：22baba+，22cbcb+，22acac+三式相加可得：2

22222bcaabcbcaabc+++++++222bcaabcabc++++，即：2222bcaabc++20．选修4-5：不等式选讲已知函数()13fxxxa=+++（1）当1a=−时，解不等式()2fx；（2）若存

在0x满足00()211fxx++，求实数a的取值范围.【答案】(1)1|02xxx或(2)24a【解析】（1）当1a=−时，()|1||31|fxxx=++−，当13x时，不等

式等价于1312xx++−，解得12x，12x；当113x−时，不等式等价于1312xx+−+，解得0x，10x−；当1x−时，不等式等价于1312xx−−−+，解得12x−，1x−∴≤.综上所述，原不等式的解集为1|02xxx或.（2）由()002

11fxx++，得003131xxa+++，而()()000000313333333|3|xxaxxaxxaa+++=++++−+=−，（当且仅当()()003330xxa++时等号成立）由题可知min(()2|1

|)1fxx++，即31a−，解得实数a的取值范围是24a.能力提升训练1．已知函数()211fxxx=−++.（Ⅰ）解不等式()3fx；（Ⅱ）记函数()fx的最小值为m，若,,abc均为正实数，且232abcm++=，求

222abc++的最小值.【答案】（Ⅰ）11xxx−或；（Ⅱ）914.【解析】（Ⅰ）由题意，3,11()2,1213,2xxfxxxxx−−=−−，所以()3fx等价于133xx−−或11223xx−

−或1233xx.解得：1x−或1x，所以不等式的解集为11xxx−或；（Ⅱ）由(1)可知,当12x=时,()fx取得最小值32,所以32m=，即233abc++=，由柯西不等式得2222222()(123)(23)9abcabc++++++=，整理

得222914abc++，当且仅当123abc==时,即369,,141414abc===时等号成立.所以222abc++的最小值为914.2．设函数，其中．（1）解不等式；（2）设的值域分别为，若，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由得，，解得∴的解集

为（2），根据函数的单调性得当x=-m时取等号∴B=时A⊆B∴化简得∴m的取值范围[-2，-1]∪[1，2].3．已知函数f（x）=|2x-1|+|x+m|．（l）当m=l时，解不等式f（x）≥3；（2）证明：对任意x∈R，2f（

x）≥|m+1|-|m|．【答案】（1）{x|x≤-1或x≥1}；（2）见解析【解析】（1）当m=1时，f（x）=|2x-1|+|x+1|，①当x≤-1时，f（x）=-3x≥3，解得x≤-1，②当-1＜x＜12时，f（x）=-x+2≥3，解得x≤-1，与-1

＜x＜12矛盾，舍去，③当x≥12时，f（x）=3x≥3，解得x≥1，综上，不等式f（x）＜3的解集为{x|x≤-1或x≥1}；（2）2f（x）=|4x-2|+|2x+2m|=|2x-1|+|2x-1|+|2x+2m|≥|2x-1|+|2x+2m|≥|2x+2m-2x+1|=|2m+1|=|（m+

1）+m|≥|m+1|-|m|，∴对任意x∈R，2f（x）≥|m+1|-|m|．4．已知函数()11fxxmx=++−，mR.（1）当2m=−时，求不等式()2fx的解集；（2）若()3fxx+的解集

包含1,2，求实数m的取值范围.【答案】(1)4,03−.(2)13,22−.【解析】（1）当2m=−时，()121fxxx=+++.①当时，原不等式可化为()()1212xx−+−+，化简得

322x−−，解得43x−，∴413x−−；②当112x−−时，原不等式可化为()()1212xx+−+，化简得2x−，解得2x−，∴112x−−；③当12x−时，原不等式可化为()()1212xx+++，化简得322x+，解得0x，∴102

x−；综上所述，不等式()2fx的解集是4,03−；（2）由题意知，对任意的1,2x，113xmxx++−+恒成立，即对任意的1,2x，131mxxx−+−+恒成立，∵当1,2x时，()()31312xxxx+−+=+−+=，

∴对任意的1,2x，12mx−恒成立，∵1,2x，12mx−，∴maxmin13mxx−，∴1322m−，即实数m的取值范围为13,22−.5．已知()21fxxx=+−．（1）证明()1fxx+；（2）若,,abc+R，

记33311134abcabc+++的最小值为m，解关于x的不等式()fxm．【答案】(1)见证明；(2)2433xx−【解析】（1）()2212211fxxxxxx+=+−−+=．当且仅当()2x2x10−,等号成立（2）∵

333333311131333333234444abcabcabcabcmabcabcabcabc++++=+==，当且仅当a=b=c等号成立由不等式()3fx即()213fxxx=+−．由()31

,01211,02131,2xxfxxxxxxx−+=+−=−−得：不等式()3fx的解集为2433xx−．6．[选修4—5：不等式选讲]已知函数()31fxxmxm=−−−−（1

）若1m=，求不等式()1fx的解集.（2）对任意的xR，有()(2)fxf，求实数m的取值范围.【答案】（1）(,3)−；（2）1123m−【解析】（1）()141fxxx=−−−，所以11441(4)1

1(4)1141xxxxxxxxx−−−−−−−−+或或解之得不等式()1fx的解集为(,3)−.(2)当131,2mmm+−时，由题得2必须在3m+1的右边或者与3m+1重合，所以1231,3mm+，所以1123m−

，当131,2mmm+==−时，不等式恒成立，当131,2mmm+−时，由题得2必须在3m+1的左边或者与3m+1重合，由题得1231,3mm+，所以m没有解.综上，1123m−.7．选修4-5：不等式选讲已知函数

()|23||1|fxxx=−−+.（1）求不等式()6fx的解集；（2）设集合M满足：当且仅当xM时，()|32|fxx=−，若,abM，求证：228223abab−++.【答案】(1)210xx−；(2)见解析.

【解析】（1）()4,1323132,1234,2xxfxxxxxxx−+−=−−+=−+−−当1x−时，46x−+，得2x−≥，故21x−−；当312x−时，326x−+，得43x−，故312x−；当32x时，4

6x−，得10x，故3102x；综上，不等式()6fx的解集为210xx−（2）由绝对值不等式的性质可知()231(23)(1)32fxxxxxx=−−+−++=−等价于23(1)32xxx−−++−，当且仅当(23)(1)0xx

−+，即213x−时等号成立，故21,3M=−所以221,133ab−−，所以222510(1),4(1)99ab−−−−−，即228(1)(1)3ab−−−.8．已知函数()12fxxax=+++.（Ⅰ）求1a=时，()3fx的解集；（Ⅱ）若()

fx有最小值，求a的取值范围，并写出相应的最小值.【答案】（Ⅰ）[3,0]−；（Ⅱ）见解析.【解析】（Ⅰ）当1a=时，232()12121231xxfxxxxxx−−−=+++=−−+−∵()3fx当2x−≤时()233fxx=−−解得32x−−当21x

−−时()13fx=恒成立当1x−≥时()233fxx=+解得10x−≤≤综上可得解集[3,0]−.（Ⅱ）(1)212()12(1)2121(1)211axaxfxxaxaxaxaxax−+−−−=+++=−+−−−+++−当(1)0a−+，即1a−时，()f

x无最小值；当(1)0a−+=，即1a=−时，()fx有最小值1−；当(1)0a−+且10a−，即11a−时，min()(1)fxfa=−=当(1)0a−+且10a−，即1a时，min()(2)1fxf

=−=综上：当1a−时，()fx无最小值；当1a=−时，()fx有最小值1−；当11a−时，min()(1)fxfa=−=；当1a时，min()(2)1fxf=−=；9．已知函数()123fxxx=−+−．（Ⅰ）解关于

x的不等式()4fx；（Ⅱ）若()20fxmm−−恒成立，求实数m的取值范围．【答案】（Ⅰ）111,3；（Ⅱ）()2,1−.【解析】解：（I）当1x时，不等式为：()1234xx−+−，解得1x，故1x=．当13x时

，不等式为：()1234xx−+−，解得1x，故13x1＜x＜3，当3x时，不等式为：()1234xx−+−，解得113x，故1133x．综上，不等式()4fx的解集为111,3．（II）由()20fxmm−−恒成立可得()2mm

fx+恒成立．又()37,35,1337,1xxfxxxxx−=−+−+，故()fx在(,1−上单调递减，在()1,3上单调递减，在)3,+上单调递增，∴()fx的最小值为()32f=．∴22mm+，解得21

m−．即m的最值范围是()2,1−．10．已知函数()|2|fxx=−．（Ⅰ）求不等式()|1|fxxx++的解集；（Ⅱ）若函数5log[(3)()3]yfxfxa=++−的定义域为R，求实数a的取值范围．【答案】（I）1,3+

（II）(,1)−【解析】解：（I）由已知不等式()|1|fxxx++，得|2||1|xxx−++，当2x时，不等式为21xxx−++，解得3x−，所以2x；当12x−时，不等式为21xxx−++，解得13x，所以123x；当1x−时，不等式为21xxx−

−−，解得3x，此时无解．综上：不等式的解集为1,3+．（II）若5log[(3)()3]yfxfxa=++−的定义域为R，则(3)()30fxfxa++−恒成立．∵|1||2|3|12|333xxaxxaa++−−+−+−=−，当且仅当[1,2]x−时取等号．

∴330a−，即1a．所以实数a的取值范围是(,1)−．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com