【文档说明】贵州省黔南州瓮安二中2020-2021学年高二下学期第一次月考数学（理）答案.pdf，共(5)页，469.974 KB，由小赞的店铺上传

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【高二数学理科试卷·参考答案第１页（共５页）】高二数学理科试卷参考答案１．Ｂ因为３∈犅，所以９－３犿－６＝０，解得犿＝１．代入得狓２－狓－６＝０有两解狓＝３和狓＝－２，即犅＝｛－２，３｝．２．Ａ→犅

犆＝→犃犆－→犃犅＝（－１，３），→犅犇＝→犅犆＋→犆犇＝→犅犆－→犃犅＝（－４，２）．３．Ｃ（ｓｉｎπ６）′＝（１２）′＝０，故Ａ错误；（２狓２＋３）′＝（２狓２）′＋３′＝４狓，故Ｂ错误；令狌＝１２狓，狔＝ｌｎ狌，因为狌′狓＝－１２狓２，狔′狌＝１

狌，所以狔′狓＝狔′狌·狌′狓＝－１２狓２·１狌＝－１狓，故Ｃ正确；（３狓）′＝３狓ｌｎ３，故Ｄ错误．４．Ｄ因为犳（－狓）＝－犳（狓），所以犳（狓）为奇函数，其图象关于原点对称，故排除Ｂ．易知犳（狓）有３个零点－２，０，２．当狓∈（０，２）时，犳（狓）＜０

；当狓∈（２，＋∞）时，犳（狓）＞０．所以排除Ａ，Ｃ，故选Ｄ．５．Ｄ对于Ａ，“犪·犮犫·犮＝犪犫”是错误的，等号右边的向量的除法是无意义的，向量没有除法的概念，故Ａ错误；对于Ｂ，由“（犪犫）狀＝犪狀犫狀”类比推出“（犪＋犫）狀＝犪狀＋犫狀”是错误的，如（１＋１）２≠１２

＋１２，故Ｂ错误；对于Ｃ，取狕１＝１，狕２＝ｉ，则满足狕２１＋狕２２＝０，但不满足狕１＝狕２＝０，故Ｃ错误；对于Ｄ，设三棱锥四个面的面积分别为犛１，犛２，犛３，犛４，由于内切圆的球心到各面的距离等于内切球的

半径狉，所以犞＝１３犛１狉＋１３犛２狉＋１３犛３狉＋１３犛４狉＝１３犛狉，所以内切球的半径狉＝３犞犛，故Ｄ正确．６．Ｃ狔′＝１狓－１４＋５４狓２＝４狓－狓２＋５４狓２＝－（狓＋１）（狓－５）４狓２，令狔′＞０，则０＜狓＜５；令狔′＜０，则狓＞５，所以狔

＝ｌｎ狓－狓４－５４狓＋９２在（０，５）上单调递增，在（５，１０）上单调递减，故当狓＝５时年利润最大．７．Ｂ把函数狔＝２ｓｉｎ（２狓＋φ）（－π２＜φ＜π２）的图象向左平移π１２个单位长度，所得图象对应的函数是狔＝２ｓｉｎ（２狓＋π６＋φ）（－π２＜φ＜π２），且它是

偶函数，所以π６＋φ＝犽π＋π２（犽∈犣），所以φ＝π３．８．Ｄ犳′（狓）＝２狓－３－犪狓＝２狓２－３狓－犪狓（狓＞０），因为犳（狓）有两个极值点，所以函数犵（狓）＝２狓２－３狓－犪在（０，＋∞）上有两个不相等的零点，由犵（０

）＝－犪＞０，Δ＝（－３）２－４×２×（－犪）＞０｛，解得－９８＜犪＜０．９．Ｄ由图可知，该企业员工的月平均工资约为７．５×０．１５＋１２．５×０．３０＋１７．５×０．２５＋２２．５×０．１５＋２７．５×０．１０＋３２．５×０．０５＝１７千元．１０．

Ｃ因为狔′＝（狓２＋２狓）ｅ狓，所以曲线狔＝狓２ｅ狓在点（狓０，狓２０ｅ狓０）处的切线方程为狔－狓２０ｅ狓０＝（狓２０＋２狓０）ｅ狓０·（狓－狓０）．将（２，０）代入，得狓０ｅ狓０·（狓２０－狓０－４）＝０．因为Δ＞０，所以方程狓２－狓－４＝０有两个不同的根，且根不为０，所以

方程狓０ｅ狓０·（狓２０－狓０－４）＝０共有３个不同的根，即经过点（２，０）作曲线狔＝狓２ｅ狓的切线有３条．１１．Ｄ由图可知第１个图形用了３＝３×１×（１＋１）２根火柴，第２个图形用了９＝３×２×（２＋１）２根火柴，第３个图形用了１８＝３×３

×（３＋１）２根火柴，……，归纳得，第狀个图形用了３（１＋２＋３＋…＋狀）＝３狀（狀＋１）２根火柴，当狀＝２０２１时，３狀（狀＋１）２＝３０３３×２０２１．１２．Ａ由题意知犳（狓）狓＋犳′（狓）ｌｎ狓－１＞０．令犵（狓）＝犳（狓）ｌｎ狓－

狓＋１，则犵′（狓）＝犳′（狓）ｌｎ狓＋犳（狓）狓－１＞０，所【高二数学理科试卷·参考答案第２页（共５页）】以犵（狓）在（０，＋∞）上单调递增，且犵（１）＝０．不等式犳（狓）ｌｎ狓＋１≥狓，等价于犵（狓）≥犵（１），故狓≥１．１３．１６因为犪２＋１

３犫犮＝犫２＋犮２，且犪２＝犫２＋犮２－２犫犮ｃｏｓ犃，所以ｃｏｓ犃＝１６．１４．３由题可知犛３＝犪１（１－狇３）１－狇＝２１，犛６＝犪１（１－狇６）１－狇＝１８９烅烄烆，解得狇＝２，犪１＝３．１５．８由函数犳（狓）＝

ｓｉｎ２狓，可得犳′（狓）＝２ｃｏｓ２狓，所以犳′（０）＝２ｃｏｓ０＝２，则ｌｉｍΔ狓→０犳（３Δ狓）－犳（－Δ狓）Δ狓＝３ｌｉｍΔ狓→０犳（０＋３Δ狓）－犳（０）３Δ狓＋ｌｉｍΔ狓→０犳（０－Δ狓）－犳（０）－Δ狓＝４犳′（０）＝８．１６．甲把各位嘉宾的推测按

正确与否列表：推测“罪犯”甲乙丙丁甲错错错对乙对错错错丙对对错错丁对错错对只有当甲的推测是错误的时候，符合题意．１７．解：（１）因为犳′（狓）＝３狓２－３，１分…………………………………………………………………………………所以犳′（０）＝－３．２分………………………………………………

……………………………………………因为犳（０）＝－１，３分………………………………………………………………………………………………所以曲线狔＝犳（狓）在狓＝０处的切线方程为狔－（－１）＝－３（狓－０），即３狓＋狔＋１＝０．４分…………………（２）令犳′（狓）＝３狓２－３＝３（狓＋１）（狓－１）＝

０，得狓＝±１，５分…………………………………………………犳′（狓），犳（狓）的变化情况如下表：狓［－２，－１）－１（－１，１）１（１，２］犳′（狓）＋０－０＋犳（狓）单调递增极大值单调递减极小值单调递增７分…………………………………………………………………………………………………………………

所以函数犳（狓）在［－２，－１），（１，２］上单调递增，在（－１，１）上单调递减．８分…………………………………因为犳（－２）＝－３，犳（－１）＝１，犳（１）＝－３，犳（２）＝１，所以函数犳（狓）在－２，［］２上的值域为－３，［］１．１０分…………………………………

………………………１８．证明：（１）因为犪狀犪狀＋１＋１＝２犪狀，所以犪狀＋１＝２－１犪狀．１分………………………………………………………当狀＝１时，犪２＝３２；当狀＝２时，犪３＝４３；２分……………………………………………………………………当狀＝３时，犪４＝５４；猜想犪

狀＝狀＋１狀．３分…………………………………………………………………………①当狀＝１时，犪１＝１＋１１＝２，猜想显然成立．４分………………………………………………………………②假设当狀＝犽时，猜想成立，即犪犽＝犽＋１犽，则当狀＝犽＋１时，犪犽＋１＝２

－１犪犽＝２－犽犽＋１＝犽＋２犽＋１＝（犽＋１）＋１犽＋１，７分…………………………………………【高二数学理科试卷·参考答案第３页（共５页）】即当狀＝犽＋１时猜想也成立．由①②可知，猜想成立，即犪狀＝狀＋１狀．８分………………………………………………………………………（２）由（１）知犪狀

＝狀＋１狀．因为ｌｎ犪狀＝ｌｎ狀＋１狀＝ｌｎ（狀＋１）－ｌｎ狀，１０分……………………………………………………………………所以犛狀＝ｌｎ犪１＋ｌｎ犪２＋ｌｎ犪３＋…＋ｌｎ犪狀＝ｌｎ２－ｌｎ１＋ｌｎ３－ｌｎ２＋ｌｎ４－ｌｎ３＋…＋ｌｎ（狀＋１）－ｌｎ狀＝ｌｎ

（狀＋１）＞ｌｎ狀．１２分…………………………………………………………………………………………��������１９．（１）证明：在直角梯形犅犆犈犇中，犅犆⊥犈犆，犇犈∥犆犅，则犇犈⊥犈犆．１分…………………………………………………………………又∠犃犈犇＝９０°，即犃犈⊥犇

犈．因为犃犈∩犈犆＝犈，２分…………………………………………………………所以犇犈⊥平面犃犆犈，所以犅犆⊥平面犃犆犈．３分………………………………………………………因为犅犆平面犃犅犆，所以平面犃犅犆⊥平面犃犆犈．４分………………………………………………（２）解：在直角梯形犅犆犈

犇中，犅犇＝犆犇＝犅犆＝２，则∠犅犆犇＝∠犇犅犆＝∠犅犇犆＝∠犈犇犆＝６０°．在Ｒｔ△犆犇犈中，犇犈＝１２犆犇＝１，所以犆犈槡＝３．在Ｒｔ△犃犇犈中，犃犇＝２，犇犈＝１，所以犃犈槡＝３．５分……………………………………………………………因为犃犆槡＝６，所以在△犃

犆犈中，犃犈２＋犆犈２＝犃犆２，则犃犈⊥犆犈，所以犃犈，犆犈，犇犈两两垂直．６分…………………………………………………………………以犈为原点，直线犆犈，犃犈，犇犈分别为狓，狔，狕轴建立如图所示的空间直角坐标系犈－狓狔狕，则犃（０，槡３，０），犇（０，０，１），犅（槡

３，０，２），所以→犃犅＝（槡３，槡－３，２），→犃犇＝（０，槡－３，１）．７分……………………设平面犃犅犇的法向量为狀＝（狓，狔，狕），则→犃犅·狀槡＝３狓槡－３狔＋２狕＝０，→犃犇·狀槡＝－３

狔＋狕＝０烅烄烆，令狔＝１，得狀＝（－１，１，槡３）．９分……………………………………………因为平面犃犇犈的一个法向量为犿＝（１，０，０），１０分……………………………………………………………所以ｃｏｓ〈犿，狀〉＝犿·狀犿狀＝－

１槡５＝－槡５５，１１分…………………………………………………………………由图可知二面角犅－犃犇－犈为钝角，所以二面角犅－犃犇－犈的余弦值为－槡５５．１２分………………………２０．解：（１）方法一：设点犘的坐标为（狓，狔），点犃，犅的坐标分别为（－６，０），

（６，０）．因为犽犘犃·犽犘犅＝狔狓＋６·狔狓－６＝－４９，所以４狓２＋９狔２＝１４４．２分………………………………………………因为犘在椭圆犆上，所以狓２３６＋狔２犫２＝１，即狔２＝犫２－犫２狓２３６，代入上式即可得犫２４＝４．则椭圆犆的方程为狓２３６＋狔２１６＝１．４分…………………………

…………………………………………………离心率犲＝槡５３．５分…………………………………………………………………………………………………【高二数学理科试卷·参考答案第４页（共５页）】方法二：设点犘的坐标为（狓，狔），点犃，犅的坐标为（－６，０），（６，０）．犽犘犃·犽犘犅＝狔狓＋６

·狔狓－６＝－４９，即４狓２＋９狔２＝１４４．３分……………………………………………………………………………………………则椭圆犆的方程为狓２３６＋狔２１６＝１．４分…………………………………………………………………………

…离心率犲＝槡５３．５分…………………………………………………………………………………………………（２）因为犾⊥犾１，所以四边形犕犛犖犜的面积犛犕犛犖犜＝１２犛犜·犕犖．６分…………………………………由题意得犛犜＝４，则犛犕犛犖犜＝２犕犖，即当犕犖取到最大值时，犛犕犛犖

犜取到最大值．７分……………………………………………………………联立直线犾１与椭圆犆的方程，可得１３狓２＋１８犿狓＋９犿２－１４４＝０．由Δ＞０，可得犿２＜５２．设点犕，犖的坐标分别为（狓１，狔１），（狓２，狔２），则狓１＋狓２＝－１８犿１３，狓１狓２

＝９犿２－１４４１３，９分………………………………………………………………………所以犕犖＝２（－１８犿１３）２－４×９犿２－１４４［］槡１３＝槡１２２－犿２槡＋５２１３．１０分…………………………………显然当犿＝０时，犕犖取到最大值，最大值为槡２４２６１３，１１分…………

………………………………………故犛犕犛犖犜的最大值为槡４８２６１３．１２分………………………………………………………………………………２１．证明：（１）假设狆＋狇＞４，则狆＞４－狇，所以狆３＞（４－狇）３，２分…………………………………………………

所以狆３＋狇３＞（４－狇）３＋狇３＝６４－４８狇＋１２狇２．４分………………………………………………………………因为狆３＋狇３＝１６，所以１６＞６４－４８狇＋１２狇２，即狇２－４狇＋４＝（狇－２）２＜０，这与（狇－２）２≥

０矛盾，５分………………………………………………………所以假设错误，故狆＋狇≤４．６分…………………………………………………………………………………（２）要证ｅ犪＋犫２＜ｅ犫－ｅ犪犫－犪，即证ｅ犫－犪２＜ｅ犫－犪－１犫－犪．令ｅ犫－犪２＝狓＞１，所以只需证狓＜狓２－１２ｌｎ狓．８分………………

……………………………………………………因为狓＞１，所以ｌｎ狓＞０，所以只要证２狓ｌｎ狓＜狓２－１，即证２ｌｎ狓＜狓－１狓．１０分…………………………………………………………令犵（狓）＝２ｌｎ狓－狓＋１狓，狓∈（

１，＋∞），则犵′（狓）＝２狓－１－１狓２＝－（狓－１）２狓２＜０，１１分…………………………………………………………………所以犵（狓）在（１，＋∞）上单调递减，所以犵（狓）＜犵（１）＝０，即２ｌｎ狓－狓＋１狓＜０成

立，故ｅ犪＋犫２＜ｅ犫－ｅ犪犫－犪．１２分……………………………………………………………………………………………２２．（１）解：当犪＝０时，犳（狓）＝狓ｅ狓，所以犳′（狓）＝（狓＋１）ｅ狓．１分………………………………………………………………………………………因为狓＞０，所以狓＋１

＞０，则犳′（狓）＞０，２分……………………………………………………………………【高二数学理科试卷·参考答案第５页（共５页）】所以犳（狓）在（０，＋∞）上单调递增．３分………………………………………………

…………………………（２）证明：因为犳（狓）＝狓ｅ狓－犪（狓＋ｌｎ狓），所以犳′（狓）＝（狓＋１）ｅ狓－犪（１＋１狓）＝狓＋１狓·（狓ｅ狓－犪）．①当犪≤０时，犳′（狓）＞０，即犳（狓）在（０，＋∞）上单调递增，函数犳（狓）无极小值，所以犪≤

０不符合题意．５分………………………………………………………………②当犪＞０时，令犺（狓）＝狓ｅ狓－犪，狓＞０，则犺′（狓）＝（狓＋１）ｅ狓＞０，故函数犺（狓）在（０，＋∞）上单调递增．因为犺（０）＝－犪＜０，犺（犪）＝犪（ｅ犪－１）

＞０，６分…………………………………………………………………据零点存在性定理可知，存在狓０∈（０，犪），使得犺（狓０）＝０，犳′（狓０）＝０．当０＜狓＜狓０时，犺（狓）＜０，犳′（狓）＜０，函数犳（狓）在（０，狓０）上单调递减；当狓＞狓０时，犺（狓

）＞０，犳′（狓）＞０，函数犳（狓）在（狓０，＋∞）上单调递增．所以犳（狓）在狓＝狓０处取得极小值，所以犪＞０符合题意．７分…………………………………………………因为犺（狓０）＝０，所以狓０ｅ狓０＝犪．８分………………………………………………………………………………因为犳（狓０）＞

０，即犪－犪（狓０＋ｌｎ狓０）＞０，所以犪（１－狓０－ｌｎ狓０）＞０．因为犪＞０，所以１－狓０－ｌｎ狓０＞０，即狓０＋ｌｎ狓０－１＜０．９分…………………………………………………令犿（狓）＝狓＋ｌｎ狓－１，因为犿（狓）在（０，＋∞）上单调递增，且犿（１）＝０，

犿（狓０）＜０，所以０＜狓０＜１．令狆（狓）＝ｌｎ狓－狓＋１，０＜狓＜１，因为狆′（狓）＝１狓－１＞０，所以狆（狓）在（０，１）上单调递增，所以狆（狓）＜狆（１）＝０，即ｌｎ狓＜狓－１，其中０＜狓＜１．１０分……………………………………………………因为犳

（狓０）＝犪（１－狓０－ｌｎ狓０）＞犪１－狓０－（狓０－１［］）＝２犪（１－狓０），１１分……………………………………结合０＜狓０＜１，犪＞０，所以可得犳（狓０）犪（１－狓０）＞２．１２分………………

……………………………………………