【文档说明】河南省焦作市2021届高三下学期3月第三次大联考文科数学试题 PDF版含答案.pdf，共(6)页，762.483 KB，由小赞的店铺上传

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【２０２１届高三·数学（文）试题·第１页（共４页）】大联考试卷数学（文）·（３－２）（试卷总分１５０分考试时间１２０分钟）题号第Ⅰ卷第Ⅱ卷总分合分人复分人得分第Ⅰ卷（选择题共６０分）得分评卷人一、选择题：本大题共１２

小题，每小题５分，共６０分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．１．已知集合Ａ＝｛１，ａ２｝，Ｂ＝｛－１，０，１｝，若Ａ∪Ｂ＝Ｂ，则Ａ中元素的和为（）Ａ．０Ｂ．１Ｃ．２Ｄ．－１２．已知ａ为实数，复数ｚ＝（ａ－２）＋ａｉ（ｉ为虚数单位），复数ｚ的共轭复数为ｚ，若ｚ为纯虚数，则１－

ｚ＝（）Ａ．１－２ｉＢ．１＋２ｉＣ．２＋ｉＤ．２－ｉ３．给出一组样本数据：１，４，ｍ，３，它们出现的频率分别为０．１，０．１，０．４，０．４，且样本数据的平均值为２．５，从１，４，ｍ，３中任取两个数，则这两个数的和为５的概率为（）Ａ．１２Ｂ．２３Ｃ．１３Ｄ．１４����高考４．如图是一个正方

体的表面展开图，则图中“０”在正方体中所在的面的对面上的是（）Ａ．２Ｂ．１Ｃ．高Ｄ．考５．已知锐角α，β满足ｃｏｓα＝槡２５５，ｓｉｎ（α－β）＝－３５，则ｓｉｎβ的值为（）Ａ．槡２５５Ｂ．槡５５Ｃ．槡２５２５Ｄ．槡５２

５６．已知ａ＝（０，－２），ｂ＝（－１，１），ｃ＝（ｘ，ｙ），若ａ＋ｂ－ｃ＝０，则｜ｂ＋２ｃ｜＝（）槡槡槡Ａ．２２Ｂ．７Ｃ．２Ｄ．１０７．已知Ｐ是曲线Ｃ：ｘ＋２ｙ－ｙ槡２＝０上的点，Ｑ是直线ｘ－ｙ－１＝０上的一点，则｜ＰＱ｜的最小值为（）Ａ．槡３２２槡Ｂ．２－１Ｃ．槡２２－１Ｄ

．槡２２８．已知函数ｆ（ｘ）＝ｌｏｇ３ｘ，给出三个条件：①ｆ（ａｎ）＝２ｎ；②ｆ（ａｎ）＝ｎ；③ｆ（ａｎ）＝１ｎ．从中选出一个能使数列｛ａｎ｝成等比数列的条件，在这个条件下，数列｛ａｎ｝的前ｎ项和Ｓｎ＝（）Ａ．３ｎ－１Ｂ．２ｎ＋１－１Ｃ．１２（３ｎ－１）Ｄ．３２

（３ｎ－１）�����９．已知函数ｆ（ｘ）＝ｌｏｇ４（ｘ＋ｋ）的图象如图所示，则２ｆ（２）＋２－ｆ（２）＝（）槡Ａ．２３Ｂ．２Ｃ．槡４３３Ｄ．５２１０．已知椭圆Ｃ：ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１（ａ＞ｂ＞０）的左、右焦点分别为Ｆ１、Ｆ２，Ｂ是椭圆Ｃ的上顶点，直线ｘ＝１３ｃ与直线ＢＦ２交于点Ａ，若∠

ＡＦ１Ｆ２＝π４，则椭圆Ｃ的离心率为（）Ａ．槡５５Ｂ．槡３３Ｃ．槡２２Ｄ．槡３２��������１１．如图，已知四棱锥Ｓ－ＡＢＣＤ的底面是边长为６的菱形，∠ＢＡＤ＝６０°，ＡＣ，ＢＤ相交于点Ｏ，ＳＯ⊥平面ＡＢＣＤ，ＳＯ＝４，Ｅ是ＢＣ的中点，动点Ｐ在该棱锥

表面上运动，并且总保持ＰＥ⊥ＡＣ，则动点Ｐ的轨迹的长为（）Ａ．３Ｂ．７Ｃ．１３Ｄ．８１２．已知曲线Ｃ１：ｆ（ｘ）＝ｘｅｘ在ｘ＝０处的切线与曲线Ｃ２：ｇ（ｘ）＝ａｌｎｘｘ（ａ∈Ｒ）在ｘ＝１处的切线平行，

令ｈ（ｘ）＝ｆ（ｘ）ｇ（ｘ），则ｈ（ｘ）在（０，＋∞）上（）Ａ．有唯一零点Ｂ．有两个零点Ｃ．没有零点Ｄ．不确定题号１２３４５６７８９１０１１１２答案【２０２１届高三·数学（文）试题·第２页（共４页）】第Ⅱ卷（非选择题共９０分）本卷包括必考题和选考

题两部分，第１３～２１题为必考题，每个试题考生都必须作答，第２２～２３题为选考题，考生根据要求作答．得分评卷人二、填空题：本大题共４小题，每小题５分，共２０分．把答案填在题中横线上．１３．执行如图所示的程序框图，若输入ｎ的值为３，则输出ｉ的值为．开始���输�正整数�����是奇

数��������������输出�结束是否是否１４．已知数列｛ａｎ｝是等差数列，ａ１≥－１，ａ２≤２，ａ３≥０，则ｚ＝３ａ１－ａ５的最大值是．１５．已知数列｛ａｎ｝的前ｎ项和为Ｓｎ，ａ１＝１，且对任意的ｎ∈Ｎ，都有ａ２ｎ＝ｌｏｇ２ｎｎ＋１＋ａｎａ２ｎ

＋１＝－ａｎ＋ｌｏｇ２ｎ＋２{ｎ，则Ｓ６１＝．１６．已知函数ｆ（ｘ）＝ｘ３＋ｌｇ（ｘ＋ｘ２槡＋１），若｜ａ－１｜·［ｆ（２ａ－３）＋ｆ（２）］＞０，则实数ａ的取值范围是．得分评卷人三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．１７．（１２分）一年一度的剁手狂欢节———“双十一”，使千万女性朋

友们非常纠结．２０２０年双十一，淘宝点燃火炬瓜分２．５个亿，淘宝、京东、天猫等各大电商平台从１０月２０号就开始预订，进行了强大的销售攻势．天猫某知名服装经营店，在１０月２１号到１０月２７号一周内，每天销售预

定服装的件数ｘ（百件）与获得的纯利润ｙ（单位：百元）之间的一组数据关系如下表：ｘ３４５６７８９ｙ６６６９７３８１８９９０９１（１）若ｙ与ｘ具有线性相关关系，判断ｙ与ｘ是正相关还是负相关；（２）试求ｙ与ｘ的线性回归方程；（３）该服装经营店打算１１月２号结束双十一预

定活动，预计在结束活动之前，每天销售服装的件数ｘ（百件）与获得的纯利润ｙ（单位：百元）之间的关系仍然服从（１）中的线性关系，若结束当天能销售服装１４百件，估计这一天获得的纯利润与前一周的平均利润相差多少百元？（有关计算精确到小数点后两位）参考公式与数据：ｙ∧＝ｂ∧ｘ＋ａ∧，ｂ∧

＝∑ｎｉ＝１（ｘｉ－ｘ）（ｙｉ－ｙ）∑ｎｉ＝１（ｘｉ－ｘ）２，ａ∧＝ｙ－ｂ∧ｘ．∑７ｉ＝１ｘｉｙｉ＝３４８７．１８．（１２分）在锐角△ＡＢＣ中，内角Ａ，Ｂ，Ｃ所对的边分别为ａ，ｂ，ｃ，且直线ｘ＝Ａ为函数ｆ（ｘ）槡＝３ｓｉｎ２ｘ＋２ｓ

ｉｎ２ｘ图象的一条对称轴．（１）求Ａ；（２）若ａ＝４，求△ＡＢＣ面积的最大值．【２０２１届高三·数学（文）试题·第３页（共４页）】１９．（１２分）如图，在三棱锥Ｓ－ＡＢＣ中，已知△ＳＡＣ是正三角形，Ｇ为△ＳＡＣ的重心，Ｄ，Ｅ分别为ＳＣ，ＡＢ

的中点，Ｆ在ＡＢ上，且ＡＦ＝１３ＡＢ．（１）求证：ＤＥ∥平面ＳＧＦ；（２）若平面ＳＡＣ⊥平面ＡＣＢ，ＡＣ＝ＢＣ＝２，∠ＡＣＢ＝１２０°，求三棱锥Ｓ－ＡＢＣ的体积．��������２０．（１２分）已知椭圆Ｃ：ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１（ａ＞ｂ

＞０）的左右焦点分别为Ｆ１，Ｆ２，过Ｆ２的直线ｌ与椭圆交于Ａ，Ｂ两点，Ｐ为椭圆的下顶点，△ＯＰＦ２为等腰三角形，当ｌ⊥ｘ轴时，△ＯＡＢ的面积为槡２２．（１）求椭圆Ｃ的标准方程；（２）若直线ｌ不与坐标轴垂直，线段ＡＢ的中垂线ｌ′与ｙ轴交于点Ｍ，若直线Ｆ１Ｍ的斜率为１３，求直

线ｌ的方程．【２０２１届高三·数学（文）试题·第４页（共４页）】２１．（１２分）已知函数ｆ（ｘ）＝ｅｘ，ｇ（ｘ）＝ｘ２＋ａｘ－ｘ＋１．（１）当ａ＝２时，令函数ｈ（ｘ）＝ｇ（ｘ）－２ｆ（ｘ），若不等式ｈ（ｘ）≤ｍ在区间［０，２］上有解，求实数ｍ的取值

范围；（２）令φ（ｘ）＝（ｘ－１）ｆ（ｘ）－ａｇ（ｘ）＋（ａ２－ａ）ｘ＋ａ，当ａ＞１２时，若函数φ（ｘ）的极小值为－２ａ，求ａ的值．请考生在第２２、２３题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．２２．（１０分）【选修４－４坐标系与参数方程】在平面直角坐标系ｘ

Ｏｙ中，直线ｌ过定点Ｐ（３，０），倾斜角为α（０＜α＜π２），曲线Ｃ的参数方程为ｘ＝ｔ＋１ｔｙ＝ｔ２－１２{ｔ（ｔ为参数）；以原点Ｏ为极点，ｘ轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．（１）求曲线Ｃ的极坐标方程；（２）已知直线ｌ交曲线Ｃ于Ｍ，Ｎ两点，且｜ＰＭ｜·｜ＰＮ｜＝１０３，求ｌ的参

数方程．２３．（１０分）【选修４－５不等式选讲】已知函数ｆ（ｘ）＝ｘ２－ａ｜ｘ－１｜－１，ａ∈Ｒ．（１）当ａ＝２时，解不等式ｆ（ｘ）＋ｆ（２）≥０；（２）对任意的ｘ∈［３２，＋∞），ｆ（ｘ）≥ａ｜ｘ＋１｜恒成立，求实数ａ的取值范围．你选做的题目是题（填２２、２３）答案

：１数学（文）大联考大联考·数学（文）·（３－２）参考答案１．Ｂ（解析：∵Ａ∪Ｂ＝Ｂ，∴ＡＢ，∴ａ２＝０，则ａ＝０，∴Ａ＝｛１，０｝，故选Ｂ．）２．Ｂ（解析：∵ｚ＝（ａ－２）＋ａｉ为纯虚数，∴ａ＝２，则

ｚ＝２ｉ，∴ｚ＝－２ｉ，则１－ｚ＝１＋２ｉ，故选Ｂ．）３．Ｃ（解析：由题意得，样本平均值为１×０．１＋４×０．１＋ｍ×０．４＋３×０．４＝２．５，ｍ＝２，即这组样本数据为１，４，２，３，从中任取两个有（１，４），（１，２），（

１，３），（４，２），（４，３），（２，３）共６种情况，其中和为５的有（１，４），（２，３）两种情况，∴所求概率为Ｐ＝２６＝１３，故选Ｃ．）４．Ｃ（解析：将展开图还原成正方体可知，“０”在正方体中所在的面的对面上的是“高”，故

选Ｃ．）５．Ａ（解析：∵α是锐角，β是锐角，ｃｏｓα＝槡２５５，ｓｉｎ（α－β）＝－３５，∴ｓｉｎα＝槡５５，ｃｏｓ（α－β）＝４５，∴ｓｉｎβ＝ｓｉｎ［α－（α－β）］＝槡５５×４５－槡２５５×（－３５）

＝槡２５５，故选Ａ．）６．Ｄ（解析：∵ａ＋ｂ－ｃ＝０，∴ｃ＝ａ＋ｂ＝（０，－２）＋（－１，１）＝（－１，－１），则｜ｂ＋２ｃ｜＝（－１，１）＋２（－１，－１）＝（－３，－１），∴｜ｂ＋２ｃ槡｜＝１０，

故选Ｄ．）７．Ｄ（解析：由ｘ＋２ｙ－ｙ槡２＝０得，ｘ２＋（ｙ－１）２＝１，∴曲线Ｃ是圆心为Ｃ（０，１），半径ｒ＝１的左半圆，曲线Ｃ上的点（０，０）到直线ｘ－ｙ－１＝０的距离ｄ＝槡２２即为｜ＰＱ｜的最小值，故选Ｄ．）８．Ｄ（解析：若ｆ（ａｎ）＝２ｎ，则ａ

ｎ＝３２ｎ，非等比数列；若ｆ（ａｎ）＝１ｎ，ａｎ＝ａ１ｎ，非等比数列．若ｆ（ａｎ）＝ｎ，则ａｎ＝３ｎ，为等比数列；则Ｓｎ＝３（１－３ｎ）１－３＝３２（３ｎ－１），故选Ｄ．）９．Ｃ（解析：由图象知，ｆ（０）＝０，即ｌｏｇ４ｋ＝０，

∴ｋ＝１，则ｆ（ｘ）＝ｌｏｇ４（ｘ＋１），∴ｆ（２）＝ｌｏｇ４３，则２ｆ（２）＋２－ｆ（２）＝２ｌｏｇ４３＋２－ｌｏｇ４３＝２ｌｏｇ２槡３＋２－ｌｏｇ２槡３＝２ｌｏｇ２槡３＋２ｌｏｇ２１槡３槡＝３＋１槡３＝槡４３３，故选Ｃ．）１０．Ａ（解析：由题设

知，Ｂ（０，ｂ），Ｆ２（ｃ，０），∴直线ＢＦ２的方程为ｘｃ＋ｙｂ＝１，联立ｘ＝１３ｃｘｃ＋ｙｂ{＝１得，Ａ（１３ｃ，２３ｂ），设直线ｘ＝１３ｃ与ｘ轴交于点Ｍ，则｜Ｆ１Ｍ｜＝４３ｃ，｜ＭＡ｜＝２３ｂ，∵∠ＡＦ１Ｆ２＝π４，∴｜Ｆ１Ｍ｜＝｜ＭＡ｜４３ｃ＝２３ｂ，即ｂ＝２ｃ，∴

ａ２－ｃ２＝４ｃ２，即ａ２＝５ｃ２，∴ｅ２＝１５ｅ＝槡５５，故选Ａ．）����������１１．Ｄ（解析：取ＤＣ，ＳＣ的中点Ｇ，Ｆ，连接ＧＥ，ＦＥ，∵Ｅ是ＢＣ的中点，∴ＧＥ∥ＤＢ，ＦＥ∥ＳＢ，∴平面ＦＥＧ∥平面ＳＢＤ，∵ＳＯ⊥平面ＡＢＣＤ，∴ＳＯ⊥ＡＣ，又四边形ＡＢＣＤ是菱形

，∴ＤＢ⊥ＡＣ，∵ＳＯ∩ＤＢ＝Ｏ，∴ＡＣ⊥平面ＳＢＤ，则ＡＣ⊥平面ＦＥＧ，故只要动点Ｐ在平面ＦＥＧ内即总保持ＰＥ⊥ＡＣ，又动点Ｐ在棱锥表面上运动，∴动点Ｐ的轨迹的周长即为△ＦＥＧ的周长，∵四边形ＡＢＣＤ是菱形，边长为６，且∠ＢＡＤ＝６０°，∴ＢＤ＝６，则ＯＢ＝ＯＤ＝３，又ＳＯ＝４，∴ＳＢ＝ＳＤ＝

５，故ＦＥ＝ＦＧ＝５２，ＧＥ＝３，∴△ＦＥＧ的周长为８，故选Ｄ．）１２．Ａ（解析：∵ｆ（ｘ）＝ｘｅｘ，∴ｆ′（ｘ）＝（１＋ｘ）ｅｘ，又ｇ（ｘ）＝ａｌｎｘｘ，∴ｇ′（ｘ）＝ａ－ａｌｎｘｘ２，由题设知，ｆ′（０）＝ｇ′（１），即（１＋０）ｅ０＝ａ－ａｌ

ｎ１１２，∴ａ＝１，则ｈ（ｘ）＝ｆ（ｘ）ｇ（ｘ）＝ｘｅｘ·ｌｎｘｘ＝ｅｘｌｎｘ，∴ｈ′（ｘ）＝ｅｘｌｎｘ＋ｅｘｘ＝（ｘｌｎｘ＋１）ｅｘｘ，ｘ＞０，令ｍ（ｘ）＝ｘｌｎｘ＋１，ｘ＞０，则ｍ′（ｘ）＝ｌｎｘ＋１，当ｘ∈（

０，１ｅ）时，ｍ′（ｘ）＜０，当ｘ∈（１ｅ，＋∞）时，ｍ′（ｘ）＞０，∴在（０，＋∞）上ｍ（ｘ）的最小值为ｍ（１ｅ）＝１－１ｅ＞０，∴ｍ（ｘ）＞０，则ｈ′（ｘ）＞０，∴ｈ（ｘ）在（０，＋∞）上单调递增，且ｈ（１）＝０，故选Ａ．）１３．４（解析：由程序框图知，当ｎ＝

３时，否，是奇数，则ｎ＝３＋１＝４，ｉ＝１＋１＝２；否，不是奇数，则ｎ＝４２＝２，ｉ＝２＋１＝３；否，不是奇数，则ｎ＝２２＝１，ｉ＝３＋１＝４；满足条件，结束程序，输出ｉ的值为４．）������１４．１６（解析：设等差数列｛ａｎ｝的公差为ｄ，由题设知，ａ１≥－１ａ１＋ｄ≤２ａ１＋２ｄ≥{０，

设ａ１＝ｘ，ｄ＝ｙ，则不等式组等价为ｘ≥－１ｘ＋ｙ≤２ｘ＋２ｙ≥{０，对应的可行域为如图所示的三角形△ＡＢＣ及其内部，由３ａ１－ａ５＝２ａ１－４ｄ＝２ｘ－４ｙ，当直线ｚ＝２ｘ－４ｙ过点Ａ（４，－２）时，ｚ取得最大值为１６．）１５．５（解析：∵ａ２ｎ＝ｌｏｇ２ｎｎ＋１＋ａｎａ２ｎ＋１＝－ａ

ｎ＋ｌｏｇ２ｎ＋２{ｎ，∴ａ２ｎ＋ａ２ｎ＋１＝ｌｏｇ２ｎｎ＋１＋ｌｏｇ２ｎ＋２ｎ＝ｌｏｇ２ｎ＋２ｎ＋１，∴Ｓ６１＝ａ１＋（ａ２＋ａ３）＋（ａ４＋ａ５）＋…＋（ａ６０＋ａ６１）＝１＋ｌｏｇ２３２＋ｌｏｇ２４３＋…＋ｌｏｇ２３２３１

＝１＋ｌｏｇ２（３２·４３·…·３２３１）＝１＋ｌｏｇ２１６＝５．）１６．（１２，１）∪（１，＋∞）（解析：ｆ（ｘ）＝ｘ３＋ｌｇ（ｘ＋ｘ２槡＋１）定义域为Ｒ，∵ｆ（－ｘ）＝－ｘ３＋ｌｇ（－ｘ＋ｘ２槡＋１），∴ｆ

（ｘ）＋ｆ（－ｘ）＝ｘ３＋ｌｇ（ｘ＋ｘ２槡＋１）－ｘ３＋ｌｇ（－ｘ＋ｘ２槡＋１）＝ｌｇ１＝０，即ｆ（ｘ）为定义在Ｒ上的奇函数，且ｆ（ｘ）在Ｒ上单调递增，当ａ＝１时，不等式显然不成立，当ａ≠１时，∵｜ａ－１｜＞０，∴｜ａ－

１｜［ｆ（２ａ－３）＋ｆ（２）］＞０即为ｆ（２ａ－３）＋ｆ（２）＞０，即ｆ（２ａ－３）＞－ｆ（２），∴ｆ（２ａ－３）＞ｆ（－２），则２ａ－３＞－２ａ＞１２，故实数ａ的取值范围是（１２，１）∪（１，＋∞）．）１７．解：（１）由题目中的数据表格可以看出，ｙ随着ｘ的增大而增大，∴判

断出ｙ与ｘ是正相关；（２分）������（２）由题设知，∑７ｉ＝１ｘ２ｉ＝２８０，ｘ＝３＋４＋５＋６＋７＋８＋９７＝６，ｙ＝６６＋６９＋７３＋８１＋８９＋９０＋９１７＝５５９７，（５分）���������

����������∴ｂ∧＝３４８７－７×６×５５９７２８０－７×３６＝１３３２８＝４．７５，则ａ∧＝５５９７－６×４．７５≈５１．３６，∴线性回归直线方程为ｙ∧＝４．７５ｘ＋５１．３６；（８分）��������

����������（３）由（１）知，当ｘ＝１４时，ｙ∧＝４．７５×１４＋５１．３６＝１１７．８６（百元），∴１１月２号这天估计可获得的纯利润大约为１１７．８６百元；由（１）知，前一周的平均利润为ｙ＝５５９７≈７９．８６（百元），故结束当天获

得的纯利润比前一周的平均利润多３８．００百元．（１２分）������������１８．解：（１）ｆ（ｘ）槡＝３ｓｉｎ２ｘ＋２ｓｉｎ２ｘ槡＝３ｓｉｎ２ｘ－ｃｏｓ２ｘ＋１＝２ｓｉｎ（２ｘ－π６）＋１，（３分）���

����∵直线ｘ＝Ａ为函数ｆ（ｘ）图象的一条对称轴，∴２Ａ－π６＝π２＋ｋπ（ｋ∈Ｚ），即Ａ＝π３＋１２ｋπ（ｋ∈Ｚ），又０＜Ａ＜π２，∴当ｋ＝０时，Ａ＝π３．（６分）���������２数学（文）大联考（２）∵Ａ＝π３，ａ＝４，∴由余弦定理得，１６＝ｂ２＋ｃ２－２ｂｃｃｏｓπ３＝ｂ２＋ｃ

２－ｂｃ≥２ｂｃ－ｂｃ＝ｂｃ，即ｂｃ≤１６，（９分）������∴Ｓ△ＡＢＣ＝１２ｂｃｓｉｎＡ＝１２ｂｃｓｉｎπ３≤１２×１６×槡３２槡＝４３，故△ＡＢＣ面积的最大值为槡４３．（１２分）����１９．（１）证明：连接Ａ

Ｄ，∵Ｄ为ＳＣ的中点，Ｇ为△ＳＡＣ的重心，∴点Ｇ一定在ＡＤ上，且ＡＧＡＤ＝２３，（２分）����∵Ｅ为ＡＢ的中点，∴ＡＥ＝１２ＡＢ，又ＡＦ＝１３ＡＢ，∴ＡＦ＝２３ＡＥ，即ＡＦＡＥ＝２３，∴ＡＧＡＤ＝ＡＦＡＥ，（４分）�������������则ＧＦ∥ＤＥ，∵ＧＦ平面ＳＧＦ，ＤＥ平面ＳＧＦ，

∴ＤＥ∥平面ＳＧＦ；（６分）�������������������（２）解：延长ＳＧ，交ＡＣ与Ｈ，由题设知，Ｈ为ＡＣ的中点，∵△ＳＡＣ是正三角形，∴ＳＨ⊥ＡＣ，∵平面ＳＡＣ⊥平面ＡＣＢ，平面ＳＡＣ∩平面ＡＣＢ＝ＡＣ，ＳＨ平面ＳＡＣ，∴ＳＨ⊥平面ＡＣＢ，即ＳＨ为三棱锥Ｓ－ＡＢＣ的高，（９分）��

��������������∵ＡＣ＝２，∴ＳＨ槡＝３，又ＡＣ＝ＢＣ＝２，∠ＡＣＢ＝１２０°，∴Ｓ△ＡＢＣ＝１２·ＡＣ·ＢＣｓｉｎ∠ＡＣＢ＝１２·２·２ｓｉｎ１２０°槡＝３，故ＶＳ－ＡＢＣ＝１３Ｓ△ＡＢＣ

·ＳＨ＝１３·槡３·槡３＝１．（１２分）������������������２０．解：（１）由题设知，Ｆ２（ｃ，０），Ｐ（０，－ｂ），∵△ＯＰＦ２为等腰三角形，∴ｂ＝ｃ，又直线ｌ过Ｆ２，当ｌ⊥ｘ轴时，｜ＡＢ｜＝２ｂ２ａ，（２分）������������������

�∴△ＯＡＢ的面积为１２·｜ＡＢ｜·ｃ＝１２·２ｂ２ａ·ｃ＝槡２２２ｂ２ｃ槡＝２ａ，由ｂ＝ｃ２ｂ２ｃ槡＝２ａａ２＝ｂ２＋ｃ{２解得，ａ槡＝２，ｂ＝ｃ＝１；故椭圆Ｃ的标准方程为ｘ２２＋ｙ２＝１．（５分）���（２）由（１）知，Ｆ１（－１，０），Ｆ２（１，０），设直线ｌ的方程

为ｘ＝ｔｙ＋１（ｔ≠０），由ｘ＝ｔｙ＋１ｘ２＋２ｙ２{＝２得，（ｔ２＋２）ｙ２＋２ｔｙ－１＝０，设Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２），∴ｙ１＋ｙ２＝－２ｔｔ２＋２，ｙ１ｙ２＝－１ｔ２＋２，设线段ＡＢ的中点为Ｎ（ｘ０，ｙ

０），则ｙ０＝ｙ１＋ｙ２２＝－ｔｔ２＋２，ｘ０＝ｔｙ０＋１＝２ｔ２＋２，即Ｎ（２ｔ２＋２，－ｔｔ２＋２）．（８分）��������设Ｍ（０，ｍ），∵ＭＮ⊥ＡＢ，∴ｍ＋ｔｔ２＋２－２ｔ２＋２·１ｔ＝－１，解得，ｍ＝ｔｔ２＋２，即Ｍ

（０，ｔｔ２＋２），（１０分）����������∵直线Ｆ１Ｍ的斜率为１３，∴ｔｔ２＋２－００－（－１）＝１３，即ｔ２－３ｔ＋２＝０，解得，ｔ＝１或ｔ＝２，故直线ｌ的方程为ｘ－ｙ－１＝０或ｘ－２ｙ－１＝０．（１２分）�����２１．解：（１）当ａ＝２时，ｈ（ｘ）＝ｇ（ｘ）－２ｆ（ｘ）＝ｘ

２＋ｘ－１ｅｘ，不等式ｈ（ｘ）≤ｍ在ｘ∈［０，２］上有解，则ｈ（ｘ）ｍｉｎ≤ｍ，（２分）�����������∵ｈ′（ｘ）＝（２ｘ＋１）ｅｘ－（ｘ２＋ｘ－１）ｅｘ（ｅｘ）２＝－ｘ２－ｘ－２ｅｘ＝－（ｘ－２）（ｘ＋１）ｅｘ，ｘ∈［０，２］，∴当ｘ∈［０，２］时，ｈ′（ｘ）≥０，∴函数ｈ（

ｘ）在［０，２］上单调递增，则ｈ（ｘ）ｍｉｎ＝ｈ（０）＝－１，∴ｍ≥－１，故实数ｍ的取值范围是［－１，＋∞）．（５分）����������������（２）由题设知，φ（ｘ）＝（ｘ－１）ｅｘ－ａｘ２，∴φ′（ｘ）＝ｅｘ＋（ｘ－１）ｅｘ－２ａｘ＝ｘ（ｅｘ－２ａ），ｘ∈Ｒ，当ａ＞１

２时，２ａ＞１，∴ｌｎ２ａ＞０，令φ′（ｘ）＝０，则ｘ＝０或ｘ＝ｌｎ２ａ，（７分）���ｘ∈（－∞，０）时，ｅｘ＜１＜２ａ，∴φ′（ｘ）＞０，函数φ（ｘ）单调递增，ｘ∈（０，ｌｎ２ａ）时，φ′（ｘ）＜０，函数φ（ｘ）单调递减，ｘ∈（ｌｎ２ａ，＋∞）

时，φ′（ｘ）＞０，函数φ（ｘ）单调递增，（９分）����∴函数φ（ｘ）的极小值为φ（ｌｎ２ａ）＝（ｌｎ２ａ－１）ｅｌｎ２ａ－ａ（ｌｎ２ａ）２＝２ａ（ｌｎ２ａ－１）－ａ（ｌｎ２ａ）２，由题设知，２ａ（ｌｎ２ａ－１）－ａ（ｌｎ２ａ）２

＝－２ａ，即２ｌｎ２ａ－（ｌｎ２ａ）２＝０，∵ｌｎ２ａ＞０，∴ｌｎ２ａ＝２，则ａ＝ｅ２２．（１２分）���２２．解：（１）由ｘ＝ｔ＋１ｔｙ＝ｔ２－１２{ｔ得，ｘ＝ｔ＋１ｔ２ｙ＝ｔ－１{ｔ，∵（ｔ＋１ｔ）２－（ｔ－１ｔ）２＝ｔ２＋２＋１ｔ２－ｔ２＋２－１ｔ２＝４，∴ｘ２

－（２ｙ）２＝４，即ｘ２－４ｙ２＝４，（３分）����又ｘ＝ρｃｏｓθｙ＝ρｓｉｎ{θ，∴ρ２ｃｏｓ２θ－４ρ２ｓｉｎ２θ＝４，即曲线Ｃ的极坐标方程为ρ２ｃｏｓ２θ－４ρ２ｓｉｎ２θ＝４；（５分）����������������（２

）设ｌ的参数方程为ｘ＝３＋ｔｃｏｓαｙ＝ｔｓｉｎ{α（ｔ为参数），代入ｘ２－４ｙ２＝４整理得，（ｃｏｓ２α－４ｓｉｎ２α）ｔ２＋６ｔｃｏｓα＋５＝０，设方程的两根分别为ｔ１，ｔ２，则ｔ１ｔ２＝５ｃｏｓ２α－４ｓｉｎ２α，

（７分）��������则｜ＰＭ｜·｜ＰＮ｜＝｜ｔ１ｔ２｜＝｜５ｃｏｓ２α－４ｓｉｎ２α｜＝１０３，解得，ｃｏｓα＝±槡２２，∵０＜α＜π２，∴α＝π４．故ｌ的参数方程为ｘ＝３＋槡２２ｔｙ＝槡２２�������ｔ（ｔ为参数）．（１０分）���������

����������２３．解：（１）当ａ＝２时，ｆ（ｘ）＝ｘ２－２｜ｘ－１｜－１，∴ｆ（２）＝１，则不等式ｆ（ｘ）＋ｆ（２）≥０为ｘ２－２｜ｘ－１｜≥０，（２分）�����������������当ｘ≥１时，ｘ２－２｜ｘ－１｜≥０为ｘ２－２ｘ＋２≥０恒成立，∴ｘ≥１

，当ｘ＜１时，ｘ２－２｜ｘ－１｜≥０为ｘ２＋２ｘ－２≥０，解得，ｘ≤槡－１－３或ｘ≥槡－１＋３，∴ｘ≤槡－１－３或槡－１＋３≤ｘ＜１，综上，不等式ｆ（ｘ）＋ｆ（２）≥０的解集为（－∞，槡－１－３］∪［槡－１＋３，＋∞）；（５分）��（２）不等式ｆ（ｘ）≥ａ｜ｘ＋１｜等价于ｘ２－ａ｜ｘ

－１｜－１≥ａ｜ｘ＋１｜，即ａ≤ｘ２－１｜ｘ－１｜＋｜ｘ＋１｜对任意的ｘ∈［３２，＋∞）恒成立，即ａ≤ｘ２－１ｘ－１＋ｘ＋１＝ｘ２－１２ｘ＝１２（ｘ－１ｘ）对任意的ｘ∈［３２，＋∞）恒成立，（８分）��������∵函数ｙ＝１２（ｘ－１ｘ）在区间

［３２，＋∞）上单调递增，最小值为１２（３２－２３）＝５１２，∴ａ≤５１２，故实数ａ的取值范围是（－∞，５１２］．（１０分）�����������������