【文档说明】甘肃省兰州市第五十七中学2022-2023学年高三上学期第一次模拟考试数学（文科）试卷 含答案.docx，共(20)页，284.657 KB，由小赞的店铺上传

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兰州市五十七中2022-2023学年度第一次模拟考试数学试卷（文科）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动

，用像皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知全集U＝R，集合M＝{x|－3

<x<1}，N＝{x||x|≤1}，则阴影部分表示的集合是()A．[－1,1]B．(－3,1]C．(－∞，－3)∪(－1，＋∞)D．(－3，－1)2．如果复数m2＋i1＋mi是纯虚数，那么实数m等于()A．－1B．0C．0或1D．0或－13.设

a，b∈R，则“a≠1或b≠2”是“a＋b≠3”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．分形理论是当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科．其中，把部分与整体以某种方式相似的形体

称为分形．分形是一种具有自相似特性的现象、图象或者物理过程．标准的自相似分形是数学上的抽象，迭代生成无限精细的结构．也就是说，在分形中，每一组成部分都在特征上和整体相似，只仅仅是变小了一些而已，谢尔宾斯基三角形就是一种典型的分形，是由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出的，按照如下规律依次在

一个黑色三角形内去掉小三角形，则当n＝6时，该黑色三角形内去掉小三角形个数为()n＝1n＝2n＝3A．81B．121C．364D．10935．下列函数既是奇函数又是增函数的是()A．y＝－x2＋1B．y＝1－x1＋xC．y＝－1xD．y＝x|x|6.如图，在直角梯形ABCD中，AB＝2AD＝2

DC，E为BC边上一点，BC→＝3EC→，F为AE的中点，则BF→＝()A．13AB→－23AD→B．－23AB→＋13AD→C．－13AB→＋23AD→D．23AB→－13AD→7.已知不等式组y≤－x＋2，y≤kx－1，y≥

0，所表示的平面区域为面积等于14的三角形，则实数k的值为()A．－1B．－12C．12D．18．《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著．在这部著作中，许

多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，记这位公公的第n个儿子的年龄为an，则a1＝()A．23B．32C．35D．389.已知ω＞0，函数f(x)＝s

inωx＋π4在π2，π上单调递减，则ω的取值范围是()A．(0,2]B．0，12C．12，34D．12，5410.袋中共有完全相同的4只小球,编号为1,2,3,4,现从中任取2只小球,则取出的2只球编号之和是奇数的概率为()A.25B.35C.13D.23

11.已知椭圆𝑥24+𝑦22=1的焦点为F,短轴端点为P,若直线PF与圆O:x2+y2=R2(R>0)相切,则圆O的半径为()A.√22B.1C.√2D.212.已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足xf'(x)-f(x)<0,且f(2)=2,则f(ex)-

ex>0的解集是()A.(-∞,ln2)B.(ln2,+∞)C.(0,e2)D.(e2,+∞)二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a2＋a4的值为．14．如图的

程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a，b分别为176,320，则输出的a为．15.若椭圆的中心在原点，一个焦点为(0,2)，直线y＝3x＋7与椭圆相交所得弦的中点的纵坐标为1，则这个椭圆的方程为．16．在钝

角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B为钝角，若acosA＝bsinA，则sinA＋sinC的最大值为．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必

考题：共60分。17．(12分)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若角A，B，C成等差数列，且b＝32.(1)求△ABC的外接圆直径；(2)求a＋c的取值范围．18.(12分)如图,四棱锥

P-ABCD中,AB∥CD,AB=3CD=3,PA=PD=BC=2,∠ABC=90°,且PB=PC.(1)求证:平面PAD⊥平面ABCD;(2)求点D到平面PBC的距离.19(12分)某地随着经济的发展，居民收入逐年增长，下表1

是该地一建设银行连续五年的储蓄存款(年底余额)，年份x20132014201520162017储蓄存款y(千亿元)567810表1为了研究计算的方便，工作人员将上表的数据进行了处理，t＝x－2012，z＝y－5得到下表2

：时间代号t12345z01235表2(1)求z关于t的线性回归方程；(2)通过(1)中的方程，求出y关于x的回归方程；(3)用所求回归方程预测到2022年年底，该地储蓄存款额可达多少？(附：对于线性回归方程y^＝b^x＋a^，其中b^＝，a^＝y－b^x)2

0(12分)已知直线l：x－y＋1＝0与焦点为F的抛物线C：y2＝2px(p＞0)相切．(1)求抛物线C的方程；(2)过焦点F的直线m与抛物线C分别相交于A，B两点，求A，B两点到直线l的距离之和的最小

值．21.(12分)设函数f(x)＝lnx＋mx，m∈R.(1)当m＝e(e为自然对数的底数)时，求f(x)的极小值；(2)讨论函数g(x)＝f′(x)－x3零点的个数．（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上

将所选题目对应的题号方框涂黑。按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分。22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x＝m＋1my＝m－1m(m为参数)．以

坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为3ρsinθ－ρcosθ－3＝0.(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；(2)已知点P(0,1)，直线l与曲线C交于A，B两点，求1|PA|＋1|PB|的值．23.（本小题满分1

0分）选修4-5：不等式选讲已知函数f(x)＝|2x＋1|，g(x)＝|x|＋a.(1)当a＝0时，解不等式f(x)≥g(x)；(2)若存在x∈R，使f(x)≤g(x)成立，求实数a的取值范围．答案及解析1已

知全集U＝R，集合M＝{x|－3<x<1}，N＝{x||x|≤1}，则阴影部分表示的集合是()A．[－1,1]B．(－3,1]C．(－∞，－3)∪(－1，＋∞)D．(－3，－1)D阴影部分表示M∩(∁UN)．由U＝R，N＝{x||x

|≤1}，可得∁UN＝{x|x<－1或x>1}．又M＝{x|－3<x<1}，所以M∩(∁UN)＝{x|－3<x<－1}．2．如果复数m2＋i1＋mi是纯虚数，那么实数m等于()A．－1B．0C．0或1D．0或－1D[m2＋i1＋mi＝(m2＋i)(1－mi)(1＋mi)(1－m

i)＝m2＋m＋(1－m3)i1＋m2，因为此复数为纯虚数，所以m2＋m＝0，1－m3≠0，解得m＝－1或0，故选D．]3设a，b∈R，则“a≠1或b≠2”是“a＋b≠3”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件B(等价转

化法)问题转化为判断“a＋b＝3”是“a＝1且b＝2”的什么条件．由a＋b＝3a＝1且b＝2，反之，a＝1且b＝2⇒a＋b＝3，因此“a＋b＝3”是“a＝1且b＝2”的必要不充分条件，从而“a≠1或b≠2”是“a＋b≠3”的必要不充分条件，故选B．]4．分形理论是当今世界十分风靡和活跃的新理论、

新学科．其中，把部分与整体以某种方式相似的形体称为分形．分形是一种具有自相似特性的现象、图象或者物理过程．标准的自相似分形是数学上的抽象，迭代生成无限精细的结构．也就是说，在分形中，每一组成部分都在特征上和整体相似，只仅仅是变小了一些而已，谢尔宾斯基三角

形就是一种典型的分形，是由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出的，按照如下规律依次在一个黑色三角形内去掉小三角形，则当n＝6时，该黑色三角形内去掉小三角形个数为()n＝1n＝2n＝3A．81B．121C．364D

．1093C[由题图可知，每一个图形中小三角形的个数等于前一个图形小三角形个数的3倍加1，所以，n＝1时，a1＝1；n＝2时，a2＝3＋1＝4；n＝3时，a3＝3×4＋1＝13；n＝4时，a4＝3×13＋1＝40；n＝5时，a5＝3×40＋1＝121；n＝6时，a6＝3×121＋1＝364，故选

C．]5．下列函数既是奇函数又是增函数的是()A．y＝－x2＋1B．y＝1－x1＋xC．y＝－1xD．y＝x|x|D[对于A，f(－x)＝－(－x)2＋1＝－x2＋1＝f(x)，函数f(x)是偶函数，不是奇函数，排除A．对于B，

函数的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，函数为非奇非偶函数，排除B．对于C，函数是奇函数，但在定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)上不是增函数，排除C．对于D，f(－x)＝－x|－x|＝－x|x|＝－f(x)，函数为奇函数，又y＝x|x|＝x2，x≥0－x2，x＜0，

则函数为增函数，故选D．]6如图，在直角梯形ABCD中，AB＝2AD＝2DC，E为BC边上一点，BC→＝3EC→，F为AE的中点，则BF→＝()A．13AB→－23AD→B．－23AB→＋13AD→C．－13AB→＋23AD→D．23AB→－13AD

→B根据平面向量的运算法则得BF→＝12BA→＋12BE→，BE→＝23BC→，BC→＝AC→－AB→.因为AC→＝AD→＋DC→，DC→＝12AB→，所以BF→＝－12AB→＋13AD→＋12AB→－AB→＝－23AB→＋13AD→，故选B．]7已知不等式组y≤－x＋2，y

≤kx－1，y≥0，所表示的平面区域为面积等于14的三角形，则实数k的值为()A．－1B．－12C．12D．1B由题意知k>0，且不等式组y≤－x＋2，y≤kx－1，y≥0，所表示的平面区域如图所示．∵直

线y＝kx－1与x轴的交点为1k，0，直线y＝kx－1与直线y＝－x＋2的交点为3k＋1，2k－1k＋1，∴三角形的面积为12×2－1k×2k－1k＋1＝14，解得k＝1或k＝27，经检

验，k＝27不符合题意，∴k＝1.]8．《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现

的，“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，记这位公公的第n个儿子的年龄为an，则a1＝()A．23B．

32C．35D．38C[由题意可知年龄构成的数列为等差数列，其公差为－3，则9a1＋9×82×(－3)＝207，解得a1＝35，故选C．]9已知ω＞0，函数f(x)＝sinωx＋π4在π2，π上单

调递减，则ω的取值范围是()A．(0,2]B．0，12C．12，34D．12，54D[(1)法一：(反子集法)∵x∈π2，π，∴ωx＋π4∈πω2＋π4，πω＋π4.∵f(x)在π2，π上单调递减，∴π2ω＋π4≥π2＋2kπ，k∈Z，πω＋π

4≤3π2＋2kπ，k∈Z，解得ω≥4k＋12，k∈Z，ω≤2k＋54，k∈Z.又ω＞0，k∈Z，∴k＝0，此时12≤ω≤54，故选D．法二：(子集法)由2kπ＋π2≤ωx＋π4≤2kπ＋3π2，得2kπω＋π4ω≤x≤2kπω＋5π4ω，k∈Z，因为f(

x)＝sinωx＋π4在π2，π上单调递减，所以2kπω＋π4ω≤π2，2kπω＋5π4ω≥π，解得ω≥4k＋12，ω≤2k＋54.因为k∈Z，ω＞0，所以k＝0，所以12≤ω≤54，即ω的取值范

围为12，54.故选D．10袋中共有完全相同的4只小球,编号为1,2,3,4,现从中任取2只小球,则取出的2只球编号之和是奇数的概率为()A.25B.35C.13D.23.D在编号为1,2,3,4的小球中任取2只小球,则有(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3

,4),共6种取法,则取出的2只球编号之和是奇数的有(1,2),(1,4),(2,3),(3,4),共4种取法,所以取出的2只球编号之和是奇数的概率为46=23.11已知椭圆𝑥24+𝑦22=1的焦点为F,短轴端点为P,若直线

PF与圆O:x2+y2=R2(R>0)相切,则圆O的半径为()A.√22B.1C.√2D.2B因为椭圆𝑥24+𝑦22=1,不妨设F(√2,0),P(0,√2),所以PF的方程为x+y-√2=0,因为直线PF与圆O:x2+y2=R2(R>0)相切,所以圆心到直线的距离

等于圆的半径,即R=d=√2√1+1=1.故选B.12.已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足xf'(x)-f(x)<0,且f(2)=2,则f(ex)-ex>0的解集是()A.(-∞,ln2)B.(ln2,+∞)C.(0,e2)D.(e2,+∞).A令g(x)=𝑓(𝑥)𝑥,g'

(x)=𝑥𝑓'(𝑥)-𝑓(𝑥)𝑥2<0,则g(x)在(0,+∞)上单调递减,且g(2)=𝑓(2)2=1,故f(ex)-ex>0等价为𝑓(e𝑥)e𝑥>𝑓(2)2,即g(ex)>g(2),

故ex<2,即x<ln2,则所求的解集为(-∞,ln2).故选A.13．若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a2＋a4的值为．8[令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝0；令x＝－1，则a0－a1＋a2－a

3＋a4＝16，两式相加得a0＋a2＋a4＝8.]14．如图的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a，b分别为176,320，则输出的a为．A．16B．18C．20D．1516[由a＝176，b＝320，a≠b，且不

满足a>b，则b＝320－176＝144，由a>b，则a＝176－144＝32，由a<b，则b＝144－32＝112，由a<b，则b＝112－32＝80，由a<b，则b＝80－32＝48，由a<b，则b＝48－32＝16，由a>b，则a＝32－16＝16，由a＝b，退出循环，输出a＝16.故选A．

]15若椭圆的中心在原点，一个焦点为(0,2)，直线y＝3x＋7与椭圆相交所得弦的中点的纵坐标为1，则这个椭圆的方程为．x28＋y212＝1法一：(直接法)∵椭圆的中心在原点，一个焦点为(0,2)，∴设椭圆方程为y2b2＋4＋x2b2＝1(b>0)，

由y2b2＋4＋x2b2＝1，y＝3x＋7消去x，得(10b2＋4)y2－14(b2＋4)y－9b4＋13b2＋196＝0，设直线y＝3x＋7与椭圆相交所得弦的端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知y1＋y22＝1，∴y1＋y2＝14(b2＋4)10b2＋4＝2，解得b

2＝8.∴所求椭圆方程为x28＋y212＝1.法二：(点差法)∵椭圆的中心在原点，一个焦点为(0,2)，∴设椭圆的方程为y2b2＋4＋x2b2＝1(b>0)．设直线y＝3x＋7与椭圆相交所得弦的端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y21

b2＋4＋x21b2＝1，①y22b2＋4＋x22b2＝1，②①－②得(y1－y2)(y1＋y2)b2＋4＋(x1－x2)(x1＋x2)b2＝0，即y1－y2x1－x2·y1＋y2x1＋x2＝－b2＋4b2，又∵弦AB的中点的纵坐标为1，故横坐标为－2，k＝y1－y2x1－x

2＝3，代入上式得3×2×12×(－2)＝－b2＋4b2，解得b2＝8，故所求的椭圆方程为x28＋y212＝1.]16．在钝角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B为钝角，若acosA＝bsinA，则sinA＋si

nC的最大值为．98[∵acosA＝bsinA，由正弦定理可得，sinAcosA＝sinBsinA，∵sinA≠0，∴cosA＝sinB，又B为钝角，∴B＝A＋π2，sinA＋sinC＝sinA＋sin(A＋B)＝sinA＋cos2A

＝sinA＋1－2sin2A＝－2sinA－142＋98，∴sinA＋sinC的最大值为98.]17．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若角A，B，C成等差数列，且b＝32.(1)求△ABC的外接圆直径；(2)求a＋c的取

值范围．[解](1)因为角A，B，C成等差数列，所以2B＝A＋C，又因为A＋B＋C＝π，所以B＝π3.根据正弦定理得，△ABC的外接圆直径2R＝bsinB＝32sinπ3＝1.(2)由B＝π3，知A＋C＝2π3，可得0＜A＜2π3.由(1)知△ABC的外接圆直径为1，根据正弦

定理得，asinA＝bsinB＝csinC＝1，所以a＋c＝sinA＋sinC＝sinA＋sin2π3－A＝332sinA＋12cosA＝3sinA＋π6.因为0＜A＜2π3，所以π6＜A＋π6＜5π6.所以12＜sinA＋π6≤1，从而32＜3sin

A＋π6≤3，所以a＋c的取值范围是32，3.18（12分）如图,四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,AB=3CD=3,PA=PD=BC=2,∠ABC=90°,且PB=PC.(1)求证:平面PAD⊥平面ABCD

;(2)求点D到平面PBC的距离.解.(1)证明取AD,BC的中点分别为M,E,连接PM,PE,ME,因为AB∥CD,AB=3CD=3,所以四边形ABCD为梯形,又M,E为AD,BC的中点,所以ME为梯形的中位线,所以ME∥AB,又∠ABC=90°,所以ME⊥BC,因为PB=P

C,E为BC的中点,所以PE⊥BC,又PE∩ME=E,PE⊂平面PME,ME⊂平面PME,所以BC⊥平面PME,又PM⊂平面PME,故PM⊥BC,因为PA=PD,M为AD中点,所以PM⊥AD,又AD,BC不平行,必相交于某一点,且AD,BC都在平面ABCD上,所以PM⊥平面ABCD,又P

M⊂平面PAD,则平面PAD⊥平面ABCD.(2)解由题知,PM为三棱锥P-BCD的高,AD=2√2,ME=2,PM=√2,故PE=√6,S△PBC=12BC×PE=12×2×√6=√6,而S△BCD=12BC·CD=12×2×1=1,设点D到平面PBC

的距离为h,则VP-BCD=VD-BCP,则13S△BCD×PM=13S△PBC×h,即13×1×√2=13×√6×h,解得h=√33,所以点D到平面PBC的距离为√33.19某地随着经济的发展，居民收入逐年增长，下表1是该地一建设银行连续五年的储蓄存款(年底余额)，年份x201320142

01520162017储蓄存款y(千亿元)567810表1为了研究计算的方便，工作人员将上表的数据进行了处理，t＝x－2012，z＝y－5得到下表2：时间代号t12345z01235表2(1)求z关于t的线性回归方程；(2)通过(1)中的方程，求出y关于x的回归方程；(3)用所

求回归方程预测到2022年年底，该地储蓄存款额可达多少？(附：对于线性回归方程y^＝b^x＋a^，其中b^＝，a^＝y－b^x)[解](1)t＝3，z＝2.2，∑5i＝1tizi＝45，∑5i＝1t2i＝55，b^＝4

5－5×3×2.255－5×9＝1.2，a^＝z－b^t＝2.2－3×1.2＝－1.4，所以z^＝1.2t－1.4.(2)将t＝x－2012，z＝y－5，代入z^＝1.2t－1.4，得y－5＝1.2(x－2012)－1.4，即y^＝1.2x－2410.8.(3)因为y^＝1.2×2022－24

10.8＝15.6，所以预测到2022年年底，该地储蓄存款额可达15.6千亿元．20已知直线l：x－y＋1＝0与焦点为F的抛物线C：y2＝2px(p＞0)相切．(1)求抛物线C的方程；(2)过焦点F的直线m与抛物线C分别相交于A，B两点，求A，B两点到直线

l的距离之和的最小值．[解](1)∵直线l：x－y＋1＝0与抛物线C：y2＝2px(p＞0)相切，联立x－y＋1＝0，y2＝2px，消去x得y2－2py＋2p＝0，从而Δ＝4p2－8p＝0，解得p＝2或p＝0(舍)

．∴抛物线C的方程为y2＝4x.(2)由于直线m的斜率不为0，可设直线m的方程为ty＝x－1，A(x1，y1)，B(x2，y2)．联立ty＝x－1，y2＝4x，消去x得y2－4ty－4＝0，∵Δ＞0，∴y1＋y2＝4t，即x

1＋x2＝4t2＋2，∴线段AB的中点M的坐标为(2t2＋1,2t)．设点A到直线l的距离为dA，点B到直线l的距离为dB，点M到直线l的距离为d，则dA＋dB＝2d＝2·|2t2－2t＋2|2＝22|t2－t＋1|＝22t－122＋34，

∴当t＝12时，A，B两点到直线l的距离之和最小，最小值为322.21设函数f(x)＝lnx＋mx，m∈R.(1)当m＝e(e为自然对数的底数)时，求f(x)的极小值；(2)讨论函数g(x)＝f′(x)－x3

零点的个数．[解](1)由题意知，当m＝e时，f(x)＝lnx＋ex(x＞0)，则f′(x)＝x－ex2，∴当x∈(0，e)时，f′(x)＜0，f(x)在(0，e)上单调递减；当x∈(e，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)在(e，＋∞)上单调递增，∴

当x＝e时，f(x)取得极小值f(e)＝lne＋ee＝2，∴f(x)的极小值为2.(2)由题意知g(x)＝f′(x)－x3＝1x－mx2－x3(x＞0)，令g(x)＝0，得m＝－13x3＋x(x＞0)．设φ(x)＝－13x3＋x(x≥0)，则φ′(x)＝－x2＋1＝－(x－1)(x＋1)．当

x∈(0,1)时，φ′(x)＞0，φ(x)在(0,1)上单调递增；当x∈(1，＋∞)时，φ′(x)＜0，φ(x)在(1，＋∞)上单调递减．∴x＝1是φ(x)的唯一极值点，且是极大值点，因此x＝1也是φ(x)的最大值点，∴φ(x)的最大

值为φ(1)＝23，又∵φ(0)＝0.结合y＝φ(x)的图象(如图)，可知，①当m＞23时，函数g(x)无零点；②当m＝23时，函数g(x)有且只有一个零点；③当0＜m＜23时，函数g(x)有两个零点；④当m≤0时，函数g(x)有且只有一个零点．综上所述，当m＞23时，函数g

(x)无零点；当m＝23或m≤0时，函数g(x)有且只有一个零点；当0＜m＜23时，函数g(x)有两个零点．22在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x＝m＋1my＝m－1m(m为参数)．以坐标原点O为极点，x轴的正半

轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为3ρsinθ－ρcosθ－3＝0.(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；(2)已知点P(0,1)，直线l与曲线C交于A，B两点，求1|PA|＋1|PB|的值．

[解](1)因为x＝m＋1my＝m－1m，所以x2＝m＋1m2＝m2＋1m2＋2y2＝m－1m2＝m2＋1m2－2，所以x2－y2＝4.所以曲线C的普通方程为x2－y2＝4.因为ρcosθ＝x，ρsinθ＝y，所以

3y－x－3＝0.所以直线l的直角坐标方程为x－3y＋3＝0.(2)法一：由x－3y＋3＝0x2－y2＝4，不妨取A3(1－11)2，3－112，B3(1＋11)2，3＋112.因为点P(0,1)，所以

|PA|＝11－1，|PB|＝11＋1.所以1|PA|＋1|PB|＝111－1＋111＋1＝115.法二：因为点P(0,1)在直线l上，所以直线l的参数方程为x＝32ty＝1＋12t(t为参数)，设A，B对应的参数

分别为t1，t2，将x＝32t，y＝1＋12t代入x2－y2＝4，得t2－2t－10＝0，Δ＝(－2)2－4×1×(－10)＝44＞0，所以t1＋t2＝2，t1·t2＝－10＜0.因为|PA|＝|t1|，|PB|＝|t2|，所以1|PA|＋1

|PB|＝1|t1|＋1|t2|＝|t1－t2||t1t2|＝(t1＋t2)2－4t1t2|t1t2|＝4＋4010＝115，所以1|PA|＋1|PB|＝115.23．已知函数f(x)＝|2x＋1|，g(x)＝|x|＋a.(1)当a＝0时，解不等式f(x)

≥g(x)；(2)若存在x∈R，使f(x)≤g(x)成立，求实数a的取值范围．[解](1)当a＝0时，由f(x)≥g(x)，得|2x＋1|≥|x|.两边平方整理，得3x2＋4x＋1≥0，解得x≤－1或x≥－13.所以原不等式的解集为(－∞，－1]∪－13，＋∞

.(2)由f(x)≤g(x)，得a≥|2x＋1|－|x|.令h(x)＝|2x＋1|－|x|，则h(x)＝－x－1，x≤－12，3x＋1，－12<x<0，x＋1，x≥0.由分段函数图象可知h(x)mi

n＝h－12＝－12，从而所求实数a的取值范围为－12，＋∞.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com