2023届高考数学模拟试题分类汇编:数列 Word版含解析

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【文档说明】2023届高考数学模拟试题分类汇编:数列 Word版含解析.doc,共(14)页,1.449 MB,由管理员店铺上传

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以下为本文档部分文字说明:

一.基本原理1.数列求通项类型1.等差数列:相邻两项递推形式:ddaann,(=−−1为常数,+Nnn且2)或者相邻三项递推形式:)2(211++−=+Nnnaaannn且.这种递推形式下,直接用等差数列的通项公式:即可解决!类型2.等比

数列:相邻两项递推:)2,0,0(1+−=Nnnaqqaannn且且或qaann=−1.或者相邻三项递推:)2(211=+−+nNnaaannn且.注2:在等比数列应用中,有一类比较特殊的递推类型,即++=Nnmaaanmmn,,,我们可以对其赋值得到一个等比数

列.类型3.)(1nfaann=−−累加型类型4.)(1nfaann=−(2+nNn且)累乘型.类型5.dcaann+=−1型(待定系数法)一般形式:1(,nnacadcd−=+为常数,0,1,0)ccd

,可以构造一个等比数列,只要在每一项同加上一个常数即可,且常数1dxc=−,1()nnaxcax−+=+,令nnbax=+,则nb为等比数列,求出nb,再还原到na,1)1(11−−−+=−cdccdaan

n.类型6.nnnbmqaa+=+1型类型7.)1)((1+=+pnfpaann型.方法1.数学归纳法.方法2.1111)()(+++++=+=nnnnnnnpnfpapanfpaa,令nnnpab=,则11)(++=−nnn

pnfbb,用累加法即可解决!类型8.)0(1+=+qpqpataannn型类型9.已知nS与na关系,求na.解题步骤:第1步:当1=n代入nS求出1a;第2步:当2n,由nS写出1−nS;第3步:1−−=nnnSSa(2n);第4步:将1=n代入na中进行验证,如果通过通项求出的

1a跟实际的1a相等,则na为整个数列的通项,若不相等,则数列写成分段形式,.)2()1(1==nanaann类型9:已知前n项积求na.类型10.特征方程法(强基层次):nnnbaaaa+=++12型.求解方程:

02=−−ba,根据方程根的情况,可分为:(1)若特征方程有两个相等的根,则nnxbAna0)(+=(2)若特征方程有两个不等的根,则nnnBxAxa21+=2.数列求和类型1.倒序相加法类型2.公式法求和:用等差(等比)数列求和公式.类型

3.裂项相消求和1.分母是等差数列相邻两项乘积,则:111111().nnnnaadaa++=−,则:1223111111111......()nnnaaaaaadaa+++++=−.2.有理化后求和:11−+=nnan=1

−−nn.3.指对式裂相求和:121121)12()12(211+−+=++++nnnnn,一般地,指数型:babababaaannnnn+−+=++−++1111))(()1(对数型:nanann

aaaaalogloglog11−=++类型4:错位相减法型如)1}(){(+qqbknn的数列求和,其基本解题步骤如下:Step1:由题可得:=nnbaStep2:故nnnbabaT++=11①,121+++=nnnbabaTq②S

tep3:由①-②得:()1)1(1111−−+−=−+qqqdbbabaTqnnnnStep4:化简:=nT.类型5.分组求和适用对象:主要适用于通项是由两部分不同的形式构成的数列,其次还适用于一些几项放在一起可以化简的数列.例如:}{nnba+型,可分别单

独求出}{},{nnba的前n项和再求和.类型6.并项求和在处理一些非等差,等比数列时,我们可以通过项的关系(相邻两项等),将其看成一个小组来计算,例如)()1(bknn+−型,分奇偶后相邻两项之差就是一个公差,即常数列求和.3.数列放缩类型1.利用单调性放缩类型2.先求和再放缩类型3.先放缩通

项再求和这一类是数列放缩问题的常考类型,相较于类型2而言,这一部分对放缩对象的处理需要一定的技巧,因而对很多学生来说具有挑战性,是数列放缩中的难点.此节中,我将分为如下几个点展开:第一,将通项放缩为可裂项的结构,然后裂项求和;第

二,将通项放缩为等比结构(等差比结构)然后错位相减求和,总之,处理的基本原则就是将不可求和放缩成可求和再求和放缩.当然,下面的这些常见的裂项公式与放缩公式需要注意.1.常见的裂项公式:例如:nnnnn)1(11)1

(12−+或者12112−+++nnnnn等2.一个重要的指数恒等式:n次方差公式123221()().nnnnnnnababaabababb−−−−−−=−+++++这样的话,可得:1)(−−−nnnababa,就放缩出一个等比数列.

3.糖水不等式:设0,0cmn,则cncmnm++.类型4.基于递推结构的放缩1.nnnaaa+=+11型:取倒数加配方法.2.二次递推型:rqapaannn++=+21.12121211+++++=−+=−++=nnnnnnnnnnnaarpaaqarpaqaarqapaa,然后

裂项即可完成放缩,以2015浙江卷为例.4.数列中的计数问题的基本形式如下:记数列}{na落在区间)](,0(kg的个数为kb,讨论数列}{kb的性质.这种问题的关键就是利用数列自变量n的计数功能,通过不等式nkgan)(0

,由于n为正整数,从而实现对自变量n的计数,当然,这里面需要一丝丝取整背景,需要读者注意.进一步:目前的题目的计算背景主要分布在去解下面三个不等式:①.1++mmqbknq②.1+mnmtqt③.

biktqbtkn+++)(5.欧拉函数及应用1.定义:欧拉函数()m是一个定义在正整数集上的函数,()m的值等于1,2,,1m−中与m互素的数的个数.2.计算公式:(1)若p为素数,则1)(−=pp(2)若p为素数,且1)1(1)(−−=−==kkkpppppnpn,形成了一

个等比数列.证明:即证1)(−−=aaappp.由)(a的定义知)(ap等于从ap减去ap,,...1中与ap不互质的数的个数;亦即等于从ap减去ap,,...1中与p不互质的数的个数.由于p是质数,故)(ap等于从ap减去ap,,...1中被p整除的数的个数.由于ap,,...1

中被p整除的数的个数是1−=aappp,故1)(−−=aaappp.(3)已知正整数n的素因数分解式1212,ssnppp=其中素数12sppp,1.i证明:12111()(1)(1)(1).snnppp=−−−二.试题汇

编例1.(2023届武汉9月调研)记数列na的前n项和为nS,已知*1,(21,N)2,(2,N)2nnnkkSnnkk+−=+==(1)求数列na的通项公式;(2)求数列11nnaa+的前n项和nT.解析:(1)当n为奇数且3n时,1112

2nnnnnaSSn−+−=−=−−=−,且111aS==−,也满足该式;当n为偶数时,()11122nnnnnaSSn−−+=−=−−=.综上,(1)nnan=-?.(2)由(1)知:()()21111111(1)111nnnaannnnnn++==−=−

−−+++.故11111111223111nnTnnnn=−−+−++−=−−=−+++.例2.(福建省部分地市2023届高三第一次质量检测)已知正项数列na的前n项和为nS,且()()()413nn

nSaan=−+N.(1)求数列na的通项公式;(2)将数列na和数列2n中所有的项,按照从小到大的顺序排列得到一个新数列nb,求nb的前50项和.解析:(1)依题意0na,当1n=时,()()11114413aS

aa==−+,解得13a=,()()()413nnnSaan=−+N,当2n时,有()()111413nnnSaa−−−=−+,作差得:2211422nnnnnaaaaa−−=−+−,所以()()1120nnnnaaaa−−+−−=,因为10nnaa−+,所以12(2)nnaan−−=

,所以数列na是首项为3,公差为2的等差数列,所以21nan=+.(2)由(1)得,50101a=,又6721012,同时644892a=,所以5044ba=所以()()12612501244222bbbaaa+

++=+++++++()()61442214420241262150221aa−=++=+=−.所以nb的前50项和为2150.例3(福建省泉州市2023届高三毕业班质量检测一)已知数列na各项均为正数,且22111222nnnnaaaaa++=−+=,

.(1)求na的通项公式(2)设()1nnnba=−,求12120bbbb++++.解析:(1)因为22111222nnnnaaaaa++=−+=,所以,()()()2211112nnnnnnnnaaa

aaaaa++++−=−+=+,因为数列na各项均为正数,即10nnaa++,所以,12nnaa+−=,即数列na为等差数列,公差为2d=,首项为12a=.所以()2122nann=+−=(2)解:由(1)知2na

n=,其公差为2d=,所以,()()112nnnnban=−=−所以,()()()12341092101221020aaaaabbbbad++++=−++−+++−+==例4(广东省深圳市2023届高三第一次

调研)记nS,为数列na的前n项和,已知212nnaSn=++,*nN.(1)求12aa+,并证明1nnaa++是等差数列;(2)求nS.解析:(1)已知212nnaSn=++,*nN当1n=时,1122aa=+,14a=;当2n=时,2

1252aaa+=+,22a=,所以126aa+=.因为212nnaSn=++①,所以()211112nnaSn++=+++②.②-①得,()2211122nnnaaann++=−++−,整理得142nnaan++=+,*nN,所以()()()()121412424nnnn

aaaann++++−+=++−+=(常数),*nN,所以1nnaa++是首项为6,公差为4的等差数列.(2)解:由(1)知,()141242nnaann−+=−+=−,*nN,2n.当n为偶数时,()()()()1234164222nnnnnSaaaaaa−+−=+++

+++=2nn=+;当n为奇数时,()()()()12345111042242nnnnnSaaaaaaa−−+−=+++++++=+22nn=++.综上所述,22,2,nnnnSnnn+=++当为

偶数时当为奇数时.例5(广州市2023届高三一模)已知等差数列na的前n项和为nS,且()*6324,21nnSSaan==+N.(1)求数列na的通项公式;(2)设12nnnba−=,求数列nb

的前n项和nT.解析:(1)设等差数列的公差为d,依题意,()*6324,21nnSSaan==+N,则2121aa=+所以()111161543321adadada+=++=+,解得1a1,d2==,所以21na

n=−.(2)()112212nnnnban−−==−,所以()0111232212nnTn−=+++−,()1221232212nnTn=+++−,两式相减得()231222212nnnTn−=++++−−()()141212

1212nnn−−=+−−−()3223nn=−−,所以()2323nnTn=−+.例6(湖北省武汉市2023届高三下学期二月调研)记数列}{na的前n项和为nS,对任意正整数n,有nnnaS

=2,且32=a.(1)求数列}{na的通项公式;(2)对所有正整数m,若12+kmkaa,则在ka和1+ka两项中插入m2,由此得到一个新数列}{nb,求}{nb的前40项和.解析:(1)由2n

nSna=,则()1121nnSna++=+,两式相减得:()1121nnnanana++=+−,整理得:()11nnnana+−=,即2n时,11nnanan+=−,所以2n时,()132122122331231nnnnn

aaannaanaaann−−−−−===−−−,又1n=时,112aa=,得10a=,也满足上式.故()31nan=−.(2)由40117a=.所以674022a,又634992

a=,所以nb前40项中有34项来自na.故()()12612401234222bbbaaa+++=+++++++()()61342213416831261809221aa−+=+=+=−.例7.(江苏省南通市2023届高三下学期第一次调研

测试)已知数列na是公差不为0的等差数列,其前n项和为nS,且满足__________,__________.在①124,,SSS成等比数列,②4222aa=+,③8472SSS=+−这三个条件中任选两个,补充在下面问题中,并完成解答.(1)求na的通项公式

;(2)求12233411111nnaaaaaaaa+++++.注:如果选择多个方案分别解答,按第一个方案计分.解析:(1)若选①②,设na公差为d,则()()()211111462322aadadadad+=++=++,解得:12,4ad==,()24142nann=+−=−

;选①③,设na公差为d,()()2111111462828467212aadadadadad+=++=+++−,解得:12,4ad==,()24142nann=+−=−;选②③,设na公差为d,()11111322828467212adadadadad+=

+++=+++−,解得:12,4ad==,()24142nann=+−=−;(2)()()()()1111111142424212182121nnaannnnnn+===−−+−+−+,12

231111111111183352121nnaaaaaann++++=−+−++−−+()111821421nnn=−=++.例8(山东省济南市23届高三上学期期末数学试题)定义:在数列na中,若存在正整数k,使得*Nn,都有n

knaa+=,则称数列na为“k型数列”.已知数列na满足111nnaa+=−+.(1)证明:数列na为“3型数列”;(2)若11a=,数列nb的通项公式为21nbn=−,求数列nnab的前15项和15S.解析:(1)解:由题知111

nnaa+=−+,所以有2111nnaa++=−+,且3211nnaa++=−+,311111nnaa++=−−+11111nnaa+++=−+−111na+=−−1111na=−−−+na=,所以数列na为“3型数列”;(2)由(1)知3nnaa+

=,11a=,所以147131aaaa=====,2115841112aaaaa====−=+=−,395261112aaaaa===−+===−,所以151122331515Sabababab=++++()()()4132514361511413

25143615ababababababababab+++++++++=++()()()()1413251436151122bbbbbbbbb=++++−++++−+++()()(

)()125532755295122222+++=+−+−2852=−.例9(山东省济南市2022-2023学年高三下学期开学考试)各项均为正数的数列na,其前n项和记为nS,且满足对n+N,都有22nnnSaa=+

.(1)求数列na的通项公式;(2)设22221231111nnTaaaa=++++,证明:74nT.解析:(1)由已知:对于n+N,22nnnSaa=+,21112(2)nnnSaan−−−+=,则22112nnnnnaaaaa−−=+−−∴111()()

nnnnnnaaaaaa−−−+=+−,且数列na各项均为正数∴11nnaa−−=,21112Saa=+,因为10a,得11a=,∴数列na是首项为1,公差为1的等差数列,故nan=.(2)N,2nn+,()()221111111nannnnn==−−−,故222222

212311111111123nnTaaaan=++++=++++()2111111111111112233411233441nnnn+++++=++−+−+++−−−71744n=−,所以74nT.例10(温州市2023届高三一模)已知数列n

a是等差数列,11a=,且1a,2a,51a−成等比数列.给定*kN,记集合*2,knnkanN∣的元素个数为kb.(1)求1b,2b的值;(2)求最小自然数n的值,使得122022nbbb+++.解析:(1)设数列{}na的公差为d,由1a,2a,51a−

成等比数列,得2152(1)aaa−=,21(141)(1)dd+−=+,解得1d=,所以nan=,1k=时,集合*{|12,}nnnN中元素个数为12b=,2k=时,集合*{|24,}nnnN中元素个数为23b=;(2)由(1)知21

kkbk=−+,2122(12)(1)2(21)12222nnnnnnnbbbn−++++=−+=−−+−,10n=时,22(21)22nnn−−+=2001<2022,11n=时,22(21)22nnn−−+=4039>2022,记12nnTbbb=+++,显然数

列{}nT是递增数列,所以所求n的最小值是11.例11(长沙市2023届高三上学期新高考适应性考试)已知数列na为等差数列,数列nb为等比数列,满足1122ba==,222ab=,3311+=ab.(1)求数列na,nb

的通项公式;(2)求数列nnab的前n项和nS.解析:(1)设na的公差为d,nb的公比为q()0q,11a=,12b=,联立2233211abab=+=,整理可得2221112ddqq++

==,解得21qd==,所以nan=,2nnb=.(2)解:由(1)知2nnnabn=,则321122232(1)22nnnSnn−=++++−+,①23412122232(1)22

nnnSnn+=++++−+,②①-②,得23122222nnnSn+−=++++−1122212nnn+−=−−1(1)22nn+=−−.所以1(1)22+=−+nnSn.例12.(2023·福建

福州·统考二模)欧拉函数(n)(n∈*N)的函数值等于所有不超过正整数n,且与n互质的正整数的个数,例如:φ(1)=1,(4)=2.(1)求()23,()33;(2)令()132nna=,求数列

3lognnaa的前n项和.解析:(1)不超过9,且与其互质的数即为1,9中排除掉3,6,9剩下的正整数,则()223336=−=;不超过27,且与其互质的数即为[1,27]中排除掉3,6,9,12,15,18,21,24,27剩下的正整数,则(

)3333918=−=.(2)()*32,3kkk−N表示任意相邻的三个正整数,其中与3n互质的为32k−与31k−两个,故分别取11,2,,3nk−=可得1,3n中与3n互质的正整数个数为123n−,所以()()111323,332nnnnna−−===,所以31lo

g13nnnana−−=.设数列3lognnaa的前n项和为nT.1211210333nnnT−−=++++,∴23112103333nnnT−=++++,两式相减得:11211111111113331133333313nnnnnnnT−−−−−−=+

++−=−−11112233nnn−−=−−121223nn+=−,则131213212223443nnnnnT−++=−=−.例13.(2023·广东汕头·统考一模)已知nT为正项数列na的前n项的乘积,且13a=

,21nnnTa+=.(1)求数列na的通项公式;(2)设11nnnaba−=+,数列nb的前n项和为nS,求2023S(x表示不超过x的最大整数).解析:(1)由题意知nT为正项数列na的前n项的乘积,21nnnT

a+=,故2211nnnTa+++=,所以22211121nnnnnnnTaaTa+++++==,即11nnnnaa++=,所以11lglgnnnnaa++=,即()1lg1lgnnnana+=+,所以1lglg1nnaann+=+,当2n=时,22323212222(),(3)T

aaaaa===,解得29a=,所以21lglglg321aa==,结合1lglg1nnaann+=+,可知数列lgnan是常数列,所以1lglglg31naan==,所以lglg31g3nnan==,所以3nna=.(2)由(1)可得1312113131nnnnnnaba−−===

−+++,则12122221)(1)(1)2()31313111(1313131nnnSn−+−++−=−+++++++=++,由于121211(1)11111133(1)13131313332321311

1nnnn−++++++==−+++−,故122()1313111311nnSnn−+++−+++=,且nSn,故202320222023S,20232022S=.例14.(2023·山东临沂·统考一模)已知数列na为等比数列,131,1aa=+是2a与4a的等差中项

,nS为na的前n项和.(1)求na的通项公式及nS;(2)集合A为正整数集的某一子集,对于正整数k,若存在正整数m,使得2logkmaS=,则kA,否则kA.记数列nb满足2log,?1,?nnanAbnA

=−,求nb的前20项和20T.解析:(1)设na的公比为13,1,1qaa=+是2a与4a的等差中项,()()23221,(2)10qqqqq+=+−+=,2q=,∴12nna−=,122112nnnS−==−−.(2)由题意知,2logkmaS=,又12,21kmk

maS−==−,121mk−=−,即2mk=,故*2,mAkkm==N∣.又2log1nan=−,()()202122220222428216logloglogloglogloglog4Taaaaa

aa=+++−+++−()()0119137154…+=++−+++−160=.例15.(2023·山东日照·统考一模)在数列na中,23122341naaaannn++++=++.(1)求na的通项公式;(2)

证明:()121213424nnaana++++.解析:(1)因为23122341naaaannn++++=++,①则当1n=时,122a=,即14a=,当2n时,21231234naaaannn−++++=−,②①−②得21nann

=+,所以()21nann=+,14a=也满足()21nann=+,故对任意的Nn,()21nann=+.(2)证明:()()()()()11122122122121nnnannnnnnnn===−++++++

+,所以()1211111111113422233412naanann+++=−+−++−+++()11111222422nn=−=−++.()1N*,022nn+,()1114224n−+,即结论成立.例16.(2023·云南·统考一模)

记数列na的前n项和为nT,且111,(2)nnaaTn−==.(1)求数列na的通项公式;(2)设m为整数,且对任意*nN,1212nnmaaa+++,求m的最小值.解析:(1)因为111,(2)nnaaTn−==,所以211aa==,当2n时,112nnnnn

aTTaa+−+===,故()222222nnnaan−−==,且11a=不满足上式,故数列na的通项公式为21,1,2,2.nnnan−==(2)设1212nnnSaaa=+++,则11S=,当2n时,102122322nnSn−−=++++,故112

112232222nnSn−−−=++++,于是()122115222222nnnSn−−−−=++++−()121121252212nnn−−−−−=+−−.整理可得27(2)2nnSn−=−+,所以7nS,又5

4968S=,所以符合题设条件的m的最小值为7.

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