【文档说明】广东省梅州市2019-2020学年高二下学期期末考试数学试题.doc，共(24)页，1.248 MB，由小赞的店铺上传

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2019-2020学年广东省梅州市高二第二学期期末数学试卷一、选择题（共8小题）.1．已知复数（1+2i）i＝a+bi，a∈R，b∈R，a+b＝（）A．﹣3B．﹣1C．1D．32．在平面直角坐标系xOy中，角α与角β

均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若sinα＝，则sinβ＝（）A．﹣B．C．﹣D．3．cos75°＝（）A．B．C．D．4．已知三条不重合的直线m，n，l和两个不重合的平面α，β，下列命题正确的是

（）A．若m∥n，n⊂α，则m∥αB．若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n⊥αC．若l⊥n，m⊥n，则l∥mD．若l⊥α，m⊥β，且l⊥m，则α⊥β5．“哥德巴赫猜想”是近代三大数学难题之一，其内容是：一个大于2的偶数都可以写成两个质数（素数）之和，也就是我们所谓的

“1+1”问题，它是1742年由数学家哥德巴赫提出的，我国数学家潘承洞、王元、陈景润等在哥德巴赫猜想的证明中做出相当好的成绩，若将6拆成两个正整数的和，则拆成的和式中，加数全部为质数的概率为（）A．B．C．D．6．如图是一个几何体的三视图，则此三视图所描述几何体的表面积

为（）A．B．C．20πD．28π7．箱中装有标号为1，2，3，4，5，6且大小相同的6个球，从箱中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两球号码之积是4的倍数，则获奖．现有4人参与摸奖，恰好有3人获奖的概率是（）A．B．C．D．8．某省高考实行3+3模式，即语文、数学、英语必选，物理、

化学、政治、历史、生物、地理六选三，今年高一的小明与小芳进行选科，假若他们对六科没有偏好，则他们至少有两科相同的选法有（）A．110种B．180种C．360种D．200种二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，

共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有错选的得0分.9．下列命题中正确的是（）A．如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行B．如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这

个平面C．如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行D．如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直10．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0＞，|φ|＜）部分图象

如图所示，下列说法错误的是（）A．函数y＝f（x）的图象关于直线对称B．函数y＝f（x）的图象关于点对称C．函数y＝f（x）在上单调递减D．该图象对应的函数解析式为11．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长

为a，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF＝，以下结论正确的有（）A．AC⊥BEB．点A到△BEF所在平面的距离为定值C．三棱锥A﹣BEF的体积是正方体ABCD﹣A1B1C1D1体积的D．异面直线AE，BF所成的角为定值12．针对时下的“抖音热”，某校团委对“学生

性别和喜欢抖音是否有关“作了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的，女生喜欢抖音的人数占女生人数，若有95%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则调查人数中男生可能有（）人附表：P（K2≥k0）0.0500.01

0k3.8416.635附：K2＝A．25B．35C．45D．60三、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．计算sin15°•sin105°的结果是．14．（x3+）5的展开式中x7的系数为．15．在锐角△ABC中，BC＝1，B＝2A

，则的值等于，AC的取值范围为．16．农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．如图，平行四边形形状的纸片是由六

个边长为1的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，则该六面体的体积为；若该六面体内有一球，则该球体积的最大值为．四、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知f（x）＝2sinωxcosωx﹣

2cos2ωx+1，若函数f（x）的周期为π．（1）求函数f（x）的单调增区间；（2）当x∈[0，]时，求函数f（x）的值域．18．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1（如图所示），底面△ABC是边长为2的正三角形，侧棱CC1⊥底面ABC，CC1＝4，E为B1C1的中点．（1）若G为A1B1的

中点，求证：C1G⊥平面A1B1BA；（2）求三棱锥A﹣EBA1的体积．19．高二年级某班50名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，成绩分组区间为：[80，90），[90，100），[100，110），[110，120），

[120，130），[130，140），[140，150]．其中a，b，c成等差数列，且c＝2a．物理成绩统计如表（说明：数学满分150分，物理满分100分）分组[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100]频数6920105（1）根据频率分布直方图，

请估计数学成绩的平均分；（2）若数学成绩不低于140分的为“优“，物理成绩不低于90分的为“优”，已知本班中至少有一个“优”的学生总数为6人，从此6人中随机抽取3人，记X为抽到两个“优”的学生人数，求X的分布列和期望值．20．在三角形A

BC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知（a﹣c）（sinA+sinC）＝b（sinA﹣sinB）．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若c＝且b≥c，求b﹣a的取值范围．21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝AB＝1，点E、M分别在线

段AB、PC上，且＝＝λ，其中0＜λ＜1，连接CE，延长CE与DA的延长线交于点F，连接PE，PF，ME．（Ⅰ）求证：ME∥平面PFD；（Ⅱ）若λ＝时，求二面角A﹣PE﹣F的正弦值；（Ⅲ）若直线PE与平面PBC所成角的正弦值为时，求λ值．22．我国东南沿海地区发展

海产品养殖业具有得天独厚的优势．根据养殖规模及以往的养殖经验，蓝天海鲜养殖场的一种海产品每只的质量（克）在正常环境下服从正态分布N（280，25）．（1）随机购买10只蓝天养殖场的该海产品，求至少买到一只质

量小于265克的概率；（2）2020年蓝天养殖场考虑增加先进养殖技术投入，现用以往的先进养殖技术投入xi（千元）与年收益增量yi（千元）（i＝1，2，3…8）的数据绘制散点图，由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线y＝a+b的附近，且＝46.6，＝563，＝6.8，，，，，其中t

i＝，＝．根据所给的统计量，求y关于x的回归方程，并预测先进养殖技术投入为49千元时的年收益增量．附：若随机变量Z～N（1，4），则P（﹣5＜Z＜7）＝0.9974，0.998710≈0.9871；对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），…

，（un，vn），其回归线v＝α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为，．参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数（1+2i）i＝a+bi，a∈R，b∈R

，a+b＝（）A．﹣3B．﹣1C．1D．3【分析】根据复数相等建立方程关系进行求解即可．解：由（1+2i）i＝a+bi得﹣2+i＝a+bi，得a＝﹣2且b＝1，则a+b＝﹣2+1＝﹣1，故选：B．2．在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若sinα

＝，则sinβ＝（）A．﹣B．C．﹣D．【分析】推导出α+β＝π+2kπ，k∈Z，从而sinβ＝sin（π+2kπ﹣α）＝sinα．解：在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，∴α+β＝π+2kπ，k∈Z，∵sinα＝，∴sinβ＝sin（π+2kπ﹣

α）＝sinα＝．k∈Z．故选：B．3．cos75°＝（）A．B．C．D．【分析】将75°看成30°与45°的和，然后利用两角和的余弦公式求解．解：cos75°＝cos（30°+45°）＝cos30°cos45°﹣sin30°sin45°＝＝．故选：C．4．已知三

条不重合的直线m，n，l和两个不重合的平面α，β，下列命题正确的是（）A．若m∥n，n⊂α，则m∥αB．若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n⊥αC．若l⊥n，m⊥n，则l∥mD．若l⊥α，m⊥β，且l⊥m，则α⊥β【分析】利用直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系直接判断．解

：若m∥n，n⊂α，则m∥α，或m⊂α，或A不正确；若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n与α相交或n∥α或n⊂α，故B不正确；若l⊥n，m⊥n，则l与m相交、平行或异面，故C不正确；若l⊥α，m⊥β，且l⊥m，则由直线垂直于平面的性质定理和平面与平面垂直的判定定理知α⊥β，故D正确．故选：

D．5．“哥德巴赫猜想”是近代三大数学难题之一，其内容是：一个大于2的偶数都可以写成两个质数（素数）之和，也就是我们所谓的“1+1”问题，它是1742年由数学家哥德巴赫提出的，我国数学家潘承洞、王元、陈景润等在哥德巴赫猜想的证明中做出相当好的成绩，若将6拆成两个正整数的和，则拆成

的和式中，加数全部为质数的概率为（）A．B．C．D．【分析】利用列举法求出由古典概型的基本事件的等可能性得6拆成两个正整数的和含有5个基本事件，而加数全为质数的有1个，由此能求出拆成的和式中，加数全部为质数的概率．解：由古典概型的基本事件的等可能性得

6拆成两个正整数的和含有5个基本事件，分别为：（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1），而加数全为质数的有（3，3），∴拆成的和式中，加数全部为质数的概率为P＝．故选：A．6．如图是一个几何体的三视图，则此三视图所描述几

何体的表面积为（）A．B．C．20πD．28π【分析】由三视图知几何体是一个组合体，上面是一个圆锥，圆锥的底面直径是4，圆锥的高是2，在轴截面中圆锥的母线长使用勾股定理做出的，写出表面积，下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是4，圆柱的高是2，做出圆柱的表面积，注意不包括重

合的平面．解：由三视图知几何体是一个组合体，上面是一个圆锥，圆锥的底面直径是4，圆锥的高是2，∴在轴截面中圆锥的母线长是，∴圆锥的侧面积是π×2×4＝8π，下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是4，圆柱的高是2，∴

圆柱表现出来的表面积是π×22+2π×2×2＝12π∴空间组合体的表面积是8π+12π＝20π，故选：C．7．箱中装有标号为1，2，3，4，5，6且大小相同的6个球，从箱中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两球号码之积是4的倍数，则获奖．现

有4人参与摸奖，恰好有3人获奖的概率是（）A．B．C．D．【分析】首先做出摸一次中奖的概率，摸一次中奖是一个等可能事件的概率，做出所有的结果数和列举出符合条件的结果数，得到概率，4个人摸奖．相当于发生4次试

验，根据每一次发生的概率，利用独立重复试验的公式得到结果．解：由题意知首先做出摸一次中奖的概率，从6个球中摸出2个，共有C62＝15种结果，两个球的号码之积是4的倍数，共有（1，4）（3，4），（2，4）（2，6）（4，5）（4，6）∴摸一次中奖的概率是，4个人摸奖．

相当于发生4次试验，且每一次发生的概率是，∴有4人参与摸奖，恰好有3人获奖的概率是＝故选：A．8．某省高考实行3+3模式，即语文、数学、英语必选，物理、化学、政治、历史、生物、地理六选三，今年高一的小明与小芳进行选科，假若他们对六科没有偏好，则他们至少有两科相同的选法有（）A．11

0种B．180种C．360种D．200种【分析】根据题意，分2种情况讨论：①两人选择的科目全部相同，②两人选择的科目有且只有2科相同，求出每种情况的选法数目，由加法原理计算可得答案．解：根据题意，分2种情况讨论：①两人选择的科目全部相同，有C63＝20种选法，②

两人选择的科目有且只有2科相同，有C62C41C31＝180种选法，则两人至少有两科相同的选法有20+180＝200种；故选：D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有错选的得0分.9．下列命题中正确的是（）A．如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行B．如果一条直线和一个平面内的两条相

交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面C．如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行D．如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直【分析】对于立体几何中的线线、线面、面面关系的判定可依据课本中有关定理结论进行判断，

也可列举反例从而说明不正确即可．解：观察正方体中的线面位置关系，结合课本中在关线面位置关系的定理知，ABD正确．对于C，A′B′、A′D′都平行于一个平面AC，但它们不平行，故C错．故选：ABD．10．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0＞，|φ|＜）部分图象如图

所示，下列说法错误的是（）A．函数y＝f（x）的图象关于直线对称B．函数y＝f（x）的图象关于点对称C．函数y＝f（x）在上单调递减D．该图象对应的函数解析式为【分析】方法1：将图象往左延伸一个周期，判断A、B、C都不成立；由函数的图象求出函数f（x）的解析式，判断D正确．方法2：由函数的图象

求得函数f（x）的解析式，再判断选项中的命题是否正确即可．【解答】解法1：将图象往左延伸一个周期，可知A、B、C都不成立；由函数的图象知，A＝2，由•＝﹣，解得ω＝2；再由最值得2×+φ＝2kπ+，k∈Z；又|φ|＜，得φ＝，所以函数f（x）＝2sin（2x+）．所以，选项D正确．故选：ABC

．解法2：由函数的图象可得A＝2，由•＝﹣，解得ω＝2．再根据最值得2×+φ＝2kπ+，k∈Z；又|φ|＜，得φ＝，得函数f（x）＝2sin（2x+），当x＝﹣时，f（x）＝0，不是最值，所以A错误；当x＝﹣时f（x）＝﹣2，不等于零，所以B错误；+2kπ≤2x+≤+2kπ，k

∈Z；解得+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，所以C错误；对比选项D可知D正确．故选：ABC．11．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF＝，以下结论正确的有（）A．AC⊥BEB．点A到△BEF所在平面的距离为定值C．三棱锥A﹣BEF

的体积是正方体ABCD﹣A1B1C1D1体积的D．异面直线AE，BF所成的角为定值【分析】由异面直线的判定判断A；由二面角的平面角的定义可判断B；运用三棱锥的体积公式可判断C；运用三角形的面积公式可判断D．解：对于A，根据题意，AC

⊥BD，AC⊥DD1，AC⊥平面BDD1B1，所以AC⊥BE，故A正确；对于B，A到平面CDD1C1的距离是定值，所以点A到△BEF的距离为定值，故B正确；对于C，三棱锥A﹣BEF的体积为V三棱锥A﹣BEF＝×EF×AB×BB1×sin45°

＝×××a×a×a＝a3，三棱锥A﹣BEF的体积是正方体ABCD﹣A1B1C1D1体积的，故C错误；对于D，异面直线AE，BF所成的角为定值，命题D错误；故选：AB．12．针对时下的“抖音热”，某校团

委对“学生性别和喜欢抖音是否有关“作了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的，女生喜欢抖音的人数占女生人数，若有95%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则调查人数中男生可能有（）人附表：P（

K2≥k0）0.0500.010k3.8416.635附：K2＝A．25B．35C．45D．60【分析】设男生可能有x人，依题意填写列联表，由K2＞3.841求出x的取值范围，从而得出正确的选项．解：设男生可能有x人，依题意得女生

有x人，填写列联表如下：喜欢抖音不喜欢抖音总计男生xxx女生xxx总计xx2x若有95%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则K2＞3.841，即K2＝＝x＞3.841，解得x＞40.335，由题意知x＞0，且x是5的整数倍，所以45和60都满足题意．故选：CD．三、填空题：本

大题共4小题，每小题5分.13．计算sin15°•sin105°的结果是．【分析】利用诱导公式，二倍角的正弦公式化简即可．解：sin15°•sin105°＝sin15°•sin75°＝sin15°•cos15°＝sin3

0°＝＝．故答案为：．14．（x3+）5的展开式中x7的系数为40．【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于7，求出r的值，即可求得x7的系数．解：二项式（x3+）5的展开式中通项公式为Tr+1＝•2r•x15﹣4r，令15﹣4r＝7，求得r＝2，

故x7的系数为•22＝40，故答案为：40．15．在锐角△ABC中，BC＝1，B＝2A，则的值等于2，AC的取值范围为（）．【分析】（1）根据正弦定理和B＝2A及二倍角的正弦公式化简可得值；（2）由（1）得到AC＝2cosA，要求AC的范围，只需找出2cosA的范围即可，根据锐

角△ABC和B＝2A求出A的范围，然后根据余弦函数的增减性得到cosA的范围即可．解：（1）根据正弦定理得：＝，因为B＝2A，化简得＝即＝2；（2）因为△ABC是锐角三角形，C为锐角，所以，由B＝2A得到A+2A＞且2A＝，从而解

得：，于是，由（1）的结论得2cosA＝AC，故．故答案为：2，（，）16．农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国

主义诗人屈原．如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为1的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，则该六面体的体积为；若该六面体内有一球，则该球体积的最大值为．【分析】该六面体是由两个全等的正四面体组合而成，正四面体的棱长为1，在棱长为1的正四面体S﹣ABC

中，取BC中点D，连结SD、AD，作SO⊥平面ABC，垂足O在AD上，求出AD＝SD＝，OD＝＝，SO＝＝，该六面体的体积V＝2VS﹣ABC；当该六面体内有一球，且该球体积取最大值时，球心为O，且该球与SD相切，过球心O

作OE⊥SD，则OE就是球半径，由此能求出该球体积的最大值．解：该六面体是由两个全等的正四面体组合而成，正四面体的棱长为1，如图，在棱长为1的正四面体S﹣ABC中，取BC中点D，连结SD、AD，作SO⊥平面ABC，垂足O在AD上，则AD＝SD＝＝，OD＝＝

，SO＝＝，∴该六面体的体积：V＝2VS﹣ABC＝2×＝．当该六面体内有一球，且该球体积取最大值时，球心为O，且该球与SD相切，过球心O作OE⊥SD，则OE就是球半径，∵SO×OD＝SD×OE，∴球半径R＝O

E＝＝＝，∴该球体积的最大值为：V球＝＝．故答案为：，．四、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知f（x）＝2sinωxcosωx﹣2cos2ωx+1，若函数f（x）的周期为π．（1）求函数f（x）的单调增区间；（

2）当x∈[0，]时，求函数f（x）的值域．【分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用可求函数解析式为f（x）＝sin（2ωx﹣），利用周期公式可求ω，根据正弦函数的单调性即可求解f（x）的单调增区间．（2）由已知可

求范围2x﹣∈[﹣，]，根据正弦函数的性质即可求解其值域．解：（1）f（x）＝2sinωxcosωx﹣（2cos2ωx﹣1）＝sin2ωx﹣cos2ωx＝sin（2ωx﹣），…由T＝＝π，可得ω＝1，可得f（x）＝si

n（2x﹣），…………由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，解得：kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，…………∴f（x）的单调增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．…………（2）∵x∈[0，]时，2x﹣∈[﹣，]，…………∴﹣≤sin（2x﹣）≤1，……

……函数f（x）的值域为[﹣1，]．…………18．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1（如图所示），底面△ABC是边长为2的正三角形，侧棱CC1⊥底面ABC，CC1＝4，E为B1C1的中点．（1）若G为A1B1的中点，求证：C1G⊥平面A1

B1BA；（2）求三棱锥A﹣EBA1的体积．【分析】（1）连接C1G，推导出C1G⊥B1B，C1G⊥A1B1，由此能证明C1G⊥平面A1B1BA．（2）由，能求出三棱锥A﹣EBA1的体积．解：（1）证明：连接C1G，CC1⊥底面ABC，BB1⊥底面A1B1C1，C1G⊂底面A1B1C1，∴C1

G⊥B1B，①，G为正△A1B1C1边A1B1的中点，∴C1G⊥A1B1，②，由①②及A1B1∩BB1＝B1，得C1G⊥平面A1B1BA．（2）∵，∴＝＝4．取GB1的中点F，连接EF，则EF∥C1G，∴EF⊥平面A

1B1BA，即EF为高，∴EF＝＝＝．三棱锥A﹣EBA1的体积＝＝＝．19．高二年级某班50名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，成绩分组区间为：[80，90），[90，100），[100，110）

，[110，120），[120，130），[130，140），[140，150]．其中a，b，c成等差数列，且c＝2a．物理成绩统计如表（说明：数学满分150分，物理满分100分）分组[50，60）[6

0，70）[70，80）[80，90）[90，100]频数6920105（1）根据频率分布直方图，请估计数学成绩的平均分；（2）若数学成绩不低于140分的为“优“，物理成绩不低于90分的为“优”，已知本班中至少

有一个“优”的学生总数为6人，从此6人中随机抽取3人，记X为抽到两个“优”的学生人数，求X的分布列和期望值．【分析】（1）根据频率分布直方图的性质求出a，b，c．由此能求出数学成绩的平均分．（2）数学成绩为“优”的

学生有4人，物理成绩为“优”有5人，至少有一个“优”的学生总数为6名同学，从而两科均为“优”的人数为3人，故X的取值为0、1、2、3．分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和期望值．解：（1）根据频率分布直方图得：（a+b+2c+0.024+0.020+0.0

04）×10＝1，又∵a+c＝2b，c＝2a，解得a＝0.008，b＝0.012，c＝0.016．故数学成绩的平均分为：＝85×0.04+95×0.12+105×0.16+115×0.2+125×0.2

4+135×0.16+145×0.08＝117.8．（2）数学成绩为“优”的学生有4人，物理成绩为“优”有5人，因为至少有一个“优”的学生总数为6名同学，故两科均为“优”的人数为3人，故X的取值为0、1、2、3．P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝

，∴X的分布列为：X0123P期望值E（X）＝＝．20．在三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知（a﹣c）（sinA+sinC）＝b（sinA﹣sinB）．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若c＝且b≥c

，求b﹣a的取值范围．【分析】（Ⅰ）由正弦定理化简已知等式可得a2﹣c2＝ab﹣b2，由余弦定理可求cosC的值，结合范围C∈（0，π），可求C的值．（Ⅱ）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求b﹣a＝sin（B﹣），由题意可求范围，利用正弦函数的性质可求b﹣a的取值范围．解：（Ⅰ）由正

弦定理，（a﹣c）（a+c）＝b（a﹣b），即a2﹣c2＝ab﹣b2，由余弦定理，，又∵C∈（0，π），∴．（Ⅱ）因为，且b≥c，由正弦定理得，得b＝2sinB，a＝2sinA，可得＝，∵b≥c，∴，∴，

21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝AB＝1，点E、M分别在线段AB、PC上，且＝＝λ，其中0＜λ＜1，连接CE，延长CE与DA的延长线交于点F，连接PE，PF，ME．（Ⅰ）求证

：ME∥平面PFD；（Ⅱ）若λ＝时，求二面角A﹣PE﹣F的正弦值；（Ⅲ）若直线PE与平面PBC所成角的正弦值为时，求λ值．【分析】（Ⅰ）在线段PD上取一点N，使得，∵，证明四边形为平行四边形，得到ME∥AN，然后证明ME∥平面PFD．（Ⅱ）以A为坐标原点，分别以AF，AB，AP为x

，y，z轴建立空间直角坐标系，求出平面PEA的一个法向量，平面PEF的一个法向量利用空间向量的数量积，求解二面角A﹣PE﹣F的正弦值．（III）令E（0，h，0），0≤h≤2，，求出平面PEA的一个法向量利用空间向量的数量积转化求解即可．【解答】（本小题满分15分）解：（Ⅰ）在线段PD上取一点N

，使得，∵，∴MN∥DC且MN＝λDC，∵，∴AE＝λAB，AB∥DC且AB＝DC，∴且AE＝MN，∴四边形为平行四边形，∴ME∥AN，又∵AN⊂平面PFD，ME⊄平面PFD，∴ME∥平面PFD．（Ⅱ）以A为坐标原点，分别以AF，AB，AP

为x，y，z轴建立空间直角坐标系A（0，0，0），P（0，0，1），B（0，2，0），C（﹣1，2，0），D（﹣1，0，0），∵，∴E（0，1，0），F（1，0，0）设平面PEA的一个法向量为＝（x，y，z），，，，令x＝1，∴＝（1，0，0

），设平面PEF的一个法向量为，，，，令z＝1，∴x＝1，y＝1，∴，∴，，二面角A﹣PE﹣F的正弦值为．（III）令E（0，h，0），0≤h≤2，，设平面PBC的一个法向量为，，，，令y＝1，∴z＝2，∴由题意可得：，∴，∴，．22．我国东南沿海地区发

展海产品养殖业具有得天独厚的优势．根据养殖规模及以往的养殖经验，蓝天海鲜养殖场的一种海产品每只的质量（克）在正常环境下服从正态分布N（280，25）．（1）随机购买10只蓝天养殖场的该海产品，求至少买到一只质量小于265克的

概率；（2）2020年蓝天养殖场考虑增加先进养殖技术投入，现用以往的先进养殖技术投入xi（千元）与年收益增量yi（千元）（i＝1，2，3…8）的数据绘制散点图，由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线y

＝a+b的附近，且＝46.6，＝563，＝6.8，，，，，其中ti＝，＝．根据所给的统计量，求y关于x的回归方程，并预测先进养殖技术投入为49千元时的年收益增量．附：若随机变量Z～N（1，4），则P（﹣5＜Z＜7）＝0.9974，0.998710≈0.9871；对于一组数据（

u1，v1），（u2，v2），…，（un，vn），其回归线v＝α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为，．【分析】（1）由ξ～N（280，25），根据正态分布的对称性求出P（ξ＜265）的值，再计算购买10只该养殖场的海产品，至少买到一只质量小于265g的概率；（2

）由题意计算回归系数，求出y关于x的回归方程，计算x＝49时的值．解：（1）由已知，单只海产品质量ξ～N（280，25），则μ＝280，σ＝5；由正态分布的对称性可知，P（ξ＜265）＝[1﹣P（265＜ξ＜295）]＝[1﹣P（μ

﹣3σ＜ξ＜μ+3σ）]＝×（1﹣0.9974）＝0.0013；设购买10只该养殖场海产品，其中质量小于265g的为X只，故X～B（10，0.0013），故P（X≥1）＝1﹣P（X＝0）＝1﹣（1﹣0.0013）10≈1﹣0.9871＝0.0129；所以

随机购买10只该养殖场的海产品，至少买到一只质量小于265g的概率为0.0129；（2）由题意知，＝6.8，＝563，（ti﹣）（yi﹣）＝108.8，＝1.6，有＝＝＝68，且＝﹣＝563﹣68×6.8＝100.6，所以y关于x的回归方程为＝100

.6+68；当x＝49时，年销售量y的预报值＝100.6+6×8＝576.6千元；所以预测先进养殖技术投入为49千元时的年收益增量为576.6千元．