【文档说明】吉林省长春市第二十九中学2020届高三上学期期末考试数学（理科）试卷【精准解析】.doc，共(17)页，1.327 MB，由管理员店铺上传

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数学（理）试卷答题时间：120分钟满分：150分一、选择题（每小题5分，共60分）1.若集合34{|}Mxx＝－＜，3,1,4N=−，则MN等于（）A.3−B.1C.3,1,4−D.3,1−【答案】D

【解析】【分析】根据交集的概念，直接计算，即可得出结果.【详解】因为集合34{|}Mxx＝－＜，3,1,4N=−，所以3,1MN=−.故选：D.【点睛】本题主要考查交集的运算，熟记概念即可，属于基础题型.2.已知i为虚数单位，复数z满足12izi=+，则z等于（）A.2i+B.

2i−C.12i+D.12i−【答案】B【解析】【分析】在等式12izi=+两边同时除以i，可求出复数z.【详解】12izi=+Q，212izii+==−，故选B.【点睛】本题考查复数的除法，考查计算能

力，属于基础题.3.设x∈R，则“|x|＞3”是“2x＞8”的（）.A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】分别解出不等式，利用充要条件的判定方法即可得出．【详解】由3x，则3x−

或3x，所以28x或1028x，故充分性不成立；若28x，则3x，所以3x，故必要性成立，所以“3x”是“28x”的必要不充分条件，故选B【点睛】本题考查了不等式、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.已知函数()2log

,01,0,3xxxfxx=则14ff的值为（）A.2−B.2C.19D.9【答案】D【解析】【分析】根据分段函数的解析式，先求出14f的值，从而可得14ff的值.【详解】因为()2lo

g,01,0,3xxxfxx=，104，所以211log2044f==−，所以()2112943fff−=−==，故选D.【点睛】本题主要考查分段函数

的解析式，属于中档题.对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定要层次清楚，思路清晰.当出现(())ffa的形式时，应从内到外依次求值．5.已知2log7a=，3log8b=，0.20.3c=，则,,abc的大

小关系为A.cbaB.abcC.bcaD.cab【答案】A【解析】【分析】利用利用0,1,2等中间值区分各个数值的大小．【详解】0.200.30.31c==；22log7log42=；331log8log92=．故cba．故选A．【点睛】利

用指数函数、对数函数的单调性时要根据底数与1的大小区别对待．6.点()1,2P−是角终边上一点，则()sin−的值为（）A.255B.255−C.25−D.15【答案】A【解析】【分析】利用三角函数的定义求出sin的值，然后利用诱导公式可求出()sin−的值.【详

解】由三角函数的定义可得()22225sin512==−+，由诱导公式可得()25sinsin5−==.故选A.【点睛】本题考查三角函数的定义，同时也考查了利用诱导公式求值，在利用诱导公式求值时，充分理解“

奇变偶不变，符号看象限”这个规律，考查计算能力，属于基础题.7.设l为直线，,是两个不同的平面，下列命题中正确的是()A.若//l，//l，则//B.若l⊥，l⊥，则//C.若l⊥，//l

，则//D.若⊥，//l，则l⊥【答案】B【解析】A中，,也可能相交；B中，垂直与同一条直线的两个平面平行，故正确；C中，,也可能相交；D中，l也可能在平面内.【考点定位】点线面的位置关系8.函数y＝l

n|x|＋1的图象大致为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【详解】当0x时，y＝ln|x|＋1的图象由lnyx=向上平移一个单位，故选A9.已知正数x、y满足41xy+=，则11xy+的最小值为（）A.8B.12C.10D.9【答案】D【解

析】【分析】根据不等式性质的到()11114445529.xyxyxyxyxyyxyx+=++=+++=【详解】正数x、y满足41xy+=，根据不等式性质得到：()11114444415529.xyxyxyxyxy

xyyxyxyx+=++=+++=+++=等号成立的条件为4xyyx=故答案为D.【点睛】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑

”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.10.若向量a，b满足|a|=10，b=（﹣2，1），a•b=5，则a与b的夹角为（）A.90°B.60°C.45°D.30°

【答案】C【解析】【详解】由题意可得22(2)15b=−+=,所以52cos,252ababab===,又因为,[0,180]ab,所以,45=ab,选C.11.为了得到函数sinyx=的图像，只需将函数sin26yx=+的图像（）A

.横坐标伸长为原来的两倍，纵坐标不变，再向右平移6个单位B.横坐标伸长为原来的两倍，纵坐标不变，再向左平移6个单位C.横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，再向右平移6个单位D.横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，再向左平移6个单位

【答案】A【解析】【分析】由条件利用()sinyAx=+的图像变换规律，得到结论．【详解】把函数sin26yx=+的图像上所有点的横坐标伸长为原来的两倍，纵坐标不变得到函数sin6yx=+，再将函数sin6yx=+

的图像上所有点向右平移6个单位得到函数sinyx=．故选A【点睛】解决本题的关键在于()sinyAx=+的图像变换规律的掌握，要灵活运用，一般分为两种：（1）先相位变换再周期变换；（2）先周期变换再相位变换．12.已知:p函数()2ln

1yxax=−+的定义域为R，:xqeax对任意实数x恒成立，若pq真，则实数a的取值范围是（）A.)0,2B.)2,eC.()2,e−D.)0,e【答案】A【解析】【分析】由pq真得出两个

命题均为真命题，求出p、q均为真命题时对应的参数a的取值范围，取交集即可得出实数a的取值范围.【详解】由于命题pq为真命题，则命题p、q均为真命题.若命题p为真命题，则240a=−，解得22a−.若命题q为真命题，构造函

数()xfxeax=−，则()min0fx，且()xfxea=−.（1）当0a时，()0fx对任意的xR恒成立，此时，函数()yfx=单调递增，且当x→−时，()fx→−，不合乎题意；

（2）当0a=时，()0xfxe=恒成立；（3）当0a时，令()0xfxea=−=，得lnxa=.当lnxa时，()0fx，当lnxa时，()0fx.()()()lnminlnlnln1ln0afxfaeaaaaaaa==−=−=−，

即1ln0a−，解得0ae.所以，当命题q为真命题时，0ae.因此，实数a的取值范围是)0,2.故选A.【点睛】本题考查利用复合命题的真假求参数的取值范围，同时也考查了对数型函数的定义域与不等式

恒成立问题，解题时要根据复合命题的真假判断出简单命题的真假，考查运算求解能力，属于中等题.二、填空题（每小题5分，共20分）13.函数πtan23yx=+的最小正周期为________.【答案】2【解析】π23ytanx=+函数的周期2T=故答案为214.若,

xy满足约束条件1122xyxyxy+−−−，则目标函数2zxy=+的最小值为_______【答案】1【解析】【分析】根据约束条件，画出可行域，化目标函数2zxy=+为122zyx=−+，则z表示直线122zyx=−+在y轴截距的2倍，结合图象，即可求出

结果.【详解】根据约束条件1122xyxyxy+−−−画出可行域如下：因为目标函数2zxy=+可化为122zyx=−+，则z表示直线122zyx=−+在y轴截距的2倍，由图象可得，当直线122zyx=−

+过点A时，截距最小，即z最小；由122xyxy+=−=得10xy==，即(1,0)A；因此，min101=+=z.故答案为：1.【点睛】本题主要考查线性规划的问题，根据数形结合的方法，即可求解，属于常考题型.15.已知函数()()()

231,2fxxfxf+==则__________________.【答案】1【解析】【分析】求导得()()'23'1fxxf=+，令1x=，则()()'123'1ff=+，求出()'1f可得函数及导函数的解析式，将2x=代入可得答案

．【详解】函数()()()()23'1,'23'1fxxfxfxxf=+=+，令1x=，则()()'123'1ff=+，解得()'11f=−，即()()23,'23fxxxfxx=−=−，()'21f

=，故答案为1.【点睛】本题考查的知识点是导数计算，以及方程思想，难度中档．16.已知三棱锥PABC−，底面正三角形ABC的边长为3，PA⊥平面ABC，2PA=，三棱锥PABC−外接球的表面积为_____【答案】8【解析】【分析】先由题意，得到三棱锥PABC−的外接球，即为以ABC

为底面，以PA为高的三棱柱的外接球，根据题中数据，先求出底面外接圆半径，进而可求出外接球的半径，即可求出结果.【详解】因为PA⊥平面ABC，底面是边长为3的正三角形，所以，三棱锥PABC−的外接球，即为以ABC为底面，以PA为高的三棱柱的

外接球，因为ABC是边长为3的正三角形，所以ABC的外接圆半径为1r=，球心到ABC的外接圆圆心的距离为112dPA==，因此，球的半径为222Rrd=+=，所以，三棱锥PABC−外接球的表面积为248SR==.故答案为：8.【点睛】本题主要考查求三棱锥的外接球问题，熟记棱锥的几何特

征，以及球的表面积公式即可，属于常考题型.三、解答题1（17—21题每题13分，22题5分，共70分）17.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知10cos10A=−，2b=，5c=．（1）求a；（2）求c

os()BA−的值．【答案】(1)3a=.(2)2cos()10BA−=.【解析】【分析】分析：（1）在ABC中，由余弦定理可得3a=．（2）由1010cosA=−得31010sinA=．根据正弦定理得55sinB=，从

而255cosB=，故得()210cosBAcosBcosAsinBsinA−=+=．【详解】（1）在ABC中，由余弦定理得22210225225910abcbccosA=+−=+−−=，∴3a=．（2）在ABC中，由1010cosA=−得,

2A，∴2210310111010sinAcosA=−=−−=，在ABC中，由正弦定理得absinAsinB=，即3231010sinB=，∴55sinB=，又,2A，故0,2B，∴2

25251155cosBsinB=−=−=，∴()251053102cosBAcosBcosAsinBsinA51051010−=+=−+=．【点睛】本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换

求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值.利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合

正、余弦定理解题.18.已知na是等差数列，nb是等比数列，且22b=，34b=，11ab=，65ab=.（1）求,nnab的通项公式；（2）设.nnncab=求数列nc的前n项和nS.【答案】（1）nb=12n−，na=3n-2；（2）ns

=（3n-5)2n+5【解析】【分析】（1）先设等差数列na的公差为d，等比数列nb的公比为q，根据题中条件，求出公比与公差，即可得出通项公式；（2）根据错位相减法，即可求出结果.【详解】（1）设等差数列na的

公差为d，等比数列nb的公比为q，因为22b=，34b=，11ab=，65ab=，所以322bqb==，因此111ab==，2654216ab===，因此61515daa=−=，所以3d=；因此13(1)32nann=+−=−；12nnb−=；（2）由（1）得()1322nnnn

cabn−==−，所以112233nnnabababaSb=++++()2114272322nn−=++++−①，所以()232124272322nnSn=++++−②①−②得()

231132323232322nnnSn−−=+++++−−()()()121213322352512nnnnn−−=+−−=−−−−，所以()3525nnSn=−+.【点睛】本题主要考查等差数列与等比数列的通项公式，以及错位相减法求

数列的和，属于常考题型.19.已知函数()fx=πsin(0,0)6AxA+的部分图象如图所示．(1)求,A的值;(2)求()fx的单调增区间;(3)求()fx在区间ππ,64−

上的最大值和最小值．【答案】(1)1,?2A==;（2）单调递增区间为πππ,π,36kkk−++Z(3)π6x=时,()fx取得最大值1;π6x=−时,f(x)取得最小值12−．【解析】试题分析：(1)利用图象的最高点和最低点的纵坐标确定振幅,由相邻对称轴间的距离确定函数

的周期和值;(2)利用正弦函数的单调性和整体思想进行求解;(3)利用三角函数的单调性和最值进行求解．试题解析：(1)由图象知1,A=由图象得函数的最小正周期为2ππ236−=π,则由2π=π得2=．(2

)令πππ2π22π,?262kxkkZ−+++2ππ2π22π33kxk−++.kZππππ36kxk−++.kZ所以f(x)的单调递增区间为πππ,π,.36kkk−++Z（3）ππππ,2,6432xx−−ππ2π2663x−

+.1πsin2126x−+.当ππ2,62x+=即π6x=时,()fx取得最大值1;当ππ2,66x+=−即π6x=−时,f(x)取得最小值12−．20.如图所示，在三棱锥PABC−中，PC⊥平面ABC，32PCAC

B==，，DE，分别为线段ABBC，上的点，且32222CDDEACCEEB=====，，．（I）证明：ED⊥平面PCD；（II）求二面角APDC−−的余弦值．【答案】（I）证明见解析；（II）36．【解析】【分析】（I）根据

PC⊥平面ABC并结合CDE△的形状，利用线面垂直的判定定理进行证明；（II）建立空间直角坐标系，求解出平面APD的一个法向量，写出平面PDC的一个法向量，计算出法向量夹角的余弦并结合图形判断二面角APDC−−是钝角还是锐角，从而计算出二面角APDC−−的

余弦值.【详解】（I）证明：因为PC⊥平面ABC，DE平面ABC，所以PCDE⊥．由22CECDDE===，得CDE△为等腰直角三角形，故CDDE⊥，又PCCDC=，且PC面PCD，CD面PCD，故DE⊥平面PCD．（II

）如图，以点C为原点，分别以CACBCP，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立直角坐标系()()()()3000003000201102CPAED，，，，，，，，，，，，，，，()()1110113102EDDPDA=−=−−=−，，，，，，

，，，设平面PAD的法向量为()1111nxyz=，，，则0nDP=，即1111130102xyzxy−−+=−=，令12x=，则1111yz==，，故可取()1211n=，，．由（I）可知DE⊥平面PCD，故平面PCD的法向量2nuur可取为ED，即()2110n=−

，，，则12121213cos626nnnnnn===，，又二面角APDC−−为锐二面角，所以二面角APDC−−的余弦值为36．【点睛】本题考查线面垂直的证明以及利用空间向量求解二面角的余弦值，难度一般.利用空间向量求解二面角的余弦值时，可通过

平面法向量夹角的余弦值结合图形中二面角的实际情况完成求解.21.已知函数()lnfxxax=−，2()gxx=.aR.（1）如a=2，求函数()fx的递增区间；（2）若()()fxgx恒成立，求a的取值范围.【答案】（1）

递增区间为10,2；（2）1a−【解析】【分析】（1）先由2a=得()ln2fxxx=−，对函数求导，由()0fx，即可求出单调增区间；（2）先由题意，将“()()fxgx恒成立”化为lnxxax−恒成立，令ln()xhx

xx=−，对其求导，研究其单调性，求出最大值，即可得出结果.【详解】（1）因为2a=，所以()ln2fxxx=−，0x，所以112()2xfxxx−=−=，由112()20xfxxx−=−=得102x，

所以，函数()fx的递增区间为10,2；（2）若()()fxgx恒成立，则2lnxaxx−恒成立，即lnxxax−恒成立，令ln()xhxxx=−，则2221ln1ln()1xxxhxxx−−−=−=，令2()1lnvxxx=−−，则1()20vxxx=−−显

然在()0,+上恒成立，所以2()1lnvxxx=−−在()0,+上单调递减，又(1)0v=，所以当()0,1x时，()0vx，即221ln()0xxhxx−−=；当()1,x+时，()0vx，即221ln()0xxhxx−−=；所以，函

数ln()xhxxx=−在()0,1x上单调递增，在()1,x+上单调递减，因此max()(1)1hxh==−，又lnxxax−恒成立，所以，只需1a−.【点睛】本题主要考查求函数的单调区间，以及由导数的方法研究不等式恒成立的问题，属于常考题型.22.已知

函数f(x)＝213,2{24log,02xxxx+，若函数g(x)＝f(x)－k有两个不同的零点，则实数k的取值范围是________．【答案】3,14【解析】画出函数f(x)图象如图．要

使函数g(x)＝f(x)－k有两个不同零点，只需y＝f(x)与y＝k的图象有两个不同交点，由图易知k∈.