【文档说明】吉林省长春市第二十九中学2020届高三上学期期末考试数学（理科）试卷【精准解析】.doc，共(17)页，1.327 MB，由管理员店铺上传

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数学（理）试卷答题时间：120分钟满分：150分一、选择题（每小题5分，共60分）1.若集合34{|}Mxx＝－＜，3,1,4N=−，则MN等于（）A.3−B.1C.3,1,4−D.3,1−【答案】D【解析】【分析】根据交集的概念

，直接计算，即可得出结果.【详解】因为集合34{|}Mxx＝－＜，3,1,4N=−，所以3,1MN=−.故选：D.【点睛】本题主要考查交集的运算，熟记概念即可，属于基础题型.2.已知i为虚数单位，复数z满足12izi=+，则z等于（）A.2i+B.2i−C.12i+D.12i−【

答案】B【解析】【分析】在等式12izi=+两边同时除以i，可求出复数z.【详解】12izi=+Q，212izii+==−，故选B.【点睛】本题考查复数的除法，考查计算能力，属于基础题.3.设x∈R，则“|x|

＞3”是“2x＞8”的（）.A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】分别解出不等式，利用充要条件的判定方法即可得出．【详解】由3x，则3x−或3x，所以28x或1028x，故充分性

不成立；若28x，则3x，所以3x，故必要性成立，所以“3x”是“28x”的必要不充分条件，故选B【点睛】本题考查了不等式、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.已知函数()2log,01,0,3xxxfxx=则14ff

的值为（）A.2−B.2C.19D.9【答案】D【解析】【分析】根据分段函数的解析式，先求出14f的值，从而可得14ff的值.【详解】因为()2log,01,0,3xxxf

xx=，104，所以211log2044f==−，所以()2112943fff−=−==，故选D.【点睛】本题主要考查分段函数的解析式，属于中档题.对于分段函数解析式的考查是命题的动向之

一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定要层次清楚，思路清晰.当出现(())ffa的形式时，应从内到外依次求值．5.已知2log7a=，3log8b=，0.20.3c=，则,,abc的大小关系为A.cbaB.a

bcC.bcaD.cab【答案】A【解析】【分析】利用利用0,1,2等中间值区分各个数值的大小．【详解】0.200.30.31c==；22log7log42=；331log8log92=．故cba．故选A．【点睛】利用指数函数、对数函数的单调

性时要根据底数与1的大小区别对待．6.点()1,2P−是角终边上一点，则()sin−的值为（）A.255B.255−C.25−D.15【答案】A【解析】【分析】利用三角函数的定义求出sin的值，然后利用

诱导公式可求出()sin−的值.【详解】由三角函数的定义可得()22225sin512==−+，由诱导公式可得()25sinsin5−==.故选A.【点睛】本题考查三角函数的定义，同时也考查了利用诱导公式求值，在利用诱导公式

求值时，充分理解“奇变偶不变，符号看象限”这个规律，考查计算能力，属于基础题.7.设l为直线，,是两个不同的平面，下列命题中正确的是()A.若//l，//l，则//B.若l⊥，l⊥，则//C.

若l⊥，//l，则//D.若⊥，//l，则l⊥【答案】B【解析】A中，,也可能相交；B中，垂直与同一条直线的两个平面平行，故正确；C中，,也可能相交；D中，l也可能在平面内.【考

点定位】点线面的位置关系8.函数y＝ln|x|＋1的图象大致为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【详解】当0x时，y＝ln|x|＋1的图象由lnyx=向上平移一个单位，故选A9.已知正数x、y满足41xy+=，则11xy+的最小值为（）A.8B.12C.10D.9【答案】D【解析】【分析】

根据不等式性质的到()11114445529.xyxyxyxyxyyxyx+=++=+++=【详解】正数x、y满足41xy+=，根据不等式性质得到：()11114444415529.xyxyxyxyxyxyyxyxyx

+=++=+++=+++=等号成立的条件为4xyyx=故答案为D.【点睛】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、

“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.10.若向量a，b满足|a|=10，b=（﹣2，1），a•b=5，则a与b的夹角为（）A.90°B.60°C.45

°D.30°【答案】C【解析】【详解】由题意可得22(2)15b=−+=,所以52cos,252ababab===,又因为,[0,180]ab,所以,45=ab,选C.11.为了得到函数sinyx=的图像，

只需将函数sin26yx=+的图像（）A.横坐标伸长为原来的两倍，纵坐标不变，再向右平移6个单位B.横坐标伸长为原来的两倍，纵坐标不变，再向左平移6个单位C.横坐标缩短为原来的12，纵坐

标不变，再向右平移6个单位D.横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，再向左平移6个单位【答案】A【解析】【分析】由条件利用()sinyAx=+的图像变换规律，得到结论．【详解】把函数sin26yx=+的图像上所有点的横坐标伸长为原来的两倍，纵坐标不变

得到函数sin6yx=+，再将函数sin6yx=+的图像上所有点向右平移6个单位得到函数sinyx=．故选A【点睛】解决本题的关键在于()sinyAx=+的图像变换规

律的掌握，要灵活运用，一般分为两种：（1）先相位变换再周期变换；（2）先周期变换再相位变换．12.已知:p函数()2ln1yxax=−+的定义域为R，:xqeax对任意实数x恒成立，若pq真，则实数a的取值范围是（）A.)0,2B.)2,eC.()2,e−D.

)0,e【答案】A【解析】【分析】由pq真得出两个命题均为真命题，求出p、q均为真命题时对应的参数a的取值范围，取交集即可得出实数a的取值范围.【详解】由于命题pq为真命题，则命题p、q均为真命题.若命题p为真命题，则240

a=−，解得22a−.若命题q为真命题，构造函数()xfxeax=−，则()min0fx，且()xfxea=−.（1）当0a时，()0fx对任意的xR恒成立，此时，函数()yfx=单调递增，且当x→−时，()fx→−，不合乎

题意；（2）当0a=时，()0xfxe=恒成立；（3）当0a时，令()0xfxea=−=，得lnxa=.当lnxa时，()0fx，当lnxa时，()0fx.()()()lnminlnlnln1ln0afxfaeaaaaaaa==−

=−=−，即1ln0a−，解得0ae.所以，当命题q为真命题时，0ae.因此，实数a的取值范围是)0,2.故选A.【点睛】本题考查利用复合命题的真假求参数的取值范围，同时也考查了对数型函数的定义域与不等式恒成立问题，解题时要根

据复合命题的真假判断出简单命题的真假，考查运算求解能力，属于中等题.二、填空题（每小题5分，共20分）13.函数πtan23yx=+的最小正周期为________.【答案】2【解析】π23ytanx=+函数的周期2T=故答案为214.若,xy满足约

束条件1122xyxyxy+−−−，则目标函数2zxy=+的最小值为_______【答案】1【解析】【分析】根据约束条件，画出可行域，化目标函数2zxy=+为122zyx=−+，则z表示直线122zyx=−+在y轴截距的2倍，结合图

象，即可求出结果.【详解】根据约束条件1122xyxyxy+−−−画出可行域如下：因为目标函数2zxy=+可化为122zyx=−+，则z表示直线122zyx=−+在y轴截距的2倍，由图象可得，当直线122zy

x=−+过点A时，截距最小，即z最小；由122xyxy+=−=得10xy==，即(1,0)A；因此，min101=+=z.故答案为：1.【点睛】本题主要考查线性规划的问题，根据数形结合的方法，即可求解，属于常考题型.15.已知函数()()()231,2fxxfxf+==则

__________________.【答案】1【解析】【分析】求导得()()'23'1fxxf=+，令1x=，则()()'123'1ff=+，求出()'1f可得函数及导函数的解析式，将2x=代入可得答案．【详解】函数()()()()23'1,'23'1fxxfxfxxf

=+=+，令1x=，则()()'123'1ff=+，解得()'11f=−，即()()23,'23fxxxfxx=−=−，()'21f=，故答案为1.【点睛】本题考查的知识点是导数计算，以及方程思想，难度中档．16.

已知三棱锥PABC−，底面正三角形ABC的边长为3，PA⊥平面ABC，2PA=，三棱锥PABC−外接球的表面积为_____【答案】8【解析】【分析】先由题意，得到三棱锥PABC−的外接球，即为以ABC为底面，以PA为高的三棱柱的外接球，根据题中数据，先求出底面外接圆半径，进而可求出外接球的

半径，即可求出结果.【详解】因为PA⊥平面ABC，底面是边长为3的正三角形，所以，三棱锥PABC−的外接球，即为以ABC为底面，以PA为高的三棱柱的外接球，因为ABC是边长为3的正三角形，所以ABC的外接圆半径为1r=，球心

到ABC的外接圆圆心的距离为112dPA==，因此，球的半径为222Rrd=+=，所以，三棱锥PABC−外接球的表面积为248SR==.故答案为：8.【点睛】本题主要考查求三棱锥的外接球问题，熟记棱锥的几何特征，以及球的表面积公式即可，属于常考题型.三、

解答题1（17—21题每题13分，22题5分，共70分）17.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知10cos10A=−，2b=，5c=．（1）求a；（2）求cos()BA−的值．【答

案】(1)3a=.(2)2cos()10BA−=.【解析】【分析】分析：（1）在ABC中，由余弦定理可得3a=．（2）由1010cosA=−得31010sinA=．根据正弦定理得55sinB=，从而255cosB=，故得()210cosBAcosBcosAsinBsinA−=+=．【详解

】（1）在ABC中，由余弦定理得22210225225910abcbccosA=+−=+−−=，∴3a=．（2）在ABC中，由1010cosA=−得,2A，∴22103101

11010sinAcosA=−=−−=，在ABC中，由正弦定理得absinAsinB=，即3231010sinB=，∴55sinB=，又,2A，故0,2B，∴225251155cosBsinB=−=

−=，∴()251053102cosBAcosBcosAsinBsinA51051010−=+=−+=．【点睛】本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转

边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值.利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.18.已知na是等差数列，nb是等比数列，且22b=，34b=，11ab=，6

5ab=.（1）求,nnab的通项公式；（2）设.nnncab=求数列nc的前n项和nS.【答案】（1）nb=12n−，na=3n-2；（2）ns=（3n-5)2n+5【解析】【分析】（1）先设等差数列na的公差为d，等比数列nb的公比为q

，根据题中条件，求出公比与公差，即可得出通项公式；（2）根据错位相减法，即可求出结果.【详解】（1）设等差数列na的公差为d，等比数列nb的公比为q，因为22b=，34b=，11ab=，65ab=，所以322bqb==，因此111ab=

=，2654216ab===，因此61515daa=−=，所以3d=；因此13(1)32nann=+−=−；12nnb−=；（2）由（1）得()1322nnnncabn−==−，所以112233nnnabababaSb=++++()2114272322nn−=+++

+−①，所以()232124272322nnSn=++++−②①−②得()231132323232322nnnSn−−=+++++−−()()()121213322352512nnnnn−−=+−−=−−−−，所以()3525nnS

n=−+.【点睛】本题主要考查等差数列与等比数列的通项公式，以及错位相减法求数列的和，属于常考题型.19.已知函数()fx=πsin(0,0)6AxA+的部分图象如图所示．(1)求,A的值;(2)求()fx的单调增区间;(

3)求()fx在区间ππ,64−上的最大值和最小值．【答案】(1)1,?2A==;（2）单调递增区间为πππ,π,36kkk−++Z(3)π6x=时,()fx取得最大值1;π6x=−时,f(x)取得最小值12−．【解析】试题分析：(1)利用图象的最高点和

最低点的纵坐标确定振幅,由相邻对称轴间的距离确定函数的周期和值;(2)利用正弦函数的单调性和整体思想进行求解;(3)利用三角函数的单调性和最值进行求解．试题解析：(1)由图象知1,A=由图象得函数的最小正周期为2ππ236−=π,则由2π=π得2=．(2)令πππ2π22π,?2

62kxkkZ−+++2ππ2π22π33kxk−++.kZππππ36kxk−++.kZ所以f(x)的单调递增区间为πππ,π,.36kkk−++Z（3）ππππ,2,6432xx−−ππ2π2663x−+.1πsin21

26x−+.当ππ2,62x+=即π6x=时,()fx取得最大值1;当ππ2,66x+=−即π6x=−时,f(x)取得最小值12−．20.如图所示，在三棱锥PABC−中，PC⊥平面ABC，32PCACB

==，，DE，分别为线段ABBC，上的点，且32222CDDEACCEEB=====，，．（I）证明：ED⊥平面PCD；（II）求二面角APDC−−的余弦值．【答案】（I）证明见解析；（II）36．【解析】【分析】（I）根据PC⊥平面ABC并结合CDE△的形状，利用线面垂直的判定定理

进行证明；（II）建立空间直角坐标系，求解出平面APD的一个法向量，写出平面PDC的一个法向量，计算出法向量夹角的余弦并结合图形判断二面角APDC−−是钝角还是锐角，从而计算出二面角APDC−−的余弦值.【详解】（I）证明：因为PC⊥平面ABC，DE平面ABC，

所以PCDE⊥．由22CECDDE===，得CDE△为等腰直角三角形，故CDDE⊥，又PCCDC=，且PC面PCD，CD面PCD，故DE⊥平面PCD．（II）如图，以点C为原点，分别以CACBCP，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立直角坐标系()

()()()3000003000201102CPAED，，，，，，，，，，，，，，，()()1110113102EDDPDA=−=−−=−，，，，，，，，，设平面PAD的法向量为()1111nx

yz=，，，则0nDP=，即1111130102xyzxy−−+=−=，令12x=，则1111yz==，，故可取()1211n=，，．由（I）可知DE⊥平面PCD，故平面PCD的法向量2nuur可取为ED，即()2110n=−，，，则12121213cos6

26nnnnnn===，，又二面角APDC−−为锐二面角，所以二面角APDC−−的余弦值为36．【点睛】本题考查线面垂直的证明以及利用空间向量求解二面角的余弦值，难度一般.利用空间向量求解二面角的余弦值时，可通过平面法向量夹角的余弦值结合图形中二面角的实际情况完成求解.21.

已知函数()lnfxxax=−，2()gxx=.aR.（1）如a=2，求函数()fx的递增区间；（2）若()()fxgx恒成立，求a的取值范围.【答案】（1）递增区间为10,2；（2）1a−【解析】【分析】（1）先由2a

=得()ln2fxxx=−，对函数求导，由()0fx，即可求出单调增区间；（2）先由题意，将“()()fxgx恒成立”化为lnxxax−恒成立，令ln()xhxxx=−，对其求导，研究其单调性，求出最大值，即可得出结果.【详解】（1）因为2a=，所以()ln2fxxx=−，0

x，所以112()2xfxxx−=−=，由112()20xfxxx−=−=得102x，所以，函数()fx的递增区间为10,2；（2）若()()fxgx恒成立，则2lnxaxx−恒成立，即lnxxax−

恒成立，令ln()xhxxx=−，则2221ln1ln()1xxxhxxx−−−=−=，令2()1lnvxxx=−−，则1()20vxxx=−−显然在()0,+上恒成立，所以2()1lnvxxx=−−在()0,+上

单调递减，又(1)0v=，所以当()0,1x时，()0vx，即221ln()0xxhxx−−=；当()1,x+时，()0vx，即221ln()0xxhxx−−=；所以，函数ln()xhxxx=−在()0,1x上单调递增，在()1,x+上单调递减

，因此max()(1)1hxh==−，又lnxxax−恒成立，所以，只需1a−.【点睛】本题主要考查求函数的单调区间，以及由导数的方法研究不等式恒成立的问题，属于常考题型.22.已知函数f(x)＝213,2{24log,02xxxx+

，若函数g(x)＝f(x)－k有两个不同的零点，则实数k的取值范围是________．【答案】3,14【解析】画出函数f(x)图象如图．要使函数g(x)＝f(x)－k有两个不同零点，只需y＝f(x)与y＝k的图象有两个不同交点，由图易知k∈.