【文档说明】重庆市清华中学校2020-2021学年高一下学期第一次月考数学试题 含答案.docx，共(9)页，782.376 KB，由管理员店铺上传

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清华中学2020-2021学年高一下学期第一次月考数学试题一．选择题1.若复数z满足𝑧=3−4𝑖，则z的虚部是()A.4B.4𝑖C.−4D.−4𝑖2.化简𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗−𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=()A.𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗B.𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗

C.𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗D.𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗3.∆ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c,若𝑎2+𝑏2−𝑐2=𝑎𝑏,则∠C=（）A.30°B.60°C.45°D.120°4．已知向量a，b满足2a=，1b=，223ab+=，那么a与b的夹角为（）A．30°B．60C．120

D．1505．如图，已知OAa=，OBb=，OCc=，2ABBC=，则下列等式中成立的是（）A．3122cba=−B．2cba=−C．2cab=−D．3122cab=−6.∆ABC的三个内角A，B，C所

对的边分别为a，b，c，且a=1,B=45°,S∆ABC=2，则∆ABC的外接圆的直径为()A.4√3B.5C.5√2D.6√27.如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40𝑛𝑚𝑖𝑙𝑒的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南

偏西30°、相距20𝑛𝑚𝑖𝑙𝑒的C处的乙船，现乙船朝北偏东𝜃的方向沿直线CB前往B处救援，则𝑐𝑜𝑠𝜃等于()A.√217B.√2114C.3√2114D.√21288．著名数学家欧

拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理．设点O，H分别是△ABC的外心、垂心，且M为BC中点，则（）A．3

3ABACHMMO+=+B．33ABACHMMO+=−C．24ABACHMMO+=+D．24ABACHMMO+=−多选题9．已知向量𝑎=(2,1)，()3,1b=−，𝑒是与𝑏⃗同向的单位向量，则下列结论错误

的是（）A．()//aba+B．向量a在向量b上的投影向量为−12𝑒C．a与ab−的夹角余弦值为255D．若525,55c=−，则ac⊥10．在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论正确的是（）A．若a>b

,则sinA>sinBB．若∠A=30°,𝑏=4,𝑎=3则ABC有两解C．若ABC为钝角三角形，则𝑎2+𝑏2>𝑐2D．若A=60°,a=2,则ABC面积的最大值为√311．在△ABC中，角,,ABC所对的边分别为,,abc，以下结论中正确的有（）A．

若sinsinAB，则AB；B．若sin2sin2AB=，则ABC一定为等腰三角形；C．若222coscoscos1ABC+−=，则ABC为直角三角形；D．若△ABC为锐角三角形，则sincosAB.12.设点M是给定

△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是（）A．若1122AMABAC=+，则点M是边BC的中点B．2AMABAC=−若，则点M在边BC的延长线上C.若𝐵𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗∙𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=0,𝐵𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗=1

3𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+23𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,P为直线AC上的动点，则𝐵𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗∙𝐵𝑃⃗⃗⃗⃗⃗为定值D．若AMxAByAC=+，且12xy+=，则MBC△的面积是的△ABC面积的12二、填空题13．已知复数342izi−=−，则复

数z在复平面内对应的点位于第象限.14．在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知4a=，5b=，6c=，则BC边上的中线长AD=_________．15.《数书九章》中对已知三角形三边长求三角形的面积的求法填补了我国传统数学的一个空白，与著名的海伦公式完全

等价，由此看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积。”若把以上这段文字写成公式，即S=√14[𝑐

2𝑎2−(𝑐2+𝑎2−𝑏22)2]，已知△ABC满足(sin𝐴−𝑠𝑖𝑛𝐵)(𝑠𝑖𝑛𝐴+𝑠𝑖𝑛𝐵)=𝑠𝑖𝑛𝐴𝑠𝑖𝑛𝐶−𝑠𝑖𝑛2𝐶，且AB=2BC=2√2，则用以上给出的公式可求得△ABC的面积为_______16.如图，在半径为1的圆O中

，点A、B为圆O上的定点，且∠AOB=60°，点C为圆上的一个动点，若𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=𝑥𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝑦𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗，则2x+(√3+1)y的取值范围是________三、解答题17.(10分）已知平面向量a⃗=(3,4)，b⃗=(9,x)，c=(4,−3)

，且a⃗//b⃗(1)求b⃗(2)若m⃗⃗⃗=2a⃗−b⃗，n⃗=a⃗+c，求向量m⃗⃗⃗与向量n⃗的夹角的大小．18.（12分）已知4a=，8b=，a与b夹角是120．（1）求𝑎∙𝑏⃗的值及ab+的值；（2）当k为何值时，(2)()abkab+⊥−19．（

12分）如图，角,,,ABCD为平面四边形ABCD的四个内角，6,3,4ABBCCD===.（1）若60,30BDAC==oo，求sinD；(2)若180,5BADBCDAD+==o，求cosBAD20.（12分）已知在中，角A、B、

C的对边分别是a、b、c，𝑚⃗⃗=(2𝑐𝑜𝑠𝐶,𝑎𝑐𝑜𝑠𝐵+𝑏𝑐𝑜𝑠𝐴)，𝑛⃗=(𝑐,−1)，且𝑚⃗⃗⊥𝑛⃗．(1)求角C；(2)若边长𝑐=3，求周长的取值范围．21.（12分）如图所示，某区有一块空地△𝑂𝐴𝐵，其中𝑂

𝐴=4𝑘𝑚，𝑂𝐵=4√3𝑘𝑚，∠𝐴𝑂𝐵=90𝑜.当地区政府规划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖△𝑂𝑀𝑁，其中M，N都在边AB上，且∠𝑀𝑂𝑁=30°，挖出的泥土堆放在△𝑂𝐴𝑀地带上形成假山，剩下的△𝑂𝐵𝑁地带开设儿童游

乐场.为安全起见，需在△𝑂𝐴𝑁的周围安装防护网．(1)当𝐴𝑀=2𝑘𝑚时，求防护网的总长度；(2)若要求挖人工湖用地△𝑂𝑀𝑁的面积是堆假山用地△𝑂𝐴𝑀的面积的√3倍，试确定∠𝐴𝑂𝑀的大小；22.（12分）如图所示

，在△ABC中，D、F分别为线段BC，AC上一点，且BD=2DC，CF=3FA，BF和AD相交于点E（1）设𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=μ𝐵𝐹⃗⃗⃗⃗⃗,求μ的值；（2）设BC=a，AB=c,AC=b，若c+b=2，且(𝑐2+𝑏2−𝑎2)(cco

sB+bcosC)=abc，当|𝐵𝐷|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗最小时，求|𝐵𝐸|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗的值；月考答案一．单选：CDBBACBD二．多选：ABABDACACD三．填空：13.一14.√106215.√316.[−2√2，2√2]1718（1）16

ab=−；ab+43=（2）7k=−【分析】（1）利用数量积定义及其向量的运算性质，即可求解；（2）由于(2)()abkab+⊥−，可得(2)()0abkab+−=，利用向量的数量积的运算公式，即可求解．【详解】（1）由向量的数量积的运算公式，可得1cos12048()1

62abab==−=−，22222482(16)ababab+=++=++−43=.（2）因为(2)()abkab+⊥−，所以22(2)()2(21)0abkabkabkab+−=−+−=，整理得16128(21)

(16)0kk−+−−=，解得7k=−．即当7k=−值时，(2)()abkab+⊥−．19.（1）338；（2）37.【分析】（1）在ABC中，利用余弦定理求出AC，在ACD△中，再利用正弦定理即可求解.（2）在ABD△中，利用余弦定理可得cosBAD，在BCD中，利用余弦定理co

sBCD，由coscos0BADBCD+=求出2477BD=，再利用余弦定理即可求解.【详解】(1)在ABC中，222222361cosB,363627,332362ACACAC+−===+−==在ACD△中，由正弦定理sinsin,DACDCDAC=

3333sinsinsin3048ACDDACCD===(2)在ABD△中，22256cos256BDBAD+−=.在BCD中，22234cosBCD234BD+−=180,coscos0BADBCDBADBCD+=+=()()222222222253659165

63400256234120BDBDBDBD+−++−+−+−+==2222612525507247BDBDBD−+−==，则2477BD=22224725365637cos256607BDBAD+−+−===.20.方法一、【答案】解：(Ⅰ，由

正弦定理得，即2sin𝐶cos𝐶−sin(𝐴+𝐵)=0，，在𝛥𝐴𝐵𝐶中，0<𝐶<𝜋，，，∵𝐶∈(0,𝜋)，∴𝐶=𝜋3；(Ⅱ)由余弦定理可得：，即(𝑎+𝑏)2−3𝑎𝑏=9

，∴𝑎𝑏=13[(𝑎+𝑏)2−9]⩽(𝑎+𝑏2)2，∴(𝑎+𝑏)2⩽36，∴𝑎+𝑏≤6，当且仅当𝑎=𝑏=3时取等号，又a+b>3得3<a+b≤6周长范围(6，9]方法二、三角函数a+b=2R(sinA+sinB)21.22.