【文档说明】重庆市第八中学2020-2021学年高二下学期周考（四）数学试题 含答案.docx，共(10)页，532.044 KB，由小赞的店铺上传

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重庆八中高2022级高二（下）数学周日检测（四）一．选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．下列命题为真命题的是()A．0xR，使2

00xB．xR，有20x…C．xR，有20xD．xR，有20x2．阿基米德（公元前287年−公元前212年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周

率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆C的焦点在x轴上，且椭圆C的离心率为74，面积为12，则椭圆C方程为()A．22134xy+=B．221916xy+=C．22143xy+=D．221169xy+=3．函数()yfx=的图象如图所示，则()f

x解析式可能是()A．()||1xfxx=−B．()1||xfxx=−C．2()1xfxx=−D．2()1xfxx=−4．为调查新冠疫苗接种情况，某地疾控中心决定安排5名工作人员到3个社区进行宣传，每个社区至少分配1名工作人员，则不同的分配方案共()种

A．150B．240C．300D．7205．已知函数2()fxaxbxc=++，满足(3)(3)fxfx+=−，且(4)(5)ff，则不等式(1)1fxf−（）的解集为()A．(0,)+B．(2,)−+C．(4,0)−D．(2,4)6．若一系列函数的解析

式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，则函数解析式为||2xy=，值域为{1，2，4}的同族函数有()A．3个B．4个C．8个D．9个7．托马斯贝叶斯(Thomas)Bayes在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：(|)()(|)(|)()(|

)()ccPBAPAPABPBAPAPBAPA=+，这个公式被称为贝叶斯公式（贝叶斯定理），其中(|)PBAP（A）(|)()ccPBAPA+称为B的全概率．这个定理在生活中有着重要的应用价值．假设某种疾病在所有人群中的感染率是0.

1%，医院现有的技术对于该疾病检测准确率为99%，即已知患病情况下，99%的可能性可以检查出阳性，正常人99%的可能性检查为正常．如果从人群中随机抽一个人去检测，经计算检测结果为阳性的全概率为0.01098，请你

用贝叶斯公式估计在医院给出的检测结果为阳性的条件下这个人得病的概率()A．0.1%B．8%C．9%D．99%8．已知曲线ylnx=在1(Ax，1)y，2(Bx，2)y两点处的切线分别与曲线xye=相切于3(Cx，3)y，4(Dx，4)y，则1234xxyy+的值为()A．1B．2C．

52D．174二．多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．）9．图中矩形表示集合U，A，B是U的两个子集，则阴影部分可以表示为()A．()UABIðB．()BABIðC．((

))UUABI痧D．ABAUð10．某校计划在课外活动中新增攀岩项目，为了解学生喜欢攀岩和性别是否有关，面向学生开展了一次随机调查，其中参加调查的男女生人数相同，并绘制如图等高条形图，则()20()PKk…0

.050.010k3.8416.635参考公式：22()()()()()nadbcKabcdacbd−=++++，nabcd=+++．A．参与调查的学生中喜欢攀岩的男生人数比喜欢攀岩的女生人数多B．参与调查的女生中喜欢攀岩

的人数比不喜欢攀岩的人数多C．若参与调查的男女生人数均为100人，则有99%的把握认为喜欢攀岩和性别有关D．无论参与调查的男女生人数为多少，都有99%的把握认为喜欢攀岩和性别有关11．函数()fx定义域为R，且(1)fx−与(1)fx+都为奇函数，则下列说法正确的是()A．()fx是周期为2的周

期函数B．()fx是周期为4的周期函数C．(2)fx+为奇函数D．(3)fx+为奇函数12．已知双曲线方程为221916xy−=，A为双曲线右支上任意一点，1F，2F为左、右焦点，△12AFF的内切圆圆心为I，

Ie与x轴切于点N，线段AI的延长线与x轴交于点0(Mx，0)．则以下结论正确的有()A．12||||FNFN−为定值B．I的横坐标为定值C．0x的范围是(0,3)D．Ie半径的最大值为4三．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题

卡相应位置上．）13．设复数13zi=+，若21ziz=，则12||zz+=．14．若函数2,1()(1),1xxfxaxx=+…的值域为R，则a的取值范围是．15．甲、乙、丙三人传球，每个人得到球后，等可能地传给其余两人，从甲开始传，设传n次球后回到甲手中的概率为(

)Pn，则(1)Pn+可用()Pn表示为．16．在2012221212222222(1)nnnnnnnnnnxxDDxDxDxDx−−++=+++++的展开式中（其中02nD，12nD，22nnD叫做项式系数），当1

n=，2，3，，得到如下左图所示的展开式，如图所示的“广义杨辉三角”：（1）若在25(1)(1)axxx+++的展开式中，8x的系数为75，则实数a的值为；（2）001122331818361836183618361836

18DCDCDCDCDC−+−++=（可用组合数作答）．四．解答题（本大题共6小题，共70分．请将正确答案做在答题卷相应位置，要有必要的推理或证明过程．）17．设{}na是公比不为1的等比数列，其前n项和为nS，且5a，3a，4a成等差

数列．（1）求数列{}na的公比；（2）证明：对任意*kN，2kS+，kS，1kS+成等差数列．18．如图，在ABC中，2AC=，1BC=，3cos4C=．（1）求AB的值；（2）求sin(2)AC+的值．19．面对新一轮科技和产业革命带

来的创新机遇，某企业对现有机床进行更新换代，购进一批新机床．设机床生产的零件的直径为X（单位：)mm．（1）现有旧机床生产的零件10个，其中直径大于124mm的有3个，若从中随机抽取4个，记表示取出的零件中直径大于124mm的零件的个数，求的概率分布及数学期望()E；（2）若新机床生产

的零件直径~(120,4)XN，从生产的零件中随机取出10个，求至少有一个零件直径大于124mm的概率．参考数据：若2~(,)XN，则(||)0.6827PX−„，(||2)0.9545PX−

„，(||3)0.9974PX−„，100.977250.7944，100.95450.6277．20．如图，在正三棱柱111ABCABC−中，12ABAA==，点P，Q分别为11AB，BC的中点．（1）求异面直线BP与1A

C所成角的余弦值；（2）求直线1CC与平面1AQC所成角的正弦值．21．已知抛物线2:2(0)Cypxp=的焦点为F，C上一点G到F的距离为5，到直线1x=−的距离为5．（1）求C的方程；（2）过点F作与x轴不

垂直的直线l与C交于A，B两点，再过点A，B分别作直线l的垂线，与x轴分别交于点P，Q，求四边形APBQ面积的最小值．22．已知函数2()2fxlnxxax=+−，aR．（1）设()()(23)gxfxax=+−，求()gx的极值：（2）若函数()fx有两个极值点1x，212()

xxx．求122()()fxfx−的最小值．重庆八中高2022级高二（下）数学周日检测（四）参考答案题号123456789101112答案BDCACDCBABDACBCABC13.2√2．14.[12，+∞）．15.1−𝑝(𝑛)216.2；𝐶1812．4．解：根据题

意，分2步进行分析：①，将5名工作人员分成3组，若分成1、1、3的三组，有C53＝10种分组方法；若分成1、2、2的三组，有𝐶52𝐶32𝐴22=15种分组方法；则有10+15＝25种不同的分组方法；②

，将分好的三组全排列，对应3个社区，有A33＝6种情况，则有25×6＝150种分配方法；5．解：根据题意，函数f（x）＝ax2+bx+c，满足f（3+x）＝f（3﹣x），则函数f（x）是对称轴为x＝3的二次函数，又由f（4）＜f（

5），则f（x）开口向上，若f（1﹣x）＜f（1），必有|1﹣x﹣3|＜2，即|x+2|＜2，解可得：﹣4＜x＜0，即不等式的解集为（﹣4，0），故选：C．6．解：由2|x|＝1，解得：x＝0，取定义域是{0}，由2|x|＝2，解得：x＝±1，分别取定义域{1}，{﹣1}，{1，﹣

1}，由2|x|＝4，解得：x＝±2，分别取定义域{2}，{﹣2}，{2，﹣2}，共有1×3×3＝9种取法，7．解：记一个人得病为事件A，检测结果为阳性为事件B，则P（A）＝0.1%，P（B|A）＝99%，P（B|A）•

P（A）+P（B|Ac）•P（Ac）＝0.01098，所以P（A|B）=𝑃(𝐵|𝐴)⋅𝑃(𝐴)𝑃(𝐵|𝐴)⋅𝑃(𝐴)+𝑃(𝐵|𝐴𝑐)⋅𝑃(𝐴𝑐)=99%×0.1%0.010

98≈9%，所以在医院给出的检测结果为阳性的条件下这个人得病的概率为9%．故选：C．8．解：对于曲线y＝lnx，𝑦′=1𝑥，则在A处的切线为y﹣lnx1=1𝑥1（x﹣x1），即y=1𝑥1x+lnx1﹣1，y＝ex的导数为y′＝ex，可得在C（x3，y3）处的切线方程为y﹣

ex3＝ex3（x﹣x3），即y＝ex3•x+ex3（1﹣x3），由题意可得1𝑥1=ex3，lnx1﹣1＝ex3（1﹣x3），lnx1﹣1=1𝑥1（1+lnx1），可得lnx1=𝑥1+1𝑥1−1，同理可得lnx2=𝑥2+1𝑥2−1，则x1，x2

为方程lnx=𝑥+1𝑥−1的两个不等的正根．设f（x）＝lnx−𝑥+1𝑥−1，则f（1𝑥）＝ln1𝑥−1𝑥+11𝑥−1=−lnx+𝑥+1𝑥−1=−（lnx−𝑥+1𝑥−1），所以x1=1𝑥2，即x1x2＝1，所以y3y4=1𝑥1𝑥2=1，所以x1x2

+y3y4的值为2．另解：由于函数y＝ex和y＝lnx互为反函数，可得它们的图象关于直线y＝x对称，即有A，D和B，C分别关于直线y＝x对称，则x1＝y4，x2＝y3，则kAC=1𝑥1=ex3＝y3＝x2，即x1x2＝1，则x1x2+y3y4＝2x

1x2＝2．故选：B．二．多选题（共4小题）10．解：对于选项A：因为参加调查的男女生人数相同，而男生中喜欢攀岩的占80%，女生中喜欢攀岩的占30%，所以参与调查的学生中喜欢攀岩的男生人数比喜欢攀岩的女生人数多，所以选项A正确；对于选项B：参与调查的女生

中喜欢攀岩的人数占30%，不喜欢攀岩的人数占70%，所以参与调查的女生中喜欢攀岩的人数比不喜欢攀岩的人数多，所以选项B错误；对于选项C：若参与调查的男女生人数均为100人，根据图表，列出2×2列联表如下：喜欢不喜欢总计男8020100女3070100总计11

090200∴K2=200×(80×70−20×30)2110×90×100×100=500099≈50.505＞6.635，∴有99%的把握认为喜欢攀岩和性别有关，所以选项C正确；对于选项D：如果不确定参与调查的男女生人数，无法计算是否有99%的把握认为喜欢攀岩和

性别有关，11．解：根据题意，函数f（x﹣1）为奇函数，则f（x）的图象关于点（﹣1，0）对称，则有f（﹣2+x）＝﹣f（﹣x），同理：若函数f（x+1）为奇函数，则有f（2+x）＝﹣f（﹣x），则有f（x+2）＝f（x﹣2），即有f（x+4）＝f

（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数，A错误，B正确；f（2+x）＝﹣f（﹣x），f（x+2）不一定是奇函数，C错误；由f（x+3）＝f（x﹣1），是奇函数，D正确；12．解：双曲线方程为𝑥29−𝑦216=1的a＝3，b＝4，c＝5，⊙I与x

轴切于点N，与AF1切于点P，与AF2切于点T，为I的横坐标与N的横坐标相等，设I（xN，r），由切线长相等，可得|PF1|＝|NF1|，|PA|＝|TA|，|TF2|＝|NF2|，由双曲线的定义可得|AF1|

﹣|AF2|＝2a，即有|NF1|﹣|NF2|＝2a，又|NF1|+|NF2|＝2c，解得|NF2|＝c﹣a，可得|ON|＝a，则A，B都正确；由内角平分线的性质定理可得5+𝑥05−𝑥0=|𝐴𝐹1||𝐴𝐹2|=6+|�

�𝐹2||𝐴𝐹2|，即有|AF2|＝3（5𝑥0−1）＞c﹣a＝2，解得0＜x＜X0＜3，故C正确；可设A（m，n），m，n＞0，△AF1F2的内切圆的半径为r，则𝑚29−𝑛216=1，①，又S⬚△𝐴𝐹1𝐹2=12•2c•n

=12r（2c+|AF1|+|AF2|），即为5n＝r（5+3+|AF2|）＝r（8+em﹣a）＝r（5+53m），化为n＝r（1+13m），若r＝4，则n＝4（1+13m），②，联立①②，可得方程组无解．故D错误．故选：ABC．14．解：当x≥1时，f（x）＝x2≥1，若a

＝0，x＜1时，f（x）＝0，f（x）的值域不是R；若a＜0，x＜1时，f（x）＞2a，f（x）的值域不是R，若a＞0，x＜1时，f（x）＜2a，所以当2a≥1时，f（x）的值域为R，所以a的取值范围是[12，+∞)．故答案为：[12，+∞）．15．解：由题意第n次传球后

回到甲手中的概率为p（n），所以第n次传球后不在甲手中的概率为1﹣p（n），①若此时球在乙手中，其概率为1−𝑝(𝑛)2，第n+1次乙传给甲的概率为12，故第n+1次由乙传给甲的概率为1−𝑝(𝑛)2×12=1−𝑝(𝑛)4．②若此时球在丙手

中，其概率为1−𝑝(𝑛)2，第n+1次丙传给甲的概率为12，故第n+1次由丙传给甲的概率为1−𝑝(𝑛)2×12=1−𝑝(𝑛)4．综上，p（n+1）=1−𝑝(𝑛)4+1−𝑝(𝑛)4=1−𝑝(𝑛)2，故填：1−𝑝(�

�)2．16．解：（1）由题意可得广义杨辉三角形第4行为：1，4，10，16，19，16，10，4，1；第5行为：1，5，15，30，45，51，45，30，15，5，1；所以（1+ax）（x2+x+1）5的展开式中，x8项的系数

为15+30a＝75，解得a＝2；（2）由题意可知，(1+𝑥+𝑥2)18=𝐷360+𝐷361𝑥+𝐷362𝑥2+⋯+𝐷3635𝑥35+𝐷3636𝑥36，根据二项式定理可得(𝑥−1)18=𝐶180𝑥18−𝐶181𝑥17+𝐶182𝑥16−⋯−𝐶181

7𝑥+𝐶1818，所以，𝐷360𝐶180−𝐷361𝐶181+𝐷362𝐶182−𝐷363𝐶183+⋯+𝐷3618𝐶1818可视为二项式（x﹣1）18（1+x+x2）18＝（x3﹣1）18展开式中x18的系数，而二项式（

x3﹣1）18的展开式通项为𝐶18𝑟⋅(𝑥3)18−𝑟⋅(−1)𝑟，令3×（18﹣r）＝18，解得r＝12，所以，𝐷360𝐶180−𝐷361𝐶181+𝐷362𝐶182−𝐷363𝐶183+⋯+𝐷

3618𝐶1818=𝐶1812．故答案为：2；𝐶1812．17．（1）解：设{an}的公比为q（q≠0，q≠1）∵a5，a3，a4成等差数列，∴2a3＝a5+a4，∴2𝑎1𝑞2=𝑎1𝑞4+𝑎1𝑞3，∵a1≠0，q≠0，∴q2+q﹣2＝0，解得q＝1或q＝﹣

2，∵q≠1，∴q＝﹣2（2）证明：对任意k∈N+，Sk+2+Sk+1﹣2Sk＝（Sk+2﹣Sk）+（Sk+1﹣Sk）＝ak+2+ak+1+ak+1＝2ak+1+ak+1×（﹣2）＝0，∴对任意k∈N+

，Sk+2，Sk，Sk+1成等差数列．18．解：（1）由余弦定理，AB2＝AC2+BC2﹣2AC•BC•cosC=4+1−2×2×1×34=2．那么，𝐴𝐵=√2（2）解：由𝑐𝑜𝑠𝐶=34，且0＜C＜π，得𝑠𝑖𝑛𝐶=√1−𝑐�

�𝑠2𝐶=√74．由正弦定理，𝐴𝐵𝑠𝑖𝑛𝐶=𝐵𝐶𝑠𝑖𝑛𝐴，解得𝑠𝑖𝑛𝐴=𝐵𝐶𝑠𝑖𝑛𝐶𝐴𝐵=√148．所以，𝑐𝑜𝑠𝐴=5√28．由倍角公式𝑠𝑖𝑛2𝐴=2𝑠𝑖𝑛𝐴⋅𝑐𝑜𝑠𝐴=5√716，且𝑐𝑜𝑠2�

�=1−2𝑠𝑖𝑛2𝐴=916，故𝑠𝑖𝑛(2𝐴+𝐶)=𝑠𝑖𝑛2𝐴𝑐𝑜𝑠𝐶+𝑐𝑜𝑠2𝐴𝑠𝑖𝑛𝐶=3√78．19．解：（1）由题意可知：ξ的可能取值为0，1，2，3，ξ～H（4，3，10），P（ξ＝0）=𝐶74𝐶104

=16，P（ξ＝1）=𝐶31𝐶73𝐶104=12，P（ξ＝2）=𝐶32𝐶72𝐶104=310，P（ξ＝3）=𝐶33𝐶71𝐶104=130．可得ξ的分布列为：ξ0123P1612310130∴E（ξ）＝0×

16+1×12+2×310+3×130=65．（2）设“至少有一个零件直径大于124mm”为事件A，∵X～N（120，4），∴μ＝120，σ＝2，∴P（X＞124）=1−𝑃(|𝑋−𝜇|≤2𝜎)2≈1−0.95452=0.002275，∴P（X≤124）≈1﹣

0.002275＝0.97725，∴P（A）＝1﹣0.9772510≈100.7944＝0.2056，答：至少有一个零件直径大于124mm的概率为0.2056．20．解：如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，设AC，A1C1的中点分别为O，O1，则，OB⊥OC，

OO1⊥OC，OO1⊥OB，故以{𝑂𝐵→，𝑂𝐶→，𝑂𝑂1→}为基底，建立空间直角坐标系O﹣xyz，∵AB＝AA1＝2，A（0，﹣1，0），B（√3，0，0），C（0，1，0），A1（0，﹣1，2），B1（√3，0，2），C1（0，1，2）．（1）点P为A1B1的中点．∴𝑃

(√32，−12，2)，∴𝐵𝑃→=(−√32，−12，2)，𝐴𝐶1→=(0，2，2)．|cos＜𝐵𝑃→，𝐴𝐶1→＞|=|𝐵𝑃→⋅𝐴𝐶1→||𝐵𝑃→|⋅|𝐴𝐶1→|=|−1+4|√5×2√2=3√1020．∴异面直线BP与AC1所成角的余弦值为：3√1020；（2

）∵Q为BC的中点．∴Q（√32，12，0），∴𝐴𝑄→=(√32，32，0)，𝐴𝐶1→=(0，2，2)，𝐶𝐶1→=(0，0，2)，设平面AQC1的一个法向量为𝑛→=（x，y，z），由{𝐴𝑄→⋅𝑛→=√32𝑥+32𝑦=0

𝐴𝐶1→⋅𝑛→=2𝑦+2𝑧=0，可取𝑛→=（√3，﹣1，1），设直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值为θ，sinθ＝|cos＜𝐶𝐶1→，𝑛→＞|=|𝐶𝐶1→⋅𝑛→||𝐶𝐶1→|⋅

|𝑛→|=2√5×2=√55，∴直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值为√55．21．解：（1）抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F（𝑝2，0），准线方程为x=−𝑝2，由C上一点G到F的距离为5，可得xG+𝑝2=5，由G到直

线x＝﹣1的距离为5，可得xG+1＝5，解得p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x；（2）由（1）可得F（1，0），设直线AB的方程为y＝k（x﹣1），k＞0，与抛物线的方程y2＝4x联立，可得k2x2﹣（2k2+4）x+

k2＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），x1+x2＝2+4𝑘2，x1x2＝1，|x1﹣x2|=√(𝑥1+𝑥2)2−4𝑥1𝑥2=√(2+4𝑘2)2−4=4√1+𝑘2𝑘2，y1+y2＝k（x1+x2﹣2）=4𝑘，y1y2＝k2（x1﹣1）（x2﹣1）＝

k2（x1x2+1﹣x1﹣x2）＝k2（2﹣2−4𝑘2）＝﹣4，|y1﹣y2|=√(𝑦1+𝑦2)2−4𝑦1𝑦2=√16𝑘2+16=4√1+𝑘2𝑘，直线AP的方程为y﹣y1=−1𝑘（x﹣x1），令y＝0，可得x＝ky1+x1，即P（ky

1+x1，0），同理可得Q（ky2+x2，0），|PQ|＝|k（y1﹣y2）+（x1﹣x2）|＝||4√1+𝑘2+4√1+𝑘2𝑘2|，所以四边形APBQ面积S=12|PQ|•|y1﹣y2|=12•4√1+𝑘2

𝑘2（1+k2）•4√1+𝑘2𝑘=8(1+𝑘2)2𝑘3=8（k+2𝑘+1𝑘3），设f（k）＝k+2𝑘+1𝑘3，k＞0，f′（k）＝1−2𝑘2−3𝑘4=𝑘4−2𝑘2−3𝑘4，可得当

k＞√3时，f（k）递增，0＜k＜√3时，f（k）递减，则f（k）的最小值为f（√3）=16√39，所以四边形APBQ面积的最小值为128√39．22．解：（1）g（x）＝f（x）+（2a﹣3）x＝lnx+x2﹣3x，定义域是（0，+∞），g′（x）=1�

�+2x﹣3=2𝑥2−3𝑥+1𝑥=(2𝑥−1)(𝑥−1)𝑥，令g′（x）＞0，解得：x＞1或0＜x＜12，令g′（x）＜0，解得：12＜x＜1，故g（x）在（0，12）递增，在（12，1）递减，在（1，+∞）递增，故g（x）极大值＝g（12）

=−54−ln2，g（x）极小值＝g（1）＝﹣2；（2）函数f（x）＝lnx+x2﹣2ax，x∈（0，+∞），f′（x）=2𝑥2−2𝑎𝑥+1𝑥，∵x1，x2是函数f（x）的极值点，∴x1，x2是方程2x2﹣2ax+1＝0的两不等正根，则△＝4a2﹣8＞0，x1+x2＝a＞0，x1

•x2=12，故a＞√2，𝑎2＞√22，即x1∈（0，√22），x2∈（√22，+∞），且2ax1＝2𝑥12+1，2ax2＝2𝑥22+1，2f（x1）﹣f（x2）＝2（lnx1+𝑥12−2ax1）﹣（lnx2+𝑥22−2ax2）＝

2（lnx1+𝑥12−2𝑥12−1）﹣（lnx2+𝑥22−2𝑥22−1）＝﹣2𝑥12+2lnx1﹣lnx2+𝑥22−1=𝑥22−2(12𝑥2)2+2ln12𝑥2−lnx2﹣1=𝑥22−12𝑥22−32ln𝑥22−2ln2﹣1，令t=

𝑥22，则t∈（12，+∞），g（t）＝t−12𝑡−32lnt﹣2ln2﹣1，g′（t）＝1+12𝑡2−32t=(2𝑡−1)(𝑡−1)2𝑡2，当t∈（12，1）上递减，当t∈（1，+∞）上递增，故g（t）m

in＝g（1）=−1+4𝑙𝑛22，故2f（x1）﹣f（x2）的最小值为−1+4𝑙𝑛22．